Как найти скорость крайних точек диска

Задача №1

Первая задача, которую мы рассмотрим, будет посвящена равномерному движению вдоль одной оси. Эта задача будет связана с относительностью движения тел.

Условие:

Из точки  в точку  и обратно движется вертолет. В первый раз из точки  в точку  и обратно он летит в безветренную погоду. А второй раз он летит уже при ветре, направление которого совпадает с направлением первоначального движения, то есть из точки  в точку . В каком случае – в первом, когда безветренная погода, или во втором случае, когда есть ветер – вертолет затратит больше времени на преодоление этого расстояния?

Решение:

Обозначим скорость вертолета как , а скорость ветра – . А расстояние из точки  до точки  обозначим буквой . В результате нам надо исследовать, во сколько раз время  будет больше, чем время . То есть найти отношение .

Чтобы найти время , то есть время, за которое вертолет летит из точки  в точку  и обратно в безветренную погоду, мы запишем следующее выражение:

 – это время полета из точки  в точку , а  – время полета из точки  в точку , когда вертолет летит обратно.

Учитывая, что движение равномерное, можно записать:

Рассмотрим теперь второй случай. Запишем выражение для времени полета  из точки  в точку  и обратно при наличии ветра:

 – это время полета из точки  в точку  при условии, что ветер дует по направлению движения вертолета.  – это время полета при условии, что ветер дует против направления движения вертолета.

Обратите внимание, что время  определяется как , поскольку скорости направлены в одну сторону. А  определяете как . То есть ветер тормозит движение вертолета, замедляет его движение, поэтому в данном случае мы берем разность скоростей (рис. 1).

Рис. 1. Направление скоростей вертолета и ветра

Обратите внимание на то, что если бы скорость ветра была больше скорости вертолета, то время получилось бы отрицательным, а это значит, что вертолет обратно бы никогда не прилетел.

Сложим полученные выражения:

Найдем отношение  к :

Видно, что числитель больше, чем знаменатель, значит, отношение будет больше единицы . Следовательно, можно говорить о том, что время полета в первом случае меньше времени полета во втором случае. Так что при наличии ветра вертолет будет в любом случае двигаться медленнее и затратит большее количество времени.

Также эту задачу можно было решить другим способом, с помощью вычисления средней скорости.

Ответ: .

Задача №2

Вторая задача связана с равнопеременным движением вдоль прямой. То есть движение будет с постоянным ускорением.

Условие:

Материальная точка движется вдоль прямой согласно уравнению . Определите пройденный путь  этой точкой за  секунды.

Решение:

Сравним уравнение Галилея  с уравнением движения данной материальной точки.

Рассматривая эти два уравнения, можно сделать вывод, что . Точка начинает свое движение из начала координат. Начальная скорость – это величина, которая стоит перед буквой . В нашем случае начальная скорость будет равна . Обратите внимание, что эта скорость положительна и, следовательно, тело начинает движение вдоль оси  в том же самом направлении, что и сама ось .

Рассматривая ускорение, мы можем записать следующее: . Это означает, что ускорение равно . В данном случае знак минус говорит о том, что ускорение направлено против оси . Движение является замедленным (рис. 2).

Рис. 2. Направление скорости и ускорения материальной точки

Также мы можем записать уравнение скорости .

Для определения пройденного пути необходимо исследовать траекторию движения.

Итак, для того чтобы исследовать траекторию движения тела, нужно определить, в какой же точке произойдет остановка тела, то есть скорость тела будет равна нулю. Для этого в уравнение скорости подставим конечную скорость, равную нулю, и получим время .

То есть это означает, что тело через 2,5 секунды остановится. Определим координату точки, в которой тело остановится:

То есть, пройдя расстояние 1,25 метра, тело остановилось.

Следующий шаг, который мы должны сделать для исследования траектории, это определить конечную координату, то есть координату тела по истечении 4 секунд движения.

То есть координата точки в конце движения составит .

Обратите внимание на то, что если бы мы сразу определили конечную координату, то, следуя формуле, мы должны были бы сказать, что тело прошло 0,8 метра, хотя это совсем не так. Ведь  – это проекция перемещения. Она совпадает с пройденным путем только в том случае, если направление скорости не изменяется, а в нашей задаче направление скорости через 2,5 секунды меняется на противоположное.

Итак, траектория движения тела является ломаной линией. Тело первые  секунды двигалось в одну сторону, затем оно остановилось и при сохранении ускорения начало движение в противоположную сторону (рис. 3).

Рис. 3. Пройденный путь материальной точки

Пройденный путь определяется:

Ответ: .

Задача №3

Третья задача посвящена равномерному движению по окружности, то есть движению по окружности с постоянной скоростью.

Условие:

Имеется вращающийся с постоянной скоростью диск некоторого радиуса. При этом крайние точки этого диска обладают линейной скоростью . А точки, которые располагаются на  ближе к центру вращения, обладают скоростью . Необходимо определить центростремительное ускорение крайних точек этого диска (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче № 3

Решение:

Угловая скорость всех точек на этом вращающемся теле будет одинакова, поэтому для крайних точек мы записываем уравнение:

Аналогично для точек, которые смещены к центру, можно записать:

Разница радиусов равна:

Отсюда можно выразить :

Исходя из того, что угловая скорость одинакова для всех точек, можно записать:

Решая это уравнение, мы можем найти радиус траектории крайних точек:

А для определения центростремительного ускорения достаточно использовать формулу:

Ответ: .

Ускорение получилось достаточно большим. Вообще при движении тел по окружности центростремительное ускорение бывает очень большим. Например, колесо автомобиля на средней скорости имеет центростремительное ускорение более .

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е издание, передел. – X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
2. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика 10 кл.: базовый уровень. – М.: Просвещение, 2014. – 416 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «physics.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «fizmat.by» (Источник)
3. Интернет-портал «educon.by» (Источник)

Домашнее задание

1. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути, если первую половину времени автомобиль двигался со скоростью , а вторую – со скоростью .
2. Радиус колеса 30 см. Определите линейную скорость точек обода колеса, если оно вращается с частотой 2 Гц.
3. Уравнение движения материальной точки вдоль прямой имеет вид: . Охарактеризуйте это движение. Через какое время материальная точка остановится?

Скорость v точек диска, равномерно вращающегося вокруг своей оси, связана с её расстоянием r от центра формулой: v = (2 ∙ π ∙ r) : Т, где Т — время одного полного оборота или период вращения диска, коэффициент π ≈ 3,14. Тогда:

Т = (2 ∙ π ∙ r) : v.

Из условия задачи известно, что скорость точки, находящейся на расстоянии r = 30 см = 0,3 м от центра диска составляет v₁ = 1,5 м/с, получаем: Т = (2 ∙ π ∙ r) : v₁. Скорость v₂ крайних точек диска составляет v₂ = 2 м/с, значит: Т = (2 ∙ π ∙ R) : v₂. Следовательно:

(2 ∙ π ∙ r) : v₁ = (2 ∙ π ∙ R) : v₂ или

R = (v₂ ∙ r) : v₁, где R — радиус диска.

Подставим значения величин в расчётную формулу:

R = (2 м/с ∙ 0,3 м) : 1,5 м/с;

R = 0,4 м.

Ответ: радиус диска составляет 0,4 метра.