Как найти скорость изображения точечного источника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение

Формула тонкой линзы — формула, связывающая три величины: расстояние от предмета до линзы, расстояние от изображения до линзы и фокусное расстояние линзы.

Условные обозначения:

расстояние от предмета до линзы — d (м);
расстояние от изображения до линзы— f (м);
фокусное расстояние линзы — F (м).

Вывод формулы

Обратимся к рисунку, который мы использовали для объяснения правила построения изображений в собирающих линзах:

Видно, что треугольники АОВ и А₁В₁О подобные (по двум углам). Следовательно:

BOOB1=ABA1B1

По двум углам также являются подобными треугольники COF и FA₁B₁. Отсюда делаем вывод, что:

COA1B1=OFFB1

Линия предмета образует с частью главной оптической оси, перпендикуляром, проведенным из верхней точки к линзе, и частью самой линзы прямоугольник. Следовательно, его противоположные стороны равны:

AB=CO

Следовательно:

ABA1B1=COA1B1

Отсюда следует, что:

BOOB1=OFFB1

BO является расстоянием от предмета до линзы. Обозначим его за d. OB1 является расстоянием от линзы до изображения. Обозначим его за f. OF является фокусным расстоянием линзы. Обозначим его за F. FB1 является разностью расстояния от линзы до изображения и фокусного расстояния линзы. Поэтому это выражение мы можем записать так:

df=Ff−F

Избавимся от знаменателей и получим:

fd−Fd=fF

Или можно записать так:

fF+Fd=fd

Теперь все члены равенства поделим на произведение Ffd. В результате вычислений получим формулу тонкой линзы:

Формула тонкой линзы

1d+1f=1F

Поскольку величиной, равной обратной фокусному расстоянию, является оптическая сила, формулу тонкой линзы можно записать следующим образом:

1d+1f=D

Величины d, ƒ и F могут быть как положительными, так и отрицательными. Отметим (без доказательства), что при применении формулы тонкой линзы знаки нужно ставить перед членами уравнения согласно следующим правилам.

Правила расстановки знаков перед членами уравнения в формуле линзы

Если линза собирающая, то ее фокус действительный, и перед членом 1F ставят знак «плюс» (1F).
Если линза рассеивающая, то ее фокус мнимый, и перед членом 1F ставят знак «минус» (−1F).
Если изображение действительное, то перед величиной 1d ставят знак «плюс» (1d).
Если изображение мнимое, то перед величиной 1d ставят знак «минус» (−1d).
Величина 1f всегда имеет знак «плюс», поскольку расстояние от предмета до линзы всегда положительное.

Иногда случается, что перед величинами F, f и d знаки неизвестны. Тогда при вычислениях перед ними ставят знаки «плюс». Но если в результате вычислений фокусного расстояния или расстояния от линзы до изображения либо до источника получается отрицательная величина, то это означает, что фокус, изображение или источник мнимые.

Пример №1. Фокусное расстояние линзы равно 10 см. Найти расстояние от предмета до линзы, если расстояние от нее до изображения составляет 15 см.

Переводить в СИ единицы измерения не будем, поскольку они однородны. Так как все величины выражены в см, то и ответ будет выражен в см.

Применим формулу тонкой линзы:

1d+1f=1F

1d+115=110

Умножим выражение на 150d:

150+10d=15d

5d=150

d=30 (см)

Увеличение линзы

Раньше мы уже упоминали, что изображение, полученное в линзе, может быть увеличенным или уменьшенным. Различие размеров предмета и изображения характеризуется увеличением.

Определение

Линейное увеличение — отношение линейного размера изображения к линейному размеру предмета. Линейное увеличение обозначают буквой Γ.

Чтобы найти линейное увеличение изображения предмета в линзе, снова обратимся к первому рисунку этого параграфа. Если высота предмета АВ равна h, а высота изображения А₁В₁ равна Н, то:

Γ=Hh

Мы уже выяснили, что треугольники АОВ и ОА₁В₁ подобны. Поэтому:

Hh=|f||d|

Где H — высота изображения предмета, h — высота самого предмета.

Отсюда вытекает, что увеличение линзы равно:

Γ=|f||d|

Пример №2. Предмет имеет высоту h = 2 см. Какое фокусное расстояние F должна иметь линза, расположенная от экрана на расстоянии f = 4 м, чтобы изображение указанного предмета имело высоту H = 1 м?

2 см = 0,02 м

Сначала применим формулы тонкой линзы:

1d+1f=1F

Она необходима, чтобы выразить фокусное расстояние линзы:

F=dfd+f

Расстояние от предмета до линзы неизвестно. Но его можно выразить из формулы увеличения линзы:

Γ=fd=Hh

Отсюда это расстояние равно:

d=fhH

Подставим полученное выражение в формулу фокусного расстояния линзы:

F=fhHffhH+f=f2hH·
Hfh+fH=fhH+h

F=fhH+h=4·0,021+0,02≈0,08 (м)=8 (см)

Задание EF17760

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой 2,5 дптр так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла C лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки A равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, AC = 4 см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения в СИ.

2.Сделать рисунок — построить изображение в линзе.

3.Записать формулу для нахождения площади полученной фигуры.

4.Выполнить решение в общем виде.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Оптическая сила линзы: D = 2,5 дптр.

• Сторона треугольника AC = 4 см.

4 см = 0,04 м

Построим изображение в линзе. Для этого достаточно построить изображение точки В. Сначала пустим луч, параллельный главной оптической оси, к плоскости линзы. Он будет преломляться, после чего пройдет через фокус. Затем пустим луч через оптический центр. На месте пересечения двух лучей поставим точку и обозначим ее за B´.

Так как точки B и C предмета лежат на одной прямой, перпендикулярной главной оптической оси, для нахождения точки изображения C´ достаточно пустить перпендикуляр от B´ этой оси. На месте пересечения поставим точку и обозначим ее C´.

Рассматривать ход лучей для построения точки A´ тоже не будем. Точка A лежит в плоскости второго фокуса. Значит, она будет находиться в этой же точке и с противоположной стороны линзы. Это легко доказать с помощью формулы тонкой линзы:

1d+1f=1F

Если расстояние от предмета до линзы равно 2F, то и расстояние от линзы до его изображения будет 2F:

12F+1f=1F

1f=1F−12F=2−12F=12F

f=2F

Теперь соединим все найденные точки и получим треугольник A´ B´ C´. Найдем его площадь. Поскольку это прямоугольный треугольник, его площадь будет равна половине произведения двух катетов — B´ C´и A´ C´:

S=A´C´·B´C´2

Из формулы оптической силы линзы найдем фокусное расстояние:

F=1D=12,5=0,4 (м)

Известно, что точка A находится в точке двойного фокусного расстояния. И ее изображение тоже находится на таком же расстоянии от линзы. Следовательно, чтобы найти длину катета A´ C´, нужно найти расстояние от точки C до ее изображения. Расстояние от этой точки до линзы равно разности двойного фокусного расстояния и длины отрезка AC:

dC=2F−AC=2·0,4−0,04=0,76 (м)

Используя формулу тонкой линзы, вычислим расстояние от линзы до изображения этой точки:

10,76+1f=1F

1fC=1F−10,76=0,76−F0,76F=0,76−0,40,76·0,4

fC=0,76·0,40,76−0,4=0,844 (м)

Тогда длина катета A´ C´ будет равна:

A´C´=fC−fA=fC−2F=0,844−0,4·2=0,044 (м)

Треугольники BCO и B´ C´O подобны по 3 углам. Углы O равны как вертикальные. Углы C и C´ как прямые, а B и B´ как накрест лежащие (полученные при пересечении секущей в виде луча через оптический центр и параллельных фокальных плоскостей). Следовательно BC относится к B´ C´ так же, как OC относится к C´O:

BCB´C´=ACA´C´

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому BC = AС. Тогда:

ACB´C´=ACA´C´

Следовательно:

B´C´=A´C´

Отсюда площадь треугольника равна:

S=A´C´·A´C´2=(0,044)22=0,000968 (м2)=9,68 (см2)

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17685

Линза с фокусным расстоянием F=1м даёт на экране изображение предмета, увеличенное в 4 раза. Каково расстояние от предмета до линзы?

Ответ:

а) 0,50 м

б) 0,75 м

в) 1,25 м

г) 1,50 м

Алгоритм решения

1.Записать известные данные.

2.Записать формулу увеличения линзы и формулу тонкой линзы.

3.Выразить из обеих формул расстояние от линзы до изображения предмета.

4.Приравнять правые части выражений.

5.Выполнить решение в общем виде.

6.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем известные данные:

• Фокусное расстояние линзы: F = 1 м.

• Увеличение линзы: Γ = 4.

Запишем формулу увеличения линзы и выразим из нее расстояние от линзы до изображения предмета:

Γ=fd

f=Γd

Запишем формулу тонкой линзы и выразим из нее расстояние от линзы до изображения предмета:

1d+1f=1F

1f=1F−1d=d−FFd

f=dFd−F

Приравняем правые части последних выражений:

Γd=dFd−F

Поделим на d и выразим расстояние от предмета до линзы:

Γ=Fd−F

d=FΓ+F=14+1=1,25 (м)

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18124

Предмет высотой 6 см расположен на горизонтальной главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии 30 см от её оптического центра. Высота изображения предмета 12 см. Найдите фокусное расстояние линзы.

Ответ:

а) 5 см

б) 10 см

в) 20 см

г) 36 см

Алгоритм решения

1.Записать известные данные.

2.Записать формулу увеличения линзы в двух вариантах и выразить из нее расстояние от изображения до линзы.

3.Записать формулу тонкой линзы и тоже выразить из нее расстояние от изображения до линзы.

4.Приравнять правые части выражений.

5.Выполнить решение в общем виде.

6.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем известные данные:

• Расстояние от оптического центра линзы до предмета: d = 30 cм.

• Высота предмета: h = 6 см.

• Высота изображения: H = 12 см.

Так как все данные измеряются в сантиметрах, переводить единицы измерения величин в СИ нет необходимости. Просто ответ будет получен тоже в сантиметрах.

Запишем формулу увеличения линзы:

Γ=Hh=fd

Отсюда расстояние от изображения до линзы равно:

f=Hdh

Запишем формулу тонкой линзы и выразим из нее расстояние от линзы до изображения предмета:

1d+1f=1F

1f=1F−1d=d−FFd

f=dFd−F

Приравняем правые части последних выражений:

Hdh=dFd−F

Поделим на d, у множим на h(d –F) и выразим фокусное расстояние:

Hh=Fd−F

H(d−F)=hF

Hd−HF=hF

hF+HF=Hd

F(h+H)=Hd

F=Hdh+H=12·3012+6=20 (см)

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF19112

В плоскости, параллельной плоскости тонкой собирающей линзы, по окружности со скоростью v = 5 м/с движется точечный источник света. Расстояние между плоскостями d = 15 см. Центр окружности находится на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы F = 10 см. Найдите скорость движения изображения точечного источника света. Сделайте пояснительный чертёж, указав ход лучей в линзе. Ответ запишите в м/с.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения в СИ.

3.Записать формулу тонкой линзы и определить из нее расстояние от изображения до линзы.

4.Записать формулу линейного увеличения линзы двумя способами для вычисления радиусов окружностей, по которым движутся точка и ее изображение.

5.Выполнить решение в общем виде.

6.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Фокусное расстояние линзы: F = 10 см.

• Расстояние от линзы до плоскости, в которой вращается точка: d = 15 см.

• Скорость вращения точки: v = 5 м/с.

10 см = 0,1 м

15 см = 0,15 м

Выполним рисунок. Для его построения достаточно найти изображение точки А. Затем в противоположную сторону отложим перпендикуляр и на таком же расстоянии от главной оптической оси будет находиться изображение точки B.

Глядя со стороны, мы будем видеть вместо окружности, которую описывает точка, линию AB. Она равн диаметру окружности, по которой движется точка. Обозначим ее радиус OA за r. Изображением окружности будет окружность. Вместо нее мы со стороны также увидим отрезок — A´B´. Обозначим радиус O´A´ за R.

Запишем формулу тонкой линзы и выразим из нее расстояние от изображения до линзы:

1d+1f=1F

1f=1F−1d=d−FFd

f=dFd−F

Формулу линейного увеличения линзы можно определить как отношение радиуса окружности, по которой движется точка-изображение, к радиусу окружности, по которой движется сама точка:

Γ=Rr

Линейное увеличение также определяется формулой:

Γ=fd

Следовательно:

Rr=fd

Подставим сюда выражение, найденное для расстояния от изображения до линзы из формулы тонкой линзы:

Rr=dFd(d−F)=Fd−F

Так как изображение будет двигаться вслед за точкой, то угловые скорости этой точки и изображения будут равны. Поэтому:

ω=vr=VR

Отсюда линейная скорость движения изображения равна:

V=Rvr=Fvd−F=0,1·50,15−0,1=10 (мс)

Ответ: 10

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 14.9k

Источник

Тема .

№29 Электродинамика. Квантовая физика (Расчетная задача высокого уровня сложности)

Скорость изображения в различных оптических системах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

№29 электродинамика. квантовая физика (расчетная задача высокого уровня сложности)

Решаем задачи

Показать ответ и решение

Из тригонометрии b b
tgα = -,tgβ = -
a l , так как углы малые, то . Тогда
отношение

α b ⋅ l l
-- = ---- = --
β a ⋅ b a

По закону Снеллиуса sinα
n = -----
sinβ или с учетом малости углов

n = α-= l-⇒ a = l-= 20 см.
β a n

Тогда см – расстояние от линзы до изображения, если бы система состояла только
из линзы.
Запишем формулу тонкой линзы

1 1 1 f − F
--= --+ --⇒ d = ------ = 120 см
F d f f F

Поперечное увеличение

f- u- vf-
Γ = d = v ⇒ u = d = 0,5 см/ с

Критерии оценки

3 балла ставится за задачу если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:

I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых
необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: Сделан поясняющий рисунок,
записан закон Снеллиуса, записана формула тонкой линзы)

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в
условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин,
используемых при написании физических законов. (введены обозначения для величин не входящих в
КИМы)

III) Проведены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие
к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными
вычислениями).

IV) Представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины.

2 балла ставится за задачу если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые
преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

Записи, соответствующие одному или обоим пунктам: II и III, – представлены не в полном объёме
или отсутствуют.

При ПОЛНОМ правильном решении лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), не
отделены от решения (не зачёркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.).

При ПОЛНОМ решении в необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены
ошибки, и (или) преобразования/вычисления не доведены до конца.

При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательны единицы
измерений)

1 балл ставится за задачу если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых
необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их
использованием, направленных на решение задачи.

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение,
лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися
формулами, направленные на решение задачи.

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в
основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися
формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Показать ответ и решение

1) Изобразим ход лучей для момента, когда груз находится в максимальном удалении от главной
оптической оси (точка ). Изображение ′
B получается после двойного прохождения лучами линзы и
отражения в зеркале (см. рис.).

Тогда по формуле тонкой линзы:

-1 + 1-= − 2-
L f F

Двойка в правой части возникает из-за двойного прохождения лучами линзы. Откуда

LF
f = − 2L-+-F--= − 0,45F.

2) На рисунке расстояние от грузика до главной оптической оси равно , а расстояние от
изображения B ′ до главной оптической оси равно . ИЗ подобия треугольников и DOC
можно найти:

x-(t)--= L- = 2L--+-F-. (1 )
B ′B ′′ f F

Пусть , тогда

x(t) 2L + F x(t)
---- = --------= 10 ⇒ y = ----.
y F 10

Возьмём производную по времени от :

′ x′(t)-
y = 10 .

Грузик колеблется с циклической частотой:

∘ ---
k
ω = --.
m

При этом колебания описываются уравнением

∘ ---
-k
x(t) = A cos(ωt + φ0) = A cos m t,

где – начальная фаза колебаний (в данном случае ∘
90 ). Взяв производную от x(t)
получим

′
x (t) = − A ω sin(ωt ).

где – максимальная скорость грузика. В момент прохождения главной оптической оси
скорость изображения грузика максимальна, значит, можно найти

∘ ---
umax = vmax-= A-ω-= 0,1A k-
10 10 m

Критерии оценки

3 балла ставится за задачу если:

I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых
необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: сделан поясняющий рисунок,
записана формула токной линзы, записано уравнение колебаний, записана формула циклической
частоты)

IV) Представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины.

2 балла ставится за задачу если:

Записи, соответствующие одному или обоим пунктам: II и III, – представлены не в полном объёме
или отсутствуют.

При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательны единицы
измерений)

1 балл ставится за задачу если:

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Показать ответ и решение

1) Запишем формулу тонкой линзы при отсутствии зеркала:

1- 1- -1
d + f = F ,

где – расстояние от линзы до действительного изображения .
Откуда

dF 30 см ⋅ 25 см
f = d-−-F- = 30-см-−-25-см- = 150 см

2) Пусть a = 50 см – расстояние между зеркалом и линзы. Так как f > a , то является
мнимым предметом для зеркала. Для того, чтобы на экране наблюдалось резкое изображение должно
выполняться равенство:

откуда искомая величина

3) Найдём увеличение линзы:

f 150 см
Γ = --= -------= 5.
d 30 см

Скорости изображения, полученного в линзе, и источника связаны формулой:

Γ = u- ⇒ u = vΓ = 5v.
v

При этом зеркало не меняется скорость, следовательно, максимальная скорость изображения на
экране:

Критерии оценки

3 балла ставится за задачу если:

I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых
необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: записана формула
тонкой линзы, записана формула увеличения, сказано при каком условии изображение будет
резким)

IV) Представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины.

2 балла ставится за задачу если:

Записи, соответствующие одному или обоим пунктам: II и III, – представлены не в полном объёме
или отсутствуют.

При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательны единицы
измерений)

1 балл ставится за задачу если:

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Груз на пружине совершает гармонические колебания перпендикулярно главной оптической оси
собирающей линзы с оптической силой 5 дптр (см. рисунок). С помощью этой линзы получено чёткое
изображение груза на экране, находящемся на расстоянии 0,5 м от линзы. Максимальная скорость
изображения равна 1 м/с. Определите максимальную скорость самого груза, считая груз материальной
точкой.

Показать ответ и решение

Пусть расстояние от линзы до предмета , расстояние от линзы до изображения , увеличение линзы
, – максимальное значение скорости груза, – максимальное значение скорости
изображения.
Груз и изображение груза совершают колебания с одинаковой циклической частотой . Так как
колебания груза описываются уравнением:

где – амплитуда, φ
0 – начальная фаза.
Отсюда скорость описывается уравнением:

v(t) = Aω cos(ωt + φ )
0

Тогда Если амплитуда колебаний груза равна , а амплитуда колебаний изображения , то по
формуле увеличения:

Γ = A2-= f. (1)
A1 d

Отсюда:

v1 A1-ω- 1-
v = A ω = Γ . (2)
2 2

Запишем также формулу тонкой линзы:

1-+ 1-= D,
d f

где – оптическая сила линзы.
Отсюда:

d = ---f---. (3)
fD − 1

Тогда объединяя (1) – (3), получим:

f f
Γ = --= -------- = f D − 1.
d ---f----
fD − 1

v2 1 м/ с
v1 = --------= ------------------ ≈ 0,67 м/ с
f D − 1 0,5 м ⋅ 5 дп тр − 1

Критерии оценки

3 балла ставится за задачу если:

I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых
необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: формулы тонкой
линзы, связи фокусного расстояния и оптической силы линзы, увеличения, даваемого линзой,
формулы кинематического описания гармонического движения для координаты и скорости
(или формула связи амплитуды колебания координаты с амплитудой колебания скорости)
)

IV) Представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины.

2 балла ставится за задачу если:

Записи, соответствующие одному или обоим пунктам: II и III, – представлены не в полном объёме
или отсутствуют.

При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательны единицы
измерений)

1 балл ставится за задачу если:

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Висящий на пружине груз совершает вертикальные колебания, двигаясь перпендикулярно главной
оптической оси линзы с фокусным расстоянием F1 = 32 см. На экране, который можно перемещать,
получено изображение груза. При этом максимальная скорость изображения оказалась в 8 раз больше
максимальной скорости груза.
1) Найдите расстояние между грузом и линзой.
2) Найдите фокусное расстояние собирающей линзы, которую надо поместить вплотную к первой
линзе, чтобы максимальная скорость изображения уменьшилась в 4 раза по сравнению с предыдущей.

(«Физтех», 2012)

Показать ответ и решение

1) Запишем формулу тонкой линзы:

1- 1- -1-
d + f = F ,
1

где – расстояние от линзы до предмета, – расстояние от линзы до изображения.
Увеличение равно:

f u
Γ = d-= v,

где – скорость изображения, – скорость предмета.
Так как максимальная скорость изображения оказалась в 8 раз больше максимальной скорости груза,
то Γ = 8 , отсюда

Тогда из формулы тонкой линзы:

8 1 1 9 9
---+ ---= ---⇒ d = -F1 = --⋅ 32 см = 36 см
8d 8d F1 8 8

2) Если расстоянием между линзами можно пренебречь, то оптическая сила системы из двух линз
равна сумме оптических сил линз, то есть

1 1
D = D1 + D2 = ---+ ---,
F1 F2

где – оптическая сила первой линзы, – оптическая сила второй линзы.
Запишем формулу тонкой линзы:

1 1 1 1
--+ ---= ---+ ---,
d f1 F1 F2

где – расстояние от линзы до предмета, – расстояние от линзы до изображения.
Увеличение равно:

f u
Γ 1 = -1= -1,
d v1

где – скорость изображения, – скорость предмета.
Так как максимальная скорость изображения уменьшилась в 4 раза по сравнению с предыдущей, то
максимальная скорость изображения оказалась в 2 раз больше максимальной скорости груза, то есть
, отсюда

Тогда из формулы тонкой линзы:

2 1 1 1 3 1 1
---+ ---= ---+ --- ⇒ ---− ---= ---
2d 2d F1 F2 2d F1 F2

Отсюда

Критерии оценки

3 балла ставится за задачу если:

I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых
необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: записана формула тонкой
линзы, записана формула увеличения, записана формула оптической силы линзы)

IV) Представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины.

2 балла ставится за задачу если:

Записи, соответствующие одному или обоим пунктам: II и III, – представлены не в полном объёме
или отсутствуют.

При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательны единицы
измерений)

1 балл ставится за задачу если:

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Груз массой 0,1 кг, прикрепленный к пружине жесткостью 0,4 Н/м, совершает гармонические колебания
с амплитудой 0,1 м. При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием 0,2 м изображение
колеблющегося груза проецируется на экран, расположенный на расстоянии 0,5 м от линзы. Главная
оптическая ось линзы перпендикулярна траектории груза и плоскости экрана. Определите
максимальную скорость изображения груза на экране.

Сборник задач «1000 задач»

Показать ответ и решение

При колебаниях выполняется закон сохранения энергии, из которого можно выразить максимальную
скорость груза:

2 2 ∘ ---
mv-m- = kx-m-⇒ v = -kx ,
2 2 m m m

где x
m – амплитуда колебания.
Максимальная скорость на экране изображения расположенном на расстоянии от линзы,
пропорциональна скорости груза, движущегося на расстоянии от плоскости тонкой линзы и может
быть найдена из подобия треугольников:

∘ ---
um- d- d- d- k-
v = f ⇒ um = gvm = f m xm
m

По формуле тонкой линзы можно найти

1-+ 1-= -1 ⇒ f = --dF--.
f d F d − F

Тогда

∘ ---
d(d − F) k
um = --------- --xm = 0,3 м/ с
dF m

Критерии оценки

3 балла ставится за задачу если:

I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых
необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: закон сохранения энергии для
гармонических колебаний, записана формула тонкой линзы, найдено отношение скоростей
изображения и источника)

IV) Представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины.

2 балла ставится за задачу если:

Записи, соответствующие одному или обоим пунктам: II и III, – представлены не в полном объёме
или отсутствуют.

При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательны единицы
измерений)

1 балл ставится за задачу если:

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

В плоскости, параллельной плоскости тонкой собирающей линзы, по окружности со скоростью v = 5
м/с движется точечный источник света. Расстояние между плоскостями d = 15 см. Центр окружности
находится на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы = 10 см. Найдите скорость
движения изображения точечного источника света. Сделайте пояснительный чертёж, указав ход лучей в
линзе.

Демоверсия 2019

Показать ответ и решение

Сделаем рисунок:

Согласно формуле тонкой линзы, расстояние от предмета до линзы , расстояние от линзы до
изображения и фокусное расстояние связаны соотношением

1 1 1
--= --+ --
F d f

Отсюда расстояние от линзы до изображения составляет

f = --Fd--
d − F

Линейное увеличение для изображения предмета тонкой линзой равно

H-- f- --F---
Г = h = d = d − F ,

где – расстояние от главной оптической оси до изображения источника света, – расстояние от
главной оптической оси до источника света.
Изображение и источник света вращаются относительно главной оптической оси на разных расстояниях,
но с одним и тем же периодом. При движении по окружности скорость может быть найдена
как

v = 2πR--
T

Запишем отношение скоростей изображения и источника света и выразим отсюда скорость
изображения

Подставим числа

′ 10-см-⋅ 5-м/-с
v = 15 см − 10 см = 10 м/с

Критерии оценки

3 балла ставится за задачу если:

I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых
необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: формула тонкой линзы,
формула увеличения, даваемого линзой, доказано равенство угловых скоростей движения предмета и
его изображения, записаны формулы для угловой и линейной скоростей движения точки, сделан
верный чертеж с указанием хода лучей)

IV) Представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины.

2 балла ставится за задачу если:

Записи, соответствующие одному или обоим пунктам: II и III, – представлены не в полном объёме
или отсутствуют.

При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательны единицы
измерений)

1 балл ставится за задачу если:

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Точечный источник, находящийся на главной оптической оси собирающей линзы на расстоянии от нее, в
полтора раза большем фокусного, начинает смещаться со скоростью 4 мм/с перпендикулярно оси. С
какой скоростью движется изображение источника?

Показать ответ и решение

Формула тонкой линзы для собирающей линзы:

1- 1- 1-
F = d + f

где – фокусное расстояние,
– расстояние от предмета до линзы
– растояние от изображения до линзы

f = --Fd--
d − F

f- --F--- ----F-----
Γ = d = d − F = 1,5F − F = 2

H = hΓ

– расстояние от предмета до оси
– расстояние от изображения до оси
Возьмем производную по времени

где – скорость изображения, – скорость источника

Критерии оценки

3 балла ставится за задачу если:

I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых
необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: записана формула тонкой
линзы, записана формула увеличения)

IV) Представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины.

2 балла ставится за задачу если:

Записи, соответствующие одному или обоим пунктам: II и III, – представлены не в полном объёме
или отсутствуют.

При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательны единицы
измерений)

1 балл ставится за задачу если:

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Точечный источник находится на главной оптической оси собирающей линзы с фокусным
расстоянием 6 см на расстоянии 8 см от линзы. Линзу начинают смещать со скоростью 3 мм/с в
направлении, перпендикулярном оптической оси. С какой скоростью движется изображение
источника?

Показать ответ и решение

Формула тонкой линзы для собирающей линзы:

1- 1- 1-
F = d + f

где – фокусное расстояние,
– расстояние от предмета до линзы
– расстояние от изображения до линзы

f = --Fd--
d − F

Перейдем в систему отсчета, связанную с линзой. В ней источник движется со скоростью 3
мм/с.
Увеличение линзы равно:

f F 6 см 6
Γ = --= ------= ------------= --= 3
d d − F 8 см − 6 см 2

– скорость предмета относительно линзы
– скорость изображения источника в системе отсчета, связанной с линзой

Чтобы узнать скорость изображения, надо перейти обратно в неподвижную систему отсчета, для
этого необходимо:

Критерии оценки

3 балла ставится за задачу если:

I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых
необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: записана формула тонкой
линзы, записана формула увеличения)

IV) Представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины.

2 балла ставится за задачу если:

Записи, соответствующие одному или обоим пунктам: II и III, – представлены не в полном объёме
или отсутствуют.

При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательны единицы
измерений)

1 балл ставится за задачу если:

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Точечный источник движется со скоростью 2 мм/с вдоль главной оптической оси собирающей линзы с
фокусным расстоянием 8 см. С какой скоростью движется изображение источника в тот момент, когда
источник находится от линзы на расстоянии 10 см?

Показать ответ и решение

Формула тонкой линзы для собирающей линзы:

1- 1- 1-
F = d + f

где – фокусное расстояние,
– расстояние от предмета до линзы
– расстояние от изображения до линзы

f = --Fd--
d − F

f- --F--- 8-
Γ = d = d − F = 2 = 4

Возьмем производную по времени

F d′(d − F) − d′dF
f ′ =-------------2-----
(d − F )

Заметим, что – скорость предмета, – скорость изображения.

Источник

Спрятать решение

Решение.

1.  Построим изображение источника света в линзе. Изображением светящейся точки A в некоторый момент времени будет точка A_1. Введём обозначения: радиус, по которому движется источник света, r = AB; радиус, по которому движется изображение источника света, расстояние OB = d; расстояние фокусное расстояние линзы OF = F.

2.  Из формулы тонкой линзы

при получим: f=3F.

3.  Из подобия треугольников AOB и A_1OB_1 следует, что:

4.  Угловая скорость источника света равна угловой скорости его изображения:

так как в любой момент времени источник света и его изображение лежат в одной плоскости с главной оптической осью линзы.

5.  Тогда скорость движения изображения точечного источника света:

Ответ: 10 м/с.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом; II) сделан правильный рисунок с указанием хода лучей в линзе; III) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); IV) проведены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); V) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины	3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пунктам II и III, представлены не в полном объёме или отсутствуют. И (ИЛИ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачёркнуты; не заключены в скобки, рамку и т.п.). И (ИЛИ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/ вычислениях пропущены логически важные шаги. И (ИЛИ) Отсутствует пункт V, или в нём допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины)	2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ П редставлен только правильный рисунок с указанием хода лучей в линзе	1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла	0
Максимальный балл	3

Источник

Тонкие линзы. Ход лучей.

Понятие тонкой линзы.
Оптический центр и фокальная плоскость.
Ход луча через оптический центр.
Ход лучей в собирающей линзе.
Ход лучей в рассеивающей линзе.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: линзы, оптическая сила линзы

Взгляните ещё раз на рисунки линз из предыдущего листка: эти линзы обладают заметной толщиной и существенной кривизной своих сферических границ. Мы намеренно рисовали такие линзы — чтобы основные закономерности хода световых лучей проявились как можно более чётко.

к оглавлению ▴

Понятие тонкой линзы.

Теперь, когда эти закономерности достаточно ясны, мы рассмотрим очень полезную идеализацию, которая называется тонкой линзой.
В качестве примера на рис. 1 приведена двояковыпуклая линза; точки $O_{1}$ и $O_{2}$ являются центрами её сферических поверхностей, $R_{1}$ и $R_{2}$ — радиусы кривизны этих поверхностей. $O_{1}O_{2}$ — главная оптическая ось линзы.

Рис. 1. К определению тонкой линзы

Так вот, линза считается тонкой, если её толщина очень мала. Нужно, правда, уточнить: мала по сравнению с чем?

Во-первых, предполагается, что $MN ll R_{1}$ и $MN ll R_{2}$ . Тогда поверхности линзы хоть и будут выпуклыми, но могут восприниматься как «почти плоские». Этот факт нам очень скоро пригодится.
Во-вторых, MN ll a , где — характерное расстояние от линзы до интересующего нас предмета. Собственно, лишь в таком случае мы и
сможем корректно говорить о «расстоянии от предмета до линзы», не уточняя, до какой именно точки линзы берётся это самое расстояние.

Мы дали определение тонкой линзы, имея в виду двояковыпуклую линзу на рис. 1. Это определение без каких-либо изменений переносится на все остальные виды линз. Итак: линза является тонкой, если толщина линзы много меньше радиусов кривизны её сферических границ и расстояния от линзы до предмета.

Условное обозначение тонкой собирающей линзы показано на рис. 2.

Рис. 2. Обозначение тонкой собирающей линзы

Условное обозначение тонкой рассеивающей линзы показано на рис. 3.

Рис. 3. Обозначение тонкой рассеивающей линзы

В каждом случае прямая — это главная оптическая ось линзы, а сами точки — её
фокусы. Оба фокуса тонкой линзы расположены симметрично относительно линзы.

к оглавлению ▴

Оптический центр и фокальная плоскость.

Точки и , обозначенные на рис. 1, у тонкой линзы фактически сливаются в одну точку. Это точка на рис. 2 и 3, называемая оптическим центром линзы. Оптический центр находится на Пересечении линзы с её главной оптической осью.

Расстояние от оптического центра до фокуса называется фокусным расстоянием линзы. Мы будем обозначать фокусное расстояние буквой . Величина , обратная фокусному расстоянию, есть оптическая сила — линзы:

$D=frac{displaystyle 1}{displaystyle f}$ .

Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр). Так, если фокусное расстояние линзы равно 25 см, то её оптическая сила:

$D=frac{displaystyle 1}{displaystyle 0,25}=4$ дптр

Продолжаем вводить новые понятия. Всякая прямая, проходящая через оптический центр линзы и отличная от главной оптической оси, называется побочной оптической осью . На рис. 4 изображена побочная оптическая ось — прямая .

Рис. 4. Побочная оптическая ось, фокальная плоскость и побочный фокус

Плоскость , проходящая через фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. Фокальная плоскость, таким образом, параллельна плоскости линзы. Имея два фокуса, линза соответственно имеет и две фокальных плоскости, расположенных симметрично относительно линзы.

Точка , в которой побочная оптическая ось пересекает фокальную плоскость, называется побочным фокусом. Собственно, каждая точка фокальной плоскости (кроме ) есть побочный фокус — мы ведь всегда сможем провести побочную оптическую ось, соединив данную точку с оптическим центром линзы. А сама точка — фокус линзы — в связи с этим называется ещё главным фокусом.

То, что на рис. 4 изображена собирающая линза, никакой роли не играет. Понятия побочной оптической оси, фокальной плоскости и побочного фокуса совершенно аналогично определяются и для рассеивающей линзы — с заменой на рис. 4 собирающей линзы на рассеивающую.

Теперь мы переходим к рассмотрению хода лучей в тонких линзах. Мы будем предполагать, что лучи являются параксиальными, то есть образуют достаточно малые углы с главной оптической осью. Если параксиальные лучи исходят из одной точки, то после прохождения линзы преломлённые лучи или их продолжения также пересекаются в одной точке. Поэтому изображения предметов, даваемые линзой, в параксиальных лучах получаются весьма чёткими.

к оглавлению ▴

Ход луча через оптический центр.

Как мы знаем из предыдущего раздела, луч, идущий вдоль главной оптической оси, не преломляется. В случае тонкой линзы оказывается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, также не преломляется!

Объяснить это можно следующим образом. Вблизи оптического центра обе поверхности линзы неотличимы от параллельных плоскостей, и луч в данном случае идёт как будто через плоскопараллельную стеклянную пластинку (рис. 5).

Рис. 5. Ход луча через оптический центр линзы

Угол преломления луча равен углу падения преломлённого луча на вторую поверхность. Поэтому второй преломлённый луч выходит из плоскопараллельной пластинки параллельно падающему лучу . Плоскопараллельная пластинка лишь смещает луч, не изменяя его направления, и это смещение тем меньше, чем меньше толщина пластинки.

Но для тонкой линзы мы можем считать, что эта толщина равна нулю. Тогда точки B, O, C фактически сольются в одну точку, и луч окажется просто продолжением луча . Вот поэтому и получается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, не преломляется тонкой линзой (рис. 6).

Рис. 6. Луч, идущий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется

Это единственное общее свойство собирающих и рассеивающих линз. В остальном ход лучей в них оказывается различным, и дальше нам придётся рассматривать собирающую и рассеивающую линзу по отдельности.

к оглавлению ▴

Ход лучей в собирающей линзе.

Как мы помним, собирающая линза называется так потому, что световой пучок, параллельный главной оптической оси, после прохождения линзы собирается в её главном фокусе (рис. 7).

Рис. 7. Параллельный пучок собирается в главном фокусе

Пользуясь обратимостью световых лучей, приходим к следующему выводу: если в главном фокусе собирающей линзы находится точечный источник света, то на выходе из линзы получится световой пучок, параллельный главной оптической оси (рис. 8).

Рис. 8. Преломление пучка, идущего из главного фокуса

Оказывается, что пучок параллельных лучей, падающих на собирающую линзу наклонно, тоже соберётся в фокусе — но в побочном. Этот побочный фокус отвечает тому лучу, который проходит через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 9).

Рис. 9. Параллельный пучок собирается в побочном фокусе

Теперь мы можем сформулировать правила хода лучей в собирающей линзе. Эти правила вытекают из рисунков 6-9,

1. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется.
2. Луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, после преломления пойдёт через главный фокус (рис. 10).

Рис. 10. К правилу 2

3. Если луч падает на линзу наклонно, то для построения его дальнейшего хода мы проводим побочную оптическую ось, параллельную этому лучу, и находим соответствующий побочный фокус. Вот через этот побочный фокус и пойдёт преломлённый луч (рис. 11).

Рис. 11. К правилу 3

В частности, если падающий луч проходит через фокус линзы, то после преломления он пойдёт параллельно главной оптической оси.

к оглавлению ▴

Ход лучей в рассеивающей линзе.

Переходим к рассеивающей линзе. Она преобразует пучок света, параллельный главной оптической оси, в расходящийся пучок, как бы выходящий из главного фокуса (рис. 12)

Рис. 12. Рассеяние параллельного пучка

Наблюдая этот расходящийся пучок, мы увидим светящуюся точку, расположенную в фокусе позади линзы.

Если параллельный пучок падает на линзу наклонно, то после преломления он также станет расходящимся. Продолжения лучей расходящегося пучка соберутся в побочном фокусе , отвечающем тому лучу, который проходит через через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 13).

Рис. 13. Рассеяние наклонного параллельного пучка

Этот расходящийся пучок создаст у нас иллюзию светящейся точки, расположенной в побочном фокусе за линзой.

Теперь мы готовы сформулировать правила хода лучей в рассеивающей линзе. Эти правила следуют из рисунков 6, 12 и 13.

1. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется.
2. Луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, после преломления начнёт удаляться от главной оптической оси; при этом продолжение преломлённого луча пройдёт через главный фокус (рис. 14).

Рис. 14. К правилу 2

3. Если луч падает на линзу наклонно, то мы проводим побочную оптическую ось, параллельную этому лучу, и находим соответствующий побочный фокус. Преломлённый луч пойдёт так, словно он исходит из этого побочного фокуса (рис. 15).

Рис. 15. К правилу 3

Пользуясь правилами хода лучей 1–3 для собирающей и рассеивающей линзы, мы теперь научимся самому главному — строить изображения предметов, даваемые линзами.

Разберем задачи ЕГЭ по теме: Тонкие линзы.

1. На экране с помощью тонкой линзы получено изображение предмета с пятикратным увеличением. Экран передвинули на 30 см вдоль главной оптической оси линзы. Затем при неизменном положении линзы передвинули предмет, чтобы изображение снова стало резким. В этом случае получилось изображение с трехкратным увеличением. На сколько пришлось передвинуть предмет относительно первоначального положения?
Дано:
Г₁=5
Г₂=3
а = 30 см = 0,3 м.
Найти:
Δd — ?

Решение.

При решении этой задачи главным является создание модели, которая поясняет изменения в увеличении линзы и позволяет правильно определить перемещение экрана и предмета. На представленных ниже рис.1 и рис.2 выполнены все необходимые построения для двух случаев задачи. Так как увеличение линзы уменьшается, то предмет смещается в сторону двойного фокуса. Именно в этом случае возможно уменьшение изображения, по сравнению с первым случаем.

Особое внимание надо обратить на фразу, что изображение снова стало резким. Это возможно только при выполнении всех соотношений в формуле тонкой линзы $frac{1}{d}+frac{1}{f}=frac{1}{F}.$

Для каждого случая запишем формулу тонкой линзы и учтем соотношения между d и f через значение увеличения (Г), даваемое линзой.

$frac{1}{d_1}+frac{1}{f_1}=frac{1}{F} ~~(1)$

$frac{1}{d_2}+frac{1}{f_2}=frac{1}{F} ~~(2)$

$frac{f_1}{d_1}=$ Г₁ , отсюда $d_1=frac{f_1}{5}.$

$frac{f_2}{d_2}=$ Г₂ , отсюда $d_2=frac{f_2}{3}.$

Тогда формулы (1) и (2) примут вид:

$frac{5}{f_1}+frac{1}{f_1}=frac{1}{F}$

$frac{3}{f_2}+frac{1}{f_2}=frac{1}{F}$

$frac{6}{f_1}=frac{1}{F}~~(5)$

$frac{4}{f_2}=frac{1}{F}~~(6)$

Остается решить следующую систему из двух уравнений:

$begin{cases}frac{6}{f_1}=frac{4}{f_2} \f_1-f_2=aend{cases}$

Решение этой системы можно провести с подстановкой численных значений.

$frac{6}{f_1}=frac{4}{f_1=0,3}$

f_1=0,9 (м). Тогда (м)

$d_1=frac{0,9}{5}=0,18$ (м)

$d_2=frac{0,6}{3}=0,2$ (м)

(м).

Ответ: 0,02 м

2. На оси ОХ в точке x_1=0 находится оптический центр тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F_1=-20 см, а в точке x_2=20 см – тонкой собирающей линзы. Главные оптические ос обеих линз лежат на оси ОХ. На рассеивающую линзу вдоль оси ОХ падает параллельный пучок света из области х<0. Пройдя данную оптическую систему, лучи собираются в точке с координатой x_3=30 см. Найдите фокусное расстояние собирающей линзы F_2 .

Дано:
x_1=0
F_1=-20 см = -0,2 м
x_2=20 см = 0,2 м
x_3=30 см = 0,6 м
Найти:
F_2 — ?

Решение
На рисунке представлен ход лучей через систему рассеивающей и собирающей линз. При решении подобных задач необходимо рассматривать отдельно ход лучей сквозь каждую линзу.

Рассмотрим сначала ход лучей через рассеивающую линзу. Для этого воспользуемся формулой тонкой линзы и учтем, что , так как на рассеивающую линзу падает параллельный пучок света из области x<0 . Тогда дробь $frac{1}{d_1}rightarrow 0$ и формула примет вид:

$-frac{1}{f_1}=-frac{1}{F_1}$

Перед f_1 стоит знак (-), так как линза рассеивающая и она дает всегда мнимое изображение.

Поэтому (м).

В точке S сформировалось мнимое изображение светового пучка, который падает на собирающую линзу из области x<0.

Теперь отдельно рассмотрим собирающую линзу. Для нее расстояние d_2 будет равно 0,4 м (согласно рисунку). Применим для собирающей линзы формулу тонкой линзы с учетом d_2 и f_2 . Расстояние ; (м).

$frac{1}{d_2}+frac{1}{f_2}=frac{1}{F}$

$frac{d_2+f_2}{d_2cdot f_2}=frac{1}{F}$

$F=frac{d_2cdot f_2}{d_2+f_2}$

$F=frac{0,4 cdot 0,4}{0,4+0,4}=0,2$ (м) = 20 (см).

Ответ: 20 см.

3. Точечный источник света движется со скоростью v вокруг главной оптической оси собирающей линзы в плоскости, параллельной плоскости линзы на расстоянии d=15 см от линзы. Фокусное расстояние линзы F= 10 cм. Скорость движения изображения точечного источника света V=10 м/с. Найдите скорость движения источника света.

Дано:
d=15 см = 0,15 м
F= 10 см = 0,1 м
V=10 м/с
Найти: v-?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тонкой линзы.

$frac{1}{d}+frac{1}{f}=frac{1}{F}$

$frac{1}{f}=frac{1}{F}-frac{1}{d}$

$frac{1}{f}=frac{d-F}{Fd}$

$f=frac{Fd}{d-F}$

Проведем расчет для определения расстояния от линзы до изображения.

$f=frac{0,1 cdot 0,15}{0,15-0,1}=0,3$ (м).

Полученный результат говорит о том, что увеличение линзы Г>1.

Г = $frac{0,3}{0,15}=2.$

Точечный источник и его изображение будут двигаться с разными линейными скоростями, но в тоже самое время период их обращения, частота обращения и угловые скорости у них будут равными. Радиусы окружностей, которые будут описывать источник света и его изображения, будут отличаться в 2 раза. Радиус окружности изображения R будет превышать радиус окружности источника r в 2 раза $(frac{R}{r}=2$ или $frac{r}{R}=frac{1}{2}).$

Воспользуемся формулой равенства периодов обращения.

$T_1=frac{2pi r}{v}$

$T_2=frac{2pi R}{V}$

T_1=T_2

$frac{2pi r}{v}=frac{2pi R}{V}$

$v=frac{rcdot V}{R}$

$v=frac{1cdot 10}{2}=5$ (м/с)

4. Точечный источник света S расположен на расстоянии 40 cм от оптического центра тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием 0,2 м на её главной оптической оси АВ. На сколько сместиться вдоль прямой АВ изображение источника, если линзу повернуть на угол alpha =30° относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через оптический центр линзы? Сделайте пояснительный чертеж, указав ход лучей в линзе для обоих случаев её расположения.

Дано:
d_1= 40 cм = 0,4 м
F = 0,2 м
alpha = 30°
Найти:
Delta f — ?

Решение.

Применим формулу тонкой линзы для первого случая.

$frac{1}{d_1}+frac{1}{f_1}=frac{1}{F}$

$frac{1}{f_1}=frac{1}{F}-frac{1}{d_1}$

$frac{1}{f_1}=frac{d_1-F}{Fd_1}$

$f_1=frac{Fd_1}{d_1-F}$

$f_1=frac{0,2cdot 0,4}{0,4-0,2}=0,4$ (м).

Применим формулу тонкой линзы для второго случая.

$frac{1}{d_2}+frac{1}{f_2}=frac{1}{F}$

$frac{1}{f_2}=frac{1}{F}-frac{1}{d_2}$

$frac{1}{f_2}=frac{d_2-F}{Fd_2}$

$f_2=frac{Fd_2}{d_2-F}$

Здесь необходимо учесть, что (м).

$f_2=frac{0,2 cdot 0,35}{0,35-0,2}approx 0,47$ (м).

Изображение источника во втором случае также формируется на прямой АВ. Для нахождения расстояния OS_2 необходимо

$OS_2=frac{f_2}{cosalpha}$

$OS_2=frac{0,47}{cos 30textdegree } = 0,54$ (м).

Таким образом, изображения источников в обоих случаях получились на прямой АВ на расстоянии (м).
Ответ: 0,14 м.

Если вам нравятся наши материалы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по физике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Тонкие линзы. Ход лучей.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

2017-01-22

Светящаяся точка находится на расстоянии $d$ от собирающей линзы и на расстоянии $h$ от ее главной оптической оси; при этом она движется со скоростью $vec{V}$. Найти скорость движения изображения светящейся точки, если фокусное расстояние линзы равно $F$.

Решение:

Разложим скорость светящейся точки $vec{V}$ на две составляющие $vec{V}_{1}$ и $vec{V}_{2}$, параллельную и перпендикулярную главной оптической оси линзы, и рассмотрим ее малые перемещения $vec{r}_{1} = vec{V}_{1} Delta t$ и $vec{r}_{2} = vec{V}_{2} Delta t$. Для перемещения вдоль оптической оси линзы имеем:

$frac{1}{d} + frac{1}{f} = frac{1}{F}, frac{1}{d-r_{1}} + frac{1}{f+r_{1}^{ prime}} = frac{1}{F}$, (1)

где $r_{1}^{ prime}$ — перемещение изображения светящейся точки вдоль главной оптической оси. Приравнивая левые части равенства (1), находим

$frac{1}{d-r_{1}} — frac{1}{d} = frac{1}{f} — frac{1}{f+r_{1}^{ prime}}$.

Отсюда следует, что

$frac{r_{1}^{ prime}}{r_{1}} = frac{f^{2}}{d^{2}}$. (2)

Теперь, используя первое из равенств (1), получаем с помощью (2)

$frac{r_{1}^{ prime}}{r_{1}} = frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}$.

Такое же соотношение, очевидно, справедливо и для скоростей точки $V_{1}$ и ее изображения $V_{1}^{ prime}$

$V_{1}^{ prime} = V_{1} frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}$. (3)

Для перемещения, перпендикулярного главной оптической оси, имеем:

$frac{h^{ prime}}{h} = frac{f}{d}, frac{h^{ prime} — r_{2}^{ prime}}{h — r_{2}} = frac{f}{d}$.

Из этих равенств следует

$frac{r_{2}^{ prime}}{r_{2}} = frac{f}{d}$.

Воспользовавшись формулой линзы, получаем

$frac{r_{2}^{ prime}}{r_{2}} = frac{F}{d-F}$.

Такое же соотношение справедливо и для отношения соответствующих скоростей точки и ее изображения:

$V_{2}^{ prime} = V_{2} frac{F}{d-F}$. (4)

Используя (3) и (4), можно найти вектор $vec{V}^{ prime}$ скорости изображения светящейся точки.

Отметим, что продольное увеличение тонкой линзы равно квадрату поперечного увеличения. Поэтому изображение объемного предмета не может быть в общем случае подобным самому предмету. Для сохранения геометрического подобия объемный предмет обязательно должен изображаться в натуральную величину. Поэтому, для того, чтобы с помощью тонкой линзы получить изображение объемного предмета, геометрически подобное самому предмету, нужно чтобы продольные размеры предмета были малы по сравнению с фокусным расстоянием линзы, а поместить предмет нужно на двойном фокусном расстоянии от линзы.

Ответ: $V_{1}^{ prime} = V_{1} frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}, V_{2}^{ prime} = V_{2} frac{F}{d-F}$, где $V_{1} (V_{1}^{ prime})$ и $V_{2} (V_{2}^{ prime})$ — составляющие скорости предмета (изображения) вдоль и поперек главной оптической оси линзы.

Источник