Как найти скорость катера весной

Спрятать решение

Здравствуйте, уважаемые педагоги и ребята. Для вас еще две задачки на движение по водичке. Тренируйтесь, готовьтесь к экзамену понемногу каждый день и не беспокойтесь, ваш труд принесет вам плоды ) Педагогам терпения. Задачи:

Весной катер идёт против течения реки в 1 (2/3)  раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 (½)  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

*Источник: Профильный уровень. Демонстрационная версия ЕГЭ-2017 по математике. Профильный уровень.

Что мы можем отметить сразу после прочтения условия?

В данной задаче не дано ни расстояний, ни времени. Все оперирование идет только с понятием скорости. Про движение по воде мы знаем что есть, так сказать, «базовые скорости» — это собственная скорость объекта движения и скорость течения. Кроме того, заметим, что в задании говорится о двух обстоятельствах движения (летом и зимой). Смело можем сделать вывод о том, что составляется два уравнения. То есть мы можем вводить две переменные ))

Как вы уже догадались, конечно же, мы обозначим скорости катера и течения. Примем собственную скорость катера за х км в час, а скорость течения реки весной за у км в час. Тогда по течению весной скорость катера будет равна х+у км в час, против течения х–у км в час. Летом течение замедляется, его скорость будет равна у–1 км в час. Получается что скорость катера летом по течению будет равна х+(у+1) км в час, против течения  х–(у–1) км в час. Для удобства восприятия лучше сразу записывать данные в табличку:Сказано, что Весной катер идёт против течения реки в 1 (2/3)  раза медленнее, чем по течению, то есть:

Выражаем, большую скорость делим на меньшую:

Сказано, что Летом катер идёт против течения в 1 (½)  раза медленнее чем по течению, то есть:

Аналогично:

Решаем систему:

Ответ: 5

Ну и еще одна задачка на движение по воде вдогонку ))

Моторная лодка плыла сначала 6 минут по озеру, в стоячей воде, а затем 10 минут по реке, против течения. Обратный путь, двигаясь с той же собственной скоростью, лодка прошла за 11 минут. Найдите отношение длины пути, пройденного лодкой по озеру, к длине пути, пройденного ею по реке.

Источник: Д.А. Мальцев МАТЕМАТИКА ЕГЭ-2017 Книга 2, Профильный уровень. 50 тестов

*Комментарий! Опять же не дана собственная скорость лодки и скорость течения. Знаем что расстояние туда и обратно равно. Примем скорость лодки в стоячей воде (по озеру) за х км в час, скорость течения за у км в час.

Что можем выразить и записать? Путь туда:

Пройденное расстояние по озеру:   6х   км

Пройденное расстояние по реке:    10 (х–у)  км

Следовательно весь путь будет равен 6х+10 (х–у)   км

Теперь об обратном пути:

Пройденное расстояние по реке (по течению):  (11–6)(х–у)  км

Пройденное расстояние по озеру:  6х  км

Весь путь равен 6х+5 (х+у) км

*ОБРАТИТЕ внимание! Ключевой момент здесь в том, что время затраченное на обратный путь по реке равно 5-ти минутам: всего затрачивается 11 минут, на озеро тратится 6 минут, понятно что остается 5 на реку. Этот момент необходимо увидеть и уловить, иначе можно насочинять лишнего и зайти в тупик.

Теперь смело можем записать уравнение (расстояния же равны):

Не беспокойтесь, нам в данном случае для решения задачи не нужны числовые значения скоростей. В заданиях где стоит вопрос о нахождении отношений бывает вполне достаточно использовать полученные выражения.

Итак, отношение длины пути, пройденного лодкой по озеру, к длине пути, пройденного ею по реке (на основе нам известного) выражается как:

Ответ: 0,9

На этом все. Учитесь с  удовольствием!

С уважением, Александр Крутицких.

Обозначим собственную скорость катера х км/ч, а скорость течения реки весной у км/ч. Скорость катера весной по течению (х+у) км/ч, а против течения (х-у) км/ч. При этом против течения скорость меньше в 1 и 2/3 или в 5/3 раза. Получаем соотношение:

(х+у)/(х-у)=5/3

Упростим уравнение:

3(х+у)=5(х-у)

3х+3у=5х-5у

2х=8у

х=4у

Теперь рассмотрим движение катера летом. Скорость течения реки летом (у-1) км/ч, скорость катера по течению летом (х+у-1) км/ч, против течения (х-у+1) км/ч. Летом катер против течения идёт медленнее в 1 и 1/2 раза, или в 3/2 раза. Получаем соотношение:

(х+у-1)/(х-у+1)=3/2

2(х+у-1)=3(х-у+1)

2х+2у-2=3х-3у+3

х-5у+5=0

Подставим в это уравнение полученный ранее х=4у:

4у-5у=-5

у=5 км/ч — скорость течения реки весной.

х=4*5

х=20 км/ч — собственная скорость катера.

Проверка:

Весной по течению скорость катера 20+5=25 км/ч, против течения 20-5=15 км/ч. 25/15=5/3 — в 1 и 2/3 скорость катера против течения меньше скорости по течению. Верно.

Летом скорость течения реки 5-1=4 км/ч. Скорость катера по течению 20+4=24 км/ч, против течения 20-4=16 км/ч. 24/16=3/2 — в 1 и 1/2 раза скорость катера против течения меньше скорости по течению. Верно.

Ответ: скорость течения реки весной 5 км/ч.

Решение №1

Введём следующие обозначения:

• (Delta v) — скорость течения реки весной
• v — скорость катера

Тогда скорость катера против течения весной равна (v-Delta v), а по течению — (v+Delta v).

Тогда из условия, что весной катер против течения плывёт в (1frac{2}{3}) раза медленнее, чем по течению (или же: плывёт в (1frac{2}{3}) быстрее по течению, чем против), следует:

(cfrac{v+Delta v}{v-Delta v}=1 frac{2}{3} = frac{5}{3} \ 3cdot(v+Delta v)=5(v-Delta v) \ 3v + 3Delta v = 5v — 5Delta v \ 8Delta v = 2v \ v = 4Delta v)

Таким образом, мы получили соотношение для весны. Теперь рассмотрим лето. Известно по условию задачи, что летом скорость течения на 1 км/ч меньше, то есть равна (Delta v-1). Известно по условию задачи также, что скорость катера против течения летом в (1frac{1}{2})медленнее, чем по течению (или в (1frac{1}{2})быстрее по течению, чем против):

(cfrac{v+(Delta v-1)}{v-(Delta v-1)}=1 frac{1}{2} = frac{3}{2} \ cfrac{v+Delta v-1}{v-Delta v+1}=cfrac{3}{2} \ 2cdot(v+Delta v-1)=3(v-Delta v+1) \ 2v+2Delta v-2=3v-3Delta v+3\ 5Delta v-5=v \ v = 5Delta v — 5)

Приравняем значения v в первом и втором случае. Имеем:

(4Delta v = 5Delta v — 5 \ Delta v = 5)

Итого, получили: скорость течения реки весной ((Delta v)) равна 5 км/ч.

Задача 1

Скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч. Какова скорость катера по течению и против течения реки?

Задача 2

Скорость моторной лодки по течению реки равна 48 км/ч, а против течения — 42 км/ч. Какова скорость течения реки и собственная скорость моторной лодки?

Задача 3

Скорость моторной лодки в стоячей воде 12 км/ч. По течению она плыла 2,6 ч, против течения 3,15 ч. Найдите скорость течения реки, если путь по течению на 10,8 км больше чем против течения.

Задача 4

Сергей знает, что собственная скорость его лодки равна 10 км/ч. При этом ему надо успеть проплыть 25 км за 2 часа. Плыть он будет по течению. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы Антон успел?

Задача 5

Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч.

Задача 6

На озере расположены пристани А и В. Расстояние между пристанями равно 90 км. Моторная лодка проплыла от А до В с постоянной скоростью, после чего сразу отправилась обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. На середине пути из В в А лодка замедлилась и поплыла со скоростью на 2,5 км/ч меньшей, чем по дороге из А в В. В результате лодка затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость лодки на пути из А в В.

Задача 7

Пароход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость парохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления пароход возвращается через 40 часов после отплытия из него.

Задача 8

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.

Задача 9

Баржа в 10:00 вышла из пункта в пункт , расположенный в 15 км от Пробыв в пункте 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в 16:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна км/ч.

Задача 10

Расстояние между пристанями и равно 120 км. Из в по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт , тотчас повернула обратно и возвратилась в К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Задача 11

Весной катер идёт против течения реки в раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).