Как найти скорость катушки

Сначала пара слов в продолжение подсказки. Скорость нити U мы определяем относительно неподвижных объектов. В нашем случае такой объект только один — это поверхность, по которой катится катушка. И относительно этой поверхности у катушки всегда есть одна точка, скорость которой равна нулю: точка С — место ее сцепления с поверхностью. Да, эти точки каждый раз разные, но в любой момент времени (если, скажем, сфотографировать) такая точка одна. При условии, конечно, что и катушка, и стол абсолютно твердые, то есть не подвержены деформации. Эту точку и называют мгновенной осью вращения, МОВ (или мгновенным центром скоростей, МЦС).

Вернемся к задаче. Разных решений тут действительно множество и чуть ниже мы некоторые из них разберем, но начнем с применения идеи мгновенной оси вращения.

Разберемся сначала со случаем, в котором нить горизонтальна.

Введем обозначения: V — скорость оси катушки, ɑ — угол нити к горизонту, U — скорость нити, R и r — радиусы внешней и внутренней части катушки, соответственно.

Итак, как мы сказали, точка С — единственная неподвижная точка катушки относительно поверхности в произвольный момент времени. Если при этом тянуть связанную с катушкой нить, это, очевидно, будет вызывать вращение катушки вокруг этой точки как вокруг оси — ведь других неподвижных точек нет. Поэтому ее движение в каждый момент времени хорошо описывается, как вращение вокруг этой мгновенной оси (в «следующий» момент катушка «немного» поворачивается, эта точка чуть-чуть смещается по ее ободу и т. д.). А значит, у катушки есть своя угловая скорость. Обозначим ее, как водится, ω (рис. 3).

Условие, что движение происходит без проскальзывания, позволяет воспользоваться уравнением связи между угловой и линейной скоростью:

[V_x=omega R_x,]

где (V_x) — линейная скорость произвольной точки X на катушке, а (R_x) — расстояние от оси вращения С до этой точки (рис. 4).

Если обозначить буквой A самую верхнюю точку обода катушки, то для точек, лежащих на отрезке АС, значение линейной скорости будет меняться от (V_A=omegacdot2R) до нуля для мгновенного центра скоростей С (рис. 5).

Кстати, если мысленно продолжить отрезок AC ниже поверхности (за точку C), то окажется, что векторы скоростей поменяют направление (рис. 6). Это означает, что если, например, вместо катушки у нас катящийся по направляющим шар (часть которого оказывается ниже направляющих) или колеса поезда (на которых имеются выступающие части, удерживающие поезд на рельсах — так называемые реборды), то в них в каждый момент времени будут области, которые движутся «навстречу» самому объекту (относительно направляющих/рельсов). Именно точки на ребордах — это ответ на популярный шуточный вопрос о наличии в поезде частей, которые едут в обратном направлении.

Вернемся к задаче.

Ось катушки О находится на расстоянии R от мгновенной оси вращения С, поэтому ее линейная скорость равна (V_O=omega R). Скорость точки B (она расположена на внутренней части катушки в месте отрыва нити) будет, в силу нерастяжимости нити, равна U, что дает равенство (U=omega(R-r)), из которого выражается угловая скорость катушки:

[omega=dfrac{U}{R-r}.]

Значит, линейную скорость оси O можно записать так:

[V_O=dfrac{UR}{R-r}.]

Мы рассчитали значение скорости оси катушки относительно земли. Но расчет делался для одного мгновения, в которое данная точка С была неподвижна и могла послужить осью вращения. Будет ли этот результат справедлив для постоянного движения? Как мы уже говорили, такая ось С в каждый момент времени новая. Но она ничем не отличается от предыдущей. Для любой из мгновенных осей С, взятых подряд, мы можем рассчитать значение линейной скорости оси О и получить тот же ответ. Это означает, что (V_O) постоянна в любой точке траектории и в течение всего качения, и соответствует реальному движению (и это подтверждается другими способами решения и — главное — экспериментами, практикой).

Итак, мы получили ответ на первый вопрос. Давайте посмотрим на него внимательнее и предупредим мышей о возможных последствиях такого результата.

R, очевидно, больше, чем ((R-r)), а значит, дробь (frac{R}{R-r}) всегда больше единицы. Следовательно, скорость (V_O), с которой катится катушка по полу, всегда больше скорости U, с которой ее тянут за нитку. То есть катушка всегда нагоняет того, кто тянет нить!

Чем больше внутренний радиус r (то есть чем ближе он по значению к R), тем больше будет скорость катушки и тем быстрее она будет нагонять волшебного мула! И для того, чтобы не ушибить редкое и чувствительное животное, мышкам надо бы хорошо рассчитать длину свободного конца нитки, чтобы правосудие в лице катушки не настигло их прежде, чем они достигнут места назначения.

Когда катушка делает один полный оборот, она проезжает по земле расстояние, равное длине ее окружности, то есть (2pi R). За это же время барабан, сделавший, очевидно, также один оборот, намотает участок нити длины (2pi r). То есть расстояние между катушкой и мулом сокращается на величину (2pi r) за каждый участок пути длиной (2pi R), и это не зависит от скорости мула. Если расстояние до мышиного цирка принять за L, то число оборотов, которое совершит катушка по пути до своего нового места жительства, будет равно (frac{L}{2pi R}), а длина нити, намотанная за время пути на барабан, — (frac{L}{2pi R}cdot2pi r=Lfrac rR) (при условии, конечно, что цирк не очень далеко и радиус r не успеет измениться из-за наматывания нити). Следовательно, для безопасной транспортировки понадобится нитка, равная (frac rR) расстояния до цирка.

Теперь посмотрим, что будет, когда нить тянут под углом α к горизонту.

Нужно выбрать точку, движение которой удобно для отыскания угловой скорости. Точка В здесь, очевидно, — не слишком удачный выбор, так как направление ее движения будет перпендикулярно отрезку СВ (ее радиусу относительно мгновенной оси вращения) и сложно поддается описанию. А вот точка D, лежащая на «продолжении» нити и такая, что угол CDB прямой (другими словами — проекция точки C на линию нити), то ее скорость вокруг МОВ будет совпадать с U и по модулю, и по направлению (рис. 7). Следовательно, скорость точки D как линейная при круговом движении вокруг оси С равна (V_D=omegacdot CD=U).

Теперь немного геометрии. Отрезок ОВ, равный радиусу r, перпендикулярен нити (как радиус к касательной окружности). Достроим на сторонах DС и ВD прямоугольник BECD. Заметим, что углы COE и α равны (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Из треугольника ОCE следует, что (OE=OCcdotcosalpha=Rcdotcosalpha), а (BE=OE-OB=Rcdotcosalpha-r). Далее, (DC=BE), как противоположные стороны прямоугольника, а линейная скорость точки D, как мы помним, равна U.

Откуда легко найти, что угловая скорость катушки вокруг МОВ равна (omega=frac{U}{Rcdotcosalpha-r}), а искомая скорость оси —

[V_O=omega R=frac{UR}{Rcdotcosalpha-r}.]

Заметим, что знак скорости будет меняться в зависимости от значения угла α — когда его косинус станет меньше отношения радиусов (это произойдет при достаточно большом угле), катушка начнет катиться в сторону, противоположную движению нити (речь о диапазоне значений α от 0 до 90° — при углах, больших 90°, задача переходит в другую, где нить выходит сверху барабана; в этом случае скорость оси всегда будет сонаправлена горизонтальной составляющей скорости нити).

Какой же вывод следует для мышек из всех этих замечательных открытий?

Чтобы катушка покатилась за ними к цирку, им следует тянуть ее за нить либо горизонтально, либо под углом, для которого верно неравенство (cosalpha<frac rR). Как определить его на глаз, мы поговорим в послесловии.

Условие задачи:

С какой скоростью будет перемещаться ось катушки, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении со скоростью 1 см/с, а катушка катится без скольжения. Радиус внутренней части катушки (r=2) см, внешней – (R=3) см.

Задача №1.8.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(upsilon=1) см/с, (r=2) см, (R=3) см, (upsilon_1-?)

Решение задачи:

Скорость той точки катушки (точка 2), с которой начинается горизонтальный отрезок нити, такая же как у нити, то есть (upsilon). Если катушка катится без проскальзывания, то скорость точки (точка 3), которая соприкасается со столом, равна нулю. Более подробно причины этого описаны здесь. То есть эта точка является мгновенным центром скоростей (МЦС), а значит в это мгновение все точки катушки совершают вращательное движение с угловой скоростью (omega) вокруг МЦС. Тогда справедливо записать:

[left{ begin{gathered}
upsilon = omega left( {R – r} right) hfill \
{upsilon _1} = omega R hfill \
end{gathered} right.]

Делим нижнее выражение на верхнее и выражаем искомую скорость (upsilon_1).

[frac{{{upsilon _1}}}{upsilon } = frac{R}{{R – r}} Rightarrow {upsilon _1} = frac{{upsilon R}}{{R – r}}]

Остается только вычислить ответ.

[{upsilon _1} = frac{{1 cdot 3}}{{3 – 2}} = 3; см/с = 0,03; м/с = 0,11; км/ч]

Интересно, что многие скажут, что катушка в таком опыте покатится влево. На самом деле она будет катиться вправо. Дело в том, что катушка катится туда, куда направлена угловая скорость (omega). Такой эксперимент сложно повторить, не нарушая условий, а именно, условие отсутствия скольжения катушки.

Также интересно, что нить будет наматываться на катушку, так как ({upsilon _1} > upsilon). Объясняется это тем, что скорость точки 2 (а значит и скорость нити) в системе отсчета катушки направлена влево.

Ответ: 0,11 км/ч.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

1.8.29 Точка движется по окружности с постоянной по величине скоростью 50 см/с
1.8.31 Стержень длиной 50 см вращается с частотой 30 об/мин вокруг перпендикулярной
1.8.32 Гладкий горизонтальный диск вращается вокруг вертикальной оси с частотой

2016-11-18   

Найти скорость оси и угловую скорость вращения катушки с нитками. Катушка катится без проскальзывания, заданы скорость $v_{0}$, с которой тянут нить, внешний $R$ и внутренний $r$ радиуса катушки.

Решение:

Обозначим через $v_{1}$ скорость оси катушки, $omega$ — угловую скорость вращения катушки относительно ее оси. В условии задачи имеется информация о скорости двух точек катушки: $v_{A} = v_{0}$ и $v_{B} = 0$ (условие отсутствия проскальзывания).

Именно для этих двух точек естественно попытаться применить основное уравнение теории (2). В качестве «неподвижной» системы отсчета удобно выбрать Землю, в качестве «движущейся» — ось катушки. При таком выборе движение катушки в подвижной системе отсчета представляет собой вращение вокруг оси О.

$vec{v}_{A} = vec{v}_{1} + vec{A}^{ prime}$, (1)

$vec{v}_{B} = vec{v}_{1} + vec{v}_{B}^{ prime}$.

Направления скоростей точек А и В относительно ?движущейся» системы отсчета указаны на рисунке. Модули этих скоростей определяются соотношениями:

$v_{A}^{ prime} = omega r$, (3)

$v_{B}^{ prime} = omega R$ (4)

(движение катушки относительно оси («движущейся» системы отсчета) представляет собой простое вращение).

Проецируя векторные равенства (1—2) на ось х и подставляя соотношения (3—4), находим:

$v_{0} = v_{1} — omega r$,

$v_{1} — omega R = 0$.

Решение этой системы уравнений имеет вид:

$omega = frac{v_{0}}{R-r}$,

$v_{1} = v_{0} frac{R}{R-r}$.

Нередко у школьников возникают затруднения при ответе на вопрос о величине ускорения различных точек катушки.

Воспользуемся основным уравнением теории:

$vec{a} = vec{a}_{1} + vec{a}^{ prime}$.

Поскольку в нашем случаем $a_{1} = 0$ (скорость оси постоянна), имеем:

$vec{a} = vec{a}^{ prime}$.

То есть ускорение любой точки катушки относительно Земли совпадет с ускорением этой точки относительно оси. Из кинематики вращательного движения известно, что ускорение равномерно вращающейся по окружности точки направлено к центру вращения и равно по модулю $a^{ prime} = omega^{2} x$ ( $x$ — расстояние от точки до центра вращения). Так, например, ускорение точки С показано на рисунке.

Для самостоятельного решения полезно рассмотреть случай, когда нить тянут со скоростью $vec{v}_{0}$, которая направлена под углом а к горизонту.