Как найти скорость полураспада

Radioactive decay is the release of alpha, beta, and gamma particles from unbalanced atoms known as radionuclides. Some substances, like uranium, have no stable forms and are therefore always radioactive. Radioactive substances are referred to as radionuclides. Rate of Decay is calculated to tell the exact amount of radioactive material that is being radiated. In this article, we will learn about the rate of decay formula and its examples in detail.

Half-Life of Radioactive Substances

A radionuclide decays into a different atom known as a decay product. Until the atoms achieve a stable state and stop being radioactive, they continue to change into new decay products. Most radionuclides only undergo one decay before stabilizing. Series radionuclides are those that decay in more than one step. The decay chain is the collection of decay products produced to achieve this equilibrium.

Each radionuclide has a unique decay rate that is measured by its “half-life.” The amount of time it takes for half of the radioactive atoms present to decay is known as the radioactive half-life. Others have half-lives of hundreds, millions, or billions of years. Some radionuclides have half-lives of just a few seconds.

The time it takes for the activity of a specific quantity of a radioactive substance to decay to half of its initial value is known as the half-life (t_1/2).

t_1/2 = ln(2) / λ = τ ln(2)

where,
t_1/2 is the half-life of a radioactive substance.
λ  is the mean lifetime of a radioactive substance.
τ is the average lifetime of a radioactive substance before decay.

Rate of Decay Formula

The breakdown of radioactive particles into new types of particles from the parent radionuclide is known as radioactive decay. There are three types of radioactive decay, alpha, beta, and gamma decay, and the half-lives of each type of decay have different values depending on the type of ionization. Due to the emission of many particle kinds, the decay rate differs for each type of decay.

It’s been observed that radioactive disintegration only happens when the nucleus is unstable. Alpha, beta, and gamma radiations are released by the unstable nucleus along with other ionizing particles and radiations as it loses energy. A radioactive element is one that has a nucleus that is unstable. Usually, the radioactive substance splits into two parts.

The term “Parent nuclide” denotes to one component of a radioactive element. The other component disintegrates into a “Daughter nuclide,” a modified atom that differs from the parent radionuclide as a result of the bombardment. The decay product is another name for the daughter nuclide. This is due to the fact that the parent nuclide’s atoms continue to decay and transform into new decay products. The decay product stops decaying when it reaches a stable state where its radioactivity disappears.

A first-order decay process determines the rate of radioactive particle decay. This indicates that it exhibits an exponential decline pattern, which is simple to calculate.

N_t = N₀ e^-λt

where, 
N_t is the amount of radioactive particles at time (t)
N₀ is the amount of radioactive particles at time (0)
λ is the rate of decay constant
t is time

Since this decay rate is exponential, taking the natural log on both sides of the equation will result in:

ln (N_t /N₀) = -λt

Read, More

• Radioactivity
• Types of Radioactivity
• Radioactive Isotopes

Solved Examples on Rate of Decay Formula

Example 1: If U-238 has a half-life of 4.468 × 10⁹ years, determine its rate of decay constant.

Solution: 

The problem refers to half life of U-238, Half of the original sample has already decayed. Hence the ratio N₀/N_t = 0.5.

ln (N_t /N₀) = -λt

ln 0.5 = -λ × 4.468 × 10⁹

λ = 1.55 x 10^-10 years^-1

Rate of decay constant (λ) is 8.38 x 10^-11 years^-1

Example 2: If U-238 has a 35% life of 5.142 × 10⁹ years, determine its rate of decay constant.

Solution: 

35% half life of U-238 has already decayed, Hence the ratio N₀/N_t = 0.65 as 65 percent of original sample remains.

ln (N_t /N₀) = -λt

ln 0.65 = -λ × 5.142 × 10⁹

λ = 0.838 x 10^-10 years^-1

Rate of decay constant (λ) is 8.38 x 10^-11 years^-1

Example 3: Determine the amount of time it will take for 25% of a sample of U-238 to radioactively decay with a decay constant of 1.55 x 10^-10 years^-1.

Solution: 

Since 75% of the original sample is still present, the ratio N_t/N₀ = 0.75. Where 25% of the sample has undergone radioactive decay.

Rate of decay constant (λ) = 1.55 × 10^-10 years^-1 

ln (N_t /N₀) = -λt

ln  0.75 = -1.55 × 10^-10 years^-1 × t

t = 1.86 x 10⁹ years 

The amount of time for 25% radioactive U-238 decay is 1.86 x 10⁹ years 

Example 4: Determine the amount of time it will take for 45% of a sample of U-238 to radioactively decay with a decay constant of 1.55 x 10^-10 years^-1.

Solution: 

Since 55% of the original sample is still present, the ratio N_t/N₀ = 0.75. Where 45% of the sample has undergone radioactive decay.

Rate of decay constant (λ) = 1.55 × 10^-10 years^-1

ln (N_t /N₀) = -λt

ln  0.55 = -1.55 × 10^-10 years^-1 × t

t = 3.86 x 10⁹ years

The amount of time for 45% radioactive U-238 decay is 3.86 x 10⁹ years

Example 5: The half-life of PD-100 is 3.6 days. How many atoms will remain after 20.0 days, if one has 6.02 x 10²³ at the beginning?

Solution: 

Time = 20 days

Half-life = 3.6 days

Initial atoms = 6.02 ×10²³ atoms

Formula used to determine number of atoms after 20 days.

N = N₀ × 1/2 × t/t_1/2

N = 6.02 ×10²³ × 1/2 × 20/3.6 

    = 1.28 × 10²²

The number of atoms present is 1.28 × 10²² 

FAQs on Rate of Decay

Question 1: What is radioactive decay?

Answer:

The radioactive atom (radionuclide) changes into another nuclide as the nucleus releases radiation or breaks down. It is known as radioactive decay.

Question 2: What are the different types of radioactive decay?

Answer: 

Alpha, beta, and gamma decay are the three main types of radioactive decay. The number of protons in an atom’s nucleus can change by alpha and beta decay, which transforms the atom into a different element. The atom does not convert into a different element due to gamma decay because it does not alter the proton number.

Question 3: What are examples of radioactive decay?

Answer:

Alpha decay, proton emission, double proton emission, beta decay, gamma decay, electron capture, and neutron emission are common examples of radioactive decay.

Question 4: What is the importance of radioactive decay?

Answer:

Radioactive decay is useful for many aspects of human life, including health, the creation of electricity, and astronomy, etc.

Question 5: What are the effects of radioactive decay on humans?

Answer:

The energy released into the environment as radioactive material decays or breaks down can injure a body in two different ways. It has the potential to directly destroy cells or to alter DNA. The cell may develop cancer if certain mutations are not fixed.

Question 6: What is the importance of radioactive half-life?

Answer:

Because long-lived radionuclides persist longer after release than shorter-lived species, the radiological half-life is essential for radiation control. Radionuclides with longer half-lives will remain in the environment longer than those with shorter half-lives.

Last Updated :
17 Apr, 2023

Like Article

Save Article

Если молекула, которую в общем виде можно обозначить символом А, имеет тенденцию к самопроизвольному распаду

А → Продукты реакции

со скоростью, на которую не влияет присутствие других молекул, то следует ожидать, что число молекул, распадающихся в результате такого мономолекулярного процесса в единицу времени, будет пропорционально числу присутствующих молекул А. Если объем системы остается постоянным, то концентрация молекул А будет уменьшаться со скоростью, пропорциональной этой концентрации. Примем символ [А] для обозначения концентрации вещества А (в молях на 1 литр). Скорость уменьшения концентрации со временем математически выражается так: $-frac{d[A]}{dt}$ Для мономолекулярного распада можно, следовательно, записать уравнение

$-frac{d[A]}{dt}=k[A]$ (10.1)

Это — дифференциальное уравнение, определяющее скорость реакции*. Множитель k называют константой скорости реакции первого порядка. Реакцию такого рода называют реакцией первого порядка; порядок реакции определяется как сумма показателей степени концентраций, входящих в выражение для скорости реакции (правая часть уравнения скорости реакции).

Размерность k для реакций первого порядка, как не трудно убедиться, t^-1 если время измеряется в секундах, то c^-1.

Так, константа скорости k может иметь значение 0,001 с^-1. Тогда, согласно уравнению, за одну секунду будет распадаться 1/1000 от исходного числа разлагающихся молекул. Допустим, что в начальное время t=0 было 1 000 000 000 молекул на 1 мл в сосуде, в котором протекает реакция. За первую секунду 1 000 000 из этих молекул распадается и при t=1 с останутся неразложившимися только 999 000 000 молекул. В следующую секунду разложится 999 000 молекул и останется 998 001 000 молекул**. По истечении некоторого времени (приблизительно через 693 с) половина молекул распадется и останется только 500 000 000 нераспавшихся молекул в 1 мл. Из этих молекул около 500 000 распадется в следующую секунду и т. д.

Высказанное выше утверждение относительно времени, необходимого для распада половины общего числа молекул, можно подтвердить интегрированием уравнения (10.1), приводящим к интегральной форме уравнения скорости реакции первого порядка. Уравнение (10.1) можно переписать в следующем виде:

  $frac{d[A]}{[A]}=-kdt$

Нетрудно заметить, что выражение в левой части уравнения —это производная от ln[А] (плюс постоянная величина) и что в правой части— производная от —kt (плюс постоянная величина). Если первую постоянную величину выразить как —ln[А]₀, а вторую постоянную как kt₀, то получим

ln[А] — ln[А]₀ = ln([ А]/[А]₀) = -kt + kt₀. (10.2)

Возведение в степень е обеих частей уравнения приводит его к виду

[А] =[А]₀е^-k(t-t₀) (10.3)

В этом уравнении постоянная [А]₀ — концентрация А в момент времени t=t₀.

Обычно принято считать t₀ равным нулю (т. е. измерять время с того момента, когда концентрация равна [А]₀). Тогда уравнение принимает вид

[А] = [A]₀e^-kt. (10.4)

Отношение концентрации реагирующего вещества к исходной концентрации уменьшается экспоненциально со временем, как показано на рис. 10.2. То, что это реакция первого порядка, можно установить измерением скорости расходования реагирующего вещества, взятого в различных концентрациях, и сравнением с уравнением (10.1) или путем нескольких измерений концентрации одного из компонентов данной системы в различные моменты и сопоставления с уравнением (10.4).

Типичной химической реакцией первого порядка, протекающей в газовой фазе, является разложение азометана СН₃—N=N—СН₃ на этан и азот^3*

СН₃NNCН₃ → С₂Н₆ + N₂

Молекулярный механизм этой реакции схематически приведен на рис. 10.3. Большинство молекул азометана имеет конфигурацию, показанную на рис. 10.3,а, с метальными группами, расположенными с противоположных сторон оси N=N. Это так называемая транс-конфигурация. Сравнительно небольшое число молекул имеют цис-конфигурацию (рис. 10.3,6). Если молекула с цис-конфигурацией очень энергично сталкивается с другой молекулой, то ее колебания могут настолько усилиться, что атомы углерода сблизятся так, как показано на рис. 10.3,в. При такой конфигурации две связи N—С могут разорваться, и вместо них образуются связи С—С и N—N. Эта возможность показана пунктирными валентными связями на рис. 10.3,в. Молекула, схематически изображенная на рис. 10.3,в, может вернуться к конфигурации, приведенной на рис. 10.3,6, или же в результате разрыва связей С—N могут образоваться две молекулы, как показано на рис. 10.3,г.

Рис. 10.2. Кривые, показывающие уменьшение во времени количества нераспавшегося вещества, разлагающегося по реакции первого порядка (на графике указаны значения констант скорости реакции).

Химическими реакциями первого порядка являются также разложение пятиокиси азота N₂O₅ на двуокись азота и кислород и разложение диметилового эфира СН₃—О—СН₃ на метан, окись углерода и водород

2N₂O₅ → 4NO₂ + O₂

СН₃ОСН₃ → CH₄ + CO + H₂

Необходимо отметить, что порядок реакции нельзя определить по суммарному стехиометрическому уравнению. Согласно уравнению разложения N₂O₅, в реакции участвуют две молекулы исходного вещества, но в действительности это реакция первого порядка. Это свидетельствует о том, что рассматриваемая реакция протекает по стадиям; первой стадией, по-видимому, является разложение по реакции первого порядка

N₂O₅ → NO₃ + NO₂

После этого происходят другие реакции, например

2NO₃ → 2NO₂ + O₂

Простой метод изучения скорости газовой реакции, при которой число молекул, образующихся в результате реакции, оказывается больше или меньше числа молекул исходного вещества, основан на измерении давления в ходе реакции. Реагирующее вещество при этом вводят в сосуд, помещенный в термостат, и периодически по манометру измеряют давление газа.

Рис. 10.3. Мономолекулярное разложение азометана на азот и этан.

Период полураспада

Примем t=nt’. Тогда экспоненциальное выражение е^-kt [в уравнении (10.4)] можно записать в виде е^-nkt’= (е^-kt’)ⁿ. Отсюда следует, что в каждый последующий период времени t’ концентрация нераспавшихся молекул уменьшается пропорционально одному и тому же коэффициенту.

В рассмотренном выше примере (в котором k=0,001 с^-1) упоминалось, что при t’ = 693 с значение [А]/[А]₀ равно ½. Не трудно убедиться, что еще через 693 с (при t = 2t’) оно будет равно ¼, при t = 3t’ будет равно 1/8 и т. д.

Время, необходимое для того чтобы концентрация реагирующего вещества, распадающегося по реакции первого порядка, уменьшилась наполовину, называется периодом полураспада. Из уравнения (10.4) следует, что период полураспада равен значению t’, при котором е^-kt’ = ½. Чтобы вычислить t’, следует произвести следующие действия:

ln(е^-kt’) = -kt’ = ln½.

kt’ = ln2 = 2,30259 lg2=0,69315,

Период полураспада = t’ = 0,69315/k . (10.5)

Из этого уравнения, устанавливающего зависимость между периодом полураспада и константой скорости реакции, очевидна правильность сделанного ранее вывода, что при k =0,001 с^-1 период полураспада составляет 693 с.

Радиоактивный распад ядер

Наиболее важный класс реакций первого порядка — радиоактивный распад атомных ядер. Каждое ядро радия-226 или другого радионуклида характеризуется вероятностью распада в единицу времени, которая не зависит от концентрации (вообще от присутствия других частиц), и как следствие этого процесс радиоактивного распада описывается уравнениями (10.1) и (10.4).

Пример 10.1.

Период полураспада радия ₈₈²²⁶Rа равен 1590 лет. Чему равно значение константы скорости распада? Какая часть распадается за один год?

Решение. Согласно уравнению (10.5), можно записать

k = 0,693/1590 = 000436 год^-1.

Следовательно, значение константы скорости распада равно 4,36·10^-4 год^-1.

В результате разложения в степенной ряд экспоненциального члена, входящего в уравнение (10.4), получаем

e^-kt = 1 — kt + ½k²t²…

Для небольших значений t можно ограничиться учетом только линейного члена в приведенном здесь уравнении. Очевидно, за единицу времени распадается доля исходного количества, равная k. Следовательно, за один год распадается 4,36·10^-4 первоначального количества радия, т. е. 0,0436%.

Пример 10.2.

В разд. 20.18 будет описано, что возраст образца древесины можно определить измерением радиоактивности содержащихся в нем атомов углерода-14. Период полураспада углерода-14 равен 5760 годам. Свежеcрубленная древесина содержит углерод-14, распадающийся со скоростью 15,3 атома в минуту в расчете на 1 г углерода (это соответствует числу β-частиц, испускаемых изотопом углерода-14 в 1 мин, измеренному счетчиком Гейгера). Древесина деревьев, засыпанных пеплом при извержении вулкана Мазама на юге штата Орегон (США), дает 6,90 β-раcпадов атомов углерода-14 в минуту в расчете на 1 г углерода. Когда произошло извержение вулкана?

Решение. Применяя метод, использованный в предшествующем примере, находим значение k

k = 0,693 / 5760 лет = 1,204×10^-4 год^-1

Доля неразложившегося изотопа ¹⁴С составляет 6,90/15,3=0,451. Следовательно, можно записать

е^-kt = 0,451,

kt = — ln0,451 = — 2,303 lg 0,451 =2,303×0,347 = 0,800,

t = 0,800/k = 0,800/(1,204×10^-4 год^-1) = 6640 лет. Таким образом, расчет показывает, что извержение вулкана Мазама произошло примерно 6640 лет назад.

Пример 10.3.

Найденные в Восточной Африке скелеты синантропа были извлечены из вулканического пепла, содержащего минералы калия. Методом масс-cпектроскопии было определено количество аргона-40 в этом пепле; оно составляет 0,078% от количества присутствующего калия-40. (Калий-40 — радиоактивный изотоп калия, составляющий 0,011% природного калия, — имеет период полураспада 15·10⁸ лет.) В данном случае аргон-40 образовался в результате β-распада калия-40, содержавшегося в пепле, выпавшем при извержении вулкана, а ранее образовавшийся аргон-40 выделился из расплавленной лавы в процессе извержения. Какой возраст имеют найденные скелеты?

Решение. Константа k скорости распада ⁴⁰К равна 0,693/(15×10⁸ лет)=4,6×10^-10 год^-1. Время t, необходимое для распада 0,078% исходного количества ⁴⁰К, дается уравнением

kt = 7,8×10^-4,

t = 7,8×10^-4 / k = 7,8×10^-4 / 4,6×10^-10 год^-1 = 1,7×10⁶ лет. Следовательно, вулканический пепел выпал приблизительно 1 700 000 лет назад; примерно такой же возраст имеют и найденные в нем скелеты.

---

* Это уравнение не должно смущать читателя даже в том случае, если он не изучал дифференциального исчисления и не знаком с уравнениями такого вида. Выражение, стоящее в левой части уравнения (10.1), есть скорость данной реакции — уменьшение концентрации реагирующего вещества в единицу времени. Выражение в правой части показывает, что эта скорость уменьшения концентрации пропорциональна самой концентрации. (10.1)

** Эти числа не абсолютно точны. Молекулы распадаются случайно, и это происходит со средней скоростью, определяемой уравнением (10.1); следует ожидать некоторого статистического разброса относительно этой скорости. Разброс измеряется корнем квадратным из числа разложившихся молекул. В теории вероятностей показано, что для ожидаемого числа n независимых событий стандартное отклонение (среднеквадратичная ошибка) равно $sqrt{n/2}=0,7071sqrt{n}$, вероятная ошибка (включающая половину наблюдений) равна $0,4769sqrt{n}$ и средняя ошибка равна $sqrt{n/pi}=0,5642sqrt{n}$. Относительная ошибка (отношение ошибки к ожидаемому числу), как не трудно заметить, пропорциональна n^-½.Чтобы уменьшить вдвое относительную ошибку, число наблюдений следует увеличить и четыре раза.

3* При этом в результате других реакций, протекающих при разложении азометана, образуются и иные продукты.

Закон радиоактивного распада. Период полураспада

Подробности

Обновлено 20.07.2018 21:25

Просмотров: 1197

«Физика — 11 класс»

Радиоактивный распад подчиняется статистическому закону.
Резерфорд, исследуя превращения радиоактивных веществ, установил опытным путем, что их активность убывает с течением времени.
Об этом говорилось в предыдущем параграфе.
Так, активность радона убывает в 2 раза уже через 1 мин.
Активность таких элементов, как уран, торий и радий, тоже убывает со временем, но гораздо медленнее.
Для каждого радиоактивного вещества существует определенный интервал времени, на протяжении которого активность убывает в 2 раза.
Этот интервал носит название период полураспада.

Период полураспада (Т) — это время, в течение которого распадается половина начального числа радиоактивных атомов.

Спад активности, т. е. числа распадов в секунду, в зависимости от времени для одного из радиоактивных препаратов изображен на рисунке.
Период полураспада этого вещества равен 5 сут.

Пусть число радиоактивных атомов в начальный момент времени (t = 0) равно N₀.
Тогда по истечении периода полураспада это число будет равно

Спустя еще один такой же интервал времени это число станет равным:

По истечении времени t = nТ, т. е. спустя n периодов полураспада Т, радиоактивных атомов останется:

Поскольку

то

Это и есть основной закон радиоактивного распада.
По формуле можно найти число нераспавшихся ядер в любой момент времени.

Период полураспада — основная величина, определяющая скорость радиоактивного распада.
Чем меньше период полураспада, тем меньше времени «живут» ядра, тем быстрее происходит распад.
Для разных веществ период полураспада имеет сильно различающиеся значения.
Так, период полураспада урана равен 4,5 млрд лет.

Именно поэтому активность урана на протяжении нескольких лет заметно не меняется.
Период полураспада радия значительно меньше — он равен 1600 лет.
Поэтому активность радия значительно больше активности урана.
Есть радиоактивные элементы с периодом полураспада в миллионные доли секунды.

Чтобы определить период полураспада, надо знать число атомов N₀ в начальный момент времени и число нераспавшихся атомов N спустя определенный интервал времени t.

Сам закон радиоактивного распада довольно прост.
Но физический смысл этого закона уяснить себе нелегко.
Действительно, согласно этому закону за любой интервал времени распадается одна и та же доля имеющихся атомов (за период полураспада половина атомов).
Значит, с течением времени скорость распада нисколько не меняется?

Радиоактивные ядра «не стареют»..
Так, ядра радона, возникающие при распаде радия, претерпевают радиоактивный распад как сразу же после своего образования, так и спустя 10 мин после этого.
Распад любого атомного ядра — это, так сказать, не «смерть от старости», а «несчастный случай» в его жизни.
Для радиоактивных ядер не существует понятия возраста.
Можно определить лишь их среднее время жизни τ.

Время существования отдельных ядер может варьироваться от долей секунды до миллиардов лет.
Атом урана, например, может спокойно пролежать в земле миллиарды лет и внезапно взорваться, тогда как его соседи благополучно продолжают оставаться в прежнем состоянии. Среднее время жизни τ — это просто среднее арифметическое времени жизни достаточно большого количества атомов данного вида.
Оно прямо пропорционально периоду полураспада.

Предсказать, когда произойдет распад ядра данного атома, невозможно.
Смысл имеют только утверждения о поведении в среднем большой совокупности атомов.
Закон радиоактивного распада определяет среднее число ядер атомов, распадающихся за определенный интервал времени.
Но всегда имеются неизбежные отклонения от среднего значения, и, чем меньше количество радиоактивных ядер в препарате, тем больше эти отклонения.
Закон радиоактивного распада является статистическим законом.

Говорить об определенном законе радиоактивного распада для малого числа ядер атомов не имеет смысла.
Этот закон справедлив в основном для большого количества частиц.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Физика атомного ядра. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Методы наблюдения и регистрации элементарных частиц —
Открытие радиоактивности. Альфа-, бета- и гамма-излучения —
Радиоактивные превращения —
Закон радиоактивного распада. Период полураспада —
Открытие нейтрона —
Строение атомного ядра. Ядерные силы. Изотопы —
Энергия связи атомных ядер —
Ядерные реакции —
Деление ядер урана —
Цепные ядерные реакции —
Ядерный реактор —
Термоядерные реакции. Применение ядерной энергии —
Получение радиоактивных изотопов и их применение —
Биологическое действие радиоактивных излучений —
Краткие итоги главы —
Три этапа в развитии физики элементарных частиц —
Открытие позитрона. Античастицы

---

Была ли эта статья полезной?