Как найти скорость тел после соударения - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Упругое соударение

Соударение — это столкновение двух тел.
При соприкосновении тела обмениваются энергией и импульсом.
После соударения они двигаются со скоростями, которые отличаются по направлению и величине от их скоростей до столкновения.

При лобовом центральном соударении центры масс обоих тел двигаются вдоль одной линии.
Силы взаимодействия, возникающие при соударении, параллельны направлению движения.
Если применить к такой системе двух тел закон сохранения импульса, то полный импульс системы будет равен алгебраической сумме импульсов обоих тел.

Упругое соударение

При упругом соударении на протяжении кратковременного соприкосновения тела двигаются с общей скоростью,
затем они разлетаются и продолжают двигаться с разными скоростями.

Если

m₁	масса первого тела,	кг
m₂	масса второго тела,	кг
u₁	скорость первого тела до соударения,	метр/секунда
u₂	масса второго тела до соударения,	метр/секунда
u`₁	скорость первого тела после соударения,	метр/секунда
u`₂	масса второго тела после соударения,	метр/секунда

то из закона сохранения импульса следует

[ m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 u`_1 + m_2 u`_2 ]

или

[ m_1 (u_1 — u`_1) = m_2 (u`_2 — u_2) ]

Из закона сохранения энергии получаем

[ frac{m_1 u_1 ^2}{2} + frac{m_2 u_2 ^2}{2} = frac{m_1 u`_1 ^2}{2} + frac{m_2 u`_2 ^2}{2} ]

или

[ m_1 (u_1 ^2 — u`_1 ^2) = m_2 (u`_2 ^2 — u_2 ^2) ]

подставив формулу разность квадратов получим

[ m_1 (u_1 — u`_1)(u_1 + u`_1) = m_2 (u`_2 — u_2)(u`_2 + u_2) ]

воспользовавшись законом сохранения импульса, находим

[ u_1 + u`_1 = u`_2 + u_2 ]

Сумма скоростей до и после соударения одинакова при любом соударении тел.

Из формулы (6) следует

[ u`_2 = u`_1 + u_1 — u_2 ]

[ u`_1 = u`_2 + u_2 — u_1 ]

Подставив эти выражения в видоизмененный закон сохранения импульса, получим

[ m_1 (u_1 — u`_1) = m_2 (u`_1 + u_1 — u_2 — u`_2) ]

[ m_1 (u_1 — u_2 — u`_2 + u_1) = m_2 (u`_2 — u_2) ]

откуда, разрешив относительно u`₁ и u`₂ найдем

[ u`_1 = frac{ (m_1 — m_2) u_1 + 2 m_2 u_2 }{ m_1 + m_2 } ]

[ u`_2 = frac{ (m_2 — m_1) u_2 + 2 m_1 u_1 }{ m_1 + m_2 } ]

Упругое соударение, вычислить скорости тел после упругого соударения

Упругое соударение	стр. 477

Источник

Упругое и неупругое столкновение

Масса первого объекта ma

Скорость первого объекта va

Масса второго объекта mb

Скорость второго объекта vb

Коэффициент восстановления/упругости (от 0 до 1)

Скорость первого объекта после удара vv1

Скорость второго объекта после удара vv2

Энергия возникающая при столкновении w

Полученные параметры столкновения двух объектов

Рассмотрим задау столкновение двух тел в лобовой атаке друг на друга. Описательную часть, что это, для чего это — опустим. Нет необходимости копировать школьные учебники физики.

Но хотелось бы напомнить, что там рассматриваются два пограничных состояния:

— столкновение абсолютно упругих тел

— столкновение абсолютно неупругих тел

Но таких тел (абсолютно упругих/не упругих) в природе фактически не встречается, и нам была бы интересна универсальная (одна) формула которая объединит эти два состояние и позволит нам рассчитывать параметры объектов после столкновения при частично упругом ударе.

Скорость первого объекта после соударения вычисляется по формуле

$v^{'}_1=frac{m_1v_1+m_2v_2-(v_1-v_2)m_2k}{m_1+m_2}$

А скорость второго

$v^{'}_2=frac{m_1v_1+m_2v_2-(v_1-v_2)m_1k}{m_1+m_2}$

коэффициент обозначаемый k — называется коэффицент восстановления.

Может меняться от нуля до единицы.

При значении 0 — объекты абсолютно не упругие.

При значении 1 — объекты абсолютно упругие.

Что плохого в этом коэффициенте? То, что кроме как опытным путем, его не найдешь. Плюс к этому коэффициент меняется от исходных скоростей объектов.

Теперь насчет энергии теряемой при соударении. Если учитывать этот коэффицент то формула имеет вид

$W=frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}(v_1-v_2)^2(1-k^2)$

И опять, какой следует из этой формулы вывод?

При абсолютной упругом столкновении (k=1) потери энергии никакой нет. То есть суммы импульсов объектов до столкновения и после столкновения равны.

Бот позволяет рассчитывать недостающие параметры при столкновении двух тел. То ли известны скорости после удара и массы, тогда можете найти исходные скорости, то ли известна энергий удара и скорости объектов, тогда можно будет узнать их массы до столкновения, ну или рассчитывать параметры при других вариантах.

Удачных расчетов!

Источник

Автор исходного текста — В. И. Плис, к. ф.-м. н., доцент кафедры общей физики МФТИ, Соровский учитель. Журнал Потенциал

В статье на основе законов сохранения импульса и энергии рассматриваются неупругие и упругие столкновения макроскопических тел и объектов в микромире. Анализированы энергетические превращения при неупругих столкновениях. Показана техника исследования упругих столкновений в системе центра масс. Рассматриваются упругие и неупругие процессы в микромире; как в рамках классической физики, так и с привлечением элементарных сведений по квантовой физике и специальной теории относительности.

ВведениеПравить

В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном – как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии свободны. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют, причём могут происходить различные процессы: соединение в одно тело (абсолютно неупругий удар), возникновение новых тел и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими.

Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения) импульсами, энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценно здесь то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.

Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими – уже хотя бы потому, что сопровождаются нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Но понятие об упругих столкновениях играет важную роль в физике, поскольку со столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.

Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, когда на входящие в систему тела не действуют внешние силы, либо систему замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. В классической физике следует учитывать кинетическую и потенциальную энергии. В релятивистском случае надо применять выражение для энергии (как иногда, например, пишут «учитывать энергию покоя»). Обращение к сохранению энергии требует порой учёта различных форм внутренней энергии.

Действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено всевозможными опытами.

Переходя к характерным примерам, напомним, что в физике при решении задач должна быть указана система отсчёта (тело отсчёта, оси координат и часы), в которой рассматривается динамика процесса. Исследование столкновений традиционно проводится как в лабораторной системе отсчёта (ЛСO), то есть в инерциальной системе отсчёта, связанной с лабораторией, где проводится опыт, так и в системе центра масс, которая будет введена в статье. Напомним также, что центральным ударом шаров (шайб) называют удар, при котором скорости шаров (шайб) направлены вдоль прямой, проходящей через их центры.

Неупругие столкновенияПравить

Задача № 1Править

Частица массой с кинетической энергией сталкивается с неподвижной частицей массой . Найдите приращение внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно неупругого столкновения.

Решение.

Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел в ЛСО. Налетающая частица движется до столкновения в положительном направлении оси OX со скоростью , кинетическая энергия частицы . В результате абсолютно неупругого удара (слипания) частицы движутся с одинаковой скоростью . По закону сохранения импульса ,по закону сохранения энергии . Из приведённых соотношений находим .

Отметим, что в предельных случаях .

Как видим, при неупругом столкновении лёгкой частицы с массивной, например, электрона с атомом, происходит полная передача её кинетической энергии атому: атом возбуждается, а затем испускает фотон.

При равенстве масс .

Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых автомобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по направлению к нему, половина кинетической энергии идёт на разрушение.

Задача № 2Править

Найдите минимальную относительную скорость двух одинаковых метеоритов, необходимую для их нагрева и полного испарения в результате абсолютно неупругого соударения. Удельная теплота нагревания и испарения вещества метеоритов Дж/кг.

Решение.

Рассмотрим в ЛСО абсолютно неупругий удар двух тел. Введём обозначения: и – массы тел, и – их скорости до столкновения, – скорость составного тела после столкновения. Считая, что в процессе столкновения импульс системы тел сохраняется (внешние силы отсутствуют), , находим скорость составного тела .

Кинетические энергии системы тел до взаимодействия и после равны соответственно , .

Тогда убыль кинетической энергии системы после несложных преобразований принимает вид , где – приведённая масса системы тел, относительная скорость. Таким образом, при абсолютно неупругом ударе в другие формы энергии переходит кинетическая энергия макроскопического движения, равная половине произведения приведённой массы на квадрат относительной скорости.

Вернёмся к задаче о минимальной относительной скорости метеоритов. Будем считать, что вся убыль кинетической энергии переходит в тепло, которое идёт на нагревание и испарение метеоритов, тогда . С учётом равенства масс сталкивающихся метеоритов . Это приводит к оценке минимальной скорости м/с.

Задача № 3Править

На гладком горизонтальном столе лежит твёрдая шайба. На неё налетает мягкая, довольно упругая шайба такой же массы и между ними происходит центральный удар. Скорость мягкой шайбы после удара уменьшилась в 5 раз. Какая часть максимальной энергии деформации перешла в тепло при этом ударе? Считайте, что тепло выделяется в мягкой шайбе в процессе деформации.

Решение.

Задачу рассмотрим в ЛСО, ось OX которой направим по линии центров шайб в момент соударения. В процессе взаимодействия на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю, отсюда следует, что импульс системы шайб в результате соударения не изменяется .

Скорость твёрдой шайбы после удара (если предположить, что налетающая шайба после соударения движется в отрицательном направлении оси OX со скоростью , то скорость твёрдой шайбы после соударения и её кинетическая энергия больше кинетической энергии налетающей шайбы). Найдём по закону сохранения энергии количество теплоты, которое выделится в мягкой шайбе за всё время удара, , отсюда .

Вычислим максимальную энергию деформации мягкой шайбы. Для этого заметим, что при максимальной деформации шайбы друг относительно друга не движутся. Тогда по закону сохранения импульса , шайбы в момент максимальной деформации движутся в ЛСО со скоростью . Естественно предположить, что теплота в равных количествах выделяется как при сжатии шайбы, так и при растяжении. Тогда по закону сохранения энергии в момент максимальной деформации . Отсюда .

Искомое отношение .

Упругие столкновенияПравить

Задача № 4Править

На гладкой горизонтальной поверхности лежит шар массой На него налетает шар массой , движущийся со скоростью . Между шарами происходит упругий центральный удар. Найдите скорости и шаров после соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении?

Решение.

Задачу рассмотрим в ЛСО, ось OX которой направим по линии центров шаров в момент соударения. Внешние силы, действующие на шары в процессе соударения, — это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно импульс системы шаров в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса .
Переходя к проекциям на ось OX, получаем ,
здесь учтено, что направление скорости налетающего шара после соударения неизвестно. По закону сохранения энергии
.
Полученные соотношения перепишем в виде , .
Разделив второе равенство на первое, приходим к линейной системе , , решение которой имеет вид
, .
Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении ( ) при , т.е. если его масса больше массы покоящегося шара.

Задача № 5Править

Две гладкие упругие круглые шайбы движутся по гладкой горизонтальной поверхности со скоростями и . Найдите скорости шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб и .

Решение.

Задачу рассмотрим в ЛСО, оси координат OX и OY которой лежат в горизонтальной плоскости, при этом ось OX направлена по линии центров шайб в момент соударения (рис.1). В течение времени соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия сохраняется
,
здесь и – импульсы шайб до и после соударения.

Рис.1.

Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внутренние силы – силы упругого взаимодействия шайб – направлены только по оси OX . Эти силы не изменяют Y-составляющие импульсов шайб. Тогда из , находим Y-составляющие скоростей шайб после соударения
, ,
т.е. в проекции на ось OY скорости шайб в результате соударения не изменились.

Найдём X-составляющие скоростей шайб после абсолютно упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия

С учётом равенства Y-составляющих скоростей шайб до и после соударения последнее равенство принимает вид
.

Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям импульсов шайб на ось OX
.

Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упругом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохранения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагаемые, относящиеся к первой шайбе, а по другую – ко второй, и разделить полученные соотношения друг на друга. Это приводит к линейному уравнению вида
.
Решая систему из двух последних уравнений, находим
,
.
Полученные соотношения для и решают вопрос о величинах скоростей шайб после соударения
, ,
и об углах и , которые векторы скоростей и образуют с положительным направлением оси OX,
, .

Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц). Приведём два примера.

Задача № 6Править

Лёгкий пластмассовый шарик массой роняют с нулевой начальной скоростью с высоты . В нижней точке траектории по нему ударяют ракеткой снизу вверх, после чего шарик подпрыгивает на высоту в раз большую первоначальной. Определите скорость ракетки перед ударом. Масса ракетки во много раз больше массы шарика. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Проанализируем упругое столкновение в ЛСО, ось OX направим по вертикали вверх. Из кинематических соотношений для равнопеременного движения по прямой найдём проекции скорости шарика до и после соударения на ось OX
,
При соотношение
из решения задачи № 5 принимает вид . Отсюда находим искомую скорость ракетки до удара .

Задача № 7Править

Гладкая круглая шайба массы движется со скоростью вдоль хорды, расстояние до которой от центра гладкого тонкого однородного обруча равно (рис.2). Обруч массы и радиуса лежит на гладком горизонтальном столе.
Через какое время после первого удара
шайба окажется на минимальном расстоянии от центра движущегося обруча? Каково это расстояние? Удар считайте абсолютно упругим.

Рис.2

Решение.

Воспользуемся результатами решения задачи № 5. В ЛСО, ось OX которой направлена по линии центров шайбы и обруча в момент соударения, проекции скорости шайбы и центра обруча на ось OX после соударения равны соответственно
,
, здесь – проекция скорости шайбы на ось OХ до соударения, – обруч до соударения покоился.
Из этих соотношений следует, что в системе отсчёта, связанной с движущимся обручем, радиальная составляющая скорости шайбы после соударения

просто изменила знак, а перпендикулярная радиусу составляющая, как было показано, в рассматриваемом соударении не изменяется. Следовательно, относительно обруча шайба отразится по закону «угол падения равен углу отражения» и минимальное расстояние до центра обруча снова будет равно . Искомое время.

Задача № 8Править

Каков максимальный угол упругого рассеяния -частицы на дейтроне? Дейтрон – ядро одного из изотопов водорода – дейтерия, состоит из протона и нейтрона; -частица – ядро гелия, состоит из двух протонов и двух нейтронов. Считайте, что масса дейтрона в 2 раза меньше массы -частицы.

Решение.’

Проанализируем упругое столкновение в ЛСО (не прибегая к модели упругих шаров). Введём обозначения: – масса
-частицы, – её скорость до рассеяния, – масса дейтрона, и – скорости
-частицы и дейтрона соответственно после рассеяния. При отсутствии внешних сил в процессе упругого взаимодействия для системы « -частица + дейтрон» сохраняются импульс (рис.3 )
,
,
и кинетическая энергия
.

Рис.3.

Исключив из этих соотношений угол и вели-чину скорости дейтрона, получим квадратное уравнение для

Корни этого уравнения будут вещественными при . Максимальный угол , удовлетворяющий этому условию, и есть искомый угол . Таким образом, рад. Заметим, что рассеяние на максимальный угол возможно только при условии: масса налетающей частицы больше массы покоящейся.

Центр масс системы материальных точек. Теорема КёнигаПравить

В физике законы изменения и сохранения импульса системы частиц зачастую формулируются с привлечением центра масс. Для введения центра масс системы частиц рассмотрим движение этой системы в ЛСО и в системе отсчёта, которая движется поступательно с произвольной (пока!) скоростью относительно лаборатории. Найдём связь импульсов системы частиц в лабораторной и в подвижной системах отсчёта. Так как при переходе между поступательно движущимися системами отсчёта скорости частиц преобразуются по закону Гали-лея , то связь импульсов системы частиц в ЛСО и в подвижной системе при-нимает вид
,
– масса системы частиц.
Отсюда следует, что если выбрать
,
то в этой системе . Полученное соотношение можно считать производной по времени радиуса- вектора, определяемого по формуле
.

В классической физике эту точку называют центром масс системы частиц, а систему, начало которой традиционно помещают в центр масс, и которая движется поступательно со скоростью относительно лаборатории, называют системой центра масс (Ц-системой). Как было показано, в этой системе отсчёта суммарный импульс частиц равен нулю.

Найдём связь кинетических энергий и системы материальных точек в ЛСО и в Ц-системе соответственно. По закону сложения скоростей . Тогда кинетическая энергия системы материаль-ных точек в ЛСО и в Ц-системе связаны соотношением
.

Сумма равна нулю, так как центр масс в Ц-системе покоится: . Таким образом, ,
т.е. кинетическая энергия совокупности материальных точек в ЛСО равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же совокупности материальных точек в её относительном движении в Ц-системе. Это утверждение составляет содержание теоремы Кёнига.

Приведём второе решение задачи № 8. Упругое столкновение удобно рассматривать в Ц-системе. Скорость центра масс системы « -частица + дейтрон»
.
До столкновения в Ц-системе импульс частицы массой равен
,
импульс частицы массой равен ( ). При упругом столкновении импульс и кинетическая энергия системы частиц в Ц-системе сохраняются. Импульс первой частицы после столкновения обозначим , импульс второй будет равен . Из закона сохранения энергии

находим . Таким образом, в Ц- системе при упругом столкновении импульсы частиц поворачиваются на тот или иной угол, не изменяясь по величине. Угол поворота не определяется законами сохранения, а зависит от характера взаимодействия. Тогда в Ц-системе скорости обеих частиц изменяются тоже только по направлению. Для анализа скоростей воспользуемся графической техникой (рис.4).

Рис.4.

До столкновения скорость в ЛСО налетающей частицы . После столкновения скорость налетающей частицы в ЛСО может заканчиваться в любой точке ок-ружности радиуса . Из векторной диаграммы следует, что в случае угол между векторами скорости и налетающей части-цы не может превышать некоторого максимального значения , соответствующего случаю, когда касается указанной окружности,
рад.

Обратим внимание, что в Ц-системе расчёт упругого соударения не требует проведения утомительных выкладок. Рассмотрим ещё один пример.

Задача № 9Править

Два одинаковых гладких шара испытывают упругий нецентральный удар. Один из шаров до соударения покоился. Определите угол разлёта шаров.

Решение.

Из второго решения предыдущей задачи следует, что в рассматриваемом случае (сохраняем обозначения, принятые в Задаче № 8). Тогда в диаграмме скоростей векторы и , отложенные из одной точки, лежащей на окружности, образуют вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Такой угол равен половине центрального, т.е. . Шары разлетятся под прямым углом.

Рис.5.

Законы сохранения импульса и энергии в микромиреПравить

Законы сохранения импульса и энергии позволяют решать задачи не только о взаимодействии макроскопических тел, но и задачи о взаимодействиях частиц в микромире.
В школьном учебнике рассказывается об искусственном превращении атомных ядер, которое впервые было осуществлено Э.Резерфордом в 1919 г. В первой искусственной ядерной реакции, ядра азота подвергались бомбардировке ядрами гелия ( -частицами) и превращались в ядра кислорода и ядра атома водорода (протоны) по схеме .

Задача № 10Править

Рассматриваемая реакция идёт с поглощением энергии МэВ. При какой пороговой (минимальной) скорости -частиц, бомбардирующих неподвижную мишень, такая реакция могла пойти? Масса -частицы кг.

Решение.

Из теоремы Кёнига следует, что минимум кинетической энергии бомбардирующей частицы достигается в случае, когда
продукты реакции покоятся в Ц-системе. В этом случае кинетическая энергия -частицы (её импульс ) является пороговой и равна сумме энергии реакции Q и кинетической энергии сиcтемы как целого
,

здесь учтено, что по закону сохранения импульса (в системе действуют только внутренние силы) импульс продуктов реакции равен импульсу бомбардирующей частицы. Кинетическая энергия движения системы как целого связана с кинетической энергией налетающей частицы

Тогда соотношение для пороговой энергии принимает вид

Отсюда находим пороговую энергию реакции

МэВ

и пороговую скорость

км/с.

Из решения следует, что зависящая от отношения масс взаимодействующих частиц доля кинетической энергии бомбардирующей частицы не может быть использована для реакции. Это устраняется при использовании встречных пучков, когда центр масс сталкивающихся частиц неподвижен.

В заключение рассмотрим два примера, которые упоминаются в школьном курсе, и требуют привлечения (разумеется, в рамках школьной программы) элементов квантовой физики и специальной теории относительности.

Предварительно проиллюстрируем элементарные квантовые представления о взаимодействии света с веществом.

Задача № 11Править

Неподвижная пылинка массой мг освещается импульсом лазерного света с длиной волны м. Определите число поглощённых пылинкой фотонов, если она в результате действия света приобрела скорость мм/с. Постоянная Планка Дж•с.

Решение.

В квантовой физике энергия фотона (кванта) ,
здесь – частота, – длина волны электромагнитного излучения.
Импульс фотона .

В рассматриваемой задаче импульс фотонов по закону сохранения импульса равен импульсу пылинки , отсюда .

Первый пример – эффект Комптона. В 1922 г. А. Комптон обнаружил, что если рентгеновское излучение с длиной волны рассеивается веществом с лёгкими атомами (графит, парафин), то в рассеянном потоке, наряду с излучением с той же длиной волны , наблюдается излучение с большей длиной волны . Считая это излучение результатом упругого рассеяния рентгеновских квантов на свободных электронах, рассмотрим следующую задачу.

Задача № 12Править

Рентгеновский квант (энергия ~105 эВ)сталкивается с неподвижным электроном и отражается в обратном направлении. Найдите приращение длины волны рентгеновского излучения в результате упругого рассеяния. Постоянная Планка Дж•с, скорость электромагнитных волн в вакууме м/с, масса электрона кг.

Решение.

Поясним принятую модель взаимодействия излучения с веществом. В атомах лёгких элементов для удаления электрона нужна энергия порядка 10 эВ. Так как эта энергия во много раз меньше энергии рентгеновских квантов, то электроны можно считать свободными.
При энергии кванта в сотни тысяч эВ необходим учёт релятивистских эффектов, так как энергия рентгеновского кванта сравнима с энергией покоящегося электрона эВ. До рассеяния, энергия системы «квант + свободный электрон» состояла из энергии рентгеновского кванта и энергии покоящегося электрона. В результате рассеяния, энергия электрона, движущегося со скоростью , равна и стала больше начальной. В свою очередь, энергия рентгеновского кванта уменьшилась, т.е. длина волны излучения увеличилась.
По закону сохранения энергии .

Проанализируем импульсы взаимодействующих частиц. До рассеяния импульс рентгеновского кванта , после рассеяния , импульс электрона, движущегося со скоростью , равен . По закону сохранения импульса . Считая импульс рентгеновского кванта направленным в положительном направлении оси OX ЛСО и переходя к проекциям импульсов на эту ось, получаем .

Умножим второе равенство на м/с, сложим его с первым и вычтем его из первого равенства. Перемножив полученные соотношения, найдём
м,
что хорошо согласуется с экспериментальными данными и подтверждает упругий характер процесса рассеяния рентгеновского кванта на свободном электроне. Эффект Комптона, так же как и фотоэффект, иллюстрирует корпускулярные свойства электромагнитного излучения.

В следующем примере анализ неупругого процесса поглощения фотона проводится с учётом дискретности энергетического спектра атома.

Задача № 13Править

Неподвижный, невозбуждённый атом водорода поглощает фотон. В результате атом переходит в возбуждённое состояние и начинает двигаться. Найдите величину V скорости, с которой стал двигаться атом после поглощения фотона. Энергия возбуждения атома Дж. Энергия покоя атома водорода Дж.

Указание. При можно считать, что .

Решение.

Поглощение фотона атомом является типичным неупругим столкновением. Проанализируем энергетические превращения. Во-первых, энергия поглощённого фотона идёт на перевод атома в возбуждённое состояние (по условию для этого требуется Дж). Во-вторых, закон сохранения импульса обязывает возбужденный атом прийти в движение, тогда та или иная часть энергии фотона пойдёт на увеличение кинетической энергии атома. По закону сохранения энергии и импульса находим искомую скорость ,
которая определяется только отношением энергии возбуждения к массе атома водорода, выраженной в энергетических единицах. При выводе учтено, что дробь под корнем мала (~10-8). Это подтверждает нерелятивистское приближение, использованное в решении. При переходе атома водорода из основного состояния в первое возбуждённое величина скорости атома м/с.

Источник

Содержание:

Столкновения:

Наиболее общим явлением, наблюдаемым в природе, является взаимодействие материальных тел. Бильярдные шары, сближаясь, в момент соприкосновения взаимодействуют друг с другом. В результате этого меняются скорости шаров, их кинетические энергии. О таком взаимодействии шаров говорят как об их столкновениях.

Но понятие «столкновение» относится не только к взаимодействиям, происходящим в результате соприкосновения материальных тел. Комета, прилетевшая из отдаленных областей пространства и прошедшая в окрестности Солнца, меняет свою скорость и удаляется. Этот процесс также является столкновением. хотя непосредственного соприкосновения между кометой и Солнцем не произошло, а осуществлено оно было посредством сил тяготения.

Характерная особенность этого взаимодействия, дающая нам возможность рассматривать его как столкновение, заключается в том, что область пространства, в котором оно произошло, относительно мала. Заметное изменение скорости кометы происходит вблизи Солнца (рис. 129).

Приведенные примеры позволяют нам дать следующее определение столкновения.

Что такое столкновение

Столкновением называется взаимодействие двух и большего числа тел, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени. Вне этого промежутка времени можно говорить о начальных и конечных импульсах тел, когда тела можно считать невзаимодействующими.

Столкновение материальных тел часто называется ударом. Удар определяется как процесс, при котором изменяются импульсы соударяющихся тел без существенного изменения их положений. Это частный случай столкновения, например столкновение шаров, шайб, автомобилей и т. п.

Процессы столкновения являются чрезвычайно сложными. Например, при столкновении двух шаров в момент их соприкосновения начинается деформация шаров. В результате часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем энергия деформации снова превращается в кинетическую, однако не полностью — часть энергии превращается во внутреннюю. Кроме того, после столкновения шары будут вращаться по иному, чем до столкновения.

Главный интерес при рассмотрении столкновений заключается в знании не самого процесса, а результата. Ситуация до столкновения называется начальным состоянием, а после — конечным. Между величинами, характеризующими начальное и конечное состояния, соблюдаются определенные соотношения. независящие от детального характера взаимодействия. Такими величинами. в частности, являются импульс и энергия системы тел.

В зависимости от характера изменения кинетической энергии тел все столкновения делятся на упругие и неупругие.

Если при столкновении кинетическая энергия тел сохраняется, то столкновение называется упругим, если же не сохраняется — неупругим.

Рассмотрим вначале абсолютно неупругое столкновение (абсолютно неупругий удар). Это частный случай неупругого столкновения, при котором после столкновения тела «слипаются» и движутся вместе.

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета первое тело массой m₁движется до столкновения со скоростью υ₁, а второе тело массой m₂ — со скоростью υ₂. Следовательно, импульсы тел до столкновения равны соответственно:

Процесс столкновения обычно наглядно представляют с помощью векторной диаграммы импульсов (рис. 130). Нетрудно убедиться, что кинетическая энергия системы не сохраняется. До столкновения она составляет:

после столкновения —

Изменение кинетической энергии:
(2)

Для расчета выберем оси координат так, как показано на рисунке 130, и спроектируем на них равенство (1). B результате получим:

Рис. 130

Отсюда легко находится квадрат скорости тел после столкновения:

Подставив полученное выражение в (2), получим после несложных преобразований:

Как видно, кинетическая энергия системы уменьшилась. Часть кинетической энергии превратилась в теплоту.

Если тела при столкновении не «слипаются», то скорости тел после столкновения можно найти из закона сохранения импульса:

где штрихом отмечены импульсы тел после столкновения.

При этом кинетическая энергия может как уменьшаться, так и увеличиваться. Последнее происходит, например, при различных взрывах. В этом случае часть внутренней энергии превращается в кинетическую энергию осколков.

Как уже отмечалось, при упругом столкновении выполняется закон сохранения импульса и механической энергии.

Рассмотрим вначале лобовое столкновение, т. е. такое столкновение, при котором импульсы тел до и после столкновения параллельны некоторой прямой. Эту прямую мы примем за ось Ox (рис. 131). Закон сохранения импульса в этом случае примет вид:

а закон сохранения кинетической энергии —

Из этих уравнений найдем скорости тел после удара. Для этого перепишем (3) и (4) следующим образом:

Воспользовавшись тем, что a² — b² = (a-b)(a + b), из выражений (5) и (6) легко получить:

Выразив отсюда, например, и подставив его в (5), после несложных преобразований находим:

Аналогично:

Проекции импульсов тел после столкновения равны соответственно:

Проанализируем полученные выражения для некоторых частных случаев.
Предположим, что тело 2 до столкновения покоилось, т. е. .

Тогда

При равных массах тел m₁ = m₂получим:

Значит, первое тело остановится, а второе придет в движение с таким же импульсом.

Теперь предположим, что масса второго тела намного больше массы первого. Тогда, пренебрегая m₁ по сравнению с m₂, получим:

Значит, первое тело отскочит назад с таким же по модулю импульсом, а тело 2 получит импульс, равный удвоенному значению импульса первого тела.

Найдем кинетическую энергию тел после столкновения для случая, когда = 0:

(10)

где K₁ — кинетическая энергия первого тела до столкновения.

Из полученных выражений следует, что при m₁ = m₂ первое тело останавливается, а второе приобретает ту же энергию. Если масса второго тела m₂ намного больше массы первого m₁ то из (10) и (11) следует, что , . Значит, кинетическая энергия первого тела не изменяется, а второе тело получает импульс, но его энергия не изменяется.

Заказать решение задач по физике

Главные выводы:

Столкновением называется взаимодействие двух и большего числа тел, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени.
Удар определяется как процесс, при котором изменяются импульсы соударяющихся тел без существенного изменения их положений.
Столкновение тел называется упругим, если кинетическая энергия тел сохраняется. При неупругом столкновении кинетическая энергия тел не сохраняется.
При столкновениях тел выполняется закон сохранения импульса.

Определение столкновения

Законы сохранения энергии и импульса позволяют провести теоретическое исследование процессов столкновения тел без описания сил, действующих между ними.

Под столкновениями понимают механические процессы взаимодействия между телами, происходящие за очень короткий промежуток времени. При этом силы взаимодействия между сталкивающимися телами настолько велики, что внешними силами, действующими на систему, можно пренебречь.

Вследствие того, что длительность столкновения мала по сравнению со временем наблюдения, различают механические состояния до и после столкновения, причем тела, находящиеся на большом расстоянии друг от друга, считают свободными.

Длительность столкновения бильярдных шаров что намного меньше характерного времени движения шаров по столу
Различают упругие (абсолютно упругие) и неупругие столкновения. В первом случае не происходит выделения теплоты, и механическая энергия сохраняется. Во втором случае выделяется некоторое количество теплоты, поэтому механическая энергия после столкновения уменьшается.

Примером упругих столкновений служат столкновения металлических шаров, а примером неупругих — столкновения пластилиновых шаров, которые при этом слипаются и продолжают движение как одно целое.

Для макроскопических тел в большей степени характерными являются неупругие столкновения, в то время как для физики элементарных частиц, ядер атомов, молекул определяющую роль играет упругое взаимодействие.

Если в процессе столкновения тел на них не действуют внешние силы, то к телам применим закон сохранения импульса, а во многих случаях — и закон сохранения механической энергии. Именно эти законы позволяют, зная скорости тел до столкновения, определить их скорости после столкновения, совершенно не интересуясь тем, что происходило во время него.

При абсолютно неупругом столкновении скорости обоих взаимодействующих тел оказываются одинаковыми. Примером таких тел являются тела из различных пластичных веществ. Такое столкновение можно наблюдать, если подвесить тары из пластилина, развести их в разные стороны и отпустить. После столкновения они оба будут двигаться вместе с одинаковой скоростью.

При абсолютно упругом столкновении в обоих телах не остается никаких деформаций. Кроме того, вся кинетическая энергия, которой тела обладали до столкновения, снова превращается в кинетическую энергию. Примерами таких тел являются шары из стали или слоновой кости.
Рассмотрим простейшее столкновение — центральное, когда скорости тел находятся на линии, соединяющей их центры. Очень часто такое столкновение называют лобовым.

Скорость движения после абсолютно неупругого столкновения тел массами движущихся до столкновения со скоростями можно определить из закона сохранения импульса:

Откуда находим

Определим «потери» механической энергии, найдя кинетическую энергию
тел до столкновения:

и после столкновения:

Тогда часть механической энергии, перешедшая во внутреннюю, определяется выражением:

Следовательно, она зависит от масс сталкивающихся тел и относительной скорости их движения до столкновения.

Задача о центральном абсолютно неупругом столкновении впервые была решена Дж. Валлисом в 1669 г.
При абсолютно упругом столкновении двух тел массами на основании закона сохранения импульса и закона сохранения энергии можно записать

Здесь — скорости тел до столкновения, — после столкновения.

Преобразуем систему уравнений (3), перенеся в правую часть все величины, относящиеся к первому телу, а в левую — ко второму:

Разделив второе уравнение на первое, получим

Перепишем это уравнение в виде .

Из него следует, что при центральном абсолютно упругом столкновении тел любой массы их относительная скорость до и после столкновения не изменяется.

Теперь можно дать еще одно определение неупругого столкновения: если относительная скорость тел при центральном столкновении изменяется, то такое столкновение называется неупругим.

Меру неупругости k можно определить как отношение относительных скоростей сталкивающихся тел после и до столкновения:

Она называется коэффициентом восстановления и впервые была измерена Ньютоном в 1687 г. В частности, Ньютон получил значения коэффициента для стали k = 0,55 и стекла k = 0,94, которые приводят и современные справочники.

Абсолютно неупругим является столкновение, при котором скорости тел после столкновения равны т. е. k = 0.
Решая уравнение (4) совместно с первым уравнением системы (3), находим скорости тел после столкновения:

На самом деле при столкновении всегда происходят «потери» механической энергии, т. е. переход части ее в теплоту. Но при малых «потерях» действительный процесс достаточно хорошо описывается абсолютно упругим столкновением.

Задача о центральном абсолютно упругом столкновении впервые была решена X. Гюйгенсом и К. Реном в 1669 г.
Отметим, что осуществить центральное, или лобовое, столкновение на практике очень трудно. Подавляющее число столкновений являются нецентральными.

Основные формулы

Импульс тела
Закон изменения импульса системы тел:

Закон сохранения импульса системы тел:

Работа:
Средняя мощность:
Мгновенная мощность:
Кинетическая энергия:

Теорема о кинетической энергии:

Потенциальная энергия:

Потенциальная энергия упруго деформированного тела:

Закон сохранения механической энергии:

Рычаг в физике
Блоки в физике
Движение тела под действием нескольких сил
Наклонная плоскость в физике
Свободное падение тела
Равнодействующая сила и движение тела под действием нескольких сил
Сила давления в физике и единицы давления
Механическое давление в физике

Источник

Enter the mass and initial velocity of two different objects undergoing an elastic collision. The calculator will calculate the final velocities of each object and the total kinetic energy. This calculator can evaluate any of the elastic collision values if the other variables are known.

Conservation of Momentum Calculator
Elastic Potential Energy Calculator
Horizontal Projectile Motion Calculator
Elasticity Calculator (Physics)
Bump Load Calculator

Elastic Collision Formula

The following formula is used to calculate the velocities of two objects after an elastic collision.

m1·vi1 + m2·vi2 = m1·vf1 + m2·vf2

vf1 = [(m1 – m2)·vI1 + 2 m2·vI2]/(m1 + m2)

vf2 = [2 m1·vI1 – (m1 – m2)·vI2]/(m1 + m2)

Where M1 and M2 are the masses of the objects
VI and VF are the initial and final velocities with respect to the objects.

The first formula above is derived from the law of conservation of momentum. We can derive these formulas because elastic collisions conserve energy and therefore conserve momentum.

Elastic Collision Definition

An elastic collision is the collision of two or more objects which act perfectly elastic and as a result momentum and energy are both conserved.

How to calculate an elastic collision?

How to calculate an elastic collision

First, determine the masses of each object
Measure the masses of objects 1 and 2 using an accurate scale or formula.
Next, measure the initial velocities of each object
Using a speed radar or another formula, calculate the initial velocities of the object.
Calculate the final velocities
Using the two formulas above, and then information measured in steps 1 and 2, calculate the final velocities of the objects after an elastic collision.

FAQ

What is an elastic collision?

An elastic collision is a collision of 2 or more objects in which the object react perfectly elastically. This means that conservation of momentum and energy are both conserved before and after the collision.

Источник