Как найти скорость движения в моменты - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Скорость — это быстрота перемещения объекта в заданном направлении. ^[1] В общих целях нахождение скорости объекта (v) — простая задача: нужно разделить перемещение (s) в течение определенного времени (s) на это время (t), то есть воспользоваться формулой v = s/t. Однако таким способом получают среднюю скорость тела. Используя некоторые вычисления, можно найти скорость тела в любой точке пути. Такая скорость называется мгновенной скоростью и вычисляется по формуле v = (ds)/(dt), то есть представляет собой производную от формулы для вычисления средней скорости тела.^[2]

1
Начните с уравнения. Для вычисления мгновенной скорости необходимо знать уравнение, описывающее перемещение тела (его позицию в определенный момент времени),^[3] то есть такое уравнение, на одной стороне которого находится s (перемещение тела), а на другой стороне — члены с переменной t (время).^[4] Например:

s = -1.5t² + 10t + 4
- В этом уравнении:
  
  Перемещение = s. Перемещение — пройденный объектом путь. Например, если тело переместилось на 10 м вперед и на 7 м назад, то общее перемещение тела равно 10 — 7 = 3 м (а на 10 + 7 = 17 м).
  
  Время = t. Обычно измеряется в секундах.
2
Вычислите производную уравнения. Чтобы найти мгновенную скорость тела, чьи перемещения описываются приведенным выше уравнением, нужно вычислить производную этого уравнения. Производная — это уравнение, позволяющее вычислить наклон графика в любой точке (в любой момент времени). Чтобы найти производную, продифференцируйте функцию следующим образом: если y = a*xⁿ, то производная = a*n*x^n-1. Это правило применяется к каждому члену многочлена.
- Другими словами, производная каждого члена с переменной t равна произведению множителя (стоящему перед переменной) и степени переменной, умноженному на переменную в степени, равную исходной степени минус 1. Свободный член (член без переменной, то есть число) исчезает, потому что умножается на 0. В нашем примере:
  
  s = -1.5t² + 10t + 4
  (2)-1.5t^(2-1) + (1)10t^{1 — 1} + (0)4t⁰
  -3t¹ + 10t⁰
  -3t + 10
3
Замените «s» на «ds/dt», чтобы показать, что новое уравнение — это производная от исходного уравнения (то есть производная s от t). Производная — это наклон графика в определенной точке (в определенный момент времени). Например, чтобы найти наклон линии, описываемой функцией s = -1.5t² + 10t + 4 при t = 5, просто подставьте 5 в уравнение производной.
- В нашем примере уравнение производной должно выглядеть следующим образом:
  
  ds/dt = -3t + 10
4
В уравнение производной подставьте соответствующее значение t, чтобы найти мгновенную скорость в определенный момент времени.^[5] Например, если вы хотите найти мгновенную скорость при t = 5, просто подставьте 5 (вместо t) в уравнение производной ds/dt = -3 + 10. Затем решите уравнение:

ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с
- Обратите внимание на единицу измерения мгновенной скорости: м/с. Так как нам дано значение перемещения в метрах, а время — в секундах, и скорость равна отношению перемещения ко времени, то единица измерения м/с — правильная.
Реклама

1
Постройте график перемещения тела. В предыдущей главе вы вычисляли мгновенную скорость по формуле (уравнению производной, позволяющему найти наклон графика в определенной точке).^[6] Построив график перемещения тела, вы можете найти его наклон в любой точке, а следовательно определить мгновенную скорость в определенный момент времени.
- По оси Y откладывайте перемещение, а по оси X — время. Координаты точек (x,у) получите через подстановку различных значений t в исходное уравнение перемещение и вычисления соответствующих значений s.
- График может опускаться ниже оси X. Если график перемещения тела опускается ниже оси X, то это значит, что тело движется в обратном направлении от точки начала движения. Как правило, график не распространяется за ось Y (отрицательные значения x) — мы не измеряем скорости объектов, движущихся назад во времени!
2
Выберите на графике (кривой) точку P и близкую к ней точку Q. Чтобы найти наклон графика в точке P, используем понятие предела. Предел — состояние, при котором величина секущей, проведенной через 2 точки P и Q, лежащих на кривой, стремится к нулю.
- Например, рассмотрим точки P(1,3) и Q(4,7) и вычислим мгновенную скорость в точке P.
3

Найдите наклон отрезка PQ. Наклон отрезка PQ равен отношению разницы значений координат «у» точек P и Q к разнице значений координат «х» точек P и Q. Другими словами, H = (y_Q — y_P)/(x_Q — x_P), где H — наклон отрезка PQ. В нашем примере наклон отрезка PQ равен:

H = (y_Q — y_P)/(x_Q — x_P)
H = (7 — 3)/(4 — 1)
H = (4)/(3) = 1.33
4

Повторите процесс несколько раз, приближая точку Q к точке P. Чем меньше расстояние между двумя точками, тем ближе значение наклона полученных отрезков к наклону графика в точке P. В нашем примере проделаем вычисления для точки Q с координатами (2,4.8), (1.5,3.95) и (1.25,3.49) (координаты точки P остаются прежними):

Q = (2,4.8): H = (4.8 — 3)/(2 — 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8

Q = (1.5,3.95): H = (3.95 — 3)/(1.5 — 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9

Q = (1.25,3.49): H = (3.49 — 3)/(1.25 — 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
5
Чем меньше расстояние между точками P и Q, тем ближе значение H к наклону графика в точке P При предельно малом расстоянии между точками P и Q, значение H будет равно наклону графика в точке P Так как мы не можем измерить или вычислить предельно малое расстояние между двумя точками, графический способ дает оценочное значение наклона графика в точке Р.
- В нашем примере при приближении Q к P мы получили следующие значения H: 1.8; 1.9 и 1.96. Так как эти числа стремятся к 2, то можно сказать, что наклон графика в точке P равен 2.
- Помните, что наклон графика в данной точке равен производной функции (по которой построен этот график) в этой точке. График отображает перемещение тела с течением времени и, как отмечалось в предыдущем разделе, мгновенная скорость тела равна производной от уравнения перемещения этого тела. Таким образом, можно заявить, что при t = 2 мгновенная скорость равна 2 м/с (это оценочное значение).
Реклама

1
Вычислите мгновенную скорость при t = 4, если перемещение тела описывается уравнением s = 5t³ — 3t² + 2t + 9. Этот пример похож на задачу из первого раздела с той лишь разницей, что здесь дано уравнение третьего порядка (а не второго).
- Сначала вычислим производную этого уравнения:
  
  s = 5t³ — 3t² + 2t + 9
  s = (3)5t^{(3 — 1)} — (2)3t^{(2 — 1)} + (1)2t^{(1 — 1) + (0)9t^{0 — 1}
  15t⁽²⁾ — 6t⁽¹⁾ + 2t^{(0)
  15t⁽²⁾ — 6t + 2}}
- Теперь подставим в уравнение производной значение t = 4:
  
  s = 15t⁽²⁾ — 6t + 2
  15(4)⁽²⁾ — 6(4) + 2
  15(16) — 6(4) + 2
  240 — 24 + 2 = 22 м/с
2
Оценим значение мгновенной скорости в точке с координатами (1,3) на графике функции s = 4t² — t. В этом случае точка P имеет координаты (1,3) и необходимо найти несколько координат точки Q, лежащий близко к точке P. Затем вычислим H и найдем оценочные значения мгновенной скорости.
- Сначала найдем координаты Q при t = 2, 1.5, 1.1 и 1.01.
  
  s = 4t² — t
  
  t = 2: s = 4(2)² — (2)
  4(4) — 2 = 16 — 2 = 14, so Q = (2,14)
  
  t = 1.5: s = 4(1.5)² — (1.5)
  4(2.25) — 1.5 = 9 — 1.5 = 7.5, so Q = (1.5,7.5)
  
  t = 1.1: s = 4(1.1)² — (1.1)
  4(1.21) — 1.1 = 4.84 — 1.1 = 3.74, so Q = (1.1,3.74)
  
  t = 1.01: s = 4(1.01)² — (1.01)
  4(1.0201) — 1.01 = 4.0804 — 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704)
- Теперь вычислим H:
  
  Q = (2,14): H = (14 — 3)/(2 — 1)
  H = (11)/(1) = 11
  
  Q = (1.5,7.5): H = (7.5 — 3)/(1.5 — 1)
  H = (4.5)/(.5) = 9
  
  Q = (1.1,3.74): H = (3.74 — 3)/(1.1 — 1)
  H = (.74)/(.1) = 7.3
  
  Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 — 3)/(1.01 — 1)
  H = (.0704)/(.01) = 7.04
- Так как полученные значения H стремятся к 7, то можно сказать, что мгновенная скорость тела в точке (1,3) равна 7 м/с (оценочное значение).
Реклама

Советы

Чтобы найти ускорение (изменение скорости с течением времени), используйте метод из первой части, чтобы получить производную функции перемещения. Затем возьмите еще раз производную от полученной производной. Это даст вам уравнение для нахождения ускорения в данный момент времени — все, что вам нужно сделать, это подставить значение для времени.
Уравнение, описывающее зависимость у (перемещение) от x (время), может быть очень простым, например: у = 6x + 3. В этом случае наклон является постоянным и не надо брать производную, чтобы его найти. Согласно теории линейных графиков, их наклон равен коэффициенту при переменной x, то есть в нашем примере =6.
Перемещение подобно расстоянию, но оно имеет определенное направление, что делает его векторной величиной. Перемещение может быть отрицательным, в то время как расстояние будет только положительным.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 83 497 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

2.2.1 Как перевести из км/ч в м/с и т. д?

В задачах часто необходимо переводить из одних единиц измерения в другие:

1 км/ч = (1000 м)/(3600 с) = 5/18 м/с,

1 м/с = 18/5 км/ч,

1 км/с = 1000 м/с,

1 см/с = 0,01 м/с,

1 м/мин = 1/60 м/с.

Например, если то для того, чтобы перевести в м/с, нужно умножить на 5/18:

2.2.2 Как найти скорость тела, если известен закон движения?

Закон равномерного движения имеет вид:

Видим, что в этой формуле скорость стоит коэффициентом перед временем. Поэтому, если в условии задачи дан закон движения, необходимо посмотреть на коэффициент перед t — это и есть скорость.

Например, пусть закон движения имеет вид: В данном случае коэффициент перед t равен 5, следовательно,

2.2.3 Как определить скорость по графику координаты от времени?

Закон равномерного движения имеет вид:

Графиком этого закона является прямая линия. Так как nu_x — коэффициент перед t, то nu_x является угловым коэффициентом прямой.

Для графика 1:

То, что график 1 «поднимается вверх», означает — тело едет в положительном направлении оси Ox.

Для графика 2:

То, что график 2 «опускается вниз», означает — тело едет в отрицательном направлении оси Ox.

Для определения Delta x и Delta t выбираем такие точки на графике, в которых можно точно определить значения, как правило, это точки, находящиеся в вершинах клеток.

2.2.4 Как найти закон движения, если известны координаты тела в моменты времени и ?

Пусть в момент времени t_1 тело находилось в точке с координатой x_1, а в момент времени t_2 тело находилось в точке с координатой x_2.

Для времени t_1 имеем:

Для времени t_2 имеем:

Решая систему уравнений (2.19) и (2.20), получим

2.2.5 Как найти графически момент и координату встречи двух тел?

Пусть даны законы движения двух тел: и Согласно пункту 2.5 графиками обоих законов являются прямые линии. Необходимо на одном графике построить оба закона.

Графики пересекаются в одной точке. Координаты этой точки и являются временем и местом встречи.

2.2.6 Как аналитически найти координату и время встречи двух тел?

Пусть даны законы движения двух тел: и В момент встречи тела оказываются в одной координате, то есть и необходимо решить уравнение:

Решение уравнения имеет вид:

Для нахождения координаты достаточно подставить вместо t найденное значение в любой из законов движения:

или

2.2.7 Как найти среднюю скорость, если тело половину пути проехало со скоростью а вторую половину пути

По определению (2.8):

В нашем случае, так как на каждой половине пути тело едет с постоянной скоростью, то

Получаем

В общем случае, если весь путь разбить на n равных участков, на каждом из которых тело едет с постоянной скоростью, то

Формула справедлива только если весь путь разбит на равные участки. Если же разбиение будет иное, то, естественно, формула для нахождения средней скорости, будет иной.

2.2.8 Как найти среднюю скорость, если тело половину времени проехало со скоростью а вторую половину времени

По определению (2.8):

В нашем случае, так как каждую половину времени тело едет с постоянной скоростью, то

Получаем

В общем случае, если все время разбито на n равных промежутков, на каждом из которых тело едет с постоянной скоростью, то

Формула справедлива только если все время разбито на равные промежутки. Если же разбиение будет иное, то, естественно, формула для нахождения средней скорости, будет иной.

2.2.9 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка по течению реки?

Согласно формуле скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (в нашем случае земли), равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета u (в нашем случае — скорость реки) и скорости в подвижной системе отсчета nu_0 (в нашем случае — собственная скорость лодки).

При движении по течению вектора и vecu направлены в одну сторону, следовательно, получаем сложение двух векторов, направленных в одну сторону — используем формулу (1.15):

Таким образом, при движении любого тела по течению его скорость определяется формулой

2.2.10 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка против течения реки?

Согласно формуле скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (в нашем случае земли) равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета u (в нашем случае — скорость реки) и скорости в подвижной системе отсчета nu_0 (в нашем случае — собственная скорость лодки).

Перепишем формулу в виде:

Вектора и направлены в одну сторону, следовательно, получаем вычитание двух векторов, направленных в одну сторону — используем формулу :

2.2.11 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка, если ее скорость направлена перпендикулярно течению реки?

В данном случае вектора и vecnu направлены перпендикулярно, следовательно, получаем задачу о сложении взаимно перпендикулярных векторов — используем формулу :

2.2.12 Как найти расстояние, на которое снесет лодку, если ее скорость направлена перпендикулярно скорости реки?

В результате сложения скоростей по формуле скорость тела относительно земли равна vecnu и направлена по прямой OD. В результате, когда тело окажется на противоположном берегу, оно попадет в точке D, и его снесет на длину CD=S.

Треугольник OAB подобен треугольнику OCD:

2.2.13 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка, если ее скорость направлена под углом φ к скорости течения реки?

В результате сложения скоростей по формуле скорость тела относительно земли равна vecnu и направлена по прямой OB. Как видим, получили треугольник, в котором известен один из углов — Тогда по теореме косинусов:

2.2.14 Как найти расстояние, на которое снесет лодку, если ее скорость направлена под углом к скорости течения реки?

В результате сложения скоростей по формуле скорость тела относительно земли равна vecnu и направлена по прямой OB. В результате, когда тело окажется на противоположном берегу, оно попадет в точке В, и его снесет на длину АВ=S.

В задачах, когда движение происходит в плоскости, то есть и вдоль оси Ox, и вдоль оси Oy, необходимо введение системы координат для того, чтобы упростить рассмотрение задачи.

Проекция nu_x:

Проекция nu_y:

Формулы и не просто результат математической операции нахождения проекции, nu_x и nu_y имеют физический смысл: со скоростью nu_x тело плывет вдоль оси Ox, то есть по течению; со скоростью nu_y тело переплывает реку. Например, время, за которое тело переплывет реку, можно найти просто поделив ширину реки на nu_y:

Тогда

2.2.15 Под каким углом α нужно направить собственную скорость лодки, чтобы за минимальное время переплыть реку?

Согласно формуле скорость, с которой лодка переплывает реку, равна:

Очевидно, что время будет минимальным, если nu_y будет максимальным, то есть

2.2.16 С какой скоростью машина обгоняет вторую машину, если они движутся в одну сторону?

Пусть 1-ая машина движется вправо со скоростью а 2-ая машина также движется вправо со скоростью Скорость обгона — это скорость, с которой 1-ая машина движется относительно 2-ой, то есть — это относительная скорость, и она определяется формулой :

Так как и направлены в одну сторону, то получили задачу о вычитании векторов, направленных в одну сторону — формула :

Заметим, что при обгоне, естественно поэтому

2.2.17 За какое время проедут мимо друг друга два поезда, двигающиеся в одном направлении?

Пусть длина 1-го поезда L_1, а скорость 2-го поезда L_2. Скорость обгона определяется формулой Тогда

2.2.18 С какой скоростью машина едет навстречу вторую машину, если они движутся в противоположных направлениях?

Пусть 1-ая машина движется вправо со скоростью а 2-ая машина движется влево со скоростью Скорость движения навстречу — это скорость, с которой 1-ая машина движется относительно 2-ой, то есть — это относительная скорость, и она определяется формулой :

Перепишем эту формулу в виде:

2.2.19 За какое время проедут мимо друг друга два поезда, двигающиеся в противоположных направлениях?

Пусть длина 1-го поезда L_1, а скорость 2-го поезда L_2. Скорость обгона определяется формулой Тогда

2.2.20 Как найти относительную скорость, если тела движутся по взаимно перпендикулярным направлениям?

Пусть 1-ая машина движется вправо со скоростью а 2-ая машина движется перпендикулярно первой со скоростью Относительная скорость определяется формулой :

Так как вектора и перпендикулярны, то воспользуемся формулой :

Источник

Определение

Скорость — это термин, который характеризует изменение заданной координаты в движении.

В ситуации, когда координаты изменяют свое положение относительно оси, следовательно, их материальная точка будет находится в процессе движения.

Средняя скорость — это величина векторного типа, которая имеет определенное числовое равенство относительно перемещения совершаемого в конкретную единицу времени, и направлена совместно я с векторным перемещением.

Средняя скорость – довольно простое понятие в разделе кинематика.

Определение

Следовательно, средняя скорость – это конкретная величина, которая равна отношению пройденного пути, к величине времени, за которое данный путь пройден телом.

[v_{mathrm{cp}}=frac{S}{t}]

Основные моменты, на которые следует уделить внимание при определении средней скорости:

Необходимое время, которое учитывается, когда тело в процессе движения может делать кратковременные остановки;
Определение правильной величины средней скорость тела, которое начинает движение в пункте А и оканчивает его в пункте В. Но в процессе движения, может повернуть несколько раз обратно, а затем снова продолжает движение в заданном направлении, двигаясь в пункт В.

Модуль для определения средней скорости движения вычисляется по следующей формуле: V=s/t.

Определение

Мгновенная скорость — это некий числовой предел, к которому стремится показатель средней скорости.

Мгновенная скорость, как правило, характеризует заданное движение точки в конкретный и определенный момент времени.

Для любой категории характерно бесконечное количество точек. Потому что каждый временной интервал включает в себя бесконечное количество мгновений.

Когда сам временной интервал стремится к нулевому значению, то он автоматически преобразуется в мгновение.

Формула

Мгновение скорости можно определить по следующей формуле: v=s/Δt
где:
v – скорость мгновения, м/с
s – движение, перемещение тела, м ( если Δt→0 )
Δt – временной интервал, который стремится к нулевому значению, с.

Стоит отметить, что мгновенная скорость – это величина, которая изображена как вектор. Она равняется отношению движения к временному интервалу. А именно: промежуток времени, за который данное перемещение происходит, при условии, что временной интервал стремится к нулевому значению.

Временной интервал движения тела – это всегда скляр с положительным значением. Поэтому мгновенная скорость и ее векторное значение, всегда сонаправлено с перемещением, которое имеет значение стремящееся к нулю.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Направление и перемещение действия средней и мгновенной скорости относительно координатной оси

Средняя скорость всегда направлена вместе с перемещением:

Для мгновенной скорости характерно движение в конкретный момент времени.

Направление векторной скорости, которая обозначается как: υ расположено по касательной, относительно криволинейной траектории.

Так как непрерывное малое перемещение однозначно совпадает с бесконечно малым элементом траектории.

Примеры решения задач по определению мгновенной и средней скорости

Пример №1:

Имеет ли способность мгновенная скорость, изменять свое значение только относительно направления, при этом не меняя модульную величину.

Используя основные термины и формулы, решим данную задачу. При решении необходимо рассмотреть пример:

Движение тела происходит по криволинейной траектории. На ней необходимо обозначить начальный и конечный пункты, а именно: точки А и В.
Далее нужно обозначить основное направление мгновенной скорости в заданных ранее точках.
Следует помнить, что мгновенная скорость имеет направление относительно касательной по траектории.
Расстояние и скорость имеют одинаковые значения по модулю и, следовательно, равны 5 м/с.

[left|vec{V}_{A}right|=left|vec{V}_{B}right|=5 frac{м}{c}]

Следующее равенство вида: [vec{V}_{A}=vec{V}_{B}] будет неверным. Так как скорость – является векторной величиной. Поэтому очень важно задать не только числовое значение, но направление по которому будет осуществляться движение.

В случае, когда [vec{V}_{A}=vec{V}_{B}] можно составить равенство следующего вида:[vec{V}_{A}-vec{V}_{B}=0] однако определив вектор разности значений [Delta vec{V}], можно сделать вывод, что его значение не равно нулевому.

Следовательно, [vec{V}_{A} neq vec{V}_{B}], другими словами мгновенная скорость может быть равна нулевому значению и быть равной по модулю. Однако, при этом различаться по основному направлению движения.

Пример №2:

Возможно ли изменение по модульному значению мгновенной скорости, но при этом направление остается неизменным.

Алгоритм решения:

Рассмотрев рисунок, который приведен выше, можно сделать вывод, что:

в точке А и в точке В направление движения мгновенной скорости одинаково;
рассматриваемое тело, которое осуществляет движение, делает это с равным ускорением, следовательно:

[vec{V}_{A}=vec{V}_{B}]

Источник

Download Article

Velocity is defined as the speed of an object in a given direction.^[1] In many common situations, to find velocity, we use the equation v = s/t, where v equals velocity, s equals the total displacement from the object’s starting position, and t equals the time elapsed. However, this technically only gives the object’s average velocity over its path. Using calculus, it’s possible to calculate an object’s velocity at any moment along its path. This is called instantaneous velocity and it is defined by the equation v = (ds)/(dt), or, in other words, the derivative of the object’s average velocity equation.^[2]

1
Start with an equation for velocity in terms of displacement. To get an object’s instantaneous velocity, first we have to have an equation that tells us its position (in terms of displacement) at a certain point in time. This means the equation must have the variable s on one side by itself and t on the other (but not necessarily by itself), like this:

s = -1.5t² + 10t + 4
- In this equation, the variables are:
  
  Displacement = s . The distance the object has traveled from its starting position.^[3] For example, if an object goes 10 meters forward and 7 meters backward, its total displacement is 10 — 7 = 3 meters (not 10 + 7 = 17 meters).
  
  Time = t . Self explanatory. Typically measured in seconds.
2
Take the equation’s derivative. The derivative of an equation is just a different equation that tells you its slope at any given point in time. To find the derivative of your displacement formula, differentiate the function with this general rule for finding derivatives: If y = a*xⁿ, Derivative = a*n*x^n-1.This rule is applied to every term on the «t» side of the equation.^[4]
- In other words, start by going through the «t» side of your equation from left to right. Every time you reach a «t», subtract 1 from the exponent and multiply the entire term by the original exponent. Any constant terms (terms which don’t contain «t») will disappear because they be multiplied by 0. This process isn’t actually as hard as it sounds — let’s derive the equation in the step above as an example:
  
  s = -1.5t² + 10t + 4
  (2)-1.5t^(2-1) + (1)10t^{1 — 1} + (0)4t⁰
  -3t¹ + 10t⁰
  -3t + 10
Advertisement
3
Replace «s» with «ds/dt.» To show that our new equation is a derivative of the first one, we replace «s» with the notation «ds/dt». Technically, this notation means «the derivative of s with respect to t.» A simpler way to think of this is just that ds/dt is just the slope of any given point in the first equation. For example, to find the slope of the line made by s = -1.5t² + 10t + 4 at t = 5, we would just plug «5» into t in its derivative.
- In our running example, our finished equation should now look like this:
  
  ds/dt = -3t + 10
4
Plug in a t value for your new equation to find instantaneous velocity.^[5] Now that you have your derivative equation, finding the instantaneous velocity at any point in time is easy. All you need to do is pick a value for t and plug it into your derivative equation. For example, if we want to find the instantaneous velocity at t = 5, we would just substitute «5» for t in the derivative ds/dt = -3 + 10. Then, we’d just solve the equation like this:

ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 meters/second
- Note that we use the label «meters/second» above. Since we’re dealing with displacement in terms of meters and time in terms of seconds and velocity in general is just displacement over time, this label is appropriate.

1
Graph your object’s displacement over time. In the section above, we mentioned that derivatives are just formulas that let us find the slope at any point for the equation you take the derivative for.^[6] In fact, if you represent an object’s displacement with a line on a graph, the slope of the line at any given point is equal to the object’s instantaneous velocity at that point.^[7]
- To graph an object’s displacement, use the x axis to represent time and the y axis to represent displacement. Then, just plot points by plugging values for t into your displacement equation, getting s values for your answers, and marking the t,s (x,y) points on the graph.
- Note that the graph can extend below the x axis. If the line representing your object’s motion drops below the x axis, this represents your object moving behind where it started. Generally, your graph won’t extend behind the y axis — we don’t often measure velocity for objects moving backward in time!
2
Choose one point P and a point Q that is near it on the line. To find a line’s slope at a single point P, we use a trick called «taking a limit.» Taking a limit involves taking two points (P, plus Q, a point near it) on the curved line and finding the slope of the line linking them over and over again as the distance between P and Q gets smaller.
- Let’s say that our displacement line contains the points (1,3) and (4,7). In this case, if we want to find the slope at (1,3), we can set (1,3) = P and (4,7) = Q.
3

Find the slope between P and Q. The slope between P and Q is the difference in y-values for P and Q over the difference in x-values for P and Q. In other words, H = (y_Q — y_P)/(x_Q — x_P), where H is the slope between the two points. In our example, the slope between P and Q is:

H = (y_Q — y_P)/(x_Q — x_P)
H = (7 — 3)/(4 — 1)
H = (4)/(3) = 1.33
4

Repeat several times, moving Q nearer to P. Your goal here is to make the distance between P and Q smaller and smaller until it gets close to a single point. The smaller the distance between P and Q gets, the closer the slope of your tiny line segments will be to the slope at point P. Let’s do this a few times for our example equation, using the points (2,4.8), (1.5,3.95), and (1.25,3.49) for Q and our original point of (1,3) for P:

Q = (2,4.8): H = (4.8 — 3)/(2 — 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8

Q = (1.5,3.95): H = (3.95 — 3)/(1.5 — 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9

Q = (1.25,3.49): H = (3.49 — 3)/(1.25 — 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
5
Estimate the slope for an infinitely small interval on the line. As Q gets closer and closer to P, H will get closer and closer to the slope at point P. Eventually, at an infinitely small interval, H will equal the slope at P. Because we aren’t able to measure or calculate an infinitely small interval, we just estimate the slope at P once it’s clear from the points we’ve tried.^[8]
- In our example, as we moved Q closer to P, we got values of 1.8, 1.9, and 1.96 for H. Since these numbers appear to be approaching 2, we can say that 2 is a good estimate for the slope at P.
- Remember that the slope at a given point on a line is equal to the derivative of the line’s equation at that point. Since our line is showing our object’s displacement over time and, as we saw in the section above, an object’s instantaneous velocity is the derivative of its displacement at a given point, we can also say that 2 meters/second is a good estimate for the instantaneous velocity at t = 1.

1
Find the instantaneous velocity at t = 4 given the displacement equation s = 5t³ — 3t² + 2t + 9. This is just like our example in the first section, except that we’re dealing with a cubic equation rather than a quadratic equation, so we can solve it in the same way.
- First, we’ll take our equation’s derivative:
  
  s = 5t³ — 3t² + 2t + 9
  s = (3)5t^{(3 — 1)} — (2)3t^{(2 — 1)} + (1)2t^{(1 — 1) + (0)9t^{0 — 1}
  15t⁽²⁾ — 6t⁽¹⁾ + 2t^{(0)
  15t⁽²⁾ — 6t + 2}}
- Then, we’ll plug in our value for t (4):
  
  s = 15t⁽²⁾ — 6t + 2
  15(4)⁽²⁾ — 6(4) + 2
  15(16) — 6(4) + 2
  240 — 24 + 2 = 218 meters/second
2
Use graphical estimation to find the instantaneous velocity at (1,3) for the displacement equation s = 4t² — t. For this problem, we’ll use (1,3) as our P point, but we’ll have to find a few other points near it to use as our Q points. Then, it’s just a matter of finding our H values and making an estimation.
- First, let’s find Q points at t = 2, 1.5, 1.1 and 1.01.
  
  s = 4t² — t
  
  t = 2: s = 4(2)² — (2)
  4(4) — 2 = 16 — 2 = 14, so Q = (2,14)
  
  t = 1.5: s = 4(1.5)² — (1.5)
  4(2.25) — 1.5 = 9 — 1.5 = 7.5, so Q = (1.5,7.5)
  
  t = 1.1: s = 4(1.1)² — (1.1)
  4(1.21) — 1.1 = 4.84 — 1.1 = 3.74, so Q = (1.1,3.74)
  
  t = 1.01: s = 4(1.01)² — (1.01)
  4(1.0201) — 1.01 = 4.0804 — 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704)
- Next, let’s get our H values:
  
  Q = (2,14): H = (14 — 3)/(2 — 1)
  H = (11)/(1) = 11
  
  Q = (1.5,7.5): H = (7.5 — 3)/(1.5 — 1)
  H = (4.5)/(.5) = 9
  
  Q = (1.1,3.74): H = (3.74 — 3)/(1.1 — 1)
  H = (.74)/(.1) = 7.3
  
  Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 — 3)/(1.01 — 1)
  H = (.0704)/(.01) = 7.04
- Since our H values seem to be getting very close to 7, we can say that 7 meters/second is a good estimate for the instantaneous velocity at (1,3).

Add New Question

Question

What is the difference between instantaneous and average velocity?

Instantaneous is at that moment, whereas average is the mean of the entire time span.
Question

How do I calculate instantaneous acceleration?

Instantaneous acceleration can be considered as the value of the derivative of the instantaneous velocity. For example:

s = 5(t^3) — 3(t^2) + 2t + 9
v = 15(t^2) — 6t + 2
a = 30t — 6

If we want to know the instantaneous acceleration at t = 4, then a(4) = 30 * 4 — 6 = 114 m/(s^2)
Question

When is instantaneous velocity and average velocity the same?

Instantaneous velocity tells you the velocity of an object at a single moment in time. If the object is moving with a constant velocity, then the average velocity and instantaneous velocity will be the same. In all situations, they are not likely to be the same.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

To find acceleration (the change in velocity over time), use the method in part one to get a derivative equation for your displacement function. Then, take another derivative, this time of your derivative equation. This will give you an equation for finding acceleration at a given time — all you have to do is plug in your value for time.
The equation which relates Y (displacement) to X (time) might be really simple, like, for instance, Y= 6x + 3. In this case the slope is constant and it is not necessary to find a derivative to find the slope, which is, following the Y = mx + b basic model for linear graphs, 6.
Displacement is like distance but it has a set direction, this makes displacement a vector and speed a scalar. Displacement can be negative while distance will only be positive.

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate instantaneous velocity, start with an equation for velocity in terms of displacement, which should have an «s» on one side for displacement and a «t» on the other for time. Then, take the equation’s derivative and replace the «s» with the notation «ds» over «dt.» Finally, plug in a «t» value and solve the equation to find the instantaneous velocity at any point in time. To learn how to estimate instantaneous velocity graphically, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,051,180 times.

Did this article help you?

Источник

Мгновенная скорость, теория и онлайн калькуляторы

Мгновенная скорость

Мгновенная скорость при прямолинейном движении материальной точки

При рассмотрении неравномерного движения часто интересует не средняя скорость движения тела, а скорость в определенный момент времени, или мгновенная скорость. Так, если тело стукнулось о препятствие, то сила воздействия тела на препятствие в момент удара, определено скоростью в момент соударения, а не средней скоростью движения тела. Форма траектории перемещения снаряда и его дальность полета зависит от скорости в момент запуска, а не от средней скорости.

Средняя скорость ($leftlangle vrightrangle $) движения материальной точки по оси X равна:

[leftlangle vrightrangle =frac{Delta x}{Delta t}left(1right),]

$Delta t$ — промежуток времени движения тела.

Определение

Мгновенную скорость определим как предел к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:

[v={mathop{lim }_{Delta tto 0} leftlangle vrightrangle }={mathop{lim }_{Delta tto 0} frac{Delta x}{Delta t}left(2right). }]

Такой предел в математике называют производной:

[v=frac{dx}{dt}=dot{x}left(3right).]

Выражение (3) обозначает, что мгновенная скорость (скорость в определенный момент времени) — производная от координаты. При прямолинейном движении материальной точки Мгновенную скорость можно определить как производную от пути ($s$) по времени:

[v=frac{ds}{dt}=dot{s}left(4right).]

Мгновенная скорость равномерного движения материальной точки

Средняя скорость равномерно движущейся точки величина постоянная, значит, мгновенная скорость равномерно перемещающейся точки является неизменной величиной.

Скорость равномерного движения численно равна тангенсу угла наклона прямой к оси времени (рис.1):

[v=k tg alpha left(4right),]

где $k$ — безразмерный коэффициент, определяющий отношение масштаба единиц перемещения (ось ординат) и единиц времени (ось абсцисс).

При графическом изображении переменного движения материальной точки мгновенная скорость численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику и осью абсцисс.

Мгновенная скорость при криволинейном движении

Положение материальной точки на траектории зададим радиус-вектором $overline{r}(t)$, который проведем в точку наблюдения из какой-либо неподвижной точки, которую примем за начало координат. Тогда мгновенной скоростью материальной точки будет векторная величина, равная:

[overline{v}=frac{doverline{r}}{dt}=dot{overline{r}}left(5right).]

скорость — это вектор, направленный по касательной к траектории движения материальной точки в месте нахождения частицы.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Две материальные точки движутся согласно уравнениям:

[left{ begin{array}{c}
x_1=-3t+4t^2-t^3(м) \
x_2=t-2t^2-t^3(м) end{array}
right.left(1.1right),]

в какой момент времени скорости этих точек будут равны?

Решение. В задаче речь идет о нахождении времени, когда будут равны мгновенные скорости материальных точек. Величину мгновенной скорости будем находить как:

[v=frac{dx}{dt}left(1.2right).]

Тогда подставляя по очереди уравнения из системы (1.1) получим:

[left{ begin{array}{c}
v_1=frac{dx_1}{dt}=-3+8t-3t^2 \
v_2=frac{dx_2}{dt}=1-4t-3t^2 end{array}
right.left(1.3right).]

Приравняем правые части уравнений в системе (1.3), найдем момент времени в который скорости равны ($v_1=v_2$):

[-3+8t-3t^2=1-4t-3t^2to 8t+4t=1+3to 12t=4to t=frac{1}{3}left(cright).]

Ответ. $t=frac{1}{3}$ с

Пример 2

Задание. Материальная точка движется на плоскости XOY. Закон изменения координаты $x$ задан графиком рис.2 . Координата $y $задана аналитическим выражением: $y=At(1+Bt)$, где $A$ и $B$ постоянные величины. Запишите выражение, связывающее мгновенную скорость и время ($v(t)$).

Решение. Из рис. 2 мы можем записать уравнение, которое определяет изменение координаты $x$ от времени:

[xleft(tright)=At left(2.1right).]

Получили, что движение материальной точки в плоскости XOY описывают при помощи системы уравнений:

[left{ begin{array}{c}
xleft(tright)=At;; \
y=Atleft(1+Btright) end{array}
left(2.2right).right.]

Найдем составляющие скорости движения материальной точки:

[v_x=frac{dx}{dt}=frac{d}{dt}left(Atright)=A;;]

[v_y=frac{dy}{dt}=frac{d}{dt}left(Atleft(1+Btright)right)=A+2ABt.]

Модуль скорости найдем как:

[v=sqrt{v^2_x+v^2_y}=sqrt{A^2+{(A+2ABt)}^2}=sqrt{A^2+A^2+2A^2Bt+4A^2B^2t^2}=]

[=Asqrt{2+2Bt+4B^2t^2.}]

Ответ. $v=Asqrt{2+2Bt+4B^2t^2}$

Читать дальше: механические волны.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник