Как найти скорость через напряженность электрического поля

Формула электрического напряжения и скорость зарядов

Природа так устроена, что для того, чтобы выполнить какое-либо действие, необходимо затратить энергию. Так и для возникновения тока необходимо электрическое напряжение. Формула скорости движения частиц была получена экспериментальным путём и включает в себя ускоряющую разность потенциалов. Она, по сути, и определяет силу электротока и работу, которая совершается по переносу единичного заряда из одной точки поля в другую.

Общие сведения

Электрические явления начали интересовать философов ещё со времён Древней Греции. Существует легенда, согласно которой люди, жившие более двух тысяч лет назад, находили на острове Магнезия камни, притягивающие к себе металлические предметы. Их назвали магнитами. В то же время философ Фалес обнаружил любопытное свойство янтаря. Если его потереть об шерсть, то к нему прилипали лёгкие предметы. Благодаря этим двум явлениям природы и было открыто электричество, ранее называемое янтарностью.

Но на протяжении многих столетий учёные не могли объяснить силы, заставляющие взаимодействовать тела между собой. Существенный вклад в развитие учения внёс Отто Герик, создавший первую электромашину.

Затем Питера ван Мушенбрук смог изготовить источник электричества, названный лейденской банкой. С этого момента начался бум изучения явлений. В своё время их исследовали такие физики, как Гильберт, Кулон, Ампер, Эдисон, Франклин, Вольт, Фарадей.

Благодаря их стараниями стало известно, что электричество и магнетизм — это явления, не существующие друг без друга. Описывать их начали, ведя характеристику, названную электромагнитным полем. Возникновение же последней связано с существованием заряда и возможностью его переноса элементарными частицами. Их условно разделили на два вида:

В природе если тело находится в равновесии, то есть на него не оказывается стороннее воздействие, движение частиц происходит хаотично и обусловлено тепловыми процессами.

Но если носители заставить двигаться в одном направлении, возникнет ток. Характеризуется он силой и работой которую необходимо затратить для переноса заряда из одной точки поля в другую.

Затраченную при движении энергию называют электродвижущей силой, описывающейся напряжением. Величиной зависящей от изменения потенциала поля в той или иной его точке. В 1827 году Георг Ом опытным путём доказал пропорциональную зависимость силы тока и напряжения. Этот фундаментальный закон был назван его именем, записывается так: I = U / R. Правило установило, что сила электротока зависит от работы, совершаемой полем для переноса заряда из точки A в B.

Физический смысл величины

Можно провести простой эксперимент. Для этого необходимо собрать схему, состоящую из последовательно включённых двух ламп разного размера. Если их запитать от источника тока, то можно будет обнаружить, что большая лампа светит ярче по сравнению с малой. При этом величина силы тока для любого участка цепи будет одинаковой, так как устройств для накопления зарядов в цепи нет.

Поэтому можно предположить, что существует какая-то разница в режиме работы этих двух ламп. Как оказалось, это отличие определяется физической величиной. Она является характеристикой поля и носит название электрическое напряжение. Измеряется параметр в вольтах [В] в честь итальянского физика, химика и астролога, придумавшего гальванический элемент, электрометр, конденсатор и электроскоп.

За каждую секунду через лампы протекает одинаковый ток. Он нагревает спирали настолько сильно, что они начинают светиться. При перемещении заряда по цепи на него действует сила электрического поля, проталкивающая частицы через спирали. Можно сказать, что на тело воздействует сила и им выполняется работа. Поэтому в лампе, которая светит ярче, электрическая сила (электроток) совершает большую работу по сравнению со вторым источником света.

Похожую ситуацию можно встретить и при рассмотрении течения жидкости. Электрический ток можно уподобить движению воды. При этом можно провести следующую аналогию:

• жидкость — заряды;
• трубы — проводники;
• насос — источник тока.

Пусть есть бак, с которого вода вытекает по трубе вертикально вниз и крутит турбину. Высота устройства H. Затем жидкость попадает в новый бак, к которому подсоединена другая турбина меньшего размера. Высота второй системы h. Циркуляцию воды обеспечивает установленный на пол насос. Работа, которая совершается для вращения турбин, разная. То есть одна и та же масса воды в зависимости от своего расположения затрачивает разную энергию. Отсюда по аналогии электрическое поле можно сравнить с высотой труб.

Получается, что в гидроустановке вначале работу совершает сила тяжести, а затем давления. В электрической же цепи электрополе и сторонняя сила в источнике тока

. Как показали опыты, отношение работы к величине заряда, который протекает во внешней цепи, не зависит от его количества. Таким образом, напряжение всегда задаётся между любыми двумя точками электрической цепи и является важной характеристикой.

Измерение и нахождение

Обозначается напряжение буквой U. Параметр равен отношению: U = A / q, где: A — работа поля, выполняемая для переноса q из одного места в другое, q — значение заряда. Из этой формулы можно получить размерность для измерения единицы напряжения. В физике принято работу считать в джоулях [Дж], а величину заряда в кулонах [Кл].

Следовательно, параметр измеряется отношением [Дж / Кл]. Но это настолько важная электрическая величина, что для неё выбрали не только своё обозначение, но и название единицы измерения — вольт. В международном обозначении используется символ V (volt). Один вольт представляет собой такое напряжение между точками электрической цепи, при котором для переноса заряда в один кулон полем совершается работа в один джоуль.

Раз существует физическая величина, значит, должно быть устройство, предназначенное для её измерения. Называется такой измеритель вольтметр. На схеме его обозначают с помощью круга и стоящего внутри него символа V. Следует отметить, что в зависимости от измеряемого значения могут быть использованы более точные устройства, микровольтметр или киловольтметр.

Измеритель всегда подключается параллельно измеряемым точкам. При этом положительная клемма присоединяется к плюсовой части схемы, а отрицательная к минусовой. При измерении вольтметр не оказывает влияние на электрические параметры. Связанно это с тем, что устройство обладает высоким внутренним омическим с сопротивлением и ток через него практически не протекает.

Следует отметить, что существует переменное напряжение и постоянное. Первое называют так из-за того, что оно постоянно изменяет знак с течением времени. Это связано с изменением направления движения носителей зарядов. Переменное напряжение, в отличие от постоянного, описывается функцией. Чаще всего используется синусоидальная. Формула для его расчёта выглядит так: u (t)= Um * sin (wt+f), где Um — максимальная амплитуда, wt — частота, f — угол между гармоническим сигналом напряжения и тока.

Прибор, используемый для наглядного наблюдения за формой сигнала, называют осциллограф. Им можно измерить напряжение в зависимости от модели до гигагерца. Устройство бывает аналоговым, цифровым и стробирующим. Осциллограф считается устройством для профессионалов и используется для радиоэлектронных приборов.

Решение задач

Выполнение расчётов помогает не только закрепить теоретический материал, но и научиться практическому применению знаний. Так, применение закона Ома позволяет правильно рассчитывать электрические схемы, подбирать нужные сопротивления. Вот несколько из типовых заданий, рассчитанных на учащихся седьмых классов:

1. Определить напряжение на обмотке электропускателя, если при прохождении через неё заряда электрическое поле выполняет работу в 10 джоулей. Напряжённость поля составляет 4 В, а действующая сила равняется 8 Н. Для того чтобы определить напряжение, нужно вычислить величину заряда. Сделать это можно из выражения: E = F / q. Отсюда q = F / E = 8 Н / 4 В = 2 Кл. Теперь можно использовать формулу: U = A / q. Все нужные данные известны, поэтому после подстановки значений и вычисления в ответе должно получиться: U = 10 Дж / 2 Кл = 5 В.
2. Вычислить максимальное напряжение, которое можно подать на электрическую лампу сопротивлением 500 Ом, если она горит в полный накал при токе 0,5 ампер. Согласно закону Ома, напряжение и ток связаны формулой: I = U / R. Из неё можно выразить напряжение: U = I * R = 0,5 A * 500 Ом = 250 В.
3. При переносе 240 Кл электричества из одной точки схемы в другую за 16 минут выполняется работа в 120 Дж. Найти напряжение и силу тока. Электроток можно вычислить из соотношения: I = q / t, а напряжение воспользовавшись формулой: U = A / q. Подставив исходные данные, можно будет получить: I = 240 Кл / 16 * 60 с = 0,25 А и U = 1200 Дж / 240 Кл = 5 В.
4. Какова будет сила тока, если при напряжении 4 В за одну секунду расходуется 0,8 Дж электроэнергии. Чтобы решить задачу, нужно вспомнить, как зависят электроток и напряжение от величины заряда. Записав отношения и подставив одно в другое, получится формула: I = A / U * t = 0,8 Дж * Кл / 4 В * с = 0,2 А = 200 мА.

Таким образом, для решения задач, связанных с электрическим напряжением, нужно запомнить несколько формул и понимать суть процесса. Но при этом важно знать размерности величин. Причём все вычисления принято выполнять в Международной системе единиц. А также следует знать, что скорость упорядоченного движения носителей заряда зависит от действия внешнего электрического поля. И находится как V = I / q * n *S, где n — концентрация (табличная величина), q — заряд, S — площадь поперечного сечения проводника.

Источник

Зависимость скорости электрона от напряженности электрического поля. Понятия эффективной массы и подвижности.

электрический ток в образце зависит не только от концентрации носителей заряда, но и от скорости с которой они переносятся под действием электрического поля. После того как мы научились рассчитывать концентрацию свободных носителей в твердом теле рассмотрим как ведут себя носители заряда в кристалле при наложении на него электрического поля.

Рассмотрение начнем с поведения единичного свободного заряда в нейтральной не взаимодействующей с зарядом среде (допустим в вакууме) при наличии электрического поля E, которое накладывается на среду в момент t=0. Электрическое поле приводит к возникновению силы электростатического взаимодействия F, под действием которой электрон начнет ускоряться.

, (1.25)

где q, m – заряд и масса электрона, v и a его скорость и ускорение. Таким образом в электрическом поле заряженная частица разгоняется с постоянным ускорением пропорциональным напряженности электрического поля и обратно пропорциональным ее массе. При этом энергия частицы будет изменяться со временем по квадратичному закону относительно импульса частиц или ее волнового вектора k (p= ћ k, где ћ = h/(2π), h – постоянная Планка).

(1.26)

Поскольку приобретаемая заряженной частицей энергия не зависит от направления электрического поля зависимость (1.5) симметрична относительно импульса и волнового вектора (это параболоид выпуклость которого определяется массой частицы).

Измерив зависимость энергии частицы от импульса (или волнового числа мы можем ) используя (1.5) определить эффективную массу. Действительно дважды продифференцировав (1.5) получим.

(1.27)

Предположим, что на частицу действует некоторая тормозящая сила F* о существовании которой мы не знаем. Тогда уравнение (1.4) можно переписать в следующем виде:

(1.28)

Соответственно, если для определения массы электрона (или любой другой заряженной частицы) в некоторой взаимодействующей с частицей среде воспользуемся формулой (1.6), то вместо массы электрона будет рассчитана некоторая другая величина, которую будем назвать эффективной массой электрона в данной среде.

(1.29)

Поскольку при движении электронов (или других заряженных частиц) в твердом теле внутренние поля неизвестны, то их характеристики используют понятие эффективной массы.

Рис. 1.18. Изменение скорости заряженной частицы в электрическом поле, при отсутствии взаимодействия со средой(1) и при торможении частицы средой.

На рис. 1.5 показано как будет со временем изменяться скорость свободной частицы в электрическом поле, в соответствии с (1.4) и (1.7 ). Эти формулы справедливы для случая, когда заряженная частица не испытывает столкновений и в соответствии с ними частицу можно разогнать электрическим полем до бесконечной энергии. Именно этот принцип был использован в первых линейных ускорителях элементарных частиц.

По мере разгона частицы возрастает ее импульс и соответствующее ему волновое число (величина, характеризующая величину волнового вектора). На рис. 1.6. показаны соответствующие зависимости изменения энергии частицы от величины волнового числа (импульса).

Рис. 1.19. Зависимости энергии свободных зарядов от величины их волнового числа (импульса).

Как видно из рис. 1.18. и рис. 1.19 набираемая в электрическом поле энергия частицы зависит от скорости частицы (волнового числа) и массы. Поскольку выпуклость кривой характеризуется ее второй производной можно сделать вывод, что чем меньше эффективная масса частицы, тем больше выпуклость, см. (1.27) и (1.29).

В кристалле энергия электрона (дырки) в разрешенной зоне не может превысить значение потолка разрешенной зоны, следовательно импульс и волновой вектор так же имеют ограничения, причем максимальное значение волнового числа должно быть кратно постоянной решетки. На рис. 1.20 показана рассчитанное изменение энергии электрона от величины волнового числа (значения) импульса для кубического кристалла.

Рис. 1.20. Зависимость энергии от волнового числа (импульса) в кристалле (a – постоянная решетки вдоль заданного направления)

Из рисунка видно, что в электронном представлении у потолка валентной зоны знак эффективной массы изменяется (должно происходить отражение частицы). Следует отметить, что у дна зоны проводимости энергия имеет параболическую зависимость от импульса (волнового числа):

(1.31)

Если вести отсчет от дна зоны проводимости E_c = 0, то зависимость энергии электрона от импульса (волнового вектора) будет такая же как для свободного электрона см. (1.26). Это дает нам основание рассматривать электроны в зоне проводимости, находящиеся вблизи дна зоны проводимости как свободные частицы (иногда говорят квазисвободные или квазичастицы), считая что они подчиняются тем же закономерностям, что и свободные частицы, но отличаются от них величиной эффективной массы, которую вблизи дна зоны можно считать постоянной (пока выполняется параболическое приближение).

Аналогичный подход справедлив и для дырки. Вводя дырку мы переходим от электронного представления к дырочному, т.е. мы принимаем, то масса дырки положительная, а заряд отрицательный и энергия ее отсчитывается от потолка валентной зоны к ее дну, тогда дырка будет вести себя так же как электрон у потолка валентной зоны. При этом энергия дырки у потолка валентной зоны так же изменяется по параболическому закону как и для электрона:

(1.32)

Таким образом дырку, находящуюся потолка валентной зоны так же можно рассматривать как свободную частицу.

В реальной жизни электрон в электрическом поле не может набирать энергию до бесконечности, рано или поздно он столкнется с другой частицей и отдаст ей накопленную энергию. Вероятность столкновений частиц в газах и твердых телах характеризуется временем или длиной их свободного пробега. Эти же величины характеризуют движение носителей заряда в твердом теле.

Схема, приведенная на рис. 1.21 показывает изменение скорости электрона в образце, к которому приложено напряжение и поясняет физический смысл подвижности. Электрон участвует в хаотическом тепловом движении, причем в различные моменты времени его скорость имеет случайное направление так что смещение его в любом направлении равновероятно. В электрическом поле электрон приобретает дополнительную скорость под действием поля, так что продолжая участвовать в тепловом движении он постепенно смещается под действием поля. Средняя скорость тем выше, чем больше длина свободного пробега и чем меньше эффективная масса частицы.

Рис. 1. 21. Диаграмма, поясняющая движение электрона в твердом теле

Поскольку электрон набирает энергию в поле за время свободного пробега и отдает ее при столкновении с решеткой или другими носителями заряда, то средняя скорость, которую приобретают носители в направлении поля, будем называть ее скоростью дрейфа зарядов v_др должна зависеть от средней длины свободного пробега τ.

(1.36)

Коэффициент пропорциональности между дрейфовой скоростью и напряженностью электрического поля обычно называют подвижностью носителей заряда и обозначают μ:

Как видно из (1.36) и (1.37) подвижность имеет размерность в системе СИ м 2 /(Вс) , широко так же используются значения подвижности с размерностью см 2 /(Вс).

Предположим, что ток через ток образце создается электронами концентрация которых n см -3 и средняя дрейфовая скорость v_др. Поскольку величина тока равна заряду, проходящему через сечение образца в единицу времени можем записать:

Для единичной площади из (1.35) получится уравнение для плотности тока:

Поскольку в дифференциальной форме закон Ома имеет вид:

где σ – электропроводность образца (Ом . м или Ом . см )

Сравнив (1.39) и (1.40) получим формулу для электропроводности:

Если электрический ток создается различными носителями (всего N типов) с концентрацией каждого типа n_i , то:

(1.42)

таким борзом мы видим, что проводимость материала определяется двумя основными параметрами: подвижностью носителей заряда и их концентрацией.

Величина подвижности пропорциональна длине свободного пробега, которая зависит от частоты столкновений носителей заряда с решеткой или атомами примеси. Поскольку при столкновениях носители отдают энергию, а затем вновь набирают, т.е. энергия носителя релаксирует, то принято говорить о механизмах ее релаксации. За время релаксации принимают среднее время в течение которого электрон полностью отдает свою энергию.

Существует множество механизмов рассеяния (релаксации ) энергии свободных носителей заряда. Однако, для полупроводников, наиболее существенные два: рассеяние на решетки и рассеяние на ионизованной примеси.

Для рассеяния на решетке справедливо :

T -3/2 и с ростом температуры подвижность носителей падает. Действительно длина свободного пробега носителей заряда тем меньше, чем сильнее колеблется решетка l

1/T , для скорости носителей справедливо v

1/T 3/2 . Таким образом рост, в случае если доминирует рассеяние на решетке (примесей мало), то с ростом температуры подвижность падает и следовательно падает проводимость ( как это имеет место в металлах).

При рассеянии на заряженной примеси μ_i

Таким образом, если в образце доминирует рассеяние на примесях, то с ростом температуры подвижность возрастает и соответственно возрастает проводимость.

Значения множителей μ_r0 и μ_i0 зависят от химического состава материала, наличия в нем дефектов и примесей, степени их ионизации (для разных образцов одного материала эти значения могут быть различными).

При одновременном действии нескольких механизмов рассеяния для расчета подвижности можно воспользоваться понятием эффективной подвижности носителей, которая будет определяться всеми, имеющими место механизмами рассеяния. Для случая, когда доминирует рассеяние на колебаниях решетки и ионизованной примеси для эффективной подвижности можно записать (считая, что акты рассеяния — независимые события):

(1.45)

На рис. 1.21 схематически показана зависимость эффективной подвижности от температуры в полупроводниковом материале с разной концентрацией примеси. Графики построены в соответствии с формулами (1.43) и (1.45). Кривая 1 соответствует образцу без примесей. Кривые 2, 3, 4 образцам с разным содержанием примеси (большему номеру соответствует большее содержание примеси). На этом же график приведены соответствующие кривые для чисто решеточного μ_r и примесного рассеяния: μ_r2 , μ_r3, μ_r4.

Характер изменения электропроводности полупроводников с температурой, в том случае, если не изменяется концентрация носителей заряда будет определяться температурной зависимостью подвижности и зависимости будут аналогичны показанным на рис. 2 (это может быть в примесной области температурной зависимости проводимости).

Рис. 1.21. Диаграмма, поясняющая температурную зависимость подвижности μ_ef, при рассеянии на решетке μ_r и ионизированной примеси μ_iK.

Дата добавления: 2018-06-01 ; просмотров: 925 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

1. Движение вдоль линий напряженности

Рассмотрим сначала случай, когда действующей на тело силой тяжести можно пренебречь по сравнению с силой, которая действует на тело со стороны электрического поля. Это всегда имеет место, когда речь идет о движении заряженных микрочастиц, например электронов. Напомним, кстати, что электрон имеет отрицательный заряд, а протон – положительный.

? 1. Объясните, почему при рассмотрении движения частицы в электрическом поле нельзя пренебрегать массой частицы даже в том случае, когда сила тяжести пренебрежимо мала по сравнению с силой, действующей на частицу со стороны электрического поля.

? 2. Заряженная частица движется в однородном электрическом поле. Что можно сказать о начальной скорости этой частицы, если траектория ее движения – прямолинейная?

Рассмотрим, как при таком движении изменяется кинетическая и потенциальная энергия частицы.

? 3. Электрон движется прямолинейно в однородном электрическом поле из точки с потенциалом 700 В в точку с потенциалом 200 В.
а) Совпадает ли направление начальной скорости электрона с направлением линий напряженности поля или эти направления противоположны?
б) Как изменилась полная энергия электрона?
в) Чему равно изменение потенциальной энергии электрона?
г) Чему равно изменение кинетической энергии электрона?
д) Какова минимальная начальная скорость электрона?

При движении в электрическом поле заряженная частица может изменить направление движения на противоположное.

? 4. Электрон влетает в однородное электрическое поле с начальной скоростью 8 * 10⁶ м/с. Потенциал поля в точке, в которую влетает электрон, равен 500 В. Направление начальной скорости электрона совпадает с направлением линий напряженности поля.
а) До точки с каким минимальным значением потенциала поля долетит электрон?
б) С какой по модулю скоростью электрон вернется в начальную точку?
в) Чему равна напряженность поля, если электрон вернулся в начальную точку через 9,1 * 10^-9 с?
г) Чему равен путь, пройденный электроном до его возвращения в начальную точку?

Сравним движение в одном и том же поле двух частиц с одинаковыми по модулю зарядами, но с различными массами.

? 5. Электрон и протон находятся на одной линии напряженности однородного электрического поля на расстоянии 1 см друг от друга. Они начинают двигаться из состояния покоя в противоположные стороны.
а) Чему равна напряженность поля, если через 10^-8 с расстояние между частицами стало равным 9,8 см?
б) На какое расстояние от своей начальной точки удалился к этому моменту протон?
в) Чему равны в этот момент скорости электрона и протона?

2. Движение заряженной частицы в конденсаторе

Если силой тяжести можно пренебречь по сравнению с силой, действующей на заряженную частицу со стороны электрического поля, то ее движение в поле конденсатора будет аналогично движению тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, только роль силы тяжести будет играть сила, действующая на заряженную частицу со стороны электрического поля.

? 6. По какой траектории будет двигаться заряженная частица в однородном электрическом поле, если ее начальная скорость направлена под углом к линиям напряженности поля?

При рассмотрении тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, мы использовали горизонтально направленную ось координат x и вертикально направленную ось y. В данном случае также удобно ввести оси координат x и y, как показано на рисунке 56.1.

Если начальная скорость частицы направлена горизонтально, направление оси y удобно выбрать так, чтобы проекция силы, действующей на эту частицу со стороны электрического поля конденсатора, была положительной. Начало координат совместим с начальным положением частицы.

? 7. Частица с зарядом q и массой m влетает в электрическое поле плоского конденсатора в точке, находящейся посередине между пластинами (рис. 56.1). Пластины конденсатора расположены горизонтально. Расстояние между пластинами равно d, длина пластин l, напряжение между пластинами U. Начальная скорость частицы равна по модулю v0 и направлена горизонтально.
а) Чему равны проекции ускорения частицы на оси координат при ее движении внутри конденсатора?
б) Как зависят от времени проекции скорости частицы?
в) Как зависят от времени координаты частицы?
г) Сколько времени частица будет лететь сквозь весь конденсатор, если не столкнется с его пластиной?
д) При каком соотношении между указанными выше параметрами частица пролетит сквозь весь конденсатор и вылетит из него?
е) Чему равен тангенс угла между скоростью частицы и горизонталью в тот момент, когда частица вылетает из конденсатора?
ж) Чему равен модуль скорости частицы, когда она вылетает из конденсатора?

? 8. Электрон влетает в конденсатор посередине между его пластинами со скоростью, направленной параллельно пластинам. Расстояние между пластинами равно 1 см, длина пластин 10 см. Начальная скорость электрона 5 * 10⁷ м/с.
а) Какова должна быть разность потенциалов между пластинами конденсатора, чтобы электрон не пролетел сквозь весь конденсатор?
б) На какую пластину в таком случае попадет электрон?
в) На каком расстоянии от положительной пластины будет находиться электрон в момент вылета из конденсатора, если напряжение между его пластинами равно 100 В?
г) Чему в этом случае будет равен тангенс угла между скоростью электрона и горизонталью в момент его вылета из конденсатора?
д) Как в этом случае изменится потенциальная энергия электрона за время его движения в конденсаторе?
е) На сколько процентов увеличится кинетическая энергия электрона за время движения в конденсаторе?

Рассмотрим случай, когда начальная скорость частицы направлена под углом к пластинам конденсатора.

Возможные типы траектории движения частицы схематически изображены на рисунке 56.2. Для определенности мы выбрали положительно заряженную частицу.

? 9. Каков знак заряда верхней пластины конденсатора, если положительно заряженная частица движется по одной из траекторий, изображенных красным пунктиром? синим пунктиром?

3. Движение заряженного тела в электрическом поле с учетом силы тяжести

Рассмотрим теперь случай, когда надо учитывать не только силу, действующую на тело со стороны электрического поля, но и силу тяжести.

? 10. Две большие пластины заряженного плоского конденсатора расположены вертикально (рис. 56.3). Разность потенциалов между пластинами равна U, а расстояние между ними равно d. Посередине между пластинами находится шарик с зарядом q и массой m. В начальный момент шарик покоится. Через некоторое время после того, как шарик отпустили, он столкнулся с одной из пластин конденсатора. Направим оси координат, как показано на рисунке.
56.3
а) Чему равна по модулю сила, действующая на шарик со стороны электрического поля?
б) Чему равна проекция ускорения шарика на ось х?
в) Через какой промежуток времени шарик столкнется с пластиной? Каков знак заряда этой пластины?
г) Насколько уменьшится высота шарика над землей к моменту столкновения по сравнению с его начальной высотой?
д) Какова форма траектории шарика?
е) Чему равно ускорение шарика во время движения?
ж) Чему равна скорость шарика в момент столкновения с пластиной?

Дополнительно вопросы и задания

11. Крупинка массой 10^-5 г влетает в электрическое поле горизонтально расположенного плоского конденсатора в точке, находящейся посередине между пластинами. Верхняя пластина конденсатора заряжена положительно. Начальная скорость крупинки направлена горизонтально. Длина пластин конденсатора 10 см, расстояние между пластинами 1 см, напряжение между пластинами 1 кВ. Начальная скорость пылинки 6 м/с. Заряд крупинки равен по модулю 3 * 10^-12 Кл.
а) Чему равно отношение модулей силы тяжести и силы, действующей на крупинку со стороны электрического поля? При каком знаке заряда крупинки эти силы направлены одинаково?
б) Чему равно и как направлено ускорение крупинки, если у нее избыток электронов? недостаток электронов?
в) При каком знаке заряда крупинки она пролетит конденсатор насквозь?

12. Заряженная частица влетает в однородное электрическое поле с начальной скоростью, перпендикулярной линиям напряженности поля. В момент вылета из поля направление ее скорости составляет угол 60º с направлением начальной скорости. Во сколько раз увеличилась кинетическая энергия частицы при движении в электрическом поле? Считайте, что силой тяжести можно пренебречь.

Электрическое поле. ЗАДАЧИ с решениями

Формулы, используемые на уроках по теме «Электрическое поле. ЗАДАЧИ» в 10-11 классах при подготовке к ЕГЭ.

---

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

---

Задача № 1.
 Электрон движется без начальной скорости вдоль силовой линии однородного электрического поля напряженностью Е = 2 • 10⁴ Н/Кл. Какой путь S он пролетит прежде, чем его скорость станет v = 100 км/с ? Среда — воздух. Модуль заряда электрона е = 1,6 • 10^–19 Кл, его масса m_e = 9,1 • 10^–31 кг.

---

Задача № 2.
 Пылинка с зарядом q = 1 нКл неподвижно висит в однородном электрическом поле напряженностью Е = 2 • 10⁴ Н/Кл, вектор напряженности которого направлен вверх (рис. 2-9). Найти массу пылинки т. Сколько избыточных электронов N содержит пылинка? 

---

Задача № 3.
 Заряженный шар диаметром D находится в равновесии в жидком диэлектрике плотностью р₁ с диэлектрической проницаемостью ε (рис. 2-10). Найти поверхностную плотность зарядов на шаре σ, если плотность вещества шара р₂. Напряженность электрического поля в диэлектрике Е, вектор напряженности направлен вверх. 

---

Задача № 4.
 На каком расстоянии г₂ от точечного заряда напряженность электрического поля этого заряда в жидком диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ε₂ = 81 (вода) такая же, как на расстоянии r₁ = 9 см от этого заряда в воздухе?

---

Задача № 5.
 Электрон влетает в однородное электрическое поле со скоростью v₀, направленной перпендикулярно вектору напряженности Е (рис. 2-11). Под каким углом φ к линиям вектора напряженности будет направлен вектор его скорости через время t полета в поле? Чему будет равна работа сил поля А за это время? Чему будет равна кинетическая энергия электрона W_к через время t ? Напряженность поля Е. Масса электрона т_е и его заряд е известны. 

---

Задача № 6.
 Тонкая металлическая пластинка массой m падает вертикально вниз равноускоренно так, что ее плоскость остается горизонтальной. Падению пластинки противодействует сила сопротивления среды F_соnp. Найти напряженность электрического поля Е, возникающего внутри пластинки вследствие инерции свободных электронов. Масса электрона m_e, его заряд е.

---

Задача № 7.
 К бесконечной, вертикальной, равномерно заряженной плоскости прикреплена одним кондом невесомая нить, на другом конце которой находится одноименно с нитью заряженный шарик радиусом R = 0,5 см, несущий заряд q = 1 • 10^–10 Кл. Плотность вещества шарика р = 2 • 10³ кг/м³. Натяжение нити F_н = 4,9 • 10^–2 Н. Какой угол а образует с плоскостью нить, на которой висит шарик (рис. 2-12)? Среда – воздух. Чему равна поверхностная плотность σ зарядов на плоскости? 

---

Задача № 8.
 Сфера радиусом R = 1 см равномерно заряжена. Поверхностная плотность зарядов на сфере σ = 10 нКл/см². Найти напряженность Е₁ электрического поля на расстоянии r₁ = 10 см от центра сферы (рис. 2-13). Построить график зависимости напряженности Е от расстояния r в пределах от r₀ = 0 до r₁ = 10 см. Среда — воздух. 

---

Задача № 9.
 Заряды q₁ = 20 нКл и q₂ = 10 нКл расположены на расстоянии r = 10 см друг от друга. Найти напряженность электрического поля Е₁, созданного этими зарядами в точке 1, расположенной на расстоянии r₁ = 4 см от заряда q₁ и напряженность Е₂ в точке 2, расположенной на расстоянии г₂ = 2 см от заряда q₂ (рис. 2-15). Среда — вакуум. 

---

Задача № 10.
 Два одноименных точечных заряда q и 4q расположены на расстоянии r друг от друга. На каком расстоянии r₁ от заряда q находится точка М, в которой напряженность поля этих зарядов Е = 0? На каком расстоянии r₂ от заряда q находится такая точка, если эти заряды разноименные?

---

Задача № 11.
 На расстоянии г = 3 см от поверхности шара радиусом R = 2 см находится точечный отрицательный заряд q = –2 нКл. Шар заряжен положительно с поверхностной плотностью зарядов σ = 2 нКл/м². Найти напряженность поля Е, созданного заряженным шаром и точечным зарядом, в точке, расположенной на расстоянии r₁ = 4 см от центра шара, и г₂ = 3 см от заряда q. Среда — воздух.

---

Задача № 12.
 В вершинах равностороннего треугольника со стороной а находятся заряды q, –q и q. Найти напряженность поля Е, созданного этими зарядами в центре треугольника. Среда — воздух.

(с) В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия «Новый репетитор по физике для подготовки к ЕГЭ : задачи и методы их решения / И.Л. Касаткина; под ред. Т.В. Шкиль. — Ростов н /Д : Феникс».

---

Это конспект по теме «Электрическое поле. ЗАДАЧИ с решениями». Выберите дальнейшие действия:

• Вернуться к списку конспектов по Физике.
• Проверить свои знания по Физике.

Постоянный электрический ток

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: постоянный электрический ток, сила тока, напряжение.

Электрический ток обеспечивает комфортом жизнь современного человека. Технологические достижения цивилизации — энергетика, транспорт, радио, телевидение, компьютеры, мобильная связь — основаны на использовании электрического тока.

Электрический ток — это направленное движение заряженных частиц, при котором происходит перенос заряда из одних областей пространства в другие.

Электрический ток может возникать в самых различных средах: твёрдых телах, жидкостях, газах. Порой и среды никакой не нужно — ток может существовать даже в вакууме! Мы поговорим об этом в своё время, а пока приведём лишь некоторые примеры.

• Замкнём полюса батарейки металлическим проводом. Свободные электроны провода начнут направленное движение от «минуса» батарейки к «плюсу».
Это — пример тока в металлах.

• Бросим в стакан воды щепотку поваренной соли . Молекулы соли диссоциируют на ионы, так что в растворе появятся свободные заряды: положительные ионы и отрицательные ионы . Теперь засунем в воду два электрода, соединённые с полюсами батарейки. Ионы начнут направленное движение к отрицательному электроду, а ионы — к положительному.
Это — пример прохождения тока через раствор электролита.

• Грозовые тучи создают столь мощные электрические поля, что оказывается возможным пробой воздушного промежутка длиной в несколько километров. В результате сквозь воздух проходит гигантский разряд — молния.
Это — пример электрического тока в газе.

Во всех трёх рассмотренных примерах электрический ток обусловлен движением заряженных частиц внутри тела и называется током проводимости.

• Вот несколько иной пример. Будем перемещать в пространстве заряженное тело. Такая ситуация согласуется с определением тока! Направленное движение зарядов — есть, перенос заряда в пространстве — присутствует. Ток, созданный движением макроскопического заряженного тела, называется конвекционным.

Заметим, что не всякое движение заряженных частиц образует ток. Например, хаотическое тепловое движение зарядов проводника — не направленное (оно совершается в каких угодно направлениях), и потому током не является (при возникновении тока свободные заряды продолжают совершать тепловое движение! Просто в этом случае к хаотическим перемещениям заряженных частиц добавляется их упорядоченный дрейф в определённом
направлении).
Не будет током и поступательное движение электрически нейтрального тела: хотя заряженные частицы в его атомах и совершают направленное движение, не происходит переноса заряда из одних участков пространства в другие.

к оглавлению ▴

Направление электрического тока

Направление движения заряженных частиц, образующих ток, зависит от знака их заряда. Положительно заряженные частицы будут двигаться от «плюса» к «минусу», а отрицательно заряженные — наоборот, от «минуса» к «плюсу». В электролитах и газах, например, присутствуют как положительные, так и отрицательные свободные заряды, и ток создаётся их встречным движением в обоих направлениях. Какое же из этих направлений принять за направление электрического тока?

Направлением тока принято считать направление движения положительных зарядов.

Попросту говоря, по соглашению ток течёт от «плюса» к «минусу» (рис. 1; положительная клемма источника тока изображена длинной чертой, отрицательная клемма — короткой).

Рис. 1. Направление тока

Данное соглашение вступает в некоторое противоречие с наиболее распространённым случаем металлических проводников. В металле носителями заряда являются свободные электроны, и двигаются они от «минуса» к «плюсу». Но в соответствии с соглашением мы вынуждены считать, что направление тока в металлическом проводнике противоположно движению свободных электронов. Это, конечно, не очень удобно.

Тут, однако, ничего не поделаешь — придётся принять эту ситуацию как данность. Так уж исторически сложилось. Выбор направления тока был предложен Ампером (договорённость о направлении тока понадобилась Амперу для того, чтобы дать чёткое правило определения направления силы, действующей на проводник с током в магнитном поле. Сегодня эту силу мы называем силой Ампера, направление которой определяется по правилу левой руки) в первой половине XIX века, за 70 лет до открытия электрона. К этому выбору все привыкли, и когда в 1916 году выяснилось, что ток в металлах вызван движением свободных электронов, ничего менять уже не стали.

к оглавлению ▴

Действия электрического тока

Как мы можем определить, протекает электрический ток или нет? О возникновении электрического тока можно судить по следующим его проявлениям.

1. Тепловое действие тока. Электрический ток вызывает нагревание вещества, в котором он протекает. Именно так нагреваются спирали нагревательных приборов и ламп накаливания. Именно поэтому мы видим молнию. В основе действия тепловых амперметров лежит тепловое расширение проводника с током, приводящее к перемещению стрелки прибора.

2. Магнитное действие тока. Электрический ток создаёт магнитное поле: стрелка компаса, расположенная рядом с проводом, при включении тока поворачивается перпендикулярно проводу. Магнитное поле тока можно многократно усилить, если обмотать провод вокруг железного стержня — получится электромагнит. На этом принципе основано действие амперметров магнитоэлектрической системы: электромагнит поворачивается в поле постоянного магнита, в результате чего стрелка прибора перемещается по шкале.

3. Химическое действие тока. При прохождении тока через электролиты можно наблюдать изменение химического состава вещества. Так, в растворе положительные ионы двигаются к отрицательному электроду, и этот электрод покрывается медью.

Электрический ток называется постоянным, если за равные промежутки времени через поперечное сечение проводника проходит одинаковый заряд.

Постоянный ток наиболее прост для изучения. С него мы и начинаем.

к оглавлению ▴

Сила и плотность тока

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. В случае постоянного тока абсолютная величина силы тока есть отношение абсолютной величины заряда , прошедшего через поперечное сечение проводника за время , к этому самому времени:

(1)

Измеряется сила тока в амперах (A). При силе тока в А через поперечное сечение проводника за с проходит заряд в Кл.

Подчеркнём, что формула (1) определяет абсолютную величину, или модуль силы тока.
Сила тока может иметь ещё и знак! Этот знак не связан со знаком зарядов, образующих ток, и выбирается из иных соображений. А именно, в ряде ситуаций (например, если заранее не ясно, куда потечёт ток) удобно зафиксировать некоторое направление обхода цепи (скажем, против часовой стрелки) и считать силу тока положительной, если направление тока совпадает с направлением обхода, и отрицательной, если ток течёт против направления обхода (сравните с тригонометрическим кругом: углы считаются положительными, если отсчитываются против часовой стрелки, и отрицательными, если по часовой стрелке).

В случае постоянного тока сила тока есть величина постоянная. Она показывает, какой заряд проходит через поперечное сечение проводника за с.

Часто бывает удобно не связываться с площадью поперечного сечения и ввести величину плотности тока:

(2)

где — сила тока, — площадь поперечного сечения проводника (разумеется, это сечение перпендикулярно направлению тока). С учётом формулы (1) имеем также:

Плотность тока показывает, какой заряд проходит за единицу времени через единицу площади поперечного сечения проводника. Согласно формуле (2), плотность тока измеряется в А/м2.

к оглавлению ▴

Скорость направленного движения зарядов

Когда мы включаем в комнате свет, нам кажется, что лампочка загорается мгновенно. Скорость распространения тока по проводам очень велика: она близка к км/с (скорости света в вакууме). Если бы лампочка находилась на Луне, она зажглась бы через секунду с небольшим.

Однако не следует думать, что с такой грандиозной скоростью двигаются свободные заряды, образующие ток. Оказывается, их скорость составляет всего-навсего доли миллиметра в секунду.

Почему же ток распространяется по проводам так быстро? Дело в том, что свободные заряды взаимодействуют друг с другом и, находясь под действием электрического поля источника тока, при замыкании цепи приходят в движение почти одновременно вдоль всего проводника. Скорость распространения тока есть скорость передачи электрического взаимодействия между свободными зарядами, и она близка к скорости света в вакууме. Скорость же, с которой сами заряды перемещаются внутри проводника, может быть на много порядков меньше.

Итак, подчеркнём ещё раз, что мы различаем две скорости.

1. Скорость распространения тока. Это — скорость передачи электрического сигнала по цепи. Близка к км/с.

2. Скорость направленного движения свободных зарядов. Это — средняя скорость перемещения зарядов, образующих ток. Называется ещё скоростью дрейфа.

Мы сейчас выведем формулу, выражающую силу тока через скорость направленного движения зарядов проводника.

Пусть проводник имеет площадь поперечного сечения (рис. 2). Свободные заряды проводника будем считать положительными; величину свободного заряда обозначим (в наиболее важном для практики случая металлического проводника это есть заряд электрона). Концентрация свободных зарядов (т. е. их число в единице объёма) равна .

Рис. 2. К выводу формулы

Какой заряд пройдёт через поперечное сечение нашего проводника за время ?

С одной стороны, разумеется,

(3)

С другой стороны, сечение пересекут все те свободные заряды, которые спустя время окажутся внутри цилиндра с высотой . Их число равно:

Следовательно, их общий заряд будет равен:

(4)

Приравнивая правые части формул (3) и (4) и сокращая на , получим:

(5)

Соответственно, плотность тока оказывается равна:

Давайте в качестве примера посчитаем, какова скорость движения свободных электронов в медном проводе при силе тока A.

Заряд электрона известен: Кл.

Чему равна концентрация свободных электронов? Она совпадает с концентрацией атомов меди, поскольку от каждого атома отщепляется по одному валентному электрону. Ну а концентрацию атомов мы находить умеем:

м

Положим мм . Из формулы (5) получим:

м/с.

Это порядка одной десятой миллиметра в секунду.

к оглавлению ▴

Стационарное электрическое поле

Мы всё время говорим о направленном движении зарядов, но ещё не касались вопроса о том, почему свободные заряды совершают такое движение. Почему, собственно, возникает электрический ток?

Для упорядоченного перемещения зарядов внутри проводника необходима сила, действующая на заряды в определённом направлении. Откуда берётся эта сила? Со стороны электрического поля!

Чтобы в проводнике протекал постоянный ток, внутри проводника должно существовать стационарное (то есть — постоянное, не зависящее от времени) электрическое поле. Иными словами, между концами проводника нужно поддерживать постоянную разность потенциалов.

Стационарное электрическое поле должно создаваться зарядами проводников, входящих в электрическую цепь. Однако заряженные проводники сами по себе не смогут обеспечить протекание постоянного тока.

Рассмотрим, к примеру, два проводящих шара, заряженных разноимённо. Соединим их проводом. Между концами провода возникнет разность потенциалов, а внутри провода — электрическое поле. По проводу потечёт ток. Но по мере прохождения тока разность потенциалов между шарами будет уменьшаться, вслед за ней станет убывать и напряжённость поля в проводе. В конце концов потенциалы шаров станут равны друг другу, поле в проводе обратится в нуль, и ток исчезнет. Мы оказались в электростатике: шары плюс провод образуют единый проводник, в каждой точке которого потенциал принимает одно и то же значение; напряжённость
поля внутри проводника равна нулю, никакого тока нет.

То, что электростатическое поле само по себе не годится на роль стационарного поля, создающего ток, ясно и из более общих соображений. Ведь электростатическое поле потенциально, его работа при перемещении заряда по замкнутому пути равна нулю. Следовательно, оно не может вызывать циркулирование зарядов по замкнутой электрической цепи — для этого требуется совершать ненулевую работу.

Кто же будет совершать эту ненулевую работу? Кто будет поддерживать в цепи разность потенциалов и обеспечивать стационарное электрическое поле, создающее ток в проводниках?

Ответ — источник тока, важнейший элемент электрической цепи.

Чтобы в проводнике протекал постоянный ток, концы проводника должны быть присоединены к клеммам источника тока (батарейки, аккумулятора и т. д.).

Клеммы источника — это заряженные проводники. Если цепь замкнута, то заряды с клемм перемещаются по цепи — как в рассмотренном выше примере с шарами. Но теперь разность потенциалов между клеммами не уменьшается: источник тока непрерывно восполняет заряды на клеммах, поддерживая разность потенциалов между концами цепи на неизменном уровне.

В этом и состоит предназначение источника постоянного тока. Внутри него протекают процессы неэлектрического (чаще всего — химического) происхождения, которые обеспечивают непрерывное разделение зарядов. Эти заряды поставляются на клеммы источника в необходимом количестве.

Количественную характеристику неэлектрических процессов разделения зарядов внутри источника — так называемую ЭДС — мы изучим позже, в соответствующем листке.

А сейчас вернёмся к стационарному электрическому полю. Каким же образом оно возникает в проводниках цепи при наличии источника тока?

Заряженные клеммы источника создают на концах проводника электрическое поле. Свободные заряды проводника, находящиеся вблизи клемм, приходят в движение и действуют своим электрическим полем на соседние заряды. Со скоростью, близкой к скорости света, это взаимодействие передаётся вдоль всей цепи, и в цепи устанавливается постоянный электрический ток. Стабилизируется и электрическое поле, создаваемое движущимися зарядами.

Стационарное электрическое поле — это поле свободных зарядов проводника, совершающих направленное движение.

Стационарное электрическое поле не меняется со временем потому, что при постоянном токе не меняется картина распределения зарядов в проводнике: на место заряда, покинувшего данный участок проводника, в следующий момент времени поступает точно такой же заряд. По этой причине стационарное поле во многом (но не во всём) аналогично полю электростатическому.

А именно, справедливы следующие два утверждения, которые понадобятся нам в дальнейшем (их доказательство даётся в вузовском курсе физики).

1. Как и электростатическое поле, стационарное электрическое поле потенциально. Это позволяет говорить о разности потенциалов (т. е. напряжении) на любом участке цепи (именно эту разность потенциалов мы измеряем вольтметром).
Потенциальность, напомним, означает, что работа стационарного поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории. Именно поэтому при параллельном соединении проводников напряжение на каждом из них одинаково: оно равно разности потенциалов стационарного поля между теми двумя точками, к которым подключены проводники.
2. В отличие от электростатического поля, стационарное поле движущихся зарядов проникает внутрь проводника (дело в том, что свободные заряды, участвуя в направленном движении, не успевают должным образом перестраиваться и принимать «электростатические» конфигурации).
Линии напряжённости стационарного поля внутри проводника параллельны его поверхности, как бы ни изгибался проводник. Поэтому, как и в однородном электростатическом поле, справедлива формула , где — напряжение на концах проводника, — напряжённость стационарного поля в проводнике, — длина проводника.

Содержание книги

Предыдующая страница

§16. Превращение энергии в электрических и магнитных явлениях

16.11 Перенос энергии в электромагнитном поле.

Мы рассмотрели ряд примеров превращения различных форм энергии в электрических и магнитных явлениях и показали, что собственная энергия поля играет существенную роль в этих процессах. Если электрические и магнитные поля изменяются со временем, то неизбежно должна происходить передача энергии посредством самого электромагнитного поля. Иными словами, мы должны предположить, что электромагнитное поле не только обладает энергией, но и способно ее переносить и передавать другим телам, в которых она может преобразовываться в другие формы — тепловую, механическую и т.д. Для подтверждения этой гипотезы необходимо выразить количество передаваемой энергии через характеристики полей (напряженность электрического поля и индукцию магнитного поля). В данном разделе мы рассмотрим серию примеров такого описания переноса энергии.

16.11.1 Возрастание энергии магнитного поля.

Рассмотрим механизм передачи энергии изменяющемуся магнитному полю. Для этого в очередной раз возьмем длинный соленоид радиуса r и длиной l, подключенный к источнику ЭДС (Рис. 171). Внутри соленоида магнитное поле является однородным и его индукция равна

(~B = mu_0 n I) , (1)

где I — сила тока в обмотке соленоида, n — плотность ее намотки. При изменении силы тока будет изменяться индукция магнитного поля и, следовательно, его энергия. Энергию поля W представим как произведение плотности энергии (~w = frac{B^2}{2 mu_0}) на объем соленоида

(~W = wV = frac{B^2}{2 mu_0} pi r^2 l) . (2)

Теперь изменение энергии поля можно выразить через изменение индукции поля

(~Delta W = pi r^2 l frac{1}{2 mu_0} Delta (B^2) = pi r^2 l frac{1}{mu_0} B Delta B) , (3)

где использована формула (Delta (B^2) = 2 B Delta B).

Теперь попытаемся выразить это изменение энергии через характеристики полей, существующих внутри соленоида. Вспомним, что при изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле (явление электромагнитной индукции). Для определенности направления векторов напряженности электрического поля на рисунках соответствуют возрастанию индукции магнитного поля. Согласно закону Фарадея циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому контуру равна скорости изменения магнитного потока через этот контур:

(~Gamma_E = -frac{Delta Phi_B}{Delta t}) . (4)

Так как магнитное поле является однородным и осесимметричным, то силовые линии электрического поля являются окружностями с центрами на оси соленоида. Поэтому в качестве контура, к которому применим уравнение (4), возьмем окружность радиуса r, непосредственно примыкающую к внутренней поверхности соленоида. На этой окружности вектор напряженности электрического поля (~vec E) постоянен по модулю и направлен по касательной (Рис. 172), поэтому его циркуляция равна произведению модуля вектора на длину этой окружности (Gamma_E = 2 pi r E) . Вектор индукции магнитного поля (~vec B) постоянен и направлен перпендикулярно плоскости выбранного контура, поэтому магнитный поток равен произведению модуля вектора на площадь круга, ограниченного выбранной окружностью, (Phi_B = pi r^2 B). Таким образом, уравнение (4) позволяет связать напряженность электрического поля и скорость изменения магнитной индукции

(~2 pi r E = -pi r^2 frac{Delta B}{Delta t}) . (5)

Знак минус в этом уравнении говорит, что обход контуру по направлению вектора (~vec E) осуществляется по часовой стрелке^[1], так нас интересуют модули векторов (их направления мы изобразили на рисунках), то этот знак минус опустим.

Напряженность электрического поля пропорциональна скорости изменения магнитной индукции. Если считать, что сила тока и индукция магнитного поля изменяются не слишком быстро, то изменением напряженности электрического поля можно пренебречь, то есть считать его постоянным. Это замечание является строгим, если сила тока в соленоиде возрастает по линейному закону.

Из уравнения (5) выразим

(~pi r^2 Delta B = 2 pi r E Delta t)

и подставим в формулу (3) для изменения энергии поля

(~Delta W = pi r^2 l frac{1}{mu_0} B Delta B = frac{EB}{mu_0} cdot 2 pi r l cdot Delta t) . (6)

Теперь изменение энергии магнитного поля внутри объема соленоида оказалось выраженным через характеристики полей в точках, находящихся непосредственно на границе рассматриваемой области. Обратим внимание, что на этой границе (внутренней поверхности соленоида) векторы (~vec E) и (~vec B) (Рис. 173) взаимно перпендикулярны и направлены касательно к этой поверхности.

Введем вектор (пока как математическое обозначение^[2])

(~vec S = frac{vec E times vec B}{mu_0}) , (7)

пропорциональный векторному произведению векторов (~vec E) и (~vec B). Во всех точках внутренней поверхности соленоида этот вектор направлен по нормали и внутрь рассматриваемого объема (Рис. 173). В формуле (6) явным образом присутствует модуль этого вектора; далее, величина (s_{bok} = 2 pi r l) равна площади внутренней поверхности, поэтому изменение энергии магнитного поля в (6) представлено через поток введенного вектора (~vec S) через поверхность, рассматриваемый объем поля ограничивающую

(~Delta W = frac{EB}{mu_0} cdot 2 pi r l cdot Delta t = S cdot s_{bok} cdot Delta t) . (8)

На основаниях цилиндра, ограничивающего выделенный объем, вектор (~vec S) не имеет нормальной составляющей, поэтому здесь его поток равен нулю.

Теперь вектор (~vec S) приобретает наглядный физический смысл: его модуль равен количеству энергии, перетекающей через площадку единичной площади, перпендикулярную этому вектору, в единицу времени, а его направление указывает направление переноса энергии электромагнитного поля

(~S = frac{Delta W}{Delta s Delta t}) .

Этот вектор получил название вектор Пойтинга, в честь английского ученого А. Пойтинга, который и ввел его в науку. Также этот вектор называют вектором плотности потока энергии.

Теперь наша идея о переносе энергии поля сами полем получила математическое воплощение: скорость изменения энергии магнитного поля в некотором объеме равно потоку^[3] вектора Пойтинга через поверхность, ограничивающую этот объем. В данном случае положительным считается поток направленный внутрь поверхности.

При уменьшении тока в соленоиде направление вектора (~vec B) не изменяется, а направление вектора (~vec E) изменяется на противоположное. Поэтому направление вектора плотности потока энергии (~vec S) также изменяется на противоположное – теперь он будет направлен наружу от рассматриваемого объема. Такое изменение логично – энергия поля уменьшается, поэтому она «вытекает» из выделенного объема.

16.11.2 Возрастание энергии электрического поля.

Рассмотрим теперь механизм передачи энергии изменяющемуся электрическому полю.

Для этого возьмем плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами радиуса r, находящимися на малом расстоянии h друг от друга (Рис. 174). Электрическое поле между пластинами можно считать однородным, вектор его напряженности (~vec E) перпендикулярен пластинам, его модуль равен

(~E = frac{sigma}{varepsilon_0}) , (1)

где σ — поверхностная плотность заряда на пластинах. Полная энергия электрического поля в конденсаторе равна произведению плотности энергии (~w = frac{varepsilon_0 E^2}{2}) на объем конденсатора (V = pi r^2 h):

(~W = wV = pi r^2 h frac{varepsilon_0 E^2}{2}) . (2)

При изменении зарядов на платинах (опять для определенности будем считать, что заряды возрастают) напряженность электрического поля и его энергия изменяются. Изменение этой энергии описывается формулой

(~Delta W = pi r^2 h frac{varepsilon_0}{2} Delta (E^2) = pi r^2 h varepsilon_0 E Delta E) . (3)

Выразим это изменение через характеристики полей на границе выделенного объема (в данном случае на цилиндрической боковой поверхности, ограничивающей внутренне пространство между обкладками).

При изменении со временем электрического поля возникает поле магнитное (это явление мы назвали токами смещения). Для определения его индукции воспользуемся уравнением Максвелла: циркуляция вектора магнитной индукции по любому контуру пропорциональна скорости изменения потока вектора напряженности электрического поля через этот контур (при отсутствии токов, пересекающих контур):

(~Gamma_B = mu_0 varepsilon_0 frac{Delta Phi_E}{Delta t}) . (4)

Ранее мы описывали структуру магнитного поля в рассматриваемой системе и показали, что его силовые линии являются окружностями с центрами на оси конденсатора^[4]. Поэтому в качестве контура выберем окружность радиуса r с центром на оси конденсатора. На этой окружности вектор индукции (~vec B) постоянен по модулю и направлен по касательной, поэтому его циркуляция рана произведению модуля вектора на длину окружности. Вектор напряженности (~vec E) постоянен, поэтому его поток через выделенный контур равен произведению модуля на площадь круга, ограниченного выбранным контуром. Таким образом, для этого контура теорема (4) приводит к уравнению

(~2 pi r B = mu_0 varepsilon_0 pi r^2 frac{Delta E}{Delta t}) ,

из которого выразим

(~pi r^2 Delta E = frac{2 pi r B}{mu_0 varepsilon_0} Delta t)

и подставим в формулу (3)

(~Delta W = pi r^2 h varepsilon_0 E Delta E = 2 pi rh frac{EB}{mu_0} Delta t) . (5)

Здесь также изменение энергии электрического поля представляется в виде потока вектора Пойтинга

(~vec S = frac{vec E times vec B}{mu_0}) .

Действительно, на рассматриваемой поверхности векторы (~vec B) и (~vec E) перпендикулярны друг другу и направлены касательно к поверхности, поэтому вектор (~vec S) перпендикулярен поверхности и направлен внутрь рассматриваемого объема (см. Рис. 174). Поэтому произведение его модуля (~S = frac{EB}{mu_0}) на площадь боковой поверхности (s_{bok} = 2 pi r l) есть поток этого вектора, поэтому выражение (5) можно представить в виде

(~Delta W = 2 pi rh frac{EB}{mu_0} Delta t = s_{bok} S Delta t) . (6)

Отмечаем, что у поверхности пластин конденсатора вектор (~vec S) направлен вдоль пластин, поэтому здесь его поток равен нулю. Итак, мы приходим к заключению: скорость изменение энергии электрического поля в некотором объеме равно потоку вектора Пойтинга через поверхность, ограничивающую данный объем. Как и ранее положительным считаем поток направленный внутрь поверхности.

Вдумайтесь еще раз в сделанный вывод и посмотрите на рисунок: мы показали, что энергия внутрь конденсатора проникает в «щелки» между пластинами из окружающего пространства, а не «стекает» с пластин (как в соленоиде, где вектор плотности потока направлен от обмотки). Значит, она должна каким-то образом обогнуть края пластин, но ее точный путь описать также сложно, как и краевые эффекты.

Легко показать, что при уменьшении заряда на пластинах, энергия «вытекает» из конденсатора, так как в этом случае вектор Пойтинга направлен наружу из конденсатора.

16.11.3 Перенос энергии при выделении теплоты.

Протекание электрического тока по проводнику сопровождается выделением теплоты. Покажем, что и в этом случае энергия поступает к нагревающемуся проводнику через электромагнитное поле. Пусть электрический ток силой I протекает по однородному цилиндрическому проводнику радиуса r и длины l (Рис. 175). За промежуток времени Δt в проводнике выделяется количество теплоты, определяемое законом Джоуля-Ленца

(~delta Q = I^2 R Delta t) , (1)

где R — электрического сопротивление проводника. Выразим эту величину через характеристики электромагнитного поля в проводнике.

Точнее мы будем рассматривать поля в точках находящихся под боковой поверхностью проводника, примыкающих к ней изнутри проводника. Дело в том, что непосредственно на поверхности проводника распределяются поверхностные заряды, создающие поле внутри проводника. Поэтому внутри проводника электрическое поле существует и заставляет двигаться заряженные частицы, а вне проводника электрическое поле отсутствует, так сам проводник остается электрически нейтральным. Магнитное поле существует как внутри так вне проводника с током.

Электрическое поле внутри проводника является однородным, вектор его напряженности (~vec E) направлен вдоль оси проводника, а его модуль может быть определен из закона Ома для участка цепи:

(~E = frac{Delta varphi}{l} = frac{IR}{l}) , (2)

где Δϕ — разность потенциалов между концами проводника (приложенное электрическое напряжение). Электрический ток создает магнитное поле, силовые линии которого образуют концентрические окружности с центрами на оси проводника. Индукция этого поля непосредственно у поверхности определяется по формуле

(~B = frac{mu_0 I}{2 pi r}) . (3)

Выражая значения силы тока через напряженность электрического поля из формулы (2) (IR = El) и индукцию магнитного поля из формулы (3) (~I = frac{2 pi r B}{mu_0}) , преобразуем выражение (1) к виду

(~delta Q = I^2 R Delta t = I R cdot I cdot Delta t = El frac{2 pi r B}{mu_0} Delta t = 2 pi r l frac{EB}{mu_0} Delta t = s_{bok} S Delta t) . (4)

Таким образом, мощность выделяющейся теплоты равно потоку вектора Пойтинга

(~vec S = frac{vec E times vec B}{mu_0})

через боковую поверхность проводника, площадь которой равна (s_{bok} = 2 pi r l).

Обратите внимание, что и в этом случае векторы (~vec E) и (~vec B) перпендикулярны друг другу и направлены по касательным к боковой поверхности, поэтому вектор (~vec S) перпендикулярен поверхности и направлен внутрь проводника. Таким образом, заключаем: количество теплоты, выделяющейся в некотором объеме, в единицу времени равно потоку вектора Пойтинга через поверхность, ограничивающую данный объем.

При изменении направления тока изменяться на противоположные направления векторов (~vec E) и (~vec B), а направление вектора потока энергии (~vec S) останется неизменным. Очевидно, что количество выделяющейся теплоты не зависит от направления тока, и при любом направлении тока энергия должна «втекать» в проводник, вследствие чего и направление потока энергии не зависит от направления тока.

Опять мы пришли к неожиданному выводу: энергия втекает в проводник из окружающего пространства через боковую поверхность. То есть энергия электрического тока передается не по проводам, в проводах она только теряется. Так при отсутствии электрического сопротивления отсутствует электрическое поле, поэтому отсутствует поток энергии направленный внутрь проводника.

Зачем же тогда они нужны эти провода? Оказывается, их роль заключается в создании электромагнитного поля нужной конфигурации, такой, чтобы поле в окружающем проводник пространстве могло передавать энергию потребителю.

16.11.4 Перенос энергии при совершении механической работы.

На неподвижную заряженную частицу, находящуюся в стационарном электрическом поле действует некоторая сила (~vec F). Если частица неподвижна, то эта сила работы не совершает, поэтому никакой передачи энергии ей не требуется (Рис. 176а). Если же частицу освободить, то под действием силы (~vec F) она придет в движение, ее скорость начнет возрастать, поэтому будет расти и ее кинетическая энергия. В этом случае частица должна получать энергию извне. Движущаяся заряженная частица будет создавать магнитное поле (Рис. 176б). Совокупность взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей может переносить энергию и передавать ее частице. Таким образом, возникающее при движении частицы магнитное поле создает механизм передачи энергии от поля к частице, превращения энергии поля в кинетическую энергию движущейся частицы.

Для количественного подтверждения этих качественных рассуждений, рассмотрим процесс передачи энергии в установке (Рис. 177), в которой легко найти значения действующих полей.

Между двумя параллельными пластинами создано однородное стационарное электрическое поле, напряженности (~vec E). Одна из пластин испускает с начальной скоростью υ₀ заряженные частицы, каждая из которых имеет массу m и несет электрический заряд q.

Рассматриваемое устройство является аналогом электровакуумных приборов, в которых разогретый катод испускает электроны, ускоряемые затем электрическим полем.

Изменение кинетической энергии одной частицы при ее пролете между пластинами равно работе электрического поля

(~Delta E_0 = frac{m(upsilon^2_1 — upsilon^2_0)}{2} = qEl) . (1)

Мысленно выделим в потоке частиц узкий цилиндр радиуса r, ось которого перпендикулярна пластинам и параллельна направлению вектора напряженности (~vec E). Пусть за время Δt с площадки, на которую опирается выбранный цилиндр, испускается δN частиц. За этот же промежуток времени столько же частиц проходят через любое поперечное сечение рассматриваемого цилиндра, столько же частиц достигают второй пластины. Следовательно, изменение кинетической энергии всех частиц за промежуток времени Δt равно

(~Delta E_k = delta N Delta E_0 = delta N qEl) . (2)

Найдем зависимость между числом испущенных частиц и индукцией создаваемого ими магнитного поля. Движущиеся заряженные частицы образуют электрический ток. За время Δt через любое поперечное сечение цилиндра проходит δN частиц, которые переносят электрический заряд (Delta q = q Delta N), поэтому сила электрического тока, протекающего по выделенной трубке, равна

(~I = q frac{delta N}{Delta t}) . (3)

В данном устройстве сила тока не зависит от напряженности электрического поля, а полностью определяется интенсивностью испускания – при любой напряженности все испущенные частицы достигают противоположной пластины: число испущенных в единицу времени частиц, равно числу частиц попавших на противоположную пластину. Кроме того, частицы движутся с ускорением, их скорость υ постоянно растет, но сила электрического тока по длине трубки не изменяется – с ростом скорости уменьшается их концентрация n, а произведение nυ, которое определяет силу тока, остается постоянным.

Индукция магнитного поля на границе рассматриваемого цилиндра равна

(~B = frac{mu_0 I}{2 pi r} = frac{mu_0}{2 pi r} q frac{delta N}{Delta t}) . (4)

Из этой формулы выразим значение (~q delta N = frac{B}{mu_0} 2 pi r Delta t) и подставим его в выражение (2), в результате чего получим формулу для изменения кинетическое энергии потока частиц, выраженное через характеристики поля

(~Delta E_k = delta N qEl = frac{EB}{mu_0} 2 pi r l Delta t) . (5)

В очередной раз мы получили, что скорость изменения энергии (в данном случае кинетической) потока частиц равно произведению модуля вектора Пойтинга (~vec S = frac{vec E times vec B}{mu_0}) на площадь боковой поверхности рассматриваемого цилиндра (s_{bok} = 2 pi r l). Учитывая, что векторы (~vec E) и (~vec B) перпендикулярны друг другу и направлены по касательным к боковой поверхности, а вектор (~vec S) перпендикулярен поверхности и направлен внутрь проводника, заключаем, что скорость изменение кинетической энергии заряженных частиц в некотором объеме равно потоку вектора Пойтинга через поверхность, ограничивающую данный объем.

Рассмотренный пример аналогичен выделению теплоты при прохождении электрического тока, так как в обоих случаях электрическое поле совершает работу над заряженными частицами, только в одном случае эта работа приводит к увеличению кинетической энергии, а в другом расходуется на преодоление сил сопротивления (в результате чего выделяется теплота). Но это различие относится к области механики, а не электродинамики.

16.11.5 Теорема о потоке энергии электромагнитного поля.

Мы рассмотрели четыре примера переходов энергии из одной формы в другую с участием электромагнитного поля. Выбор этих примеров был обусловлен, главным образом, их простотой – в каждом случае нам удалось независимо рассчитать изменение энергии системы и характеристики полей, существующих на границе рассматриваемой области. В этих процессах часто тяжело определить, что является причиной, что – следствием: с одной стороны наличие скрещенных полей обеспечивает поток энергии, а, с другой, сами процессы формируют нужную конфигурацию электромагнитного поля.

Далее мы показали, что изменение энергии (в любой форме – энергии поля, внутренней, тепловой энергии, механической энергии) рассматриваемой системы можно представить как поток энергии через границу этой системы. Оказалось, что во всех случаях передачи энергии обязательно присутствие непараллельных электрического и магнитного полей. Количественной характеристикой процесса переноса энергии во всех случаях выступает вектор Пойтинга (вектор плотности потока энергии)

(~vec S = frac{vec E times vec B}{mu_0}) . (1)

Обобщая полученные результаты, закон сохранения энергии можно сформулировать в виде^[5]: скорость изменения энергии системы равно потоку вектора Пойтинга через поверхность, ограничивающую данную систему (Рис. 178), причем положительным считается поток, направленный внутрь рассматриваемого объема.

Конечно, это утверждение справедливо, если нет других механизмов передачи энергии данной системе извне: над ней не совершается механическая работа, нет потоков теплоты.

Заметим, что энергия может и «вытекать» из рассматриваемого объема, когда система обдает энергию внешним телам, например, совершает над ними работу. В этом случае поток энергии следует считать отрицательным.

Полученная формулировка закона сохранения энергии вполне очевидна. Ее аналогом может служить утверждение, что «в сосуде содержится столько жидкости, сколько вы ее туда налили».

Вектор плотности потока энергии (~vec S) определен во всех точках пространства, в котором существует электромагнитное поле, поэтому с математической точки зрения его описание задается векторным полем, для которого применимы все математические операции: поток, циркуляция и т. д. Так поток вектора (~vec S) через малую площадку определяется традиционно, как произведение нормальной составляющей вектора на площадь площадки (Рис. 179)

(~Delta Phi_S = (vec S cdot vec n) Delta s = S Delta s cos alpha) ,

где α — угол между векторами нормали (~vec n) и плотности потока энергии (~vec S). Чтобы вычислить поток через произвольную поверхность, необходимо разбить ее на малые участки Δs_i, найти поток через каждую такую площадку и просуммировать их по всем площадкам (Рис. 180)

(~Phi_S = sum_i vec S_i cdot vec n_i Delta s_i) . (2)

Напомним, что традиционно для замкнутой поверхности положительной считается внешняя нормаль. Чтобы не нарушать традицию, при определении полного потока энергии через замкнутую поверхность, также будем считать положительным поток, направленный наружу, то есть «вытекающий» из рассматриваемого объема. При таком определении теорема о потоке энергии звучит следующим образом: поток вектора Пойтинга (вектора плотности потока энергии электромагнитного поля) через любую замкнутую поверхность равен скорости уменьшения энергии, заключенной внутри данной поверхности

(~Phi_S = -frac{Delta W}{Delta t}) . (3)

Как и другие теоремы о потоках, данная теорема также широко используется при описании и изучении электромагнитных явлений, в дальнейшем мы также будем обращаться к ней.

Примечания

1. ↑ Вспомните, что положительным направлением обхода условились считать движение «против часовой стрелки».
2. ↑ К сожалению, такое обозначение этого вектора является традиционным и общепринятым, поэтому в дальнейшем для обозначения площади мы будем использовать s — «эс малое».
3. ↑ Лучше было бы сказать: равно потоку (в смысле математической операции) вектора плотности потока (а это имя вектора), но эта фраза звучит не очень хорошо…
4. ↑ Сравните структуры полей в соленоиде и конденсаторе – электрическое и магнитное поля просто поменялись местами, поэтому далее можно просто переписать предыдущий раздел с указанной заменой, что далее и сделано…
5. ↑ Эту формулировку можно доказать на основе уравнений Максвелла в самом общем случае, произвольных систем, произвольных электромагнитных полей. Наши примеры следует считать только иллюстрациями этой общей формулировки, а не ее доказательством.

Следующая страница