Как найти скорость импульса после взаимодействия

Определение

Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:

p = mv

Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).

Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).

Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:

10 г = 0,01 кг

Импульс равен:

p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)

Относительный импульс

Определение

Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:

p_1отн2 = m₁v_1отн2 = m₁(v₁ – v₂)

p_1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m₁ — масса первого тела, v_1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v₁ и v₂ — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.

Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.

Сначала переведем единицы измерения в СИ:

15 т = 15000 кг

p_1отн2 = m₁(v₁ – v₂) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙10³ (кг∙м/с)

Изменение импульса тела

ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:

∆p = p – p₀ = p + (– p₀)

∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p₀ — начальный импульс тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар
	Конечная скорость после удара: v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0.
Абсолютно упругий удар
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p.
Пуля пробила стенку
	Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p0 – p = m(v0 – v)
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов
	Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p = 2mv0
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:

Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.

В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.

Вычисляем:

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:

Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:

Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:

Или:

F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела

Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?

Из формулы импульса силы выразим модуль силы:

Реактивное движение

Определение

Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.

Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

Реактивная сила:

Второй закон Ньютона для ракеты:

Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.

Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:

V = a∆t

Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:

Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:

Отсюда ускорение равно:

Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:

Суммарный импульс системы тел

Определение

Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:

Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.

Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:

Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:

Важно!

При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Неупругое столкновение с неподвижным телом	m1v1 = (m1 + m2)v
Неупругое столкновение движущихся тел	± m1v1 ± m2v2 = ±(m1 + m2)v
В начальный момент система тел неподвижна	0 = m1v’1 – m2v’2
До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью	(m1 + m2)v = ± m1v’1 ± m2v’2

Сохранение  проекции импульса

В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.

Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.

Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:

m₂v₂ = (m₁ + m₂)v

Отсюда скорость равна:

Алиса Никитина | Просмотров: 20.2k

Закон сохранения импульса является следствием законов Ньютона и применяется для определения мгновенных скоростей тел после их взаимодействия.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина равная произведению массы тела на его скорость p^-> = mϑ^->, где m – масса тела, ϑ^-> – мгновенная скорость. Импульсом системы тел называется векторная сумма импульсов тел p_c^-> = p₁^-> + p₂^-> + p₃^-> + … + p_n^->.

Согласно первому закону Ньютона, если тела не взаимодействуют, сохраняется импульс каждого тела и импульс нескольких тел входящих в систему. При взаимодействии внутри системы, между телами возникают пары сил равные по величине и противоположные по направлению, согласно третьему закону Ньютона.

Векторная физическая величина, являющаяся мерой действия силы в течении некоторого промежутка времени называется импульсом силы и обозначается   F^->Δt.  Из второго закона Ньютона в случае действия одной силы и определения ускорения следует F^-> = ma^->, a^-> = (ϑ^->— ϑ₀^->)/Δt  =>

F^-> = m(ϑ^-> – ϑ₀^->)/Δt => F^->Δt = mϑ^-> – mϑ₀^-> => … F^->Δt = p^-> – p₀^->

Это уравнение является законом сохранения импульса в импульсной форме. Импульс силы (равнодействующей) равен изменению импульса тела (материальной точки). В замкнутой системе взаимодействия происходят попарно, причем импульс одного тела изменяется на величину F₂₁^->Δt, импульс второго на F₁₂^->Δt, где  F₁₂^-> – сила, действующая со стороны первого тела на второе и F₂₁^-> – сила действующая со стороны второго тела на первое.

Замкнутой назовем систему тел, взаимодействующих только между собой.

Импульс первого тела изменяется на величину F₂₁^->Δt, p₁^-> = p₀₁^-> + F₂₁^->Δt, импульс второго тела изменяется на величину F₁₂^->Δt, p₂^-> = p₀₂^-> + F₁₂^->Δt. Но импульс системы тел остается постоянной величиной

p₀₁^-> + p₀₂^-> = p₁^-> + p2^->, так как F₂₁^->Δt + F₁₂^->Δt = 0, поскольку F₁₂^-> = -F₂₁^->.

При любом взаимодействии двух тел внутри замкнутой системы импульс всей системы не изменяется. Сформулируем закон сохранения импульса.

Векторная сумма импульсов взаимодействующих тел, составляющих замкнутую систему, остается неизменной.

При использовании закона сохранения импульса в задаче делаем два схематических рисунка, показывая состояние системы тел до и после взаимодейсвия. Для решения векторных уравнений выбираем одинаковые системы координат.

Задача 1. Неупругий удар.

Вагон массой 30 т движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с неподвижной платформой массой 10 т. Найти скорость вагона и платформы после того, как сработает автосцеп.

Решение.

Систему можно считать замкнутой т.к. силы тяжести, действующие на вагон и платформу скомпенсированы силами реакции опоры.

p₀₁^-> + p₀₂^-> = p₁^-> + p₂^->

M1ϑ1^-> = (M1 + M2 )ϑ^->     

ОХ: M₁ϑ₁ = (M₁ + M₂)ϑ    

Отсюда: ϑ = M₁ϑ₁/(M₁ + M₂);

ϑ = (30 · 103 · 4) / (30 · 103 + 10 · 103) = 0,75  м/c

[ϑ] = (кг · м/с)/кг = м/с

Ответ. 0,75  м/c

Закон сохранения импульса также можно применить для незамкнутых систем, если взаимодействие тел происходит мгновенно и определяются скорости тел сразу после взаимодействия.

Задача 2. Разделение на части.

Граната, летящая со скоростью 20 м/с, разрывается на два осколка массами 1,2 кг и 1,8 кг. Больший осколок продолжает двигаться в том же направлении со скоростью 50 м/с. Найти скорость меньшего осколка.

Решение.

Система не замкнута на тело и его части действует сила тяжести, но так как разрыв происходит мгновенно, изменением импульса каждой части силой тяжести можно пренебречь. Применим закон сохранения импульса в векторном виде.

Mϑ^-> = M₁ϑ^->₁ + M₂ϑ^->₂  

ОХ:  Mϑ = M₁ϑ₁ + M₂ϑ₂

Отсюда: ϑ_2х=  (Mϑ— M₁ϑ₁)/M₂

ϑ_2х = (3 · 20 – 1,8 · 50)/1,2 = -25 м/с

[ϑ] = (кг · м/с)/кг = м/с

Ответ.

Закон сохранения импульса может быть применен в проекциях на ось, если  проекция равнодействующей внешних сил на эту ось равна О. p_х = 0; p_01х + p_02х = p_1х + p_2х.

Задача 3. Выстрел под углом.

Из орудия, установленного на платформе массой М, производят выстрел снарядом массы m под углом a к горизонту и скоростью V  относительно земли, определить скорость платформы после выстрела.

Решение.

Система не замкнута, на тело во время выстрела действует дополнительная сила реакции опоры, которая сообщает снаряду импульс вдоль вертикальной оси ОY, ее проекция на горизонтальную ось ОХ равна 0, других сил, действующих вдоль оси ОХ нет, значит можно применить закон сохранения импульса в проекциях на ось ОХ.

p_х  = p_1х + p_2х

ОХ : 0 = МU_x + mϑ_x

0 = МU_x + mϑcosα

U_x = m ϑcosα/М

[U] = (кг · м/с)/кг = м/с

Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу на закон сохранения импульса?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Содержание:

Импульс:

Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона)

Что такое импульс стела

Импульс тела — физическая векторная величина, совпадающая по направлению со скоростью тела в данный момент времени и равная произведению массы тела на его скорость. Как следует из определения, импульс тела измеряется в СИ в килограмм-метрах в секунду ().

Впервые понятие импульса тела было введено в физику как произведение массы тела на модуль его скорости французским мыслителем и математиком P Декартом. Импульс тела как вектор был введен И. Ньютоном.

Хотя скорость и импульс тела связаны между собой простой зависимостью, они коренным образом отличаются друг от друга. Скорость тела — чисто кинематическая характеристика движения. Импульс тела является динамической характеристикой движения, связанной с причинами (силами), вызывающими движение.

C помощью важнейшего понятия импульса основное уравнение динамики запишется в виде:
  (4)

и может быть сформулировано следующим образом.
Изменение импульса тела в единицу времени равно векторной сумме всех сил, действующих на данное тело.

Это более общая формулировка второго закона Ньютона. Именно так сформулировал Ньютон свой основной закон в знаменитой книге «Математические начала натуральной философии».

На первый взгляд уравнение (4) идентично уравнению (I). Это верно в том случае, если масса тела при движении не меняется. Если же масса тела изменяется, например при движении ракет, осьминогов, катеров с водометными движителями и т. д., то для описания движения тел необходимо применять более общее уравнение (4), а не уравнение (1).
Уравнение (4) может быть записано еще и в виде:
     (5)

Данное выражение позволяет сделать важнейший вывод: для изменения импульса тела сила должна действовать определенный промежуток времени. Импульс, а следовательно, и скорость тела мгновенно изменить нельзя.

Величина  называется импульсом силы. Импульс силы в СИ измеряется в ньютон-секундах (Н^.с). Необходимо отметить, что выражение (5) для импульса силы справедливо для случая, когда сила не изменяется в течение промежутка времени △t. Если она изменяется, то вычислить таким образом импульс силы нельзя. Однако можно ввести понятие средней силы, действующей на тело в течение того же промежутка времени.

Действительно, предположим, что на тело действует постоянная сила F₀ в течение некоторого промежутка времени ∆t = t₂-t₁. На рисунке 114 представлен график зависимости модуля силы от времени. Из формулы (5) следует, что величина модуля импульса этой силы численно равна площади прямоугольника.

Рис. 114

Если же сила непостоянна во времени, например линейно увеличивается: F = kt (рис. 115) от t₁ = 0 до t₂, то импульс этой силы тоже равен площади под прямой, т. е. площади треугольника. Очевидно, что импульс этой силы равен —. Естественно, можно заменить эту силу такой постоянной силой, которая изменит импульс тела на ту же величину:

Рис. 115

Вычисленная таким образом сила называется средней силой и обозначается (F).
Поэтому выражение (4) часто записывается в виде:
   (6)
и используется для оценки средней силы при кратковременных взаимодействиях тел (ударах, толчках и т. п.).

Для примера оценим среднюю силу, действующую со стороны пола на теннисный мяч массой m при его падении с высоты h₁. Как показывает опыт, после удара о пол мяч поднимается на меньшую высоту h₂. По этим данным мы можем вычислить скорость мяча по известной формуле в момент касания пола и в момент отскока от пола. Соответственно, изменение импульса мяча за время удара показано на рисунке 116. Модуль этого вектора:

Рис. 116

Это выражение получено в предположении отсутствия сопротивления воздуха. Уменьшение высоты подъема мяча обусловлено тем, что удар неупругий.

Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции пола  и сила тяжести . Поскольку сила реакции изменяется в течение времени удара, то необходимо использовать уравнение (6). В проекции на вертикальное направление оно примет вид:

Следовательно,

      (7)

Опыт проводился с мячом массой m = 55 г. Его бросали без начальной скорости с высоты h₁ = 1,0 м. После отскока от пола мяч поднимался на среднюю высоту h₂ = 63 см. Считая, что удар происходил за время Δt = 0,15 с, после подстановки численных значений в формулу (7) и вычисления, получим, что (N) = 3,4 H = 6,3 mg.

Если мяч просто лежит на полу (рис. 117), то сила реакции N, действующая на него, равна mg. Значит, средняя сила реакции, действующая на мяч, при ударе в данном опыте в 6,3 раза превосходила силу тяжести.

Рис. 117 

Главные выводы:

1. Импульсом тела (количеством движения) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость.
2. Импульсом силы называется векторная физическая величина, равная произведению постоянной или средней силы на промежуток времени действия силы.
3. Изменение импульса тела в единицу времени равно векторной сумме всех действующих на тело сил.

Определение импульса

Существует несколько путей решения основной задачи механики. Одним из них является использование законов механики Ньютона. Однако это не всегда возможно. Если массу тела измерить сравнительно легко, то измерение силы связано со значительными трудностями. Для примера рассмотрим два стальных шарика, которые движутся навстречу друг другу и сталкиваются. По законам Ньютона каждый из них при столкновении приобретает некоторое ускорение, которое определяет скорость шариков после взаимодействия. Чтобы найти ускорение, необходимо знать силу, действующую на каждый из шариков во время взаимодействия.

Время, на протяжении которого взаимодействуют шарики, очень незначительное, а потому измерить силу или вызванное ей ускорение сложно.

Пусть два упругих шарика имеют массы и движутся навстречу друг другу со скоростью соответственно (рис. 2.53).

Будем считать, что действие других сил несущественно или скомпенсировано, т. е. шарики образуют замкнутую (изолированную) систему.
Во время столкновения шарики деформируются, вследствие чего возникают силы упругости, которые в соответствии с третьим законом Ньютона равны по модулям, но противоположны по направлению:

где — сила действия первого шарика на второй; — сила действия второго шарика на первый.

Отсюда — ускорение соответственно второго и первого шариков.

Если считать, что то получим

где  — начальная скорость соответственно первого и второго шариков; — скорость соответственно первого и второго шариков после взаимодействия (рис. 2.54); — время взаимодействия каждого шарика.

Поскольку время взаимодействия обоих шариков одинаково то

В левой и правой части уравнения суммируются произведения массы тела на его скорость. Как известно, данная физическая величина называется импульсом тела, или количеством движения.

Таким образом, чтобы определить результат взаимодействия, необязательно знать силы, которые возникают во время взаимодействия. Достаточно знать массу и скорость каждого тела: если два тела взаимодействуют только друг с другом, то сумма их импульсов до и после взаимодействия не изменяется.

Для более общего случая: в замкнутой (изолированной) системе сумма импульсов тел после любого взаимодействия между ними остается постоянной: 

Закон сохранения импульса — один из основных законов природы. Согласно этому закону в замкнутой (изолированной) системе векторная сумма импульсов всех тел остается постоянной. Тела такой системы могут обмениваться импульсами, но суммарный импульс остается постоянным. Это положение справедливо для всех явлений природы.

Закон сохранения импульса

До сих пор мы рассматривали изменение скорости отдельного тела под действием некоторых сил. Теперь давайте рассмотрим вопрос об изменении импульсов нескольких тел под действием сил взаимодействия между ними.

В механике всякая группа тел, выделенная нами, называется механической системой.

Рассмотрим систему, состоящую из двух тележек с пружинными бамперами, находящихся на горизонтальных рельсах. На тележки действуют силы тяжести и силы реакции рельсов. Эти силы действуют со стороны тел, не входящих в систему, и поэтому называются внешними силами.

Итак, внешние силы — это силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в выделенную систему.

При столкновении тележек между ними возникают силы взаимодействия. Эти силы принято называть внутренними.

Внутренние силы в любой механической системе — это силы взаимодействия между телами, входящими в данную систему.

Если на тела системы действуют только внутренние силы, то такая система называется замкнутой. В том случае, когда на тела системы действуют еще внешние силы, система тел называется незамкнутой. Хорошим примером замкнутой системы является Солнечная система. Движение любой из планет относительно Солнца происходит вследствие, во-первых, силы притяжения к Солнцу и, во-вторых, сил притяжения к остальным планетам Солнечной системы. Очевидно, что система, состоящая из, например. Солнца, Земли и Луны, не является замкнутой.

Теперь давайте рассмотрим опыт по столкновению двух одинаковых тележек.

Толкнув одну из тележек, мы увидим, что она после столкновения остановится, а покоящаяся ранее тележка придет в движение (рис. 118, а, б) с той же скоростью, т. е. тележки обменяются скоростями.

Рис. 118

Видоизменим опыт. Повернем тележки так, чтобы они не были обращены друг к другу пружинными бамперами. На одну из тележек прикрепим пластилиновый шарик. Если толкнуть одну из тележек, то после столкновения с другой они будут двигаться вместе (рис. 119, а, б). При этом скорость тележек будет в 2 раза меньше скорости первой тележки до столкновения. Из этого опыта следует, что скорость изменяется в зависимости от типа столкновения. Однако можно заметить, импульс системы не изменяется. Действительно, до столкновения двигалась одна тележка, и ее импульс был равен , после столкновения движутся обе тележки, и их суммарный импульс равен . Таким образом, при столкновении тележек их суммарный импульс сохраняется. Можно ли считать систему, состоящую из двух сталкивающихся тележек, замкнутой? Очевидно, нет, поскольку на тележки действуют Земля и рельсы, т. е. внешние силы. Однако эти внешние силы направлены перпендикулярно движению тележек, и они в любой момент времени столкновения взаимно уравновешиваются. Таким образом, они не изменяют скорости движения тележек. Тогда в горизонтальной плоскости систему из двух тележек можно считать замкнутой.

Рис. 119

Изменение скорости тележек происходит только под действием внутренних сил — сил взаимодействия между тележками. Импульс системы до взаимодействия равен импульсу системы после взаимодействия. Суммарный импульс системы не изменяется под действием внутренних сил.

Действительно, рассмотрим изменение состояния движения двух тел под действием только сил взаимодействия между ними. Внешние силы отсутствуют, т. е. наша система является замкнутой (рис. 120). По третьему закону Ньютона: .

Рис. 120

Запишем уравнение (5) из § 22 для каждого из тел.
Для тела 1:

Для тела 2:

где и — скорости тел до взаимодействия, и — после взаимодействия. Будем также считать промежуток времени ∆t достаточно малым, чтобы силы взаимодействия существенно не изменялись.
Сложим почленно эти равенства:

 или

В левой части равенства (3) стоит сумма импульсов обоих тел до взаимодействия, а в правой — сумма их импульсов после взаимодействия. Импульс каждого тела изменился, но сумма осталась неизменной.

Очевидно, что если взаимодействуют не два, а несколько тел, то для каждой пары тел можно написать соотношения (I) и (2) и доказать, что векторная сумма импульсов тел замкнутой системы нс изменяется. В этом и состоит закон сохранения импульса системы.

Если в замкнутой системе п тел и их импульсы до взаимодействия — ,  ,….  ,  после взаимодействия — , , …, , то 

Векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую систему, остается неизменной при любых движениях и взаимодействиях тел системы. Это и есть закон сохранения импульса. Всякий раз, когда под действием сил взаимодействия изменяется импульс одного из тел, непременно изменяются и импульсы других тел замкнутой системы так, что суммарный импульс всех тел остается неизменным.

Закон сохранения импульса для замкнутых систем является одним из фундаментальных законов природы, хотя мы его получили, опираясь на второй и третий законы Ньютона.

Поскольку импульс тела является физической векторной величиной, то, следовательно, закон должен выполняться и для проекций импульса на оси выбранной системы координат. Например, для проекций на ось Ox выбранной системы координат равенство (4) примет вид:

Поскольку при решении практических задач о движении тел в земных условиях в систему обычно Земля не включается, то такая система тел не будет замкнутой. Однако если в каждый момент взаимодействия тел сумма внешних сил в каком-то направлении равна нулю, то в этом направлении импульс системы не изменяется. В плоскости, перпендикулярной этому направлению, систему можно считать замкнутой и применять закон сохранения импульса для определения скоростей движения тел. Этот закон можно применять и для незамкнутых систем, когда внешние силы, действующие на тела, значительно меньше сил взаимодействия между телами системы.

Главные выводы:

1. Закон сохранения импульса является фундаментальным законом природы. Он всегда выполняется для замкнутых систем.
2. Если тела выделенной системы движутся только под действием сил взаимодействия между ними, то векторная сумма импульсов тел системы не изменяется с течением времени.
3. Закон сохранения импульса можно использовать в земных условиях для систем тел. на которые действуют внешние силы, если они взаимно компенсируются или импульсом этих сил можно пренебречь по сравнению с импульсом сил взаимодействия.

Импульс тела и реактивное движение

Многие из вас видели игрушку «колыбель Ньютона» — несколько стальных шаров, подвешенных вплотную друг к другу. Если первый шар отвести в сторону и отпустить, после его удара о систему отклонится последний шар, причем примерно на такой же угол, на который был отведен первый. Вернувшись, последний шар ударит систему из оставшихся шаров, после чего снова отклонится первый шар, а затем все повторится. При этом шары посредине остаются практически неподвижными. Как объяснить действие этой игрушки?

Закон сохранения импульса:

Изучая, вы вспомнили закон сохранения механической энергии, а сейчас вспомните еще одну физическую величину, которая имеет свойство сохраняться, — импульс тела.

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы m тела на скорость его движения:

Единица импульса тела в СИ — килограммметр в секунду:

Запишем второй закон Ньютона в импульсном виде:

Величину называют импульсом силы. Таким образом, импульс силы равен изменению импульса тела: (см. рис. 17.1).

Рис. 17.1. Чем большая сила действует на тело и чем дольше ее действие, тем сильнее изменяется импульс тела

Рис. 17.2. При разрыве снаряда фейерверка суммарный импульс системы сохраняется, поскольку в момент разрыва внешние силы (сила тяжести и сила сопротивления) незначительны по сравнению с силами давления пороховых газов

В замкнутой системе тел — системе, в которой тела взаимодействуют только друг с другом, а внешние силы отсутствуют, уравновешены или пренебрежимо малы (см., например, рис. 17.2), суммарный импульс тел остается неизменным (сохраняется), то есть выполняется закон сохранения импульса:

В замкнутой системе тел векторная сумма импульсов тел до взаимодействия равна векторной сумме импульсов тел после взаимодействия:

где n — количество тел системы.

Учитывая, что импульс тела равен произведению массы m и скорости движения тела, закон сохранения импульса можно записать так:

С проявлениями закона сохранения импульса мы имеем дело в природе, технике и т. д. Рассмотрим два примера применения данного закона: реактивное движение и столкновение тел.

• Заказать решение задач по физике

От чего отталкиваются ракеты

Вспомните опыт с шариком, который движется благодаря воздуху, вырывающемуся из его отверстия (рис. 17.3). Это движение — пример реактивного движения. Реактивное движение — это движение, возникающее при отделении с некоторой скоростью от тела его части.

Реактивное движение — это движение, возникающее при отделении с некоторой скоростью от тела его части.

Реактивное движение можно наблюдать в природе (рис. 17.4); его широко используют в технике: простейшие поливные системы, автомобили на реактивной тяге, катера с водометными двигателями, реактивные самолеты и, конечно, ракеты, ведь реактивное движение — это единственный способ передвижения в безвоздушном пространстве.

Рис. 17.4. Благодаря реактивному движению передвигаются многие обитатели морей и океанов (а); «бешеный огурец» может преодолеть расстояние до 12 м, рассеивая по пути семена (б)

Ракета — летательный аппарат, который движется в пространстве благодаря реактивной тяге, возникающей при отбросе ракетой части собственной массы.

Отделяющейся частью ракеты является струя горячего газа, образующегося при сгорании топлива. Когда газовая струя с огромной скоростью выбрасывается из сопла ракеты, оболочка ракеты получает мощный импульс, направленный в сторону, противоположную движению струи.

Если бы топливо сгорало мгновенно, а раскаленный газ сразу весь выбрасывался бы из ракеты, то закон сохранения импульса для системы «оболочка ракеты — раскаленный газ» выглядел бы так: (поскольку до старта импульс системы равен нулю), а следовательно, оболочка ракеты приобретала бы скорость: К сожалению, топливо сгорает постепенно, поэтому часть газа приходится «разгонять» вместе с оболочкой; к тому же систему «оболочка ракеты — раскаленный газ» нельзя считать замкнутой (с увеличением скорости ракеты значительно возрастает сопротивление воздуха). Вычисления показывают, что для достижения первой космической скорости (8 км/с) масса топлива должна в 200 раз превышать массу оболочки. А ведь на орбиту нужно поднять не только оболочку, но и оборудование, космонавтов, запасы воды, кислорода и т. п. Поэтому возникла идея многоступенчатых ракет: каждая ее ступень содержит запас топлива и собственный реактивный двигатель, который разгоняет ракету, пока не израсходует топливо. После этого ступень отбрасывается, облегчая ракету и сообщая ей дополнительный импульс.

Именно на многоступенчатых ракетах были сделаны первые шаги человечества в космос: 4 октября 1957 г. советские ученые вывели на околоземную орбиту первый искусственный спутник Земли, а 12 апреля 1961 г. — космический корабль «Восток», на борту которого был первый в мире космонавт Юрий Алексеевич Гагарин; 21 июля 1969 г. американские астронавты Нил Армстронг и Базз Олдрин впервые высадились на Луне.

Прошло всего 60 лет, а мы уже не можем представить свою жизнь без космоса. Вспомните: спутниковое телевидение и спутниковая связь, система GPS и спутниковый Интернет, надежный прогноз погоды и спутниковые карты. Сейчас созданы космические корабли многоразового использования, космические аппараты высадились на Венеру, Марс и другие планеты Солнечной системы.

13 апреля 2018 г. исполнилось 25 лет со дня первого запуска ракеты-носителя «Зенит», созданной в конструкторском бюро «Южное» и на заводе «Южмаш» (Днепр). Сейчас усовершенствованная трехступенчатая ракета-носитель «Зенит-3SL» является самым большим и самым мощным летательным аппаратом своего класса в мире. Экологически чистый (работает на кислороде и керосине), недорогой, надежный «Зенит» может быть запущен при любых метеорологических условиях, способен вывести на околоземную орбиту спутники массой до 13 т. Изобретатель и предприниматель Илон Маск, основатель компании SpaceX, работающей в области строительства космического транспорта, на вопрос журналистки о любимой ракете ответил: «Лучшая ракета (после моей) — это “Зенит”».

Упругий и неупругий удары

Кратковременное взаимодействие тел, при котором тела непосредственно касаются друг друга, называют ударом. В системе сталкивающихся тел при ударе обычно возникают большие (по сравнению с внешними) внутренние силы, поэтому при ударе систему тел можно считать замкнутой и, рассматривая удары, использовать закон сохранения импульса. А вот полная механическая энергия сохраняется не всегда. Потенциальная энергия тел непосредственно до столкновения и сразу после него в большинстве случаев одинакова, поэтому далее речь пойдет только о кинетической энергии.

Рис. 17.5. Удар при столкновении бильярдных шаров (а), удары мяча по бетонной стене (б) можно считать упругими

Если после удара суммарная кинетическая энергия тел сохраняется, такой удар называют упругим (рис. 17.5).

Если после удара часть кинетической энергии превращается во внутреннюю энергию (тратится на деформацию и нагревание тел), такой удар называют неупругим.

Неупругий удар, после которого тела движутся как единое целое, называют абсолютно неупругим ударом (рис. 17.6).

Если скорости движения тел до и после удара (упругого или неупругого) направлены вдоль прямой, проходящей через центры масс этих тел, такой удар называют центральным.

Абсолютно неупругий центральный удар и упругий центральный удар рассмотрим на примерах решения задач.

Пример №1

Два шара массами 300 и 200 г, движущиеся со скоростями 4 и 2 м/с соответственно, испытывают центральный абсолютно неупругий удар. Определите, какое количество кинетической энергии шаров превратится во внутреннюю энергию, если: 1) шары двигались навстречу друг другу; 2) шары двигались друг за другом.

Анализ физической проблемы. Удар абсолютно неупругий, поэтому: 1) после столкновения шары движутся как одно целое; 2) суммарный импульс системы сохраняется; 3) кинетическая энергия системы уменьшается (часть энергии превращается во внутреннюю).

Решение:

Найдем суммарную кинетическую энергию системы шаров до столкновения:

Выполним пояснительные рисунки; ось ОХ направим вдоль движения шаров.

Запишем закон сохранения импульса в векторном виде и в проекциях на ось OX:

Найдем скорость движения шаров после столкновения:

Найдем суммарную кинетическую энергию системы шаров после столкновения:

Выясним, на сколько уменьшилась кинетическая энергия системы шаров:

Ответ: 1) 2,16 Дж; 2) 0,24 Дж.

Анализ результатов. Видим, что в случае лобового удара шаров во внутреннюю энергию превращается значительно большее количество механической энергии.

Пример №2

Два шара одинаковой массы, движущиеся со скоростями 4 и 2 м/с соответственно, испытывают центральный упругий удар. Определите скорость движения шаров после столкновения, если: 1) шары двигались навстречу друг другу; 2) шары двигались друг за другом.

Решение:

Удар упругий, поэтому: 1) после столкновения шары движутся с разными скоростями; 2) суммарный импульс системы сохраняется, поскольку внешние силы, действующие на шары, скомпенсированы; 3) кинетическая энергия системы не изменяется. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса и законом сохранения механической энергии. Выполним пояснительные рисунки; ось ОХ направим вдоль движения шаров.

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на ось ОХ и закон сохранения кинетической энергии:

Учтем, что = m, и после сокращений получим систему уравнений:

После простых преобразований получим:

Разделим второе уравнение системы на первое и получим более простую систему:

Решим полученную систему уравнений методом сложения и найдем скорости движения шаров после столкновения:

Ответ: для обоих случаев

Видим, что при упругом центральном ударе тела одинаковой массы обмениваются скоростями.

Выводы:

Вычисление импульса

Импульс тела — это векторная физическая величина, характеризующая движение, и определяется произведением массы тела и его скорости.

Обозначают импульс буквой р. Единицей импульса в СИ является один килограмм-метр в секунду (1 кг • м/с). Математически это записывают так:

Импульс силы — это векторная физическая величина, характеризующая действие силы за определенный интервал времени.
Определяется произведением среднего значения силы за определенный интервал времени и длительности этого интервала:

Импульсу присуще очень интересное и важное свойство, которое имеют немного физических величин. Это свойство сохранения. Оно заключается в том, что геометрическая сумма импульсов тел, взаимодействующих только друг с другом, сохраняется неизменной. Сами импульсы тел, конечно, изменяются, поскольку на каждое из тел действуют силы взаимодействия, но сумма импульсов остается неизменной (постоянной).

Это утверждение называют законом сохранения импульса. Закон сохранения импульса — один из самых важных законов природы. Его очень просто доказать, если взаимодействуют друг с другом два тела. Действительно, если первое тело действует на второе с силой , то на первое тело второе действует с силой, которая по третьему закону Ньютона равна —. Обозначим массы тел через , а их скорости движения относительно какой-то системы отсчета В результате взаимодействия тел их скорости спустя некоторое время t изменятся и будут равны

Тогда, согласно формулезапишем:

Изменив знаки обеих частей этого равенства на противоположные, перепишем его в виде:

В левой части этого равенства записана сумма начальных импульсов двух тел, а в правой — сумма импульсов этих же тел через время t. Эти суммы равны между собой. Таким образом, хотя импульс каждого из тел при взаимодействии изменяется, их полный импульс, то есть сумма импульсов обоих тел сохраняется неизменной. Что и требовалось доказать.

Можно также доказать, и опыты это подтверждают, если взаимодействуют не два, а много тел, то геометрическая сумма импульсов всех тел или системы тел остается неизменной. Важно только, чтобы эти тела взаимодействовали друг с другом и на них не действовали силы со стороны других тел, которые не входят в систему (или, чтобы эти внешние силы уравновешивались). Такую группу тел, которые не взаимодействуют с другими телами, не входящими в эту группу, называют замкнутой системой.

Именно для замкнутых систем и выполняется закон сохранения импульса:

• геометрическая сумма импульсов тел, образующих замкнутую систему, сохраняется постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой:    = const.

Отсюда следует, что взаимодействие тел сводится к тому, что одни тела передают часть своего импульса другим.

Импульс тела — это векторная величина. Следовательно, если сумма импульсов тел сохранится постоянной, то и сумма проекций этих импульсов на координатные оси также остается постоянной. Вследствие этого геометрическую сумму импульсов можно заменить суммой алгебраических их проекций.

Закон сохранения импульса можно проиллюстрировать такими опытами.

Опыт 1. Поставим на рельсы две тележки одинаковой массы m. К торцу одной тележки прикрепим пластилиновый шарик. Пусть тележки движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями (рис. 288).

При столкновении обе тележки остановятся. Объяснить результаты опыта легко. До столкновения импульс левой тележки равен , а правой тележки (тележки двигались с противоположно направленными скоростями). Следовательно, к моменту встречи тележек их общий импульс равнялся нулю: После столкновения тележки остановились. Следовательно, и теперь суммарный импульс обеих тележек равен нулю.

Опыт 2. Повернем тележки друг к другу пружинными буферами (рис. 289). Повторив опыт, убедимся в том, что после столкновения обе тележки разъедутся в противоположные стороны. При таком взаимодействии скорости движения тележек изменят свои направления на противоположные, модули скоростей останутся такими же, какими они были до

взаимодействия. Если до встречи импульс левой тележки равен , а правой равен —, то после встречи импульс левой тележки равен —, а правой — равен . Поэтому суммарный импульс обеих тележек равен нулю как до, так и после столкновения, в соответствии с законом сохранения импульса.