Пример решения задачи по определению в заданный момент времени скорости и ускорения точки обода колеса и груза, движущегося равноускоренно из состояния покоя.
Задача
Груз A, подвешенный на нити AB, намотанной на колесо, опускается равноускоренно из состояния покоя, приводя во вращение колесо (рисунок 1.9). За первые 3 секунды колесо совершает 9 оборотов.
Рис. 1.9
Определить в конце 5-й секунды скорость и ускорение точки обода колеса, а также груза A, если диаметр колеса D=30см.
Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >
Решение
Колесо вращается равноускоренно согласно уравнению:
При этом угловая скорость ω = ω0 + εt.
Рис. 1.10
Примем начальные условия: φ0= 0 и ω0= 0, тогда имеем
Определим угловое ускорение:
Угловая скорость колеса в конце 5-й секунды
Определим модули вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений точки обода колеса в тот же момент времени:
Модуль полного ускорения точки обода колеса
Скорость груза равна скорости точки обода колеса
Ускорение груза равно вращательному ускорению точки обода
Другие примеры решения задач >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату
Содержание:
- Поступательное и вращательное движение твердого тела
- Порядок решения задач на вращательное движение твердого тела
- Примеры решения задач
- Задания темы К2
- Пример решения задания темы К2
- Поступательное движение твердого тела
- Вращательное движение твердого тела
- Равномерное и равнопеременное вращательное движение тела
- Скорость и ускорение точек вращающегося тела
- Примеры решения задач
Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любой отрезок, соединяющий любые две точки тела, остается параллельным самому себе. Одинаковыми остаются при поступательном движении перемещение, траектория, путь, скорость, ускорение. 3. Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой перпендикулярной плоскостям этих окружностей.
На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.
Поступательное и вращательное движение твердого тела
Краткие сведения по теории:
Поступательным называется такое движение твердого тела по траектории произвольной формы, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, при
перемещении вместе с телом остается параллельной самой себе.
Главное свойство поступательного движения тела определяется теоремой, согласно которой при поступательном движении тела все его точки движутся по одинаковым (при
наложении совпадают) траекториям и имеют в каждый момент времени одинаковые векторы скоростей и одинаковые векторы ускорений:
Таким образом, поступательное движение твердого тела полностью определяется движением любой его точки, движение которой было рассмотрено в теме К1.
Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором все его точки, что принадлежат определенной неизменно связанной с телом прямой,
которую называют осью вращения, остаются неподвижными, а траекториями остальных точек тела будут концентрические круги в плоскостях, перпендикулярные оси вращения, и с центрами, которые лежат на этой оси.
Положение тела при его вращении вокруг оси относительно исходного положения в любой момент времени определяется углом поворота тела. Таким образом,
кинематическим уравнением вращательного движения тела является
зависимость от времени его угла повороту 
Единицей угла поворота тела в системе СИ является радиан:
Кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость 
и угловое ускорение 
Угловая скорость 
характеризует изменение угла поворота тела за единицу времени и в настоящее момент времени равен первой производной от угла поворота по времени:
Единицей угловой скорости в системе СИ является радиан разделен на секунду: 
Знак угловой скорости 
определяет направление вращения тела. Если 
то с положительного направления оси вращения движение тела будет видно против хода часовой стрелки, а если 
то — наоборот.
В технике угол поворота пропорционален количеству оборотов 
что сделало тело за некоторый промежуток времени. В этом случае угол поворота тела 
в радианах можно найти по зависимости:
Угловую скорость вращения тела часто задают числом оборотов за одну минуту 
Угловую скорость 
в этом случае определяют по формуле:
где n — подставляют в об/мин.
Угловое ускорение 
характеризует изменение угловой скорости тела со временем и в данный момент времени, численно равно первой производной от угловой скорости или второй производный от угла поворота по времени:
Единицей углового ускорения в системе СИ является радиан разделен на секунду в квадрате:
Знак углового ускорения 
зависит от характера вращения тела. Если вращение тела ускоренное, то знаки 
и 
совпадают, а если вращение замедленное, то знаки и разные.
В случае равномерного вращательного движения тела его угловая скорость будет устойчивой 
а угловое ускорение равно нулю 
Угол поворота тела в этом случае вычисляется по формуле :
где 
начальный угол поворота тела при t= 0.
В случае равномерно переменного вращательного движения тела его угловое ускорение будет постоянным 
Угловая скорость и угол поворота тела в этом случая вычисляются по формулам:
где 
соответственно угол поворота тела и угловая
скорость в момент времени t=0.
Линейной или круговой скоростью любой точки М тела, вращающегося есть произведение угловой скорости тела на расстояние ОМ от оси вращения до
этой точки (радиус круга, по которому движется точка):
Направленная линейная скорость (рис. К2.1) по касательной к окружности (перпендикулярно к радиусу), что пишет точка тела, которое вращается, в сторону движения тела (в сторону угловой скорости).
Полное ускорение произвольной точки М тела, что вращается, и которая не лежит на оси
вращения, можно разложить на две составляющие по осям природной системы координат 
и n:
тангенциальное (или касательное) ускорение, которое направлено по касательной к траектории точки тела (перпендикулярно к радиусу) в сторону углового ускорения и определяется по формуле:
и нормальное (или центростремительное) ускорение, которое направлено вдоль радиуса к оси вращения тела и определяется по формуле:
Полное ускорение точки соответственно равно:
Порядок решения задач на вращательное движение твердого тела
При решении задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси рекомендуется соблюдать такую последовательность:
1. Выбрать систему координат таким образом, чтобы одна из осей (как правило ось z) совпадала с осью вращения.
2. Составить уравнение вращательного движения твердого тела (зависимость угла поворота 
от времени t).
3. Дифференцируя по времени зависимость для угла поворота, определить величину угловой скорости 
4. Определить вторую производную от угла поворота по времени, найти величину углового ускорения 
5. Воспользовавшись угловой скоростью 
определить линейную скорость нужной точки тела и ее нормальное ускорение 
6. Воспользовавшись угловым ускорением 
определить касательное ускорение нужной точки тела.
7. Найти величину и направление полного ускорения этой точки.
Примеры решения задач
Задача 1
Вал начинает вращаться с постоянным ускорением с состояния покоя. За первые 5 секунд вал делает N = 12,5 оборота.
Определить угловую скорость вала в конце промежутка времени, которое рассматривается.
Решение. При равноускоренном вращении тела угловая скорость 
меняется по закону:
Поскольку по условию задачи 
то 
Таким образом, для определения угловой скорости вала надо найти его угловое ускорение 
Угол поворота тела при равноускоренном вращении определяется по формуле:
Поскольку 
и 
то
Угол поворота вала за число оборотов N равняется:
Тогда:
Подставив выражение для 
в формулу для 
С учетом числовых данных:
Ответ: 
Задача 2
Шкив ременной передачи начинает вращаться из состояния спокойствия с устойчивым угловым ускорением и через 10 минут от начала движения имеет угловую скорость, которая соответствует 120 об/мин.
Определить число оборотов N, которые сделал шкив за 10 минут.
Решение. Число оборотов N можно определить, если известен угол 
на который вернулся шкив за 10 минут.
Поскольку 
то 
Угол поворота тела при равноускоренном вращении равен:
Поскольку 
и 
то
Таким образом:
Для определения углового ускорения 
воспользуемся формулой для угловой скорости при равноускоренном вращении тела:
Поскольку
то 
С другой стороны, из-за числа оборотов в минуту
Тогда:
Если подставить 
в формулу для N, получим:
При n =120 об/мин и t=600 с, найдем:
Ответ: N = 600 об.
Задача 3
Колесо радиусом R = 0, 2 м начинает вращаться с состояния покоя с постоянным ускорением. Через t = 10 c от начала движения точка, лежащая на ободе колеса, имеет линейную скорость V = 10 м/с.
Определить скорость, нормальное и касательное ускорение точек обода колеса в момент времени 
от начала движения.
Решение. Для определения 
и 
воспользуемся зависимостями вращательного движения:
Таким образом, для определения 
и 
надо найти угловую скорость и угловое ускорение колеса в момент времени 
Определим угловую скорость в момент времени 
Поскольку при 
скорость точки обода колеса 
то:
При равноускоренном вращении тела 
угловая скорость меняется по закону:
Поскольку 
то 
В момент времени 
угловая скорость тела соответственно будет равняться:
Тогда:
На рис. 1 показаны направления определенных векторов.
Поскольку 
и 
направление 
и 
совпадают. Нормальное ускорение
направлено в центр вращения шкива.
Ответ: 
Задача 4
Вращательное движение вала радиусом 
вызывается грузом P, подвешенным к нитке, которая намотана на вал (рис.1). Груз Р движется вертикально по закону 
где 
расстояние от тела до точки совпадения нити с поверхности вала в метрах, t — время в секундах.
Определить угловую скорость 
и угловое ускорение 
вала и полное ускорение 
точки на поверхности вала в произвольный момент времени t.
Решение. Величина скорости 
точки M обода вала равняется скорости нити,
что сматывается с поверхности вала при опускании груза P, а также скорости груза Р. Скорость же груза P определим путем дифференцирования его закона движения:
Касательное ускорение 
точки M равняется ускорению груза P, поскольку с этим ускорением сбегает нить с поверхности вала:
По известным линейной скоростью и касательным ускорением точки M поверхности вала можно определить угловую скорость 
и угловое ускорение 
вала:
Тогда, нормальное ускорение точки M будет равняться:
Для полного ускорения расположенной на M точки поверхности вала, получим:
Ответ:
Задача 5
Передача состоит из трех шкивов: 1, 2 и 3 (рис. 1). Передача вращательного движения от первого шкива на второй происходит за счет сил трения в точке A соприкосновения
шкивов. Причем, вращение происходит без проскальзывания одного шкива относительно второго. Второй и третий шкив жестко насажены на один вал (ось вала 
).
Угол поворота первого шкива меняется по закону:
Определить угловые скорости и угловые ускорения шкивов передачи и скорости и ускорения точек касания шкивов в момент времени 
если радиусы
шкивов: 
Решение. Определим угловую скорость и угловое ускорение шкива 1:
В момент времени 
Знак минус при значении 
указывает на то, что направление угловой скорости в момент времени 
в противоположную сторону от положительного
направления отсчета угла 
Поскольку знаки 
и 
разные, то угловое
ускорение направлено в противоположную сторону от угловой скорости.
На рис. 1 положительное направление отсчета угла 
выбрано против хода часовой стрелки. Тогда направление 
будет за ходом часовой стрелки, а 
против хода часовой стрелки. По модулю же 
и 
соответственно равны:
Скорость и ускорение точки А соприкосновения первого шкива определим по формулам:
Скорость 
направленная (рис. 1) перпендикулярно к радиусу 
по направлению угловой скорости 
Касательное ускорение 
направленное тоже
перпендикулярно к 
но по направлению 
Нормальное ускорение 
направлено вдоль радиуса 
к центру вращения 
Поскольку шкивы 1 и 2 вращаются без проскальзывания в точке соприкосновения, то скорость и касательное ускорение точки А второго шкива будут равняться скорости и касательному ускорению точки А первого шкива, то есть:
Тогда:
Вычислим нормальное ускорение точки А второго шкива:
Направленное нормальное ускорение точки А второго шкива вдоль радиуса 
в центр вращения 
Направление угловой скорости второго шкива определяется направлением скорости точки А, то есть будет против хода часовой стрелки. Направление же углового ускорения определяется направлением касательного ускорения, то есть будет по ходу часовой стрелки.
Полные ускорения точек соприкосновения шкивов:
Поскольку шкивы 2 и 3 жестко насажены на один вал, то их угловые скорости и угловые ускорения будут одинаковыми, то есть:
Ответ:
Задания темы К2
Механизм (рыс.К2.2), состоит из зубчатой рейки 1, которая в зацеплении со ступенчатым колесом 3, или груза 1, который прикреплен к нитке, которая намотана на колесо 2. Колеса 2 и 3 связаны между собой либо ременной передачей, либо находятся в зацеплении. Радиусы ступенчатых колес соответственно равны: для колеса 2 — меньше колесо 
больше колесо 
для колеса 3 — меньше колесо 
больше колесо 
Если колеса 3 и 2 одноступенчатые, то их радиусы равны 
и 
кроме схемы 0, для которой 
На ободе одного из колес показана точка М.
В таблице К3 задан закон движения или одного из колес 2 или 3, или груза 1. Закон движения колес задается в виде или угла поворота: 
или изменения угловой скорости: 
Закон движения груза задается в виде или перемещения 
или изменения скорости 
За положительное направление для отсчета 
и 
для которых закон движения задан, принять движение против хода часовой стрелки, а для 
скорости груза и рельсы
1 — движение вниз. (В законах движения: 
в метрах; 
в метрах в секунду, 
в радианах; t — в секундах.)
Определить в момент времени 
величины, что указаны в соответствующей графе таблицы К3.
Схема механизма выбирается из рис. К2.2 по первой цифре шифра, а номер условия из таблицы К3 по второй.
Замечания. Эта задача на исследование простых видов движения твердого тела: поступательного и вращательного. При решении задачи необходимо иметь в виду, что в случае зубчатого зацепления двух колес точки зацепления каждого из колес имеют одинаковые скорости и одинаковые тангенциальные ускорения. В случае же ременной передачи скорости всех точек ремня и точек колес за величиной одинаковые (принимается, что ремень не скользит по колесу).
Пример решения задания темы К2
Рейка 1 (рис. К2.3) движется в вертикальных направляющих по закону 
Колесо 3 радиуса 
находится в зацеплении с одной стороны с рейкой 1, а со второй — с малым колесом радиуса 
который сблокирован с шкивом 2 радиуса 
На шкив
намотана нерастяжимая нить с грузом 4 на конце.
Дано:
Определить:
1. По известному закону движения рельсы 1 определим скорость точки С1, которая ей принадлежит:
В момент времени 
2. Поскольку рейка 1 и колесо 3 находятся в зацеплении, то 
и, учитывая то, что 
линейная скорость точки на ободе колеса, что вращается 3 получим:
Откуда:
Поскольку колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении в точке К то 
С другой стороны:
или, с учетом выражения для 
получим:
Из этого уравнения с учетом значения для 
найдем 
Подставив время 
в выражения для 
и 
получим:
3. Определим скорость груза 4 с учетом того, что:
В момент времени 
получим:
Векторы линейных скоростей и направления угловых скоростей показаны на рис.К2.4.
4. Определим ускорение точки С1 рельсы:
5. Ускорение точки С1 рельса равно касательному ускорению точки С3 на ободе колеса 3 (поскольку они находятся в зацеплении), то есть:
Поскольку 
найдем угловое ускорение 
колеса 3:
Аналогично определяем угловое ускорение 
колеса 2, исходя из того, что 
то есть:
В момент времени 
получим:
6. Определим нормальное и касательное ускорение точки М, лежащей на внешнем ободе колеса 2 (при 
Для полного ускорения точки М в момент времени 
получим:
7. Учитывая то, что 
находим ускорение груза 4:
Векторы ускорения точек и направления угловых ускорений показаны на рис. К2.5.
Ответ:
Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, неизменно связанная с телом, все время остается параллельной своему изначальному положению.
Для твердого тела (рис.2.1) прямая 
, соединяющая две произвольные его точки, во время поступательного движения не изменяется ни по длине, ни по направлению. Это значит, что при поступательном движении точки 
и 
тела имеют одинаковые траектории (при наложении совпадают) и в каждый момент времени одинаковыми будут их скорости и ускорения, то есть:
Таким образом, поступательное движение твердого тела полностью определяется движением любой точки этого тела, то есть задача определения кинематических характеристик поступательного движения твердого тела сводится к задаче кинематики точки.
Вращательное движение твердого тела
Вращательным движением называется такое движение твердого тела, при котором любые две точки тела остаются неподвижными.
Если закрепить две точки тела 
и 
(рис.2.2), то будут неподвижными все точки прямой 
, которая называется осью вращение.
Траекториями всех остальных точек тела , например 
, будут окружности с центрами на оси вращения.
Проведем через ось вращения 
(рис.2.3) две плоскости: одну неподвижную — , а вторую плоскость , жестко свяжем с телом, которое вращается. Двугранный угол 
между этими двумя плоскостями однозначно определяет положение вращающегося тела.
Для определения знака угла 
на оси вращения выбирают положительное направление (на рис.2.3 – вверх). Угол считается положительным, если с положительного направления оси вращения угол относительно неподвижной плоскости отложен против хода часовой стрелки и отрицательный, если по ходу.
Когда тело вращается, угол непрерывно изменяется с временами. Таким образом, для полной характеристики вращательного движения надо задать уравнение вида:
Уравнение (2.1) называется уравнением вращательного движения тела.
Изменение угла поворота тела с течением времени характеризует угловая скорость 
.
Мгновенная угловая скорость 
является первой производной от угла поворота по времени:
Единицей измерения угловой скорости является радиан разделен на секунду и обозначается как 
, или 
, или 
.
Направлена угловая скорость в сторону мгновенного вращения тела и 
, если совпадает с направлением отсчета угла , и 
, если противоположна направлению отсчета .
В технике угол поворота пропорционален количеству оборотов 
, что сделало тело за некоторый промежуток времени. В этом случае угол поворота тела в радианах можно найти по зависимости:
Угловую скорость вращения тела часто задают числом оборотов за одну минуту 
(об/мин).
Угловую скорость 
в этом случае определяют по формуле:
где — подставляют в об/мин.
Изменение угловой скорости с течением времени характеризует угловое ускорение 
.
Мгновенное угловое ускорение 
определяется как первая производная от угловой скорости по времени, или вторая производная от угла поворота тела:
Единицей измерения углового ускорения является радиан, разделен на секунду в квадрате, и обозначается 
, или 
, или 
.
Направлено угловое ускорение по направлению угловой скорости, если знаки и совпадают, и против направления угловой скорости, если знаки и различны.
Равномерное и равнопеременное вращательное движение тела
В случае равномерного вращательного движения тела его угловая скорость будет постоянной 
, а угловое ускорение равно нулю 
Угол поворота тела в этом случае вычисляется по формуле:
где 
— начальный угол поворота тела при 
.
В случае равномерно переменного вращательного движения тела его угловое ускорение будет постоянным 
Угловая скорость и угол поворота тела в этом случае вычисляются по формулам:
где 
— соответственно угол поворота тела и угловая скорость в момент времени .
Скорость и ускорение точек вращающегося тела
Если для вращающегося тела известны угловая скорость и угловое ускорение , то можно найти скорость 
и ускорение 
любой его точки.
Скорость точки вращающегося тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от точки к оси вращения:
Вектор скорости точки направлен под прямым углом к радиусу вращения 
(рис.2.4) в сторону вращения тела (в сторону угловой скорости ).
Поскольку точка вращающегося тела движется по криволинейной траектории (окружности с радиусом кривизны 
), то ускорение точки можно разложить на две составляющие: тангенциальную (касательную) 
и нормальную (центростремительную) 
(рис.2.4).
Подставив в формулы для и (1.14) выражение для (2.9) получим:
Нормальное ускорение направлено от точки вдоль радиуса к центру вращения. Касательное ускорение направлено перпендикулярно радиусу в сторону углового ускорения .
Полное же ускорение точки соответственно равно:
Примеры решения задач
Задача №1
Вал начинает вращаться с постоянным ускорением из состояния покоя. За первые 5 секунд вал делает 12,5 оборота.
Определить угловую скорость вала в конце промежутка времени, что рассматривается.
Решение. При равноускоренном вращении тела угловая скорость изменяется по закону:
Поскольку по условию задачи 
, то
Таким образом, для определения угловой скорости вала надо найти его угловое ускорение .
Угол поворота тела при равноускоренном вращении определяется по формуле:
Поскольку 
и , то
Угол поворота вала за число оборотов 
равен:
Тогда: 
Подставив выражение для в формулу для получим:
С учетом числовых данных:
Ответ: 
Задача № 2
Шкив ременной передачи начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением и через 10 минут от начала движения имеет угловую скорость, которая соответствует 120 об/мин.
Определить число оборотов , которые сделал шкив за 10 минут.
Решение. Число оборотов можно определить, если известен угол , на который вернулся шкив за 10 минут.
Поскольку 
, то 
Угол поворота тела при равноускоренном вращении равен:
Поскольку 
и 
, то 
Таким образом:
Для определения углового ускорения воспользуемся формуле для угловой скорости при равноускоренном вращении тела:
Поскольку , то 
С другой стороны, через число оборотов в минуту
Тогда:
Если подставить в формулу для , получим:
При 
об/мин и 
, найдем:
Ответ: 
Задача №3
Колесо радиусом 
начинает вращаться из состояния покоя с постоянным ускорением. Через 
от начала движения точка, лежащая на ободе колеса, имеет линейную скорость 
Определить скорость, нормальное и касательное ускорение точек обода колеса в момент времени 
от начала движения.
Решение. Для определения 
и 
воспользуемся зависимостями вращательного движения:
Таким образом, для определения и надо найти угловую скорость и угловое ускорение колеса в момент времени 
.
Определим угловую скорость в момент часа . Поскольку при скорость точки обода колеса 
, то:
При равноускоренном вращении тела 
угловая скорость изменяется по закону: 
Поскольку , то
В момент времени угловая скорость тела соответственно будет равна:
Тогда:
На рис. 2.5. показаны направления определенных векторов.
Поскольку 
и 
, то направления 
и 
совпадают. Нормальное же ускорение 
направлено в центр вращения шкива.
Ответ: 
Задача№4
Вращательное движение вала радиусом 
вызывается грузом 
, что подвешен к нити, которая намотана на вал (рис.2.6). Груз движется вертикально по закону 
, где 
— расстояние от тела к точке совпадения нити с поверхности вала в метрах, 
— время в секундах.
Определить угловую скорость и угловое ускорение вала и полное ускорение 
точки на поверхности вала в произвольный момент времени .
Решение. Величина скорости 
точки 
обода вала равна скорости нити, сматываемой с поверхности вала при опускании груза , а также скорости груза . Скорость же груза определим путем дифференцирования его закона движения:
Касательное ускорение точки равна ускорению груза , поскольку с этим ускорением совпадает нить с поверхности вала:
По известным линейной скорости и касательному ускорению точки поверхности вала можно определить угловую скорость и угловое ускорение вала :
Тогда, нормальное ускорение точки будет равно:
Для полного ускорения точки , лежащей на поверхности вала, получим:
Ответ: 
Задача №5
Передача состоит из трех шкивов: 1, 2 и 3 (рис.2.7). Передача вращательного движения от первого шкива на второй происходит за счет сил трения в точке 
прикосновения шкивов. Причем, вращение происходит без проскальзывания одного шкива относительно второго. Второй и третий шкив жестко насажены на один вал (ось вала 
). Угол поворота первого шкива меняется по закону: 
Определить угловые скорости и угловые ускорения шкивов передачи и скорости и ускорения точек касания шкивов в момент времени 
, если радиусы шкивов:
Решение. Определим угловую скорость и угловое ускорение шкива 1:
В момент времени :
Знак минус при значении 
указывает на то, что направление угловой скорости в момент времени в противоположную сторону от положительного направления отсчета угла . Поскольку знаки и 
разные, то угловое ускорение направлено в противоположную сторону от угловой скорости.
На рис 2.7 положительное направление отсчета угла выбрано против хода часовой стрелки. Тогда направление будет по ходу часовой стрелки, а против хода часовой стрелки. По модулю же и соответственно равны: 
Скорость и ускорение точки прикосновения первого шкива определим по формулам:
Скорость 
направлена (рис 3.7) перпендикулярно радиусу 
по направлению угловой скорости . Касательное ускорение 
направлено тоже перпендикулярно , только по направлению . Нормальное ускорение 
направлено вдоль радиуса к центру вращения 
.
Поскольку шкивы 1 и 2 вращаются без проскальзывания в точке касания, то скорость и касательное ускорение точки второго шкива будут равняться скорости и касательному ускорению точки первого шкива, то есть:
Тогда:
Вычислим нормальное ускорение точки второго шкива:
Направлено нормальное ускорение точки второго шкива вдоль радиуса 
к центру вращения 
.
Направление угловой скорости второго шкива определяется направлением скорости точки , то есть будет против хода часовой стрелки. Направление же углового ускорения определяется направлением касательного ускорения, то есть будет по ходу часовой стрелки.
Полные ускорения точек соприкосновения шкивов:
Поскольку шкивы 2 и 3 жестко насажены на один вал, то их угловые скорости и угловые ускорения будут одинаковыми, то есть:
Ответ: 
Услуги по теоретической механике:
- Заказать теоретическую механику
- Помощь по теоретической механике
- Заказать контрольную работу по теоретической механике
Учебные лекции:
- Статика
- Система сходящихся сил
- Момент силы
- Пара сил
- Произвольная система сил
- Плоская произвольная система сил
- Трение
- Расчет ферм
- Расчет усилий в стержнях фермы
- Пространственная система сил
- Произвольная пространственная система сил
- Плоская система сходящихся сил
- Пространственная система сходящихся сил
- Равновесие тела под действием пространственной системы сил
- Естественный способ задания движения точки
- Центр параллельных сил
- Параллельные силы
- Система произвольно расположенных сил
- Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
- Кинематика
- Кинематика твердого тела
- Движения твердого тела
- Динамика материальной точки
- Динамика механической системы
- Динамика плоского движения твердого тела
- Динамика относительного движения материальной точки
- Динамика твердого тела
- Кинематика простейших движений твердого тела
- Общее уравнение динамики
- Работа и мощность силы
- Обратная задача динамики
- Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
- Сферическое движение твёрдого тела
- Движение свободного твердого тела
- Сложное движение твердого тела
- Сложное движение точки
- Плоское движение тела
- Статика твердого тела
- Равновесие составной конструкции
- Равновесие с учетом сил трения
- Центр масс
- Колебания материальной точки
- Относительное движение материальной точки
- Статические инварианты
- Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
- Динамика системы материальных точек
- Общие теоремы динамики
- Теорема об изменении кинетической энергии
- Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
- Потенциальное силовое поле
- Метод кинетостатики
- Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Скорость — это быстрота перемещения объекта в заданном направлении. [1]
В общих целях нахождение скорости объекта (v) — простая задача: нужно разделить перемещение (s) в течение определенного времени (s) на это время (t), то есть воспользоваться формулой v = s/t. Однако таким способом получают среднюю скорость тела. Используя некоторые вычисления, можно найти скорость тела в любой точке пути. Такая скорость называется мгновенной скоростью и вычисляется по формуле v = (ds)/(dt), то есть представляет собой производную от формулы для вычисления средней скорости тела.[2]
-
1
Начните с уравнения. Для вычисления мгновенной скорости необходимо знать уравнение, описывающее перемещение тела (его позицию в определенный момент времени),[3]
то есть такое уравнение, на одной стороне которого находится s (перемещение тела), а на другой стороне — члены с переменной t (время).[4]
Например:s = -1.5t2 + 10t + 4
- В этом уравнении:
-
- Перемещение = s. Перемещение — пройденный объектом путь. Например, если тело переместилось на 10 м вперед и на 7 м назад, то общее перемещение тела равно 10 — 7 = 3 м (а на 10 + 7 = 17 м).
- Время = t. Обычно измеряется в секундах.
-
- В этом уравнении:
-
2
Вычислите производную уравнения. Чтобы найти мгновенную скорость тела, чьи перемещения описываются приведенным выше уравнением, нужно вычислить производную этого уравнения. Производная — это уравнение, позволяющее вычислить наклон графика в любой точке (в любой момент времени). Чтобы найти производную, продифференцируйте функцию следующим образом: если y = a*xn, то производная = a*n*xn-1. Это правило применяется к каждому члену многочлена.
- Другими словами, производная каждого члена с переменной t равна произведению множителя (стоящему перед переменной) и степени переменной, умноженному на переменную в степени, равную исходной степени минус 1. Свободный член (член без переменной, то есть число) исчезает, потому что умножается на 0. В нашем примере:
s = -1.5t2 + 10t + 4
(2)-1.5t(2-1) + (1)10t1 — 1 + (0)4t0
-3t1 + 10t0
-3t + 10
- Другими словами, производная каждого члена с переменной t равна произведению множителя (стоящему перед переменной) и степени переменной, умноженному на переменную в степени, равную исходной степени минус 1. Свободный член (член без переменной, то есть число) исчезает, потому что умножается на 0. В нашем примере:
-
3
Замените «s» на «ds/dt», чтобы показать, что новое уравнение — это производная от исходного уравнения (то есть производная s от t). Производная — это наклон графика в определенной точке (в определенный момент времени). Например, чтобы найти наклон линии, описываемой функцией s = -1.5t2 + 10t + 4 при t = 5, просто подставьте 5 в уравнение производной.
- В нашем примере уравнение производной должно выглядеть следующим образом:
ds/dt = -3t + 10
- В нашем примере уравнение производной должно выглядеть следующим образом:
-
4
В уравнение производной подставьте соответствующее значение t, чтобы найти мгновенную скорость в определенный момент времени.[5]
Например, если вы хотите найти мгновенную скорость при t = 5, просто подставьте 5 (вместо t) в уравнение производной ds/dt = -3 + 10. Затем решите уравнение:ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с- Обратите внимание на единицу измерения мгновенной скорости: м/с. Так как нам дано значение перемещения в метрах, а время — в секундах, и скорость равна отношению перемещения ко времени, то единица измерения м/с — правильная.
Реклама
-
1
Постройте график перемещения тела. В предыдущей главе вы вычисляли мгновенную скорость по формуле (уравнению производной, позволяющему найти наклон графика в определенной точке).[6]
Построив график перемещения тела, вы можете найти его наклон в любой точке, а следовательно определить мгновенную скорость в определенный момент времени.- По оси Y откладывайте перемещение, а по оси X — время. Координаты точек (x,у) получите через подстановку различных значений t в исходное уравнение перемещение и вычисления соответствующих значений s.
- График может опускаться ниже оси X. Если график перемещения тела опускается ниже оси X, то это значит, что тело движется в обратном направлении от точки начала движения. Как правило, график не распространяется за ось Y (отрицательные значения x) — мы не измеряем скорости объектов, движущихся назад во времени!
-
2
Выберите на графике (кривой) точку P и близкую к ней точку Q. Чтобы найти наклон графика в точке P, используем понятие предела. Предел — состояние, при котором величина секущей, проведенной через 2 точки P и Q, лежащих на кривой, стремится к нулю.
- Например, рассмотрим точки P(1,3) и Q(4,7) и вычислим мгновенную скорость в точке P.
-
3
Найдите наклон отрезка PQ. Наклон отрезка PQ равен отношению разницы значений координат «у» точек P и Q к разнице значений координат «х» точек P и Q. Другими словами, H = (yQ — yP)/(xQ — xP), где H — наклон отрезка PQ. В нашем примере наклон отрезка PQ равен:
H = (yQ — yP)/(xQ — xP)
H = (7 — 3)/(4 — 1)
H = (4)/(3) = 1.33 -
4
Повторите процесс несколько раз, приближая точку Q к точке P. Чем меньше расстояние между двумя точками, тем ближе значение наклона полученных отрезков к наклону графика в точке P. В нашем примере проделаем вычисления для точки Q с координатами (2,4.8), (1.5,3.95) и (1.25,3.49) (координаты точки P остаются прежними):
Q = (2,4.8): H = (4.8 — 3)/(2 — 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8Q = (1.5,3.95): H = (3.95 — 3)/(1.5 — 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9Q = (1.25,3.49): H = (3.49 — 3)/(1.25 — 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96 -
5
Чем меньше расстояние между точками P и Q, тем ближе значение H к наклону графика в точке P При предельно малом расстоянии между точками P и Q, значение H будет равно наклону графика в точке P Так как мы не можем измерить или вычислить предельно малое расстояние между двумя точками, графический способ дает оценочное значение наклона графика в точке Р.
- В нашем примере при приближении Q к P мы получили следующие значения H: 1.8; 1.9 и 1.96. Так как эти числа стремятся к 2, то можно сказать, что наклон графика в точке P равен 2.
- Помните, что наклон графика в данной точке равен производной функции (по которой построен этот график) в этой точке. График отображает перемещение тела с течением времени и, как отмечалось в предыдущем разделе, мгновенная скорость тела равна производной от уравнения перемещения этого тела. Таким образом, можно заявить, что при t = 2 мгновенная скорость равна 2 м/с (это оценочное значение).
Реклама
-
1
Вычислите мгновенную скорость при t = 4, если перемещение тела описывается уравнением s = 5t3 — 3t2 + 2t + 9. Этот пример похож на задачу из первого раздела с той лишь разницей, что здесь дано уравнение третьего порядка (а не второго).
- Сначала вычислим производную этого уравнения:
s = 5t3 — 3t2 + 2t + 9
s = (3)5t(3 — 1) — (2)3t(2 — 1) + (1)2t(1 — 1) + (0)9t0 — 1
15t(2) — 6t(1) + 2t(0)
15t(2) — 6t + 2 - Теперь подставим в уравнение производной значение t = 4:
s = 15t(2) — 6t + 2
15(4)(2) — 6(4) + 2
15(16) — 6(4) + 2
240 — 24 + 2 = 22 м/с
- Сначала вычислим производную этого уравнения:
-
2
Оценим значение мгновенной скорости в точке с координатами (1,3) на графике функции s = 4t2 — t. В этом случае точка P имеет координаты (1,3) и необходимо найти несколько координат точки Q, лежащий близко к точке P. Затем вычислим H и найдем оценочные значения мгновенной скорости.
- Сначала найдем координаты Q при t = 2, 1.5, 1.1 и 1.01.
s = 4t2 — t
t = 2: s = 4(2)2 — (2)
4(4) — 2 = 16 — 2 = 14, so Q = (2,14)t = 1.5: s = 4(1.5)2 — (1.5)
4(2.25) — 1.5 = 9 — 1.5 = 7.5, so Q = (1.5,7.5)t = 1.1: s = 4(1.1)2 — (1.1)
4(1.21) — 1.1 = 4.84 — 1.1 = 3.74, so Q = (1.1,3.74)t = 1.01: s = 4(1.01)2 — (1.01)
4(1.0201) — 1.01 = 4.0804 — 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704) - Теперь вычислим H:
Q = (2,14): H = (14 — 3)/(2 — 1)
H = (11)/(1) = 11Q = (1.5,7.5): H = (7.5 — 3)/(1.5 — 1)
H = (4.5)/(.5) = 9Q = (1.1,3.74): H = (3.74 — 3)/(1.1 — 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 — 3)/(1.01 — 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04 - Так как полученные значения H стремятся к 7, то можно сказать, что мгновенная скорость тела в точке (1,3) равна 7 м/с (оценочное значение).
Реклама
- Сначала найдем координаты Q при t = 2, 1.5, 1.1 и 1.01.
Советы
- Чтобы найти ускорение (изменение скорости с течением времени), используйте метод из первой части, чтобы получить производную функции перемещения. Затем возьмите еще раз производную от полученной производной. Это даст вам уравнение для нахождения ускорения в данный момент времени — все, что вам нужно сделать, это подставить значение для времени.
- Уравнение, описывающее зависимость у (перемещение) от x (время), может быть очень простым, например: у = 6x + 3. В этом случае наклон является постоянным и не надо брать производную, чтобы его найти. Согласно теории линейных графиков, их наклон равен коэффициенту при переменной x, то есть в нашем примере =6.
- Перемещение подобно расстоянию, но оно имеет определенное направление, что делает его векторной величиной. Перемещение может быть отрицательным, в то время как расстояние будет только положительным.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 83 536 раз.
Была ли эта статья полезной?
Задание
Движение груза
А задано уравнением y
= at
+
bt
+ c,
где [y]
= м, [t]
= c.
Цель работы
– подставив
заданные коэффициенты в общее уравнение
движения, определить вид движения.
Определить скорость и ускорение груза
в моменты времени t
и t
,
а также скорость и ускорение точки В на
ободе барабана лебёдки
Дано:
А=
0 м/с
В=3
м/с
r
= 0,2 м
С
= 2 м
t
= 2 м
t
= 4м
y
= at
+
bt + c
y
= 0t
+3t
+ 2
Определяем
кинематические характеристики движения
барабана. Угол поворота барабана за
время t
φ1 =
0*2+3*2
=12
рад.
Угловая
скорость барабана w =
=
(0t
+ 3t
)´
= 0 + 12t
≠ const
– движение неравномерное. При t
=2
с получим w
= 0 + 6*4 = 24 рад/с
Угловое
ускорение барабана ε =
=
(0 + 6t)´
= 6 рад/с
=
const.
Так как ускорение положительно
и постоянно, то барабан вращается
равноускоренно.
Кинематические
характеристики движения любой точки
на ободе барабана, например точки
А
, определяются через угловые характеристики
движения барабана.
Для
момента времени t
получим: расстояние, пройденное точкой
s = φ
r
= 12 *0.2 = 2.4 м
Скорость
точки v
= w
*r
= 24*0,2 = 4.8 м/с; касательное ускорение a
=
εr
= 6*0,2 = 1,2 м/с
;
нормальное ускорение а
=
w
r
=24
*0,2
=115.2 м/с
.
Определяем
кинематические характеристики движения
барабана. Угол поворота барабана за
время t
φ2 =
0*4+3*4
=48
рад.
Угловая
скорость барабана w =
=
(0t
+ 3t
)´
= 0 + 12t
≠ const
– движение неравномерное. При t
=4
с получим w2 = 0 + 6*16 = 96 рад/с
Угловое
ускорение барабана ε =
=
(0 + 6t)´
= 6 рад/с
=
const.
Так как ускорение положительно
и постоянно, то барабан вращается
равноускоренно.
Кинематические
характеристики движения любой точки
на ободе барабана, например точки
А
, определяются через угловые характеристики
движения барабана.
Для
момента времени t
получим: расстояние, пройденное точкой
s = φ2r = 48 *0.2 =9,6 м
Скорость
точки v2 = w2*r = 96*0,2 = 19.2 м/с; касательное
ускорение a
=
εr
= 6*0,2 = 1,2 м/с
;
нормальное ускорение а
=
w
r
=96
*0,2
=1843,2 м/с
.
Контрольные
вопросы
-
В
основе кинетостатики лежит принцип
Даламбера, согласно которому уравнения
движения тел можно составлять в форме
уравнений статики, если к фактически
действующим на тело силам и реакциям
связей добавить силы инерции. -
При
поступательном
движении
тела
траектории
его
точек
могут быть любыми кривыми линиями,
а так же прямыми. -
Нет
не равна. -
Скорость
груза будет увеличиваться с увеличением
диаметра шкива. -
Нормальное
ускорение.
Практическая работа № 4
Работа
и мощность. Общие теоремы динамики .
Дано:
M=450
кг
КПД=0,85
Решение:
Рассмотрим участок
1 – подъем с ускорением.
Следовательно,
ускорение:
Определяем усилие
натяжения каната при подъеме с ускорением
450(9,81 +2) =5310 Н; Т
= 5310 Н
Рассмотрим участок
2 – равномерный подъем. Ускорение и сила
инерции равны нулю. Натяжение каната
равно силе тяжести.
Т
;
Участок 3 – подъем
с замедлением. Ускорение направлено в
сторону, обратную направлению подъема.
Уравнение равновесия:
,
отсюда
Ускорение
(замедление) на этом участке определяется
с учетом того, что v
= 0.
;
Натяжение каната
при замедлении до остановки:
Участок 4 —
равномерный подъём. Ускорение и сила
инерции равны нулю. Натяжение каната
равно силе тяжести
Т
;
Участок 5 — – подъем
с замедлением. Ускорение направлено в
сторону, обратную направлению подъема.
Уравнение равновесия:
,
отсюда
Ускорение
(замедление) на этом участке определяется
с учетом того, что v
= 0
Максимальное
натяжение каната Т
= 5310 Н
Контрольные
вопросы
3.Работа при
поступательном движении
Работа сил тяжести
Работа сил упругости
Работа сил трения
Работа при
вращательном движении.
4.Частично да, в
этом помогает Метод Дфлфмбера
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Страница 1 из 30
Движение груза 1 должно описываться уравнением
х = c2t2 + c1t+ c0,
где t— время, с; с0, c1, c2 — некоторые постоянные.
В начальный момент времени (t= 0) положение груза определяется координатой x0, и он имеет скорость v0. Учесть, что в момент времени t= t2 координата груза равна х2.
Определить коэффициенты c0, c1 и c2 при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени t= t1 скорость и ускорение груза и точки М одного из колес механизма.
Схемы механизмов показаны на рисунках, а необходимые данные приведены в таблице.
|
Номер варианта |
Радиусы, см |
Координаты и скорости груза 1 |
Расчетные моменты времени, с |
||||||
|
R2 |
r2 |
R3 |
r3 |
x0, см |
v0, см/с |
x2, см |
t2 |
t1 |
|
|
1 |
60 |
45 |
36 |
— |
2 |
12 |
173 |
3 |
2 |
|
2 |
80 |
— |
60 |
45 |
5 |
10 |
41 |
2 |
1 |
|
3 |
100 |
60 |
75 |
— |
8 |
6 |
40 |
4 |
2 |
|
4 |
58 |
45 |
60 |
— |
4 |
4 |
172 |
4 |
3 |
|
5 |
80 |
— |
45 |
30 |
3 |
15 |
102 |
3 |
2 |
|
6 |
100 |
60 |
30 |
— |
7 |
16 |
215 |
4 |
2 |
|
7 |
45 |
35 |
105 |
— |
8 |
5 |
124 |
4 |
3 |
|
8 |
35 |
10 |
10 |
— |
6 |
2 |
111 |
3 |
2 |
|
9 |
40 |
30 |
15 |
— |
10 |
7 |
48 |
2 |
1 |
|
10 |
15 |
— |
40 |
35 |
5 |
3 |
129 |
4 |
3 |
|
11 |
40 |
25 |
20 |
~ |
9 |
8 |
65 |
2 |
1 |
|
12 |
20 |
15 |
10 |
— |
5 |
10 |
179 |
3 |
2 |
|
13 |
30 |
20 |
40 |
— |
7 |
0 |
557 |
5 |
2 |
|
14 |
15 |
10 |
15 |
— |
6 |
3 |
80 |
2 |
1 |
|
15 |
15 |
10 |
15 |
— |
5 |
2 |
189 |
4 |
2 |
|
16 |
20 |
15 |
15 |
— |
4 |
6 |
220 |
4 |
3 |
|
17 |
15 |
10 |
20 |
— |
8 |
4 |
44 |
2 |
1 |
|
18 |
20 |
15 |
10 |
— |
3 |
12 |
211 |
4 |
1 |
|
19 |
15 |
10 |
20 |
— |
5 |
10 |
505 |
5 |
3 |
|
20 |
25 |
15 |
10 |
— |
10 |
8 |
277 |
3 |
1 |
|
21 |
20 |
10 |
30 |
10 |
6 |
5 |
356 |
5 |
2 |
|
22 |
40 |
20 |
35 |
— |
7 |
6 |
103 |
2 |
1 |
|
23 |
40 |
30 |
30 |
15 |
5 |
9 |
194 |
3 |
2 |
|
24 |
30 |
15 |
40 |
20 |
9 |
8 |
105 |
4 |
2 |
|
25 |
50 |
20 |
60 |
— |
8 |
4 |
119 |
3 |
2 |
|
26 |
32 |
16 |
32 |
16 |
6 |
14 |
862 |
4 |
2 |
|
27 |
40 |
18 |
40 |
18 |
5 |
10 |
193 |
2 |
1 |
|
28 |
40 |
20 |
40 |
15 |
8 |
5 |
347 |
3 |
2 |
|
29 |
25 |
20 |
50 |
25 |
4 |
6 |
32 |
2 |
1 |
|
30 |
30 |
15 |
20 |
— |
10 |
7 |
128 |
2 |
1 |
Вариант 1
Решение здесь
Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми CTRL + Enter
Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!
Помог сайт? Ставь лайк!