Как найти скорость точки по уравнению движения

Решение задачи (РГР) К1 «Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения» по разделу «кинематика» теоретической механики.

Пример определения для заданного момента времени положения точки на траектории, скорости, полного, касательного и нормального ускорения, радиуса кривизны траектории и вида траектории движения точки, если движение точки задано уравнениями.

Задача
Движение точки M задано уравнениями:
Уравнения движения точки в координатной форме
Требуется:
Установить вид траектории движения точки M, и для момента времени t = t1 = 0,5 с найти:

  1. положение точки на траектории,
  2. скорость, полное, касательное и нормальное ускорения,
  3. радиус кривизны траектории.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Решение

Расчет траектории движения точки

Уравнения движения можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки.

Другие видео

Чтобы узнать вид траектории в координатной форме, надо получить прямую зависимость между переменными x и y, для этого избавимся от параметра времени t, выразив его, например, из первого уравнения и подставив во второе.
Получение зависимости y от x
Получилось квадратное уравнение. То есть точка движется по параболе.
Построим траекторию движения, рассчитав несколько её точек.
Построение траектории движения точки

Положение точки на траектории

Определим положения точки в начале движения и в заданный момент времени.
Для этого в исходные уравнения подставляем соответственно сначала 0
Расчет начального положения точки
а затем, половину секунды.
Координаты точки на траектории в заданный момент времени
Положение точки на ее траектории в заданный момент обозначим буквой M, и все остальные параметры будем рассчитывать для неё.
Перемещение точки по траектории

Расчет скорости точки

Направление и величину скорости точки определим как векторную сумму её проекций на оси координат.
Вектор скорости точки
Здесь i, j — орты осей x и y.
vx, vy — проекции вектора скорости на оси координат.

Проекции вектора скорости получим, взяв первые производные по времени t от соответствующих заданных уравнений движения точки.
Проекции вектора скорости точки
Далее выбрав масштаб, из точки M последовательно и с учетом знака, откладываем оба вектора.
Проекции вектора скорости на оси координат
Сам вектор скорости получим, соединив точку M с концом второго вектора и направив его по ходу движения точки.
Направление вектора скорости точки
Здесь надо отметить, что вектор скорости всегда должен располагаться по касательной к траектории. Любое другое положение будет указывать на ошибки в расчетах.

Рассчитаем модуль вектора скорости
Расчет модуля вектора скорости

Расчет ускорений точки

Проекции полного ускорения точки на оси координат определяются как вторая производная от исходных уравнений движения точки.
Расчет проекций вектора полного ускорения
Здесь, ax, ay – проекции ускорения точки на оси координат.

В этом примере, горизонтальная проекция ускорения оказалась равной нулю, поэтому его модуль и направление будут совпадать с вертикальной.
Модуль полного ускорения
Проекции ускорения точки
Касательная составляющая полного ускорения это производная скорости точки по времени.

Ее можно рассчитать по этой формуле.
Модуль касательного ускорения точки
Вектор касательного ускорения всегда направлен по линии вектора скорости.
Нормальное, касательное и полное ускорения точки
Положительная величина говорит об ускоренном движении точки и тогда направления скорости и касательного ускорения совпадают.
В противном случае они разнонаправлены, и движение точки замедляется.

Модуль нормального ускорения определим по формуле Пифагора, так как векторы касательного и центростремительного ускорений всегда взаимно перпендикулярны.
Модуль нормального ускорения

Расчет радиуса кривизны траектории

Осталось найти только радиус кривизны траектории в точке M, который равен отношению квадрата скорости к модулю нормального ускорения.
Расчет радиуса кривизны траектории
Радиус кривизны траектории точки

Результаты расчетов

Результаты вычислений для заданного момента времени t1=0,5c приведены в таблице:
Результаты расчетов
На рисунке показано положение точки M в заданный момент времени и векторы скорости и ускорений в выбранном масштабе.
Кинематика точки в заданный момент времени

Вектор v строим по составляющим vx и vy, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории.

Вектор a строим по составляющим ax и ay и затем раскладываем на составляющие векторы aτ и an. Совпадение величин aτ и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит критерием правильности решения.

Другие примеры решения задач >

Содержание:

Предмет кинематики:

Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам

Арифметика наряду с некоторыми другими науками, занимающимися исчислением, является наиболее отвлеченной из математических наук. Для нее достаточно одного понятия «число», и она не нуждается ни в каких других фундаментальных понятиях.

Геометрия не может ограничиться одним понятием числа. Она основывается также и на понятиях, связанных с геометрической формой (длина, поверхность, объем, угол). Геометрия часто пользуется понятием движения; линию геометрия определяет как след точки. Но если точка оставила след, то, следовательно, она передвигалась; фигура, образовавшая тело вращения, поворачивалась вокруг оси, т. е. тоже находилась в движении. Однако геометрию не интересует, совершалось ли это движение в течение многих тысячелетий или же в малые доли секунды. Понятие времени чуждо геометрии. Размерностью геометрических величин является размерность длины L в той или иной степени (площадь измеряется в L2, объем—в L3, размерность углаКинематика точки в теоретической механике

К понятиям числа и геометрической формы добавляется новое понятие — «время» в науке, изучающей геометрические свойства движения и называемой кинематикой.

«В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени». Механическое движение, как и все прочие виды движения (теплота, электричество, ядерные процессы, органическая жизнь и пр.), не может происходить вне времени. Напомним, что под механическим движением мы понимаем один из видов движения материи, выражающийся в изменении с течением времени взаимных положений тел или частей тела. Положение тел, а также их механическое движение может быть отмечено лишь относительно других реальных или условных тел. Так, например, положение корабля может быть отмечено относительно берегов или относительно сетки географических долгот и широт; чтобы дать положение летящего самолета, можно указать направление, в котором этот самолет находится, и расстояние до него или же дать его координаты х, у и z относительно системы осей, определенным образом ориентированных в пространстве; чтобы дать положение поезда, можно назвать железную дорогу, по которой он движется, и его расстояние от станции. Реальное или условное твердое тело, по отношению к которому определяется положение других движущихся тел, называют системой отсчета.

Кинематика изучает изменения в положении тел по отношению к системе отсчета. Она дает возможность разобраться в многообразии видов механического движения и установить пространственные и временные меры движения (путь, скорость и т. п.), но не дает возможности предсказать, как будет двигаться тело под действием приложенных сил, или определить, какие силы должны быть приложены к телу для того, чтобы оно совершало то или иное движение. Понятие «силы» чуждо кинематике.

Формулы размерности кинематических величин содержат размерности длины L и времени Т, размерность же силы F или массы M в размерность кинематических величин не входит.

Кинематика является разделом теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам. Изучение же механического движения в связи с силами, приложенными к движущимся объектам, составляет предмет динамики.

Кинематика наряду со статикой является необходимой предпосылкой динамики и, следовательно, всех других механических дисциплин. Но кинематика имеет также и непосредственное применение в технике. Техника широко пользуется законами и формулами кинематики. Большое значение кинематика имеет в теории механизмов и машин (TMM) .

История развития кинематики

Кинематика как самостоятельный раздел теоретический механики возникла в XIX столетии

Многие сведения из кинематики были известны еще в глубокой древности. Так, например, в сочинении «Механические проблемы», принадлежащем Аристотелю или кому-либо из его учеников, дан закон сложения двух прямолинейных равномерных движений. В древней астрономии пользовались равномерным круговым движением точки и знали, что проекция этой точки на прямую, лежащую в той же плоскости, совершает гармоническое колебание. Но появление отрывочных сведений еще не является возникновением науки. И хотя основателем кинематики иногда называют Галилея, кинематика как самостоятельный раздел теоретической механики возникла лишь в XIXв.

Упомянем о некоторых из открытий Галилея в области кинематики.

Галилей показал, что пути, проходимые движущимся телом, не всегда пропорциональны времени, и в своих исследованиях он пользовался понятием скорости. Но во времена Галилея считали возможным делить друг на друга только отвлеченные или одноименные числа, и потому Галилей не дал формулы скорости точки как отношения пройденного пути ко времени: Кинематика точки в теоретической механике

Тем более он не мог дать формулы скорости в данное мгновение, которая стала возможной лишь после открытия дифференциального исчисления. Обе эти формулы были введены в науку Эйлером в сочинении «Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом», изданном в Петербурге в 1736 г.

Совершенно новым понятием, к которому пришел Галилей, возможно, под влиянием работ Бенедетти, было понятие ускоренного прямолинейного движения, хотя Галилей не вводит термина «ускорение» и не приводит формулы ускорения как отношения изменения величины скорости ко времени.

Галилей дал законы равноускоренного движения и свободного падения тел, установив, что пути, проходимые падающим телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд нечетных чисел. Так, было установлено, что пути, проходимые свободно падающим телом, пропорциональны квадрату времени, и в современном обозначении
Кинематика точки в теоретической механике

Законы падения тел Галилей вывел экспериментально, наблюдая качение шаров по наклонным плоскостям. Еще Леонардо да Винчи, великому предшественнику Галилея в области механики, была известна зависимость между длинами (и высотами) наклонных плоскостей и временем, в течение которого с этих плоскостей спускаются шары. Но эти работы Леонардо да Винчи не могли оказать влияния на развитие науки, они стали частично известны лишь после того, как в 1797 г. их опубликовал Вентури. Ко времени их опубликования эти работы имели только историческое значение.

Галилей показал, что движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, состоит из двух независимых друг от друга движений: горизонтального равномерного и вертикального равнопеременного. Этим он не только ввел в употребление законы параллелограмма перемещений (см. §27), но в принципе обосновал введенный значительно позднее (в 1742 г.) Маклореном координатный способ определения движения (см. § 21), при котором движение точки рассматривают по движениям ее проекций на неподвижные оси.

Кинематика солнечной системы была создана в развитие теории Коперника астрономом Иоганном Кеплером и выражена в трех законах (1609 и 1619 гг.). Хотя законы Кеплера относятся только к движению планет, они имели громадное влияние на развитие всей теоретической механики.

Гюйгенс установил, что при движении точки по окружности центробежная сила пропорциональна квадрату скорости и обратно пропорциональна радиусу круга, откуда позднее было установлено,что при всяком криволинейном движении нормальное ускорение пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально радиусу кривизны.

Эйлер, по-видимому, первый (1772 г.), а за ним уже Ампер (1834 г.) предложили выделить кинематику в самостоятельный раздел механики — учение о.механическом движении без учета сил, приложенных к движущимся объектам.

Гаспар Кориолис исследовал составное движение и доказал (1831 г.) знаменитую теорему, позднее получившую название теоремы Кориолиса. Эта теорема является основной в механике относительного движения и имеет огромное значение для различных отраслей науки. Несколько позднее на основе этой теоремы в кинематике составного движения точки стали применять ускорение Кориолиса.

Понятие полного ускорения как величины, характеризующей изменение скорости в данное мгновение, установлено сравнительно недавно. Эта честь принадлежит Понселе, впервые начавшему применять понятие и термин «ускорение» в своих лекциях (1841 г.), и Резалю, впервые применившему его в учебнике (1851 и 1862 гг.).
Луи Пуансо в работе «Новая теория вращения тел» (1834 г.) обогатил кинематику рядом блестящих исследований и дал наглядные геометрические интерпретации. В частности, он изучил сложение вращений и вращение тела около неподвижной точки. Эта геометрическая теория позднее была развита Понселе, Шалем, Мебиусом и др.

По-видимому, первую монографию по кинематике под названием «Трактат по чистой кинематике (движение, рассматриваемое независимо от его причин)» издал Резаль (1862 г.). По прикладной кинематике заслуживает упоминания книга проф. П. О. Сомова «Кинематика подобно-изменяемой системы двух измерений» (1885 г.).

В настоящее время кинематика является хорошо исследованной областью науки, и дальнейшее развитие кинематики происходит преимущественно в виде применения ее к различным частным задачам техники.

Кинематика точки

В кинематике изучается движение материальных объектов (точки, твердого тела, сплошной среды) без рассмотрения причин, вызывающих или изменяющих это движение. Такое изучение движения материальных объектов не требует учета материальных характеристик этих объектов — массы, моментов инерции и др.

В кинематике рассматривают такие характеристики движения, как скорость и ускорение точки, угловые скорость и ускорение твердого тела и др.

Движение материальных объектов, в частности материальной точки, совершается в пространстве при изменении времени. Пространство в классической механике считается эвклидовым, не зависящим от времени и движущихся в нем материальных объектов. Время принимается универсальным, не связанным с пространством и не зависящим как от движения наблюдателя, с точки зрения которого рассматривается движение материального объекта, так и от движения самого материального объекта.

Движение материального объекта всегда следует рассматривать относительно какого-либо твердого тела — тела отсчета, т.е. движение является относительным. С телом отсчета скрепляют систему осей координат, например декартовых, принимая ее за систему отсчета, относительно которой рассматривается движение материального объекта. Системой отсчета для трехмерного эвклидова пространства не может служить одна точка, линия или плоскость, а должны быть три оси, не обязательно прямолинейные, но не лежащие в одной плоскости.

Независимость времени от движения означает, что во всех системах отсчета, произвольно движущихся друг относительно друга, оно одно и то же, если за начало отсчета выбрано общее для них событие.

В кинематике сплошной среды телами отсчета, относительно которых рассматривается движение, могут быть также деформируемые тела.

В курсе теоретической механики обычно изучаются движение точки и твердого тела. Соответственно кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела. В настоящем курсе дополнительно излагаются также основы кинематики сплошной среды.

В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость, ускорение, и методы их определения при различных способах задания движения. Важным в кинематике точки является понятие траектории. Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.

По виду траекторий движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Форма траектории зависит от выбранной системы отсчета. Одно и то же движение точки может быть прямолинейным относительно одной системы отсчета и криволинейным относительно другой. Например, если с летящего горизонтально Земле с постоянной скоростью самолета отцеплен груз, то, пренебрегая сопротивлением воздуха и учитывая только действие силы тяжести, получим в качестве траектории движения центра масс груза относительно самолета прямую линию, а относительно Земли — параболу.

Скорость точки

Одной из основных характеристик движения точки является ее скорость относительно выбранной системы отсчета, которая изображена в виде декартовой прямоугольной системы координат (рис. 1).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 1

Положение движущейся точки Кинематика точки в теоретической механике относительно рассматриваемой системы отсчета определяется в момент времени Кинематика точки в теоретической механике радиусом-вектором Кинематика точки в теоретической механике, который соединяет неподвижную точку Кинематика точки в теоретической механике с этой точкой. В другой момент времени Кинематика точки в теоретической механике движущаяся точка займет положение Кинематика точки в теоретической механике и ее радиусом-вектором будет Кинематика точки в теоретической механике. За время Кинематика точки в теоретической механике радиус-вектор движущейся точки изменится на Кинематика точки в теоретической механике.

Средней скоростью Кинематика точки в теоретической механике точки за время Кинематика точки в теоретической механике называют отношение Кинематика точки в теоретической механике , т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Средняя скорость параллельна вектору Кинематика точки в теоретической механике. В общем случае она зависит от времени осреднения Кинематика точки в теоретической механике. У нее нет конкретной точки приложения на траектории.

Введем скорость точки Кинематика точки в теоретической механике в момент Кинематика точки в теоретической механике, которая определяется как предел средней скорости, если промежуток времени, за который определяется средняя скорость, стремится к нулю, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость точки направлена в сторону ее движения по предельному направлению вектора Кинематика точки в теоретической механике при Кинематика точки в теоретической механике, стремящемся к нулю, т. е. по предельному направлению секущей Кинематика точки в теоретической механике,  которая совпадает с касательной к траектории в точке Кинематика точки в теоретической механике. Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от ее радиуса-вектора. Она направлена по касательной к траектории в сторону движения точки.

Начало радиуса-вектора движущейся точки можно выбрать в любой неподвижной точке. На рис. 1 представлен случай, в котором радиусом-вектором является также р с началом в точке Кинематика точки в теоретической механике. Радиусы-векторы Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике имеют одинаковые изменения Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике за время Кинематика точки в теоретической механике и поэтому

Кинематика точки в теоретической механике

Размерность скорости в Кинематика точки в теоретической механике получаем из (1):

Кинематика точки в теоретической механике.

Часто скорость выражают в км/ч; Кинематика точки в теоретической механике.

Для характеристики переменного вектора используют понятие его годографа. Годографом вектора называют геометрическое место его концов, если переменный вектор в различные моменты времени откладывать от одной и той же общей точки.

Траектория точки, очевидно, является годографом радиуса-вектора Кинематика точки в теоретической механике или Кинематика точки в теоретической механике (рис. 1). Последовательные положения вектора Кинематика точки в теоретической механике в различные моменты времени откладываются в этом случае от точки Кинематика точки в теоретической механике, а вектора Кинематика точки в теоретической механике — от точки Кинематика точки в теоретической механике.

Первая производная по времени от радиуса-вектора есть скорость точки, направленная по касательной к траектории. Следовательно, параллельно касательной к годографу направлена первая производная по скалярному аргументу от любого переменного вектора.

Годографом вектора скорости является линия, на которой располагаются концы этого вектора в различные моменты времени, если их начала совместить в одной общей точке. Для построения годографа вектора скорости выбираем точку, например Кинематика точки в теоретической механике (рис. 2,6), и начала векторов скорости для различных моментов времени переносим в эту точку, не изменяя их величин и направлений. Каждой точке траектории Кинематика точки в теоретической механике (рис. 2, а) будет соответствовать своя изображающая точка Кинематика точки в теоретической механике на годографе вектора скорости (рис. 2,6). Масштаб для скоростей при построении годографа вектора скорости может быть выбран отличным от масштаба для скоростей, изображаемых в точках траектории. При движении точки по траектории соответствующая ей изображающая точка движется по годографу вектора скорости.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 2

При равномерном движении точки по прямой годографом вектора скорости является одна точка; при неравномерном движении — отрезок прямой, параллельный траектории.

Ускорение точки

Пусть движущаяся точка Кинематика точки в теоретической механике в момент времени Кинематика точки в теоретической механике имеет скорость Кинематика точки в теоретической механике. В момент времени Кинематика точки в теоретической механике эта точка занимает положение Кинематика точки в теоретической механике, имея скорость Кинематика точки в теоретической механике (рис. 3,а). Чтобы изобразить приращение скорости Кинематика точки в теоретической механике за время Кинематика точки в теоретической механике, перенесем вектор скорости Кинематика точки в теоретической механике параллельно самому себе в точку Кинематика точки в теоретической механике.

Средним ускорением точки Кинематика точки в теоретической механике за время Кинематика точки в теоретической механике называют отношение Кинематика точки в теоретической механике, т. е. Кинематика точки в теоретической механике. Среднее ускорение точки параллельно приращению скорости Кинематика точки в теоретической механике. Как и средняя скорость, среднее ускорение не имеет на траектории конкретной течки приложения и изображено в точке Кинематика точки в теоретической механике условно. В общем случае среднее ускорение зависит от времени Кинематика точки в теоретической механике.

Ускорением точки Кинематика точки в теоретической механике в момент времени Кинематика точки в теоретической механике называют предел, к которому стремится среднее ускорение при Кинематика точки в теоретической механике, стремящемся к нулю, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 3

Таким образом, ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки.

Приращение скорости Кинематика точки в теоретической механике и, следовательно, среднее ускорение направлены внутрь вогнутости траектории. Так же направлены и их предельные значения при Кинематика точки в теоретической механике, стремящемся к нулю. Поэтому ускорение точки направлено тоже внутрь вогнутости траектории. Кроме того, ускорение как первая производная по времени от скорости, по свойству годографа вектора, параллельна касательной к годографу вектора скорости (рис. 3,6).

Размерность ускорения в Кинематика точки в теоретической механике получаем из (2):

Кинематика точки в теоретической механике

Векторный способ изучения движения

Движение точки относительно рассматриваемой системы отсчета при векторном способе изучения движения задается радиусом-вектором Кинематика точки в теоретической механике этой точки (рис. 4). Движение точки считается заданным, если известен радиус-вектор движущейся точки как функция времени, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Задание векторного уравнения движения (3) полностью определяет движение точки.

Траекторией точки является годограф радиуса-вектора. Скорость точки направлена по касательной к траектории и вычисляется, согласно ее определению, по формуле

Кинематика точки в теоретической механике

Для ускорения точки соответственно имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Таким образом, если движение точки задано векторным способом, то скорость и ускорение вычисляются по формулам (4) и (5).

Определение скорости и ускорения точки сводится к чисто математической задаче вычисления первой и второй производных по времени от радиуса-вектора этой точки. Для практического вычисления скорости и ускорения обычно используют координатный и естественный способы изучения движения. Векторный способ ввиду его краткости и компактности удобен для теоретического изложения кинематики точки.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 4

Координатный способ изучения движения

Задание движения и траектория:

Движение точки можно изучать используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовых прямоугольных осей координат, которые являются также системой отсчета, относительно которой рассматривается движение точки. Движение точки в декартовых координатах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени (рис. 5), т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнения движения точки в декартовых координатах полностью определяют движение точки. Они позволяют найти положение точки, ее скорость и ускорение в любой момент времени. Уравнения движения (6) есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время Кинематика точки в теоретической механике. Уравнения траектории в координатной форме из (6) получают исключением параметра Кинематика точки в теоретической механике. Исключая время, например, из первых двух уравнений и затем из второго и третьего, получим уравнения двух поверхностей:

Кинематика точки в теоретической механике

Это и есть уравнения траектории в координатной форме. Траекторией является линия пересечения двух поверхностей. Эти поверхности являются цилиндрическими, так как их уравнения не содержат одной из координат: первое — координаты Кинематика точки в теоретической механике, второе — координаты Кинематика точки в теоретической механике. Ось первой цилиндрической поверхности параллельна оси Кинематика точки в теоретической механике, второй — оси Кинематика точки в теоретической механике.

Исключая время из уравнений движения в другом порядке, получим траекторию точки как линию пересечения двух других цилиндрических поверхностей, например

Кинематика точки в теоретической механике

При исключении параметра Кинематика точки в теоретической механике из уравнений движения могут быть получены отрезки линий или точки, которые не содержатся в уравнениях (6). Эти дополнительные точки не следует считать точками траектории.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 5

Пример 1.

Даны уравнения движения точки по плоскости

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике — положительные постоянные величины. Определить уравнение траектории в координатной форме.

Решение. Уравнения движения (а) есть уравнения траектории точки в параметрической форме с параметром Кинематика точки в теоретической механике. Исключим его из уравнений движения. Для этого достаточно сложить правые и левые части уравнений, разделив предварительно первое уравнение на Кинематика точки в теоретической механике, а второе — на Кинематика точки в теоретической механике. Получим

Кинематика точки в теоретической механике

так как

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнение (б) есть уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике (рис. 6).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 6

Из уравнений (а) следует, что координаты точки Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике все время положительны и удовлетворяют условиям Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, т. е. они могут изменяться только в пределах Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике.  Точки прямой, для которых Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, не содержатся в уравнениях движения (а). Они дополнительно появились при исключении из уравнений параметра Кинематика точки в теоретической механике. Их не следует включать в траекторию.

Траектория точки Кинематика точки в теоретической механике в координатной форме выражается уравнением и двумя неравенствами:

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость в декартовых координатах

Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат (рис. 7). Получим

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике— координаты точки Кинематика точки в теоретической механике—единичные векторы осей координат; Кинематика точки в теоретической механике— проекции скорости на оси координат.

Учитывая (7), согласно определению скорости, имеем

Кинематика точки в теоретической механике

так как  Кинематика точки в теоретической механике не изменяются при движении точки Кинематика точки в теоретической механике. Точки над  Кинематика точки в теоретической механике означают их производные по времени. Сравнивая (7) и (8), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:

Кинематика точки в теоретической механике

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 7

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 8

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике в этой плоскости, получим:

Кинематика точки в теоретической механике

Соответственно

Кинематика точки в теоретической механике

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например Для прямолинейного движения точки координатную ось, например Ох, направляют по траектории (рис. 8). Тогда Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике. Проекция скорости и ее модуль определяются по формулам

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнение годографа вектора скорости

Известны уравнения движения точки в декартовых координатах. Получим уравнения годографа вектора скорости. На рис. 9, а изображены траектория точки и несколько векторов скорости в выбранном масштабе для различных моментов времени, а на рис. 9,6 представлен годограф вектора скорости этого движения. Точке Кинематика точки в теоретической механике на траектории соответствует точка Кинематика точки в теоретической механике на годографе вектора скорости.

Координаты точки Кинематика точки в теоретической механике, согласно определению годографа, выражаются через проекции вектора скорости на оси координат Кинематика точки в теоретической механике по формулам

Кинематика точки в теоретической механике

Если оси координат для годографа вектора скорости параллельны соответствующим осям координат, относительно которых заданы уравнения движения точки, то

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 9

Параметрические уравнения годографа вектора скорости принимают такую форму:

Кинематика точки в теоретической механике

Исключая из этих уравнений параметр Кинематика точки в теоретической механике, получим уравнения годографа вектора скорости в координатной форме.

Годограф вектора скорости дает наглядное представление о скоростях движущейся точки в разные моменты времени. Он также позволяет определить направление вектора ускорения, так как ускорение параллельно касательной к годографу вектора скорости.

Ускорение точки в декартовых координатах

Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике— проекции ускорения на координатные оси. Согласно определению ускорения и формулам (7) и (8), имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Сравнивая (11) и (12), получаем формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат:

Кинематика точки в теоретической механике

Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки.

Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам

Кинематика точки в теоретической механике

При движении точки по плоскости оси Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике выбирают в этой же плоскости. Тогда Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике. Формулы для ускорения и его проекций на оси координат примут вид

Кинематика точки в теоретической механике

Соответственно

Кинематика точки в теоретической механике

Для прямолинейного движения ось Кинематика точки в теоретической механике направим по траектории точки. Тогда Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике. Формулы для ускорения и его проекции на ось Кинематика точки в теоретической механике принимают вид

Кинематика точки в теоретической механике

Соответственно для числового значения ускорения имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 10

Пример 2.

Движение точки по плоскости Кинематика точки в теоретической механике задано уравнениями Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике—постоянные положительные величины. Определить уравнение траектории в координатной форме, значения скорости и ускорения точки в момент времени Кинематика точки в теоретической механике, а также уравнение годографа вектора скорости.

Решение. Уравнение траектории в координатной форме находим исключением времени из уравнений движения. Для этого поделим первое уравнение на Кинематика точки в теоретической механике, второе — на Кинематика точки в теоретической механике, возводим в квадрат и складываем. Получаем уравнение эллипса (рис. 10, а) с полуосями Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике:

Кинематика точки в теоретической механике

так как

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике точка имеет координаты Кинематика точки в теоретической механике, т. е. занимает положение Кинематика точки в теоретической механике. Определим проекции скорости и ускорения на оси координат. Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Для момента времени Кинематика точки в теоретической механике получаем:

Кинематика точки в теоретической механике

По проекциям устанавливаем направление скорости по касательной к траектории и направление ускорения по радиусу-вектору к точке Кинематика точки в теоретической механике. Изображаем эти векторы в точке Кинематика точки в теоретической механике и дополнительно в точках Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике.

Если выбрать для годографа вектора скорости оси Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике параллельными осям Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, то для его текущих координат имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Исключая из этих параметрических уравнений годографа вектора скорости время г, получим следующее его уравнение в координатной форме:

Кинематика точки в теоретической механике

На рис. 10,6 отмечены три изображающие точки годографа Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, соответствующие точкам траектории Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, а также указаны направления ускорения в этих точках.

Естественный способ изучения движения

Естественный способ задания движения:

При естественном способе задания движения задаются траектория и закон движения точки по траектории. Движение точки рассматривается относительно фиксированной системы отсчета. Задание траектории относительно выбранной системы отсчета осуществляется различными способами: уравнениями (возможно, вместе с неравенствами), словесно или в виде графика (в каком-либо масштабе). Например, можно сказать, что траекторией автомобиля, принимаемого за точку, является дуга окружности радиусом 10 км и т. д.

Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку Кинематика точки в теоретической механике, принимаемую за начало отсчета расстояний (рис. 11). Расстояния в одну сторону от точки Кинематика точки в теоретической механике по траектории считаются положительными (например, вправо), в другую — отрицательными. Кроме того, следует задать начало отсчета времени. Обычно за Кинематика точки в теоретической механике принимают момент времени, в который движущаяся точка проходит через точку Кинематика точки в теоретической механике, или момент начала движения. Время до этого события считается отрицательным, а после него — положительным.

Если в момент времени Кинематика точки в теоретической механике движущаяся точка занимает положение М, то закон движения точки по траектории задается зависимостью от времени расстояния Кинематика точки в теоретической механике, отсчитываемого от точки Кинематика точки в теоретической механике до точки Кинематика точки в теоретической механике, т. е. Кинематика точки в теоретической механике. Эта функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой. Расстояние Кинематика точки в теоретической механике берется по траектории, какой бы сложной ни была форма траектории. Это расстояние не имеет прямого отношения к пройденному точкой пути за время Кинематика точки в теоретической механике, так как за начало отсчета расстояний может быть выбрана, в частности, и конечная точка пути. К тому же движение точки может быть колебательным вокруг начальной точки Кинематика точки в теоретической механике.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 11

От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме через декартовы координаты выражается в виде

Кинематика точки в теоретической механике

и после интегрирования —в конечной форме

Кинематика точки в теоретической механике

если

Кинематика точки в теоретической механике

За начало отсчета расстояний принята точка траектории, в которой находится движущаяся точка в начальный момент времени. Знак у квадратного корня определяется выбором направления положительных и отрицательных расстояний.

Скорость точки при естественном способе задания движения

Пусть движение точки задано естественным способом, т. е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории Кинематика точки в теоретической механике. Вычислим скорость точки. Для этого используем радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке Кинематика точки в теоретической механике (рис. 12). При движении точки ее радиус-вектор изменяется с течением времени, а следовательно, он изменяется в зависимости от расстояния. Используя определение скорости, имеем

Кинематика точки в теоретической механике

или Кинематика точки в теоретической механике, где Кинематика точки в теоретической механике. Вектор Кинематика точки в теоретической механике направлен по касательной к траектории как производная от вектора по скалярному аргументу и является единичным вектором. Модуль этого вектора равен единице, как предел отношения длины хорды Кинематика точки в теоретической механике к длине стягивающей ее дуги Кинематика точки в теоретической механике при стремлении ее к нулю.

Единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастающих (положительных) расстояний независимо от направления движения точки. При Кинематика точки в теоретической механике направления векторов Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике совпадают. Вектор Кинематика точки в теоретической механике в этом случае направлен в сторону возрастающих расстояний. Если точка движется в сторону убывающих расстояний, то Кинематика точки в теоретической механике и направления векторов Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике противоположны. Но вектор Кинематика точки в теоретической механике направлен в сторону убывающих расстояний, а следовательно, вектор Кинематика точки в теоретической механике опять направлен в сторону возрастающих расстояний.

При Кинематика точки в теоретической механике вектор скорости направлен по Кинематика точки в теоретической механике, т. е. в сторону возрастающих расстояний; при Кинематика точки в теоретической механике он имеет направление, противоположное Кинематика точки в теоретической механике, т. е. в сторону убывающих расстояний.

Величина Кинематика точки в теоретической механике называется алгебраической скоростью точки. Ее можно считать проекцией скорости на положительное направление касательной к траектории, совпадающее с направлением единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 12

Естественное задание движения точки полностью определяет скорость точки по величине и направлению. Алгебраическую скорость находят дифференцированием по времени закона изменения расстояний. Единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике определяют по заданной траектории.

Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора

Радиус кривизны и соприкасающаяся плоскость. В точке Кинематика точки в теоретической механике кривой линии проведем касательную Кинематика точки в теоретической механике (рис. 13). В другой близкой точке кривой Кинематика точки в теоретической механике, отстоящей от точки Кинематика точки в теоретической механике на расстоянии Кинематика точки в теоретической механике, построим касательную Кинематика точки в теоретической механике. В общем случае пространственной кривой касательные Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике будут скрещиваться. Проведем в точке Кинематика точки в теоретической механике прямую линию Кинематика точки в теоретической механике параллельную Кинематика точки в теоретической механике. Угол Кинематика точки в теоретической механике между линиями Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике называется углом смежности. Кривизной кривой Кинематика точки в теоретической механике в точке Кинематика точки в теоретической механике называют предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния Кинематика точки в теоретической механике, причем Кинематика точки в теоретической механике стремится к нулю, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Радиусом кривизны кривой Кинематика точки в теоретической механике в точке Кинематика точки в теоретической механике называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиусом Кинематика точки в теоретической механике(рис. 14). Дуга окружности длиной Кинематика точки в теоретической механике, опирающаяся на центральный угол Кинематика точки в теоретической механике, выражается зависимостью Кинематика точки в теоретической механике. Для радиуса кривизны имеем

Кинематика точки в теоретической механике

т. е. для окружности радиус кривизны в каждой ее точке один и тот же и совпадает с радиусом окружности.

Участок кривой из малой окрестности какой-либо ее точки лучше всего аппроксимирует по сравнению с дугами других окружностей элемент дуги окружности, радиус которой равен радиусу кривизны кривой в рассматриваемой точке.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 13

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 14

Для определения понятия соприкасающейся плоскости проводим вспомогательную плоскость через две пересекающиеся прямые Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике (см. рис. 13). Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точки Кинематика точки в теоретической механике с точкой Кинематика точки в теоретической механике называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке Кинематика точки в теоретической механике.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 15

В случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.

Естественный трехгранник

Построим в точке Кинематика точки в теоретической механике кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 15). Первой естественной осью является касательная Кинематика точки в теоретической механике. Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора касательной Кинематика точки в теоретической механике, направленного в сторону возрастающих расстояний.

Перпендикулярно касательной Кинематика точки в теоретической механике располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью Кинематика точки в теоретической механике. Она является линией пересечения нормальной плоскости с соприкасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике. Он определяет положительное направление второй естественной оси.

Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью. Единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике, направленный по бинормали так, чтобы три вектора Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике образовывали правую систему осей координат, определит положительное направление третьей естественной оси.

Три взаимно перпендикулярные оси Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке Кинематика точки в теоретической механике естественный трехгранник. При движении точки по кривой естественный трехгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.

Дифференцирование единичного вектора

Вычислим производную от единичного вектора по скалярному аргументу. В кинематике точки скалярными аргументами обычно являются время и расстояние по траектории. В качестве единичного вектора выберем Кинематика точки в теоретической механике, направленный по касательной к траектории, и вычислим его производную по времени.

Производная Кинематика точки в теоретической механике перпендикулярна самому единичному вектору Кинематика точки в теоретической механике. Для доказательства этого используем тождество

Кинематика точки в теоретической механике

Дифференцируя по времени обе части этого тождества, получим

Кинематика точки в теоретической механике

Каждый из сомножителей этого выражения не равен нулю, поэтому векторы Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике перпендикулярны друг другу. Это справедливо для любого другого вектора, числовая величина (модуль) которого постоянна. Направим по вектору Кинематика точки в теоретической механике единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике. Тогда

Кинематика точки в теоретической механике

Годографом вектора Кинематика точки в теоретической механике является кривая, расположенная на сфере единичного радиуса, так как единичный вектор изменяется только по направлению (рис. 16).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 16

По определению модуля производной от вектора имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Длина малой хордыКинематика точки в теоретической механике с точностью до малых величин более высокого порядка равна длине дуги, которую стягивает хорда, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — угол, опирающийся на эту дугу. Используя это выражение, получим

Кинематика точки в теоретической механике

Подставляя это значение в (14) и используя выражение для радиуса кривизны и переменную Кинематика точки в теоретической механике, получим

Кинематика точки в теоретической механике

Радиус кривизны Кинематика точки в теоретической механике считаем положительным.

Вектор Кинематика точки в теоретической механике и совпадающий с ним по направлению единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике направлены параллельно предельному положению вектора Кинематика точки в теоретической механике при Кинематика точки в теоретической механике, стремящемся к нулю, т. е. они расположены в соприкасающейся плоскости кривой. Единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике перпендикулярен вектору Кинематика точки в теоретической механике, направленному по касательной к кривой. Следовательно, вектор Кинематика точки в теоретической механике направлен по главной нормали кривой в сторону ее вогнутости, так как в эту сторону направлено предельное положение вектора Кинематика точки в теоретической механике.

Если имеем любой другой вектор Кинематика точки в теоретической механике с постоянным модулем, то для него остается справедливым все, что было получено для единичного вектора, только радиус годографа следует заменить его модулем Кинематика точки в теоретической механике. Получим

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — теперь единичный вектор,  перпендикулярный вектору Кинематика точки в теоретической механике и направленный параллельно Кинематика точки в теоретической механике.

Формулу (15′) можно выразить векторным произведением:

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — вектор угловой скорости поворота вектора Кинематика точки в теоретической механике, модуль которого Кинематика точки в теоретической механике. Вектор угловой скорости Кинематика точки в теоретической механике следует направить перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, причем так, чтобы с его стрелки увидеть поворот вектора Кинематика точки в теоретической механике к Кинематика точки в теоретической механике в этой плоскости на угол Кинематика точки в теоретической механике против часовой стрелки. Подробнее понятие вектора угловой скорости дается при рассмотрении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси и в других случаях его движений.

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Учитывая, что для скорости точки имеем

Кинематика точки в теоретической механике

в соответствии с определением ускорения и (15) получаем

Кинематика точки в теоретической механике

так как Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике направлен внутрь вогнутости траектории параллельно единичному вектору главной нормали Кинематика точки в теоретической механике.

Получено разложение ускорения точки по осям естественного трехгранника. Часть ускорения

Кинематика точки в теоретической механике

называется касательной составляющей ускорения. Другая часть ускорения

Кинематика точки в теоретической механике

называется нормальной составляющей ускорения. Она направлена внутрь вогнутости траектории, т. е. в сторону положительного направления единичного вектора главной нормали Кинематика точки в теоретической механике, так как внутрь вогнутости траектории направлено полное ускорение. Таким образом, ускорение точки

Кинематика точки в теоретической механике

Из (17) получим формулы для проекций ускорения на естественные оси. Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Проекция ускорения на положительное направление касательной, совпадающее с направлением единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике, называется касательным ускорением, а на главную нормаль, направленную по единичному вектору Кинематика точки в теоретической механике,— нормальным ускорением. Проекция ускорения на бинормаль, направленную по единичному вектору Кинематика точки в теоретической механике, равна нулю; следовательно, ускорение точки расположено в соприкасающейся плоскости траектории. В этой плоскости находятся единичные векторы касательной и главной нормали.

Учитывая ортогональность Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике (рис. 17), в соответствии с уравнением (18) имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 17

Нормальная составляющая ускорения Кинематика точки в теоретической механике всегда направлена внутрь вогнутости траектории. Касательная составляющая Кинематика точки в теоретической механике при Кинематика точки в теоретической механике направлена в положительную сторону касательной, т. е. по направлению единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике, а при Кинематика точки в теоретической механике — в отрицательную, противоположно Кинематика точки в теоретической механике.

При Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике векторы скорости и касательной составляющей ускорения направлены в одну сторону — по Кинематика точки в теоретической механике. Движение точки является ускоренным в положительном направлении касательной к траектории. При Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике опять векторы скорости и касательной составляющей ускорения имеют одинаковые направления и, следовательно, движение точки является ускоренным, но в отрицательном направлении касательной к траектории.

Если Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, то вектор скорости направлен по Кинематика точки в теоретической механике, а вектор касательной составляющей ускорения противоположен ему по направлению. Движение точки является замедленным в положительном направлении касательной к траектории. При Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике имеем замедленное движение точки в отрицательную сторону касательной к траектории точки.

Случаи обращения в нуль касательного ускорения получают из условия

Кинематика точки в теоретической механике

Это условие выполняется все время, пока Кинематика точки в теоретической механике, т.е. при равномерном движении точки по траектории любой формы. Касательное ускорение обращается в нуль также в те моменты времени, в которые алгебраическая скорость Кинематика точки в теоретической механике достигает экстремума, например максимума или минимума. Для изображенного на рис. 18 изменения алгебраической скорости в зависимости от времени касательное ускорение равно нулю в моменты времени Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике. При колебаниях маятника (рис. 19) эти моменты соответствуют его прохождению через точку Кинематика точки в теоретической механике. При движении маятника в одну сторону алгебраическая скорость в точке Кинематика точки в теоретической механике достигает максимума, при движении в обратном направлении — минимума.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 18

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 19

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 20

Случаи обращения в нуль нормального ускорения следуют из условия

Кинематика точки в теоретической механике

Это условие выполняется при Кинематика точки в теоретической механике, т. е. при прямолинейном движении точки. При движении точки по криволинейной траектории Кинематика точки в теоретической механике в точках перегиба, в которых происходит изменение выпуклости траектории на вогнутость, и наоборот (рис. 20). Нормальное ускорение обращается также в нуль в моменты времени, в которые Кинематика точки в теоретической механике, т. е. в моменты изменения направления движения точки по траектории. Для маятника такими моментами являются моменты отклонения маятника на наибольший угол как в одну сторону, так и в другую. Эти моменты соответствуют мгновенным остановкам маятника.

Случаи обращения в нуль касательного и нормального ускорений, а также общие формулы для них показывают, что касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине, а нормальное— по направлению.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 21

Пример 3.

Точка Кинематика точки в теоретической механике движется по дуге окружности радиусом Кинематика точки в теоретической механике по закону Кинематика точки в теоретической механике, где Кинематика точки в теоретической механике. Начало отсчета расстояний и времени, а также направление положительных расстояний указаны на рис. 21. Определить скорость и ускорение точки в момент времени Кинематика точки в теоретической механике, а также их значения в точке Кинематика точки в теоретической механике и в точке траектории Кинематика точки в теоретической механике, в которой скорость обращается в нуль.

Решение. Скорость и проекции ускорения на естественные оси определяем по формулам  (16) и (19). Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость обращается в нуль, если Кинематика точки в теоретической механике, т. е. в момент времени Кинематика точки в теоретической механике и другие моменты времени, которые в этом примере не рассматриваются. При , т. е. в момент изменения направления движения точки, имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Подставляя в формулы для Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике значение Кинематика точки в теоретической механике, получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Касательное ускорение в этот момент времени обращается в нуль, так как алгебраическая скорость достигает своего максимума.

Частные случаи движения точки

Равномерное движение

При равномерном движении точки по траектории любой формы Кинематика точки в теоретической механике; следовательно, постоянна и алгебраическая скорость Кинематика точки в теоретической механике, которая может отличаться от Кинематика точки в теоретической механике только знаком. Так как

Кинематика точки в теоретической механике

то

Кинематика точки в теоретической механике

если принять при Кинематика точки в теоретической механике.

Равнопеременное движение

Равнопеременным движением называют такое движение по траектории любой формы, при котором касательное ускорение Кинематика точки в теоретической механике. Движение является равноускоренным, если алгебраическая скорость Кинематика точки в теоретической механике и касательное ускорение Кинематика точки в теоретической механике имеют одинаковые знаки. Если Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике имеют разные знаки, то движение является равнозамедленным.

Получим формулы для алгебраической скорости и расстояния при равнопеременном движении. Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

следовательно,

Кинематика точки в теоретической механике

если принять при Кинематика точки в теоретической механике.

Так как Кинематика точки в теоретической механике, то с учетом (21)

Кинематика точки в теоретической механике

если при Кинематика точки в теоретической механике. Выполняя интегрирование, получим

Кинематика точки в теоретической механике

Из (21) и (22) можно определить любые две неизвестные величины, если известны остальные три величины, входящие в эти формулы.

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Рассмотрим движение точки по плоскости. В этом случае движение можно задать в полярных координатах. Для этого примем какую-либо точку Кинематика точки в теоретической механике плоскости за полюс и проведем из нее полярную ось, например ось Кинематика точки в теоретической механике (рис. 22). Положение движущейся точки Кинематика точки в теоретической механике на плоскости известно, если заданы радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике и полярный угол Кинематика точки в теоретической механике как функции времени, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Полярный угол считается положительным, если он откладывается от полярной оси до радиуса-вектора против часовой стрелки. Радиус-вектор как расстояние от точки Кинематика точки в теоретической механике до точки Кинематика точки в теоретической механике принимает только положительные значения.

Уравнения (23) называются уравнениями движения точки в полярных координатах. Они являются также уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если из (23) исключить параметр — время Кинематика точки в теоретической механике, то получим уравнение траектории в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Введем единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике, направленный по радиусу-вектору от полюса Кинематика точки в теоретической механике к точке Кинематика точки в теоретической механике. Тогда

Кинематика точки в теоретической механике

Для скорости Кинематика точки в теоретической механике получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Согласно (15), для производной по времени от единичного вектора имеем

Кинематика точки в теоретической механике

где вместо единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике введен единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике, направление которого получается поворотом вектора Кинематика точки в теоретической механике на Кинематика точки в теоретической механике в положительном направлении угла Кинематика точки в теоретической механике, т. е. против часовой стрелки (рис. 22). После этого для скорости точки получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 22    

Это разложение скорости точки на радиальную Кинематика точки в теоретической механике и трансверсальную (поперечную) Кинематика точки в теоретической механике составляющие, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

где

Кинематика точки в теоретической механике

Для проекций скорости на оси, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике из (24), получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Они соответственно называются радиальной и трансверcальной скоростями. В зависимости от знаков производных Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике радиальная и трансверсальная скорости могут быть как положительными, так и отрицательными.

Используя (24), определяем ускорение точки в полярных координатах. Имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Выполняя дифференцирование, получим

Кинематика точки в теоретической механике

Для производной по времени от единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике имеем

dp°ldt =

так как вектор Кинематика точки в теоретической механике поворачивается с той же угловой скоростью Кинематика точки в теоретической механике, что и вектор Кинематика точки в теоретической механике, а единичным вектором, по которому направлен вектор Кинематика точки в теоретической механике, является вектор Кинематика точки в теоретической механике.

После подстановки в выражение для ускорения производных от единичных векторов и объединения слагаемых имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Получили разложение ускорения точки на радиальную Кинематика точки в теоретической механике и трансверсальную Кинематика точки в теоретической механике составляющие, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Для проекций ускорения на оси Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Ускорение Кинематика точки в теоретической механике называется радиальным, а Кинематика точки в теоретической механикетрансверсальным. Трансверсальное ускорение можно выразить также в форме

Кинематика точки в теоретической механике

Это выражение для трансверсального ускорения широко используется при рассмотрении движения планет и искусственных спутников Земли.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 23

Радиальная и трансверсальная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому

Кинематика точки в теоретической механике

Отметим, что для неподвижных осей координат Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике справедливы формулы

Кинематика точки в теоретической механике

Для подвижных осей Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, как следует из (26) и (28), Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике не равны производным по времени от Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике.

Частные случаи

 1. Если Кинематика точки в теоретической механике, то имеем прямолинейное движение по прямой Кинематика точки в теоретической механике. В этом случае Кинематика точки в теоретической механике и из (26) и (28) получаем:

Кинематика точки в теоретической механике

Эти величины совпадают с ранее полученными выражениями для них при изучении движения точки в декартовых координатах. Только расстояние Кинематика точки в теоретической механике следует заменить на координату Кинематика точки в теоретической механике.

2. При Кинематика точки в теоретической механике (рис. 23) получаем движение точки по окружности. В этом случае Кинематика точки в теоретической механике. Из (26) и (28) имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

В этих формулах Кинематика точки в теоретической механике является угловой скоростью вращения радиуса-вектора, а Кинематика точки в теоретической механике — его угловым ускорением.

Пример 4.

Движение точки задано в полярных координатах уравнениями

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике—постоянные величины. Определить уравнение траектории, скорость и ускорение точки в полярных координатах для момента времени Кинематика точки в теоретической механике и момента времени Кинематика точки в теоретической механике.

Решение. Исключая из уравнений движения параметр Кинематика точки в теоретической механике, получим следующее уравнение траектории в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Это уравнение кардиоиды (рис. 24).

Проекции скорости и ускорения на полярные оси определяем по формулам (26) и (28). Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Для момента времени Кинематика точки в теоретической механике из этих формул получаем:

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Векторы скорости и ускорения для моментов времени Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике изображаем на рисунке.

Пример 5.

Движение точки задано в прямоугольной системе координат уравнениями

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике—в метрах, Кинематика точки в теоретической механике — в секундах.

Определить уравнение траектории в координатной форме, а также скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиальную и трансверсальную составляющие скорости и радиус кривизны траектории в момент времени Кинематика точки в теоретической механике. Изобразить на рисунке траекторию, скорости и ускорения в указанный момент времени.

Решение. Уравнения движения представляют собой уравнение траектории в параметрической форме. Для определения уравнения траектории в координатной форме следует из уравнений движения исключить время Кинематика точки в теоретической механике. Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

следовательно,

Кинематика точки в теоретической механике

Это уравнение параболы. He все точки параболы являются точками траектории. Так как при любых значениях Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, то из уравнений движения получаем дополнительные ограничения для координат точек траектории Кинематика точки в теоретической механике.

Таким образом, точки траектории удовлетворяют условиям

Кинематика точки в теоретической механике

Часть точек параболы, не являющихся точками траектории, дополнительно появилась при исключении из уравнений движения параметра Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 24

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 25

На рис. 25 приведена траектория точки. Траекторией является только часть параболы Кинематика точки в теоретической механике.

Определяем проекции скорости на оси и скорость в любой момент времени:

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Проекции ускорения в любой момент времени определяем по формулам Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Для модуля касательного ускорения при Кинематика точки в теоретической механике имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Нормальное ускорение при Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Для вычисления радиальной скорости предварительно определяем радиус-вектор:

Кинематика точки в теоретической механике

Тогда при Кинематика точки в теоретической механике получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Трансверсальную скорость при Кинематика точки в теоретической механике определяем по формуле

Кинематика точки в теоретической механике

Координаты движущейся точки при Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

По координатам отмечаем положение движущейся точки на траектории и, выбрав масштабы, изображаем векторы скорости и ускорения по их проекциям на оси. Для радиальной составляющей скорости Кинематика точки в теоретической механике учитываем ее направление, противоположное единичному вектору  Кинематика точки в теоретической механике, так как Кинематика точки в теоретической механике получилось со знаком минус.

Для трансверсальной составляющей скорости определено только числовое значение. Из рис. 25 следует, что направление вектора Кинематика точки в теоретической механике противоположно направлению единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике(направление Кинематика точки в теоретической механике получается поворотом на Кинематика точки в теоретической механике вектора Кинематика точки в теоретической механике против часовой стрелки). Следовательно, в рассматриваемом случае Кинематика точки в теоретической механике надо взять со знаком минус, т.е. Кинематика точки в теоретической механике.

Для проверки правильности определения Кинематика точки в теоретической механике можно использовать формулы

Кинематика точки в теоретической механике

Нормальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике всегда направлено внутрь вогнутости траектории. Направление касательного ускорения Кинематика точки в теоретической механике, определяем по Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике; оно оказалось направленным по вектору скорости. Следовательно, точка в рассматриваемый момент времени движется ускоренно.

Определим радиус кривизны траектории в момент времени Кинематика точки в теоретической механике. Все необходимые величины для этого уже имеются. Получим

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах

При движении точки в пространстве иногда используются цилиндрические оси координат. Они получаются добавлением к полярным координатам на плоскости координаты Кинематика точки в теоретической механике, отсчитываемой вдоль неподвижном оси Кинематика точки в теоретической механике, перпендикулярной плоскости, в которой расположены полярные оси координат (рис. 26).

Положение точки Кинематика точки в теоретической механике определяют заданием трех ее цилиндрических координат как функций времени:

Кинематика точки в теоретической механике

Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, выразится в следующей форме:

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — единичные векторы, направленные по осям цилиндрической системы координат. Оси Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике расположены в одной плоскости с осями Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике.

Представим радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике точки Кинематика точки в теоретической механике как сумму двух векторов, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость точки получим дифференцированием радиуса-вектора Кинематика точки в теоретической механике по времени:

Кинематика точки в теоретической механике

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе формулы (24) для скорости точки в полярных координатах. Было получено

Кинематика точки в теоретической механике

Во втором слагаемом постоянный по модулю и направлению единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике можно вынести за знак производной. Для скорости получается следующее разложение на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:

Кинематика точки в теоретической механике

Сравнивая (32) с (30), получаем формулы для проекций скорости на цилиндрические оси координат:

Кинематика точки в теоретической механике

Так как составляющие скорости Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, параллельные осям цилиндрической системы координат, взаимно перпендикулярны, то для модуля скорости имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Ускорение точки получим дифференцированием по времени вектора скорости:

Кинематика точки в теоретической механике

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе ускорения в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Во втором слагаемом при дифференцировании выносим вектор Кинематика точки в теоретической механике за знак производной. Объединяя результаты дифференцирования, получим следующее разложение ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:

Кинематика точки в теоретической механике

Сравнивая его с (31), получаем формулы для проекций ускорения на цилиндрические оси координат

Кинематика точки в теоретической механике

Составляющие ускорения Кинематика точки в теоретической механике взаимно перпендикулярны, поэтому для модуля ускорения имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах

Положение точки в пространстве в декартовой системе координат определяется тремя координатами: Кинематика точки в теоретической механике. Можно выбрать другие три параметра Кинематика точки в теоретической механике и назвать их криволинейными или обобщенными координатами точки. Декартовы координаты будут зависеть от криволинейных:

Кинематика точки в теоретической механике

Движение точки в криволинейных координатах задается уравнениями

Кинематика точки в теоретической механике

Радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке выбранной системы отсчета для рассматриваемого движения, является функцией как декартовых, так и криволинейных координат, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Выберем точку Кинематика точки в теоретической механике, в которой криволинейные координаты равны нулю, и рассмотрим зависимость Кинематика точки в теоретической механике. Получим уравнение в векторной форме координатной линии для Кинематика точки в теоретической механике, проходящей через точку Кинематика точки в теоретической механике. Аналогично  получаются уравнения координатных линий Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, проходящих через точку Кинематика точки в теоретической механике для координат Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике.

Через каждую точку пространства можно провести три координатные линии, пересекающиеся в этой точке. Вдоль каждой из координатных линий изменяется только одна криволинейная координата, а две другие сохраняют постоянные значения, соответствующие рассматриваемой точке.

Рассмотрим частные производные Кинематика точки в теоретической механике. Они как производные от вектора по скалярному аргументу направлены по касательным к координатным линиям, являющимся годографами радиуса-вектора. Введем единичные векторы, направленные по векторам Кинематика точки в теоретической механике. Эти три единичных вектора Кинематика точки в теоретической механике называются базисными векторами. Базисные векторы, как и Кинематика точки в теоретической механике, направлены в каждой точке по касательным к координатным линиям в сторону возрастания криволинейных координат. Направления возрастания и начало отсчета криволинейных координат выбираются при задании движения.

В общем случае базисные векторы могут быть неортогональными. Используя базисные векторы, получаем

Кинематика точки в теоретической механике

или

Кинематика точки в теоретической механике

Скалярные величины Кинематика точки в теоретической механике называются коэффициентами Ламэ.

Для вычисления Кинематика точки в теоретической механике учтем, что радиус-вектор через декартовы координаты можно выразить в форме

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — единичные векторы, направленные по осям декартовой системы координат. Из (37) имеем

Кинематика точки в теоретической механике

и, следовательно

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость точки в криволинейных координатах

При движении точки ее радиус-вектор через обобщенные координаты зависит от времени, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

По определению скорости и правилу дифференцирования сложных функций имеем

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике называется обобщенной скоростью точки.

Используя (36), из (39) получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Получено разложение скорости по осям, направление которых совпадает с направлением базисных векторов.

Для величин составляющих скорости по базисным векторам из (40) имеем

Кинематика точки в теоретической механике

В случае ортогональности базисных векторов по формуле (40′) вычисляются проекции вектора скорости на оси, направленные по базисным векторам. В этом случае для квадрата скорости получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Ускорение в ортогональных криволинейных координатах

Криволинейные координаты считаются ортогональными, если ортогональны их базисные векторы. В приложениях обычно встречается этот случай. Для ортогональных базисных векторов проекции ускорения точки на их направления вычисляем по формулам

Кинематика точки в теоретической механике

Выражая базисные векторы по (36), из (41) получим

Кинематика точки в теоретической механике

Для дальнейших преобразований (42) следует воспользоваться тождествами

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Тождество (43) представляет собой известное правило дифференцирования скалярного произведения двух векторов. Докажем справедливость тождеств Лагранжа (44) и (45). Тождество (44) получим из (39) дифференцированием Кинематика точки в теоретической механике, например, по Кинематика точки в теоретической механике. Учитывая,    что производные  Кинематика точки в теоретической механике  не могут зависеть от Кинематика точки в теоретической механике имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Аналогично, 

Кинематика точки в теоретической механике

т.е.

Кинематика точки в теоретической механике

Справедливость тождества (44) установлена.

Для доказательства тождества (45) продифференцируем Кинематика точки в теоретической механике из (39) по Кинематика точки в теоретической механике. Получим

Кинематика точки в теоретической механике

Учитывая, что Кинематика точки в теоретической механике не может зависеть от обобщенных скоростей, и дифференцируя ее по времени как сложную функцию времени, имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Правые части (46) и (47) совпадают, так как они отличаются только порядком частного дифференцирования, от которого частные производные не зависят. Следовательно, тождество (45) доказано. Используя тождества, преобразуем выражение в скобках из (42). Получим

Кинематика точки в теоретической механике

Учитывая, что Кинематика точки в теоретической механике, и вводя функцию Кинематика точки в теоретической механике, из (42) с учетом (48) имеем

Кинематика точки в теоретической механике

По формулам (49) можно вычислить проекции ускорения точки на оси, направленные по базисным ортогональным векторам.

Скорость и ускорение в сферических координатах

В качестве примера использования полученных формул вычислим скорость и ускорение точки в сферических координатах. Сферическими координатами точки Кинематика точки в теоретической механике являются величины Кинематика точки в теоретической механике (рис. 27). Координатной линией для Кинематика точки в теоретической механике является прямая Кинематика точки в теоретической механике с базисным вектором Кинематика точки в теоретической механике. Координатной линией для Кинематика точки в теоретической механике служит параллель сферы с базисным вектором Кинематика точки в теоретической механике и координатной линией Кинематика точки в теоретической механике — меридиан сферы с базисным вектором Кинематика точки в теоретической механике.

Базисные векторы оказались ортогональными. Декартовы координаты Кинематика точки в теоретической механике точки Кинематика точки в теоретической механике через сферические выражаются следующими зависимостями:

Кинематика точки в теоретической механике

По формулам (38) вычисляем коэффициенты Ламэ. Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Проекции скорости на оси, направленные по базисным векторам, определяем согласно (40′). Получаем

Кинематика точки в теоретической механике

После этого

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 27

Для квадрата скорости и функции Кинематика точки в теоретической механике имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Проекции ускорения на оси, направленные по базисным векторам, вычисляем по формулам (49). Имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Для вектора ускорения получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Модуль ускорения будет иметь следующее выражение:

Кинематика точки в теоретической механике

Аналогично можно вычислить ранее полученные скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах.

Справочный материал по кинематике точки

Кинематика изучает механическое движение тел без учета факторов, обусловливающих это движение.

Основными понятиями в кинематике являются движение, ‘пространство и время.

Движение, как было отмечено раньше, обнимает собой все происходящие во вселенной изменения.

Пространство и время представляют собой формы существования материи, без которых немыслимы ни существование, ни движение материи.

Отделить движение от материи нельзя, так же как нельзя себе представить движение материи, происходящее вне времени и пространства.

В кинематике, так же как и вообще в теоретической механике, мы будем рассматривать простейшую форму движения материи — механическую, т. е. перемещение тел в пространстве и во времени. Движение тела будет кинематически определено, если в каждый данный момент времени будет известно положение тела относительно выбранной системы отсчета. Положение тела при его движении определяется по отношению к какой-либо системе координат, связанной с другим телом, например с Землей.

Однако при изучении движения некоторых механических систем эта система отсчета может оказаться недостаточно точной. Так, при опыте с маятником Фуко, где заметно сказывается вращение Земли, за «неподвижную» систему следует принять Солнце. В других вопросах и этого оказывается недостаточно. Тогда неподвижную систему придется перенести на «неподвижную» звездную систему.

В том случае, когда положение рассматриваемого тела остается с течением времени неизменным по отношению к выбранной системе отсчета, про такое тело говорят, что оно находится в покое по отношению к данной системе отсчета.

По отношению к различным системам отсчета тело может совершать различные движения или находиться в покое. Так, например, если тело находится в относительном покое по отношению к Земле, оно уже не будет находиться в покое по отношению к Солнцу, так как это тело будет двигаться вместе с Землей вокруг Солнца. В этом смысле покой и движение тела относительны и зависят от выбранной системы отсчета.

В последующем изложении, если об этом не будет сделано специальной оговорки, мы будем рассматривать движение материальной точки или абсолютно твердого тела, происходящее по отношению к координатным осям, связанным с Землей, которую условно будем считать неподвижной.

При вычислениях все линейные величины мы обычно будем выражать в метрах или сантиметрах, а время в секундах.

При измерении времени следует различать понятия: начальный момент времени, момент времени и промежуток времени.

Начальным моментом времени называется произвольный момент.времени, принятый условно за начало отсчета времени Кинематика точки в теоретической механике.

Под моментом времени понимается число секунд, прошедшее от начального момента времени, соответствующего началу движения тела (или когда мы начали наблюдать за этим движением), до данного момента.

Промежуток времени определяет число секунд, отделяющих два каких-либо последовательных Момента времени Кинематика точки в теоретической механике

Способы задания движения точки

Первый способ задания движения точки

Изучение кинематики начнем с рассмотрения движения точки.

Пусть точка М (рис. 139) совершает движение, описывая в пространстве кривую АВ. Эта непрерывная кривая, которую описывает точка М при своем движении, называется ее траекторией. Если траектория прямая, то движение точки называется прямолинейным, если же кривая, то — криволилейным.

Очевидно, что траектория точки есть годограф радиуса-вектора Кинематика точки в теоретической механике, определяющего положение точки М на ее траектории. При движении точки М радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике, определяющий ее положение, изменяется по величине и направлению с течением времени. Функциональная зависимость радиуса-вектора Кинематика точки в теоретической механике от времени Кинематика точки в теоретической механике может быть выражена равенством:

Кинематика точки в теоретической механике

Если зависимость (66) задана, то тем самым можно определить и положение точки М в пространстве в любой момент времени. Это есть первый способ задания движения точки.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 139.

Второй способ задания движения точки

Однако движение точки может быть задано иначе. В самом деле, положение движущейся точки в пространстве в данный момент определяется тремя координатами Кинематика точки в теоретической механике. Эти координаты при движении являются функциями времени (рис. 139):

Кинематика точки в теоретической механике

Если известна зависимость координат от времени, то .можно в любой момент указать положение, движущейся точки в пространстве.

Поэтому второй способ задания движения точки заключается в том,что нам даны уравнения движения (67). Если точка движется в плоскости, то ее положение будет определяться двумя уравнениями:

Кинематика точки в теоретической механике

Исключая, например, из уравнений (67а) время t, получим уравнение траектории точки, движущейся в плоскости:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнения (67) и (67а) могут рассматриваться так же, как параметрические уравнения траектории, причем роль параметра играет время t.

Координаты Кинематика точки в теоретической механике точки М можно рассматривать как проекции радиуса вектора Кинематика точки в теоретической механике на координатные оси. Поэтому, обозначив единичные векторы координатных осей через Кинематика точки в теоретической механике на основании равенства (4) будем иметь:

Кинематика точки в теоретической механике

Если движение точки происходит в плоскости, например, хОу (рис. 140), то уравнение (66) может быть сведено к заданию модуля Кинематика точки в теоретической механике и полярного угла Кинематика точки в теоретической механике, как функций времени:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнения (69) называются уравнениями движения точки в полярных координатах.

Между уравнениями движения (67а) и (69) имеется такая же зависимость, как между прямоугольными и полярными координатами. Из треугольника ОАВ (рис. 140) имеем: Кинематика точки в теоретической механикеи обратно: Кинематика точки в теоретической механике и 

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 140.

Третий способ задания движения точки

Наконец, движение точки М может быть задано по третьему способу. Пусть точка М движется по заданной траектории (рис. 139).

Для определения положения точки М в данный момент времени выберем на ее траекторий неподвижную точку О, которую назовем началом отсчета. Тогда положение точки в данный момент будет определяться расстоянием ее от начала отсчета. Условимся пройденные расстояния считать положительными, если точка находится по одну сторону от начала отсчета, и отрицательными — если по другую. Следует заметить, что при Кинематика точки в теоретической механике точка М не обязательно будет находиться в начале отсчета О, а может занимать некоторое положение Кинематика точки в теоретической механике определяемое расстоянием Кинематика точки в теоретической механике от начала отсчета. Это расстояние, соответствующее начальному моменту, называется начальным расстоянием. Так как пройденный путь Кинематика точки в теоретической механике изменяется с течением времени, то, следовательно, Кинематика точки в теоретической механике является некоторой функцией от t:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнение (70) называется уравнением движения, или законом движения точки.

Заданием траектории и уравнения движения (70) вполне определяется положение движущейся точки в пространстве в любой момент времени. В этом заключается третий способ задания движения точки.    ‘

Задача №1

Для следующих случаев задания движения точки требуется:

a)    найти уравнение траектории и вычертить ее;

b)    указать начальное положение точки на ее траектории;

c)    найти закон расстояний, приняв за начало отсчета путей начальное положение точки;

d)    показать направление движения точки по ее траектории.

Кинематика точки в теоретической механике

Решение. Для вычерчивания траектории мы могли бы дать времени Кинематика точки в теоретической механике ряд значений, например, Кинематика точки в теоретической механике и т. д. (см. табл. 5), для которых получили бы ряд точек с известными координатами. Соединив полученные точки плавной кривой, получим траекторию движущейся точки. Однако в большинстве случаев важно получить уравнение траектории, которое выражает аналитически зависимость между х и у. Для этого, как мы знаем, следует из уравнений движения исключать время Кинематика точки в теоретической механике.

Таблица 5                                      Таблица 6

Кинематика точки в теоретической механике

Решая первое из уравнений движения относительно Кинематика точки в теоретической механике и подставляя найденное значение Кинематика точки в теоретической механике во второе уравнение, имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Полученное уравнение является уравнение параболы. Посторим ее (рис. 141) по точкам (талб. 6).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 141.

Для нахождения начального положения точки на ее траектории подставим в заданные уравнения движения значение Кинематика точки в теоретической механике. Тогда получим: Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике; поэтому в начальный момент точка находится в начале координат.

Закон пройденных расстояний (70) найдется, если воспользоваться известной из дифференциальной геометрии зависимостью между дифференциалом дуги Кинематика точки в теоретической механике и дифференциалом координат Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике (рис. 141):

Кинематика точки в теоретической механике
 

но так как Кинематика точки в теоретической механике, то

Кинематика точки в теоретической механике

Отсюда находим:

Кинематика точки в теоретической механике

Так как по условию начало отсчета следует взять в начальном положении точки, то, полагая в последнем выражении Кинематика точки в теоретической механике, получим Кинематика точки в теоретической механике; тогда:

Кинематика точки в теоретической механике

Направление движения точки по траектории найдем, если в уравнения движения точки (67а) или (70) вместо t подставим ряд положительных возрастающих значений, например t = 0, t = 1, t = 2 (табл. 5). Мы видим, что при возрастании t возрастают также и координаты движущейся точки, а поэтому движение точки будет происходить в направлении, показанном стрелкой (рис. 141).

Кинематика точки в теоретической механике

Ответ: прямая линия Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Решение. Для исключения времени t возведем обе части равенства каждого из уравнений в квадрат и сложим; тогда имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Отсюда заключаем, что траектория точки — окружность радиусом 3 единицы и с центром в начале координат (рис. 142).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 142.

При Кинематика точки в теоретической механике, а поэтому в начальный момент точка находится на оси Кинематика точки в теоретической механике в положении Кинематика точки в теоретической механике. Беря производную от координат по времени, получим:

Кинематика точки в теоретической механике

далее:    

Кинематика точки в теоретической механике

откуда Кинематика точки в теоретической механике

Из уравнений движения видно, что при возрастании t абсцисса х уменьшается, ордината увеличивается, а поэтому точка будет двигаться против часовой стрелки в направлении, указанном стрелкой.

Кинематика точки в теоретической механике

Указание: для нахождения уравнения движения берем производную по времени t от координат х и у, после чего получаем Кинематика точки в теоретической механике. Интегрируя полученное равенство, находим Кинематика точки в теоретической механике Постоянная интегрирования Кинематика точки в теоретической механике определяется из условия, что при Кинематика точки в теоретической механике

Ответ: прямая Кинематика точки в теоретической механике

Задача №2

С дирижабля, летящего на высоте 600 м, сбросили груз, движение которого в недрах и секундах выражается уравнениями: Кинематика точки в теоретической механике Найти уравнение траектории груза, дальность его полета в горизонтальном направлении и время падения.

Решение. Исключая из уравнений движения время t, найдем, что траекторией груза будет парабола: Кинематика точки в теоретической механике . Подставляя в уравнение траектории вместо у значение Кинематика точки в теоретической механике, получим дальность полета груза в горизонтальном направлении: Кинематика точки в теоретической механике. Время падения груза найдем, если, например, в первое из уравнений движения груза вместо х подставим Кинематика точки в теоретической механике и решим уравнение относительно t; имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №3

Движение точки в сантиметрах и секундах выражается уравнением:

Кинематика точки в теоретической механике

Построить график расстояний.

Решение. Графиком расстояний называется кривая зависимости пройденного расстояния В нашем случае кривая расстояний представляет собой синусоиду. Построим ее по точкам (табл. 7).

Таблица 7

Кинематика точки в теоретической механике

Имея график расстояний (рис. 142а), можно для любого момента времени найти величину пути,  пройденного движущейся точкой от начала отсчета, а следовательно, и указать положение точки на ее траектории, которая должна быть дана. 

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 142а.

Скорость точки

Бели точка движется по траектории так, что в любые два равных промежутка времени она проходит равные пути, то такое движение точки называется равномерным.

Скоростью равномерного движения называется путь, пройденный точкой в единицу времени, например в секунду, минуту, час и т. п. Пусть в начальный момент точка находилась на расстоянии Кинематика точки в теоретической механике от начала отсчета, а в момент t — на расстоянии s; тогда, согласно определению, величина скорости этого движения будет постоянна и определится по формуле:

Кинематика точки в теоретической механике

откуда расстояние точки s от начала отсчета в любой момент времени t будет:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнение (71) называется уравнением равномерного движения.   

Найдем теперь скорость любого движения точки. В этом случае она определяется в зависимости от того, как задано движение точки.

Пусть движение точки задано по первому способу, т. е. по уравнению (66); допустим, что в момент t движущаяся точка находилась в положении М, определяемом радиусом-вектором Кинематика точки в теоретической механике (рис. 15).

За малый промежуток времени Кинематика точки в теоретической механике точка перейдет в положение Кинематика точки в теоретической механике, определяемое уже другим радиусом-вектором Кинематика точки в теоретической механике, при этом вектор перемещения Кинематика точки в теоретической механике точки М за время Кинематика точки в теоретической механике равен Кинематика точки в теоретической механике

Если бы точка М двигалась не по дуге кривой Кинематика точки в теоретической механике а по хорде Кинематика точки в теоретической механике то, предположив, что эту хорду точка проходит движением равномерным, найдем среднюю скорость ее, как отношение вектора перемещения Кинематика точки в теоретической механике к сбответствующему промежутку времени Кинематика точки в теоретической механике, т. е. Кинематика точки в теоретической механике  Направление же вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения Кинематика точки в теоретической механике.

Истинную скорость движущейся точки в рассматриваемом положении мы должны принять, как векторную величину, равную пределу отношения вектора перемещения Кинематика точки в теоретической механике к соответствующему промежутку времени Кинематика точки в теоретической механике стремящемуся к нулю:

Кинематика точки в теоретической механике

Что касается направления истинной скорости, то она, следуя направлению хорды, будет в пределе направлена по касательной к траектории в данной точке.

Следовательно, вектор скорости равен векторной производной радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

Для нахождения скорости точки, если задано ее движение по второму способу, т. е. по уравнениям (67), выразим сначала радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике точки через его компоненты по формуле (68):

Кинематика точки в теоретической механике

Тогда на основании уравнения (72) имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

С другой стороны, обозначая проекции скорости на координатные оси через Кинематика точки в теоретической механике, напишем:

Кинематика точки в теоретической механике

Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах, найдем проекции скорости на координатные оси:

Кинематика точки в теоретической механике

В дальнейшем первые производные по времени будем обозначать Кинематика точки в теоретической механике, а вторые производные — Кинематика точки в теоретической механике

Итак, проекция скорости на неподвижную ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени. Модуль скорости находим по выражению:    

Кинематика точки в теоретической механике

Направление же вектора скорости к координатным осям определится через косинусы углов, которые составляет вектор скорости с осями координат.

Пусть теперь движение точки задано траекторией и законом движения, выраженным формулой (70).

Допустим, что за промежуток времени Кинематика точки в теоретической механике точка перешла из положения М в положение Кинематика точки в теоретической механике (рис. 143), пройдя путь, равный длине дуги Кинематика точки в теоретической механике

Заменим движение точки М по дуге кривой Кинематика точки в теоретической механике движением по хорде Кинематика точки в теоретической механике ; тогда, рассматривая это движение, как равномерное, найдем, что вектор средней скорости точки за промежуток времени Кинематика точки в теоретической механике равен Кинематика точки в теоретической механике

Направление же средней скорости воображаемого движения будет совпадать с направлением вектора перемещения Кинематика точки в теоретической механике направленного по хорде. Заменив криволинейную траекторию точки ломаной линией Кинематика точки в теоретической механике мы тем самым криволинейное движение заменяем рядом прямолинейных и равномерных движений, причем переход от одного прямолинейного движения к другому происходит скачками.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 143.

Увеличивая число хорд и тем самым уменьшая их длины, мы будем точнее приближаться к действительному криволинейному движению, так как разности между дугами Кинематика точки в теоретической механике и хордами Кинематика точки в теоретической механике будут уменьшаться. Вместе с этим переход от одной хорды к другой будет постепенно сглаживаться. Когда число хорд будет стремиться к бесконечности, а длина каждой хорды — к нулю, средние скорости будут стремиться также к некоторому пределу, который представит собой истинную скорость в данной точке траектории:

Кинематика точки в теоретической механике

Что касается направления истинной скорости, то она, следуя направлению хорды, будет в пределе направлена по касательной к траектории в данной точке.

Умножив числитель и знаменатель последнего равенства на Кинематика точки в теоретической механике, получим:

Кинематика точки в теоретической механике

Но так как предел отношения длины хорды к длине дуги равен единице, а направление Кинематика точки в теоретической механике в пределе совпадает с касательной, тоКинематика точки в теоретической механике является единичным вектором Кинематика точки в теоретической механике касательной в точке М.

Отсюда находим:

Кинематика точки в теоретической механике

где 

Кинематика точки в теоретической механике                           

Задача №4

Движение точки в метрах и секундах выражается уравнениями: Кинематика точки в теоретической механике

Найти уравнение траектории, величину и направление скорости.

Решение. Уравнение траектории прямаяКинематика точки в теоретической механике По формулам (73) найдем проекции скорости на координатные оси:

Кинематика точки в теоретической механике

Величина скбрости найдется по формуле (74):

Кинематика точки в теоретической механике

Направление же скорости определяется косинусами углов, которые составляет вектор скорости с координатными осями:

Кинематика точки в теоретической механике

откуда Кинематика точки в теоретической механике

Задача №5

Движение снаряда в метрах и секундах выражается уравнениями: Кинематика точки в теоретической механике

Требуется найти: уравнение траектории; высоту Кинематика точки в теоретической механике и дальность Кинематика точки в теоретической механике полета; скорости Кинематика точки в теоретической механике в наивысшей точке и в момент, когда снаряд пересечет ось Ох (рис. 144).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 144.

Решение. Траекторией снаряда является равнобочная парабола:

Кинематика точки в теоретической механике

Дальность полета снаряда определится, если принять в уравнении траектории Кинематика точки в теоретической механике Кинематика точки в теоретической механике откуда Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике; ясно, что Кинематика точки в теоретической механике 

Для нахождения высоты полета снаряда следует в уравнении траектории принять: Кинематика точки в теоретической механике тогда получим:

Кинематика точки в теоретической механике

Найдем теперь проекции скорости снаряда на координатные оси:

Кинематика точки в теоретической механике

В наивысшей точке вектор скорости горизонтален, а потому:

Кинематика точки в теоретической механике

Для определения скорости снаряда в момент, когда он пересекает ось Ох, вычислим время полета снаряда, взяв хотя бы первое из уравнений движения и приняв Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

откуда находим:

Кинематика точки в теоретической механике

Направление скорости определится косинусами углов:

Кинематика точки в теоретической механике

откуда Кинематика точки в теоретической механике

Задача №6

Определить траекторию точки, если проекции ее скорости на координатные оси в сантиметрах и секундах выражаются уравнениями: Кинематика точки в теоретической механике в момент Кинематика точки в теоретической механике ордината точки равнялась 2 см, а абсцисса — нулю.

Решение. Найдем сначала уравнения движения точки, для чего проинтегрируем заданные уравнения проекций скорости:

Кинематика точки в теоретической механике

Постоянные интегрирования Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике найдутся из начальных условий; при Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике; далее, при Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике

Подставляя вместо Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике их значения, найдем: Кинематика точки в теоретической механике иКинематика точки в теоретической механике

Исключая из полученных уравнений движения время t, найдем, что траекторией точки является окружность Кинематика точки в теоретической механике с центром С(0; 4).

Задача №7

Даны графики скоростей двух точек, движущихся по одной прямой от одного начального положения (рис. 145). По истечении какого времени точки встретятся?

Решение. Вообще графиком скорости называется кривая зависимости скорости от времени:

Кинематика точки в теоретической механике

Между пройденным расстоянием и величиной скорости точки имеется зависимость (75), из которой найдем элементарное перемещение точки Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 145.

Расстояние же s, пройденное точкой между моментами Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, найдется как сумма ее элементарных перемещений и выразится определенным интегралом:

Кинематика точки в теоретической механике

 Отсюда заключаем, что путь, пройденный точкой за время Кинематика точки в теоретической механике численно равен площади, заключенной между осью Ох, ординатами Кинематика точки в теоретической механике и кривой Кинематика точки в теоретической механике

В нашей задаче точки встретятся, когда расстояния, пройденные ими от начала движения, будут одинаковы, а для этого необходимо, чтобы соответствующие площади треугольников, взятых с графиков скоростей, были равны. Обозначая неизвестное время встречи точек через t, скорость первой точки в момент встречи через Кинематика точки в теоретической механике , а скорость второй — через Кинематика точки в теоретической механике , имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

так как:

Кинематика точки в теоретической механике

окончательно получим Кинематика точки в теоретической механике

Ускорение точки

Остановимся на некоторых вопросах геометрии. Пусть имеется некоторая неплоская кривая (рис. 146). Возьмем на ней две весьма близко расположенные точки Кинематика точки в теоретической механике и проведем в них касательные Кинематика точки в теоретической механике к кривой. Обозначим единичные векторы касательных черезКинематика точки в теоретической механике, а дугу Кинематика точки в теоретической механике — через Кинематика точки в теоретической механике. Проведем через касательную Т плоскость, параллельную Кинематика точки в теоретической механике, для чего достаточно перенести Кинематика точки в теоретической механике, в точку М и тогда плоскость Н, проходящая через Кинематика точки в теоретической механике , будет искомой. При приближении точки Кинематика точки в теоретической механике к точке М плоскость Н приближается к некоторому предельному положению, которое называется соприкасающейся плоскостью в точке М. В случае плоской кривой сама кривая расположена в соприкасающейся плоскости. Плоскость, проведенная в точке М перпендикулярно к касательной Т, называется нормальной плоскостью. Все прямые, проходящие через точку М и лежащие в нормальной плоскости, называются нормалями, а линия пересечения плоскостей нормальной и соприкасающейся называется главной нормалью и обозначается буквой N.

Для окружности направление главной нормали совпадает с направлением ее радиуса. Прямая, перпендикулярная к касательной Т и к главной нормали N, называется бинормалью и обозначается буквой В. Таким образом, три взаимно-перпендикулярных направления N, В и Т могут быть приняты за координатные оси, скрепленные с некоторой точкой М, выбранной на кривой (рис. 147).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 146                                                                       Рис. 147

Такие оси, перемещающиеся вместе с движущейся точкой М, называются естественными осями. Эти оси являются ребрами естественного триэдра, или естественного трехгранника, образованного тремя плоскостями, проходящими через каждые две естественные оси. На рисунке 147 соприкасающаяся плоскость проходит через оси Т и N, нормальная — через N и В и третья плоскость триэдра проходит через В и Т.

Единичные векторы естественных осей обозначены через Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике.

Угол Кинематика точки в теоретической механике между касательными Кинематика точки в теоретической механике (рис. 146) называется углом смежности, а отношение Кинематика точки в теоретической механике называется средней кривизной кривой. Кривизной кривой К в данной точке называется предел отношения Кинематика точки в теоретической механике при Кинематика точки в теоретической механике, т. е.:

Кинематика точки в теоретической механике

Величина Кинематика точки в теоретической механике, обратная кривизне, называется радиусом кривизны и равна:

Кинематика точки в теоретической механике

Если от точки М (рис. 146) в сторону вогнутости кривой отложить в соприкасающейся плоскости отрезок, равный Кинематика точки в теоретической механике, то конец его С определит центр кривизны кривой в данной ее точке.

Для прямой Кинематика точки в теоретической механике, поэтому ее кривизна Кинематика точки в теоретической механике, а радиус кривизны равен бесконечности:

Кинематика точки в теоретической механике

Для окружности:

Кинематика точки в теоретической механике

На этом мы заканчиваем изучение вопросов геометрии и рассмотрим далее изменение вектора скорости движущейся точки. Пусть в моменты Кинематика точки в теоретической механикедвижущаяся точка будет находиться в положениях Кинематика точки в теоретической механике и будет иметь соответствующие скорости Кинематика точки в теоретической механике (рис. 148,а). Если векторы всех скоростей перенести в общее произвольное начало О (рис. 148,0), то геометрическим местом концов векторов всех скоростей, перенесенных в точку О, будет кривая, которая называется годографом скоростей.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 148.                                                         Рис. 149.

Вообще говоря, с течением времени скорость будет изменяться и по величине и по направлению. Взяв изменение скорости Кинематика точки в теоретической механике за какой-либо промежуток времени Кинематика точки в теоретической механике, назовем средним ускорением отношение Кинематика точки в теоретической механике (рис. 149). На рисунке 149 изменение скорости Кинематика точки в теоретической механике представлено для наглядности в виде двух компонентов Кинематика точки в теоретической механике из которых первый Кинематика точки в теоретической механике характеризует изменение скорости только но направлению, а второй Кинематика точки в теоретической механике — только по величине. Предел же этого отношения при Кинематика точки в теоретической механике  называется истинным ускорением в данной точке траектории. Обозначив вектор ускорения точки через Кинематика точки в теоретической механике, получим:

Кинематика точки в теоретической механике

на основании равенства (72). Следовательно, вектор ускорения равен первой векторной производной вектора скорости по времени или второй векторной производной радиуса вектора по времени. Подставляя в последнее равенство вместо вектора Кинематика точки в теоретической механике его значение Кинематика точки в теоретической механике , определяемое равенством (75а), имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Ha основании равенства (22) находим:

Кинематика точки в теоретической механике

но так как согласно формулам (75), (77) и (78)

Кинематика точки в теоретической механике

то окончательно имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Таким образом, полное ускорение точки Кинематика точки в теоретической механике состоит из двух компонентов Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, из которых первый называется касательным или тангенциальным ускорением, направлен по касательной к траектории и характеризует изменение скорости вдоль ее направления, второй же называется нормальным ускорением, направлен по главной нормали к центру кривизны и характеризует изменение скорости перпендикулярно к ее направлению.

Обозначая соответственно касательное ускорение через Кинематика точки в теоретической механике, а нормальное — через Кинематика точки в теоретической механике, имеем (рис. 150):

Кинематика точки в теоретической механике 

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 150.

Модули касательного и нормального ускорений можно рассматривать так же, как проекции полного ускорения на касательную и главную нормаль; проекция же полного ускорения на бинормаль равна нулю, так как полное ускорение расположено в соприкасающейся плоскости. Итак, имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

ПриКинематика точки в теоретической механике вектор Кинематика точки в теоретической механике имеет направление Кинематика точки в теоретической механике, при Кинематика точки в теоретической механике — направление, противоположное Кинематика точки в теоретической механике.

Если точка движется прямолинейно, то Кинематика точки в теоретической механике, так как Кинематика точки в теоретической механике, а если при этом и равномерно, то и Кинематика точки в теоретической механике, так как Кинематика точки в теоретической механике

Движение точки с постоянным касательным ускорением называется равнопеременным. Рассмотрим равнопеременное и прямолинейное движение точки. В этом случае Кинематика точки в теоретической механике , а потому Кинематика точки в теоретической механике Интегрируя полученное выражение два раза, имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

откуда Кинематика точки в теоретической механике и, следовательно,

Кинематика точки в теоретической механике

Далее:

Кинематика точки в теоретической механике

при Кинематика точки в теоретической механике , а поэтому:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнения (82) и (83) называются уравнениями равнопеременного движения. Здесь Кинематика точки в теоретической механике — начальное расстояние, a Кинематика точки в теоретической механике — начальная скорость. Если Кинематика точки в теоретической механике, то движение называется равноускоренным, если Кинематика точки в теоретической механике равнозамедленным.

Уравнения (82) и (83) применимы также и для случая криволинейного движения точки, положив Кинематика точки в теоретической механике

Посмотрим теперь, как находится ускорение точки в том случае, когда движение ее задано по второму способу, т. е. по уравнениям (67). Так как ускорение точки Кинематика точки в теоретической механике а по уравнению (72) Кинематика точки в теоретической механике то, следовательно,

Кинематика точки в теоретической механике

Выражая вектор Кинематика точки в теоретической механике через компоненты, имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

с другой стороны, обозначив проекции ускорения на координатные оси через Кинематика точки в теоретической механике , имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах, получим:

Кинематика точки в теоретической механике
 

Следовательно, проекция ускорения на неподвижную ось равна второй производной от соответствующей координаты по времени. Модуль ускорения будет: 

Кинематика точки в теоретической механике

Направление же вектора ускорения к координатным осям определится через косинусы углов.

Задача №8

Найти нормальное и касательное ускорения точки, движение которой в метрах и секундах выражается уравнениями:

Кинематика точки в теоретической механике

Решение. Найдем сначала по формулам (73) и (84) проекции скорости и ускорения на координатные оси:

Кинематика точки в теоретической механике

Далее находим, что Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике

С другой стороны, по формуле (80): Кинематика точки в теоретической механике; но так как по равенству (81): Кинематика точки в теоретической механике, то Кинематика точки в теоретической механике

Нормальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике можно было бы найти иначе. Исключая из уравнения движения время t, найдем, что уравнение траектории — окружность Кинематика точки в теоретической механике радиус которой  Кинематика точки в теоретической механикеПо формуле (81):

Кинематика точки в теоретической механике

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №9

Движение точки выражается в метрах и секундах уравнениями: Кинематика точки в теоретической механике

Найти скорость точки, ускорение, траекторию и радиус кривизны в наивысшей точке.

Указание: в наивысшей точке параболы (рис. 144) вектор скорости, направленный по касательной, горизонтален, поэтому Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике Зная Кинематика точки в теоретической механике, по формуле (81) находим Кинематика точки в теоретической механике

Траектория точки — парабола Кинематика точки в теоретической механике радиус кривизны в наивысшей точке Кинематика точки в теоретической механике

Ответ: Кинематика точки в теоретической механике

Задача. Точка движется по некоторой кривой так, что в момент / = 4 сек, вектор ее полного ускорения составляет угол 30° с направлением нормали к траектории. Определить радиус кривизны
 

Задача №10

Движение автомобиля по дороге, имеющей форму двух четвертей окружности радиуса Кинематика точки в теоретической механике и прямой вставки между ними, выражается в метрах и секундах уравнением Кинематика точки в теоретической механике. Построить графики пути, скорости, касательного и нормального ускорений автомобиля, приняв за начало отсчета пройденных путей точку О (рис. 151, а).

Решение. По формулам (75) и (81) находим выражение скорости, касательного и нормального ускорений автомобиля:

Кинематика точки в теоретической механике

Графики пути, скорости нормального и касательного ускорений легко строятся по точкам (рис. 151, б, в, г, д). Следует обратить внимание на то, что на прямолинейном участке пути Кинематика точки в теоретической механике, так как Кинематика точки в теоретической механике. Для того чтобы узнать граничные промежутки времени, когда Кинематика точки в теоретической механике, надо в заданное уравнение движения Кинематика точки в теоретической механике вместо Кинематика точки в теоретической механике подставить сначала длину первого закругления, равную 15,7 м, а затем длину первого закругления, сложенную с длиной прямой вставки, равную 25,7 м.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 151.

Отсюда получаем два граничных момента времени: Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, соответствующих равенству нулю нормального ускорения.

Задача №11

Для точки, движущейся по прямой, диаграмма расстояний представляет собой четверть эллипса (рис. 152). Выразить расстояние, скорость и ускорение движущейся точки, как функции времени. Построить диаграммы (графики) скоростей и ускорений.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 152.

Решение. Выразим сначала аналитически зависимости: Кинематика точки в теоретической механике Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике

Зависимость между расстоянием s и временем t по заданному графику пути может быть выражена в форме уравнения эллипса (рис. 152):

Кинематика точки в теоретической механике

откуда: 

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике а при Кинематика точки в теоретической механике т.е. составленное уравнение движения иточки удовлетворяет заданному графику пути.

Выразим теперь Кинематика точки в теоретической механике, как функцию времени. По формуле (75) находим:

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике а при Кинематика точки в теоретической механике

Величина ускорения найдется по первой из формул (81):

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике а при Кинематика точки в теоретической механике

На рисунке 152 изображены графики: скорости Кинематика точки в теоретической механике и ускорения Кинематика точки в теоретической механике

Последние два графика можно построить по точкам, зная Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, как функции времени, или же получить графически, путем графического дифференцирования графика пути Кинематика точки в теоретической механике Следует отметить, что графиком ускорений вообще называется кривая:

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №12

Найти величину и направление ускорения и радиус кривизны траектории точки М колеса радиуса R = 1 м, катящегося без скольжения по горизонтальной оси Ох (рис. 153). Известно, что скорость центра колеса Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 153.

Решение. Если в начальный момент точка М колеса находилась в начале координат О, то в момент Кинематика точки в теоретической механике координаты этой точки определятся:

Кинематика точки в теоретической механике

Так как дуга AM равна отрезку ОА, то Кинематика точки в теоретической механике и, следовательно:

Кинематика точки в теоретической механике

Поэтому уравнения движения точки М будут:

Кинематика точки в теоретической механике

Проекции ускорения точки М на координатные оси найдутся по формулам:

Кинематика точки в теоретической механике

Величина полного ускорения точки М равна:

Кинематика точки в теоретической механике

Направление вектора полного ускорения определяется по направляющим косинусам:

Кинематика точки в теоретической механике

Из последних равенств следует, что вектор ускорения направлен по МС к центру катящегося колеса.

Скорость точки М найдется на основании равенств:

Кинематика точки в теоретической механике

Касательное и нормальное, ускорения точки М соответственно определятся:

Кинематика точки в теоретической механике

Радиус кривизны траектории точки М найдется из выражения для нормального ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

Так как Кинематика точки в теоретической механике, то Кинематика точки в теоретической механике и, следовательно, длина хорды: 

Кинематика точки в теоретической механике

поэтому Кинематика точки в теоретической механике

Перейдем теперь к изучению движения точки по окружности. Пусть точка движется по окружности радиуса а (рис. 154) и занимает в начальный момент положение Кинематика точки в теоретической механике Определим начальное положение точки постоянным углом Кинематика точки в теоретической механике который составляет радиус Кинематика точки в теоретической механике с осью Ох. По прошествии времени Кинематика точки в теоретической механике точка перейдет в положение М и радиус а, определяющий положение точки, будет составлять с осью Ох уже иной угол, равный Кинематика точки в теоретической механике Из рассмотрения треугольника ОМВ составляем уравнения движения точки М:

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис.154. 

Ясно, что угол Кинематика точки в теоретической механике — переменный и является функцией времени Кинематика точки в теоретической механике, т. е. Кинематика точки в теоретической механике

Согласно равенствам (73) найдем проекции скорости точки М на координатные оси:

Кинематика точки в теоретической механике

Величина Кинематика точки в теоретической механике, характеризующая быстроту изменения угла Кинематика точки в теоретической механике, называется угловой скоростью. Обозначая угловую скорость буквой Кинематика точки в теоретической механике можем написать:    

Кинематика точки в теоретической механике

тогда

Кинематика точки в теоретической механике

Модуль линейной скорости точки определится по формуле (74):

Кинематика точки в теоретической механике

Но, так как

Кинематика точки в теоретической механике

то

Кинематика точки в теоретической механике

т. е. линейная скорость точки, движущейся по окружности, равна произведению угловой скорости на радиус.

Величины нормального и касательного ускорений точки, движущейся по окружности, найдутся по формулам (81):

Кинематика точки в теоретической механике

Величина Кинематика точки в теоретической механике характеризующая быстроту изменения угловой скорости Кинематика точки в теоретической механикеназывается угловым ускорением.

Обозначим угловое ускорение буквой Кинематика точки в теоретической механике и принимая во внимание равенство (87), получим:

Кинематика точки в теоретической механике

Если Кинематика точки в теоретической механике, то Кинематика точки в теоретической механике, и точка согласно равенству (89) движется равномерно по окружности. Пользуясь равенством. (90), получим:

Кинематика точки в теоретической механике

Полное ускорение точки (рис. 155):

Кинематика точки в теоретической механике

Если Кинематика точки в теоретической механике то Кинематика точки в теоретической механике имеет то же направление, что и Кинематика точки в теоретической механике если Кинематика точки в теоретической механике то Кинематика точки в теоретической механике имеет направление, противоположное Кинематика точки в теоретической механике Из рисунка 155 видно, что угол, который образует вектор полного ускорения точки с радиусом ОМ, или, что то же, с нормальным ускорением Кинематика точки в теоретической механике составляет:

Кинематика точки в теоретической механике

или

Кинематика точки в теоретической механике

Обычно угловая скорость измеряется в Кинематика точки в теоретической механике но на практике часто угловую скорость измеряют в Кинематика точки в теоретической механике в этом случае угловую скорость обозначают буквой Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 155.

Найдем зависимость между угловой скоростью Кинематика точки в теоретической механике и числом оборотов в минуту Кинематика точки в теоретической механике 

Пусть радиус ОМ (рис. 155) вместе с точкой М совершит в минуту Кинематика точки в теоретической механике оборотов. За один оборот радиус повернется на угол Кинематика точки в теоретической механике радиан, а за Кинематика точки в теоретической механике оборотов — на угол Кинематика точки в теоретической механике радиан в минуту; в секунду же он повернется на:

Кинематика точки в теоретической механике

Таким образом:    

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике выражено в об/мин, а Кинематика точки в теоретической механике в 1/сек.

Задача №13

Кривошипно-шатунный механизм состоит из кривошипа Кинематика точки в теоретической механике, шатуна Кинематика точки в теоретической механике и ползуна В, могущего перемещаться по неподвижной прямой ОВ (рис. 156).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 156.

Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью Кинематика точки в теоретической механике. Требуется:

1)    найти закон движения ползуна В, величину его скорости и ускорения в момент t.

2)    на ординатах Кинематика точки в теоретической механике, соответствующих крайним и среднему положениям ползуна В, построить графики скоростей и ускорений. 

Решение. Примем за начало отсчета расстояний ползуна В точку О и обозначим отрезок ОВ  через х. Из чертежа видно:

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — угол поворота кривошипа ОА изменяется пропорционально времени, так как по условию вращение кривошипа равномерное.

Зависимость между углами Кинематика точки в теоретической механике выразим из Кинематика точки в теоретической механике по теореме синусов:

Кинематика точки в теоретической механике

откуда

Кинематика точки в теоретической механике

Далее:

Кинематика точки в теоретической механике

Раскладывая полученное выражение по формуле бинома Ньютона, найдем:

Кинематика точки в теоретической механике

Ограничившись первыми двумя членами разложения, получим приближенное уравнение движения ползуна:

Кинематика точки в теоретической механике

при

Кинематика точки в теоретической механике

при

Кинематика точки в теоретической механике

что соответствует чертежу.

Выражения скорости и ускорения ползуна найдутся путем дифференцирования по времени t его уравнения движения:

Кинематика точки в теоретической механике

Графики скорости и ускорения ползуна можно построить по точкам, давая углу Кинематика точки в теоретической механике;

при Кинематика точки в теоретической механике 

       Кинематика точки в теоретической механике

при Кинематика точки в теоретической механике

         Кинематика точки в теоретической механике

при Кинематика точки в теоретической механике

         Кинематика точки в теоретической механике

        
Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 157.

Отсюда видно, что в крайних положениях ползуна скорость его равна нулю, а ускорения не равны нулю, но при этом получаются неравными между собой.

Графики Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике построены на чертеже.

Рассмотрим, наконец, гармоническое колебательное движение точки. Пусть по окружности радиуса а равномерно движется точка М с угловой скоростью Кинематика точки в теоретической механике (рис. 157).

При этом закон движения проекции равномерно движущейся точки на одну из координатных осей, например ось Ох, выразится уравнением:

Кинематика точки в теоретической механике

где  Кинематика точки в теоретической механике так как точка М движется равномерно.

Прямолинейное движение точки, совершающееся по закону синуса или косинуса, называется гармоническим колебательным движением.

В уравнении (95) гармонического колебательного движения величина а наибольшего удаления точки Кинематика точки в теоретической механике от точки О (центра колебаний) называется амплитудой колебания,угол Кинематика точки в теоретической механике — фазой колебания, а угол Кинематика точки в теоретической механике, определяющий начальное положение точки, — начальной фазой колебания.

При Кинематика точки в теоретической механике из уравнения (95) находим:

Кинематика точки в теоретической механике

Но это выражение (рис. 157) дает закон движения другой проекции точки М, а именно проекции ее Кинематика точки в теоретической механике на ось Кинематика точки в теоретической механике. Таким образом, если точка М равномерно движется по окружности, то обе проекции ее Кинематика точки в теоретической механике на координатные оси совершают гармоническое колебательное движение, причем, как видно из чертежа:

Кинематика точки в теоретической механике

т. е. движение точки Кинематика точки в теоретической механике по оси Оу — тоже гармоническое с начальной фазой Кинематика точки в теоретической механике.

Промежуток времени Т, в течение которого вспомогательная точка М опишет полную окружность, а ее проекция Кинематика точки в теоретической механике или Кинематика точки в теоретической механике совершит одно полное колебание (пройдет путь, равный четырем амплитудам, или двум размахам), называется периодом колебания и по определению найдется: Кинематика точки в теоретической механике, откуда: 

Кинематика точки в теоретической механике

Величина Кинематика точки в теоретической механике, определяющая число колебаний в секунду, называется частотой колебаний. Но этим термином часто называют величину Кинематика точки в теоретической механике (угловая или циклическая частота); в дальнейшем мы будем величину Кинематика точки в теоретической механике называть также циклической частотой колебаний. Из уравнения (96) находим:

Кинематика точки в теоретической механике

Если точка Кинематика точки в теоретической механике совершает в минуту Кинематика точки в теоретической механике колебаний, то период колебаний:

Кинематика точки в теоретической механике

а поэтому частота:

Кинематика точки в теоретической механике

Отсюда число колебаний в минуту, выраженное через циклическую частоту колебаний, будет:

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №14

Движения трех точек в сантиметрах и секундах выражаются соответственно уравнениями:

Кинематика точки в теоретической механике

и

Кинематика точки в теоретической механике

Построить графики расстояний этих точек.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 158.

Решение. Каждая из трех точек совершает гармоническое колебательное движение. Для построения графиков расстояний проводам вспомогательную окружность радиуса а см, равного амплитуде колебания, и наносим на окружности последовательно ряд положений I, II, III и т. д. вспомогательной точки М, например через каждые Кинематика точки в теоретической механике секунд, или, что то же, — через угол Кинематика точки в теоретической механике (рис. 158).

Выбираем, далее, на продолжении горизонтального диаметра произвольную точку Кинематика точки в теоретической механике, откладываем от нее в произвольном масштабе равные промежутки времени Кинематика точки в теоретической механике секунд каждый, проводим через точки деления вертикальные прямые и нумеруем их цифрами I, II, III и т. д., соответствующими положениям вспомогательной точки М. Проводам затем через точки I, II, III и т. д. окружности горизонтальные прямые до пересечения с вертикальными прямыми соответственной нумерации и, соединяя точки пересечения непрерывными кривыми, получим графики расстояний точек b, с и d. Как видно из чертежа, формы графиков расстояний трех точек одинаковы, только положение их различно; это объясняется тем, что колеблющиеся точки имеют различные начальные фазы Кинематика точки в теоретической механике , вследствие чего происходит сдвиг фаз. Так, кривая d сдвинута вперед относительно кривой b на 180°, а кривая с —.на 45°.    ‘

Задача №15

Выразить через переменное расстояние х ускорение точки Кинематика точки в теоретической механике представляющей проекцию точки А конца стержня Кинематика точки в теоретической механике на горизонтальную прямую (рис. 159). Стержень ОА вращается в плоскости чертежа с постоянной угловой скоростью Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 159.

Решение. Из Кинематика точки в теоретической механике имеем: Кинематика точки в теоретической механике Скорость и ускорение точки Кинематика точки в теоретической механикенайдутся но уравнениям:

Кинематика точки в теоретической механике

т. е. точка Кинематика точки в теоретической механике, совершающая гармоническое колебание, обладает ускорением, пропорциональным отклонению точки от центра колебаний и направленным к этому центру.

Всё о кинематике

Кинематика — наука о движении геометрических тел. В ней рассматривается само движение без изучения причин, вызывающих это движение. Впервые термин «кинематика» ввел А.Ампер (1775-1836), взяв за основу греческое слово Кинематика точки в теоретической механикеозначающее движение.

Простейшим объектом в кинематике является точка. В кинематике точки рассматриваются следующие функции времени t: радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике скорость Кинематика точки в теоретической механике и ускорение Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения. Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела Кинематика точки в теоретической механике угловой скорости и углового ускорения. Последние две величины векторные, но для вращательного движения их направление всегда постоянно — по оси вращения. Поэтому в решении часто используются скалярные величины Кинематика точки в теоретической механике имеющие смысл проекций этих векторов на ось вращения Кинематика точки в теоретической механике Точкой будем обозначать производную по времени.

В плоском движении тела каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой фиксированной плоскости. Само тело вовсе не обязательно должно быть плоским. Говорить о скорости тела или его ускорении в общем случае не имеет смысла: тело состоит из множества точек, каждая из которых может иметь свою скорость и ускорение. Исключение составляет поступательное движение тела, при котором равны скорости и ускорения всех точек. Кроме того, в некоторых задачах иногда говорят, например, о скорости катящегося цилиндра или о скорости автомобиля, подразумевая при этом скорость точек центральной оси цилиндра или скорость кузова автомобиля. принимая его за точку.

Угловая скорость и ускорение для плоского движения — векторные величины, но их направления всегда перпендикулярны плоскости движения. Введем декартову систему координат, в которой плоскость ху совпадает с плоскостью движения. Тогда угловая скорость Кинематика точки в теоретической механике и ускорение Кинематика точки в теоретической механике направлены вдоль оси Кинематика точки в теоретической механике В решении задач удобно использовать скалярные величины — проекции этих векторов на осьКинематика точки в теоретической механике

Скорость точки А тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либо точки В того же тела, принимаемой за полюс (рис. 81):

Кинематика точки в теоретической механике

Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоское движение, формулу (1) применяют последовательно для всех точек, переходя от одной точки, принимаемой за полюс, к другой.

Кинематика точки в теоретической механике

Схему вычислений в этом случае удобно записывать в виде структурных формул (графов [15])

Кинематика точки в теоретической механике

где над стрелкой указан номер тела или наименование стержня, которому принадлежат точки, а снизу — угол Кинематика точки в теоретической механике между осью х и вектором Кинематика точки в теоретической механике В проекциях на оси х, у граф (2) дает уравнения

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — проекция угловой скорости тела 1 на ось z, перпендикулярную плоскости движенияКинематика точки в теоретической механике . Если вращение происходит против часовой стрелки, то Кинематика точки в теоретической механике а если — по часовой стрелке, то Кинематика точки в теоретической механике

Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механикеПравило «трех С» для запоминания формулы (3): в первом уравнении (проекции на ось х) «икС», «минуС», «синуС».

Изучаем тему: кинематика точки

При изучении темы КИНЕМАТИКА ТОЧКИ вы познакомитесь с простейшими понятиями кинематики. Этот раздел теоретической механики наиболее близко примыкает к математике. Умение дифференцировать и понимать смысл найденных производных — необходимые условия для освоения этой темы.

Проверить и «оживить» решение задачи можно с помощью программы, написанной для математической системы Maple V.

Движение точки в плоскости

Постановка задачи. Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

Для заданного момента времени найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории.

План решения:

1. Определяем траекторию движения точки, исключая t из закона движения (1).

2. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

Кинематика точки в теоретической механике

3. Модуль скорости вычисляем по формуле Кинематика точки в теоретической механике

4.Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения Кинематика точки в теоретической механике

5. Определяем модуль ускорения Кинематика точки в теоретической механике

6. Вычисляем тангенциальное (касательное) ускорение. Дифференцируя скорость Кинематика точки в теоретической механике как сложную функцию времени,

Кинематика точки в теоретической механике

7.Вычисляем нормальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике

8. Нормальное ускорение зависит от скорости точки и радиуса кривизны траектории:

Кинематика точки в теоретической механике

Отсюда находим радиус кривизны

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №16

Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

Для момента времени Кинематика точки в теоретической механике найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории. Координаты х, у даны в см, время — вс.

Решение

1. Определяем траекторию движения точки, исключая t из закона движения (3). Параметрическим представлением траектории является сам закон движения (3). Координатную форму .уравнения движения точки получаем, исключая из закона движения (3) время:

Кинематика точки в теоретической механике

Для того, чтобы окончательно получить ответ на вопрос о траектории, необходимо еще выделить область определения функции (4). Не все точки кривой, определяемой этой функцией, являются точками траектории. При Кинематика точки в теоретической механике имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике Эту же формулу можно вывести иначе, исходя из того, что величина Кинематика точки в теоретической механике равна проекции ускорения на касательную к траектории:

Кинематика точки в теоретической механике

6.1.Движение точки в плоскости 

т.о. траекторией является правая ветвь параболы (4) (рис. 82). График строим по точкам (отмечены звездочками), через равные промежутки времени 0.1 с.

2. Дифференцируя (3) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике имеем следующие численные значения компонентов скорости:

Кинематика точки в теоретической механике

3. Модуль скорости вычисляем по формуле

Кинематика точки в теоретической механике

Вектор скоростиКинематика точки в теоретической механике строим на рисунке в масштабе по известным компонентам Кинематика точки в теоретической механике Если в вычислениях нет ошибок, то вектор скорости будет направлен по касательной к траектории (рис. 82).

4. Дифференцируя (6), находим компоненты вектора ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

5. Определяем модуль ускорения

Кинематика точки в теоретической механике

Вектор ускорения строим на чертеже в масштабе ускорений (не обязательно совпадающем с масштабом скоростей). Вектор ускорения направлен внутрь вогнутости кривой.

6.Вычисляем тангенциальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике :

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике Наличие тангенциального ускорения точки видно уже из рис. 82. Расстояние между первыми двумя точками меньше, чем между двумя последними, хотя интервал времени одинаков. Характеристикой такого изменения является величина Кинематика точки в теоретической механике

7. Вычисляем нормальное ускорение:

Кинематика точки в теоретической механике

8. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике
Центр кривизны траектории лежит на нормали к кривой на расстоянии R = 5.208 см внутри вогнутости кривой. Окружность радиусом R с центром в этой точке максимально близко совпадет с кривой в малой окрестности от нее.

6.2. Путь, пройденный точкой

Постановка задачи. Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

Определить длину пути, пройденного точкой за время Кинематика точки в теоретической механике

 План решения

1. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси Кинематика точки в теоретической механике

2. Считая, что время отсчитывается от нуля, находим длину пути Кинематика точки в теоретической механике :

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №17

Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

гдеКинематика точки в теоретической механике Определить длину пути, пройденного точкой за время Кинематика точки в теоретической механике

Решение

1. Дифференцируя (2) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

Кинематика точки в теоретической механике

2. Считая, что время отсчитывается от нуля, находим длину пути:

Кинематика точки в теоретической механике

Подставляя числовые значения Кинематика точки в теоретической механике получаем Кинематика точки в теоретической механике

Движение точки в пространстве

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

Определить скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории в заданный момент времени.

План решения

1. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х,у и z:Кинематика точки в теоретической механике

Гл.6.Кинематика  точки

2. Вычисляем модуль скорости Кинематика точки в теоретической механике

3.Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

4. Определяем модуль ускорения Кинематика точки в теоретической механике

5. Вычисляем модуль тангенциального ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

6. Вычисляем нормальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике

7.Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки: Кинематика точки в теоретической механике

Задача №18

Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механикес найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны ее траектории.

Решение

1. Дифференцируя (3) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у и z:

Кинематика точки в теоретической механике

2.Вычисляем модуль скорости

Кинематика точки в теоретической механике

3.Дифференцируя (4), находим компоненты вектора ускорения: Кинематика точки в теоретической механике

4. Определяем модуль ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

5. Вычисляем модуль тангенциального ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

6.3.Движение точки в пространстве

6. Вычисляем нормальное ускорение:

Кинематика точки в теоретической механике

7. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Кинематика точки в теоретической механике

Радиус кривизны в данной задаче не зависит от времени. Кривая представляет собой винтовую линию постоянной кривизны. Получаем значения искомых величин при Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Ответы занесем в таблицу (скорости — в см/с, ускорения — в Кинематика точки в теоретической механике радиус кривизны — в см):

Кинематика точки в теоретической механике

Естественный способ задания движения точки

Постановка задачи. Точка движется по плоской кривой

Кинематика точки в теоретической механике

с постоянной скоростью Кинематика точки в теоретической механике Определить ускорение точки, радиус кривизны траектории и косинус угла наклона касательной к траектории с осью ох, при заданном значении х.

План решения:

1. Находим зависимость между компонентами скорости. Дифференцируя (1) по t, используя правило дифференцирования сложной функции Кинематика точки в теоретической механике получаем

Кинематика точки в теоретической механике

6.4.Естественный способ задания движения точки

где штрихом обозначена производная по координате, Кинематика точки в теоретической механике а точкой, как всегда, — по времени, Кинематика точки в теоретической механике

2.  Дополняя (2) уравнением Кинематика точки в теоретической механике получаем систему уравнений, из которой находим компоненты скорости Кинематика точки в теоретической механике

3. Находим косинус угла наклона касательной к траектории с осью ox: Кинематика точки в теоретической механике

4. Находим зависимость между компонентами ускорения. Дифференцируя (2) по t, получаем

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике

5. Так как по условию Кинематика точки в теоретической механике то тангенциальное ускорение равно нулю. Отсюда получаем уравнение

Кинематика точки в теоретической механике

которое совместно с (3) дает систему для определения проекций ускорения. Решаем систему и находим Кинематика точки в теоретической механике

6. Вычисляем модуль ускорения Кинематика точки в теоретической механике

7. Согласно п.5, тангенциальное ускорение равно нулю и нормаль-нос ускорение совпадает с полным: Кинематика точки в теоретической механикеТак как Кинематика точки в теоретической механике находим отсюда радиус кривизны траектории:

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №19

Точка движется по плоской кривой

Кинематика точки в теоретической механике

с постоянной скоростью Кинематика точки в теоретической механике Определить ускорение точки, радиус кривизны траектории и косинус угла касательной к траектории с осью ох при х= 1м.

Решение

1. Находим зависимость между компонентами скорости. Дифференцируем (4) по t. Используя правило дифференцирования сложной функции,получаем

Кинематика точки в теоретической механике

где

Кинематика точки в теоретической механике

При x = 1 имеем Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике

2. Дополняя (5) уравнением Кинематика точки в теоретической механике получаем систему уравнений, из которой находим компоненты скорости Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

3. Находим косинус угла касательной к траектории с осью ох:

Кинематика точки в теоретической механике

4.Находим зависимость между компонентами ускорения. Дифференцируя (5) по t, получаем

Кинематика точки в теоретической механике

где

Кинематика точки в теоретической механике

При х = 1 м вычисляем Кинематика точки в теоретической механике С учетом ранее найденной величины х =3.002, получаем

Кинематика точки в теоретической механике

5. Из условия Кинематика точки в теоретической механике следует, что

Кинематика точки в теоретической механике

Решая это уравнение совместно с (6), находим проекции вектора ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

6. Вычисляем модуль ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

7. Находим радиус кривизны траектории:

Кинематика точки в теоретической механике

Ответы заносим в таблицу:Кинематика точки в теоретической механике

Замечание. В механике гибких стержней и сопротивлении материалов для нахождения радиуса кривизны кривой, заданной в форме у = у(х), существует формула

Кинематика точки в теоретической механике

Решенная задача представляет собой кинематический вывод этой формулы. Проверку решения можно выполнить, подставив в (7) найденные значения Кинематика точки в теоретической механике

Как и следовало ожидать, радиус кривизны траектории R от скорости движения точки не зависит, как не зависит, например, форма рельсового пути от скорости движения трамвая (если, конечно, не учитывать деформации).

Движение точки в полярных координатах

Постановка задачи. Задан закон движения точки в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Найти скорость и ускорение точки в полярных, декартовых и естественных координатах в заданный момент времени.

План решения:

1. Вычисляем полярные координаты точки в заданный момент времени: Кинематика точки в теоретической механике

2. Дифференцируя (1) по времени t, находим производные полярного радиуса р и полярного угла:

Кинематика точки в теоретической механике

3. Вычисляем компоненты скорости в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

6.5. Движение точки в полярных координатах

4.Находим модуль скорости Кинематика точки в теоретической механике

5.Декартовы х, у и полярные координаты Кинематика точки в теоретической механике связаны соотношениями

Кинематика точки в теоретической механике

Дифференцируя (3), вычисляем компоненты скорости точки в декартовых координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

6. Делаем проверку, вычисляя модуль скорости по декартовым компонентам:Кинематика точки в теоретической механике

7. Дифференцируя (2), находим вторые производные полярного радиуса р и полярного угла: Кинематика точки в теоретической механике

8.Вычисляем компоненты ускорения точки в полярных координатах: Кинематика точки в теоретической механике

9. Модуль ускорения вычисляем по формуле Кинематика точки в теоретической механике

10. Вычисляем компоненты ускорения точки в декартовых координатах, дважды дифференцируя (3):

Кинематика точки в теоретической механике

11. Делаем проверку, вычисляя модуль ускорения по декартовым компонентам: Кинематика точки в теоретической механике

12. Находим модуль тангенциального ускорения,:

Кинематика точки в теоретической механике

и проверяем его по формуле

Кинематика точки в теоретической механике

13. Вычисляем нормальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике

Задача №20

Задан закон движения точки в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Найти скорость и ускорение точки в полярных, декартовых и естественных координатах при t = 1 с. Радиус дан в метрах.

Решение

1.Вычисляем полярные координаты точки в заданный момент времениКинематика точки в теоретической механике

2. Дифференцируя (4) по времени it, находим производные полярного радиуса р и полярного угла:

Кинематика точки в теоретической механике

При t = 1 имеем Кинематика точки в теоретической механике Кинематика точки в теоретической механике

3. Вычисляем компоненты скорости в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

4.Вычисляем модуль скорости: Кинематика точки в теоретической механике

5.Вычисляем компоненты скорости в декартовых координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

6. Делаем проверку, вычисляя модуль скорости по декартовым компонентам:

Кинематика точки в теоретической механике

7. Дифференцируя (5), находим вторые производные полярного радиуса р и полярного угла:

Кинематика точки в теоретической механике

При t = 1 получаем Кинематика точки в теоретической механике

8. Вычисляем компоненты ускорения в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

9. Определяем модуль ускорения: Кинематика точки в теоретической механике
*) Аргументы тригонометрических функций измеряются в радианах.

10. Находим компоненты ускорения в декартовых координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

11. Делаем проверку, вычисляя модуль ускорения по декартовым компонентам:

Кинематика точки в теоретической механике

12. Находим модуль касательного ускорения,

Кинематика точки в теоретической механике

и проверяем его по формуле

Кинематика точки в теоретической механике

13. Вычисляем нормальное ускорение

Кинематика точки в теоретической механике

Ответы заносим в таблицу (скорости — в м/с, ускорения — в Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике

  • Плоское движение твердого тела
  • Мгновенный центр скоростей
  • Мгновенный центр ускорений
  • Мгновенный центр вращения
  • Плоская система сил
  • Трение
  • Пространственная система сил
  • Центр тяжести
  1. Скорость точки.

2. Ускорение точки.

Перейдем к решению
второй основной задачи кинематики точки
— определению скорости и ускорения по
уже заданному векторным, координатным
или естественным способом движению.

  1. Скоростью
    точки

    называется
    векторная величина, характеризующая
    быстроту и направление перемещения
    точки
    .
    В системе СИ скорость измеряется в м/с.

a) Определение
скорости при векторном способе задания
движения
.

Пусть движение
точки задано векторным способом, т.е.
известно векторное уравнение (2.1):

.

Рис.
2.6. К определению скорости точки

Пусть за время t
радиус-вектор

точки М
изменится на величину

.
Тогда средней скоростью точки М
за время t
называется
векторная величина


.

Мгновенной
скоростью (или далее — просто скоростью)
называется предел

при t
стремящемся
к нулю, т.е.


.
(2.4)

Вспоминая определение
производной, заключаем:


.
(2.5)

Здесь и в дальнейшем
знаком

будем обозначать дифференцирование по
времени. При стремлении t
к нулю вектор

,
а, следовательно, и вектор

,
поворачиваются вокруг точки М
и в пределе совпадают с касательной к
траектории в этой точке. Таким образом,
вектор
скорости равен первой производной от
радиус-вектора по времени и всегда
направлен по касательной к траектории
движения точки.

б) Скорость
точки при координатном способе задания
движения.

Выведем формулы
для определения скорости при координатном
способе задания движения. В соответствии
с выражением (2.5), имеем:


.

Так как производные
от постоянных по величине и направлению
единичных векторов равны нулю, получаем


.
(2.6)

Вектор

,
как и любой вектор, может быть выражен
через свои проекции:

(2.7)

Сравнивая выражения
(2.6) и (2.7) видим, что производные координат
по времени имеют вполне определенный
геометрический смысл — они являются
проекциями вектора скорости на
координатные оси. Зная проекции, легко
вычислить модуль и направление вектора
скорости (рис. 2.7):

или

,
(2.8)


,


,


.
(2.9)

Рис.
2.7.К определению величины и направления
скорости

в) Определение
скорости при естественном способе
задания движения.

Рис. 2.8.
Cкорость
точки при естественном способе задания
движения

Согласно (2.4)

,

где

— единичный вектор касательной. Таким
образом,


,

(2.10)

Величина V=dS/dt
называется алгебраической скоростью.
Если dS/dt>0,
то функция S
=
S(t)
возрастает и точка движется в сторону
увеличения дуговой координаты S,
т.е. точка
движется в положительном направлении
Если же dS/dt<0,
то точка движется в противоположном
направлении.

2.
Ускорение
точки

Ускорением
называется векторная величина,
характеризующая быстроту изменения
модуля и направления вектора скорости
.
В системе СИ
ускорение измеряется в м/с2.

a)
Определение
ускорения при векторном способе задания
движения
.

Пусть точка М
в момент времени t
находится в положении М(t)
и имеет скорость V(t),
а в момент времени
t +
t
находится в положении М(t
+
t)
и имеет скорость V(t
+
t)
(см. рис.
2.9).

Рис. 2.9.
Ускорения точки при векторном способе
задания движения

Средним ускорением

за промежуток времени t
называется отношение изменения скорости

к t
,
т.е.


.

Предел

при t

0
называется
мгновенным (или просто ускорением) точки
М
в момент времени
t


.
(2.11)

Согласно (2.11),
ускорение
при векторном способе задания движения
равно векторной производной от скорости
по времени.

б).
Ускорения
при координатном способе задания
движения
.

Подставляя (2.6) в
(2.11) и дифференцируя произведения в
скобках, находим:


.

Учитывая, что
производные от единичных векторов

равны нулю, получаем:


.
(2.12)

Вектор

может быть выражен через свои проекции:


.
(2.13)

Сравнение (2.12) и
(2.13) показывает, что вторые производные
от координат по времени имеют вполне
определенный геометрический смысл: они
равны проекциям полного ускорения на
координатные оси, т.e.


,


,


.

Зная проекции,
легко вычислить модуль полного ускорения
и направляющие косинусы, определяющие
его направление:


,


,


,


.
(2.14)

в).
Ускорение
точки при естественном способе задания
движения

Приведем некоторые
сведения из дифференциальной геометрии,
необходимые для определения ускорения
при естественном способе задания
движения.

Пусть точка М
движется по некоторой пространственной
кривой. С каждой точкой этой кривой
связаны три взаимно ортогональные
направления (касательная, нормаль и
бинормаль), однозначно характеризующие
пространственную ориентацию бесконечно
малого элемента кривой вблизи данной
точки. Ниже приводится описание процесса
определения указанных направлений.

Для того чтобы
провести касательную к кривой в точке
М
, проведем через нее и близлежащую точку
М1
секущую ММ1.

Рис. 2.10.
Определение касательной к траектории
движения точки

Касательная к
кривой в точке М
определяется как предельное положение
секущей ММ1
при стремлении точки М1
к точке М
(рис. 2.10). Единичный вектор касательной
принято обозначать греческой буквой

.

Проведем единичные
векторы касательных к траектории в
точках М
и М1.
Перенесем вектор

в точку М
(рис. 2.11) и образуем плоскость, проходящую
через эту точку и векторы

и

.
Повторяя процесс образования аналогичных
плоскостей при стремлении точки М1
к точке М,
мы получаем в пределе плоскость,
называемую соприкасающейся
плоскостью.

Рис.
2.11. Определение соприкасающейся плоскости

Очевидно, что для
плоской кривой соприкасающаяся плоскость
совпадает с плоскостью, в которой лежит
сама эта кривая. Плоскость, проходящая
через точку М
и перпендикулярная касательной в этой
точке, называется нормальной
плоскостью. Пересечение соприкасающейся
и нормальной плоскостей образует прямую,
называемую главной
нормалью

(рис. 2.12).

Рис.
2.12. Естественный трехгранник

Единичный вектор,
направленный вдоль главной нормали
внутрь траектории, обозначим буквой

.
Единичный вектор

,
ортогональный соприкасающейся плоскости
и направленный в ту сторону, откуда
поворот от


к

виден
происходящим против хода часовой
стрелки, определяет направление
бинормали

.
Плоскость, образуемая векторами

и

,
называется спрямляющей
плоскостью
.

Система координат,
образуемая тремя взаимно ортогональными
осями- касательной, нормалью и бинормалью,
называется естественной системой
координат. Трехгранник, образуемый
соприкасающейся, нормальной и спрямляющей
плоскостями называется естественным
или подвижным трехгранником
.
Перемещаясь вместе с движущейся точкой
М,
оси этого подвижного трехгранника
меняют свою ориентацию в пространстве,
оставаясь взаимно ортогональными.

Пример.
Движение
точки М
задано уравнениями


,


,

где k
— постоянная.

Определить модули
скорости и ускорения как функции времени.

Решение:
Дважды дифференцируя уравнения движения
по времени, получаем


,


,


,


.

Подставляя найденные
значения производных в формулы (8) и
(14), получаем:


,


.

Лекция 12

Вопросы

Соседние файлы в папке теормех

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Содержание:

  1. Определение скорости
  2. Определение ускорения
  3. Пример с решением №1.
  4. Пример с решением №2.
  5. Определение траектории, скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения
  6. Определение траектории, скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения
  7. Пример с решением №3.
  8. Пример с решением №4.
  9. Пример с решением №4.
  10. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения

Определение скорости

Вспомним основную формулу кинематики для определения скорости

Скорость точки по теоретической механике

Здесь Скорость точки по теоретической механике — вектор перемещения точки, Скорость точки по теоретической механике — время перемещения (рис. 86). Обозначим Скорость точки по теоретической механике перемещение вдоль траектории за этот же промежуток времени и представим правую часть этого равенства в виде произведения двух пределов:

Скорость точки по теоретической механике

Первый из этих пределов равен производной Скорость точки по теоретической механике и может быть вычислен, поскольку закон движения по траектории Скорость точки по теоретической механике при естественном способе описания движения задается. Далее, простые рассуждения показывают, что второй предел равен по модулю единице (как предел отношения длины хорды к длине дуги) и направлен по касательной в сторону возрастания Скорость точки по теоретической механике Следовательно, он определяет орт касательной Скорость точки по теоретической механике для которого попутно получаем формулу

Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Таким образом, при естественном способе задания движения скорость точки определяется формулой

Скорость точки по теоретической механике

Формулу можно рассматривать как результат разложения вектора Скорость точки по теоретической механике на составляющие по естественному координатному базису. Величина Скорость точки по теоретической механике равна проекции скорости на направление касательной, а проекции скорости на главную нормаль и бинормаль равны нулю. В общем случае Скорость точки по теоретической механике где Скорость точки по теоретической механике — модуль скорости. Если точка движется в положительном направлении, то Скорость точки по теоретической механике и можно записать

Скорость точки по теоретической механике

Определение ускорения

Будем исходить из общей формулы для ускорения

Скорость точки по теоретической механике

Пусть, для определенности, точка движется в положительную сторону отсчета дуг; тогда вектор скорости выражается формулой

Скорость точки по теоретической механике

где Скорость точки по теоретической механике — модуль скорости, Скорость точки по теоретической механике — орт касательной. В общем случае криволинейного движения переменны оба сомножителя в этой формуле; последний — вследствие изменения направления касательной. Поэтому орт Скорость точки по теоретической механике имеет производную по времени, которая выражается формулой

Скорость точки по теоретической механике

где Скорость точки по теоретической механике и Скорость точки по теоретической механике — соответственно орт главной нормали и радиус кривизны траектории в рассматриваемом положении движущейся точки.*

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Дифференцируя по времени выражение для скорости, получим

Скорость точки по теоретической механике

Формула выражает ускорение точки в виде суммы составляющих по осям естественной системы координат. Из нее следует, что ускорение имеет на эти оси проекции

Скорость точки по теоретической механике

Первая из них есть проекция ускорения Скорость точки по теоретической механике на касательную и называется касательным ускорением. Вектор касательного ускорения

Скорость точки по теоретической механике

направлен в сторону скорости, если движение ускоренное Скорость точки по теоретической механике и против скорости, если движение замедленное Скорость точки по теоретической механике

Проекция ускорения на главную нормаль называется нормальным ускорением. Модуль Скорость точки по теоретической механике и вектор Скорость точки по теоретической механике нормального ускорения выражаются формулами

Скорость точки по теоретической механике

Так как величина Скорость точки по теоретической механике положительна, нормальное ускорение всегда направлено в сторону орта Скорость точки по теоретической механике то есть по главной нормали в сторону вогнутости траектории.

Проекция ускорения на бинормаль (аь) равна нулю, что означает, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости. Таким образом, ускорение при естественном способе задания движения точки определяется как сумма касательного и нормального ускорений:

Скорость точки по теоретической механике

Это правило дополнительно проиллюстрировано на рис. 87, где случай а) соответствует ускоренному движению точки, а случай б) — замедленному движению. Модуль ускорения в обоих случаях определяется по теореме Пифагора:

Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Если точка движется прямолинейно, то нормальное ускорение не Скорость точки по теоретической механике и ускорение состоит только из касательного: Скорость точки по теоретической механике

При равномерном криволинейном движении Скорость точки по теоретической механике наоборот, отсутствует касательное ускорение Скорость точки по теоретической механике и полное ускорение точки равно ее нормальному ускорению: Скорость точки по теоретической механике

Пример с решением №1.

Точка движется по окружности радиуса Скорость точки по теоретической механике согласно закону Скорость точки по теоретической механике Вычислить и построить скорость и ускорение точки в момент Скорость точки по теоретической механике когда она пройдет половину окружности.

В момент Скорость точки по теоретической механике дуговая координата точкиСкорость точки по теоретической механике равна половине длины окружности: Скорость точки по теоретической механике откуда находим

Скорость точки по теоретической механике

Определяем скорость точки в момент Скорость точки по теоретической механике ив расчетный момент Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Определяем касательное ускорение

Скорость точки по теоретической механике

Видно, что оно не изменяется с течением времени — точка движется равноускоренно. Это же значение касательное ускорение имеет и в расчетный момент:

Скорость точки по теоретической механике

Определяем нормальное ускорение

Скорость точки по теоретической механике

Определяем полное ускорение в момент Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

На рис. 88 показаны положения точки в текущий Скорость точки по теоретической механике и расчетный Скорость точки по теоретической механике моменты времени, а также векторы скорости и ускорений точки в момент Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

В заключение заметим, что от одногоспособа задания движения можно перейти к другим способам. Например, при определении скорости в случае координатного способа описания движения был предварительно сделан переход к векторному способу в виде

Скорость точки по теоретической механике

  • Чтобы перейти от координатного способа к естественному, прежде всего требуется найти уравнение траектории. Как было показано выше, это делается исключением из уравнений движения времени Скорость точки по теоретической механике Закон движения по траектории можно получить на основе равенств

Скорость точки по теоретической механике и Скорость точки по теоретической механике

определяющих скорость точки при естественном и координатном способах задания движения. Приравняв правые части равенств, разрешая полученное соотношение относительно Скорость точки по теоретической механике и интегрируя, находим

Скорость точки по теоретической механике

Это выражение определяет закон движения по траектории в общем

виде.

Если отсчет дуговой координаты вести от начального положения точки в сторону движения, то Скорость точки по теоретической механике радикал положителен, и закон движения примет вид

Скорость точки по теоретической механике

Различают векторный, координатный и естественный (натуральный) способы задания движения.

Векторный способ задания движения состоит в следующем.

Пусть Скорость точки по теоретической механике — движущаяся точка, Скорость точки по теоретической механике — тело отсчета (рис. 72). Выберем в теле Скорость точки по теоретической механике произвольную точку Скорость точки по теоретической механике — точку отсчета, построим вектор Скорость точки по теоретической механике Этот вектор, начало которого совпадает с точкой отсчета Скорость точки по теоретической механике, а конец — с точкой Скорость точки по теоретической механике называется радиусом-вектором точки Скорость точки по теоретической механике При движении точки Скорость точки по теоретической механике радиус-вектор Скорость точки по теоретической механике непрерывно изменяется во времени, поэтому существует некоторая вектор-функция времени

Скорость точки по теоретической механике

Если эта функция известна, то для каждого момента времени Скорость точки по теоретической механике может быть построен вектор Скорость точки по теоретической механике и тем самым найдено положение движущейся точки в этот момент.

Функция (1) называется векторным законом (векторным уравнением) движения точки Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

При координатном способе задания движения с телом отсчета связывается какая-либо, например декартова прямоугольная, система координат (рис. 73). Движение точки будет задано, если ее координаты будут известны как функции времени

Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Зависимости (2), выражающие текущие координаты движущейся точки в виде функций времени, называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Если точка движется, оставаясь все время в одной плоскости, то оси Скорость точки по теоретической механике можно расположить в той же плоскости и ограничиться двумя уравнениями движения

Скорость точки по теоретической механике

При движении в плоскости часто удобно пользоваться полярной системой координат, задавая положение точки ее полярным углом Скорость точки по теоретической механике и полярным радиусом Скорость точки по теоретической механике (рис. 74). В этом случае уравнения движения точки имеют вид

Скорость точки по теоретической механике

Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве, называется траекторией точки. Естественный способ задания движения состоит в задании траектории точки и закона движения по траектории.

Скорость точки по теоретической механике

Пусть траектория точки Скорость точки по теоретической механике суть заданная кривая, Скорость точки по теоретической механике — положение точки на ней (рис. 75). Будем рассматривать траекторию как криволинейную координатную ось, для чего выберем на ней начало отсчета дуг (точку Скорость точки по теоретической механике) и направление отсчета дуг (на рис. 75 направление отсчета дуг выбрано вправо от точки Скорость точки по теоретической механике). Длина дуги Скорость точки по теоретической механике взятая со знаком плюс или минус в зависимости от положения точки Скорость точки по теоретической механике относительно начала отсчета дуг Скорость точки по теоретической механике вполне определяет положение точки в пространстве и называется дуговой координатой точки. Движение точки будет задано, если ее дуговая координата Скорость точки по теоретической механике будет выражена в виде функции времени

Скорость точки по теоретической механике

Зависимость (4) называется законом движения точки по траектории или, что то же самое, законом движения точки в естественной форме.

Пример с решением №2.

Написать уравнения движения точки, движущейся равномерно по окружности радиуса Скорость точки по теоретической механике и делающей Скорость точки по теоретической механике оборотов за одну минуту.

Начнем с естественного способа описания движения. Изображаем траекторию- окружность радиуса Скорость точки по теоретической механике с центром в точке Скорость точки по теоретической механике (рис. 76). Начало отсчета дуг Скорость точки по теоретической механике совместим с положением точки в момент начала наблюдения, то есть при Скорость точки по теоретической механике за положительное направление отсчета выберем направление в сторону движения точки.

Скорость точки по теоретической механике

Пусть Скорость точки по теоретической механике — положение движущейся точки в текущий момент времени Скорость точки по теоретической механике Для центрального угла Скорость точки по теоретической механике который будем отсчитывать в сторону движения точки, согласно условию, можем написать

Скорость точки по теоретической механике

Здесь Скорость точки по теоретической механике измеряется в радианах, Скорость точки по теоретической механике — в секундах.

Длина Скорость точки по теоретической механике дуги Скорость точки по теоретической механике радиус окружности Скорость точки по теоретической механике и центральный угол Скорость точки по теоретической механике связаны геометрическим соотношением

Скорость точки по теоретической механике

Подставляя сюда найденное значение Скорость точки по теоретической механике получаем

Скорость точки по теоретической механике

Это и есть естественной форме.

Для описания движения в координатной форме прежде всего следует выбрать подходящую систему координат, например, изображенную на рис. 77. Далее строят координатные отрезки и определяют соответствующие переменные расстояния. В нашем случае будем иметь:

Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Подставляя сюда угол Скорость точки по теоретической механике как функцию времени, получаем уравнения движения в координатной форме

Скорость точки по теоретической механике

Пусть Скорость точки по теоретической механике — координатные орты. Тогда для радиуса-вектора точки Скорость точки по теоретической механике будем иметь:

Скорость точки по теоретической механике

Полученное равенство, выражающее радиус-вектор точки Скорость точки по теоретической механике как функцию времени, служит векторным уравнением ее движения.

Определение траектории, скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения

Пусть движение точки Скорость точки по теоретической механике задано векторным способом, то есть задан радиус-вектор точки как функция времени

Скорость точки по теоретической механике

Линия, описываемая концом переменного вектора, начало которого находится в заданной неподвижной точке, называется годографом этого вектора. Отсюда и из определения траектории следует правило: траектория точки есть годограф ее радиуса-вектора.

Пусть в некоторый момент Скорость точки по теоретической механике точка занимает положение Скорость точки по теоретической механике и имеет радиус-вектор Скорость точки по теоретической механике а в момент Скорость точки по теоретической механике — положение Скорость точки по теоретической механикеи радиус-вектор Скорость точки по теоретической механике (рис. 78).

Вектор Скорость точки по теоретической механике соединяющий последовательные положения точки в указанные моменты, называется вектором перемещения точки за время Скорость точки по теоретической механике Вектор перемещения следующим образом выражается через значения вектор-функции (5):

Скорость точки по теоретической механике

Если вектор перемещения поделить на величину промежутка Скорость точки по теоретической механике получим вектор средней скорости точки за время Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Будем теперь уменьшать промежуток Скорость точки по теоретической механике устремляя его к нулю. Предел, к которому стремится вектор средней скорости Скорость точки по теоретической механике при неограниченном уменьшении промежутка Скорость точки по теоретической механике называется скоростью точки в момент Скорость точки по теоретической механике или просто скоростью точки Скорость точки по теоретической механике В соответствии со сказанным для скорости получаем:

Скорость точки по теоретической механике

Итак, вектор скорости точки равен производной по времени от ее радиуса-вектора:

Скорость точки по теоретической механике

Поскольку секущая Скорость точки по теоретической механике в пределе (при Скорость точки по теоретической механике) переходит в касательную Скорость точки по теоретической механике приходим к выводу, что вектор скорости Скорость точки по теоретической механике направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

В общем случае скорость точки также переменна, и можно интересоваться быстротой изменения скорости. Скорость изменения скорости называется ускорением точки.

Для определения ускорения Скорость точки по теоретической механике выберем какую-либо неподвижную точку Скорость точки по теоретической механике и будем откладывать из нее вектор скорости Скорость точки по теоретической механике в различные моменты времени. Линия, которую опишет конец Скорость точки по теоретической механике вектора скорости, представляет собой годограф Годограф и скорости (рис. 79). Изменение вектора скорости выражается в том, что геометрическая точка Скорость точки по теоретической механике движется по годографу скорости, а скорость этого движения служит, по определению, ускорением точки Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Применив для переменного вектора Скорость точки по теоретической механике все те рассуждения, которые были использованы выше для переменного вектора Скорость точки по теоретической механике для ускорения Скорость точки по теоретической механике получаем:

Скорость точки по теоретической механике

или, при обозначении производной по времени точкой:

Скорость точки по теоретической механике

Формулы (6) — (8) являются наиболее общими формулами кинематики для определения скорости и ускорения.

Определение траектории, скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Пусть движение точки задано уравнениями движения в декартовых координатах: Скорость точки по теоретической механике

Для каждого момента времени Скорость точки по теоретической механике по этим уравнениям можно определить координаты точки в этот момент и указать ее положение в пространстве. Придавая Скорость точки по теоретической механике всевозможные значения, получим множество положений движущейся точки в пространстве — ее траекторию. Следовательно, уравнения движения одновременно являются уравнениями траектории точки в параметрической форме, причем параметром служит время Скорость точки по теоретической механике. Чтобы получить уравнение траектории в виде зависимости между координатами точки, достаточно из уравнений движения исключить время.

Пример с решением №3.

Движение точки задано уравнениями Скорость точки по теоретической механике (Скорость точки по теоретической механике — в сантиметрах, Скорость точки по теоретической механике — в секундах). Найти уравнение траектории точки в координатной форме.

Для определения уравнения траектории из уравнений движения исключаем время Скорость точки по теоретической механике Для этого из первого уравнения выражаем

Скорость точки по теоретической механике

и подставляем это значение во второе уравнение, преобразованное к функциям одинарного угла:

Скорость точки по теоретической механике

Опуская промежуточные выражения, получаем уравнение траектории

Скорость точки по теоретической механике

Уравнение определяет параболу, расположенную симметрично относительно оси у, с вершиной в точке Скорость точки по теоретической механике Траекторией служит кусок этой параболы, заключенный между точками с координатами Скорость точки по теоретической механике и Скорость точки по теоретической механике (рис. 80).

Скорость точки по теоретической механике

Пример с решением №4.

Определить уравнение траектории, если точка движется согласно уравнениям (Скорость точки по теоретической механике— в сантиметрах, Скорость точки по теоретической механике — в секундах):

Скорость точки по теоретической механике

Для исключения времени Скорость точки по теоретической механике из уравнений движения выразим из этих уравнений Скорость точки по теоретической механике и Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Возводя эти равенства в квадрат и почленно складывая, получаем уравнение траектории в координатной форме:

Скорость точки по теоретической механике

Это уравнение эллипса с центром в точке Скорость точки по теоретической механике и с полуосями Скорость точки по теоретической механике Скорость точки по теоретической механике (рис. 81). Траекторией служит вся кривая эллипса.

Скорость точки по теоретической механике

Займемся теперь определением скорости и ускорения.

Зная уравнения движения точки, можно выразить в функции времени радиус-вектор точки (рис. 82):

Скорость точки по теоретической механике

Теперь находим скорость, дифференцируя радиус-вектор по времени:

Скорость точки по теоретической механике

При дифференцировании учитывается, что оси Скорость точки по теоретической механике неподвижны, поэтому координатные орты являются постоянными векторами, и их производные равны нулю.

Полученная формула определяет скорость точки в виде разложения

по координатному базису Скорость точки по теоретической механике Так как коэффициенты при ортах равны проекциям скорости на соответствующие координатные оси, отсюда следуют формулы

Скорость точки по теоретической механике

По известным проекциям находим модуль и направляющие косинусы скорости:

Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Аналогичным образом определяется и ускорение. Дифференцируя выражение для вектора скорости, получаем:

Скорость точки по теоретической механике

Откуда для проекций ускорения следуют формулы

Скорость точки по теоретической механике

Проекции ускорения можно выразить также через проекции скорости:

Скорость точки по теоретической механике

Модуль и направляющие косинусы ускорения выражаются равенствами

Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Пример с решением №4.

Точка движется в плоскости ху согласно уравнениям

Скорость точки по теоретической механике

где Скорость точки по теоретической механике — заданы в сантиметрах, время Скорость точки по теоретической механике — в секундах, а величины Скорость точки по теоретической механике — заданные постоянные. Найти скорость и ускорение точки в момент, когда она впервые после начала движения пересекает ось Скорость точки по теоретической механике

Скорость и ускорение находим, вычисляя их проекции на координатные оси. Сначала это сделаем для произвольного моментаСкорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Когда точка находится на оси Скорость точки по теоретической механике, выполняется равенство Скорость точки по теоретической механике Подставляя это значение во второе уравнение движения и решая полученное уравнение относительно Скорость точки по теоретической механике находим

Скорость точки по теоретической механике

Момент Скорость точки по теоретической механике соответствует началу движения, а первое после начала движения пересечение оси Скорость точки по теоретической механике происходит при Скорость точки по теоретической механике Подставляя это значение в предыдущие формулы, найдем

Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Таким образом, в расчетный момент времени Скорость точки по теоретической механике скорость Скорость точки по теоретической механике ускорение Скорость точки по теоретической механике имеют модули

Скорость точки по теоретической механике

и направляющие косинусы

Скорость точки по теоретической механике

На рис. 83 показана геометрическая картина движения. Траекторией точки служит окружность радиуса Скорость точки по теоретической механике с центром в точке Скорость точки по теоретической механике Подставляя в уравнения движения Скорость точки по теоретической механике находим, что в начальный момент точка находится в положении Скорость точки по теоретической механике Придавая времени Скорость точки по теоретической механике малое положительное значение Скорость точки по теоретической механике и определяя знаки координат Скорость точки по теоретической механике получаем Скорость точки по теоретической механике из чего следует, что точка движется из положения Скорость точки по теоретической механике против хода часовой стрелки. В расчетный момент Скорость точки по теоретической механике она находится в начале координат, имея скорость Скорость точки по теоретической механике и ускорение Скорость точки по теоретической механике

Скорость точки по теоретической механике

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения

Естественные координатные оси и их орты

Пусть заданы траектория точки, начало и направление отсчета дуг. Выберем на траектории произвольным образом точку Скорость точки по теоретической механике и проведем касательную Скорость точки по теоретической механике. Плоскость, проходящая через точку Скорость точки по теоретической механике перпендикулярно к касательной Скорость точки по теоретической механике называется нормальной плоскостью траектории в точке Скорость точки по теоретической механике (рис. 84).

Скорость точки по теоретической механике

Придадим дуговой координате Скорость точки по теоретической механике приращение Скорость точки по теоретической механике и отметим точку Скорость точки по теоретической механике с координатой Скорость точки по теоретической механике Пусть Скорость точки по теоретической механике — касательная к траектории в точке Скорость точки по теоретической механике В общем случае траектория точки — пространственная кривая, поэтому касательные Скорость точки по теоретической механике и Скорость точки по теоретической механике суть скрещивающиеся прямые.

Проведем прямую Скорость точки по теоретической механике параллельную касательной Скорость точки по теоретической механике Прямые Скорость точки по теоретической механике и Скорость точки по теоретической механике образуют плоскость Скорость точки по теоретической механике Предельное положение плоскости Скорость точки по теоретической механике когда точка Скорость точки по теоретической механике‘ неограниченно приближается к точке Скорость точки по теоретической механике называется соприкасающейся плоскостью траектории в точке Скорость точки по теоретической механикеСоприкасающаяся плоскость представляет собой ту из бесконечного множества плоскостей, проходящих через касательную Скорость точки по теоретической механике которая наиболее тесно примыкает к траектории в окрестности точки Скорость точки по теоретической механике В случае плоской траектории соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью траектории.

Нормальная и соприкасающаяся плоскости взаимно перпендикулярны. Проведем через точку Скорость точки по теоретической механике третью плоскость, перпендикулярную к обеим указанным плоскостям — так называемую спрямляющую плоскость. В итоге получаем прямой трехгранный угол с вершиной в точке Скорость точки по теоретической механике называемый естественным трехгранником траектории в этой точке. Ребрами естественного трехгранника являются касательная Скорость точки по теоретической механике главная нормаль Скорость точки по теоретической механике — линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей и бинормаль (вторая нормаль) Скорость точки по теоретической механике — линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей (рис. 85).

Касательная, главная нормаль и бинормаль взаимно перпендикулярны и после установления на них направлений образуют естественную систему координатных осей. Положительное направление касательной выбирается в сторону возрастания дуговой координаты Скорость точки по теоретической механике и задается ортом касательной Скорость точки по теоретической механике Положительное направление главной нормали задается ортом Скорость точки по теоретической механике который направляют от точки Скорость точки по теоретической механике в сторону вогнутости траектории. Орт бинормали Скорость точки по теоретической механике выбирают согласно правилу Скорость точки по теоретической механике чем обеспечивается правосторонность естественного координатного базиса Скорость точки по теоретической механикеСкорость точки по теоретической механике (см. рис. 85).

Скорость точки по теоретической механике

Координатный способ задания движения точки

Введение

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.

Пусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки – это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. То есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):

Далее мы приводим формулы вычисления кинематических величин и пример решения задачи для координатного способа задания движения.

Определение кинематических величин

Зная зависимости координат от времени , мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Дифференцируя по времени , находим проекции скорости и ускорения на оси координат:
;
;
Модули скорости и ускорения:
;
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Его можно определить двумя способами – по направлению скорости, или в противоположную сторону. Поэтому здесь в знаменателе стоит не модуль скорости, а алгебраическая величина скорости, которая, по абсолютной величине, равна модулю скорости, но может принимать как положительные, так и отрицательные значения: . Она является проекцией скорости на направление единичного вектора .

Алгебраическая величина тангенциального (касательного) ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального (касательного) ускорения:
.
Здесь также, как и для скорости, – это скалярная величина, которая может принимать как положительные так и отрицательные значения: .

Нормальное ускорение:
.
Вектор нормального ускорения:
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории (то есть единичный вектор, перпендикулярный касательной и направленный к центру кривизны траектории):
.
Здесь – это модуль нормального ускорения: . Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Оно не может быть направлено в противоположную сторону.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Пример решения задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Уравнения движения точки:
, см;
, см.

Решение

Определение вида траектории

Исключаем время из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде:
; .
Применим формулу:
.
;
;
;
.

Итак, мы получили уравнение траектории:
.
Это уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии .

Поскольку
, то
; или
.
Аналогичным образом получаем ограничение для координаты :
;
;

Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы
,
расположенная при
и .

Строим параболу по точкам.

0 6
± 3 5,625
± 6 4,5
± 9 2,625
± 12 0

Определяем положение точки в момент времени .
;
.

Определение скорости точки

Дифференцируя координаты и по времени , находим компоненты скорости.
.
Чтобы продифференцировать , удобно применить формулу тригонометрии:
. Тогда
;
.

Вычисляем значения компонент скорости в момент времени :
;
.
Модуль скорости:
.

Определение ускорения точки

Дифференцируя компоненты скорости и по времени , находим компоненты ускорения точки.
;
.

Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени :
;
.
Модуль ускорения:
.

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории. Выберем направление совпадающим с направлением скорости . Тогда ; алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление скорости :
.
Поскольку , то вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости .

Нормальное ускорение:
.
Вектор и направлен в сторону центра кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

Траекторией движения точки является дуга параболы
; .
Скорость точки: .
Ускорение точки: ; ; .
Радиус кривизны траектории: .

Определение остальных величин

При решении задачи мы нашли:
вектор и модуль скорости:
; ;
вектор и модуль полного ускорения:
; ;
тангенциальное и нормальное ускорения:
; ;
радиус кривизны траектории: .

Определим остальные величины.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального ускорения:

.
Вектор нормального ускорения:

.
Единичный вектор в направлении главной нормали:
.
Координаты центра кривизны траектории:

.

Введем третью ось системы координат перпендикулярно осям и . В трехмерной системе
; .
Единичный вектор в направлении бинормали:

.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-02-2016 Изменено: 29-01-2020

Как найти скорость из уравнения координаты

1 мин = 60 с; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 м/с = 3,6 км/ч.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Типовая задача «Уравнение координаты (нахождение неизвестной величины)»

Задача № 1. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 5 м, а через 2 мин от начала движения — в точке с координатой 95 м. Определите скорость тела и его перемещение.

Типовая задача «Уравнение координаты. Движение двух тел»

Задача № 2. Движение двух тел задано уравнениями x1 = 20 – 8t и х2 = –16 + 10t (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Определите для каждого тела начальную координату, проекцию скорости, направление скорости. Вычислите время и место встречи тел.

Типовая задача «График координаты»

Задача № 3. Движение тела задано графиком координаты (зависимости координаты от времени). По графику определите: а) начальную координату тела; б) проекцию скорости тела; в) направление движения тела (по оси х или против оси х); г) запишите уравнение координаты.

Типовая задача «График координаты. Движение нескольких тел»

Задача № 4. На рисунке изображены графики движения трех тел. Изучив рисунок, для каждого тела определите: а) начальную координату; б) скорость; в) направление движения; г) запишите уравнение координаты.

ЗАДАЧИ ПОСЛОЖНЕЕ

Задача № 5. На рисунке представлены графики зависимости координаты х от времени t для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 6. По графикам на рисунке напишите уравнения движения x = x(t) . Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с , скорости движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 7. ОГЭ Расстояние ( S ) между городами М и К = 250 км . Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выезжают автомашины. Машина из города М движется со скоростью = 60 км/ч , из города К — со скоростью ν2 = 40 км/ч . Построить график зависимости пути от времени для каждой из машин и по ним определить место встречи и время их движения до встречи.

Задача № 8. ЕГЭ Скорость течения реки vp = 1 м/с , скорость лодки относительно воды v0 = 2 м/с . Под каким углом к берегу следует держать курс, чтобы лодка двигалась перпендикулярно берегу? За какое время t она переправится через реку, ширина которой d = 200 м ?

Алгоритм решения ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение.

Задачи, описывающие движение, содержат два типа величин: векторные (имеющие направление) и скалярные (выражающиеся только числом). К векторным величинам при описании равномерного прямолинейного движения относятся скорость и перемещение.

Для перехода от векторов к скалярам выбирают координатную ось и находят проекции векторов на эту ось, руководствуясь следующим правилом: если вектор сонаправлен с осью, то его проекция положительна, если противоположно направлен — отрицательна. (Могут быть и более сложные случаи, когда вектор не параллелен координатной оси, а направлен к ней под некоторым углом.) Поэтому при решении задачи обязательно нужно сделать чертеж, на котором изобразить направления всех векторов и координатную ось. При записи «дано» следует учитывать знаки проекций.

При решении задач все величины должны выражаться в международной системе единиц (СИ), если нет специальных оговорок.

В решении задачи единицы величин не пишутся, а записываются только после найденного значения величины.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия:

Формула скорости

Определение и формула скорости

Мгновенной скоростью (или чаще просто скоростью) материальной точки называется физическая величина равная первой производной от радиус–вектора $bar$ точки по времени (t). Обозначают скорость обычно буквой v. Это векторная величина. Математически определение вектора мгновенной скорости записывается как:

Скорость имеет направление указывающее направление движения материальной точки и лежит на касательной к траектории ее движения. Модуль скорости можно определить как первую производную от длины пути (s) по времени:

Скорость характеризует быстроту перемещения в направлении движения точки по отношениюк рассматриваемой системе координат.

Скорость в разных системах координат

Проекции скорости на оси декартовой системы координат запишутся как:

Следовательно, вектор скоростив декартовых координатах можно представить:

где $bar, bar, bar$ единичные орты. При этом модуль вектора скорости находят при помощи формулы:

В цилиндрических координатах модуль скорости вычисляют при помощи формулы:

в сферической системе координат:

Частные случаи формул для вычисления скорости

Если модуль скорости не изменяется во времени, то такое движение называют равномерным (v=const). При равномерном движении скорость можно вычислить, применяя формулу:

где s– длина пути, t – время, за которое материальная точка преодолела путь s.

При ускоренном движении скорость можно найти как:

Если движение является равнопеременным, то применяется следующая формула для вычисления скорости:

где $bar_0$ – начальная скорость движения, $bar = const$ .

Единицы измерения скорости

Основной единицей измерения скорости в системе СИ является: [v]=м/с 2

Примеры решения задач

Задание. Движение материальной точки А задано уравнением: $x=2 t^<2>-4 t^<3>$ . Точка начала свое движение при t0=0 c.Как будет двигаться рассматриваемая точка по отношению к оси X в момент времени t=0,5 с.

Решение. Найдем уравнение, которое будет задавать скорость рассматриваемой материальной точки, для этого от функции x=x(t), которая задана в условиях задачи, возьмем первую производную по времени, получим:

Для определения направления движения подставим в полученную нами функцию для скорости v=v(t) в (1.1) указанный в условии момент времении сравним результат с нулем:

Так как мы получили, что скорость в указанный момент времени отрицательна, следовательно, материальная точка движется против оси X.

Ответ. Против оси X.

Задание. Скорость материальной точки является функцией от времени вида:

где скорость в м/с, время в c. Какова координата точки в момент времени равный 10 с, в какой момент времени точка будет на расстоянии 10 м от начала координат? Считайте, что при t=0 c точка началадвижение из начала координат по оси X.

Решение. Точка движется по оси X, cвязь координаты x и скорости движения определена формулой:

Для ответа на первый вопрос задачи подставим в выражение (2.1) время t=10 c, имеем:

Для того чтобы определить в какой момент времени точка будет находиться на расстоянии 10 м от начала координат приравняем выражение (2.1) к 10 и решим, полученное квадратное уравнение:

$$ begin 10 t-t^<2>=10(2.2) \ t_<1>=5+sqrt <15>approx 8,8(c) ; t_<2>=5-sqrt <15>approx 1,13(c) end $$

Рассмотрим второй вариант нахождения точки на расстоянии 10 м от начала координат, когда x=-10. Решим квадратное уравнение:

При решении уравнения (2.3) нам подойдет корень равный:

Ответ. 1) $x=0 mathrm<

m>$ 2) $t_<1>=8,8 mathrm, t_<2>=1,13 c, t_<3>=11 c$

источники:

ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_21_33_skorost.php

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Wpa2 пароль как найти
  • Как найти тиммейтов в геншин
  • Как составить заявление об отсутствии транспортного средства
  • Как составить схему связи предложений в тексте 5 класс
  • Как найти свои закс