15 мая 2014
Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.
На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» заданий 6.
Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.
Если $S=xleft( t right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:
[v={S}’={x}’left( t right)]
Точно так же мы можем посчитать и ускорение:
[a={v}’={{S}’}’={{x}’}’left( t right)]
Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.
Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.
Пример № 1
Материальная точка движется по закону:
[xleft( t right)=-frac{1}{5}{{t}^{5}}+{{t}^{4}}-{{t}^{3}}+5t]
где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.
Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.
[v={S}’={x}’left( 2 right)]
Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.
Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:
[{x}’left( t right)=-frac{1}{5}cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]
[{x}’left( t right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]
Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:
[{x}’left( 2 right)=-{{2}^{4}}+4cdot {{2}^{3}}-3cdot {{2}^{2}}+5=]
[=-16+32-12+5=9]
Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.
Пример № 2
Материальная точка движется по закону:
[xleft( t right)=frac{1}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+19t-11]
где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?
Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.
В первую очередь, вновь ищем производную:
[{x}’left( t right)=frac{1}{3}cdot 3{{t}^{2}}-4cdot 2t+19]
[{x}’left( t right)={{t}^{2}}-8t+19]
От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:
[{{t}^{2}}-8t+19=3]
[{{t}^{2}}-8t+16=0]
[{{left( t-4 right)}^{2}}=0]
[t-4=0]
[t=4]
Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.
Ключевые моменты
В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.
Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.
Смотрите также:
- Не допускайте таких ошибок, когда видите график производной в задаче 6 из ЕГЭ по математике!
- ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и квадратичная функция с параметром
- Схема Бернулли. Примеры решения задач
- Комбинаторика в задаче B6: средний тест
- Как решать задачи про летающие камни?
- B4: счетчики на электричество
Применение производной в физике и технике
- Скорость и ускорение
- Физические величины как производные от других величин
- Примеры
п.1. Скорость и ускорение
Рассматривая физический смысл производной (см. §42 данного справочника), мы выяснили, что:
Производная функции (y=f(x)) в точке (x_0) равна скорости изменения функции в этой точке.
Например:
Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
Уравнение этого движения имеет вид: $$ x(t)=x_0+v_0t+frac{at^2}{2} $$ где (x(t)) — ккордината тела в произвольный момент времени (t, x_0) — начальная координата, (v_0) — начальная скорость, (a=const) — ускорение, действующее на тело.
Чтобы найти скорость тела из этого уравнения, нужно найти производную от координаты по времени: $$ v(t)=x'(t)=left(x_0+v_0t+frac{at^2}{2}right)’=0+v_0cdot 1+frac a2cdot 2t=v_0+at $$ Чтобы найти ускорение, нужно найти производную от скорости: $$ a(t)=v'(t)=x»(t)=(v_0+at)’=0+acdot 1=a=const $$
п.2. Физические величины как производные от других величин
Если рассматривать уравнение процесса (s=f(t)), его производной будет величина $$ f'(t)=lim_{triangle trightarrow 0}frac{triangle s}{triangle t} $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.
Исходная величина (процесс)
Производная по времени
Координата (x(t))
Скорость (v(t)=x'(t))
Ускорение (a(t)=v'(t)=x»(t))
Угол поворота (varphi(t))
Угловая скорость (omega(t)=omega'(t))
Угловое ускорение (beta(t)=omega'(t)=varphi»(t))
Масса горючего ракеты (m(t))
Скорость расходования горючего (u(t)=m'(t))
Температура тела (T(t))
Скорость нагрева (v_T(t)=T'(t))
Заряд (q(t))
Сила тока (I(t)=q'(t))
Работа (A(t))
Мощность (N(t)=A'(t))
Магнитный поток (Ф(t))
ЭДС индукции (varepsilon(t)=-Ф'(t))
Число атомов радиоактивного вещества (N(t))
Скорость радиоактивного распада (I(t)=-N'(t))
Конечно же, в физике далеко не обязательно берут производную только по времени.
Например, для теплоты Q(T) теплоемкость равна C(T)=Q'(T), где T — температура.
А для процесса теплопереноса температура u(x,t) в точке с координатой x в момент времени t определяется уравнением теплопроводности: $$ frac{partial u(x,t)}{partial t}-a^2frac{partial^2 u(x,t)}{partial x^2}=f(x,t) $$ и производные берутся по времени (left(frac{partial u}{partial t}right)) и по координате (left(frac{partial u}{partial x}right)), причем по координате берется производная второго порядка (left(frac{partial^2 u}{partial x^2}right)).
Поэтому в физике для производных чаще используются обозначения Лейбница, в которых хорошо видна как функция, так и аргумент.
Например, для производных функции от одной переменной: (frac{partial varphi}{partial t}, frac{partial p}{partial V}, frac{partial Q}{partial T},…)
Для производных функций от многих переменных: (frac{partial u}{partial t}, frac{partial u}{partial x}, frac{partial u}{partial y}, frac{partial u}{partial z},…)
п.3. Примеры
Пример 1. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону (x(t)=t^2+t+1) (м). Найдите: 1) кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения; 2) силу, действующую на тело в это время.
1) Кинетическая энергия равна (E=frac{mv^2}{2})
Скорость тела: (v(t)=x'(t)=(t^2+t+1)’=2t+1)
Через 3 с: (v(3)=2cdot 3+1=7) (м/с)
Подставляем: (E=frac{6cdot 7^2}{2}=147) (Дж)
2) Сила по второму закону Ньютона: (F=ma)
Ускорение тела: (a(t)=v'(t)=(2t+1)’=2) (м/с^2)
Ускорение постоянно.
На тело действует постоянная сила: (F=6cdot 2=12) (Н)
Ответ: 147 Дж; 12 Н
Пример 2. Маховик вращается по закону (varphi (t)=4t-0,5t^2) (рад)
Найдите момент времени, в который маховик остановится.
Угловая скорость: (omega(t)=varphi ‘(t)=(4t-0,5t^2 )’=4-0,5cdot 2t=4-t)
В момент остановки угловая скорость равна 0. Решаем уравнение: $$ 4-t=0Rightarrow t=4 (c) $$ Ответ: 4 c
Пример 3. Ракету запустили вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. В какой момент времени и на какой высоте ракета достигнет наивысшей точки (g≈10м/с2)?
Выберем начало отсчета на земле ((y_0=0)), направим ось y вверх.
Начальная скорость направлена вверх, её проекция на ось положительна.
Ускорение свободного падения направлено вниз, его проекция отрицательна.
Уравнение движения: $$ y(t)=y_0+v_{0y}t+frac{g_y t^2}{2}=0+40t-frac{10t^2}{2}=40t-5t^2 $$ В верхней точке траектории ракета останавливается, её скорость равна 0.
Найдем скорость: $$ v(t)=y'(t)=40-5cdot 2t=40-10t $$ Найдем момент остановки в верхней точке: $$ 40-10t_0=0Rightarrow t_0=frac{40}{10}=4 (c) $$ Найдем высоту подъема в верхней точке: $$ H_{max}=y(t_0)=40cdot 4-5cdot 4^2=80 (м) $$ Ответ: 4 с, 80 м
Пример 4. Через поперечное сечение проводника проходит заряд (q(t)=ln(t+1)) (Кл). В какой момент времени сила тока в проводнике равна 0,1 А?
Сила тока: $$ I(t)=q'(t)=(ln(t+1))’=frac{1}{t+1} $$ По условию: $$ frac{1}{t_0+1}=0,1Rightarrow t_0+1=frac{1}{0,1}=10Rightarrow t_0=9 (c) $$ Ответ: 9 c
Пример 5. Колесо вращается так, что угол его поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот оно сделало за 8 с. Найдите угловую скорость через 48 с после начала вращения.
По условию угол поворота (varphi (t)=At^2)
Один оборот (2pi) радиан был сделан за 8 с. Получаем уравнение: (Acdot 8^2=2pi)
Находим коэффициент (A=frac{2pi}{8^2}=frac{pi}{32})
Уравнение движения (varphi(t)=frac{pi}{32}t^2) (рад)
Угловая скорость (omega(t)=varphi ‘(t)=left(frac{pi}{32}t^2right)’=frac{pi}{32}cdot 2t=frac{pi}{16}t) (рад/с)
Через 48 секунд (omega(48)=frac{pi}{16}cdot 48=3pi) рад/с — полтора оборота в секунду.
Ответ: (3pi) рад/с
Пример 6. Для нагревания 1 кг жидкости от 0°С до t°C необходимо (Q(t)=1,7t+at^2+bt^3) Дж теплоты.
Известно, что теплоемкость жидкости при температуре 100°С равна 1,71 Дж/К, а для нагревания 1 кг этой жидкости 0°С до 50°C требуется 85,025 Дж теплоты. Найдите коэффициенты a и b.
Теплоемкость: (C(t)=Q'(t)=1,7cdot 1+acdot 2t+bcdot 3t^2=1,7+2at+3bt^2)
По условию: begin{gather*} C(100)=1,7+2acdot 100+3bcdot 100^2-1,71\ 200a+30000b=0,01 end{gather*} Кроме того: begin{gather*} Q(50)=1,7cdot 50+acdot 50^2+bcdot 50^3=85,025\ 2500a+125000b=0,025 end{gather*} Получаем линейную систему: begin{gather*} begin{cases} 200a+30000b=0,01 |:2\ 2500a+125000b=0,025 |:25 end{cases} Rightarrow begin{cases} 100a+15000b=0,005\ 100a+5000b=0,001 end{cases} \ 15000b-5000b=0,005-0,001\ 10000b=0,004\ b=4cdot 10^{-3}cdot 10^{-4}=4cdot 10^{-7} left(frac{Дж}{K^3}right)\ a=frac{0,001-5000b}{100}=frac{10^{-3}-5cdot 10^3cdot 4cdot 10^{-7}}{100}=frac{10^{-3}-2cdot 10^{-3}}{100}=-frac{10^{-3}}{100}\ a=-10^{-5} left(frac{Дж}{K^2}right) end{gather*} Ответ: (a=-10^{-5}frac{Дж}{K^2}; b=4cdot 10^{-7}frac{Дж}{K^3})
Пример 7*. Лестница длиной 5 м стояла вертикально. Потом её нижний конец стали перемещать по полу с постоянной скоростью (v=2) м/с. С какой по абсолютной величине скоростью в зависимости от времени опускается верхний конец лестницы? Постройте график полученной функции.
 |
Лестница со стенами образует прямоугольный треугольник, для которого справедлива теорема Пифагора: $$ x^2(t)+y^2(t)=5^2 $$ Нижний конец движется с постоянной скоростью, его уравнение движения по полу: $$ x(t)=vt=2t $$ Отсюда получаем уравнение движения верхнего конца по стенке: begin{gather*} y^2(t)=25-x^2(t)=25-(2t)^2=25-4t^2\ y(t)=sqrt{25-4t^2} end{gather*} |
Время (tgeq 0) имеет ограничение сверху (25-4t^2geq 0Rightarrow t^2leq frac{25}{4}Rightarrow 0leq tleq 2,5 (с))
Скорость скольжения верхнего конца по стенке: begin{gather*} u_y(t)=y'(t)=left(sqrt{25-4t^2}right)’=frac{1}{2sqrt{25-4t^2}}cdot (25-4t^2)’=frac{-8t}{2sqrt{25-4t^2}}\ u_y(t)=-frac{4t}{sqrt{25-4t^2}} end{gather*} Знак «-» указывает на направление скорости вниз и связан с уменьшением координаты (y(t)) со временем. Абсолютная величина найденной скорости: begin{gather*} u(t)=|u_y(t)|=frac{4t}{sqrt{25-4t^2}} end{gather*} 1) ОДЗ: (0leq tleq 2,5)
2) Четность – нет, т.к. функция определена только на положительных t.
Периодичность – нет.
3) Асимптоты:
1. Вертикальная
Рассмотрим односторонние пределы begin{gather*} lim_{trightarrow +0}left(frac{4t}{sqrt{25-4t^2}}right)=frac05=0\ lim_{trightarrow 2,5-0}left(frac{4t}{sqrt{25-4t^2}}right)=frac{10}{0}=+infty end{gather*} При подходе к правой границе (t=2,5) слева функция стремится к (+infty).
В точке (t=2,5) – вертикальная асимптота.
2. Горизонтальных асимптот нет, т.к. ОДЗ ограничено интервалом.
3. Наклонных асимптот нет.
4) Первая производная begin{gather*} u'(t)=4cdotfrac{1cdotsqrt{25-4t^2}-tcdotfrac{-8t}{2sqrt{25-4t^2}}}{25-4t^2}=4cdotfrac{25-4t^2+8t^2}{2(25-4t^2)^{frac32}}=frac{2(4t^2+25)}{(25-4t^2)^{frac32}} end{gather*} (u'(t)gt 0) на всей ОДЗ, функция возрастает.
5) Вторая производная begin{gather*} u»(t)=frac{2(4t^2+25)}{(25-4t^2)^{frac32}}=2cdotfrac{8tcdot(25-4t^2)^{frac32}-(4t^2+25)cdot frac32sqrt{25-4t^2}cdot (-8t)}{(25-4t^3)}=\ =2cdotfrac{8tcdot(25-4t^2)+8tcdotfrac32cdot (4t^2+25)}{(25-4t^2)^{frac52}}=8tcdotfrac{50-8t^2+12t^2+75}{(25-4t^2)^{frac52}}=frac{8t(4t^2+25)}{(25-4t^2)^{frac52}} end{gather*} (u»(t)gt 0) на всей ОДЗ, функция выпуклая вниз.
6) Пересечение с осями
В начале координат: (t=0, u=0)
7) График
Ответ: (u(t)=frac{4t}{sqrt{25-4t^2}})
Пример 8. Под действием нагрузки деталь с поперечным сечением в виде прямоугольника площадью 17 см2 начинает деформироваться. Одна из сторон прямоугольника растет с постоянной скоростью 1 см/ч, а вторая – уменьшается со скоростью 0,5 см/ч. Найдите скорость изменения площади поперечного сечения через 45 мин после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см2.
Длина первой стороны в зависимости от времени: (a(t)=a_0+1cdot t) (см),
время – в часах.
Длина второй стороны: (b(t)=b_0-0,5cdot t).
Площадь в начальный момент: (S_0=a_0 b_0=17 (см^2))
Площадь в произвольный момент t: begin{gather*} S(t)=a(t)cdot b(t)=(a_0+t)(b_0-0,5t)=a_0 b_0+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2=\ =17+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2 end{gather*} По условию при (t=45 мин=frac34 ч): begin{gather*} Sleft(frac34right)=17+(-0,5a_0+b_0)cdotfrac34-0,5cdotleft(frac34right)^2=20\ (-0,5a_0+b_0)cdotfrac34=20-17+frac{9}{32}=3+frac{9}{32}\ (-0,5a_0+b_0)=frac43left(3+frac{9}{32}right)=4+frac38=4frac38 end{gather*} Получаем: begin{gather*} S(t)=17+4frac38t-0,5t^2 end{gather*} Скорость изменения площади: begin{gather*} S'(t)=0+4frac38cdot 1-0,5cdot 2t=4frac38-t end{gather*} Через 45 мин: begin{gather*} S’left(frac34right)=4frac38-frac34=3+frac{11}{8}-frac34=3+frac{11-6}{8}=3frac58=3,625 (см^2/ч) end{gather*} Ответ: 3,625 см2/ч
7. Взаимосвязь функции и ее производной
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Связь производной со скоростью и ускорением тела
Если (x=x(t)) – уравнение, задающее движение точки, зависящее от времени, то:
(blacktriangleright) производная (x'(t)) задает скорость в момент времени (t);
(blacktriangleright) вторая производная (производная от производной) (x»(t)) задает ускорение в момент времени (t).
Задание
1
#740
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 7t^2 — 12t), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 1) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 14t — 12), тогда в момент (t = 1) с:
(x'(1) = 14cdot 1 — 12 = 2) м/с.
Ответ: 2
Задание
2
#741
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 2t^2 — 8t), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 2) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 4t — 
, тогда в момент (t = 2) с:
(x'(2) = 4cdot 2 — 8 = 0) м/с.
Ответ: 0
Задание
3
#742
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = t^2 + 2t + 3), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 1) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 2t + 2), тогда в момент (t = 1) с:
(x'(1) = 2cdot 1 + 2 = 4) м/с.
Ответ: 4
Задание
4
#743
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 2t^3 — t^2 + 2t + 3), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 2) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 6t^2 — 2t + 2), тогда в момент (t = 2) с:
(x'(2) = 6cdot 2^2 — 2cdot 2 + 2 = 22) м/с.
Ответ: 22
Задание
5
#744
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 7t^4 + 6t^3 + 5t^2 + 4t + 2016), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 0,5) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 28t^3 + 18t^2 + 10t + 4), тогда в момент (t = 0,5) с:
(x'(0,5) = 28cdot dfrac{1}{8} + 18cdot dfrac{1}{4} + 10cdot dfrac{1}{2} + 4 = 3,5 + 4,5 + 5 + 4 = 17) м/с.
Ответ: 17
Задание
6
#745
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 3t^2 + 6t + 2), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла (15) м/с? Ответ дайте в секундах.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 6t + 6), тогда для момента (t), когда скорость материальной точки была равна (15) м/с, выполнено (6t + 6 = 15), откуда (t = 1,5) с.
Ответ: 1,5
Задание
7
#746
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = t^2 + 3t — 1), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла (11) м/с? Ответ дайте в секундах.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 2t + 3), тогда для момента (t), когда скорость материальной точки была равна (11) м/с, выполнено (2t + 3 = 11), откуда (t = 4) с.
Ответ: 4
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.
Траектория движения материальной точки через радиус-вектор
Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора – вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.
Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами – единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):
Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? “Наверное какой-то жуткий”, подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:
Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:
В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.
Вектор скорости материальной точки
Всем известно, что скорость материальной точки – это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.
Пример нахождения вектора скорости
Имеем закон перемещения материальной точки:
Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:
Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.
Как найти вектор ускорения материальной точки
Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:
Модуль вектора скорости точки
Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора – это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:
Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.
Модуль вектора ускорения
Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:
Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.
Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения
А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему “механика твердых тел”. А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.
Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.
Чтобы решать подобные задачи, следует хорошо представлять себе, что такое скорость, и что такое ускорение. Практически любой процесс можно представить в виде уравнения, закона и тогда первая производная от этого уравнения будет показывать нам скорость течения процесса. Например скорость движения материальной точки, или скорость протекания химической реакции. А вот вторая производная от этого уравнения, закона будет показывать ускорение, то есть изменение скорости течения процесса.
Итак, чтобы найти скорость материальной точки в определенный момент времени мы должны взять производную от уравнения пути по времени, и подставить в полученный результат нужное время — 5 секунд.
Чтобы найти ускорение материальной точки, мы берем вторую производную от пути по времени, или первую производную от скорости по времени, что одно и тоже.
Решение будет выглядеть так:
x(t)=-1/3t^3+2t^2+5t.
х'(t)= -t^2 + 4t + 5; x'(5)=-25 + 20 + 5 = 0; Через 5 секунд материальная точка остановится.
x»(t)=-2t+4; x»(5)=-10+4=-6. Ускорение равно -6, то есть точка тормозит.