Как найти скорость рациональные уравнения

Составьте квадратное уравнение, зная его корни:

Решение задач на движение по реке, математика, 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Текстовые задачи по математике», 8 класс Улатова Наталья Николаевна

Задачи на движение обычно содержат следующие величины: – время, – скорость, – расстояние. Уравнения, связывающее эти три величины: v S t

21,6км/ч Устно. Собственная скорость катера 21,6 км/ч, а скорость течения 4,7км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения. 21,6км/ч Против течения По течению 4,7км/ч

Против течения По течению vпо теч= vсоб+ vтеч vпр теч= vсоб – vтеч vтеч.

В диафильме «Дюймовочка» есть такой кадр. Лист кувшинки поплыл по течению и жаба никак не могла догнать Дюймовочку. Объяснить физическую несостоятельность этой ситуации.

Составь и реши уравнение самостоятельно 1. На путь по течению реки катер затратил 3ч, а на обратный путь 4,5ч. Какова скорость течения реки, если скорость катера относительно воды 25 км/ч? 25–х 4,5(25–х) 4,5 Пусть vтеч = x 1й способ справка справка справка справка Это условие поможет ввести х …

25+х t, ч v, км/ч 3 25–x 4,5 Решим задачу с помощью пропорции. 2й способ Составим пропорцию для обратно пропорциональной зависимости:

2. Моторная лодка прошла 18 км по течению и 14 км против течения, затратив на весь путь 3 ч 15 мин. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч. 10–х 14 Пусть vтеч = x справка справка Это условие поможет ввести х … справка 3 Составь и реши уравнение самостоятельно

3. Катер прошел 75 км по течению и столько же против течения. На весь путь он затратил в 2 раза больше времени, чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения равна 5 км/ч? х–5 75 Пусть vсоб. = x справка справка Это условие поможет ввести х … справка х 80 справка Реши уравнение самостоятельно

x + y = 15 4. Катер проплыл 15 км вниз по течению реки за 1 ч и вернулся на ту же пристань, потратив на обратный путь 1,5 ч. Найти скорость катера относительно воды и скорость течения воды. 15 1,5 Пусть vсоб. = x Вопрос задачи поможет нам ввести х и у справка 15 10 , vтеч. = y x + y = x – y = + 2x = 25 x = 12,5 y = 2,5 Ответ: собственная скорость катера 12,5 км/ч, скорость течения 2,5 км/ч. 15 10

= b b(x–y) Разделим обе части на y(b–a) y a(x+y) Расстояние, например, разделим на скорость плотов (это скорость течения ) a(x+y) = b(x–y) ax+ay = bx–by ay+by = bx–ax y(a+b) x(b–a) = 5. Катер затрачивает на путь от А до В по течению реки ч, а на обратный путь часов. Сколько часов будут плыть от А до В плоты? Предполагается, что собственная скорость катера на всем пути от А до В и от В до А постоянна. x–y Пусть vсоб. = x , vтеч. = y a b Раскроем скобки Перегруппируем Ответим на вопрос задачи + a = a( Разделим каждое слагаемое на y Вынесем за скобки a +1) Выполним замену Упростим выражение в скобках a(x+y) справка *

6. Пловец плывет против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения еще минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. t S Просмотрев сюжет задачи, мы видим, что вид движения менялся. Это было движение в противоположных направлениях, а на последнем этапе – вдогонку. Поэтому нам необходимо рассмотреть несколько схем. *

6. Пловец плывет против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения еще минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. t S Пусть vтеч. = x – это также и скорость пустой лодки vсоб. = y – это собственная скорость пловца vпр. теч. = y–x – это скорость пловца против течения vпо. теч. = y+x – это скорость пловца по течению *

Найдем расстояние, на которое удалятся лодка и пловец за t мин 6. Пловец плывет против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения еще минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. t S vтеч. = x vсоб. = y vпр. теч. = y–x vпо. теч. = y+x x 1) tx проплывет лодка за t мин. 2) t(y–x) проплывет пловец за t мин. 4) (y+x) – x = y скорость движения вдогонку 5) ty : y = t произойдет вторая встреча 6) tx проплывет лодка до второй встречи tx tx 7) S=2tx, t(y–x) 3) t(y–x)+ tx = ty проплывут вместе за t мин. Далее вид движения меняется. Теперь это движение вдогонку. t *

7. От пристани по течению реки отправился плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки больше скорости плота на 12 км/ч? х +12 20 20 На Это условие поможет ввести х … 5ч 20 мин Составьте и решите уравнение самостоятельно

Задачи для самостоятельной работы. 1. Моторная лодка прошла путь от А до В по течению реки за 2,4 ч, а обратный путь за 4 ч. Найти скорость течения реки, если известно, что скорость лодки относительно воды 16 км/ч. 2. Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения равна 3 км/ч. 3. Моторная лодка и парусник, находясь на озере в 30 км друг от друга, движутся навстречу и встречаются через 1 ч. Если бы моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это потребовалось бы 3 ч 20 мин. Определить скорости лодки и парусника, полагая, что они постоянны и неизменны в обоих случаях.

Движение по ветру и против ветра. Над пунктом А вертолет был в 8ч 30 мин. Пролетев по прямой км, вертолет оказался над пунктом В. Продержавшись 5 мин в воздухе над пунктом B, вертолет пошел обратным курсом по то же трассе. К пункту А он вернулся в 10 ч 35 мин. От А к В он летел по ветру, а обратно против ветра. Скорость ветра все время была постоянной. Найти скорость ветра, если собственная скорость вертолета также все время постоянна и при безветрии равна км/ч. При каком соотношении между заданными величинами задача имеет решение? по ветру против ветра * Решите задачу самостоятельно S v

Краткое описание документа:

Разработка урока по теме «Решение задач на движение по реке» для обучающихся 8 класса, с использованием презентации. в ДАННОЙ РАЗРАБОТКЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ НА ДАННУЮ тему, представлен различный уровень данных задач, материал предоставлен очень наглядно и красочно. В разработке учитывается индивидуальный темп работы обучающихся.

Система тренировочных упражнений по теме «Решение задач на движение по течению и против течения» (8-9 класс)

Система тренировочных упражнений по теме «Решение задач на движение по течению и против течения» разработана для учащихся 8-х и 9-х классов в качестве повторения и закрепления знаний по указанной теме. Система тренировочных упражнений включает в себя 10 задач, решение которых поможет упорядочить, систематизировать и закрепить практические знания по указанной теме, полученные в ходе изучения теоретического материала.

Просмотр содержимого документа
«Система тренировочных упражнений по теме «Решение задач на движение по течению и против течения» (8-9 класс)»

Система тренировочных задач (для 8-9 классов).

Тема: «Движения тел по течению и против течения».

Моторная лодка прошла 21км против течения реки и 8км по течению, затратив на весь путь 2ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 1км.ч.

Катер проплыл 24км против течения реки и 27км по озеру, потратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2км.ч.

Лодка прошла 8км по течению реки и 6км против течения, затратив на весь путь 1ч. 12мин. Скорость течения реки составляет 3км.ч. Найдите скорость лодки по течению.

Пароход прошел 17км по течению реки на 2 ч быстрее, чем 75км против течения. Найдите скорость течения, если собственная скорость парохода равна 32км.ч.

Моторная лодка проплыла 48км по течению реки и возвратилась назад, затратив на обратный путь на 1ч. больше. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки равна 14км.ч.

Моторная лодка проплыла 9км по течению реки и 14 км против течения за то же время, какое необходимо ей, чтобы проплыть 24км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения составляет 3км.ч.

Лодка проплывает 9км по течению реки и 1км против течения за то же время, которое необходимо плоту, чтобы проплыть 4км по этой реке. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки составляет 8км.ч.

Расстояние между двумя пристанями по реке равно 60км. Катер проходит этот путь туда и обратно за 3ч 40мин. Определите скорость течения, если собственная скорость катера равна 33км.ч.

По течению реки от пристани отошел плот. Через 9ч от этой пристани в том же направлении отошел катер, который догнал плот на расстоянии 20км от пристани. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера составляет 18км.ч.

По течению реки от пристани отошел плот. Через 4ч от этой пристани в том же направлении отошла лодка, которая догнала плот на расстоянии 15км от пристани. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки составляет 12км.ч.

1 этап (составление математической модели) в задачах на движение

Мы уже знаем, что рациональные уравнения могут служить моделями реальных ситуаций. Но раньше эти ситуации сводились к линейным уравнениям. Сейчас мы рассмотрим ситуации, которые сводятся к решению квадратных уравнений.

Рассмотрим задачу на движение.  

Задача 1

Перегон в 60 км поезд должен был проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 минут, машинист вынужден был увеличить скорость прохождения перегона на 10 , чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные 5 минут. С какой скоростью должен был пройти поезд перегон по расписанию?

Решение:

Решение задачи сводится к нескольким этапам.       

1 этап – Составление математической модели

По расписанию: пусть  – скорость поезда по расписанию. Длина перегона: . Для равномерного прямолинейного движения верна формула:

Тогда время, за которое поезд должен был пройти перегон по расписанию, выражается следующим образом: .

Фактически: скорость поезда была увеличена, то есть была равна . Длина перегона осталась той же: .

Тогда время, за которое поезд реально проехал перегон, выражается следующим образом: .

Разность между временем по расписанию и фактическим временем и равна тем 5 минутам, которые простоял поезд на семафоре. Кроме того, важно помнить, что поскольку все величины в задаче измеряются в километрах и часах, то и минуты необходимо перевести в часы. Важно помнить, что . Получаем следующее уравнение:

2 этап (работа с математической моделью) в задачах на движение

2 этап – Работа с математической моделью

Решим полученное уравнение: . Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, а затем приведем их к общему знаменателю.

Умножим обе части уравнения на , получим:

Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

Выпишем коэффициенты первого уравнения: . Вычисляем дискриминант: .

Тогда корни уравнения будут следующими: . Оба этих числа удовлетворяют второму неравенству нашей системы.

3 этап (ответ на поставленный вопрос) в задачах на движение

3 этап – Ответ на вопрос задачи

Так как за  мы обозначали скорость, а скорость не может быть отрицательной, то единственным вариантом ответа остается 80 .

Ответ: .

Таблица для решения текстовых задач

Выполнив все три этапа, мы: получили математическую модель; решили полученное уравнение; отобрали корни, которые нам нужны.

Как видно из решения данной задачи, самый сложный этап – составление математической модели.

В этом может помочь следующая таблица (в нашей задаче 1 участник – поезд, но 2 случая: фактическое движение и движение по расписанию):

Данная таблица помогает осмыслить задачу и составить соответствующее уравнение.

Пример решения задачи на движение по реке

Рассмотрим еще один пример.

Задача 2

Пристани А и В расположены по реке, причем В на 80 км ниже по течению, чем А. Катер прошел путь из А в В и обратно за 8 часов 20 минут. За какое время катер проходит путь из А в В и за какое – из В в А, если его скорость в стоячей воде равна ?

Решение

Пусть  – скорость течения реки, тогда:

 – скорость по течению реки;

 – скорость против течения реки.

Путь, который проходит катер между пристанями, равен . То есть, .

Тогда время, которое затратит катер на движение по течению реки, равно:

Против течения:

Общее время вычисляется по формуле:

.

Получаем следующее уравнение:

Это уравнение легко решается (переносим все выражения в левую часть, приводим их к общему знаменателю):

Так как скорость течения не может быть отрицательной, то скорость течения равна .

Тогда время, которое катер потратил на движение по течению реки: .

А время, которое катер потратил на движение против течения реки: .

Составим таблицу для данной задачи:

С помощью этой таблицы также можно легко составить уравнение для решения данной задачи.

На этом уроке мы научились составлять математические модели для задач на движение.

На следующем уроке мы научимся моделировать и другие текстовые задачи.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Easyen.ru (Источник).
2. Mmmf.msu.ru (Источник).
3. Pedsovet.su.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Из пункта А вышел пешеход, а через 1 час 40 минут после этого в том же самом направлении выехал велосипедист, который догнал пешехода на расстоянии 12 км от пункта А. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если за 2 часа пешеход проходит на 1 км меньше, чем велосипедист проезжает за 1 час.
2. Велосипедист съездил из села на станцию и вернулся назад. На обратном пути он увеличил скорость на 1  в сравнении с движением на станцию и потратил на него на 8 минут меньше. С какой скоростью ехал велосипедист на станцию, если расстояние между селом и станцией 32 км?
3. Катер проплыл 9 км по течению реки и 1 км против течения за то же время, за какое плот проплывает 4 км по этой реке. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна ?

Тема урока: Решение задач на движение

Урок № 61   на   05.02

Тип урока: Урок систематизации и обобщения полученных знаний

Цель урока:

Деятельностная: научить детей структуризации имеющегося знания, развивать умение перехода от частного к общему и наоборот, научить видеть каждое новое знание, повторить изученный способ действий в рамках всей изученной программы.

Содержательная: научить обобщению, развивать умение строить теоретические предположения о дальнейшем развитии темы, научить видению нового знания в структуре общего курса, его связь с уже приобретенным опытом и его значение для последующего обучения

Планируемые результаты:

Предметные: формировать
умение решать текстовые задачи с помощью дробных рациональных уравнений

Вид урока: комбинированный урок

Формы работы учащихся: деловая игра, конкурс, викторина,
беседа

            Организация деятельности учащихся на уроке:

• самостоятельно выходят на проблему и решают её;
• самостоятельно определяют тему, цели урока;
• отвечают на вопросы;
• решают самостоятельно задачи;
• оценивают себя и друг друга;

Необходимое оборудование: доска, учебник «Алгебра. 8 класс». Ю.Н.Макарычев,
Н.Г.Миндюк, и др.

Ход урока

1.      Организационный момент

2.      Постановка целей, задач урока

3.      Повторение

4.      Решение
задач на движение

5.      Физкультминутка

6.      Решение
задач

7.      Подведение итогов урока

1.     
Организационный
момент

            Добрый
день, ребята! Прошу вас присесть!

 «Мне
приходится делить время между политикой и уравнением.

Однако
уравнение, по – моему, гораздо важнее.

Политика
существует только для данного момента,

а
уравнения будут существовать вечно».

                                            
Альберт Эйнштейн

Мы с вами умеем решать дробно-рациональные уравнения, а теперь,
как вы думаете, решением каких заданий мы будем заниматься?

2.     
Постановка
целей, задач урока

Целью
нашего урока будет:
научиться решать текстовые задачи с помощью дробных рациональных уравнений.
Желаю вам сегодня:

            1.Увеличить
объем своих знаний на уроке.

             2.Смело
высказывать свое мнение, приводить свои способы решения задач, сомневаться, и
даже ошибаться в чем-то.

             3.Сделать
себе установку: «Я все могу, все решу».

Но сначала, повторим всё, что мы знаем о дробно-рациональных
уравнениях

3.     
Повторение

Устная работа:

Вопросы:

—
Какие уравнения называются дробно-рациональными?

—
Какова последовательность решения дробно-рациональных уравнений?

—
Назовите дробно-рациональные уравнения:

                                                     

             

— Назовите
общий знаменатель дробей, входящих в уравнения:

                                                     

                                          

— Решите
уравнение (устно):

1
ряд                                                  2 ряд                                                  3
ряд

                                                                 

Ответ:
0; 2                                          Ответ: 1; — 1                                       Ответ:0.-4
– не явл. корнем

Очень
хорошо. Молодцы!

4.     
Решение
задач на движение

Мы с вами уже знакомы с
алгебраическим методом решения текстовых задач. Единственное отличие от ранее
решаемых задач состоит в том, что математической моделью будет являться дробное
рациональное уравнение.

О с н о в н ы е    э т а п ы решения текстовой
задачи алгебраическим методом:

1-й э т а п: Анализ условия задачи и его
схематическая запись.

2-й э т а п: Перевод задачи на математический язык
(построение математической модели: введение переменной и составление дробного
рационального уравнения).

3-й э т а п: Решение полученного уравнения.

4-й э т а п: Интерпретация полученного результата.

Первые два этапа являются для наиболее сложными,
поэтому на этом уроке основной целью является формирование умения составлять
дробное рациональное уравнение по условию задачи.

Задача №1: Из города
А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два
велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он
прибыл в город В, на 2 ч раньше. Определите скорость велосипедистов

Представим условие задачи в виде таблицы:

	u, км/ч	t, ч	S, км
1 велосипедист	х+3		120
2 велосипедист	х		120

Известно, что первый велосипедист
прибыл в город В, на 2 ч раньше, чем второй.

Составим уравнение:

            ОДЗ: х0, х-3        

                                                          

                                   

                                                                            

 — 15 км/ч – не имеет
физического смысла. Не является решением задачи.

Тогда, 12 км/ч – скорость
второго велосипедиста

12 + 3 = 15 км/ч –
скорость первого велосипедиста

Ответ: 12 км/ч; 15 км/ч.

Задача №2: Из
пунктов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Скорость
первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в пункт В на 1 ч
раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорости пешеходов, если расстояние между
пунктами А и В равно 20 км.

Представим условие задачи в виде таблицы:

	u, км/ч	t, ч	S, км
1 пешеход	х+1		20
2 пешеход	х		20

По условию задачи время движения
первого пешехода на 1 ч меньше времени движения второго.

Составим уравнение:

                                            
ОДЗ: х0; х-1;

     

Число -5 не имеет физического
смысла. Не является решением задачи

Тогда 4 км/ч – скорость
второго пешехода

4 + 1 = 5 км/ч – скорость
первого пешехода

Ответ: 5 км/ч; 4 км/ч

5.     
Физкультминутка

6.     
Решение
задач

Задача №3: Катер,
собственная скорость которого 8 км/ч, прошёл по реке расстояние, равное 15 км,
по течению и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки,
если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Представим условие задачи в виде таблицы:

	u, км/ч	t, ч	S, км
Против течения	8 — х		15
По течению	8 + х		15

Известно, что время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.      Составим
и решим уравнение:

                                       ОДЗ: х8; х-8;

Число -2 не имеет физического смысла. Не является решением задачи.  Тогда 2 км/ч – скорость течения реки Ответ: 2 км/ч

7.     
Подведение
итогов урока

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

–
Каковы этапы решения задач на составление дробного рационального уравнения.

– Каков алгоритм решения дробного
рационального уравнения?

– Как проводится интерпретация полученных
решений?
    – В каких случаях полученные корни уравнения могут не удовлетворять условию
задачи?

Домашнее задание:  п.26 знать алгоритм решения задач; Решить:№ 618, №
620, 629

Решение многих задач приводит к дробным рациональным уравнениям. На этом занятии мы рассмотрим задачи на движение и на движение по реке. В этих задачах чаще всего известно расстояние и требуется найти скорость. Скорость в таких случаях принимают за х и выражают время движения. По условию задачи одно и тоже время можно выразить двумя способами. Далее составляют уравнение. Решение уравнения чаще всего приводит к двум ответам, один из которых обычно не подходит по смыслу задачи.

Рассмотрим несколько таких задач.

Задача 1	Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов. Пусть х км/ч — скорость первого велосипедиста, тогда х-3 км/ч — скорость второго. Каждый из них проехал расстояние, равное 120 км, поэтому ч — время движения первого велосипедиста и ч — время движения второго велосипедиста. Зная, что первый велосипедист затратил на дорогу на 2 часа меньше, чем второй, составим уравнение: Умножим обе части уравнения на общий знаменатель входящих в него дробей х(х-3) и решим полученную систему: По смыслу задачи скорость может быть выражена только положительным числом. Значит скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч. Найдем скорость второго велосипедиста: 15- 3=12 км/ч. Ответ: 15 км/ч, 12 км/ч.
Задача 2	Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от пункта А. Найдите скорость каждого, если известно, что пешеход, вышедший из А, шел со скоростью, на 1 км/ч большей, чем второй пешеход, и сделал в пути получасовую остановку. Cначала величины, данные в минутах, выразим в часах: ; полчаса = 0,5 ч. Пусть х км/ч — скорость пешехода, вышедшего из А, тогда х-1 км/ч — скорость пешехода из В. Так как пешеходы встретились в 9 км от пункта А, то пешеход из А прошел до встречи 9 км, а пешеход из В — 10 км. Время движения первого пешехода (не считая остановки) ч. Время движения второго ч. Зная, что пешеходы вышли одновременно, и что пешеход из А сделал в пути остановку на 0,5 ч, составим уравнение: . Умножим обе части уравнения на общий знаменатель входящих в него дробей 2х(х-1) и решим полученную систему: По смыслу задачи скорость может быть выражена только положительным числом. Значит, скорость пешехода из А равна 6 км/ч. Найдем скорость второго пешехода: 6-1=5 км/ч. Ответ: 6 км/ч, 5 км/ч.
Задача 3	Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В середине пути он был задержан на 10 мин, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в пункт В вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину пути? Пусть х км/ч — скорость автобуса в первой половине пути, тогда х+20 км/ч — скорость автобуса во второй половине пути. Так как автобус был задержан в середине пути, то до остановки он проехал 40 км и 40 км после остановки. Выразим время, затраченное на каждый из этих отрезков пути: ч — время в пути до остановки; — время остановки; ч — время в пути после остановки. ч — время, за которое автобус расчитывал проехать все расстояние. Зная, что автобус прибыл в пункт В вовремя, составим уравнение: . Умножим обе части уравнения на общий знаменатель входящих в него дробей 6х(х+20) и решим полученную систему: По смыслу задачи скорость может быть выражена только положительным числом. Значит, скорость автобуса на первом участке пути равна 60 км/ч. Ответ: 60 км/ч.

Задача 4

Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км, по течению и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч. Обозначим за х км/ч — скорость течения реки. Тогда 8+х км/ч — скорость катера по течению, и 8-х км/ч — скорость катера против течения. Выразим время, затраченное катером на путь вверх и вниз по реке: ч — время движения вверх по реке. ч — время движения вниз по реке. Зная, что на весь путь катер затратил 4 ч, составим уравнение: . Решим это уравнение: Cкорость течения реки может быть увыражена только положительным числом. Ответ: 4 км/ч.

Последнее изменение: Понедельник, 7 Ноябрь 2016, 16:17

Задачи на движение — один из самых распространенных видов задач алгебры. Простейшие задачи на движение изучаются еще в начальной школе. В 6-7 классах решение задач на движение сводится к линейному уравнению либо системе линейных уравнений. Здесь мы рассмотрим задачи на движение, которые можно решить с помощью дробного рационального уравнения. При решении задач на движение используем формулу пути:

   

где s — путь, v — скорость, t — время. Как правило, в задачах на движение в 8 классе нужно выразить время через путь и скорость:

   

Чаще всего путь измеряется в километрах, скорость — в километрах в час, время — в часах. Время, заданное в минутах, нужно перевести в часы. Так как в 1 часе 60 минут, то 1 минута — это одна шестидесятая часа, а t минут — t шестидесятых часа:

1 (мин)=1/60(часа). t (мин)=t/60 (часа).

1) Из пункта А в пункт В автомобиль ехал по шоссе протяженностью 210 километров, а возвращался назад по грунтовой дороге протяженность. 160 километров, затратив на обратный путь на 1 час больше, чем на путь из А в В. Найти, с какой скоростью автомобиль двигался по грунтовой дороге, если она на 30 километров в час меньше его скорости по шоссе.

Решение:

Пусть х км/ч — скорость автомобиля по грунтовой дороге, тогда его скорость по шоссе равна (х+30) км/ч.

Составим и решим уравнение:

   

   

   

   

   

   

   

Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательным числом. Значит, автомобиль по грунтовой дороге двигался со скоростью 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

2) Первые 20 км пути велосипедист двигался со скоростью, на 5 км/ч большей скорости, с которой он ехал последние 20 км. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если на весь путь он затратил 3 часа 20 минут?

Решение:

Пусть II половину пути велосипедист двигался со скоростью х км/ч, тогда его скорость на I половине пути была (х+5)км/ч.

3 часа 20 минут = 3 20/60 =3 1/3 = 10/3 часа.

Составим и решим уравнение:

   

Упростим уравнение, разделив почленно обе его части на 10:

   

   

   

   

   

   

   

Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательным числом. Значит, II половину пути велосипедист проехал со скоростью 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.