Как найти скорость шара до соударения

Удар(илисоударение)—это столкновение двух
или более тел, при котором взаимодействие
длится очень короткое время. Помимо
ударов в прямом смысле этого слова
(столкновения атомов или биллиардных
шаров) сюда можно отнести и такие, как
удар человека о землю при прыжке с
трамвая и т. д. Силы взаимодействия между
сталкивающимися телами(ударныеилимгновенные силы)столь велики,
что внешними силами, действующими на
них, можно пренебречь. Это позволяет
систему тел в процес­се их соударения
приближенно рассматривать как замкнутую
систему и применять к ней законы
сохранения.

Тела во время удара
претерпевают деформацию. Сущность удара
заключается в том, что кинетическая
энергия относительного движения
соударяющихся тел на короткое время
преобразуется в энергию упругой
деформации. Во время удара имеет место
перераспределение энергии между
соударяющимися телами. Наблюдения
пока­зывают, что относительная скорость
тел после удара не достигает своего
прежнего значения. Это объясняется тем,
что нет идеально упругих тел и идеально
гладких поверхностей.

Отношение нормальных
составляющих относительной скорости
тел после и да удара называется
коэффициентом
восстановления
:

Если для сталкивающихся
тел =0,
то такие тела называются абсолютно
неупругими,
если =1
— абсолютно
упругими. На
практике для всех тел 0 < 
< 1 (например, для стальных шаров 0,56,
для шаров из слоновой кости 0,89,
для свинца 0).
Однако в некоторых случаях тела
можно с большой степенью точности
рассматривать либо как абсолютно
упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая
через точку соприкосновения тел и
нормальная к поверхности их соприкосновения,
называется линией удара.Удар
называется центральным,если тела
до удара движутся вдоль прямой, проходящей
через их центры масс.

Линия удара — общая
нормаль, проведённая к поверхностям
двух соударяющихся тел в месте их
соприкосновения при ударе.

Ударназываетсяпрямым, если скорости центров инерции
сталкивающихся тел перед ударом
направлены параллельно линии удара.

В противном случае,
удар называется косым.

Для абсолютно
упругого удара выполняются закон
сохранения импульса и закон сохранения
кинетической энергии.

Обозначим скорости
шаров массами т₁
и m₂
до удара через v₁
и v₂,
после удара—через

и
(рис. 18). В случае прямого центрального
удара векторы скоростей шаров до и после
удара лежат на прямой линии, соединяющей
их центры. Проекции векторов скорости
на эту линию равны модулям скоростей.
Их направления учтем знаками: положительное
значение припишем движению вправо,
отрицатель-нос — движению влево.

При указанных
допущениях законы сохранения имеют вид

(15.1)

(15.2)

Произведя
соответствующие преобразования в
выражениях (15.1) и (15.2), получим

(15.3)

(15.4)

откуда

(15.5)

Решая уравнения
(15.3) и (15.5), находим

(15.6)

13. Центральный удар абсолютно неупругих шаров. Расчет скоростей шаров после соударения. Соударение 2х шаров с резко отличающимися массами.

Предположим, что
шары образуют замкнутую систему.
Рассмотрим теперь абсолютно неупругий
удар.

Удар двух тел
называется абсолютно неупругим,
если после удара оба тела движутся как
одно единое целое.

Абсолютно неупругий
удар характеризуется тем, что потенциальной
энергии деформации не возникает:
кинетическая энергия тел полностью или
частично превращается во внутреннюю
энергию. После такого удара столкнувшиеся
тела соединяются воедино и либо движутся
с одинаковой скоростью, либо покоятся.
При абсолютно неупругом ударе выполня­ется
лишь закон сохранения импульса, закон
же сохранения механиче­ской энергии
не соблюдается: имеет место закон
сохранения суммарной энергии
механической и внутренней.

Начальные скорости
шаров: v1 иv2
, а их массы:m₁иm₂; конечная скорость шаров v. При соударении выполняется
закон сохранения импульса:.

Откуда
.

Как и следовало
ожидать, соединившиеся шары после
соударения про­должают двигаться со
скоростью центра масс системы до
соударения. Энергия, перешедшая при
этом во внутреннюю энергию шаров, равна
разности кинетических энергий до и
после соударения:
.

Начальная кинетическая
энергия системы:
.Определим долю начальной кинетической
энергии ушедшей во внутреннюю энергию:

.

Если 2-ой шар до
соударения покоился, то.

Абсолютно неупругий
удар используют в технике либо для
изменения формы тела: ковка, штамповка,
клёпка и т.д., либо для перемещения тела
в среде с большим сопротивлением:
забивание гвоздей, свай и т.п. В 1-ом
случае, необходимо, чтобы большая часть
начальной кинетической энергии перешла
во внутреннюю энергию (деформацию),т.е.

,
что означает, что масса отковываемого
изделия и наковальни должны быть много
больше массы молота. Во 2-ом случае,
наоборот, необходимо, чтобы большая
часть начальной кинетической энергии
перешла в кинетическую энергию забиваемого
тела, т.е.

,
что означает, что масса молота должна
быть много больше массы забиваемого
тела.

Абсолютно неупругий
удар — пример того, как происходит
«потеря» механической энергии под
действием диссипативных сил.

 Выведем
уравнение динамики вращательного
движения тела. Из выражений (4.1), (4.2) и
(4.3) следует, что скорость изменения
момента импульса i-й
материальной точки определяется
следующим
образом:

                                          (4.6)

      Сложим
почленно уравнения (4.6), записанные для
каждой из материальных точек
тела:(4.7)

      Векторная
сумма моментов M_i всех
внешних сил, приложенных к телу,
называетсярезультирующим,
или главным,
моментом M внешних
сил относительно точки О:

      Векторная
сумма моментов импульса L_i всех
материальных точек тела называется моментом
импульса L тела относительно
точки О:

      Так
как производная от суммы равна сумме
производных от всех слагаемых, то

      Наконец,
векторная сумма моментов относительно
точки О всех внутренних сил F_ikвзаимодействия
между точками тела равна нулю, т.е.

так
как по третьему закону Ньютона
силы F_ik и F_ki численно
равны, имеют общую линию действия, но
направлены в противоположные стороны
(рис. 4.4). Поэтому их моменты M_ik =
[r_i,
F_ik]
и M_ki =
[r_k,
F_ki]
относительно точки О численно равны и
противоположны по направлению (на рис.
4.4 точки m_i, m_k и
О лежат в горизонтальной плоскости, а
векторы M_ik и M_kiперпендикулярны
этой плоскости). Действительно, r_k =
r_i +
r_ki,
где r_ki —
вектор, проведенный из точки m_i в
точку m_k.
Поэтому M_ki =
[r_k,
F_ki]
+ [r_ki,
F_ki]
= -[r_i,
F_ik]
= —M_ik,
так как векторное произведение
векторов r_ki и F_ki,
направленных вдоль одной прямой, равно
нулю.       На основании
изложенного уравнение (4.7) можно записать
в следующем
виде:

                                               (4.8)

      Таким
образом, скорость изменения момента
импульса тела, вращающегося вокруг
неподвижной точки, равна результирующему
моменту относительно этой точки всех
внешних сил, приложенных к
телу.
      Полученный
результат называется основным
законом динамики вращательного движения
тела, закрепленного в одной неподвижной
точке.
Момент импульса является основной
динамической характеристикой твердого
тела, вращающегося вокруг неподвижной
точки.

Пусть твердое тело
вращается относительно оси под действием
нескольких сил с суммарным моментом М
относительно той же оси. Тогда работа
этих сил приводит к изменению кинетической
энергии этого тела.

,
,,

,
,

,,

,

,

,

—
основное уравнение динамики вращательного
движения.

Момент силы
относительно оси — проекция
на эту ось вектора момента силы
относительно любой точки, выбранной на
данной оси.

Элементарная
работа, совершаемая моментом силы, при
вращательном движении относительно
неподвижной оси вычисляется по формуле:

(*).

Полная работа

Если
,
то

Решение задачи №25 «Закон сохранения импульса»

1) Шары мас­са­ми 6 и 4 кг, дви­жу­щи­е­ся навстречу друг другу со ско­ро­стью 2 м/с каж­дый относительно Земли, соударяются, после чего дви­жут­ся вместе. Определите, какое ко­ли­че­ство теплоты вы­де­лит­ся в ре­зуль­та­те соударения.

2)Шары массами 6 и 4 кг, движущиеся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями, соударяются, после чего движутся вместе. В результате соударения выделилось 19,2 Дж энергии. Определите, с какой по модулю скоростью относительно Земли двигались шары до соударения?

6) Конькобежец, стоя на конь­ках на льду, бро­са­ет в го­ри­зон­таль­ном на­прав­ле­нии пред­мет мас­сой 2 кг со ско­ро­стью 15 м/с от­но­си­тель­но льда и от­ка­ты­ва­ет­ся в об­рат­ном на­прав­ле­нии на 40 см. Най­ди­те массу конькобежца, если ко­эф­фи­ци­ент тре­ния конь­ков о лёд 0,02.

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.

С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных частиц).

Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.

В механике часто используются две модели ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).

Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках (рис. 1.21.1). Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью  попадает в ящик и застревает в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули.

Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через  Тогда по закону сохранения импульса

При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:

Отношение M / (M + m) – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы:

Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к любому неупругому соударению двух тел с разными массами.

При m << M

почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При m = M

во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы (m >> М) отношение

Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии:

где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует:

Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.

Рисунок 1.21.1. Баллистический маятник

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.

При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1.21.2).

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.

Рисунок 1.21.2. Абсолютно упругий центральный удар шаров

В общем случае массы m₁ и m₂ соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии

Здесь υ₁ – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ₂ = 0, u₁ и u₂ – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде:

Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости u₁ и u₂ шаров после столкновения:

В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m₁ = m₂), первый шар после соударения останавливается (u₁ = 0), а второй движется со скоростью u₂ = υ₁, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).

Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ₂ ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ₂ относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость υ₁‘ = υ₁ – υ₂. Определив по приведенным выше формулам скорости u₁ и u₂ шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе.

Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.

Модель. Упругие и неупругие соударения.

Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой.

Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударение двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров (рис. 1.21.3).

Рисунок 1.21.3. Нецентральное упругое соударение шаров одинаковой массы. d – прицельное расстояние

После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу. Для определения скоростей  и  после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние d (рис. 1.21.3), т. е. расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости  налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей  и  шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m₁ = m₂ = m эти законы принимают вид:

Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей ,  и  образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный. Угол между катетами  и  равен 90°.

Модель. Соударения упругих шаров.

Упругое соударение

Соударение — это столкновение двух тел.
При соприкосновении тела обмениваются энергией и импульсом.
После соударения они двигаются со скоростями, которые отличаются по направлению и величине от их скоростей до столкновения.

При лобовом центральном соударении центры масс обоих тел двигаются вдоль одной линии.
Силы взаимодействия, возникающие при соударении, параллельны направлению движения.
Если применить к такой системе двух тел закон сохранения импульса, то полный импульс системы будет равен алгебраической сумме импульсов обоих тел.

При упругом соударении на протяжении кратковременного соприкосновения тела двигаются с общей скоростью,
затем они разлетаются и продолжают двигаться с разными скоростями.

Если

то из закона сохранения импульса следует

[ m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 u`_1 + m_2 u`_2 ]

или

[ m_1 (u_1 — u`_1) = m_2 (u`_2 — u_2) ]

Из закона сохранения энергии получаем

[ frac{m_1 u_1 ^2}{2} + frac{m_2 u_2 ^2}{2} = frac{m_1 u`_1 ^2}{2} + frac{m_2 u`_2 ^2}{2} ]

или

[ m_1 (u_1 ^2 — u`_1 ^2) = m_2 (u`_2 ^2 — u_2 ^2) ]

подставив формулу разность квадратов получим

[ m_1 (u_1 — u`_1)(u_1 + u`_1) = m_2 (u`_2 — u_2)(u`_2 + u_2) ]

воспользовавшись законом сохранения импульса, находим

[ u_1 + u`_1 = u`_2 + u_2 ]

Сумма скоростей до и после соударения одинакова при любом соударении тел.

Из формулы (6) следует

[ u`_2 = u`_1 + u_1 — u_2 ]

[ u`_1 = u`_2 + u_2 — u_1 ]

Подставив эти выражения в видоизмененный закон сохранения импульса, получим

[ m_1 (u_1 — u`_1) = m_2 (u`_1 + u_1 — u_2 — u`_2) ]

[ m_1 (u_1 — u_2 — u`_2 + u_1) = m_2 (u`_2 — u_2) ]

откуда, разрешив относительно u`<sub>1</sub> и u`₂ найдем

[ u`_1 = frac{ (m_1 — m_2) u_1 + 2 m_2 u_2 }{ m_1 + m_2 } ]

[ u`_2 = frac{ (m_2 — m_1) u_2 + 2 m_1 u_1 }{ m_1 + m_2 } ]

Упругое соударение, вычислить скорости тел после упругого соударения

Упругое соударение	стр. 477

Содержание:

Столкновения:

Наиболее общим явлением, наблюдаемым в природе, является взаимодействие материальных тел. Бильярдные шары, сближаясь, в момент соприкосновения взаимодействуют друг с другом. В результате этого меняются скорости шаров, их кинетические энергии. О таком взаимодействии шаров говорят как об их столкновениях.

Но понятие «столкновение» относится не только к взаимодействиям, происходящим в результате соприкосновения материальных тел. Комета, прилетевшая из отдаленных областей пространства и прошедшая в окрестности Солнца, меняет свою скорость и удаляется. Этот процесс также является столкновением. хотя непосредственного соприкосновения между кометой и Солнцем не произошло, а осуществлено оно было посредством сил тяготения.

Характерная особенность этого взаимодействия, дающая нам возможность рассматривать его как столкновение, заключается в том, что область пространства, в котором оно произошло, относительно мала. Заметное изменение скорости кометы происходит вблизи Солнца (рис. 129).

Приведенные примеры позволяют нам дать следующее определение столкновения.

Что такое столкновение

Столкновением называется взаимодействие двух и большего числа тел, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени. Вне этого промежутка времени можно говорить о начальных и конечных импульсах тел, когда тела можно считать невзаимодействующими.

Столкновение материальных тел часто называется ударом. Удар определяется как процесс, при котором изменяются импульсы соударяющихся тел без существенного изменения их положений. Это частный случай столкновения, например столкновение шаров, шайб, автомобилей и т. п.

Процессы столкновения являются чрезвычайно сложными. Например, при столкновении двух шаров в момент их соприкосновения начинается деформация шаров. В результате часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем энергия деформации снова превращается в кинетическую, однако не полностью — часть энергии превращается во внутреннюю. Кроме того, после столкновения шары будут вращаться по иному, чем до столкновения.

Главный интерес при рассмотрении столкновений заключается в знании не самого процесса, а результата. Ситуация до столкновения называется начальным состоянием, а после — конечным. Между величинами, характеризующими начальное и конечное состояния, соблюдаются определенные соотношения. независящие от детального характера взаимодействия. Такими величинами. в частности, являются импульс и энергия системы тел.

В зависимости от характера изменения кинетической энергии тел все столкновения делятся на упругие и неупругие.

Если при столкновении кинетическая энергия тел сохраняется, то столкновение называется упругим, если же не сохраняется — неупругим.

Рассмотрим вначале абсолютно неупругое столкновение (абсолютно неупругий удар). Это частный случай неупругого столкновения, при котором после столкновения тела «слипаются» и движутся вместе.

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета первое тело массой m₁ движется до столкновения со скоростью υ₁, а второе тело массой m₂ — со скоростью υ₂. Следовательно, импульсы тел до столкновения равны соответственно:

Процесс столкновения обычно наглядно представляют с помощью векторной диаграммы импульсов (рис. 130). Нетрудно убедиться, что кинетическая энергия системы не сохраняется. До столкновения она составляет:

после столкновения —

Изменение кинетической энергии:
   (2)

Для расчета выберем оси координат так, как показано на рисунке 130, и спроектируем на них равенство (1). B результате получим:

Рис. 130

Отсюда легко находится квадрат скорости тел после столкновения:

Подставив полученное выражение в (2), получим после несложных преобразований:

Как видно, кинетическая энергия системы уменьшилась. Часть кинетической энергии превратилась в теплоту.

Если тела при столкновении не «слипаются», то скорости тел после столкновения можно найти из закона сохранения импульса:

где штрихом отмечены импульсы тел после столкновения.

При этом кинетическая энергия может как уменьшаться, так и увеличиваться. Последнее происходит, например, при различных взрывах. В этом случае часть внутренней энергии превращается в кинетическую энергию осколков.

Как уже отмечалось, при упругом столкновении выполняется закон сохранения импульса и механической энергии.

Рассмотрим вначале лобовое столкновение, т. е. такое столкновение, при котором импульсы тел до и после столкновения параллельны некоторой прямой. Эту прямую мы примем за ось Ox (рис. 131). Закон сохранения импульса в этом случае примет вид:

а закон сохранения кинетической энергии —

Из этих уравнений найдем скорости тел после удара. Для этого перепишем (3) и (4) следующим образом:

Воспользовавшись тем, что a² — b² = (a-b)(a + b), из выражений (5) и (6) легко получить:

Выразив отсюда, например, и подставив его в (5), после несложных преобразований находим:

Аналогично:

Проекции импульсов тел после столкновения равны соответственно:

и 

Проанализируем полученные выражения для некоторых частных случаев.
Предположим, что тело 2 до столкновения покоилось, т. е. .

Тогда

При равных массах тел m₁ = m₂ получим:

Значит, первое тело остановится, а второе придет в движение с таким же импульсом.

Теперь предположим, что масса второго тела намного больше массы первого. Тогда, пренебрегая m₁ по сравнению с m₂ , получим:

Значит, первое тело отскочит назад с таким же по модулю импульсом, а тело 2 получит импульс, равный удвоенному значению импульса первого тела.

Найдем кинетическую энергию тел после столкновения для случая, когда = 0:

        (10)

        (10)

где K₁ — кинетическая энергия первого тела до столкновения.

Из полученных выражений следует, что при m₁ = m₂ первое тело останавливается, а второе приобретает ту же энергию. Если масса второго тела m₂ намного больше массы первого m₁ то из (10) и (11) следует, что , . Значит, кинетическая энергия первого тела не изменяется, а второе тело получает импульс, но его энергия не изменяется.

• Заказать решение задач по физике

Главные выводы:

1. Столкновением называется взаимодействие двух и большего числа тел, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени.
2. Удар определяется как процесс, при котором изменяются импульсы соударяющихся тел без существенного изменения их положений.
3. Столкновение тел называется упругим, если кинетическая энергия тел сохраняется. При неупругом столкновении кинетическая энергия тел не сохраняется.
4. При столкновениях тел выполняется закон сохранения импульса.

Определение столкновения

Законы сохранения энергии и импульса позволяют провести теоретическое исследование процессов столкновения тел без описания сил, действующих между ними.

Под столкновениями понимают механические процессы взаимодействия между телами, происходящие за очень короткий промежуток времени. При этом силы взаимодействия между сталкивающимися телами настолько велики, что внешними силами, действующими на систему, можно пренебречь.

Вследствие того, что длительность столкновения мала по сравнению со временем наблюдения, различают механические состояния до и после столкновения, причем тела, находящиеся на большом расстоянии друг от друга, считают свободными.

Длительность столкновения бильярдных шаров что намного меньше характерного времени движения шаров по столу
Различают упругие (абсолютно упругие) и неупругие столкновения. В первом случае не происходит выделения теплоты, и механическая энергия сохраняется. Во втором случае выделяется некоторое количество теплоты, поэтому механическая энергия после столкновения уменьшается.

Примером упругих столкновений служат столкновения металлических шаров, а примером неупругих — столкновения пластилиновых шаров, которые при этом слипаются и продолжают движение как одно целое.

Для макроскопических тел в большей степени характерными являются неупругие столкновения, в то время как для физики элементарных частиц, ядер атомов, молекул определяющую роль играет упругое взаимодействие.

Если в процессе столкновения тел на них не действуют внешние силы, то к телам применим закон сохранения импульса, а во многих случаях — и закон сохранения механической энергии. Именно эти законы позволяют, зная скорости тел до столкновения, определить их скорости после столкновения, совершенно не интересуясь тем, что происходило во время него.

При абсолютно неупругом столкновении скорости обоих взаимодействующих тел оказываются одинаковыми. Примером таких тел являются тела из различных пластичных веществ. Такое столкновение можно наблюдать, если подвесить тары из пластилина, развести их в разные стороны и отпустить. После столкновения они оба будут двигаться вместе с одинаковой скоростью.

При абсолютно упругом столкновении в обоих телах не остается никаких деформаций. Кроме того, вся кинетическая энергия, которой тела обладали до столкновения, снова превращается в кинетическую энергию. Примерами таких тел являются шары из стали или слоновой кости.
Рассмотрим простейшее столкновение — центральное, когда скорости тел находятся на линии, соединяющей их центры. Очень часто такое столкновение называют лобовым.

Скорость движения после абсолютно неупругого столкновения тел массами движущихся до столкновения со скоростями можно определить из закона сохранения импульса:

Откуда находим

Определим «потери» механической энергии, найдя кинетическую энергию
тел до столкновения:

и после столкновения:

Тогда часть механической энергии, перешедшая во внутреннюю, определяется выражением:

Следовательно, она зависит от масс сталкивающихся тел и относительной скорости их движения до столкновения.

Задача о центральном абсолютно неупругом столкновении впервые была решена Дж. Валлисом в 1669 г.
При абсолютно упругом столкновении двух тел массами на основании закона сохранения импульса и закона сохранения энергии можно записать

Здесь — скорости тел до столкновения, — после столкновения.

Преобразуем систему уравнений (3), перенеся в правую часть все величины, относящиеся к первому телу, а в левую — ко второму:

Разделив второе уравнение на первое, получим

Перепишем это уравнение в виде .

Из него следует, что при центральном абсолютно упругом столкновении тел любой массы их относительная скорость до и после столкновения не изменяется.

Теперь можно дать еще одно определение неупругого столкновения: если относительная скорость тел при центральном столкновении изменяется, то такое столкновение называется неупругим.

Меру неупругости k можно определить как отношение относительных скоростей сталкивающихся тел после и до столкновения:

Она называется коэффициентом восстановления и впервые была измерена Ньютоном в 1687 г. В частности, Ньютон получил значения коэффициента для стали k = 0,55 и стекла k = 0,94, которые приводят и современные справочники.

Абсолютно неупругим является столкновение, при котором скорости тел после столкновения равны т. е. k = 0.
Решая уравнение (4) совместно с первым уравнением системы (3), находим скорости тел после столкновения:

На самом деле при столкновении всегда происходят «потери» механической энергии, т. е. переход части ее в теплоту. Но при малых «потерях» действительный процесс достаточно хорошо описывается абсолютно упругим столкновением.

Задача о центральном абсолютно упругом столкновении впервые была решена X. Гюйгенсом и К. Реном в 1669 г.
Отметим, что осуществить центральное, или лобовое, столкновение на практике очень трудно. Подавляющее число столкновений являются нецентральными.

Основные формулы

Импульс тела  
Закон изменения импульса системы тел:    
 
Закон сохранения импульса системы тел:  

 
Работа: 
Средняя мощность:    
Мгновенная мощность:  
Кинетическая энергия:  

Теорема о кинетической энергии:

Потенциальная энергия: 

Потенциальная энергия упруго деформированного тела:

Закон сохранения механической энергии: