Как найти сколько всего вариантов

Чтобы работать с теорией вероятностей и статистикой, нужно знать принципы комбинаторики — науки о подсчёте количества всевозможных комбинаций элементов.

• Факториал, правила суммы и произведения
• Перестановка
• Размещение
• Сочетание
• Как использовать перестановки, размещения и сочетания в анализе данных
• Совет эксперта

Самые популярные факториалы

Рекуррентная формула факториала

В этой формуле для получения следующего элемента необходимо знать предыдущий.

Правило суммы — если объект A можно выбрать способами, а объект B можно выбрать способами, то объект «A или B» можно выбрать n + m способами.

Правило произведения — если объект A можно выбрать n способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать m способами, то для пары «A и B» есть n ∙ m вариантов выбора.

Когда важно одно или другое — варианты выбора складываются, когда одно и другое — умножаются. Оба правила позволяют найти, сколько есть вариантов на выбор или, например, сколько есть способов различного расположения предметов.

Получить больше практики по расчёту количества комбинаций можно в модуле «Комбинаторика» тренажёра «Основы математики для цифровых профессий».

Пример. На странице интернет-магазина одежды размещены три футболки. Если поменять их расположение на странице, получится новая перестановка. Сколькими способами можно расположить футболки на странице?

Решение. Три футболки можно расположить на странице способами: P₃ = 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3.

Пример. Чтобы выполнить ежедневный квест, игроку нужно принести магу корзину с четырьмя кристаллами разного цвета. Первой необходимо найти корзину, а кристаллы можно сложить в неё в произвольном порядке. Как найти число способов выполнить задание?

Решение. Для выполнения квеста нужно 5 предметов. Корзину всегда находят первой, поэтому её позиция зафиксирована. Порядок сбора 4 оставшихся предметов равен числу перестановок 4 элементов. Всего есть 4! = 24 способа выполнить задание.

В отличие от перестановки, у размещения два параметра: из скольких элементов выбирают (n) и сколько именно выбирают (k).

Порядок выбора элементов важен, когда:

● Выбирают несколько элементов для разных целей, разных дней, разных ролей.
● В задачах на расположение, когда элементы различимы. Например, когда надо выбрать несколько человек из группы и разместить их на креслах в кинотеатре. Люди разные, поэтому имеет значение, кто где сядет.

Пример. Недалеко от пользователя есть 9 ресторанов. Из них надо выбрать 4, которые будут отображаться на главном экране. Сколько есть способов выбрать рестораны?

Решение. Порядок выбора важен, поэтому выбрать четыре ресторана поможет правило произведения: существует 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 3024 способа. Это как раз и есть количество размещений из 9 по 4.

Пример. Сколькими способами можно заполнить спортивный пьедестал из трёх мест, если есть 10 претендентов?

Решение. Выбрать упорядоченную тройку можно 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 способами. По формуле для количества размещений это считается так:

Несколько частных значений для количества сочетаний:

Порядок выбора или расстановки не важен, когда:

● Выбирают несколько элементов одновременно. В учебниках по математике самый частый пример — мешок с шариками, откуда вытаскивают несколько шариков разом.
● Выбирают пару (тройку, группу) для взаимного или равноправного процесса. Например, двух человек для партии в шахматы, две команды для игры в хоккей, три бренда одежды для коллаборации, две точки для соединения отрезком, пять человек для хора.

Пример. Из 9 актёров выбирают четырёх для массовки. Порядок выбранных людей не важен. Сколько есть способов выбрать актёров?

Решение. Чтобы получить количество вариантов выбора 4 из 9 без учёта порядка, нужно

Это количество сочетаний из 9 по 4: сначала нашли количество способов выбрать 4 из 9, потом «склеили» все варианты с одним набором актёров, но разным порядком.

Пример. В сувенирном магазине продаются 6 видов кружек. Сколько есть способов выбрать 4 разные?

Решение. Общее количество перестановок для 6 элементов нужно разделить на (6 – 4)! и ещё на 4!, так как не нужно учитывать ни перестановки «невыбираемых» кружек, ни порядок среди выбираемых.

Поэтому для выбора 4 кружек из 6 есть

А если надо выбрать только 2 разные кружки?

Ответ получился такой же, потому что множители в знаменателе просто поменялись местами.

У этого есть и логическое обоснование: например, выбрать 4 кружки из 6 (и купить их) — это то же самое, что выбрать 2 кружки из 6 (и не купить их).

Аналогично получится, что

В общем виде это свойство выглядит так:

Его называют свойством симметрии для количества сочетаний.

Совет эксперта

Диана Миронидис
Выбирать приходится каждый день: сколько блюд получится сделать из продуктов в холодильнике, сколькими способами можно добраться до работы — ответы на все эти вопросы даёт комбинаторика. Это отличный фундамент для изучения анализа данных и тех областей математики, которые связаны с теорией вероятностей и статистикой. Например, чтобы работать с биномиальным распределением, нужно знать, что такое биномиальные коэффициенты и как их находить. А это как раз комбинаторные задачи.

Автор и методист курсов по математике

Формула числа сочетаний

Определение числа сочетаний

Пусть имеется $n$ различных объектов и требуется найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$. Будем выбирать комбинации из $k$ объектов всеми возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений).

Например, есть три ($n=3$) объекта {1,2,3}, составляем сочетания по $k=2$ объекта в каждом. Тогда выборки {1,2} и {2,1} — это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: {1,2}, {1,3}, {2,3}.

На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 (их будет 6, см. калькулятор сочетаний ниже, который даст формулу расчета).

Общая формула, которая позволяет найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$ имеет вид:

$$C_n^k=frac{n!}{(n-k)!cdot k!}.$$

Чаще всего сочетания используются в комбинаторных задачах и задачах на расчет вероятности по формуле классической вероятности (см. теорию и примеры).

Смотрите также другие онлайн-калькуляторы

Чтобы вычислить число сочетаний $C_n^k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.

Видеоролик о сочетаниях

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы сочетаний: как использовать Excel для нахождения числа сочетаний, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезные ссылки

• Онлайн учебник по теории вероятностей
• Основные формулы комбинаторики
• Примеры решений задач по теории вероятностей
• Заказать свои задачи на вероятность

Решебник по ТВ

Решебник с задачами по комбинаторике и теории вероятностей:

Число сочетаний

Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них k объектов всевозможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок
(он тут не важен, в отличие от размещений).

Например, есть три объекта {1,2,3}, составляем сочетания по 2 объекта в каждом. Тогда выборки {1,2} и {2,1} — это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: {1,2}, {1,3}, {2,3}.

Общая формула, которая позволяет найти число сочетаний из n объектов по k имеет вид:

C_kⁿ = n!k! ⋅ (n — k)!

Данный онлайн калькулятор позволяет найти число сочетаний из n элементов по k.

Поделиться страницей в социальных сетях:

Онлайн-калькулятор сочетаний позволяет вам найти количество возможных комбинаций, которые могут быть получены из элементов выборки из большого набора данных. Кроме того, этот комбинаторика калькулятор показывает каждую комбинацию набора данных. По сути, комбинация – это количество способов получить r элементов из n объектов набора данных, где замены не разрешены. Прочтите статью полностью, чтобы точно узнать о ее формуле, ручном расчете, о том, как найти комбинацию с помощью этого калькулятора комбинаций и многом другом.

Кроме того, вы можете попробовать наш онлайн-калькулятор перестановок, который поможет вам найти количество возможных подмножеств, включая подмножество одного и того же элемента в разном порядке.

Читать дальше!

Что такое формула комбинирования?

Формула для определения количества возможных комбинаций выглядит следующим образом:

nCr = n! / р! (н-р)!

Где,

n – общее количество в наборе данных

r – это номер, который вы выбираете из этого набора данных & nCr – количество комбинаций

Наш калькулятор NCR использует эту формулу для точных и быстрых вычислений всех элементов набора данных.

Формула сочетания с повторением:

Если нас не волнует повторение, то формула NCR выглядит так:

nCr = (г + п-1)! / р! (п-1)!

Здесь на рисунке показаны четыре типа выбора:

Образ

Восклицательный знак (!) Используется для факториала числа. Чтобы найти факториал числа, вы также можете попробовать наш онлайн-калькулятор факториала, который поможет вам вычислить факториал для заданных n чисел.

Как рассчитать комбинации (шаг за шагом):

Расчет комбинаций становится очень простым с этим комбинаторным калькулятором и пониманием следующего ручного примера:

Проведите по!

Пример:

Директор выбирает 4 учеников из класса, всего 30 учеников, для соревнований по легкой атлетике. Он хочет определить, сколько комбинаций из 4 учеников можно создать из 30 учеников?

Решение:

Комбинированное уравнение:

nCr = n! / р! (н-р)!

Вот,

Общее количество студентов (n) = 30

Выбранные ученики (r) = 4

Так,

30C4 = 30! / 4! (30-4)!

30C4 = 30! / 4! (26)!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27 * 26! / 4! (26)!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4 * 3 * 2 * 1

30C4 = 657720/24

30C4 = 27405 Возможные команды

Вы можете попробовать этот онлайн-калькулятор сочетаний, чтобы проверить все примеры комбинаций для пояснения.

Комбинации и перестановки:

В английском языке мы используем словосочетание, не задумываясь о важности порядка слов или нет. Просто мой обед состоит из бургера, сэндвича с Рубеном и яблочного пирога. Нас не волнует их порядок, они также могут быть в «сэндвиче с Рубеном, яблочном пироге и бургере», но это та же еда. Также,

Замок сейфа – 584. Теперь, если нас не заботит порядок, то он не работает. Например, 845 не подойдет, а 458 не подойдет. Надо точно ввести 5-8-4. Итак, мы пришли к выводу, что:

Когда порядок не имеет значения, это комбинация, а когда порядок имеет значение, это перестановка. Проще говоря, перестановка – это упорядоченная комбинация.

Как использовать онлайн-калькулятор сочетаний:

Онлайн-калькулятор комбинаций чисел требует различных значений для точного расчета, это шаги, которые вы должны выполнить, чтобы получить мгновенные результаты.

Входы:

• Прежде всего, выберите имя элементов набора данных из раскрывающегося списка этого инструмента.
• Затем введите общее количество элементов в предназначенное для этого поле.
• Затем введите, сколько элементов вы хотите выбрать из общего числа элементов.
• Затем вам нужно выбрать, что вы хотите создать, из раскрывающегося меню. Это может быть как комбинация, так и комбинация с повторением.
• Затем вставьте значения элементов в указанное поле.
• Наконец, нажмите кнопку “Рассчитать”.

Выходы:

Как только вы закончите, калькулятор формулы комбинации покажет:

• Комбинация
• Сочетание с повторением
• Пошаговый расчет

Заметка:

Не беспокойтесь, хотите ли вы получить расчет с комбинацией или повторением, все, что вам нужно, чтобы выбрать соответствующую опцию, калькулятор комбинации покажет вам результат в соответствии с заданными значениями.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Что означает 10 выбирают 3?

Это означает выбор 3 элементов из 10 общих элементов без как посчитать количество комбинаций. Он генератор комбинаций 120 возможных комбинаций.

Для чего используется комбинация?

Он определяет возможные расположения в коллекции из n элементов. Помогает выбирать предметы в любом порядке. Это условие непонятно при перестановке числа.

Конечное примечание:

К счастью, вы узнали, что комбинации используются для определения возможных расположений в коллекции n элементов. Когда дело доходит до вычисления большого числа, воспользуйтесь бесплатным онлайн-калькулятор сочетаний, который поможет вам найти комбинацию данных элементов.

Other Languages: Combination Calculator, Kombinasyon Hesaplama, Kalkulator Kombinacji, Kalkulator Kombinasi, Kombinatorik Rechner, 組み合わせ 計算, 조합 계산기, Kombinace Kalkulačka, Calculadora De Combinações, Calcul Combinaison, Calculadora De Combinaciones, Calcolo Combinatorio, Yhdistelmää Laskin, Kombinations Beregner, Kombinatorikk Kalkulator.