Есть два варианта решения этой задачи. Первый можно назвать математическим. Первый автомобиль пройдет за 2 часа 30 минут путь равный 150 км (60*2,5=150), а второй автомобиль — 175 км (70*2,5 = 175). Значит расстояние между ними было 150+175 = 325 км.
Второй вариант или способ решения можно назвать «физическим». Находим относительную скорость одного автомобиля относительно другого, например первого относительно второго. vотн = v1 + v2 = 60+70 = 130 км/час (если тела движутся навстречу друг другу, то скорости складываются). Значит, первый автомобиль пройдет относительно второго путь равный 325 км (130*2,5=325). Ответ: 325 км.
Чтобы получить точное представление о движении двух объектов относительно друг друга относительная скорость является важным. Поэтому в этой статье мы подробно поговорим об относительной скорости между двумя объектами.
Относительная скорость — это, по сути, скорость одного объекта по отношению к другому. Рассмотрим следующие два объекта, А и В, которые движутся с разными скоростями. Скорость объекта А по отношению к объекту В или наоборот называется относительной скоростью. Он также известен как скорость изменения относительного положения одного объекта по отношению к другому с течением времени.
Как найти относительную скорость двух тел?
🠊 Техника определения скорости объекта требует определения скорости изменения положения объекта по отношению к неподвижному окружающему объекту.
Когда объекты A и B находятся в относительном движении, их соответствующие скорости также будут в относительном движении. Чтобы получить относительную скорость объекта A по отношению к B, нужно математически придать равную и противоположную скорость B как объекту A, так и объекту B, чтобы привести объект B в состояние покоя.
В результате равнодействующая обеих скоростей (скорости объекта А и Б) дает нам относительную скорость объекта А относительно объекта Б.
Уравнения относительной скорости следующие:
Скорость объекта А относительно объекта В можно рассчитать следующим образом:
Vab V =a — Vb
Скорость объекта B относительно объекта A можно рассчитать следующим образом:
Vba V =b — Va
Из двух выражений мы можем вывести следующее:
Vab = — Vba
Однако обе величины равны математически и могут быть представлены как:
|Vab |= |Вba|
Какова относительная скорость между двумя телами, когда они движутся с одинаковой скоростью в одном направлении?
🠊 Когда два тела А и В движутся в одном направлении с одинаковой скоростью, угол между ними равен 0°.
Предположим, что два транспортных средства A и B движутся в одном направлении, т. е. параллельно друг другу, с одинаковой скоростью или скоростью (поскольку они движутся в одном направлении), т. е. Va V =b.
В результате скорость автомобиля А относительно автомобиля В равна:
Vab V =a — Vb = 0
Аналогичным образом, скорость транспортного средства B относительная к транспортному средству А:
Vba V =b — Va = 0
Это означает, что если два объекта двигаться в одном направлении с одинаковой скоростью или скорость, их относительная скорость становится равной нулю. Это демонстрирует, что другой может казаться покоящимся для одного объекта.
Построение графика положение-время для двух объектов, движущихся в одном направлении с одинаковой скоростью, приводит к прямым параллельным линиям, как показано на графике ниже.
Какова относительная скорость между двумя телами, когда они движутся с разными скоростями в одном направлении?
🠊 Если два транспортных средства, A и B, движутся в одном направлении с разными скоростями, в первую очередь следует рассмотреть два сценария:
(1) Начальные точки одинаковы (Va > Vb):
Если два транспортных средства движутся с разными скоростями в одном направлении с одной и той же начальной точкой и Va > Vb, человек в транспортном средстве B воспринимает транспортное средство A как удаляющееся от него со скоростью:
Vab V =a — Vb
Транспортное средство B движется назад к пассажиру в транспортном средстве A со скоростью:
Vba V =b — Va = -( Вa — Vb) = -Vab
В результате обе скорости имеют одинаковую величину, но противоположные знаки.
(2) Различные отправные точки:
Мы можем думать о двух сценариях здесь:
(i) Предположим, что транспортное средство A имеет более высокую скорость, чем транспортное средство B, т. е. Va > Vb, и следует за автомобилем B.
В этой ситуации транспортное средство A в конечном итоге догонит транспортное средство B, как показано на их графике положение-время.
Vab V =a — Vb ≠ 0
(ii) Рассмотрим ситуацию, когда Va > Vb и автомобиль А движется впереди автомобиля В.
В этом случае транспортное средство B никогда не сможет обогнать транспортное средство A.. Графики положения и времени обоих транспортных средств не будут пересекаться по мере их удаления друг от друга.
Vab V =a — Vb ≠ 0
Какова будет относительная скорость двух тел, когда они движутся в противоположных направлениях?
🠊 Угол, образованный двумя телами, движущимися в противоположных направлениях по прямой, называется 180°.
Рассмотрим два автомобиля А и В, движущихся в противоположных направлениях по прямой.
В результате скорость автомобиля А относительно автомобиля В равна:
Vab V =a -(- Вb) = Вa +Vb
Скорость транспортного средства B по отношению к A аналогична:
Vba V =b-(- Вa) = Вa +Vb
В результате можем написать:
Vab V =ba
Это указывает на то, что если два объекта движутся в противоположных направлениях по прямой линии, кажется, что каждый объект движется очень быстро по сравнению с другим.
Какова относительная скорость, когда два тела движутся под углом?
🠊 Рассмотрим пример относительной скорости, который возникает, когда два объекта, A и B, движутся под углом со скоростями Va и Vb.
&
Диагональ даст нам относительную скорость, если мы построим параллелограмм, как показано на рисунке. В результате величина диагонального вектора параллелограмма или относительная скорость с использованием закона косинусов составляет:
Но Cos(180°-𝛳) = -Cos𝛳
Когда два объекта движутся под углом, приведенное выше уравнение дает нам их относительную скорость. Мы также можем вывести случай того же направления и случай противоположного направления из этого уравнения, изменив значение угла на 0° и 180° соответственно.
Однако, как показано на изображении, если вектор относительной скорости Vab образует угол ꞵ со скоростью объекта A, то
Но Sin(180°-𝛳) = Sin𝛳
Или,
Важность относительной скорости:
Важность относительной скорости резюмируется ниже:
- Рассчитать скорость звезд и астероидов относительно Земли.
- Для измерения расстояния между любыми двумя объектами в пространстве.
- Чтобы запустить ракету.
- Для определения скорости любого объекта.
- Это помогает нам, когда объект движется через жидкость.
Проблемы, связанные с относительной скоростью:
1. Автомобиль, едущий по шоссе со скоростью 110 км/ч, проезжает мимо автобуса, идущего со скоростью 85 км/ч. Какова скорость автомобиля с точки зрения пассажира автобуса?
Данный:
Скорость автомобиля Vc = 110 км/ч
Скорость автобуса Vb = 85 км/ч
Найти:
Относительная скорость автомобиля относительно автобуса Vcb знак равно
Решение:
Поскольку автомобиль и автобус едут в одном направлении, относительная скорость автомобиля с точки зрения пассажира автобуса равна:
Vcb V =c — Vb = (110 -85)км/ч = 25 км/ч
Таким образом, скорость автомобиля с точки зрения пассажира автобуса составляет 25 км/ч.
2. Две машины, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 150 м/с и 200 м/с по прямой дороге. С какой скоростью они приближаются друг к другу?
Данный:
Скорость автомобиля 1 В1 = 150 м / с
Скорость автомобиля 2 В2 = 200 м / с
Найти:
Относительная скорость вагона 1 относительно вагона 2 V12 знак равно
Относительная скорость вагона 2 относительно вагона 1 V21 знак равно
Решение:
Так как оба автомобиля едут в противоположном направлении, относительная скорость:
V12 V =1 + V2 = (150 + 200) м/с = 350 м/с
Кроме того,
V21 V =1 + V2 = (150 + 200) м/с = 350 м/с
В результате два автомобиля движутся навстречу друг другу с относительной скоростью 350 м/с.
Резюме:
- Скорость одного объекта по отношению к другому объекту просто называется относительной скоростью этих двух объектов.
- Рассмотрим два объекта, которые движутся в одном направлении. В этой ситуации величина относительной скорости одного объекта по отношению к другому будет равна разнице в величине их скоростей.
- Если два объекта движутся в одном направлении и с одинаковыми скоростями, их относительная скорость будет ноль.
- Предположим, что любые два объекта движутся в противоположном направлении. В этом случае величина относительной скорости одного объекта по отношению к другому окажется суммой величины их скоростей.
Под относительностью понимают зависимость чего-либо от выбора системы отсчета. Так, покой и движение тела, его положение в пространстве всегда относительны. Человек, сидящий внутри движущегося автомобиля, покоится относительно этого автомобиля. Но относительно предметов снаружи он движется с некоторой скоростью.
Относительность перемещения
Пусть движение материальной точки (МТ) описывается относительно двух систем отсчета: подвижной (ПСО) и неподвижной (НСО). Зная, как эта точка движется относительно ПСО, и, как ПСО движется относительно НСО, можно вычислить перемещение точки относительно НСО. В этом заключается правило сложения перемещений:
s′ = s1 + s2
s′ — перемещение МТ относительно НСО, s1— перемещение МТ относительно ПСО, s2 — перемещение ПСО относительно НСО.
Чтобы применять правило сложения перемещений, нужно уметь складывать вектора.
Полезные факты
- Если тело движется в направлении движения ПСО, то модуль его перемещения относительно НСО равен сумме модулей перемещения этого тела относительно ПСО и перемещения ПСО относительно НСО:
s′ = s1 + s2
- Если тело движется противоположно движению ПСО, то модуль его перемещения относительно НСО равен разности модулей перемещения этого тела относительно ПСО и перемещения ПСО относительно НСО:
s′ = s1 – s2
- Если тело движется под прямым углом по отношению к направлению движения ПСО, то модуль его перемещения относительно НСО равен корню из суммы квадратов перемещений этого тела относительно ПСО и перемещения ПСО относительно НСО:
s′ = √(s12 + s22)
- Если относительно ПСО тело покоится, то его перемещение относительно НСО равно перемещению ПСО относительно НСО: при s1=0, перемещение s′ = s2
- Если тело движется относительно двух НСО, то его перемещение относительно НСО1 равно перемещению движения относительно НСО2. В этом случае одну из систем можно принять за ПСО с нулевой скоростью. Тогда ее перемещение относительно НСО будет равно 0. При s2=0, перемещение s′ = s1
Пример №1. Человек прошел в автобусе 2 метра в направлении заднего выхода. За это же время автобус успел переместиться относительно остановки на 10 м. Найти перемещение человека относительно автобусной остановки.
Так как человек двигался в сторону конца автобуса, он двигался противоположно его движению. В этом случае его перемещение будет равно модулю разности перемещений, совершенных человеком относительно автобуса и автобусом относительно остановки:
s′=|s1 – s2|=|10 – 2|=8 (м).
Относительность скорости в ПСО и НСО
Тела и системы отсчета могут двигаться с различной скоростью. Но, зная скорость движения МТ относительно ПСО и скорость движения ПСО относительно НСО, можно вычислить скорость движения МТ относительно НСО. В этом заключается правило сложения скоростей:
v′ = v + u
v′ — скорость МТ относительно НСО, v — скорость МТ относительно ПСО, u — скорость движения ПСО относительно НСО.
Складывая векторы скоростей, нужно пользоваться правилами сложения векторов.
Полезные факты
- Если тело движется в направлении движения ПСО, то модуль его скорости относительно НСО равен сумме модулей скорости этого тела относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО:
v′ = v + u
- Если тело движется противоположно движению ПСО, то модуль его скорости относительно НСО равен разности модуля скорости этого тела относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО:
v′ = v – u
- Если тело движется под прямым углом по отношению к направлению движения ПСО, то модуль его скорости относительно НСО равен корню из суммы квадратов скорости этого тела относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО:
v′ = √(v2 + u2)
- Если относительно ПСО тело покоится, то его скорость относительно НСО равна скорости ПСО относительно НСО: при v=0, скорость v′ = u
- Если тело движется относительно двух НСО, то его скорость относительно НСО1 равна скорости движения относительно НСО2. В этом случае одну из неподвижных систем можно принять за ПСО с нулевой скоростью. При u=0, скорость v′ = u
Пример №2. Моторная лодка должна пересечь реку, скорость течения которой равна 5 км/ч, по кратчайшему пути. Собственная скорость лодки равна 10 км/ч. Определить, под каким углом к берегу должна быть направлена лодка, чтобы она не отклонялась от кратчайшего пути.
Кратчайшим путем между двумя параллельными линиями является отрезок, заключенный между этими линиями при условии, что он лежит на прямой, пересекающей эти линии под прямым углом. На рисунке этот путь отметим отрезком АВ.
Лодка движется прямолинейно. Поэтому направление ее скорости относительно берега совпадает с направлением перемещения:
Векторы скоростей образуют прямоугольный треугольник, и собственная скорость лодки направлена к берегу под некоторым углом α. Косинус этого угла равен отношению прилегающего катета (скорости лодки относительно реки) к гипотенузе (скорости течения реки):
Косинусу 0,5 соответствует угол, равный 60 градусам.
Относительная скорость двух тел
Понятие относительной скорости вводится, когда рассматривается движение двух тел относительно друг друга внутри одной и той же системы отсчета (СО). Примером служат два движущихся автомобиля, в то время как их движение рассматривается относительно неподвижного объекта.
Относительная скорость равна векторной разности скоростей первого и второго тела относительно СО:
vотн = v1– v2
vотн — относительная скорость, или скорость первого тела относительно второго, v1 и v2 — скорость первого и второго тела относительно СО.
Варианты обозначения относительной скорости и их проекций:
- v12 — скорость первого тела относительно второго. Ее проекция равна:
v12x = v1x – v2x
- v21 — скорость второго тела относительно первого. Ее проекция равна v21x = v2x – v1x
Для вычисления относительной скорости движения тела важно уметь применять правила вычитания векторов.
Полезные факты
- Если тела движутся в одном направлении, то относительная скорость равна модулю разности скоростей первого и второго тела:
vотн = |v1 – v2|
- Если тела движутся в противоположных направлениях, то относительная скорость равна сумме скоростей первого и второго тела:
vотн = |v1 + v2|
- Если тела движутся взаимно перпендикулярно, то относительная скорость равна корню из суммы квадратов скоростей первого и второго тела:
vотн = √(v12 + v22)
Пример №3. Два автомобиля движутся противоположно друг другу. Скорость первого автомобиля относительно дороги равна 100 км/ч. Скорость второго автомобиля относительно первого равна 180 км/ч. Найти модуль скорости второго автомобиля относительно дороги.
Так как автомобили движутся в противоположном направлении, относительная скорость равна сумме скоростей первого и второго автомобиля. Поэтому скорость второго равна разности относительной скорости и скорости движения второго тела, которым в данном случае является первый автомобиль:
Скорость второго автомобиля относительно дороги равна 80 км/час.
Правила сложения векторов
Эта таблица иллюстрирует правила сложения векторов на примере векторов a и b. Результатом их сложения является вектор c .
| Сложение двух сонаправленных векторов | |
 |
Суммой двух сонаправленных векторов является вектор, направленный в ту же сторону.
Его длина равна сумме длин слагаемых векторов: c = a + b. |
| Сложение двух противоположно направленных векторов | |
 |
Суммой двух противоположно направленных векторов является вектор, направленный в сторону большего по модулю вектора. Его длина равна модулю разности длин слагаемых векторов: c = |a – b|. |
| Сложение двух векторов, расположенных друг к другу под углом | |
| Суммой двух векторов, расположенных друг к другу под углом является вектор, направление которого определяется графически методом треугольника или параллелограмма. Его длина зависит от величины угла, под которым расположены два слагаемых векторов. | |
 |
Если слагаемые векторы перпендикулярны, для вычисления длины вектора их суммы используется теорема Пифагора:
|
 |
|
 |
Если слагаемые векторы расположены под тупым углом α, для вычисления длины вектора их суммы используется теорема косинусов:
|
 |
Если слагаемые векторы расположены под острым углом α, для вычисления длины вектора их суммы используется теорема косинусов:
|
.
.
.Правила вычитания векторов
Эта таблица иллюстрирует правила вычитания векторов на примере векторов 
Результатом их вычитания является вектор 
.
| Вычитание двух сонаправленных векторов | |
 |
Разностью двух сонаправленных векторов является вектор, направленный в сторону большего по модулю вектора.
Его длина равна модулю разности длин вычитаемых векторов: c = |a – b|. |
| Вычитание двух противоположно направленных векторов | |
 |
Разность двух противоположно направленных векторов есть вектор, направленный в сторону уменьшаемого вектора. Его длина равна сумме длин вычитаемых векторов: c = a + b. |
| Вычитание двух векторов, расположенных друг к другу под углом | |
| Разностью двух векторов, расположенных друг к другу под углом является вектор, являющийся обратным вектору, образующемуся при сложении этих векторов. Его направление определяется графически. Его длина зависит от величины угла, под которым расположены два слагаемых векторов. | |
 |
Если вычитаемые векторы перпендикулярны, для вычисления длины вектора их разности используется теорема Пифагора:
|
 |
Если вычитаемые векторы расположены под углом α, для вычисления длины вектора их разности используется теорема косинусов:
|
.
.Задание EF17727
Два автомобиля движутся по прямому шоссе, первый — со скоростью v, второй — со скоростью –4v. Найти скорость второго автомобиля относительно первого.
Алгоритм решения
- Записать данные в определенной системе отсчета.
- Изобразить графическую модель ситуации задачи.
- Записать классический закон сложения скоростей в векторном виде.
- Записать классический закон сложения скоростей в векторном виде применительно к условиям задачи.
- Найти искомую величину.
Решение
Записываем данные относительно Земли:
- Скорость первого автомобиля относительно оси ОХ: v1 = v.
- Скорость второго автомобиля относительно оси ОХ: v2 = –4v.
Изображаем графическую модель ситуации. Так как у второго автомобиля перед вектором скорости стоит знак «–», первый и второй автомобили движутся во взаимно противоположных направлениях.
Записываем закон сложения скоростей в векторном виде:
v′ = v + u
v′ — скорость второго автомобиля относительно оси ОХ (v2), v — скорость второго автомобиля относительно системы отсчета, связанной с первым автомобилем, u — скорость движения первого автомобиля относительно оси ОХ (v1).
Закон сложения скоростей в векторном виде применительно к условиям задачи будет выглядеть так:
v2 = v + v1
Отсюда:
v = v2 — v1 = –4v – v = –5v
Ответ: -5v
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17518
Два автомобиля движутся в одном направлении. Относительно Земли скорость первого автомобиля 110 км/ч, второго 60 км/ч. Чему равен модуль скорости первого автомобиля в системе отсчёта, связанной со вторым автомобилем?
Алгоритм решения
- Записать данные в определенной системе отсчета.
- Изобразить графическую модель ситуации задачи.
- Записать классический закон сложения скоростей в векторном виде.
- Выбрать систему отсчета.
- Записать классический закон сложения скоростей в скалярном виде.
- Найти искомую величину.
Решение
Записываем данные относительно Земли:
- Скорость первого автомобиля относительно неподвижной системы отсчета: v1 = 110 км/ч;
- Скорость второго автомобиля относительно Земли: v2 = 60 км/ч.
Изображаем графическую модель ситуации:
Записываем закон сложения скоростей в векторном виде:
v′ = v + u
v′ — скорость автомобиля относительно земли (v1), v — скорость второго автомобиля относительно системы отсчета, связанной со вторым автомобилем, u — скорость движения второго автомобиля относительно земли (v2).
По условию задачи в качестве системы отсчета нужно выбрать второй автомобиль. Так как система отсчета, связанная со вторым автомобилем, и первый автомобиль движутся в одном направлении, классический закон сложения скоростей в скалярном виде будет выглядеть так:
v’ = v + u
Отсюда скорость первого автомобиля в системе отсчёта, связанной со вторым автомобилем:
v = v’ – u = v1 – v2 = 110 – 60 = 50 (км/ч).
По условию задачи ответом должен быть модуль этой скорости. Модуль числа 50 есть 50.Ответ: 50
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 7.4k
Содержание материала
- Задачи на скорость сближения
- Видео
- Скорость сближения
- Задачи на течение реки
- Скорость
- Задача на движение объектов в одном направлении
- Движение в противоположных направлениях
- Относительное движение
- Примеры решения задач
Задачи на скорость сближения
Скорость сближения — это скорость, с которой объекты сближаются друг с другом.
Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся в одном направлении, надо из большей скорости вычесть меньшую.
Задача 1. Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?
Решение: Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на:
40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей:
60 — 40 = 20 (км/ч) — это скорость сближения автомобилей.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся:
160 : 20 = 8 (ч).
Решение задачи по действиям можно записать так:
1) 40 · 4 = 160 (км) — расстояние между автомобилями,
2) 60 — 40 = 20 (км/ч) — скорость сближения автомобилей,
3) 160 : 20 = 8 (ч).
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.
Задача 2. Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов:
5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого:
5 : 1 = 5 (ч).
Решение задачи по действиям можно записать так:
1) 5 — 4 = 1 (км/ч) — это скорость сближения пешеходов,
2) 5 : 1 = 5 (ч).
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.
Видео
Скорость сближения
Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.
Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причем скорость первого будет 100 м/м, а второго — 105 м/м, то скорость сближения будет составлять 100 + 105, то есть 205 м/м. Это значит, что каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшáться на 205 метров
Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.
Предположим, что пешеходы встретились через три минуты после начала движения. Зная, что они встретились через три минуты, мы можем узнать расстояние между двумя пунктами.
Каждую минуту пешеходы преодолевали расстояние равное двухсот пяти метрам. Через 3 минуты они встретились. Значит умножив скорость сближения на время движения, можно определить расстояние между двумя пунктами:
205 × 3 = 615 метров
Можно и по другому определить расстояние между пунктами. Для этого следует найти расстояние, которое прошел каждый пешеход до встречи.
Так, первый пешеход шел со скоростью 100 метров в минуту. Встреча состоялась через три минуты, значит за 3 минуты он прошел 100 × 3 метров
100 × 3 = 300 метров
А второй пешеход шел со скоростью 105 метров в минуту. За три минуты он прошел 105 × 3 метров
105 × 3 = 315 метров
Теперь можно сложить полученные результаты и таким образом определить расстояние между двумя пунктами:
300 м + 315 м = 615 м
Задача 1. Из двух населенных пунктов навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 10 км/ч, а скорость второго — 12 км/ч. Через 2 часа они встретились. Определите расстояние между населенными пунктами
Решение
Найдем скорость сближения велосипедистов
10 км/ч + 12 км/ч = 22 км/ч
Определим расстояние между населенными пунктами. Для этого скорость сближения умножим на время движения
22 × 2 = 44 км
Решим эту задачу вторым способом. Для этого найдем расстояния, пройденные велосипедистами и сложим полученные результаты.
Найдем расстояние, пройденное первым велосипедистом:
10 × 2 = 20 км
Найдем расстояние, пройденное вторым велосипедистом:
12 × 2 = 24 км
Сложим полученные расстояния:
20 км + 24 км = 44 км
Ответ: расстояние между населенными пунктами составляет 44 км.
Задача 2. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми 60 км, навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 14 км/ч, а скорость второго — 16 км/ч. Через сколько часов они встретились?
Решение
Найдем скорость сближения велосипедистов:
14 км/ч + 16 км/ч = 30 км/ч
За один час расстояние между велосипедистами уменьшается на 30 километров. Чтобы определить через сколько часов они встретятся, нужно расстояние между населенными пунктами разделить на скорость сближения:
60 : 30 = 2 часа
Значит велосипедисты встретились через два часа
Ответ: велосипедисты встретились через 2 часа.
Задача 3. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми 56 км, навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Через два часа они встретились. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч. Определить скорость второго велосипедиста.
Решение
Определим расстояние пройденное первым велосипедистом. Как и второй велосипедист в пути он провел 2 часа. Умножив скорость первого велосипедиста на 2 часа, мы сможем узнать сколько километров он прошел до встречи
12 × 2 = 24 км
За два часа первый велосипедист прошел 24 км. За один час он прошел 24:2, то есть 12 км. Изобразим это графически
Вычтем из общего расстояния (56 км) расстояние, пройденное первым велосипедистом (24 км). Так мы определим сколько километров прошел второй велосипедист:
56 км − 24 км = 32 км
Второй велосипедист, как и первый провел в пути 2 часа. Если мы разделим пройденное им расстояние на 2 часа, то узнаем с какой скоростью он двигался:
32 : 2 = 16 км/ч
Значит скорость второго велосипедиста составляет 16 км/ч.
Ответ: скорость второго велосипедиста составляет 16 км/ч.
Задачи на течение реки
Теперь, когда ты отлично решаешь задачи «на суше», перейдем в воду, и рассмотрим страаашные задачи, связанные с течением.
Особенность этих задач в том, что к скорости, с которой движется тело по воде добавляется (или вычитается) скорость течения реки.
Давай разберемся.
Скорость
Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.
Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени. Скорость обозначается латинской буквой v.
Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.
Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.
Формула скорости
Чтобы найти скорость, нужно разделить путь на время:
v = s : t
Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.
Скорость сближения — это расстояние, на которое сблизились два объекта за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся навстречу друг другу, надо сложить скорости этих объектов.
Скорость удаления — расстояние, на которое отдалились друг от друга два объекта за единицу времени.
Чтобы найти скорость удаления объектов, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сложить скорости этих объектов.
Чтобы найти скорость удаления при движении с отставанием или скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую.
Онлайн-курсы по математике для детей — отличный способ разобраться в сложных темах под руководством внимательного преподавателя.
Задача на движение объектов в одном направлении
В предыдущей теме мы рассматривали задачи в которых объекты (люди, машины, лодки) двигались либо навстречу другу другу либо в противоположных направлениях. При этом мы находили различные расстояния, которые изменялись между объектами в течении определенного времени. Эти расстояния были либо скоростями сближения либо скоростями удаления.
В первом случае мы находили скорость сближения — в ситуации, когда два объекта двигались навстречу друг другу. За единицу времени расстояние между объектами уменьшалось на определенное расстояние
Движение в противоположных направлениях
Если два объекта движутся в противоположных направлениях, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо сложить скорости этих объектов:
Скорость удаления больше скорости любого из них.
Задача 1
Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Средняя скорость одного пешехода – 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км ?
Решение:
Чтобы найти время движения пешеходов, нужно знать расстояние и скорость пешеходов. Мы знаем, что за каждый час один пешеход удаляется от поселка на 5 км, а другой пешеход удаляется от поселка на 4 км. Можем найти их скорость удаления.
1. (км/ч)
Мы знаем скорость удаления и знаем все расстояние – 27 км. Можем найти время, через которое пешеходы удалятся друг от друга на 27 км, для этого нужно расстояние разделить на скорость.
2. (ч)
Ответ: Через три часа расстояние между переходами будет 27 км.
Задача 2
Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Через 3 часа расстояние между ними было 27 км. Первый пешеход шел со скоростью 5 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход ?
Решение:
Чтобы узнать скорость второго пешехода, надо знать расстояние, которое он прошел, и его время в пути. Чтобы узнать, какое расстояние прошел второй пешеход, надо знать, какое расстояние прошел первый пешеход и общее расстояние. Общее расстояние мы знаем. Чтобы найти расстояние, которое прошел первый пешеход, надо знать его скорость и его время в пути. Средняя скорость движения первого пешехода – 5 км/ч, его время в пути – 3 часа. Если среднюю скорость умножить на время в пути, получим расстояние, которое прошел пешеход:
1. (км)
Мы знаем общее расстояние и знаем расстояние, которое прошел первый пешеход. Можем теперь узнать, какое расстояние прошел второй пешеход.
2. (км)
Теперь мы знаем расстояние, которое прошел второй пешеход, и время, проведенное им в пути. Можем найти его скорость.
3. (км/ч)
Ответ: Скорость второго пешехода – 4 км/ч.
Задача 3
Товарный и пассажирский поезда движутся в противоположных направлениях. Скорость товарного 45 км/ч, скорость пассажирского — 70 км/ч. Сейчас между ними 20 км. Какое расстояние будет между ними через 2 часа ?
Решение:
1) 70+45=115 (км/ч) скорость удаления поездов
2) 115∙2=230 (км) пройдут поезда вместе за 2 часа
3) 230+20=250 (км) такое расстояние между поездами будет через 2 часа.
Ответ: Через 2 часа расстояние между поездами составит 250 км.
Задача 4
Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них — 60 км/ч, скорость другого — 40 км/ч. Через какое время расстояние между ними станет равным 300 км?
Решение:
1) 60+40=100 (км/ч) скорость удаления мотоциклистов
2) 300:100=3 (ч) через такое время расстояние между ними будет 300 км.
Ответ: Расстояние между мотоциклистами станет 300 км через 3 часа.
Относительное движение
Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:
- сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
- разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.
Примеры решения задач
Два туриста на велосипедах отправились в одно и то же время из разных пунктов в точку назначения. Время в пути первого велосипедиста составило 2 ч. Для того чтобы прибыть в точку назначения одновременно с первым туристом, второму велосипедисту потребовалось проехать каждый последующий км пути на 1 мин быстрее по сравнению с предыдущим. Расстояние, которое преодолел второй турист на велосипеде больше на 6 км, чем путь первого туриста. Требуется определить скорости первого и второго велосипедистов.
Решение
Предположим, что первый турист на велосипеде преодолевал каждый км пути за х мин. Тогда его скорость равна 60/х км/ч. В таком случае, скорость второго велосипедиста составит 60/(х-1) км/ч. Составим уравнение:
60/(х–1)*2–(60/х)*2=6
х1=5
х2=–4
Второй корень является посторонним.
Ответ: скорость первого велосипедиста 12 км/ч, второй велосипедист двигался со скоростью 15 км/ч.
Теги
Дано:
v1 = 15 м/с — скорость первого автомобиля относительно земли;
v2 = 15 м/с — скорость второго автомобиля относительно земли.
Требуется найти скорость первого автомобиля относительно второго автомобиля.
Так как по условию задачи оба автомобиля движется навстречу друг другу, то есть, первый автомобиль движется от меньшей в большую сторону оси Х, а второй автомобиль от большей в меньшую сторону оси Х, то относительная скорость будет равна:
V = v1 + v2 = 15 + 15 = 30 м/с.
Ответ: скорость одного автомобиля относительно другого будет равна 30 м/с.