Как найти скорость мяча брошенного вертикально вниз

Подбросим мяч вертикально вверх. Он поднимется на какую-то высоту, после чего упадет вниз.

Земля притягивает мяч, значит на мяч действует нескомпенсированная сила притяжения. Как гласит второй закон Ньютона, скорость мяча из-за этого меняется.

Движение тела под действием силы тяжести, называется свободным падением. Когда тело падает свободно, оно испытывает невесомость.

Для удобства будем рассматривать отдельно свободное движение мяча вверх и, его свободное падение вниз.

Движение вверх

Рассмотрим рисунок 1. В левой части рисунка — 1а) изображено движение мяча вверх, а в правой – 1б) – движение вниз. Сплошным кружком обозначено начальное положение мяча, а пунктирным – конечное. Красными стрелками обозначена скорость мяча на различных высотах.

При движении вверх скорость тела уменьшается, так как вектор ускорения и вектор скорости направлены в противоположные стороны (рис. 1а). Движение вверх равнозамедленное.

Выражение для скорости при движении мяча вверх:

[ large v_{y}  = v_{0y} — g cdot t_{text{вверх}} ]

Вертикальное перемещение мяча при его движении вверх выражается такой формулой:

[ large h  = v_{0y} cdot t_{text{вверх}} — g cdot  frac{t_{text{вверх}}^2}{2} ]

В верхней точке траектории скорость мяча будет равна нулю. Эта точка для движения вверх будет конечной, а для движения вниз – начальной.

Поэтому, для движения вверх нулю равна конечная скорость мяча (v_{y}=0), а для движения вниз – его начальная скорость (v_{0y}=0).

Движение вниз

При движении вниз – наоборот, скорость будет увеличиваться, так как векторы скорости и ускорения сонаправлены (рис. 1б). Движение вниз равноускоренное.

Выражение для скорости при движении мяча вниз:

[ large v_{y}  = v_{0y} + g cdot t_{text{вверх}} ]

Вертикальное перемещение при движении вниз выражается формулой:

[ large h  = v_{0y} cdot t_{text{вверх}} + g cdot  frac{t_{text{вверх}}^2}{2} ]

Таким образом, под действием силы тяжести мяч движется по вертикали, меняя свою скорость.

Пока мяч находится в полете, он не давит на опору и не растягивает подвес. Проще говоря, он находится в невесомости (ссылка) – то есть, не имеет веса.

Масса есть всегда, а вес тела (ссылка) может отсутствовать! Кроме того, одна и та же масса в различных ситуациях может обладать разным весом.

Из рисунка 1 так же, следует, что

если тело при падении вернется на уровень, с которого оно стартовало, то:

— скорость, с которой мы подбросим тело, по модулю будет равна скорости, с которой тело упадет ( large left|vec{v_{0y}} right|= left|vec{v_{y}} right|) ;

— время подъема равняется времени спуска ( large t_{text{вверх}} = t_{text{вниз}} );

Когда перемещение вверх не равно перемещению вниз

Рассмотрим теперь следующий рисунок. На рисунке 2а представлен случай, когда путь, пройденный вверх больше пути, пройденного при движении вниз. Предположим, мы подбросили мяч вертикально вверх и, он упал на крышу какого-то строения, например, гаража.

В таком случае на подъем потребуется больше времени, чем на спуск

[ t_{text{вверх}} > t_{text{вниз}} ]

И скорость, с которой мяч подбрасывали вверх будет больше скорости, с которой мяч ударится о крышу

[ left|vec{v_{0y}} right|> left|vec{v_{y}} right|]

На рисунке 2б путь при движении вверх меньше пути вниз. Такое может быть, если мы заберемся на крышу гаража и, находясь на крыше, подбросим мяч вертикально вверх.

Теперь на спуск мяча до земли потребуется больше времени, чем на подъем

[ t_{text{вверх}} < t_{text{вниз}} ]

И скорость, с которой мяч ударится о землю, окажется больше скорости, с которой мы его подбрасывали вверх, находясь на крыше гаража.

[ left|vec{v_{0y}} right|< left|vec{v_{y}} right|]

Примечания:

1. Все тела, независимо от их массы, на планету падают с единым ускорением свободного падения (vec{g});
2. Ускорение (vec{g}) не является постоянной величиной, оно может меняться;
3. У различных планет и других небесных тел ускорение (vec{g}) отличается от земного;
4. На различных высотах над Землей ускорение (vec{g}) будет разным;
5. Из-за вращения Земли на экваторе ускорение (vec{g}) меньше, чем на полюсах.

Не учитывая сопротивление воздуха, на мяч в полете действует только сила земного тяготения. Движение мяча — равноускоренное, с ускорением g = 9,8 м/с², направленным вертикально вниз.

Уравнение движения мяча:

h = V₀ t + g t²/2,

где V₀ — начальная скорость мяча, м/с.

По условию, в момент времени t = 5 с перемещение мяча h = Н = 150 м.

Начальная скорость мяча:

V₀ = h / t — g t / 2.

Подставим численные значения:

V₀ = 150 / 5 — 9,8 * 5 / 2 = 5,50 м/с.

Ответ: 5,5 м/с.

Задачи на Свободное падение с решениями

Формулы, используемые в 9 классе на уроках
«Задачи на Свободное падение тел».

Название величины	Обозначение	Единица измерения	Формула
Время	t	с
Проекция начальной скорости	v0y	м/с
Проекция мгновенной скорости	vy	м/с
Проекция ускорения	gy	м/с2
Проекция перемещения	Sy	м
Координата	y	м

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1.
 С балкона 8-го этажа здания вертикально вниз бросили тело, которое упало на землю через 2 с и при падении имело скорость 25 м/с. Какова была начальная скорость тела?

Задача № 2.
 Какой высоты достигнет мяч, брошенный вертикально вверх со скоростью 20 м/с? Сколько времени для этого ему понадобится?

Задача № 3.
 Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 15 м/с. Через какое время он будет находиться на высоте 10 м?

Задача № 4.
 Через сколько секунд мяч будет на высоте 25 м, если его бросить вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с?
Ответ: через 1 с и через 5 с.

Задача № 5.
 Лифт начинает подниматься с ускорением а = 2,2 м/с². Когда его скорость достигла v = 2,4 м/с, с потолка кабины лифта оторвался болт. Чему равны время t падения болта и перемещение болта относительно Земли за это время? Высота кабины лифта Н = 2,5 м.

Ответ: 0,645 с; болт перемещается относительно Земли на 0,49 м вниз.

Задача № 6. (повышенной сложности)
 Одно тело свободно падает с высоты h₁; одновременно с ним другое тело начинает движение с большей высоты h₂. Какой должна быть начальная скорость v₀ второго тела, чтобы оба тела упали одновременно?

Задача № 7. (олимпиадного уровня)
 Из окна, расположенного на высоте 30 м, начинает падать без начальной скорости тяжелый цветочный горшок. В этот момент точно под окном проезжает велосипедист. При какой скорости движения велосипедиста расстояние между ним и горшком будет все время увеличиваться?

Ответ: v > 17 м/с.

Задача № 8.
   ЕГЭ
 С воздушного шара, поднимающегося со скоростью v₀ = 1 м/с, падает камень и достигает земли спустя t = 16 с. На какой высоте h находился шар в момент сбрасывания камня? С какой скоростью v камень упал на землю?

Задача № 9.
 На какой высоте скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v₀, уменьшится в 4 раза?

Дано: Vo, V = Vo/4.
Найти: h — ?
Решение:

Если принять, что g ≈ 10 м/с² , то h = 15 • Vo^2 / 320 ≈ 0,047 • Vo^2.

Ответ: h = (15 • Vo^2) / (32 • g) ≈ 0,047 • Vo^2.

Краткое пояснение для решения ЗАДАЧИ на Свободное падение тел.

Свободное падение — это движение тела под действием силы тяжести (другие силы — сила сопротивления, выталкивающая сила — отсутствуют либо ими пренебрегают).

Так как сила тяжести направлена вниз, то ускорение, которое она сообщает телу, тоже направлено вниз. Свободное падение — это равноускоренное движение. Ускорение, сообщаемое телу силой тяжести, называют ускорением свободного падения. Оно одинаково для всех тел вблизи поверхности Земли и имеет значение 9,8 м/с². При решении задач в большинстве случаев это число округляется до 10 м/с².

При решении задач применяются формулы равноускоренного движения. Для нахождения проекций векторов координатную ось обычно обозначают буквой у, так как движение происходит по вертикали. Направляют ее вверх или вниз — как удобней при решении конкретной задачи. Скорость свободно падающего тела возрастает.

Движение тела, брошенного вертикально вверх — частный случай свободного падения. Только скорость тела уменьшается, так как оно движется против силы тяжести, и вектор начальной скорости и вектор ускорения противоположно направлены. Достигая некоторой точки (наивысшей точки подъема), тело на мгновение останавливается (в это время его скорость равна нулю), а затем начинает падать. Так как движение вверх и вниз происходит с одинаковым ускорением, то время подъема и время падения тела равны.

Если координатную ось направить вверх, то проекция ускорения будет отрицательна, если вниз — положительна. Но при любом направлении оси для падающего тела векторы ускорения и скорости сонаправлены, а для тела, брошенного вверх — противоположно направлены.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Свободное падение тел с решениями». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к теме: ЗАДАЧИ на применение Законов Ньютона
• Посмотреть конспект по теме КИНЕМАТИКА: вся теория для ОГЭ (шпаргалка)
• Вернуться к списку конспектов по Физике.
• Проверить свои знания по Физике.