Как найти скорость движения искусственного спутника

Задачи на искусственные спутники Земли с решениями

Формулы, используемые на уроках «Задачи на искусственные спутники Земли и других планет».

Название величины	Обозначение	Единица измерения	Формула
Радиус планеты	R	м
Масса планеты	M	кг
Высота	h	м
Постоянная всемирного тяготения	G	Н•м2/кг2	G = 6,67•10-11
Первая космическая скорость	v	м/с
Ускорение свободного падения	g	м/с2

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 1.
 Первый искусственный спутник Земли, запущенный в СССР 4 октября 1957 года, двигался на высоте 950 км над поверхностью Земли. Вычислите скорость этого спутника.

Задача № 2.
 Скорость обращения Земли вокруг Солнца 30 км/с, радиус земной орбиты 1,5•10¹¹ м. По этим данным определите массу Солнца.

Задача № 3.
 Вычислить первую космическую скорость для Луны, принимая радиус Луны 1700 км, а ускорение свободного падения тел на Луне — 1,6 м/с².

Задача № 4.
 Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 900 км над поверхностью Земли? Каков период его обращения?

Задача № 5.
 На какой высоте над поверхностью Земли был запущен искусственный спутник, если он движется со скоростью 7,1 км/с?

Задача № 6.
 Высота спутника над поверхностью Земли h = 2000 км. Определите его скорость и период обращения.

Ответ: 6,7 км/с; 7,9 • 10³ с.

Краткая теория для решения Задачи на искусственные спутники Земли.

Чтобы тело стало искусственным спутником Земли (ИСЗ), его нужно поднять на такую высоту, на которой атмосфера очень разрежена и практически не оказывает сопротивления движению. Затем телу нужно сообщить определенную скорость, направленную горизонтально. Эта скорость называется первой космической скоростью.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на искусственные спутники Земли». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к теме: ЗАДАЧИ на Закон сохранения импульса
• Посмотреть конспект по теме ДИНАМИКА: вся теория для ОГЭ (шпаргалка)
• Вернуться к списку конспектов по Физике.
• Проверить свои знания по Физике.

Условие задачи:

Искусственный спутник Земли движется на высоте 12800 км. Найти скорость движения спутника.

Задача №2.5.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(H=12800) км, (upsilon-?)

Решение задачи:

При движении спутника вокруг Земли по круговой орбите сила тяготения (F_т) сообщает ему центростремительное ускорение, поэтому второй закон Ньютона запишется в следующем виде:

[{F_т} = m{a_ц};;;;(1)]

Силу тяготения определяют по закону всемирного тяготения:

[{F_т} = Gfrac{{Mm}}{{{{left( {R + H} right)}^2}}};;;;(2)]

Если спутник движется с некоторой скоростью (upsilon), то центростремительное ускорение равно:

[{a_ц} = frac{{{upsilon ^2}}}{{R + H}};;;;(3)]

Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1), тогда:

[Gfrac{{Mm}}{{{{left( {R + H} right)}^2}}} = frac{{m{upsilon ^2}}}{{R + H}}]

Путем простых математических действий получим такое выражение для определения скорости спутника (upsilon):

[upsilon  = sqrt {Gfrac{M}{{R + H}}} ]

Можно считать ответ по этой формуле, но мы сделаем следующий трюк – дробь под корнем домножим и поделим на (R^2) (это можно делать благодаря основному свойству дроби), тогда:

[upsilon  = sqrt {Gfrac{M}{{{R^2}}}frac{{{R^2}}}{{R + H}}} ]

Заметим, то выражение ({Gfrac{M}{{{R^2}}}}) равно ускорению свободного падения (g) вблизи поверхности Земли ((g=10) м/с²). Значит:

[upsilon  = sqrt {frac{{g{R^2}}}{{R + H}}} ]

[upsilon  = Rsqrt {frac{g}{{R + H}}} ]

Переведем высоту орбиты спутника в систему СИ:

[12800; км = 12,8 cdot {10^6}; м]

Посчитаем численный ответ (напомним, что радиус Земли – это табличная величина, равная 6,4·10⁶ м):

[upsilon  = 6,4 cdot {10^6} cdot sqrt {frac{{9,8}}{{6,4 cdot {{10}^6} + 12,8 cdot {{10}^6}}}}  = 4618,8; м/с approx 4,62; км/с]

Ответ: 4,62 км/с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.5.3 Во сколько раз ускорение свободного падения около поверхности Земли больше
2.5.5 Каково ускорение свободного падения на поверхности Солнца, если радиус Солнца
2.5.6 На какое расстояние от поверхности Земли нужно удалить тело, чтобы сила тяготения

Четверг, 11 февраля, 2016

В космосе гравитация обеспечивает силу, из-за которой спутники (такие, как Луна) вращаются по орбитам вокруг более крупных тел (таких, как Земля). Эти орбиты в общем случае имеют форму эллипса, на чаще всего, этот эллипс не сильно отличается от окружности. Поэтому в первом приближении можно считать орбиты спутников круговыми. Зная массу планеты и высоту орбиты спутника над Землей, можно рассчитать, какой должна быть скорость движения спутника вокруг Земли.

Расчет скорости движения спутника вокруг Земли

Вращаясь по круговой орбите вокруг Земли, спутник в любой точке своей траектории может двигаться только с постоянной по модулю скоростью, хотя направление этой скорости будет постоянно изменяться. Какова же величина этой скорости? Её можно рассчитать с помощью второго закона Ньютона и закона тяготения.

Для поддержания круговой орбиты спутника массы в соответствии со вторым законом Ньютона потребуется центростремительная сила: , где — центростремительное ускорение.

Как известно, центростремительное ускорение определяется по формуле:

где — скорость движения спутника, — радиус круговой орбиты, по которой движется спутник.

Центростремительную силу обеспечивает гравитация, поэтому в соответствии с законом тяготения:

где кг — масса Земли, м³⋅кг^-1⋅с^-2 — гравитационная постоянная.

Подставляя все в исходную формулу, получаем:

Выражая искомую скорость , получаем, что скорость движения спутника вокруг Земли равна:

Это формула скорости, которую должен иметь спутник Земли на заданном радиусе (т.е. расстоянии от центра планеты) для поддержания круговой орбиты. Скорость не может меняться по модулю, пока спутник сохраняет постоянный орбитальный радиус, то есть пока он продолжает обращаться вокруг планеты по круговой траектории.

При использовании полученной формулы следует учитывать несколько деталей:

• В качестве радиуса нужно использовать расстояние от центра Земли, а не высоту над поверхностью.
  Следовательно, расстояние в формуле – это расстояние между центрами двух тел. В том случае, если известна высота спутника над поверхностью Земли, то для нахождения к этой высоте нужно прибавить радиус Земли, который приблизительно равен 6400 км.
• Данная формула верна для спутников, находящихся за пределами атмосферы.
  Однако в случае искусственных спутников это не совсем так. Даже на высоте 600 км от Земли имеет место определённое сопротивление воздуха. Постепенно это сопротивление, т.е. трение о воздух, заставляет спутники снижаться, и в конце концов они сгорают при входе в атмосферу. На высоте менее 160 км орбита спутника существенно понижается при каждом обороте вокруг Земли из-за сопротивления воздуха.
• Скорость спутника на круговой орбите не зависит от его массы.
  Если представить себе, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, и Луна обращается вокруг Земли на расстоянии 640 км, то для сохранения орбиты она должна двигаться с такой же точно скоростью, что и искусственный спутник на той же высоте, хотя масса и размеры Луны намного больше.

Искусственные спутники Земли, как правило, обращаются вокруг планеты на высоте от 500 до 2000 км от поверхности планеты. Рассчитаем, с какой скоростью должен двигаться такой спутник на высоте 1000 км над поверхностью Земли. В этом случае км. Подставляя числа, получаем:

 км/с.

Материал подготовлен репетитором по математике и физике в Москве, Сергеем Валерьевичем