Как найти скорость человека относительно берега

1. Сложение скоростей

Пусть человек идет поперек плота, плывущего по реке. При этом скорость человека относительно плота перпендикулярна скорости течения (рис. 9.1, вид сверху).

Из правила сложения скоростей (см. § 3) следует:

где _чб – скорость человека относительно берега, _чп – скорость человека относительно плота, _пб – скорость плота относительно берега (скорость течения).

На рисунке 9.1 справа показано, как графически найти скорость человека относительно берега (красная стрелка). Мы видим, что человек движется не перпендикулярно берегу, поскольку его (вместе с плотом) сносит течением.

Во время переправы через реку лодку тоже сносит течением. Если скорость _лв лодки относительно воды направлена перпендикулярно течению, то ее скорость _лб относительно берега (красная стрелка) будет направлена не перпендикулярно берегу, а под некоторым углом α к этому перпендикуляру (рис. 9.2).

Поэтому лодка попадет не в точку Б, находящуюся точно напротив начальной точки А, а в точку В, которая расположена ниже точки Б по течению.

На рисунке 9.2 для наглядности изображены некоторые промежуточные положения лодки, чтобы было видно, что она все время держит курс перпендикулярно берегу, но течение сносит ее во время переправы.

? 1. Моторная лодка переправляется через реку шириной 60 м. Скорость лодки относительно воды направлена перпендикулярно берегу и равна 2 м/с, а скорость течения равна 1 м/с.
а) Сколько времени займет переправа?
б) Насколько снесет лодку по течению за время переправы?
в) Какой угол составляет скорость лодки относительно берега с перпендикуляром к берегу?

Обратите внимание: если скорость лодки относительно воды перпендикулярна берегу, течение не влияет на время переправы.

? 2. Объясните, почему переправа через реку занимает кратчайшее время, когда скорость лодки относительно воды направлена перпендикулярно берегу (хотя при этом переправа происходит не по кратчайшему пути относительно берега).

Рассмотрим теперь, как надо направить скорость лодки относительно воды, чтобы лодка попала в точку Б, расположенную точно напротив начальной точки А (рис. 9.3).

В таком случае скорость _лб лодки относительно берега должна быть перпендикулярна берегу (красная стрелка). А для этого необходимо, чтобы скорость _лв лодки относительно воды была направлена под некоторым углом β к линии АБ – немного навстречу течению.

На рисунке 9.3 изображены некоторые промежуточные положения лодки, чтобы показать, что во время переправы киль лодки остается параллельным линии АГ, где точка Г расположена выше точки Б по течению, однако течение сносит лодку так, что она попадает в точку Б.

? 3. Моторная лодка переправляется через реку шириной 60 м так, что попадает в точку Б, находящуюся точно напротив начальной точки А. Скорость лодки относительно воды равна 2 м/с, а скорость течения равна 1 м/с.
а) Какой угол составляет скорость лодки относительно воды с перпендикуляром к берегу?
б) Чему равна скорость лодки относительно берега?
в) Сколько времени занимает переправа?

Мы видим, что переправа по кратчайшему пути (относительно берега), занимает большее время, чем в случае, когда скорость лодки относительно воды направлена перпендикулярно берегу. Чтобы двигаться точно поперек течения, лодке приходится бороться с ним.

? 4. Может ли лодка попасть из точки А в точку Б, если ее скорость относительно воды меньше скорости течения или равна ей? Дайте пояснительный чертеж.

Итак, мы видим, что даже в случае, когда течение или ветер направлены перпендикулярно траектории лодки, корабля или самолета (относительно земли), это все-таки тормозит движение. Правда, если скорость ветра мала по сравнению со скоростью самолета, то задержка при боковом ветре существенно меньше, чем при встречном ветре той же скорости.

? 5. В безветренную погоду перелет самолета из города Л в город К занимает 1 ч. Во время полета дует ветер, скорость которого в 10 раз меньше скорости самолета относительно воздуха. Сколько времени будет длиться перелет, если ветер:
а) встречный? б) перпендикулярен трассе полета?

2. Переход в другую систему отсчета

На рисунке 9.4 схематически изображено положение двух кораблей в море и показаны их скорости ₁ и ₂.

Может ли произойти столкновение этих кораблей, если они будут продолжать следовать своими курсами? А если нет, то каким будет минимальное расстояние d_min между ними?

Если рассматривать движение кораблей в системе отсчета, связанной с Землей, ситуация представляется непростой: надо следить одновременно за двумя кораблями, не пропустив момент наибольшего их сближения.

Однако эта ситуация значительно упрощается, если перейти в систему отсчета, связанную с любым из кораблей – например, с кораблем 2 (рис, 9.5).

В этой системе отсчета корабль 2 покоится, поэтому надо следить за движением только одного корабля – корабля 1. Чтобы найти его скорость ₁₂ относительно корабля 2, нужно, как мы уже знаем, вычесть из скорости ₁ скорость ₂:

В правой верхней части рисунка 9.5 показано, как графически найти скорость ₁₂.

В системе отсчета, связанной с кораблем 2, корабль 1 движется вдоль прямой, параллельной его скорости ₁₂ в этой системе отсчета (красный пунктир).

Мы видим, что кораблям, к счастью, столкновение не грозит. А проведя перпендикуляр из положения корабля 2 к красному пунктиру, мы найдем и минимальное расстояние между кораблями d_min.

? 6. На рисунке 9.6 изображено положение автобуса (А) и такси (Т) в некоторый момент времени и обозначены их скорости. Две клетки соответствуют 100 м или 10 м/с.

Связанную с автобусом систему отсчета называем далее для краткости «система А».
а) Перенесите рисунок в тетрадь и найдите графически скорость такси в системе А.
б) Начертите траекторию движения такси в системе А.
в) Найдите модуль скорости такси в системе А.
г) Найдите графически и аналитически наименьшее расстояние между такси и автобусом.
Подсказка. Воспользуйтесь подобием треугольников скоростей и перемещений в системе А.

Дополнительные вопросы и задания

По реке плывет квадратный плот со стороной a (рис. 9.7). По периметру плота идет человек со скоростью vч относительно плота. Скорость течения равна v_т.

а) Найдите выражение для пути, пройденного человеком относительно берега, если он двигался от А к В; от В к С; от С к D; от D к А.
б) Найдите отношение пути, пройденного человеком относительно берега, к пути, пройденному им относительно плота, если: 1) vч = 2vт; 2) vч = 0,5vт.

8. Человек на моторной лодке отправляется из точки А с намерением попасть в точку В (рис. 9.8).

а) Скорость лодки относительно воды в 2 раза больше скорости течения. Под каким углом α к линии АВ должна быть направлена скорость лодки относительно воды?
б) При какой минимальной скорости лодки относительно воды она сможет попасть в точку В, если скорость течения равна 1 к/с? Под каким углом к линии АВ надо в этом случае направить киль лодки?

Ранее было показано, что положение тела (точки) в
пространстве всегда задается относительно какого-то другого тела, выбранно­го телом
отсчета. Для этого через тело от­счета
проводят оси координат. Принято говорить, что с этим телом отсчета связана
система координат.

Но за тело отсчета мы можем принять любое тело и с каждым из
них связать свою систему координат. Тогда положение одного и того же тела можно
одновременно рассматривать в разных системах координат.

Ясно, что относительно разных тел отсчета в разных систе­мах координат у одного и того же тела могут быть совершенно
различные координаты.

На­пример, положение зайца в поле можно
определить, указав, что он находится на расстоянии l₁от охотника.
В то же время можно сказать, что заяц расположен на рассто­янии l₂от
ели.

Это значит, что положение тела относительно: оно различно относительно разных тел отсчета и связанных
с ними разных систем координат.

Но относительно не только положение тела. Относительно и его
движение. В чем состоит относительность движения?

Ребенок, впервые попавший на реку во время ледохода, стоя на
берегу, спросил: «На чем это мы едем?».

Очевидно, ребенок «выбрал» в качестве тела отсчета плывущую
по реке льдину. Находясь в покое относительно системы отсчета, связанной с берегом,
ребенок двигался вместе с берегом относительно «вы­бранной» им системы отсчета
— льдины.

На практике часто приходится рассматривать движение одно­го и того же тела относительно разных тел
отсчета, которые сами движутся друг относительно друга. Так, артиллеристу
важно знать, как движется снаряд не только относительно Земли, на которой его
орудие стоит неподвижно, но и относительно танка, в который он стреляет и
который сам дви­жется относительно Земли.

Пилот интересуется движением самолета и относи­тельно Земли,
и относительно воздуха, который сам движется, и т. д.

Рассмотрим движения одного и того же тела относительно двух
тел отсчета, которые сами движутся друг относительно друга.

Например, человек идет по плоту со скоростью υ₁
относительно плота. Плот движется по реке поступательно со скоростью υ₂
относительно берега. Найдем скорость человека относительно берега.

Проведем мысленно через точку О на берегу оси
координат XY, причем ось X напра­вим вдоль течения реки. С плотом
тоже свяжем систему координат X’O’Y’, оси X’иУ’ которой
парал­лельны осям X иY.

Найдем перемещение человека
относительно этих двух систем отсчета за одно и то же время t.

Наблюдатель на берегу отметит, что за это время t перемеще­ние
человека по плоту равно s₂, а сам плот совершил перемещение s₁
относительно берега. Из рисунка видно, что переме­щение s человека относительно берега, т. е. в системе
координат XOY, рав­но сумме обоих пе­ремещений.

Т.е., если тело одновременно участвует в нескольких движениях,
то результирующее перемещение тела равно векторной сумме перемещений,
совершаемых им в каждом из движении.

Это утверждение носит название принципа независимости
движения.

Разделив перемещение человека относительно берега на время, в
течении которого это перемещение произошло, можно получить скорость человека
относительно берега:

Первое слагаемое  — это скорость человека относительно
подвижной системы коорди­нат (воды или плота). Второе же слагаемое

 —
это скорость плота относи­тельно
неподвижной системы координат (берега).

Сле­довательно,

Эта формула выражает математическую запись закона сложения
скоростей: скорость тела
относительно неподвижной системы отсчета равна геометри­ческой сумме скоро­сти
тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы
отсчета относительно неподвижной.

Видно, что скорости тела относительно различных систем
отсчета, движущихся друг относительно друга, различны. В этом и проявляется
относительность движения.

Понимание того, что движение одного и того же тела можно
рассматривать в разных системах отсчета, сыграло огромную роль в развитии
взглядов на строение Вселенной.

С давних пор люди замечали, что звезды в течение ночи, так же
как и Солнце днем, перемещаются по небу с востока на запад, двигаясь по дугам,
и делая за сутки полный оборот вокруг Земли.

Поэтому в течение многих столетий считалось, что в центре
мира находится неподвижная Земля, а вокруг нее обращаются все небесные тела.

Такая система мира была названа геоцентрической (греческое
слово «гео» означает «земля»).

Во II веке александрийский ученый Клавдий Птолемей обобщил
имеющиеся сведения о движении светил и планет в геоцентрической системе и сумел
составить довольно точные таблицы, позволяющие определять положение небесных
тел в прошлом и будущем, предсказывать наступление затмений и т. д.

Однако со временем, когда точность астрономических наблюдений
возросла, стали обнаруживаться расхождения между вычисленными и наблюдаемыми
положениями планет. Новые взгляды на строение Вселенной были подробно изложены
в XVI веке польским ученым Николаем Коперником. Он считал, что Земля и другие
планеты движутся вокруг Солнца, одновременно вращаясь вокруг своих осей.

Такая система была названа гелиоцентрической, поскольку
в ней за центр Вселенной принимается Солнце (по-гречески «гелиос»).

Таким образом, в гелиоцентрической системе отсчета
движение небесных тел рассматривается относительно Солнца, а в геоцентрической
— относительно Земли.

Гелиоцентрическая система оказалась гораздо более удачной, чем
геоцентрическая, при решении многих научных и практическихзадач.

Таким образом, применение знаний об относительности движения позволило
по-новому взглянуть на строение Вселенной. А это, в свою очередь, помогло впоследствии
открыть физические законы,описывающие движение тел в Солнечной системе и
объясняющиепричины такого движения.

Основные
выводы:

– Относительность движения
проявляется в том, что скорость, траектория, путь и некоторые другие характеристики
движения относительны, т. е. они могут быть различны в разных системах отсчета.

– Применение знаний об
относительности движения помогло открыть физические законы, описывающие
движение тел в Солнечной системе и объясняющие причины такого движения.

Относительность движения

Слова «тело движется» не имеют определенного смысла, так как нужно сказать, по отношению к каким телам или относительно какой системы отсчета это движение рассматривается. Приведем несколько примеров.

Пассажиры движущегося поезда неподвижны относительно стен вагона. И те же пассажиры движутся в системе отсчета, связанной с Землей. Поднимается лифт. Стоящий на его полу чемодан покоится относительно стен лифта и человека, находящегося в лифте. Но он движется относительно Земли и дома.

Эти примеры доказывают относительность движения и, в частности, относительность понятия скорости. Скорость одного и того же тела различна в разных системах отсчета.

Представьте себе пассажира в движущемся равномерно относительно поверхности Земли вагоне, выпускающего из рук мяч. Он видит, как мяч падает относительно вагона вертикально вниз с ускорением g. Свяжем с вагоном систему координат X₁О₁Y₁ (рис. 1). В этой системе координат за время падения мяч пройдет путь AD = h, и пассажир отметит, что мяч упал вертикально вниз и в момент удара о пол его скорость υ₁.

Рис. 1

Ну а что увидит наблюдатель, стоящий на неподвижной платформе, с которой связана система координат XOY? Он заметит (представим себе, что стены вагона прозрачны), что траекторией мяча является парабола AD, и мяч упал на пол со скоростью υ₂, направленной под углом к горизонту (см. рис. 1).

Итак, мы отмечаем, что наблюдатели в системах координат X₁О₁Y₁ и XOY обнаруживают различные по форме траектории, скорости и пройденные пути при движении одного тела — мяча.

Надо отчетливо представлять себе, что все кинематические понятия: траектория, координаты, путь, перемещение, скорость имеют определенную форму или численные значения в одной выбранной системе отсчета. При переходе от одной системы отсчета к другой указанные величины могут измениться. В этом и состоит относительность движения, и в этом смысле механическое движение всегда относительно.

Связь координат точки в системах отсчета, движущихся друг относительно друга, описывается преобразованиями Галилея. Преобразования всех других кинематических величин являются их следствиями.

Пример. Человек идет по плоту, плывущему по реке. Известны и скорость человека относительно плота, и скорость плота относительно берега^[1].

В примере идет речь о скорости человека относительно плота и скорости плота относительно берега. Поэтому одну систему отсчета K свяжем с берегом — это неподвижная система отсчета, вторую К₁ свяжем с плотом — это подвижная система отсчета. Введем обозначения скоростей:

• 1 вариант (скорость относительно систем)

υ — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета К (скорость человека относительно Земли);

υ₁ — скорость этого же тела относительно подвижной системы отсчета K₁ (скорость человека относительно плота);

u — скорость подвижной системы К₁ относительно неподвижной системы К (скорость плота относительно Земли). Тогда

$vec{upsilon }=vec{u}+vec{upsilon }_{1} .; ; ; (1)$

• ”2 вариант

υ_тон — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета К (скорость человека относительно Земли);

υ_топ — скорость этого же тела относительно подвижной системы отсчета K₁ (скорость человека относительно плота);

υ_с — скорость подвижной системы К₁ относительно неподвижной системы К (скорость плота относительно Земли). Тогда

$vec{upsilon }_{тон} =vec{upsilon }_{c} +vec{upsilon }_{топ} .; ; ; (2)$

• 3 вариант

υ_а (абсолютная скорость) — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета К (скорость человека относительно Земли);

υ_от (относительная скорость) — скорость этого же тела относительно подвижной системы отсчета K₁ (скорость человека относительно плота);

υ_п (переносная скорость) — скорость подвижной системы К₁ относительно неподвижной системы К (скорость плота относительно Земли). Тогда

$vec{upsilon }_{a} =vec{upsilon }_{от} +vec{upsilon }_{n} .; ; ; (3)$

• 4 вариант

υ₁ или υ_чел — скорость первого тела относительно неподвижной системы отсчета К (скорость человека относительно Земли);

υ₂ или υ_пл — скорость второго тела относительно неподвижной системы отсчета К (скорость плота относительно Земли);

υ_1/2 или υ_чел/пл — скорость первого тела относительно второго (скорость человека относительно плота);

υ_2/1 или υ_пл/чел — скорость второго тела относительно первого (скорость плота относительно человека). Тогда

$left|begin{array}{c} {vec{upsilon }_{1} =vec{upsilon }_{2} +vec{upsilon }_{1/2} ,; ; , , vec{upsilon }_{2} =vec{upsilon }_{1} +vec{upsilon }_{2/1} ;} \ {} \ {vec{upsilon }_{чел} =vec{upsilon }_{пл} +vec{upsilon }_{чел/пл} ,; ; , , vec{upsilon }_{пл} =vec{upsilon }_{чел} +vec{upsilon }_{пл/чел} .} end{array}right. ; ; ; (4)$

Формулы (1-4) можно записать и для перемещений Δr, и для ускорений a:

$begin{array}{c} {Delta vec{r}_{тон} =Delta vec{r}_{c} +Delta vec{r}_{топ} ,; ; ; Delta vec{r}_{a} =Delta vec{r}_{от} +Delta vec{п}_{?} ,} \ {} \ {Delta vec{r}_{1} =Delta vec{r}_{2} +Delta vec{r}_{1/2} ,; ; , , Delta vec{r}_{2} =Delta vec{r}_{1} +Delta vec{r}_{2/1} ;} \ {} \ {vec{a}_{тон} =vec{a}_{c} +vec{a}_{топ} ,; ; ; vec{a}_{a} =vec{a}_{от} +vec{a}_{п} ,} \ {} \ {vec{a}_{1} =vec{a}_{2} +vec{a}_{1/2} ,; ; , , vec{a}_{2} =vec{a}_{1} +vec{a}_{2/1} .} end{array}$

План решения задач на относительность движения

1. Сделайте чертеж: тела изобразите в виде прямоугольников^[2], над ними укажите направления скоростей и перемещений (если они нужны). Выберите направления осей координат.

2. Исходя из условия задачи или по ходу решения, определитесь с выбором подвижной системы отсчета (СО) и с обозначениями скоростей и перемещений.

• Всегда начинайте с выбора подвижной СО. Если в задаче нет специальных оговорок, относительно какой СО заданы (или нужно найти) скорости и перемещения, то не принципиально, какую систему принять за подвижную СО. Удачный выбор подвижной системы существенно упрощает решение задачи.
• Обратите внимание на то, чтобы одна и та же скорость (перемещение) обозначалась одинаково в условии, решении и на рисунке.

3. Запишите закон сложения скоростей и (или) перемещений в векторном виде:

$vec{upsilon }_{тон} =vec{upsilon }_{c} +vec{upsilon }_{топ} ,; ; , , Delta vec{r}_{тон} =Delta vec{r}_{c} +Delta vec{r}_{топ} .$

• Не забывайте и про другие варианты записи закона сложения:

$begin{array}{c} {vec{upsilon }_{a} =vec{upsilon }_{от} +vec{upsilon }_{п} ,; ; ; Delta vec{r}_{a} =Delta vec{r}_{от} +Delta vec{r}_{п} ,} \ {} \ {vec{upsilon }_{1} =vec{upsilon }_{2} +vec{upsilon }_{1/2} ,; ; , , Delta vec{r}_{1} =Delta vec{r}_{2} +Delta vec{r}_{1/2} .} end{array}$

4. Запишите проекции закона сложения на оси 0Х и 0Y (и другие оси)

0Х: υ_{тон x} = υ_{с x} + υ_{топ x},   Δr_{тон x} = Δr_{с x} + Δr_{топ x},   (5-6)

0Y: υ_{тон y} = υ_{с y} + υ_{топ y},   Δr_{тон y} = Δr_{с y} + Δr_{топ y},   (7-8)

• Другие варианты:

0Х: υ_{a x} = υ_{от x} + υ_{п x},   Δr_{а x} = Δr_{от x} + Δr_{п x},

υ_1x = υ_2x + υ_1/2x,   Δr_1x = Δr_2x + Δr_1/2x,

0Y: υ_{a y} = υ_{от y} + υ_{п y},   Δr_{а y} = Δr_{от y} + Δr_{п y},

υ_1y = υ_2y + υ_1/2y,   Δr_1y = Δr_2y + Δr_1/2y.

5. Найдите значения проекций каждой величины:

υ_{тон x} = …, υ_{с x} = …, υ_{топ x} = …,

Δr_{тон x} = …, Δr_{с x} = …, Δr_{топ x} = …,

υ_{тон y} = …, υ_{с y} = …, υ_{топ y} = …,

Δr_{тон y} = …, Δr_{с y} = …, Δr_{топ y} = …

• Аналогично для других вариантов.

6. Подставьте полученные значения в уравнения (5) — (8).

7. Решите полученную систему уравнений.

• Примечание. По мере наработки навыка решения таких задач, пункты 4 и 5 можно будет делать в уме, без записи в тетрадь.

Дополнения

1. Если заданы скорости тел относительно тел, которые сейчас неподвижны, но могут двигаться (например, скорость тела в озере (нет течения) или в безветренную погоду), то такие скорости считают заданными относительно подвижной системы (относительно воды или ветра). Это собственные скорости тел, относительно неподвижной системы они могут меняться. Например, собственная скорость человека 5 км/ч. Но если человек идет против ветра, его скорость относительно земли станет меньше; если ветер дует в спину, скорость человека будет больше. Но относительно воздуха (ветра) его скорость остается равной 5 км/ч.
2. В задачах обычно фразу «скорость тела относительно земли» (или относительно любого другого неподвижного тела), по умолчанию, заменяют на «скорость тела». Если скорость тела задана не относительно земли, то это должно быть указано в условии задачи. Например, 1) скорость самолета 700 км/ч, 2) скорость самолета в безветренную погоду 750 км/ч. В примере один, скорость 700 км/ч задана относительно земли, во втором — скорость 750 км/ч задана относительно воздуха (см. дополнение 1).
3. В формулах, в которые входят величины с индексами, должен выполняться принцип соответствия, т.е. индексы соответствующих величин должны совпадать. Например, $t=dfrac{Delta r_{тон x} }{upsilon _{тон x}} =dfrac{Delta r_{c x}}{upsilon _{c x}} =dfrac{Delta r_{топ x}}{upsilon _{топ x}}$.
4. Перемещение при прямолинейном движении направлено в ту же сторону, что и скорость, поэтому знаки проекций перемещения и скорости относительно одной и той же системы отсчета совпадают.

Ссылки

1. ↑ В задачах иногда вместо фразы «скорость плота относительно берега» можно встретить просто «скорость плота» (скорость автомобиля, человека и т.п.). В таких случаях речь идет о скорости относительно поверхности Земли, неподвижной системы отсчета.
2. ↑ Для ветра, течения реки прямоугольник не рисуется.