Как найти скорость равномерного движения по окружности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Связь со вторым законом Ньютона

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Движение по циклоиде*

Источник

Равномерное движение по окружности.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: движение по окружности с постоянной по модулю скоростью, центростремительное ускорение.

Равномерное движение по окружности — это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса . Скорость точки постоянна по модулю и равна . Скорость называется линейной скоростью точки.

Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода имеем очевидную формулу:

$T=frac{displaystyle 2pi r}{displaystyle v}$ . (1)

Частота обращения — это величина, обратная периоду:

$nu =frac{displaystyle 1}{displaystyle T}$ .

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, T=0,1 c . Это означает, что за время 0,1 c точка совершает один полный
оборот. Частота при этом получается равна: об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

Угловая скорость.

Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1).

Рис. 1. Равномерное движение по окружности

Пусть $M_{0}$ — начальное положение точки; иными словами, при t = 0 точка имела координаты (r, 0) . Пусть за время точка повернулась на угол varphi и заняла положение .

Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

$omega =frac{displaystyle varphi }{displaystyle t}$ . (2)

Угол varphi , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол 2pi . Поэтому

$omega =frac{displaystyle 2pi }{displaystyle t}$ . (3)

Сопоставляя формулы (1) и (3), получаем связь линейной и угловой скоростей:

. (4)

Закон движения.

Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1, что

Но из формулы (2) имеем: . Следовательно,

. (5)

Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

Центростремительное ускорение.

Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5):

$v_{displaystyle x}=dot{x}=-omega r sin omega t, v_{displaystyle y}=dot{y}=omega r cosomega t,$

$a_{x}=dot{v_{x}}=-omega ^{2}rcosomega t, a_{y}=dot{v}y=-omega ^{2}rsinomega t.$

С учётом формул (5) имеем:

$a_{x}=-omega^{2}x, a_{y}=-omega^{2}y.$ (6)

Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

$vec{a}=-omega^{2}vec{r},$ (7)

где vec{r} — радиус-вектор вращающейся точки.

Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

$a=omega^{2}r.$ (8)

Выразим угловую скорость из (4)

$omega =frac{displaystyle v}{displaystyle r}$

и подставим в (8). Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:

$a=frac{displaystyle v^{2}}{displaystyle r}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Равномерное движение по окружности.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Равномерное движение тела по окружности

1. Движением тела по окружности называют движение, траекторией которого является окружность. По окружности движутся, например, конец стрелки часов, точки лопасти вращающейся турбины, вращающегося вала двигателя и др.

При движении по окружности направление скорости непрерывно изменяется. При этом модуль скорости тела может изменяться, а может оставаться неизменным. Движение, при котором изменяется только направление скорости, а её модуль сохраняется постоянным, называется равномерным движением тела по окружности. Под телом в данном случае имеют в виду материальную точку.

2. Движение тела по окружности характеризуется определёнными величинами. К ним относятся, прежде всего, период и частота обращения. Период обращения тела по окружности ( T ) — время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Единица периода — ( [,T,] ) = 1 с.

Частота обращения ( (n) ) — число полных оборотов тела за одну секунду: ( n=N/t ). Единица частоты обращения — ( [,n,] ) = 1 с^-1 = 1 Гц (герц). Один герц — это такая частота, при которой тело совершает один оборот за одну секунду.

Связь между частотой и периодом обращения выражается формулой: ( n=1/T ).

Пусть некоторое тело, движущееся по окружности, за время ( t ) переместилось из точки А в точку В. Радиус, соединяющий центр окружности с точкой А, называют радиусом-вектором. При перемещении тела из точки А в точку В радиус-вектор повернётся на угол ( varphi ).

Быстроту обращения тела характеризуют угловая и линейная скорости.

Угловая скорость ( omega ) — физическая величина, равная отношению угла поворота ( varphi ) радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел: ( omega=varphi/t ). Единица угловой скорости — радиан в секунду, т.е. ( [,omega,] ) = 1 рад/с. За время, равное периоду обращения, угол поворота радиуса-вектора равен ( 2pi ). Поэтому ( omega=2pi/T ).

Линейная скорость тела ( v ) — скорость, с которой тело движется вдоль траектории. Линейная скорость при равномерном движении по окружности постоянна по модулю, меняется по направлению и направлена по касательной к траектории.

Линейная скорость равна отношению пути, пройденному телом вдоль траектории, ко времени, за которое этот путь пройден: ( vec{v}=l/t ). За один оборот точка проходит путь, равный длине окружности. Поэтому ( vec{v}=2pi!R/T ). Связь между линейной и угловой скоростью выражается формулой: ( v=omega R ).

Из этого равенства следует, что чем дальше от центра окружности расположена точка вращающегося тела, тем больше её линейная скорость.

4. Ускорение тела равно отношению изменения его скорости ко времени, за которое оно произошло. При движении тела по окружности изменяется направление скорости, следовательно, разность скоростей не равна нулю, т.е. тело движется с ускорением. Оно определяется по формуле: ( vec{a}=frac{Deltavec{v}}{t} ) и направлено так же, как вектор изменения скорости. Это ускорение называется центростремительным ускорением.

Центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности — физическая величина, равная отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности: ( a=frac{v^2}{R} ). Так как ( v=omega R ), то ( a=omega^2R ).

При движении тела по окружности его центростремительное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

Содержание

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
- Часть 1
- Часть 2
Ответы

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. При равномерном движении тела по окружности

1) изменяется только модуль его скорости
2) изменяется только направление его скорости
3) изменяются и модуль, и направление его скорости
4) не изменяется ни модуль, ни направление его скорости

2. Линейная скорость точки 1, находящейся на расстоянии ( R_1 ) от центра вращающегося колеса, равна ( v_1 ). Чему равна скорость ( v_2 ) точки 2, находящейся от центра на расстоянии ( R_2=4R_1 )?

1) ( v_2=v_1 )
2) ( v_2=2v_1 )
3) ( v_2=0,25v_1 )
4) ( v_2=4v_1 )

3. Период обращения точки по окружности можно вычислить по формуле:

1) ( T=2pi!Rv )
2) ( T=2pi!R/v )
3) ( T=2pi v )
4) ( T=2pi/v )

4. Угловая скорость вращения колеса автомобиля вычисляется по формуле:

1) ( omega=a^2R )
2) ( omega=vR^2 )
3) ( omega=vR )
4) ( omega=v/R )

5. Угловая скорость вращения колеса велосипеда увеличилась в 2 раза. Как изменилась линейная скорость точек обода колеса?

1) увеличилась в 2 раза
2) уменьшилась в 2 раза
3) увеличилась в 4 раза
4) не изменилась

6. Линейная скорость точек лопасти винта вертолёта уменьшилась в 4 раза. Как изменилось их центростремительное ускорение?

1) не изменилось
2) уменьшилось в 16 раз
3) уменьшилось в 4 раза
4) уменьшилось в 2 раза

7. Радиус движения тела по окружности увеличили в 3 раза, не меняя его линейную скорость. Как изменилось центростремительное ускорение тела?

1) увеличилось в 9 раз
2) уменьшилось в 9 раз
3) уменьшилось в 3 раза
4) увеличилось в 3 раза

8. Чему равен период обращения коленчатого вала двигателя, если за 3 мин он совершил 600 000 оборотов?

1) 200 000 с
2) 3300 с
3) 3·10^-4 с
4) 5·10^-6 с

9. Чему равна частота вращения точки обода колеса, если период обращения составляет 0,05 с?

1) 0,05 Гц
2) 2 Гц
3) 20 Гц
4) 200 Гц

10. Линейная скорость точки обода велосипедного колеса радиусом 35 см равна 5 м/с. Чему равен период обращения колеса?

1) 14 с
2) 7 с
3) 0,07 с
4) 0,44 с

11. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и формулами для их вычисления в правом столбце. В таблице под номером физической
величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранной вами формулы из правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
А) линейная скорость
Б) угловая скорость
В) частота обращения

ФОРМУЛА
1) ( 1/T )
2) ( v^2/R )
3) ( v/R )
4) ( omega R )
5) ( 1/n )

12. Период обращения колеса увеличился. Как изменились угловая и линейная скорости точки обода колеса и её центростремительное ускорение. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и характером их изменения в правом столбце.
В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A) угловая скорость
Б) линейная скорость
B) центростремительное ускорение

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась

Часть 2

13. Какой путь пройдёт точка обода колеса за 10 с, если частота обращения колеса составляет 8 Гц, а радиус колеса 5 м?

Ответы

Равномерное движение тела по окружности

3.2 (64%) 50 votes

Источник

Равномерное движение по окружности:

На предыдущих уроках вы ознакомились с различными видами прямолинейного движения, с величинами, характеризующими эти движения, и определили, как изменяются эти величины со временем.

Наиболее простой вид криволинейного движения — это широко распространенное в природе и технике движение по окружности. Вращение точек поверхности Земли вокруг своей оси, точек часовых стрелок, точек автомобильных колес и др. является движением по окружности. Теоретическая и практическая важность изучения движения по окружности заключается в том, что произвольную криволинейную траекторию можно представить как сумму дуг окружностей разных радиусов (а). Самый простой вид движения по окружности — это равномерное движение.

• Равномерное движение по окружности — это движение, при котором модуль скорости материальной точки в каждой точке этой окружности остается неизменным. Такое движение характеризуется следующими величинами:

Период обращения — это время, затраченное на один полный оборот материальной точки по окружности:

Где — период обращения, — число полных оборотов материальной точки за время За единицу периода обращения в СИ принята секунда:

Частота обращения — это число оборотов материальной точки по окружности, совершаемых за единицу времени:

Где — частота обращения (иногда обозначается буквой За единицу частоты обращения в СИ принят 1 герц — частота такого обращения, когда тело за секунду совершает один полный оборот:

Период и частота обращения обратно пропорциональны друг другу:

Это означает, что во сколько раз уменьшится частота обращения, во столько же раз увеличится период обращения, и наоборот.

Угол поворота — это угол, на который поворачивается радиус-вектор при движении материальной точки по окружности. Угол поворота измеряется отношением длины дуги окружности между начальным и конечным радиус-векторами к радиусу окружности (b):

Где — угол поворота, — длина дуги, соответствующая углу поворота, — радиус окружности. Углы поворота радиус-вектора материальной точки, движущейся равномерно по окружности, за равные промежутки времени одинаковы.

Угол поворота является скалярной величиной, единица его измерения в СИ — радиан:

• 1 рад — это угол поворота радиус-вектора, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности

Угловая скорость — это физическая величина, измеряемая отношением угла поворота к промежутку времени, за которое этот поворот совершен:

Угловая скорость материальной точки, равномерно движущейся по окружности, с течением времени остается неизменной Единица угловой скорости в СИ — радиан в секунду:

За единицу угловой скорости принята угловая скорость такого равномерного движения по окружности, при котором за 1 секунду радиус-вектор материальной точки поворачивается на угол в 1 радиан.

Материальная точка, движущаяся равномерно по окружности, за время, равное периоду обращения совершает один полный оборот, за это время радиус-вектор поворачивается на угол Поэтому при равномерном движении по окружности между угловой скоростью и периодом обращения (частотой обращения) имеется связь:

Линейная скорость. Скорость движения материальной точки по окружности называется линейной скоростью. Линейная скорость материальной точки, равномерно движущейся по окружности, оставаясь постоянной по модулю непрерывно изменяется по направлению и в любой точке направлена по касательной к траектории (с).

Численное значение линейной скорости при равномерном движении по окружности равно отношению пройденного пути ко времени, затраченному на его прохождение:

Материальная точка, двигаясь равномерно по окружности, за время, равное периоду обращения проходит путь, равный длине круга: Приняв это во внимание в формуле линейной скорости, получим выражение, связывающее линейную скорость с угловой скоростью:

Центростремительное ускорение:

Быстрота изменения направления линейной скорости при равномерном движении по окружности характеризуется физической величиной называемой центростремительным, или нормальным, ускорением. Вектор центростремительного, или нормального, ускорения в любой точке траектории направлен по радиусу к центру окружности (см.: с). Модуль центростремительного ускорения материальной точки при равномерном движении по окружности равен отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности:

Взаимная передача вращательного и поступательного движения
Движение горизонтально брошенного тела
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Принцип относительности Галилея
Колебательный контур в физике
Исследовательские методы в физике
Вертикальное движение тел в физик
Неравномерное движение по окружности

Источник

Равномерное движение по окружности

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 261.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 261.

Равномерное движение по окружности – это достаточно распространенный вид движения. Например, все точки Земного шара вращаются вокруг земной оси. Рассмотрим особенности этого движения, выведем формулы равномерного движения по окружности.

Движение по окружности

Любое движение материальной точки состоит в том, что она меняет свое положение с течением времени. Если траектория движения представляет собой окружность, то говорят, что материальная точка двигается по окружности с некоторым радиусом.

Рис. 1. Примеры движения по окружности в Природе и технике.

Если при этом за равные промежутки времени точка проходит одинаковый путь – то говорят о равномерном движении по окружности.

Для равномерного движения по окружности сохраняются все закономерности, характеристики и определения, существующие для прямолинейного движения. В частности, средняя и мгновенная скорость такого движения одинаковы и равны отношению пройденного пути ко времени.

$$v_{ср}=v_{мгнов}={S_{общ}over t_{общ}}$$

Однако, для окружности надо учесть, что после полного оборота точка оказывается в начальной позиции. А поэтому можно ввести понятие периода вращения $T$ (сек) и частоты $nu$ (об/сек). Период вращения – это длительность одного оборота, он равен отношению общего количества оборотов $ N_{общ}$ к общему времени вращения $ t_{общ}$. Частота вращения – это количество оборотов в единицу времени, она обратна периоду:

$$T={1over nu}={t_{общ}over N_{общ}}$$

Зная период или частоту вращения, можно найти линейную скорость:

$$v={2pi Rover T}={2pi Rnu}$$

Нередко в задачах требуется знать не линейную, а угловую скорость, то есть угол, который проходит точка за единицу времени. Эта скорость обозначается греческой буквой $omega$ (омега) и измеряется в радианах в секунду. Поскольку окружность содержит $2pi$ радиан, то угловая скорость равна:

$$omega={2pi over T}={2pi nu}$$

Центростремительное ускорение

Ускорение – это быстрота изменения скорости. Оно показывает, насколько быстро меняется скорость материальной точки, и в системе СИ измеряется в метрах в секунду за секунду (или в метрах в секунду в квадрате).

Казалось бы, при равномерном движении скорость точки постоянна, а значит, ускорение должно быть равно нулю. Однако, если для движения по прямой это верно, то для движения по окружности это не так.

Дело в том, что скорость – это векторная величина. Она имеет не только модуль, но и направление. Равномерное движение по окружности означает, что модуль скорости постоянен. Направление же скорости является касательной к траектории, а поскольку траектория представляет собой окружность, то и направление, по мере вращения, постоянно меняется.

Таким образом, равномерное движение по окружности – это движение с постоянным ускорением, но ускорение меняет не модуль скорости, а ее направление.

Ускорение при равномерном движении по окружности всегда направлено к центру вращения, перпендикулярно вектору скорости, и поэтому называется центростремительным.

$$a_ц= omega^2 R$$

Рис. 2. Центростремительное ускорение.

Реальность центростремительного ускорения можно ощутить в транспорте на крутых поворотах. Более того, это ускорение может превысить ускорение свободного падения, и не дать телам падать, что происходит, например, на известном аттракционе «Сюрприз», когда вращающаяся площадка поднимается почти вертикально, но люди не падают с аттракциона в результате того, что центростремительное ускорение по модулю больше ускорения свободного падения.

Рис. 3. Аттракцион карусель Сюрприз.

Что мы узнали?

При равномерном движении по окружности мгновенная скорость точки имеет постоянный модуль, а направление все время меняется. Поэтому равномерное движение по окружности – это движение с ускорением, которое называется центростремительным.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Лиза Бревенникова

8/10

Оценка доклада

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 261.

А какая ваша оценка?

Источник