Как найти скорость движения по окружности формула - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Связь со вторым законом Ньютона

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Движение по циклоиде*

Источник

Понятия и определения

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

Траектория движения тела есть окружность.
Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Определение и формулы

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет вид:

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Определение и формулы

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Полезные факты

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

Полезные факты

У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Центростремительное ускорение

Определение и формула

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с²). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10³ секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10⁶. Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Задание EF18273

Верхнюю точку моста радиусом 100 м автомобиль проходит со скоростью 20 м/с. Центростремительное ускорение автомобиля равно…

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Записать формулу для определения искомой величины.
Подставить известные данные в формулу и произвести вычисления.

Решение

Записываем исходные данные:

Радиус окружности, по которой движется автомобиль: R = 100 м.
Скорость автомобиля во время движения по окружности: v = 20 м/с.

Формула, определяющая зависимость центростремительного ускорения от скорости движения тела:

Подставляем известные данные в формулу и вычисляем:

Ответ: 4

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17763

Точка движется по окружности радиусом R с частотой обращения ν. Как нужно изменить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним?

а) увеличить в 2 раза
б) уменьшить в 2 раза
в) увеличить в 4 раза
г) уменьшить в 4 раза

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Определить, что нужно найти.
Записать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты.
Преобразовать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты для каждого из случаев.
Приравнять правые части формул и найти искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

Радиус окружности R₁ = R.
Радиус окружности R₂ = 4R.
Центростремительное ускорение: a_ц.с.= a₁ = a₂.

Найти нужно ν₂.

Центростремительное ускорение определяется формулой:

Запишем формулы центростремительного ускорения для 1 и 2 случаев соответственно:

Так как центростремительное ускорение в 1 и 2 случае одинаково, приравняем правые части уравнений:

Произведем сокращения и получим:

Или:

Отсюда:

Это значит, чтобы центростремительное ускорение осталось неизменным после увеличения радиуса окружности в 4 раза, частота должна уменьшиться вдвое. Верный ответ: «б».

Ответ: б

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 22k

Источник

Равномерное движение по окружности.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: движение по окружности с постоянной по модулю скоростью, центростремительное ускорение.

Равномерное движение по окружности — это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса . Скорость точки постоянна по модулю и равна . Скорость называется линейной скоростью точки.

Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода имеем очевидную формулу:

$T=frac{displaystyle 2pi r}{displaystyle v}$ . (1)

Частота обращения — это величина, обратная периоду:

$nu =frac{displaystyle 1}{displaystyle T}$ .

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, T=0,1 c . Это означает, что за время 0,1 c точка совершает один полный
оборот. Частота при этом получается равна: об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

Угловая скорость.

Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1).

Рис. 1. Равномерное движение по окружности

Пусть $M_{0}$ — начальное положение точки; иными словами, при t = 0 точка имела координаты (r, 0) . Пусть за время точка повернулась на угол varphi и заняла положение .

Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

$omega =frac{displaystyle varphi }{displaystyle t}$ . (2)

Угол varphi , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол 2pi . Поэтому

$omega =frac{displaystyle 2pi }{displaystyle t}$ . (3)

Сопоставляя формулы (1) и (3), получаем связь линейной и угловой скоростей:

. (4)

Закон движения.

Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1, что

Но из формулы (2) имеем: . Следовательно,

. (5)

Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

Центростремительное ускорение.

Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5):

$v_{displaystyle x}=dot{x}=-omega r sin omega t, v_{displaystyle y}=dot{y}=omega r cosomega t,$

$a_{x}=dot{v_{x}}=-omega ^{2}rcosomega t, a_{y}=dot{v}y=-omega ^{2}rsinomega t.$

С учётом формул (5) имеем:

$a_{x}=-omega^{2}x, a_{y}=-omega^{2}y.$ (6)

Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

$vec{a}=-omega^{2}vec{r},$ (7)

где vec{r} — радиус-вектор вращающейся точки.

Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

$a=omega^{2}r.$ (8)

Выразим угловую скорость из (4)

$omega =frac{displaystyle v}{displaystyle r}$

и подставим в (8). Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:

$a=frac{displaystyle v^{2}}{displaystyle r}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Равномерное движение по окружности.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Видеоурок: Движение по окружности

Лекция: Движение тела по окружности. Угловая и линейная скорости точки. Центростремительное ускорение точки

Движение по окружности

Траектория движения — окружность.

Так как скорость — векторная величина, то она зависит не только от модуля значения, но и от направления. Поэтому движение тела по окружности можно назвать равноускоренным. Даже если тело будет двигаться с постоянной по величине скоростью, её направление будет постоянно изменяться.

Любое криволинейное движение можно свести к нескольким движениям по окружности. Примером данного движения является бег по стадиону, ход стрелки часов, прогулка на корде лошади и другое.

Основные характеристики движения

1. Линейная скорость

Мгновенная скорость (линейная) — на протяжении всего движения меняет свое направление вдоль касательной к траектории.

Так как траектория движения точки — окружность, то в качестве пути в числителе находится формула длины перемещения.

Поэтому формула мгновенной скорости приобретает следующий вид, где Т — период:

2. Центростремительное ускорение

Направлено перпендикулярно к линейной скорости на протяжении всего движения.

Центростремительное ускорение определяется по формуле:

3. Период вращения

Период вращения — это величина, определяющая время, за которое тело делает одно полное вращение.

Период — это скалярная величина. Основной единицей периода является [Т]=1с.

Период определяется по формуле:

где N — количество оборотов, t — время, за которое они были совершены.

4. Частота вращения

Определяет, насколько часто совершаются обороты в единицу времени.

Частота — скалярная величина. Измеряется в [n] = 1с^-1.

Частота определяется по формуле:

5. Угловое перемещение

Угловое перемещение — величина, которая определяется углом поворота радиуса, соединяющего центр описываемой окружности, с точкой, где находится тело, относительно начального его положения.

Данная величина может измеряться в градусной или радианной мере углов.

6. Угловая скорость

Это значение, которое определяет, насколько изменяется угловое перемещение со временем.

Измеряется в 1 рад/с.

Определяется по формуле:

где
— угловая скорость материальной точки, 1/с

— угол поворота радиус — вектора, рад

— промежуток времени, с

Угловое перемещение связано с линейной скоростью и центростремительным ускорением следующей формулой:

Источник

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Движение по окружности

Криволинейное движение — механическое движение, траектория которого — кривые линии с произвольным ускорением и произвольной скоростью.

Угловая скорость — величина, характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. [omega=dfracvarphi t=dfrac{2pi}{t}]

Период обращения — это время одного полного оборота.

Частота обращения — величина, обратная периоду. Частота показывает, сколько полных оборотов совершает материальная точка за секунду. [nu=dfrac1T]

Тангенциальное ускорение — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения.

Нормальное (центростремительное) ускорение — компонента ускорения, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости для траектории с кривизной, направленное к центру кривизны траектории. [a_text{цс}=dfrac{v^2}{r}]

Полное ускорение тела, движущегося по окружности равно векторной сумме тангенциального и нормального ускорений. [overrightarrow a_text{полн}=overrightarrow a_text{тан}+overrightarrow a_text{цс}]

Шарик движется по окружности радиусом (R_1 = 2) м со скоростью ( upsilon_1 = 3) м/с. Во сколько раз изменится его центростремительное ускорение, если радиус его окружности уменьшить в (n = 3) раза, а скорость увеличить в (k = 5) раз?

По определению центростремительное ускорение равно: [a_{text{ц1}} = frac{upsilon_1^2}{R_1} qquad (1)] [a_{text{ц2}} = frac{upsilon_2^2}{R_2} qquad (2)]

По условию задачи: [upsilon_2=kupsilon_1 qquad (3)] [R_2 = frac{R_1}{n} qquad (4)]

Подставляя (3), (4) и (1) в (2) получаем: [a_{text{ц2}} = dfrac{(kupsilon_1)^2}{dfrac{R_1}{n}} = nk^2frac{upsilon_1^2}{R_1} = nk^2a_{text{ц1}}] [frac{a_{text{ц2}}}{a_{text{ц1}}} = nk^2 = 3cdot5^2 = 75]

Ответ: 75

Тело движется по окружности радиусом (R=4) м. В какой момент времени центростремительное ускорение (a_text{цс} = 1 text{ м/с$^2$})?

При движении по окужности центростремительное ускорение можно найти по следующей формуле: [a_text{цс} = frac{upsilon^2}{R}] где (v) – скорость тела
Отсюда: [upsilon = sqrt{a_text{цс} cdot R} = sqrt{1 cdot 4} = 2text{ м/с }] По графику видно, что (upsilon = 2) м/с в момент времени (t=5) с.

Ответ: 5

Верхнюю точку моста радиусом 100 м автомобиль проходит со скоростью 20 м/с. Чему равно центростремительное ускорение автомобиля? (Ответ дайте в метрах в секунду в квадрате.)

Центростремительное ускорение (нормальное): (displaystyle a_{text{цс}}=frac{upsilon^2}R=frac{(20 text{ м/с})^2}{100 text{ м}}=4) м/с(^2)

Ответ: 4

Велосипедист едет по круговому треку и замедляется. На рисунке указано направление скорости велосипедиста. Под каким номером верно указано направление центростремительного ускорения? Тангенциального ускорения? Куда направлено полное ускорение? (В ответе укажите последовательность цифр, например: 153)

Нормальная составляющая ускорения (центростремительное ускорение) характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Нормальное ускорение всегда перпендикулярно скорости и направлено к центру по радиусу траектории, по которой движется тело.
Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения величины (модуля) скорости. Тангенциальное ускорение всегда коллинеарно скорости:
1) Если тангенциальная составляющая ускорения сонаправлена со скоростью, то движение будет ускоренное
2) Если тангенциальная составляющая ускорения противонаправлена скорости, то движение будет замедленным
Полное ускорение – это сумма нормального и тангенциального: [vec{a}_{text{полн}}=vec{a}_{text{норм}}+vec{a}_{text{танг}}]
Центростремительное ускорение направлено к центру (4). Так как велосепидист замедляется, то тангенциальное направлено против скорости (2). Полное ускорение является суммой 2 и 4, следовательно полное ускорение под номером 3.

Ответ: 423

Тело равномерно движется по окружности. Угловая скорость тела равна (w=6,5) рад/с. За какое время (t) тело совершит 5,5 оборотов? Принять (pi=3,14). Ответ округлить до десятых.

Cпособ 1:
Найдем длину дуги окружности: [l=2pi r,] где (r) — радиус окружности.
Т.к. тело прошло эту длину 5,5 раз, оно прошло путь: [S=5,5l=11pi rquad(1)] Выразим формульно линейную скорость (v) и угловую скорость тела:

[begin{cases}
v=2pi rnu\
w=2pinu
end{cases}
Rightarrow
v=wrquad(2)]

Т.к. тело движется равномерно, (v=const). По закону равномерного движения: [S=vt] Подставим ((1)) и ((2)): [11pi r=wrt] Осталось выразить (t): [t=dfrac{11pi}{w}=dfrac{11cdot3,14}{6,5text{ рад/с}}approx5,3text{ c}]

Cпособ 2 :
Выразим формульно (w): [w=dfrac{Deltavarphi}{t},quad(1)] где (Deltavarphi) — угол поворота тела. [Deltavarphi=dfrac{S}{r},] где (S=5,5l=5,5cdot2pi r=11pi r) — путь, пройденный телом. [Deltavarphi=dfrac{11pi r}{r}=11piquad(2)] Подставим (2) в (1): [w=dfrac{11pi}{t}] Осталось выразить (t): [t=dfrac{11pi}{w}=dfrac{11cdot3,14}{6,5text{ рад/с}}approx5,3text{ c}]

Ответ: 5,3

Две материальные точки движутся по окружностям радиусами (R_1) и (R_2), причем (R_2 = 3R_1). Скорости тел равны. Чему равно отношение их центростремительных ускорений?

По определению центростремительное ускорение равно: [a_{text{ц1}} = frac{upsilon^2}{R_1}] [a_{text{ц2}} = frac{upsilon^2}{R_2}]

Тогда искомое отношение равно: [frac{a_{text{ц1}}}{a_{text{ц2}}} = frac{dfrac{upsilon^2}{R_1}}{dfrac{upsilon^2}{R_2}} = frac{R_2}{R_1} = frac{3R_1}{R_1} = 3]

Ответ: 3

Точечное тело равномерно движется по окужности радиусом (R=2) м. На рисунке изображён график зависимости угла поворота (varphi) от времени (t). Найдите значение линейной скорости тела в интервале времени (3pi<t<5pi).

Линейная скорость тела, движущегося по окружности: [upsilon = omega cdot R qquad (1)] где (omega) – угловая скорость.
Угловая скорость: [omega = frac{Deltavarphi}{Delta t} qquad (2)] Подставив (2) в (1), получим: [upsilon = frac{Deltavarphi}{Delta t} cdot R] [upsilon = frac{dfrac{pi}{2}}{2pi} cdot 2 =0,5 text{ м/с}]

Ответ: 0,5

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник