Как найти скорость точки тела

Скорость любой точки Вплоской
фигуры равна геометрической сумме двух
скоростей: скорости точкиА, принятой
в качестве полюса, и скорости точкиВпри вращении тела вокруг полюса (рис.
3.2,а)

,
(3.4)

где
– вектор угловой скорости, введенный
так же, как и при рассмотрении вращения
тела вокруг неподвижной оси (здесь этот
вектор располагается на оси, проведенной
через полюс перпендикулярно плоскости
движения);– радиус-вектор точкиМ, проведенный
из точкиА. Вращательная составляющая
скорости точкиперпендикулярна отрезкуAMи направлена
в сторону вращения тела, ее модуль

(3.5)

Модуль и направление скорости
находят построением соответствующего
параллелограмма (см. рис. 3.2,а).

Еще один способ определения скоростей
точек тела при плоскопараллельном
движении основан на использовании
теоремы о равенстве проекций скоростей
двух точек тела: «Проекции
скоростей двух точек тела на прямую,
соединяющую эти точки, равны друг другу».
Заметим, что эта теорема справедлива
для любого вида движения абсолютно
твердого тела и позволяет легко находить
скорость точки тела, если известны
направление скорости этой точки, а также
направление и величина скорости
какой-либо другой точки этого же тела.

Ускорение любой точки Вплоской
фигуры равно геометрической сумме
ускорения точкиА, принятой в качестве
полюса, и ускорения, которое точка
приобретает при вращении тела вокруг
полюса (рис. 3.2,б):

,
(3.6)

где
– вектор углового ускорения, введенный
так же, как и при рассмотрении вращения
тела вокруг неподвижной оси. Вектор
вращательной составляющей ускорениянаправлен перпендикулярно отрезкуABв сторону углового ускорения, т.е. в
сторону вращения, если оно ускоренное,
и в противоположную сторону, если
замедленное. Вектор осестремительной
составляющей ускорениявсегда направлен от точкиМк полюсуA. Запишем модули этих векторов
соответственно

.
(3.7)

Определять полный вектор ускорения
точкиМцелесообразно не геометрически,
а аналитически с помощью разложения
слагаемых векторов на оси выбранной
системы координат.

3.3. Мгновенный центр скоростей

Простой и наглядный способ определения
скоростей плоской фигуры основан на
понятии о мгновенном центре скоростей(МЦС). Им называют точку подвижной
плоскости, в которой расположена плоская
фигураSи скорость
которой в данный момент времени равна
нулю.

Доказана
теорема о том, что если тело движется
не поступательно, то такая точка
существует, и притом единственная. Из
определения следует, что в общем случае
в каждый момент времени МЦС находится
в различных точках плоскости. При
вращательном движении тела вокруг
неподвижной оси, являющимся частным
случаем плоскопараллельного движения,
МЦС в любой момент времени расположен
на оси вращения. Если же тело движется
поступательно или мгновенно поступательно
(скорости всех точек тела в данный момент
времени равны по величине и совпадают
по направлению), то МЦС находится на
бесконечно большом расстоянии от любой
точки тела. Выбрав в качестве полюса
точку Р, которая является в данный
момент времени МЦС, а значит,
из формулы (3.4) для определения скорости
любой точки плоской фигуры найдем
скорость точкиМ

.
(3.8)

Следовательно,
скорость любой точки тела в данный
момент времени находим так же, как при
вращении вокруг неподвижной оси,
проходящей через МЦС и перпендикулярной
плоскости движения. Таким образом, при
плоскопараллельном движении скорость
любой точки тела перпендикулярна
отрезку, соединяющему эту точку с МЦС,
а модуль скорости пропорционален
расстоянию до МЦС

(3.9)

Угловая
скорость плоской фигуры равна отношению
скорости какой-либо ее точки к расстоянию
от этой точки до МЦС

(3.10)

Способы определения положения
мгновенного центра скоростей:

1) если известны направления скоростей
иточекА иВплоской фигуры, то
МЦС (точкуР) определяют как точку
пересечения перпендикуляров к скоростями,
проведенных из этих точек (рис. 3.3,а);

2) если скорости двух точек тела AиBизвестны по модулю, параллельны
друг другу (||),
и перпендикулярны прямойAB, то МЦС
находят в точке пересечения прямойАВс прямой, соединяющей концы векторов
скоростейи(рис. 3.3,б,в);

3)
при качении без скольжения одного тела
по неподвижной поверхности МЦС находят
в точке соприкосновения тел (рис. 3.3,г),
так как при отсутствии скольжения
скорость этой точки подвижного тела
равна нулю;

4) если скорости точек AиBтелаипараллельны друг другу (||)
и не перпендикулярны прямойАВ, то
перпендикуляры к ним также параллельны
друг другу. В этом случае МЦС находится
в бесконечном удалении от точекAиB, движение тела является мгновенно
поступательным, следовательно, скорости
всех точек тела равны, а его угловая
скорость в данный момент времени равна
нулю.

С помощью МЦС плоскопараллельное
движение можно представить не только
как сложное, состоящее из поступательного
и вращательного движений, но и как
простое движение, состоящее из серии
элементарных последовательных поворотов
вокруг МЦС. Необходимо отметить, что
положение МЦС в пространстве во все
время движения меняется. Геометрическое
место точек МЦС подвижного тела называют
подвижной центроидой, а
неподвижного тела –неподвижной
центроидой. Таким образом,
плоскопараллельное движение представляет
собой качение без скольжения подвижной
центроиды по неподвижной центроиде.

Пример 1.Колесо катится без
скольжения по неподвижной прямой
поверхности. Скорость точкиOпостоянна и равна 100 см/с (рис. 3.4,а).

Определить угловую скорость колеса,
скорости точек A,B,Cи ускорения
точекA,C,P, еслиR= 50 см,r= 40 см.

Решение

Колесо совершает плоскопараллельное
движение. Качение происходит без
скольжения, следовательно, в данном
случае точка касания колеса с неподвижной
поверхностью – точка P– является
МЦС. Определим угловую скорость колеса
согласно формуле (3.10)

Зная расстояния от точек A,BиCдо МЦС, можно найти их скорости по формуле
(3.9)

Векторы скоростей точек колеса направлены
перпендикулярно отрезкам, соединяющим
их с МЦС (см. рис. 3.4,б). В соответствии с
теоремой о проекциях скоростей двух
точек тела на прямую, соединяющую эти
точки, убеждаемся в правильности
полученных результатов.

Перейдем к определению ускорений, для
чего воспользуемся формулами (3.6) и
(3.7). В качестве полюса выбираем точку
O. Ускорение полюса равно нулю, так
как эта точка движется равномерно и
прямолинейно. Поэтому ускорения точек
будут равны их ускорениям во вращательном
движении вокруг полюса. Например, для
точкиА

.

Дифференцируя по времени выражение
и учитывая, чтоOP = const и= const, получимТаким образом, ускорения всех точек,
включая МЦС, состоят из осестремительных
ускорений во вращении вокруг полюсаО

;

и направлены от соответствующих точек
к полюсу (см. рис 3.4,в).

Пример 2.КривошипОАкривошипно-ползунного механизма,
приведенного на рис. 3.5, вращается вокруг
неподвижной оси с угловой скоростьюи угловым ускорением.
Положение механизма определяется углом.

Найти угловую скорость и угловое
ускорение шатуна АВ, а также скорость
и ускорение ползунаB, если длина
кривошипаОА=10 см, а длина
шатунаАВ=30 см.

Решение

Вначале определим скорость точки Акривошипа

Затем, зная направления скоростей точек
АиВ, найдем положение МЦС на
пересечении перпендикуляров к скоростям
этих точек – точкуP. Для определения
угловой скорости шатунаи скорости точкиВнаходим длины
отрезков, соединяющих точкиАиВс МЦС. Из теоремы синусов следует, что

Вычислим длины отрезков:

.

Теперь
найдем искомые величины:

Определим ускорение точкиВи
угловое ускорение шатунаАВ. Здесь
надо иметь в виду, что расстояние от
точкиАдо МЦС не является постоянным
и зависит от положения механизма, т.е.
от времени. Поэтому продифференцировать
по времени угловую скорость шатуна не
представляется возможным. Поступим
следующим образом. Для нахождения
ускорения точкиВвоспользуемся
векторным равенством (3.6)

и спроецируем его на оси координат xOy
(см. рис. 3.5). При этом учтем, что векторлежит на прямойОВ, так как точкаВдвижется прямолинейно, векторнаправлен к полюсуА, а векторперпендикулярен ему. Получим два
алгебраических уравнения для определения
величин и направлений ускоренийи(вначале направляем искомые векторы
произвольно):

;

.

Предварительно
вычислим составляющие ускорения согласно
формулам (3.7):

Далее
определим:

–
из 2-го уравнения

– из 1-го уравнения

Знаки показывают, что направление
ускорения
совпадает с принятым, а направление– противоположно направлению, указанному
на рис. 3.5. Зная ускорение,
можно найти угловое ускорение шатуна

Скоростью точки называют кинематическую меру ее движения, равную производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.

Скорость относительно выбранной системы отсчета это одна из основных характеристик движения точки.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt:

тогда

средняя скорость точки за промежуток времени Dt.

Наш видеоурок по теме:

Другие видео

Скорость точки в данный момент времени

Скорость точки при векторном способе задания движения

Положение движущейся точки М относительно системы отсчета в момент времени t₁ определяется радиус-вектором r.

Рис. 1

В другой момент времени t₁=t+Δt точка займет положение М₁ с радиус-вектором r₁.

За время Δt радиус-вектор движущейся точки изменится на

Средней скоростью v_ср называется отношение изменения радиус-вектора Δr к изменению времени Δt.

Скорость точки равна первой производной по времени от ее радиус-вектора.

Скорость точки при координатном способе задания движения

Разложим радиус-вектор и скорость на составляющие, параллельные осям координат. Получим

После дифференцирования

Отсюда следует

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки.

Модуль скорости и направляющие косинусы равны:

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ox и Oy в этой плоскости, получим:

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например ось Ox, направляем по траектории. Тогда

Скорость точки при естественном способе задания движения

Пусть скорость точки задана естественным способом, т.е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории s=f(t).

Рис. 2

Вычислим скорость точки. Используем радиус-вектор r. движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке O₁

— единичный вектор, направленный по касательной к траектории в сторону возрастающих расстояний.

При ds>0 направления векторов τ и dr совпадают.

Если точка движется в сторону убывающих расстояний, то ds<0 и направления векторов τ и dr противоположны.

При

вектор скорости направлен по τ, т.е. в сторону возрастающих расстояний;

при

он имеет направление, противоположное τ, т.е. в сторону убывающих расстояний.

— алгебраическая скорость точки, проекция скорости v на положительное направление касательной к траектории.

Естественное задание движения точки полностью определяет скорость по величине и направлению.

Примеры решения задач >
Ускорение точки >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Содержание:

Предмет кинематики:

Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам

Арифметика наряду с некоторыми другими науками, занимающимися исчислением, является наиболее отвлеченной из математических наук. Для нее достаточно одного понятия «число», и она не нуждается ни в каких других фундаментальных понятиях.

Геометрия не может ограничиться одним понятием числа. Она основывается также и на понятиях, связанных с геометрической формой (длина, поверхность, объем, угол). Геометрия часто пользуется понятием движения; линию геометрия определяет как след точки. Но если точка оставила след, то, следовательно, она передвигалась; фигура, образовавшая тело вращения, поворачивалась вокруг оси, т. е. тоже находилась в движении. Однако геометрию не интересует, совершалось ли это движение в течение многих тысячелетий или же в малые доли секунды. Понятие времени чуждо геометрии. Размерностью геометрических величин является размерность длины L в той или иной степени (площадь измеряется в L², объем—в L³, размерность угла

К понятиям числа и геометрической формы добавляется новое понятие — «время» в науке, изучающей геометрические свойства движения и называемой кинематикой.

«В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени». Механическое движение, как и все прочие виды движения (теплота, электричество, ядерные процессы, органическая жизнь и пр.), не может происходить вне времени. Напомним, что под механическим движением мы понимаем один из видов движения материи, выражающийся в изменении с течением времени взаимных положений тел или частей тела. Положение тел, а также их механическое движение может быть отмечено лишь относительно других реальных или условных тел. Так, например, положение корабля может быть отмечено относительно берегов или относительно сетки географических долгот и широт; чтобы дать положение летящего самолета, можно указать направление, в котором этот самолет находится, и расстояние до него или же дать его координаты х, у и z относительно системы осей, определенным образом ориентированных в пространстве; чтобы дать положение поезда, можно назвать железную дорогу, по которой он движется, и его расстояние от станции. Реальное или условное твердое тело, по отношению к которому определяется положение других движущихся тел, называют системой отсчета.

Кинематика изучает изменения в положении тел по отношению к системе отсчета. Она дает возможность разобраться в многообразии видов механического движения и установить пространственные и временные меры движения (путь, скорость и т. п.), но не дает возможности предсказать, как будет двигаться тело под действием приложенных сил, или определить, какие силы должны быть приложены к телу для того, чтобы оно совершало то или иное движение. Понятие «силы» чуждо кинематике.

Формулы размерности кинематических величин содержат размерности длины L и времени Т, размерность же силы F или массы M в размерность кинематических величин не входит.

Кинематика является разделом теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам. Изучение же механического движения в связи с силами, приложенными к движущимся объектам, составляет предмет динамики.

Кинематика наряду со статикой является необходимой предпосылкой динамики и, следовательно, всех других механических дисциплин. Но кинематика имеет также и непосредственное применение в технике. Техника широко пользуется законами и формулами кинематики. Большое значение кинематика имеет в теории механизмов и машин (TMM) .

История развития кинематики

Кинематика как самостоятельный раздел теоретический механики возникла в XIX столетии

Многие сведения из кинематики были известны еще в глубокой древности. Так, например, в сочинении «Механические проблемы», принадлежащем Аристотелю или кому-либо из его учеников, дан закон сложения двух прямолинейных равномерных движений. В древней астрономии пользовались равномерным круговым движением точки и знали, что проекция этой точки на прямую, лежащую в той же плоскости, совершает гармоническое колебание. Но появление отрывочных сведений еще не является возникновением науки. И хотя основателем кинематики иногда называют Галилея, кинематика как самостоятельный раздел теоретической механики возникла лишь в XIXв.

Упомянем о некоторых из открытий Галилея в области кинематики.

Галилей показал, что пути, проходимые движущимся телом, не всегда пропорциональны времени, и в своих исследованиях он пользовался понятием скорости. Но во времена Галилея считали возможным делить друг на друга только отвлеченные или одноименные числа, и потому Галилей не дал формулы скорости точки как отношения пройденного пути ко времени: 

Тем более он не мог дать формулы скорости в данное мгновение, которая стала возможной лишь после открытия дифференциального исчисления. Обе эти формулы были введены в науку Эйлером в сочинении «Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом», изданном в Петербурге в 1736 г.

Совершенно новым понятием, к которому пришел Галилей, возможно, под влиянием работ Бенедетти, было понятие ускоренного прямолинейного движения, хотя Галилей не вводит термина «ускорение» и не приводит формулы ускорения как отношения изменения величины скорости ко времени.

Галилей дал законы равноускоренного движения и свободного падения тел, установив, что пути, проходимые падающим телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд нечетных чисел. Так, было установлено, что пути, проходимые свободно падающим телом, пропорциональны квадрату времени, и в современном обозначении

Законы падения тел Галилей вывел экспериментально, наблюдая качение шаров по наклонным плоскостям. Еще Леонардо да Винчи, великому предшественнику Галилея в области механики, была известна зависимость между длинами (и высотами) наклонных плоскостей и временем, в течение которого с этих плоскостей спускаются шары. Но эти работы Леонардо да Винчи не могли оказать влияния на развитие науки, они стали частично известны лишь после того, как в 1797 г. их опубликовал Вентури. Ко времени их опубликования эти работы имели только историческое значение.

Галилей показал, что движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, состоит из двух независимых друг от друга движений: горизонтального равномерного и вертикального равнопеременного. Этим он не только ввел в употребление законы параллелограмма перемещений (см. §27), но в принципе обосновал введенный значительно позднее (в 1742 г.) Маклореном координатный способ определения движения (см. § 21), при котором движение точки рассматривают по движениям ее проекций на неподвижные оси.

Кинематика солнечной системы была создана в развитие теории Коперника астрономом Иоганном Кеплером и выражена в трех законах (1609 и 1619 гг.). Хотя законы Кеплера относятся только к движению планет, они имели громадное влияние на развитие всей теоретической механики.

Гюйгенс установил, что при движении точки по окружности центробежная сила пропорциональна квадрату скорости и обратно пропорциональна радиусу круга, откуда позднее было установлено,что при всяком криволинейном движении нормальное ускорение пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально радиусу кривизны.

Эйлер, по-видимому, первый (1772 г.), а за ним уже Ампер (1834 г.) предложили выделить кинематику в самостоятельный раздел механики — учение о.механическом движении без учета сил, приложенных к движущимся объектам.

Гаспар Кориолис исследовал составное движение и доказал (1831 г.) знаменитую теорему, позднее получившую название теоремы Кориолиса. Эта теорема является основной в механике относительного движения и имеет огромное значение для различных отраслей науки. Несколько позднее на основе этой теоремы в кинематике составного движения точки стали применять ускорение Кориолиса.

Понятие полного ускорения как величины, характеризующей изменение скорости в данное мгновение, установлено сравнительно недавно. Эта честь принадлежит Понселе, впервые начавшему применять понятие и термин «ускорение» в своих лекциях (1841 г.), и Резалю, впервые применившему его в учебнике (1851 и 1862 гг.).
Луи Пуансо в работе «Новая теория вращения тел» (1834 г.) обогатил кинематику рядом блестящих исследований и дал наглядные геометрические интерпретации. В частности, он изучил сложение вращений и вращение тела около неподвижной точки. Эта геометрическая теория позднее была развита Понселе, Шалем, Мебиусом и др.

По-видимому, первую монографию по кинематике под названием «Трактат по чистой кинематике (движение, рассматриваемое независимо от его причин)» издал Резаль (1862 г.). По прикладной кинематике заслуживает упоминания книга проф. П. О. Сомова «Кинематика подобно-изменяемой системы двух измерений» (1885 г.).

В настоящее время кинематика является хорошо исследованной областью науки, и дальнейшее развитие кинематики происходит преимущественно в виде применения ее к различным частным задачам техники.

Кинематика точки

В кинематике изучается движение материальных объектов (точки, твердого тела, сплошной среды) без рассмотрения причин, вызывающих или изменяющих это движение. Такое изучение движения материальных объектов не требует учета материальных характеристик этих объектов — массы, моментов инерции и др.

В кинематике рассматривают такие характеристики движения, как скорость и ускорение точки, угловые скорость и ускорение твердого тела и др.

Движение материальных объектов, в частности материальной точки, совершается в пространстве при изменении времени. Пространство в классической механике считается эвклидовым, не зависящим от времени и движущихся в нем материальных объектов. Время принимается универсальным, не связанным с пространством и не зависящим как от движения наблюдателя, с точки зрения которого рассматривается движение материального объекта, так и от движения самого материального объекта.

Движение материального объекта всегда следует рассматривать относительно какого-либо твердого тела — тела отсчета, т.е. движение является относительным. С телом отсчета скрепляют систему осей координат, например декартовых, принимая ее за систему отсчета, относительно которой рассматривается движение материального объекта. Системой отсчета для трехмерного эвклидова пространства не может служить одна точка, линия или плоскость, а должны быть три оси, не обязательно прямолинейные, но не лежащие в одной плоскости.

Независимость времени от движения означает, что во всех системах отсчета, произвольно движущихся друг относительно друга, оно одно и то же, если за начало отсчета выбрано общее для них событие.

В кинематике сплошной среды телами отсчета, относительно которых рассматривается движение, могут быть также деформируемые тела.

В курсе теоретической механики обычно изучаются движение точки и твердого тела. Соответственно кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела. В настоящем курсе дополнительно излагаются также основы кинематики сплошной среды.

В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость, ускорение, и методы их определения при различных способах задания движения. Важным в кинематике точки является понятие траектории. Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.

По виду траекторий движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Форма траектории зависит от выбранной системы отсчета. Одно и то же движение точки может быть прямолинейным относительно одной системы отсчета и криволинейным относительно другой. Например, если с летящего горизонтально Земле с постоянной скоростью самолета отцеплен груз, то, пренебрегая сопротивлением воздуха и учитывая только действие силы тяжести, получим в качестве траектории движения центра масс груза относительно самолета прямую линию, а относительно Земли — параболу.

Скорость точки

Одной из основных характеристик движения точки является ее скорость относительно выбранной системы отсчета, которая изображена в виде декартовой прямоугольной системы координат (рис. 1).

Рис. 1

Положение движущейся точки относительно рассматриваемой системы отсчета определяется в момент времени  радиусом-вектором , который соединяет неподвижную точку с этой точкой. В другой момент времени движущаяся точка займет положение и ее радиусом-вектором будет . За время радиус-вектор движущейся точки изменится на .

Средней скоростью точки за время называют отношение  , т. е.

Средняя скорость параллельна вектору . В общем случае она зависит от времени осреднения . У нее нет конкретной точки приложения на траектории.

Введем скорость точки в момент , которая определяется как предел средней скорости, если промежуток времени, за который определяется средняя скорость, стремится к нулю, т. е.

Скорость точки направлена в сторону ее движения по предельному направлению вектора при , стремящемся к нулю, т. е. по предельному направлению секущей ,  которая совпадает с касательной к траектории в точке . Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от ее радиуса-вектора. Она направлена по касательной к траектории в сторону движения точки.

Начало радиуса-вектора движущейся точки можно выбрать в любой неподвижной точке. На рис. 1 представлен случай, в котором радиусом-вектором является также р с началом в точке . Радиусы-векторы и имеют одинаковые изменения и за время и поэтому

Размерность скорости в получаем из (1):

.

Часто скорость выражают в км/ч; .

Для характеристики переменного вектора используют понятие его годографа. Годографом вектора называют геометрическое место его концов, если переменный вектор в различные моменты времени откладывать от одной и той же общей точки.

Траектория точки, очевидно, является годографом радиуса-вектора или  (рис. 1). Последовательные положения вектора в различные моменты времени откладываются в этом случае от точки , а вектора  — от точки .

Первая производная по времени от радиуса-вектора есть скорость точки, направленная по касательной к траектории. Следовательно, параллельно касательной к годографу направлена первая производная по скалярному аргументу от любого переменного вектора.

Годографом вектора скорости является линия, на которой располагаются концы этого вектора в различные моменты времени, если их начала совместить в одной общей точке. Для построения годографа вектора скорости выбираем точку, например  (рис. 2,6), и начала векторов скорости для различных моментов времени переносим в эту точку, не изменяя их величин и направлений. Каждой точке траектории (рис. 2, а) будет соответствовать своя изображающая точка на годографе вектора скорости (рис. 2,6). Масштаб для скоростей при построении годографа вектора скорости может быть выбран отличным от масштаба для скоростей, изображаемых в точках траектории. При движении точки по траектории соответствующая ей изображающая точка движется по годографу вектора скорости.

Рис. 2

При равномерном движении точки по прямой годографом вектора скорости является одна точка; при неравномерном движении — отрезок прямой, параллельный траектории.

Ускорение точки

Пусть движущаяся точка в момент времени имеет скорость . В момент времени эта точка занимает положение , имея скорость  (рис. 3,а). Чтобы изобразить приращение скорости за время , перенесем вектор скорости параллельно самому себе в точку .

Средним ускорением точки за время называют отношение , т. е. . Среднее ускорение точки параллельно приращению скорости . Как и средняя скорость, среднее ускорение не имеет на траектории конкретной течки приложения и изображено в точке условно. В общем случае среднее ускорение зависит от времени .

Ускорением точки в момент времени называют предел, к которому стремится среднее ускорение при , стремящемся к нулю, т. е.

Рис. 3

Таким образом, ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки.

Приращение скорости и, следовательно, среднее ускорение направлены внутрь вогнутости траектории. Так же направлены и их предельные значения при , стремящемся к нулю. Поэтому ускорение точки направлено тоже внутрь вогнутости траектории. Кроме того, ускорение как первая производная по времени от скорости, по свойству годографа вектора, параллельна касательной к годографу вектора скорости (рис. 3,6).

Размерность ускорения в получаем из (2):

Векторный способ изучения движения

Движение точки относительно рассматриваемой системы отсчета при векторном способе изучения движения задается радиусом-вектором этой точки (рис. 4). Движение точки считается заданным, если известен радиус-вектор движущейся точки как функция времени, т. е.

Задание векторного уравнения движения (3) полностью определяет движение точки.

Траекторией точки является годограф радиуса-вектора. Скорость точки направлена по касательной к траектории и вычисляется, согласно ее определению, по формуле

Для ускорения точки соответственно имеем

Таким образом, если движение точки задано векторным способом, то скорость и ускорение вычисляются по формулам (4) и (5).

Определение скорости и ускорения точки сводится к чисто математической задаче вычисления первой и второй производных по времени от радиуса-вектора этой точки. Для практического вычисления скорости и ускорения обычно используют координатный и естественный способы изучения движения. Векторный способ ввиду его краткости и компактности удобен для теоретического изложения кинематики точки.

Рис. 4

Координатный способ изучения движения

Задание движения и траектория:

Движение точки можно изучать используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовых прямоугольных осей координат, которые являются также системой отсчета, относительно которой рассматривается движение точки. Движение точки в декартовых координатах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени (рис. 5), т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:

Уравнения движения точки в декартовых координатах полностью определяют движение точки. Они позволяют найти положение точки, ее скорость и ускорение в любой момент времени. Уравнения движения (6) есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время . Уравнения траектории в координатной форме из (6) получают исключением параметра . Исключая время, например, из первых двух уравнений и затем из второго и третьего, получим уравнения двух поверхностей:

Это и есть уравнения траектории в координатной форме. Траекторией является линия пересечения двух поверхностей. Эти поверхности являются цилиндрическими, так как их уравнения не содержат одной из координат: первое — координаты , второе — координаты . Ось первой цилиндрической поверхности параллельна оси , второй — оси .

Исключая время из уравнений движения в другом порядке, получим траекторию точки как линию пересечения двух других цилиндрических поверхностей, например

При исключении параметра из уравнений движения могут быть получены отрезки линий или точки, которые не содержатся в уравнениях (6). Эти дополнительные точки не следует считать точками траектории.

Рис. 5

Пример 1.

Даны уравнения движения точки по плоскости

где , ,  — положительные постоянные величины. Определить уравнение траектории в координатной форме.

Решение. Уравнения движения (а) есть уравнения траектории точки в параметрической форме с параметром . Исключим его из уравнений движения. Для этого достаточно сложить правые и левые части уравнений, разделив предварительно первое уравнение на , а второе — на . Получим

так как

Уравнение (б) есть уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки  и (рис. 6).

Рис. 6

Из уравнений (а) следует, что координаты точки и все время положительны и удовлетворяют условиям , , т. е. они могут изменяться только в пределах , .  Точки прямой, для которых и , не содержатся в уравнениях движения (а). Они дополнительно появились при исключении из уравнений параметра . Их не следует включать в траекторию.

Траектория точки в координатной форме выражается уравнением и двумя неравенствами:

Скорость в декартовых координатах

Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат (рис. 7). Получим

где — координаты точки —единичные векторы осей координат; — проекции скорости на оси координат.

Учитывая (7), согласно определению скорости, имеем

так как   не изменяются при движении точки . Точки над   означают их производные по времени. Сравнивая (7) и (8), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:

Рис. 7

Рис. 8

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат и в этой плоскости, получим:

Соответственно

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например Для прямолинейного движения точки координатную ось, например Ох, направляют по траектории (рис. 8). Тогда и , , . Проекция скорости и ее модуль определяются по формулам

Уравнение годографа вектора скорости

Известны уравнения движения точки в декартовых координатах. Получим уравнения годографа вектора скорости. На рис. 9, а изображены траектория точки и несколько векторов скорости в выбранном масштабе для различных моментов времени, а на рис. 9,6 представлен годограф вектора скорости этого движения. Точке на траектории соответствует точка на годографе вектора скорости.

Координаты точки , согласно определению годографа, выражаются через проекции вектора скорости на оси координат по формулам

Если оси координат для годографа вектора скорости параллельны соответствующим осям координат, относительно которых заданы уравнения движения точки, то

Рис. 9

Параметрические уравнения годографа вектора скорости принимают такую форму:

Исключая из этих уравнений параметр , получим уравнения годографа вектора скорости в координатной форме.

Годограф вектора скорости дает наглядное представление о скоростях движущейся точки в разные моменты времени. Он также позволяет определить направление вектора ускорения, так как ускорение параллельно касательной к годографу вектора скорости.

Ускорение точки в декартовых координатах

Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим

где — проекции ускорения на координатные оси. Согласно определению ускорения и формулам (7) и (8), имеем

Сравнивая (11) и (12), получаем формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат:

Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки.

Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам

При движении точки по плоскости оси и выбирают в этой же плоскости. Тогда , . Формулы для ускорения и его проекций на оси координат примут вид

Соответственно

Для прямолинейного движения ось направим по траектории точки. Тогда , и , . Формулы для ускорения и его проекции на ось принимают вид

Соответственно для числового значения ускорения имеем

Рис. 10

Пример 2.

Движение точки по плоскости задано уравнениями

где , и —постоянные положительные величины. Определить уравнение траектории в координатной форме, значения скорости и ускорения точки в момент времени , а также уравнение годографа вектора скорости.

Решение. Уравнение траектории в координатной форме находим исключением времени из уравнений движения. Для этого поделим первое уравнение на , второе — на , возводим в квадрат и складываем. Получаем уравнение эллипса (рис. 10, а) с полуосями  и :

так как

При точка имеет координаты , т. е. занимает положение . Определим проекции скорости и ускорения на оси координат. Имеем:

Для момента времени получаем:

По проекциям устанавливаем направление скорости по касательной к траектории и направление ускорения по радиусу-вектору к точке . Изображаем эти векторы в точке и дополнительно в точках и .

Если выбрать для годографа вектора скорости оси и параллельными осям и , то для его текущих координат имеем

Исключая из этих параметрических уравнений годографа вектора скорости время г, получим следующее его уравнение в координатной форме:

На рис. 10,6 отмечены три изображающие точки годографа , и , соответствующие точкам траектории , и , а также указаны направления ускорения в этих точках.

Естественный способ изучения движения

Естественный способ задания движения:

При естественном способе задания движения задаются траектория и закон движения точки по траектории. Движение точки рассматривается относительно фиксированной системы отсчета. Задание траектории относительно выбранной системы отсчета осуществляется различными способами: уравнениями (возможно, вместе с неравенствами), словесно или в виде графика (в каком-либо масштабе). Например, можно сказать, что траекторией автомобиля, принимаемого за точку, является дуга окружности радиусом 10 км и т. д.

Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку , принимаемую за начало отсчета расстояний (рис. 11). Расстояния в одну сторону от точки по траектории считаются положительными (например, вправо), в другую — отрицательными. Кроме того, следует задать начало отсчета времени. Обычно за принимают момент времени, в который движущаяся точка проходит через точку , или момент начала движения. Время до этого события считается отрицательным, а после него — положительным.

Если в момент времени движущаяся точка занимает положение М, то закон движения точки по траектории задается зависимостью от времени расстояния , отсчитываемого от точки до точки , т. е. . Эта функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой. Расстояние берется по траектории, какой бы сложной ни была форма траектории. Это расстояние не имеет прямого отношения к пройденному точкой пути за время , так как за начало отсчета расстояний может быть выбрана, в частности, и конечная точка пути. К тому же движение точки может быть колебательным вокруг начальной точки .

Рис. 11

От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме через декартовы координаты выражается в виде

и после интегрирования —в конечной форме

если

За начало отсчета расстояний принята точка траектории, в которой находится движущаяся точка в начальный момент времени. Знак у квадратного корня определяется выбором направления положительных и отрицательных расстояний.

Скорость точки при естественном способе задания движения

Пусть движение точки задано естественным способом, т. е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории . Вычислим скорость точки. Для этого используем радиус-вектор движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке (рис. 12). При движении точки ее радиус-вектор изменяется с течением времени, а следовательно, он изменяется в зависимости от расстояния. Используя определение скорости, имеем

или , где . Вектор направлен по касательной к траектории как производная от вектора по скалярному аргументу и является единичным вектором. Модуль этого вектора равен единице, как предел отношения длины хорды к длине стягивающей ее дуги при стремлении ее к нулю.

Единичный вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастающих (положительных) расстояний независимо от направления движения точки. При направления векторов и совпадают. Вектор в этом случае направлен в сторону возрастающих расстояний. Если точка движется в сторону убывающих расстояний, то и направления векторов и противоположны. Но вектор направлен в сторону убывающих расстояний, а следовательно, вектор опять направлен в сторону возрастающих расстояний.

При вектор скорости направлен по , т. е. в сторону возрастающих расстояний; при он имеет направление, противоположное , т. е. в сторону убывающих расстояний.

Величина называется алгебраической скоростью точки. Ее можно считать проекцией скорости на положительное направление касательной к траектории, совпадающее с направлением единичного вектора .

Рис. 12

Естественное задание движения точки полностью определяет скорость точки по величине и направлению. Алгебраическую скорость находят дифференцированием по времени закона изменения расстояний. Единичный вектор определяют по заданной траектории.

Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора

Радиус кривизны и соприкасающаяся плоскость. В точке кривой линии проведем касательную (рис. 13). В другой близкой точке кривой , отстоящей от точки на расстоянии , построим касательную . В общем случае пространственной кривой касательные и будут скрещиваться. Проведем в точке прямую линию параллельную . Угол между линиями и называется углом смежности. Кривизной кривой  в точке  называют предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния , причем стремится к нулю, т. е.

Радиусом кривизны кривой  в точке называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке, т. е.

Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиусом (рис. 14). Дуга окружности длиной , опирающаяся на центральный угол , выражается зависимостью . Для радиуса кривизны имеем

т. е. для окружности радиус кривизны в каждой ее точке один и тот же и совпадает с радиусом окружности.

Участок кривой из малой окрестности какой-либо ее точки лучше всего аппроксимирует по сравнению с дугами других окружностей элемент дуги окружности, радиус которой равен радиусу кривизны кривой в рассматриваемой точке.

Рис. 13

Рис. 14

Для определения понятия соприкасающейся плоскости проводим вспомогательную плоскость через две пересекающиеся прямые  и  (см. рис. 13). Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точки с точкой называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке .

Рис. 15

В случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.

Естественный трехгранник

Построим в точке кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 15). Первой естественной осью является касательная . Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора касательной , направленного в сторону возрастающих расстояний.

Перпендикулярно касательной располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью . Она является линией пересечения нормальной плоскости с соприкасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор . Он определяет положительное направление второй естественной оси.

Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью. Единичный вектор , направленный по бинормали так, чтобы три вектора , и образовывали правую систему осей координат, определит положительное направление третьей естественной оси.

Три взаимно перпендикулярные оси , и , положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов , , , называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке естественный трехгранник. При движении точки по кривой естественный трехгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.

Дифференцирование единичного вектора

Вычислим производную от единичного вектора по скалярному аргументу. В кинематике точки скалярными аргументами обычно являются время и расстояние по траектории. В качестве единичного вектора выберем , направленный по касательной к траектории, и вычислим его производную по времени.

Производная перпендикулярна самому единичному вектору . Для доказательства этого используем тождество

Дифференцируя по времени обе части этого тождества, получим

Каждый из сомножителей этого выражения не равен нулю, поэтому векторы и перпендикулярны друг другу. Это справедливо для любого другого вектора, числовая величина (модуль) которого постоянна. Направим по вектору единичный вектор . Тогда

Годографом вектора является кривая, расположенная на сфере единичного радиуса, так как единичный вектор изменяется только по направлению (рис. 16).

Рис. 16

По определению модуля производной от вектора имеем

Длина малой хорды с точностью до малых величин более высокого порядка равна длине дуги, которую стягивает хорда, т. е.

где — угол, опирающийся на эту дугу. Используя это выражение, получим

Подставляя это значение в (14) и используя выражение для радиуса кривизны и переменную , получим

Радиус кривизны считаем положительным.

Вектор и совпадающий с ним по направлению единичный вектор направлены параллельно предельному положению вектора при , стремящемся к нулю, т. е. они расположены в соприкасающейся плоскости кривой. Единичный вектор перпендикулярен вектору , направленному по касательной к кривой. Следовательно, вектор направлен по главной нормали кривой в сторону ее вогнутости, так как в эту сторону направлено предельное положение вектора .

Если имеем любой другой вектор с постоянным модулем, то для него остается справедливым все, что было получено для единичного вектора, только радиус годографа следует заменить его модулем . Получим

где — теперь единичный вектор,  перпендикулярный вектору и направленный параллельно .

Формулу (15′) можно выразить векторным произведением:

где — вектор угловой скорости поворота вектора , модуль которого . Вектор угловой скорости следует направить перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и , причем так, чтобы с его стрелки увидеть поворот вектора к в этой плоскости на угол  против часовой стрелки. Подробнее понятие вектора угловой скорости дается при рассмотрении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси и в других случаях его движений.

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Учитывая, что для скорости точки имеем

в соответствии с определением ускорения и (15) получаем

так как и направлен внутрь вогнутости траектории параллельно единичному вектору главной нормали .

Получено разложение ускорения точки по осям естественного трехгранника. Часть ускорения

называется касательной составляющей ускорения. Другая часть ускорения

называется нормальной составляющей ускорения. Она направлена внутрь вогнутости траектории, т. е. в сторону положительного направления единичного вектора главной нормали , так как внутрь вогнутости траектории направлено полное ускорение. Таким образом, ускорение точки

Из (17) получим формулы для проекций ускорения на естественные оси. Имеем:

Проекция ускорения на положительное направление касательной, совпадающее с направлением единичного вектора , называется касательным ускорением, а на главную нормаль, направленную по единичному вектору ,— нормальным ускорением. Проекция ускорения на бинормаль, направленную по единичному вектору , равна нулю; следовательно, ускорение точки расположено в соприкасающейся плоскости траектории. В этой плоскости находятся единичные векторы касательной и главной нормали.

Учитывая ортогональность и  (рис. 17), в соответствии с уравнением (18) имеем

Рис. 17

Нормальная составляющая ускорения  всегда направлена внутрь вогнутости траектории. Касательная составляющая при направлена в положительную сторону касательной, т. е. по направлению единичного вектора , а при  — в отрицательную, противоположно .

При  и векторы скорости и касательной составляющей ускорения направлены в одну сторону — по . Движение точки является ускоренным в положительном направлении касательной к траектории. При и опять векторы скорости и касательной составляющей ускорения имеют одинаковые направления и, следовательно, движение точки является ускоренным, но в отрицательном направлении касательной к траектории.

Если  и , то вектор скорости направлен по , а вектор касательной составляющей ускорения противоположен ему по направлению. Движение точки является замедленным в положительном направлении касательной к траектории. При и имеем замедленное движение точки в отрицательную сторону касательной к траектории точки.

Случаи обращения в нуль касательного ускорения получают из условия

Это условие выполняется все время, пока , т.е. при равномерном движении точки по траектории любой формы. Касательное ускорение обращается в нуль также в те моменты времени, в которые алгебраическая скорость достигает экстремума, например максимума или минимума. Для изображенного на рис. 18 изменения алгебраической скорости в зависимости от времени касательное ускорение равно нулю в моменты времени и . При колебаниях маятника (рис. 19) эти моменты соответствуют его прохождению через точку . При движении маятника в одну сторону алгебраическая скорость в точке  достигает максимума, при движении в обратном направлении — минимума.

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Случаи обращения в нуль нормального ускорения следуют из условия

Это условие выполняется при , т. е. при прямолинейном движении точки. При движении точки по криволинейной траектории в точках перегиба, в которых происходит изменение выпуклости траектории на вогнутость, и наоборот (рис. 20). Нормальное ускорение обращается также в нуль в моменты времени, в которые , т. е. в моменты изменения направления движения точки по траектории. Для маятника такими моментами являются моменты отклонения маятника на наибольший угол как в одну сторону, так и в другую. Эти моменты соответствуют мгновенным остановкам маятника.

Случаи обращения в нуль касательного и нормального ускорений, а также общие формулы для них показывают, что касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине, а нормальное— по направлению.

Рис. 21

Пример 3.

Точка движется по дуге окружности радиусом по закону , где . Начало отсчета расстояний и времени, а также направление положительных расстояний указаны на рис. 21. Определить скорость и ускорение точки в момент времени , а также их значения в точке и в точке траектории , в которой скорость обращается в нуль.

Решение. Скорость и проекции ускорения на естественные оси определяем по формулам  (16) и (19). Имеем:

Скорость обращается в нуль, если , т. е. в момент времени и другие моменты времени, которые в этом примере не рассматриваются. При , т. е. в момент изменения направления движения точки, имеем

Подставляя в формулы для и  значение , получаем

Касательное ускорение в этот момент времени обращается в нуль, так как алгебраическая скорость достигает своего максимума.

Частные случаи движения точки

Равномерное движение

При равномерном движении точки по траектории любой формы ; следовательно, постоянна и алгебраическая скорость , которая может отличаться от только знаком. Так как

то

если принять при .

Равнопеременное движение

Равнопеременным движением называют такое движение по траектории любой формы, при котором касательное ускорение . Движение является равноускоренным, если алгебраическая скорость  и касательное ускорение имеют одинаковые знаки. Если и имеют разные знаки, то движение является равнозамедленным.

Получим формулы для алгебраической скорости и расстояния при равнопеременном движении. Имеем:

следовательно,

если принять при .

Так как , то с учетом (21)

если при . Выполняя интегрирование, получим

Из (21) и (22) можно определить любые две неизвестные величины, если известны остальные три величины, входящие в эти формулы.

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Рассмотрим движение точки по плоскости. В этом случае движение можно задать в полярных координатах. Для этого примем какую-либо точку плоскости за полюс и проведем из нее полярную ось, например ось (рис. 22). Положение движущейся точки на плоскости известно, если заданы радиус-вектор и полярный угол как функции времени, т. е.

Полярный угол считается положительным, если он откладывается от полярной оси до радиуса-вектора против часовой стрелки. Радиус-вектор как расстояние от точки до точки принимает только положительные значения.

Уравнения (23) называются уравнениями движения точки в полярных координатах. Они являются также уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если из (23) исключить параметр — время , то получим уравнение траектории в полярных координатах:

Введем единичный вектор , направленный по радиусу-вектору от полюса к точке . Тогда

Для скорости получаем

Согласно (15), для производной по времени от единичного вектора имеем

где вместо единичного вектора введен единичный вектор , направление которого получается поворотом вектора на в положительном направлении угла , т. е. против часовой стрелки (рис. 22). После этого для скорости точки получаем

Рис. 22    

Это разложение скорости точки на радиальную и трансверсальную (поперечную) составляющие, т. е.

где

Для проекций скорости на оси, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов и из (24), получаем

Они соответственно называются радиальной и трансверcальной скоростями. В зависимости от знаков производных  и  радиальная и трансверсальная скорости могут быть как положительными, так и отрицательными.

Используя (24), определяем ускорение точки в полярных координатах. Имеем

Выполняя дифференцирование, получим

Для производной по времени от единичного вектора имеем

dp°ldt =

так как вектор поворачивается с той же угловой скоростью , что и вектор , а единичным вектором, по которому направлен вектор , является вектор .

После подстановки в выражение для ускорения производных от единичных векторов и объединения слагаемых имеем

Получили разложение ускорения точки на радиальную и трансверсальную составляющие, т. е.

Для проекций ускорения на оси и получаем

Ускорение называется радиальным, а — трансверсальным. Трансверсальное ускорение можно выразить также в форме

Это выражение для трансверсального ускорения широко используется при рассмотрении движения планет и искусственных спутников Земли.

Рис. 23

Радиальная и трансверсальная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому

Отметим, что для неподвижных осей координат , и справедливы формулы

Для подвижных осей и , как следует из (26) и (28), и не равны производным по времени от  и .

Частные случаи

 1. Если , то имеем прямолинейное движение по прямой . В этом случае  и из (26) и (28) получаем:

Эти величины совпадают с ранее полученными выражениями для них при изучении движения точки в декартовых координатах. Только расстояние следует заменить на координату .

2. При (рис. 23) получаем движение точки по окружности. В этом случае . Из (26) и (28) имеем:

В этих формулах является угловой скоростью вращения радиуса-вектора, а — его угловым ускорением.

Пример 4.

Движение точки задано в полярных координатах уравнениями

где  и —постоянные величины. Определить уравнение траектории, скорость и ускорение точки в полярных координатах для момента времени и момента времени .

Решение. Исключая из уравнений движения параметр , получим следующее уравнение траектории в полярных координатах:

Это уравнение кардиоиды (рис. 24).

Проекции скорости и ускорения на полярные оси определяем по формулам (26) и (28). Имеем:

Для момента времени из этих формул получаем:

Векторы скорости и ускорения для моментов времени и изображаем на рисунке.

Пример 5.

Движение точки задано в прямоугольной системе координат уравнениями

где и —в метрах, — в секундах.

Определить уравнение траектории в координатной форме, а также скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиальную и трансверсальную составляющие скорости и радиус кривизны траектории в момент времени . Изобразить на рисунке траекторию, скорости и ускорения в указанный момент времени.

Решение. Уравнения движения представляют собой уравнение траектории в параметрической форме. Для определения уравнения траектории в координатной форме следует из уравнений движения исключить время . Имеем:

следовательно,

Это уравнение параболы. He все точки параболы являются точками траектории. Так как при любых значениях и , то из уравнений движения получаем дополнительные ограничения для координат точек траектории .

Таким образом, точки траектории удовлетворяют условиям

Часть точек параболы, не являющихся точками траектории, дополнительно появилась при исключении из уравнений движения параметра

Рис. 24

Рис. 25

На рис. 25 приведена траектория точки. Траекторией является только часть параболы .

Определяем проекции скорости на оси и скорость в любой момент времени:

При 

Проекции ускорения в любой момент времени определяем по формулам 

При

Для модуля касательного ускорения при имеем

Нормальное ускорение при

Для вычисления радиальной скорости предварительно определяем радиус-вектор:

Тогда при  получаем

Трансверсальную скорость при определяем по формуле

Координаты движущейся точки при

По координатам отмечаем положение движущейся точки на траектории и, выбрав масштабы, изображаем векторы скорости и ускорения по их проекциям на оси. Для радиальной составляющей скорости учитываем ее направление, противоположное единичному вектору  , так как получилось со знаком минус.

Для трансверсальной составляющей скорости определено только числовое значение. Из рис. 25 следует, что направление вектора противоположно направлению единичного вектора (направление получается поворотом на вектора против часовой стрелки). Следовательно, в рассматриваемом случае надо взять со знаком минус, т.е. .

Для проверки правильности определения можно использовать формулы

Нормальное ускорение всегда направлено внутрь вогнутости траектории. Направление касательного ускорения , определяем по  и ; оно оказалось направленным по вектору скорости. Следовательно, точка в рассматриваемый момент времени движется ускоренно.

Определим радиус кривизны траектории в момент времени . Все необходимые величины для этого уже имеются. Получим

Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах

При движении точки в пространстве иногда используются цилиндрические оси координат. Они получаются добавлением к полярным координатам на плоскости координаты , отсчитываемой вдоль неподвижном оси , перпендикулярной плоскости, в которой расположены полярные оси координат (рис. 26).

Положение точки определяют заданием трех ее цилиндрических координат как функций времени:

Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат , , , выразится в следующей форме:

где  — единичные векторы, направленные по осям цилиндрической системы координат. Оси и расположены в одной плоскости с осями  и .

Представим радиус-вектор точки как сумму двух векторов, т. е.

Скорость точки получим дифференцированием радиуса-вектора по времени:

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе формулы (24) для скорости точки в полярных координатах. Было получено

Во втором слагаемом постоянный по модулю и направлению единичный вектор можно вынести за знак производной. Для скорости получается следующее разложение на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:

Сравнивая (32) с (30), получаем формулы для проекций скорости на цилиндрические оси координат:

Так как составляющие скорости , и , параллельные осям цилиндрической системы координат, взаимно перпендикулярны, то для модуля скорости имеем

Ускорение точки получим дифференцированием по времени вектора скорости:

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе ускорения в полярных координатах:

Во втором слагаемом при дифференцировании выносим вектор за знак производной. Объединяя результаты дифференцирования, получим следующее разложение ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:

Сравнивая его с (31), получаем формулы для проекций ускорения на цилиндрические оси координат

Составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому для модуля ускорения имеем

Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах

Положение точки в пространстве в декартовой системе координат определяется тремя координатами: . Можно выбрать другие три параметра  и назвать их криволинейными или обобщенными координатами точки. Декартовы координаты будут зависеть от криволинейных:

Движение точки в криволинейных координатах задается уравнениями

Радиус-вектор движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке выбранной системы отсчета для рассматриваемого движения, является функцией как декартовых, так и криволинейных координат, т. е.

Выберем точку , в которой криволинейные координаты равны нулю, и рассмотрим зависимость . Получим уравнение в векторной форме координатной линии для , проходящей через точку . Аналогично  получаются уравнения координатных линий и , проходящих через точку  для координат и .

Через каждую точку пространства можно провести три координатные линии, пересекающиеся в этой точке. Вдоль каждой из координатных линий изменяется только одна криволинейная координата, а две другие сохраняют постоянные значения, соответствующие рассматриваемой точке.

Рассмотрим частные производные . Они как производные от вектора по скалярному аргументу направлены по касательным к координатным линиям, являющимся годографами радиуса-вектора. Введем единичные векторы, направленные по векторам . Эти три единичных вектора называются базисными векторами. Базисные векторы, как и , направлены в каждой точке по касательным к координатным линиям в сторону возрастания криволинейных координат. Направления возрастания и начало отсчета криволинейных координат выбираются при задании движения.

В общем случае базисные векторы могут быть неортогональными. Используя базисные векторы, получаем

или

Скалярные величины  называются коэффициентами Ламэ.

Для вычисления учтем, что радиус-вектор через декартовы координаты можно выразить в форме

где — единичные векторы, направленные по осям декартовой системы координат. Из (37) имеем

и, следовательно

Скорость точки в криволинейных координатах

При движении точки ее радиус-вектор через обобщенные координаты зависит от времени, т. е.

По определению скорости и правилу дифференцирования сложных функций имеем

где называется обобщенной скоростью точки.

Используя (36), из (39) получаем

Получено разложение скорости по осям, направление которых совпадает с направлением базисных векторов.

Для величин составляющих скорости по базисным векторам из (40) имеем

В случае ортогональности базисных векторов по формуле (40′) вычисляются проекции вектора скорости на оси, направленные по базисным векторам. В этом случае для квадрата скорости получаем

Ускорение в ортогональных криволинейных координатах

Криволинейные координаты считаются ортогональными, если ортогональны их базисные векторы. В приложениях обычно встречается этот случай. Для ортогональных базисных векторов проекции ускорения точки на их направления вычисляем по формулам

Выражая базисные векторы по (36), из (41) получим

Для дальнейших преобразований (42) следует воспользоваться тождествами

Тождество (43) представляет собой известное правило дифференцирования скалярного произведения двух векторов. Докажем справедливость тождеств Лагранжа (44) и (45). Тождество (44) получим из (39) дифференцированием , например, по . Учитывая,    что производные    не могут зависеть от имеем

Аналогично, 

т.е.

Справедливость тождества (44) установлена.

Для доказательства тождества (45) продифференцируем из (39) по . Получим

Учитывая, что не может зависеть от обобщенных скоростей, и дифференцируя ее по времени как сложную функцию времени, имеем

Правые части (46) и (47) совпадают, так как они отличаются только порядком частного дифференцирования, от которого частные производные не зависят. Следовательно, тождество (45) доказано. Используя тождества, преобразуем выражение в скобках из (42). Получим

Учитывая, что , и вводя функцию , из (42) с учетом (48) имеем

По формулам (49) можно вычислить проекции ускорения точки на оси, направленные по базисным ортогональным векторам.

Скорость и ускорение в сферических координатах

В качестве примера использования полученных формул вычислим скорость и ускорение точки в сферических координатах. Сферическими координатами точки являются величины (рис. 27). Координатной линией для является прямая с базисным вектором . Координатной линией для служит параллель сферы с базисным вектором  и координатной линией — меридиан сферы с базисным вектором .

Базисные векторы оказались ортогональными. Декартовы координаты точки через сферические выражаются следующими зависимостями:

По формулам (38) вычисляем коэффициенты Ламэ. Имеем:

Проекции скорости на оси, направленные по базисным векторам, определяем согласно (40′). Получаем

После этого

Рис. 27

Для квадрата скорости и функции имеем

Проекции ускорения на оси, направленные по базисным векторам, вычисляем по формулам (49). Имеем

Для вектора ускорения получаем

Модуль ускорения будет иметь следующее выражение:

Аналогично можно вычислить ранее полученные скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах.

Справочный материал по кинематике точки

Кинематика изучает механическое движение тел без учета факторов, обусловливающих это движение.

Основными понятиями в кинематике являются движение, ‘пространство и время.

Движение, как было отмечено раньше, обнимает собой все происходящие во вселенной изменения.

Пространство и время представляют собой формы существования материи, без которых немыслимы ни существование, ни движение материи.

Отделить движение от материи нельзя, так же как нельзя себе представить движение материи, происходящее вне времени и пространства.

В кинематике, так же как и вообще в теоретической механике, мы будем рассматривать простейшую форму движения материи — механическую, т. е. перемещение тел в пространстве и во времени. Движение тела будет кинематически определено, если в каждый данный момент времени будет известно положение тела относительно выбранной системы отсчета. Положение тела при его движении определяется по отношению к какой-либо системе координат, связанной с другим телом, например с Землей.

Однако при изучении движения некоторых механических систем эта система отсчета может оказаться недостаточно точной. Так, при опыте с маятником Фуко, где заметно сказывается вращение Земли, за «неподвижную» систему следует принять Солнце. В других вопросах и этого оказывается недостаточно. Тогда неподвижную систему придется перенести на «неподвижную» звездную систему.

В том случае, когда положение рассматриваемого тела остается с течением времени неизменным по отношению к выбранной системе отсчета, про такое тело говорят, что оно находится в покое по отношению к данной системе отсчета.

По отношению к различным системам отсчета тело может совершать различные движения или находиться в покое. Так, например, если тело находится в относительном покое по отношению к Земле, оно уже не будет находиться в покое по отношению к Солнцу, так как это тело будет двигаться вместе с Землей вокруг Солнца. В этом смысле покой и движение тела относительны и зависят от выбранной системы отсчета.

В последующем изложении, если об этом не будет сделано специальной оговорки, мы будем рассматривать движение материальной точки или абсолютно твердого тела, происходящее по отношению к координатным осям, связанным с Землей, которую условно будем считать неподвижной.

При вычислениях все линейные величины мы обычно будем выражать в метрах или сантиметрах, а время в секундах.

При измерении времени следует различать понятия: начальный момент времени, момент времени и промежуток времени.

Начальным моментом времени называется произвольный момент.времени, принятый условно за начало отсчета времени .

Под моментом времени понимается число секунд, прошедшее от начального момента времени, соответствующего началу движения тела (или когда мы начали наблюдать за этим движением), до данного момента.

Промежуток времени определяет число секунд, отделяющих два каких-либо последовательных Момента времени

Способы задания движения точки

Первый способ задания движения точки

Изучение кинематики начнем с рассмотрения движения точки.

Пусть точка М (рис. 139) совершает движение, описывая в пространстве кривую АВ. Эта непрерывная кривая, которую описывает точка М при своем движении, называется ее траекторией. Если траектория прямая, то движение точки называется прямолинейным, если же кривая, то — криволилейным.

Очевидно, что траектория точки есть годограф радиуса-вектора , определяющего положение точки М на ее траектории. При движении точки М радиус-вектор , определяющий ее положение, изменяется по величине и направлению с течением времени. Функциональная зависимость радиуса-вектора от времени может быть выражена равенством:

Если зависимость (66) задана, то тем самым можно определить и положение точки М в пространстве в любой момент времени. Это есть первый способ задания движения точки.

Рис. 139.

Второй способ задания движения точки

Однако движение точки может быть задано иначе. В самом деле, положение движущейся точки в пространстве в данный момент определяется тремя координатами . Эти координаты при движении являются функциями времени (рис. 139):

Если известна зависимость координат от времени, то .можно в любой момент указать положение, движущейся точки в пространстве.

Поэтому второй способ задания движения точки заключается в том,что нам даны уравнения движения (67). Если точка движется в плоскости, то ее положение будет определяться двумя уравнениями:

Исключая, например, из уравнений (67а) время t, получим уравнение траектории точки, движущейся в плоскости:

Уравнения (67) и (67а) могут рассматриваться так же, как параметрические уравнения траектории, причем роль параметра играет время t.

Координаты точки М можно рассматривать как проекции радиуса вектора на координатные оси. Поэтому, обозначив единичные векторы координатных осей через на основании равенства (4) будем иметь:

Если движение точки происходит в плоскости, например, хОу (рис. 140), то уравнение (66) может быть сведено к заданию модуля  и полярного угла , как функций времени:

Уравнения (69) называются уравнениями движения точки в полярных координатах.

Между уравнениями движения (67а) и (69) имеется такая же зависимость, как между прямоугольными и полярными координатами. Из треугольника ОАВ (рис. 140) имеем: и обратно:  и 

Рис. 140.

Третий способ задания движения точки

Наконец, движение точки М может быть задано по третьему способу. Пусть точка М движется по заданной траектории (рис. 139).

Для определения положения точки М в данный момент времени выберем на ее траекторий неподвижную точку О, которую назовем началом отсчета. Тогда положение точки в данный момент будет определяться расстоянием ее от начала отсчета. Условимся пройденные расстояния считать положительными, если точка находится по одну сторону от начала отсчета, и отрицательными — если по другую. Следует заметить, что при точка М не обязательно будет находиться в начале отсчета О, а может занимать некоторое положение определяемое расстоянием от начала отсчета. Это расстояние, соответствующее начальному моменту, называется начальным расстоянием. Так как пройденный путь  изменяется с течением времени, то, следовательно, является некоторой функцией от t:

Уравнение (70) называется уравнением движения, или законом движения точки.

Заданием траектории и уравнения движения (70) вполне определяется положение движущейся точки в пространстве в любой момент времени. В этом заключается третий способ задания движения точки.    ‘

Задача №1

Для следующих случаев задания движения точки требуется:

a)    найти уравнение траектории и вычертить ее;

b)    указать начальное положение точки на ее траектории;

c)    найти закон расстояний, приняв за начало отсчета путей начальное положение точки;

d)    показать направление движения точки по ее траектории.

Решение. Для вычерчивания траектории мы могли бы дать времени ряд значений, например, и т. д. (см. табл. 5), для которых получили бы ряд точек с известными координатами. Соединив полученные точки плавной кривой, получим траекторию движущейся точки. Однако в большинстве случаев важно получить уравнение траектории, которое выражает аналитически зависимость между х и у. Для этого, как мы знаем, следует из уравнений движения исключать время .

Таблица 5                                      Таблица 6

Решая первое из уравнений движения относительно и подставляя найденное значение  во второе уравнение, имеем:

Полученное уравнение является уравнение параболы. Посторим ее (рис. 141) по точкам (талб. 6).

Рис. 141.

Для нахождения начального положения точки на ее траектории подставим в заданные уравнения движения значение . Тогда получим: и ; поэтому в начальный момент точка находится в начале координат.

Закон пройденных расстояний (70) найдется, если воспользоваться известной из дифференциальной геометрии зависимостью между дифференциалом дуги и дифференциалом координат и (рис. 141):

 

но так как , то

Отсюда находим:

Так как по условию начало отсчета следует взять в начальном положении точки, то, полагая в последнем выражении , получим ; тогда:

Направление движения точки по траектории найдем, если в уравнения движения точки (67а) или (70) вместо t подставим ряд положительных возрастающих значений, например t = 0, t = 1, t = 2 (табл. 5). Мы видим, что при возрастании t возрастают также и координаты движущейся точки, а поэтому движение точки будет происходить в направлении, показанном стрелкой (рис. 141).

Ответ: прямая линия

Решение. Для исключения времени t возведем обе части равенства каждого из уравнений в квадрат и сложим; тогда имеем:

Отсюда заключаем, что траектория точки — окружность радиусом 3 единицы и с центром в начале координат (рис. 142).

Рис. 142.

При , а поэтому в начальный момент точка находится на оси  в положении . Беря производную от координат по времени, получим:

далее:    

откуда

Из уравнений движения видно, что при возрастании t абсцисса х уменьшается, ордината .у увеличивается, а поэтому точка будет двигаться против часовой стрелки в направлении, указанном стрелкой.

Указание: для нахождения уравнения движения берем производную по времени t от координат х и у, после чего получаем . Интегрируя полученное равенство, находим Постоянная интегрирования определяется из условия, что при

Ответ: прямая

Задача №2

С дирижабля, летящего на высоте 600 м, сбросили груз, движение которого в недрах и секундах выражается уравнениями: Найти уравнение траектории груза, дальность его полета в горизонтальном направлении и время падения.

Решение. Исключая из уравнений движения время t, найдем, что траекторией груза будет парабола:  . Подставляя в уравнение траектории вместо у значение , получим дальность полета груза в горизонтальном направлении: . Время падения груза найдем, если, например, в первое из уравнений движения груза вместо х подставим и решим уравнение относительно t; имеем:

Задача №3

Движение точки в сантиметрах и секундах выражается уравнением:

Построить график расстояний.

Решение. Графиком расстояний называется кривая зависимости пройденного расстояния В нашем случае кривая расстояний представляет собой синусоиду. Построим ее по точкам (табл. 7).

Таблица 7

Имея график расстояний (рис. 142а), можно для любого момента времени найти величину пути,  пройденного движущейся точкой от начала отсчета, а следовательно, и указать положение точки на ее траектории, которая должна быть дана. 

Рис. 142а.

Скорость точки

Бели точка движется по траектории так, что в любые два равных промежутка времени она проходит равные пути, то такое движение точки называется равномерным.

Скоростью равномерного движения называется путь, пройденный точкой в единицу времени, например в секунду, минуту, час и т. п. Пусть в начальный момент точка находилась на расстоянии от начала отсчета, а в момент t — на расстоянии s; тогда, согласно определению, величина скорости этого движения будет постоянна и определится по формуле:

откуда расстояние точки s от начала отсчета в любой момент времени t будет:

Уравнение (71) называется уравнением равномерного движения.   

Найдем теперь скорость любого движения точки. В этом случае она определяется в зависимости от того, как задано движение точки.

Пусть движение точки задано по первому способу, т. е. по уравнению (66); допустим, что в момент t движущаяся точка находилась в положении М, определяемом радиусом-вектором (рис. 15).

За малый промежуток времени точка перейдет в положение , определяемое уже другим радиусом-вектором , при этом вектор перемещения точки М за время равен

Если бы точка М двигалась не по дуге кривой а по хорде то, предположив, что эту хорду точка проходит движением равномерным, найдем среднюю скорость ее, как отношение вектора перемещения к сбответствующему промежутку времени , т. е.   Направление же вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения .

Истинную скорость движущейся точки в рассматриваемом положении мы должны принять, как векторную величину, равную пределу отношения вектора перемещения к соответствующему промежутку времени  стремящемуся к нулю:

Что касается направления истинной скорости, то она, следуя направлению хорды, будет в пределе направлена по касательной к траектории в данной точке.

Следовательно, вектор скорости равен векторной производной радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

Для нахождения скорости точки, если задано ее движение по второму способу, т. е. по уравнениям (67), выразим сначала радиус-вектор точки через его компоненты по формуле (68):

Тогда на основании уравнения (72) имеем:

С другой стороны, обозначая проекции скорости на координатные оси через , напишем:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах, найдем проекции скорости на координатные оси:

В дальнейшем первые производные по времени будем обозначать , а вторые производные —

Итак, проекция скорости на неподвижную ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени. Модуль скорости находим по выражению:    

Направление же вектора скорости к координатным осям определится через косинусы углов, которые составляет вектор скорости с осями координат.

Пусть теперь движение точки задано траекторией и законом движения, выраженным формулой (70).

Допустим, что за промежуток времени точка перешла из положения М в положение (рис. 143), пройдя путь, равный длине дуги

Заменим движение точки М по дуге кривой движением по хорде  ; тогда, рассматривая это движение, как равномерное, найдем, что вектор средней скорости точки за промежуток времени равен

Направление же средней скорости воображаемого движения будет совпадать с направлением вектора перемещения направленного по хорде. Заменив криволинейную траекторию точки ломаной линией мы тем самым криволинейное движение заменяем рядом прямолинейных и равномерных движений, причем переход от одного прямолинейного движения к другому происходит скачками.

Рис. 143.

Увеличивая число хорд и тем самым уменьшая их длины, мы будем точнее приближаться к действительному криволинейному движению, так как разности между дугами и хордами будут уменьшаться. Вместе с этим переход от одной хорды к другой будет постепенно сглаживаться. Когда число хорд будет стремиться к бесконечности, а длина каждой хорды — к нулю, средние скорости будут стремиться также к некоторому пределу, который представит собой истинную скорость в данной точке траектории:

Что касается направления истинной скорости, то она, следуя направлению хорды, будет в пределе направлена по касательной к траектории в данной точке.

Умножив числитель и знаменатель последнего равенства на , получим:

Но так как предел отношения длины хорды к длине дуги равен единице, а направление в пределе совпадает с касательной, то является единичным вектором касательной в точке М.

Отсюда находим:

где 

                           

Задача №4

Движение точки в метрах и секундах выражается уравнениями:

Найти уравнение траектории, величину и направление скорости.

Решение. Уравнение траектории прямая По формулам (73) найдем проекции скорости на координатные оси:

Величина скбрости найдется по формуле (74):

Направление же скорости определяется косинусами углов, которые составляет вектор скорости с координатными осями:

откуда

Задача №5

Движение снаряда в метрах и секундах выражается уравнениями:

Требуется найти: уравнение траектории; высоту и дальность полета; скорости в наивысшей точке и в момент, когда снаряд пересечет ось Ох (рис. 144).

Рис. 144.

Решение. Траекторией снаряда является равнобочная парабола:

Дальность полета снаряда определится, если принять в уравнении траектории   откуда и ; ясно, что  

Для нахождения высоты полета снаряда следует в уравнении траектории принять: тогда получим:

Найдем теперь проекции скорости снаряда на координатные оси:

В наивысшей точке вектор скорости горизонтален, а потому:

Для определения скорости снаряда в момент, когда он пересекает ось Ох, вычислим время полета снаряда, взяв хотя бы первое из уравнений движения и приняв

откуда находим:

Направление скорости определится косинусами углов:

откуда 

Задача №6

Определить траекторию точки, если проекции ее скорости на координатные оси в сантиметрах и секундах выражаются уравнениями:  в момент ордината точки равнялась 2 см, а абсцисса — нулю.

Решение. Найдем сначала уравнения движения точки, для чего проинтегрируем заданные уравнения проекций скорости:

Постоянные интегрирования и найдутся из начальных условий; при и ; далее, при и

Подставляя вместо и их значения, найдем:  и

Исключая из полученных уравнений движения время t, найдем, что траекторией точки является окружность с центром С(0; 4).

Задача №7

Даны графики скоростей двух точек, движущихся по одной прямой от одного начального положения (рис. 145). По истечении какого времени точки встретятся?

Решение. Вообще графиком скорости называется кривая зависимости скорости от времени:

Между пройденным расстоянием и величиной скорости точки имеется зависимость (75), из которой найдем элементарное перемещение точки

Рис. 145.

Расстояние же s, пройденное точкой между моментами и , найдется как сумма ее элементарных перемещений и выразится определенным интегралом:

 Отсюда заключаем, что путь, пройденный точкой за время численно равен площади, заключенной между осью Ох, ординатами и кривой

В нашей задаче точки встретятся, когда расстояния, пройденные ими от начала движения, будут одинаковы, а для этого необходимо, чтобы соответствующие площади треугольников, взятых с графиков скоростей, были равны. Обозначая неизвестное время встречи точек через t, скорость первой точки в момент встречи через  , а скорость второй — через  , имеем:

так как:

окончательно получим

Ускорение точки

Остановимся на некоторых вопросах геометрии. Пусть имеется некоторая неплоская кривая (рис. 146). Возьмем на ней две весьма близко расположенные точки и проведем в них касательные к кривой. Обозначим единичные векторы касательных через, а дугу — через . Проведем через касательную Т плоскость, параллельную , для чего достаточно перенести , в точку М и тогда плоскость Н, проходящая через  , будет искомой. При приближении точки  к точке М плоскость Н приближается к некоторому предельному положению, которое называется соприкасающейся плоскостью в точке М. В случае плоской кривой сама кривая расположена в соприкасающейся плоскости. Плоскость, проведенная в точке М перпендикулярно к касательной Т, называется нормальной плоскостью. Все прямые, проходящие через точку М и лежащие в нормальной плоскости, называются нормалями, а линия пересечения плоскостей нормальной и соприкасающейся называется главной нормалью и обозначается буквой N.

Для окружности направление главной нормали совпадает с направлением ее радиуса. Прямая, перпендикулярная к касательной Т и к главной нормали N, называется бинормалью и обозначается буквой В. Таким образом, три взаимно-перпендикулярных направления N, В и Т могут быть приняты за координатные оси, скрепленные с некоторой точкой М, выбранной на кривой (рис. 147).

Рис. 146                                                                       Рис. 147

Такие оси, перемещающиеся вместе с движущейся точкой М, называются естественными осями. Эти оси являются ребрами естественного триэдра, или естественного трехгранника, образованного тремя плоскостями, проходящими через каждые две естественные оси. На рисунке 147 соприкасающаяся плоскость проходит через оси Т и N, нормальная — через N и В и третья плоскость триэдра проходит через В и Т.

Единичные векторы естественных осей обозначены через , и .

Угол между касательными (рис. 146) называется углом смежности, а отношение называется средней кривизной кривой. Кривизной кривой К в данной точке называется предел отношения  при , т. е.:

Величина , обратная кривизне, называется радиусом кривизны и равна:

Если от точки М (рис. 146) в сторону вогнутости кривой отложить в соприкасающейся плоскости отрезок, равный , то конец его С определит центр кривизны кривой в данной ее точке.

Для прямой , поэтому ее кривизна , а радиус кривизны равен бесконечности:

Для окружности:

На этом мы заканчиваем изучение вопросов геометрии и рассмотрим далее изменение вектора скорости движущейся точки. Пусть в моменты движущаяся точка будет находиться в положениях и будет иметь соответствующие скорости (рис. 148,а). Если векторы всех скоростей перенести в общее произвольное начало О (рис. 148,0), то геометрическим местом концов векторов всех скоростей, перенесенных в точку О, будет кривая, которая называется годографом скоростей.

Рис. 148.                                                         Рис. 149.

Вообще говоря, с течением времени скорость будет изменяться и по величине и по направлению. Взяв изменение скорости за какой-либо промежуток времени , назовем средним ускорением отношение  (рис. 149). На рисунке 149 изменение скорости представлено для наглядности в виде двух компонентов из которых первый характеризует изменение скорости только но направлению, а второй — только по величине. Предел же этого отношения при   называется истинным ускорением в данной точке траектории. Обозначив вектор ускорения точки через , получим:

на основании равенства (72). Следовательно, вектор ускорения равен первой векторной производной вектора скорости по времени или второй векторной производной радиуса вектора по времени. Подставляя в последнее равенство вместо вектора его значение  , определяемое равенством (75а), имеем:

Ha основании равенства (22) находим:

но так как согласно формулам (75), (77) и (78)

то окончательно имеем:

Таким образом, полное ускорение точки состоит из двух компонентов и , из которых первый называется касательным или тангенциальным ускорением, направлен по касательной к траектории и характеризует изменение скорости вдоль ее направления, второй же называется нормальным ускорением, направлен по главной нормали к центру кривизны и характеризует изменение скорости перпендикулярно к ее направлению.

Обозначая соответственно касательное ускорение через , а нормальное — через , имеем (рис. 150):

 

Рис. 150.

Модули касательного и нормального ускорений можно рассматривать так же, как проекции полного ускорения на касательную и главную нормаль; проекция же полного ускорения на бинормаль равна нулю, так как полное ускорение расположено в соприкасающейся плоскости. Итак, имеем:

При вектор имеет направление , при  — направление, противоположное .

Если точка движется прямолинейно, то , так как , а если при этом и равномерно, то и , так как

Движение точки с постоянным касательным ускорением называется равнопеременным. Рассмотрим равнопеременное и прямолинейное движение точки. В этом случае  , а потому Интегрируя полученное выражение два раза, имеем:

откуда  и, следовательно,

Далее:

при  , а поэтому:

Уравнения (82) и (83) называются уравнениями равнопеременного движения. Здесь — начальное расстояние, a — начальная скорость. Если , то движение называется равноускоренным, если — равнозамедленным.

Уравнения (82) и (83) применимы также и для случая криволинейного движения точки, положив

Посмотрим теперь, как находится ускорение точки в том случае, когда движение ее задано по второму способу, т. е. по уравнениям (67). Так как ускорение точки  а по уравнению (72)  то, следовательно,

Выражая вектор через компоненты, имеем:

с другой стороны, обозначив проекции ускорения на координатные оси через  , имеем:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах, получим:

 

Следовательно, проекция ускорения на неподвижную ось равна второй производной от соответствующей координаты по времени. Модуль ускорения будет: 

Направление же вектора ускорения к координатным осям определится через косинусы углов.

Задача №8

Найти нормальное и касательное ускорения точки, движение которой в метрах и секундах выражается уравнениями:

Решение. Найдем сначала по формулам (73) и (84) проекции скорости и ускорения на координатные оси:

Далее находим, что и

С другой стороны, по формуле (80): ; но так как по равенству (81): , то 

Нормальное ускорение можно было бы найти иначе. Исключая из уравнения движения время t, найдем, что уравнение траектории — окружность радиус которой  По формуле (81):

• Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №9

Движение точки выражается в метрах и секундах уравнениями:

Найти скорость точки, ускорение, траекторию и радиус кривизны в наивысшей точке.

Указание: в наивысшей точке параболы (рис. 144) вектор скорости, направленный по касательной, горизонтален, поэтому и Зная , по формуле (81) находим

Траектория точки — парабола радиус кривизны в наивысшей точке

Ответ:

Задача. Точка движется по некоторой кривой так, что в момент / = 4 сек, вектор ее полного ускорения составляет угол 30° с направлением нормали к траектории. Определить радиус кривизны
 

Задача №10

Движение автомобиля по дороге, имеющей форму двух четвертей окружности радиуса и прямой вставки между ними, выражается в метрах и секундах уравнением . Построить графики пути, скорости, касательного и нормального ускорений автомобиля, приняв за начало отсчета пройденных путей точку О (рис. 151, а).

Решение. По формулам (75) и (81) находим выражение скорости, касательного и нормального ускорений автомобиля:

Графики пути, скорости нормального и касательного ускорений легко строятся по точкам (рис. 151, б, в, г, д). Следует обратить внимание на то, что на прямолинейном участке пути , так как . Для того чтобы узнать граничные промежутки времени, когда , надо в заданное уравнение движения вместо подставить сначала длину первого закругления, равную 15,7 м, а затем длину первого закругления, сложенную с длиной прямой вставки, равную 25,7 м.

Рис. 151.

Отсюда получаем два граничных момента времени:  и , соответствующих равенству нулю нормального ускорения.

Задача №11

Для точки, движущейся по прямой, диаграмма расстояний представляет собой четверть эллипса (рис. 152). Выразить расстояние, скорость и ускорение движущейся точки, как функции времени. Построить диаграммы (графики) скоростей и ускорений.

Рис. 152.

Решение. Выразим сначала аналитически зависимости:  и

Зависимость между расстоянием s и временем t по заданному графику пути может быть выражена в форме уравнения эллипса (рис. 152):

откуда: 

При а при  т.е. составленное уравнение движения иточки удовлетворяет заданному графику пути.

Выразим теперь , как функцию времени. По формуле (75) находим:

При  а при 

Величина ускорения найдется по первой из формул (81):

При  а при

На рисунке 152 изображены графики: скорости и ускорения

Последние два графика можно построить по точкам, зная и , как функции времени, или же получить графически, путем графического дифференцирования графика пути Следует отметить, что графиком ускорений вообще называется кривая:

Задача №12

Найти величину и направление ускорения и радиус кривизны траектории точки М колеса радиуса R = 1 м, катящегося без скольжения по горизонтальной оси Ох (рис. 153). Известно, что скорость центра колеса

Рис. 153.

Решение. Если в начальный момент точка М колеса находилась в начале координат О, то в момент координаты этой точки определятся:

Так как дуга AM равна отрезку ОА, то  и, следовательно:

Поэтому уравнения движения точки М будут:

Проекции ускорения точки М на координатные оси найдутся по формулам:

Величина полного ускорения точки М равна:

Направление вектора полного ускорения определяется по направляющим косинусам:

Из последних равенств следует, что вектор ускорения направлен по МС к центру катящегося колеса.

Скорость точки М найдется на основании равенств:

Касательное и нормальное, ускорения точки М соответственно определятся:

Радиус кривизны траектории точки М найдется из выражения для нормального ускорения:

Так как , то и, следовательно, длина хорды: 

поэтому

Перейдем теперь к изучению движения точки по окружности. Пусть точка движется по окружности радиуса а (рис. 154) и занимает в начальный момент положение Определим начальное положение точки постоянным углом который составляет радиус с осью Ох. По прошествии времени точка перейдет в положение М и радиус а, определяющий положение точки, будет составлять с осью Ох уже иной угол, равный Из рассмотрения треугольника ОМВ составляем уравнения движения точки М:

Рис.154. 

Ясно, что угол — переменный и является функцией времени , т. е.

Согласно равенствам (73) найдем проекции скорости точки М на координатные оси:

Величина , характеризующая быстроту изменения угла , называется угловой скоростью. Обозначая угловую скорость буквой можем написать:    

тогда

Модуль линейной скорости точки определится по формуле (74):

Но, так как

то

т. е. линейная скорость точки, движущейся по окружности, равна произведению угловой скорости на радиус.

Величины нормального и касательного ускорений точки, движущейся по окружности, найдутся по формулам (81):

‘

Величина  характеризующая быстроту изменения угловой скорости называется угловым ускорением.

Обозначим угловое ускорение буквой и принимая во внимание равенство (87), получим:

Если , то , и точка согласно равенству (89) движется равномерно по окружности. Пользуясь равенством. (90), получим:

Полное ускорение точки (рис. 155):

Если то имеет то же направление, что и если то имеет направление, противоположное Из рисунка 155 видно, что угол, который образует вектор полного ускорения точки с радиусом ОМ, или, что то же, с нормальным ускорением  составляет:

или

Обычно угловая скорость измеряется в но на практике часто угловую скорость измеряют в в этом случае угловую скорость обозначают буквой

Рис. 155.

Найдем зависимость между угловой скоростью и числом оборотов в минуту  

Пусть радиус ОМ (рис. 155) вместе с точкой М совершит в минуту оборотов. За один оборот радиус повернется на угол  радиан, а за оборотов — на угол радиан в минуту; в секунду же он повернется на:

Таким образом:    

где выражено в об/мин, а в 1/сек.

Задача №13

Кривошипно-шатунный механизм состоит из кривошипа , шатуна и ползуна В, могущего перемещаться по неподвижной прямой ОВ (рис. 156).

Рис. 156.

Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью . Требуется:

1)    найти закон движения ползуна В, величину его скорости и ускорения в момент t.

2)    на ординатах , соответствующих крайним и среднему положениям ползуна В, построить графики скоростей и ускорений. 

Решение. Примем за начало отсчета расстояний ползуна В точку О и обозначим отрезок ОВ  через х. Из чертежа видно:

где — угол поворота кривошипа ОА изменяется пропорционально времени, так как по условию вращение кривошипа равномерное.

Зависимость между углами выразим из по теореме синусов:

откуда

Далее:

Раскладывая полученное выражение по формуле бинома Ньютона, найдем:

Ограничившись первыми двумя членами разложения, получим приближенное уравнение движения ползуна:

при

при

что соответствует чертежу.

Выражения скорости и ускорения ползуна найдутся путем дифференцирования по времени t его уравнения движения:

Графики скорости и ускорения ползуна можно построить по точкам, давая углу ;

при  

       

при 

         

при

         

        

Рис. 157.

Отсюда видно, что в крайних положениях ползуна скорость его равна нулю, а ускорения не равны нулю, но при этом получаются неравными между собой.

Графики  и построены на чертеже.

Рассмотрим, наконец, гармоническое колебательное движение точки. Пусть по окружности радиуса а равномерно движется точка М с угловой скоростью (рис. 157).

При этом закон движения проекции равномерно движущейся точки на одну из координатных осей, например ось Ох, выразится уравнением:

где   так как точка М движется равномерно.

Прямолинейное движение точки, совершающееся по закону синуса или косинуса, называется гармоническим колебательным движением.

В уравнении (95) гармонического колебательного движения величина а наибольшего удаления точки  от точки О (центра колебаний) называется амплитудой колебания,угол  — фазой колебания, а угол , определяющий начальное положение точки, — начальной фазой колебания.

При из уравнения (95) находим:

Но это выражение (рис. 157) дает закон движения другой проекции точки М, а именно проекции ее на ось . Таким образом, если точка М равномерно движется по окружности, то обе проекции ее на координатные оси совершают гармоническое колебательное движение, причем, как видно из чертежа:

т. е. движение точки по оси Оу — тоже гармоническое с начальной фазой .

Промежуток времени Т, в течение которого вспомогательная точка М опишет полную окружность, а ее проекция или совершит одно полное колебание (пройдет путь, равный четырем амплитудам, или двум размахам), называется периодом колебания и по определению найдется: , откуда: 

Величина , определяющая число колебаний в секунду, называется частотой колебаний. Но этим термином часто называют величину (угловая или циклическая частота); в дальнейшем мы будем величину называть также циклической частотой колебаний. Из уравнения (96) находим:

Если точка совершает в минуту колебаний, то период колебаний:

а поэтому частота:

Отсюда число колебаний в минуту, выраженное через циклическую частоту колебаний, будет:

Задача №14

Движения трех точек в сантиметрах и секундах выражаются соответственно уравнениями:

и

Построить графики расстояний этих точек.

Рис. 158.

Решение. Каждая из трех точек совершает гармоническое колебательное движение. Для построения графиков расстояний проводам вспомогательную окружность радиуса а см, равного амплитуде колебания, и наносим на окружности последовательно ряд положений I, II, III и т. д. вспомогательной точки М, например через каждые секунд, или, что то же, — через угол  (рис. 158).

Выбираем, далее, на продолжении горизонтального диаметра произвольную точку , откладываем от нее в произвольном масштабе равные промежутки времени секунд каждый, проводим через точки деления вертикальные прямые и нумеруем их цифрами I, II, III и т. д., соответствующими положениям вспомогательной точки М. Проводам затем через точки I, II, III и т. д. окружности горизонтальные прямые до пересечения с вертикальными прямыми соответственной нумерации и, соединяя точки пересечения непрерывными кривыми, получим графики расстояний точек b, с и d. Как видно из чертежа, формы графиков расстояний трех точек одинаковы, только положение их различно; это объясняется тем, что колеблющиеся точки имеют различные начальные фазы  , вследствие чего происходит сдвиг фаз. Так, кривая d сдвинута вперед относительно кривой b на 180°, а кривая с —.на 45°.    ‘

Задача №15

Выразить через переменное расстояние х ускорение точки представляющей проекцию точки А конца стержня  на горизонтальную прямую (рис. 159). Стержень ОА вращается в плоскости чертежа с постоянной угловой скоростью

Рис. 159.

Решение. Из имеем: Скорость и ускорение точки найдутся но уравнениям:

т. е. точка , совершающая гармоническое колебание, обладает ускорением, пропорциональным отклонению точки от центра колебаний и направленным к этому центру.

Всё о кинематике

Кинематика — наука о движении геометрических тел. В ней рассматривается само движение без изучения причин, вызывающих это движение. Впервые термин «кинематика» ввел А.Ампер (1775-1836), взяв за основу греческое слово означающее движение.

Простейшим объектом в кинематике является точка. В кинематике точки рассматриваются следующие функции времени t: радиус-вектор скорость и ускорение

Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения. Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела угловой скорости и углового ускорения. Последние две величины векторные, но для вращательного движения их направление всегда постоянно — по оси вращения. Поэтому в решении часто используются скалярные величины имеющие смысл проекций этих векторов на ось вращения Точкой будем обозначать производную по времени.

В плоском движении тела каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой фиксированной плоскости. Само тело вовсе не обязательно должно быть плоским. Говорить о скорости тела или его ускорении в общем случае не имеет смысла: тело состоит из множества точек, каждая из которых может иметь свою скорость и ускорение. Исключение составляет поступательное движение тела, при котором равны скорости и ускорения всех точек. Кроме того, в некоторых задачах иногда говорят, например, о скорости катящегося цилиндра или о скорости автомобиля, подразумевая при этом скорость точек центральной оси цилиндра или скорость кузова автомобиля. принимая его за точку.

Угловая скорость и ускорение для плоского движения — векторные величины, но их направления всегда перпендикулярны плоскости движения. Введем декартову систему координат, в которой плоскость ху совпадает с плоскостью движения. Тогда угловая скорость и ускорение направлены вдоль оси В решении задач удобно использовать скалярные величины — проекции этих векторов на ось

Скорость точки А тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либо точки В того же тела, принимаемой за полюс (рис. 81):

Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоское движение, формулу (1) применяют последовательно для всех точек, переходя от одной точки, принимаемой за полюс, к другой.

Схему вычислений в этом случае удобно записывать в виде структурных формул (графов [15])

где над стрелкой указан номер тела или наименование стержня, которому принадлежат точки, а снизу — угол между осью х и вектором В проекциях на оси х, у граф (2) дает уравнения

где — проекция угловой скорости тела 1 на ось z, перпендикулярную плоскости движения . Если вращение происходит против часовой стрелки, то а если — по часовой стрелке, то 

Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой

Правило «трех С» для запоминания формулы (3): в первом уравнении (проекции на ось х) «икС», «минуС», «синуС».

Изучаем тему: кинематика точки

При изучении темы КИНЕМАТИКА ТОЧКИ вы познакомитесь с простейшими понятиями кинематики. Этот раздел теоретической механики наиболее близко примыкает к математике. Умение дифференцировать и понимать смысл найденных производных — необходимые условия для освоения этой темы.

Проверить и «оживить» решение задачи можно с помощью программы, написанной для математической системы Maple V.

Движение точки в плоскости

Постановка задачи. Точка движется по закону

Для заданного момента времени найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории.

План решения:

1. Определяем траекторию движения точки, исключая t из закона движения (1).

2. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

3. Модуль скорости вычисляем по формуле

4.Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения

5. Определяем модуль ускорения

6. Вычисляем тангенциальное (касательное) ускорение. Дифференцируя скорость как сложную функцию времени,

7.Вычисляем нормальное ускорение

8. Нормальное ускорение зависит от скорости точки и радиуса кривизны траектории:

Отсюда находим радиус кривизны

Задача №16

Точка движется по закону

Для момента времени найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории. Координаты х, у даны в см, время — вс.

Решение

1. Определяем траекторию движения точки, исключая t из закона движения (3). Параметрическим представлением траектории является сам закон движения (3). Координатную форму .уравнения движения точки получаем, исключая из закона движения (3) время:

Для того, чтобы окончательно получить ответ на вопрос о траектории, необходимо еще выделить область определения функции (4). Не все точки кривой, определяемой этой функцией, являются точками траектории. При имеем

Эту же формулу можно вывести иначе, исходя из того, что величина равна проекции ускорения на касательную к траектории:

6.1.Движение точки в плоскости 

т.о. траекторией является правая ветвь параболы (4) (рис. 82). График строим по точкам (отмечены звездочками), через равные промежутки времени 0.1 с.

2. Дифференцируя (3) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

При имеем следующие численные значения компонентов скорости:

3. Модуль скорости вычисляем по формуле

Вектор скорости строим на рисунке в масштабе по известным компонентам Если в вычислениях нет ошибок, то вектор скорости будет направлен по касательной к траектории (рис. 82).

4. Дифференцируя (6), находим компоненты вектора ускорения:

При

5. Определяем модуль ускорения

Вектор ускорения строим на чертеже в масштабе ускорений (не обязательно совпадающем с масштабом скоростей). Вектор ускорения направлен внутрь вогнутости кривой.

6.Вычисляем тангенциальное ускорение  :

Наличие тангенциального ускорения точки видно уже из рис. 82. Расстояние между первыми двумя точками меньше, чем между двумя последними, хотя интервал времени одинаков. Характеристикой такого изменения является величина

7. Вычисляем нормальное ускорение:

8. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Центр кривизны траектории лежит на нормали к кривой на расстоянии R = 5.208 см внутри вогнутости кривой. Окружность радиусом R с центром в этой точке максимально близко совпадет с кривой в малой окрестности от нее.

6.2. Путь, пройденный точкой

Постановка задачи. Точка движется по закону

Определить длину пути, пройденного точкой за время 

 План решения

1. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси

2. Считая, что время отсчитывается от нуля, находим длину пути :

Задача №17

Точка движется по закону

где Определить длину пути, пройденного точкой за время

Решение

1. Дифференцируя (2) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

2. Считая, что время отсчитывается от нуля, находим длину пути:

Подставляя числовые значения получаем

Движение точки в пространстве

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Точка движется по закону

Определить скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории в заданный момент времени.

План решения

1. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х,у и z:

Гл.6.Кинематика  точки

2. Вычисляем модуль скорости

3.Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения:

4. Определяем модуль ускорения

5. Вычисляем модуль тангенциального ускорения:

6. Вычисляем нормальное ускорение

7.Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Задача №18

Точка движется по закону

где с найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны ее траектории.

Решение

1. Дифференцируя (3) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у и z:

2.Вычисляем модуль скорости

3.Дифференцируя (4), находим компоненты вектора ускорения:

4. Определяем модуль ускорения:

5. Вычисляем модуль тангенциального ускорения:

6.3.Движение точки в пространстве

6. Вычисляем нормальное ускорение:

7. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Радиус кривизны в данной задаче не зависит от времени. Кривая представляет собой винтовую линию постоянной кривизны. Получаем значения искомых величин при

Ответы занесем в таблицу (скорости — в см/с, ускорения — в радиус кривизны — в см):

Естественный способ задания движения точки

Постановка задачи. Точка движется по плоской кривой

с постоянной скоростью Определить ускорение точки, радиус кривизны траектории и косинус угла наклона касательной к траектории с осью ох, при заданном значении х.

План решения:

1. Находим зависимость между компонентами скорости. Дифференцируя (1) по t, используя правило дифференцирования сложной функции получаем

6.4.Естественный способ задания движения точки

где штрихом обозначена производная по координате, а точкой, как всегда, — по времени,

2.  Дополняя (2) уравнением получаем систему уравнений, из которой находим компоненты скорости

3. Находим косинус угла наклона касательной к траектории с осью ox:

4. Находим зависимость между компонентами ускорения. Дифференцируя (2) по t, получаем

где

5. Так как по условию то тангенциальное ускорение равно нулю. Отсюда получаем уравнение

которое совместно с (3) дает систему для определения проекций ускорения. Решаем систему и находим

6. Вычисляем модуль ускорения

7. Согласно п.5, тангенциальное ускорение равно нулю и нормаль-нос ускорение совпадает с полным: Так как находим отсюда радиус кривизны траектории:

Задача №19

Точка движется по плоской кривой

с постоянной скоростью Определить ускорение точки, радиус кривизны траектории и косинус угла касательной к траектории с осью ох при х= 1м.

Решение

1. Находим зависимость между компонентами скорости. Дифференцируем (4) по t. Используя правило дифференцирования сложной функции,получаем

где

При x = 1 имеем и 

2. Дополняя (5) уравнением получаем систему уравнений, из которой находим компоненты скорости

3. Находим косинус угла касательной к траектории с осью ох:

4.Находим зависимость между компонентами ускорения. Дифференцируя (5) по t, получаем

где

При х = 1 м вычисляем С учетом ранее найденной величины х =3.002, получаем

5. Из условия следует, что

Решая это уравнение совместно с (6), находим проекции вектора ускорения:

6. Вычисляем модуль ускорения:

7. Находим радиус кривизны траектории:

Ответы заносим в таблицу:

Замечание. В механике гибких стержней и сопротивлении материалов для нахождения радиуса кривизны кривой, заданной в форме у = у(х), существует формула

Решенная задача представляет собой кинематический вывод этой формулы. Проверку решения можно выполнить, подставив в (7) найденные значения

Как и следовало ожидать, радиус кривизны траектории R от скорости движения точки не зависит, как не зависит, например, форма рельсового пути от скорости движения трамвая (если, конечно, не учитывать деформации).

Движение точки в полярных координатах

Постановка задачи. Задан закон движения точки в полярных координатах:

Найти скорость и ускорение точки в полярных, декартовых и естественных координатах в заданный момент времени.

План решения:

1. Вычисляем полярные координаты точки в заданный момент времени:

2. Дифференцируя (1) по времени t, находим производные полярного радиуса р и полярного угла:

3. Вычисляем компоненты скорости в полярных координатах:

6.5. Движение точки в полярных координатах

4.Находим модуль скорости

5.Декартовы х, у и полярные координаты связаны соотношениями

Дифференцируя (3), вычисляем компоненты скорости точки в декартовых координатах:

6. Делаем проверку, вычисляя модуль скорости по декартовым компонентам:

7. Дифференцируя (2), находим вторые производные полярного радиуса р и полярного угла:

8.Вычисляем компоненты ускорения точки в полярных координатах:

9. Модуль ускорения вычисляем по формуле

10. Вычисляем компоненты ускорения точки в декартовых координатах, дважды дифференцируя (3):

11. Делаем проверку, вычисляя модуль ускорения по декартовым компонентам:

12. Находим модуль тангенциального ускорения,:

и проверяем его по формуле

13. Вычисляем нормальное ускорение

Задача №20

Задан закон движения точки в полярных координатах:

Найти скорость и ускорение точки в полярных, декартовых и естественных координатах при t = 1 с. Радиус дан в метрах.

Решение

1.Вычисляем полярные координаты точки в заданный момент времени

2. Дифференцируя (4) по времени it, находим производные полярного радиуса р и полярного угла:

При t = 1 имеем

3. Вычисляем компоненты скорости в полярных координатах:

4.Вычисляем модуль скорости:

5.Вычисляем компоненты скорости в декартовых координатах:

6. Делаем проверку, вычисляя модуль скорости по декартовым компонентам:

7. Дифференцируя (5), находим вторые производные полярного радиуса р и полярного угла:

При t = 1 получаем

8. Вычисляем компоненты ускорения в полярных координатах:

9. Определяем модуль ускорения:
*) Аргументы тригонометрических функций измеряются в радианах.

10. Находим компоненты ускорения в декартовых координатах:

11. Делаем проверку, вычисляя модуль ускорения по декартовым компонентам:

12. Находим модуль касательного ускорения,

и проверяем его по формуле

13. Вычисляем нормальное ускорение

Ответы заносим в таблицу (скорости — в м/с, ускорения — в

Была ли эта статья полезной?

Содержание:

1. Плоское движение тела
2. Определение скоростей точек тела
3. Уравнения плоского движения
4. Скорости точек фигуры. Мгновенный центр скоростей
5. Определение положения мгновенного центра скоростей
6. Порядок решения задач на тему: Определение скоростей точек тела
7. Примеры решения задач на тему: Определение скоростей точек тела
8. Решение задачи графоаналитическим способом
9. Решение задачи с помощью мгновенного центра скоростей
10. Определение ускорений точек тела
11. Ускорения точек плоской фигуры
12. Порядок решения задач на тему: Определение ускорений точек тела
13. Примеры решения задач на тему: Определение ускорений точек тела
14. План скоростей
15. Порядок решения задач на тему: План скоростей
16. Примеры решения задач на тему: План скоростей
17. План ускорений
18. Примеры решения задач на тему: План ускорений

Плоское движение тела — это такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Плоское движение тела

Плоскопараллельное движение (плоское движение) — вид движения абсолютно твёрдого тела, при котором траектории всех точек тела располагаются в плоскостях, параллельных заданной плоскости. Примером плоскопараллельного движения по отношению к вертикальной плоскости, относительно которой тело движется в параллельном направлении, является качение колеса по горизонтальной дороге

Определение скоростей точек тела

Скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей, и это отношение определяет угловую скорость тела в данный момент времени: Частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, то точка касания Р имеет в данный момент времени скорость равную нулю, и, следовательно является мгновенным центром скоростей .

Уравнения плоского движения

Плоским называется такое движение тела, при котором траектории всех его точек лежат в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости.

При таком движении все точки твердого тела, лежащих на перпендикуляре к этой плоскости, имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения.

Плоское движение фигуры можно рассматривать как сложное (то есть, абсолютное) движение, которое включает поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой , что называется полюсом (переносное движение), и на вращательное движение фигуры вокруг этой точки (относительное движение).

На рис.4.1 с телом связана подвижная система координат . При движении тела начало координат и угол поворота  подвижной системы координат относительно неподвижной системы со временем меняются. Таким образом, чтобы однозначно задать положение тела при плоском движении нужно задать закон движения начала подвижной системы координат (полюса ) и угол поворота подвижной системы относительно неподвижной системы координат, то есть:

Уравнения (4.1) называются уравнениями плоского движения твердого тела.

При этом, поступательная часть плоского движения описывается двумя уравнениями:

а относительная вращательная вокруг полюса — третьим уравнением:

Координаты любой точки плоской фигуры  (рис.4.1), если за полюс выбрана точка и задан угол , определяются по уравнениям:

Скорости точек фигуры. Мгновенный центр скоростей

Поскольку плоское движение тела состоит из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг него, то скорость любой точки тела (рис.4.2) геометрически состоит из абсолютной скорости точки , которую принято за полюс, и относительной скорости в относительном вращательном движении точки вместе с телом вокруг полюса :

Вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса направлен перпендикулярно в сторону угловой скорости.

Модуль и направление абсолютной скорости находится построением соответствующего параллелограмма на векторах и (рис.4.2). Таков путь решения векторного уравнения, когда по записанному уравнению строят векторную фигуру, называется графоаналитическим.

Относительная скорость в относительном вращательном движении точки вместе с телом вокруг полюса по модулю равна:

где — угловая скорость вращения тела вокруг полюса.

Найти скорость любой точки тела можно также на основе теоремы, которая гласит:

Проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, что соединяет эти точки, равны между собой.

Согласно этой теореме (рис.4.3) :

или

Если известна скорость точки тела, то:

При плоском движении тела в каждый момент времени существует точка тела, скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей и, как правило, обозначается буквой .

Если мгновенный центр скоростей известен, то легко можно найти мгновенное распределение скоростей всех точек тела (рис.4.4).

Выберем за полюс поступательного движения мгновенный центр скоростей . Тогда для точек  и  тела можно записать векторные уравнения (4.3):

где  — вектор абсолютной скорости полюса ;

 — вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса , направлен перпендикулярно ;

 — вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса , направлен перпендикулярно .

Поскольку скорость выбранного полюса равна нулю , то:

По модулю скорости вращения точек  и  вокруг полюса равны:

Разделив на получим:

Таким образом, мгновенное распределение скоростей точек тела при его плоском движении, такое же, какое было бы при его вращательном движении вокруг мгновенного центра скоростей.

Определение положения мгновенного центра скоростей

Существует несколько способов нахождения положения мгновенного центра скоростей.

Случай 1. Известна скорость одной точки тела и угловая скорость его вращения (рис.4.5).

Мгновенный центр скоростей лежит на перпендикуляре к скорости точки , на расстоянии:

Для нахождения направления перпендикуляра надо повернуть вектор относительно точки на угол в сторону угловой скорости.

Случай 2. Известны направления скоростей и двух точек  и  тела (рис.4.6).

Мгновенный центр скоростей должен лежать как на перпендикуляре к вектору , так и на перпендикуляре к вектору , то есть мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения этих перпендикуляров.

Случай 3. Скорости двух точек  и  тела параллельны между собой, а перпендикуляры к ним не совпадают (рис.4.7).

Говорят, что в этом случае мгновенный центр скоростей лежит на бесконечности. Угловая скорость вращения равна нулю, а скорости всех точек тела геометрически равны, то есть в данный момент времени тело выполняет поступательное движение.

Случай 4. Скорости двух точек  и  параллельны, направлены в одну сторону и не равны по модулю. Кроме того, и перпендикулярны отрезку (рис.4.8).

Мгновенный центр скоростей находится на продолжении отрезка той точки, скорость которой меньше. Расстояние от точки к мгновенному центру скоростей можно найти из пропорции (4.6):

Решив это уравнение относительно , получим:

Таким образом, для определения положения мгновенного центра скоростей надо знать не только направления скоростей, но и их величину.

Случай 5. Скорости двух точек  и  тела параллельны друг другу, перпендикулярны отрезку , но направлены в разные стороны (рис.4.9).

Мгновенный центр скоростей лежит на отрезке и делит его на части пропорциональные скоростям. Поскольку , то по формуле (4.6) можно записать:

Решив уравнение относительно , получим:

Таким образом, для нахождения положения мгновенного центра скоростей надо знать величины и направления скоростей обеих точек.

Случай 6. Тело катится без проскальзывания по неподвижной поверхности (рис.4.10).

В этом случае мгновенный центр скоростей находится в точке прикосновения тела к поверхности. Действительно, если отсутствует скольжение тела относительно поверхности, то скорости точек прикосновения тела и поверхности должны быть одинаковыми. Но скорости точки , принадлежащей неподвижной поверхности, равна нулю.

Тогда и скорость точки , которой в данный момент времени движущееся тело прикасается к неподвижной поверхности, тоже равна нулю.

Порядок решения задач на тему: Определение скоростей точек тела

а) решение графоаналитическим методом:

• выбрать за полюс ту точку тела, скорость которой известна по величине и направлению или легко определяется из условий задачи;
• найти точку тела, направление скорости которой известно;
• пользуясь формулами плоского движения найти скорость этой точки;
• определить угловую скорость тела в данный момент времени;
• по известной угловой скорости и скорости полюса, пользуясь формулами плоского движения найти скорости других точек тела.

б) решение с помощью мгновенного центра скоростей:

• определить положение мгновенного центра скоростей одним из известных способов;
• определить значение мгновенного радиуса той точки тела, скорость которой известна, и найти угловую скорость тела;
• найти скорости других точек тела.

Примеры решения задач на тему: Определение скоростей точек тела

Задача №1

Стержень (рис.4.11) длиной выполняет плоское движение. Вектор скорости точки образует угол с осью стержня и в данный момент времени равен . Вектор скорости точки в этот же момент времени образует угол с осью стержня.

Определить величину скорости точки , положение мгновенного центра скоростей, угловую скорость стержня и скорость точки , которая лежит на середине стержня.

Решение задачи графоаналитическим способом

1. Выберем за полюс точку (рис.4.11), поскольку известны направление и величина скорости этой точки.

2. Используя формулу распределения скоростей при плоском движении, запишем векторное уравнение для определения скорости точки :

где  — скорость полюса точки ;

 — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса .

Данное векторное уравнение можно решить построением векторного треугольника скоростей (рис.4.12). Для этого из произвольной точки плоскости надо построить правую и левую часть векторного уравнения (1).

При построении правой части уравнения (1) из точки в произвольном масштабе отложим вектор скорости , который является известным и по величине и по направлению. К вектору надо добавить вектор относительной скорости , направление которого является известным, поскольку скорость точки у ее относительном вращательном движении вокруг полюса перпендикулярна радиусу вращения, в данном случае радиус вращения — отрезок . Величина вектора неизвестна и поэтому через точку проводится только его направление (прямая рис.4.12).

Теперь из точки построим левую часть уравнения (1). Направление скорости точки является известным (по условию задачи), но неизвестна ее величина, и потому, из точки проводим линию параллельную .

Точка пересечения прямых, параллельных и , и будет решением данного векторного уравнения.

В результате построения получили замкнутый треугольник скоростей, стороны которого в выбранном масштабе определяют искомую скорость точки и относительную скорость этой же точки при ее вращении вместе с телом вокруг полюса .

В этом треугольнике известны все углы и одна сторона . С треугольника находим:

3. Определим угловую скорость вращения стержня . Поскольку , то :

4. Найдем скорость точки , лежащей посередине отрезка . Для этого запишем формулу для скорости точки относительно того же самого полюса точки :

где  — скорость полюса точки ;

 — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса .

Скорость имеет то же направление, что и , а по модулю равна:

Отложив от точки (рис.4.12) вектор , равный половине вектора , получим точку . Вектор, проведенный из точки начала построения (точки ) в точку изображает скорость точки .

Поскольку стороны и треугольника равны между собой и угол между ними , то треугольник равносторонний. Таким образом:

Решение задачи с помощью мгновенного центра скоростей

1. Определим положение мгновенного центра скоростей. Для этого с точек  и  (рис.4.13) проведем перпендикуляры к скоростям и . Пересечение этих перпендикуляров (точка ) будет мгновенным центром скоростей.

2. Определим мгновенные радиусы. Поскольку треугольник прямоугольный, то:

3. Вычислим угловую скорость вращения фигуры вокруг мгновенного центра скоростей:

4. Найдем скорости точек  и :

где  — мгновенный радиус точки , поскольку треугольник равносторонний ( угол между ними ), то 

Если надо было бы определить только величину скорости , то можно было бы воспользоваться теоремой о равенстве проекций двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки:

Тогда:

Ответ: 

Задача №2

Колесо радиусом катится по горизонтальной поверхности. В момент рассматриваемого времени скорость центра и угловая скорость колеса (рис.4.14).

Определить: скорости точек ,  и , которые лежат на концах вертикального и горизонтального диаметров.

Решение.

1. В качестве полюса выберем точку , направление и величина скорости которой известны.

2.Используя формулу распределения скоростей точек тела при плоском движении определяем скорости других точек колеса.

Для точки колеса:

где  — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вокруг полюса .

По модулю  равна:

Скорость направлена перпендикулярно в сторону угловой скорости, то есть по направлению и будут совпадать.

Из точки (рис.4.14) строим уравнение (1): откладываем вектор , а с его конца по тому же направлению .

Тогда:

Векторное уравнение для определения скорости точки , будет иметь вид:

где  — скорость точки в ее вращательном движении вокруг полюса .

Эта скорость параллельна скорости , но будет направлена в противоположную сторону и по модулю равна:

Из точки (рис.4.14) строим векторное уравнение (2): откладываем вектор , а с его конца в противоположную сторону .

Поскольку векторы коллинеарны, то:

Таким образом, скорость точки равна и направлена в противоположную сторону от . Колесо катится со скольжением по поверхности.

Составляем векторное уравнение для определения скорости точки :

где  — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вокруг полюса .

По модулю  равна:

Скорость направлена перпендикулярно в сторону угловой скорости , то есть вертикально вниз.

Из точки  (рис.4.14) строим уравнение (3): откладываем вектор , а с его конца вектор вертикально вниз. Соединив точку с концом вектора получим вектор скорости точки .

Поскольку векторы и между собой перпендикулярны, то вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника:

Ответ: 

Задача №3

Колесо радиусом катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью центра колеса

Определить: скорости точек , ,  (рис.4.15).

Решение. Решим задачу с помощью мгновенного центра скоростей.

1. Определим положение мгновенного центра скоростей. Поскольку колесо катится по неподвижной поверхности, то мгновенный центр скоростей находится в точке прикосновения колеса к неподвижной поверхности.

2. Мгновенный радиус для точки равен . Тогда с формулы (4.4) получим угловую скорость колеса:

Направлена угловая скорость по ходу часовой стрелки.

3. Определим величину и направление скоростей точек , , .

Соединим точки , ,  с мгновенным центром скоростей . Векторы скоростей , и будут направлены перпендикулярно мгновенным радиусам и , соответственно.

По модулю скорости будут равны:

где

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 16.2; 16.4; 16.11; 16.12 [2]

Определение ускорений точек тела

Теорема: ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

Ускорения точек плоской фигуры

Формула распределения ускорений при плоском движении тела имеет вид:

где  — ускорение полюса, точки , в поступательном движении;

 — относительное ускорение точки в ее вращательном движении вместе с телом вокруг полюса ;

 — ускорение любой точки тела.

Графическое определение ускорения точки выполняется следующим образом (рис.4.16):

Вычисление величины ускорения точки с помощью рассматриваемого параллелограмма затрудняет расчеты, поскольку предварительно надо определить угол между векторами  и .

Учитывая, что представляет собой относительное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг полюса , то это ускорение можно разложить на относительную тангенциальную (касательную) и относительную нормальную (центростремительную) составляющие:

где

Вектор направлен перпендикулярно в сторону углового ускорения, а вектор всегда направлен от точки к выбранному полюсу (рис.4.17).

Тогда уравнение (4.10) примет вид:

Если точка , которая выбрана за полюс поступательного движения, движется не прямолинейно, то ее ускорение, в свою очередь, тоже можно разложить на тангенциальную и нормальную составляющие:

Порядок решения задач на тему: Определение ускорений точек тела

1. Выбрать точку, которая будет полюсом при записи уравнения плоского движения (как правило выбирают точку, ускорение которой известно).

2. Записать векторное уравнение распределения ускорений.

3. Спроектировать уравнение распределения ускорений на две взаимно перпендикулярные оси, одна из которых совпадает с нормальным ускорением, а вторая – с тангенциальным.

4. Определить мгновенное угловое ускорение плоской фигуры.

5. Найти искомые ускорения точек с помощью уравнения распределения ускорений.

Примеры решения задач на тему: Определение ускорений точек тела

Задача №1

Прямоугольная (рис.4.18, а) пластина движется в плоскости чертежа. Ускорение точки  в данный момент времени равно и образует с прямой угол .

Ускорение точки составляет и образует угол с прямой .

Определить мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение пластины, и ускорение точки , если

Решение.

1. Выберем за полюс точку , поскольку ее ускорение известно (задано в исходных данных).

2. Составим векторное уравнение для ускорения точки пластины:

где  — относительное нормальное ускорение точки в ее вращательном движении вместе с телом вокруг точки . Вектор этого ускорения направлен от точки к точке и по модулю равен: 

 — относительное тангенциальное (касательное) ускорение точки в ее вращении вместе с телом вокруг точки . Направлен вектор этого ускорения перпендикулярно  в сторону углового ускорения и по модулю равен .

Поскольку направление углового ускорения неизвестное, то направлением на рис. 4.18,а задаемся.

3. Спроектируем составленное уравнение (1) на оси и .

В проекции на ось получим:

В проекции на ось :

4. Из уравнения (2) получим величину нормального ускорения:

Найдем мгновенную угловую скорость фигуры:

5. Из уравнения (3) получим величину тангенциального ускорения:

Угловое ускорение фигуры:

Поскольку величина положительная, то направление тангенциального, а соответственно и углового ускорений выбрано верно.

6. Определим ускорение точки .

Для вычисления ускорения точки лучше за полюс выбрать точку , поскольку ускорение этой точки уже известно и задана сторона прямоугольника:

Направление векторов и показано на рис. 4.18,б.

Спроектируем записанное уравнение на оси и :

где

Полное ускорение точки :

Ответ:  

Задача №2

Равносторонний треугольник  движется в плоскости чертежа. Ускорение вершин  и   в данный момент времени равны и направлены вдоль сторон треугольника (рис.4.19).

Определить ускорение вершины .

Решение. Если известны ускорения двух точек плоской фигуры, например  и  , то задачу рекомендуется решать в следующей последовательности:

1. Рассматривая первую точку как полюс поступательного движения, записать векторное уравнение распределения ускорений при плоском движении для точки и спроектировать это уравнение на прямую , соединяющую обе точки.

2. Из уравнения проекций определить величину нормального ускорения и значение  угловой скорости фигуры .

3. Спроектировать векторное уравнение распределения ускорений при плоском движении на прямую, которая перпендикулярна , и определить из уравнения проекций величину тангенциального ускорения и значение углового ускорения фигуры .

4. Если нужно, то, используя формулу распределения ускорений при плоском движении, определить ускорение любой другой точки плоской фигуры.

Решим задачу, придерживаясь приведенной последовательности.

1. Выберем за полюс точку . Для точки треугольника можно записать:

где  — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки к точке ;

 — относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно , направлением задаемся (рис.4.19).

Спроектируем записанное равенство (1) на прямую :

2. Откуда: 

Поскольку  то:

3. Спроектируем векторное уравнение на прямую, которая перпендикулярна :

Откуда: 

Учитывая то, что , получим:

Поскольку величина тангенциального ускорения положительная, то его направление на рис. 4.19 выбрано верно. Отсюда следует, что угловое ускорение направлено против хода часовой стрелки.

4. Определим ускорение точки , приняв за полюс точку :

где  — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки к точке ;

 — относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно  в сторону углового ускорение фигуры .

Учитывая, что , определим модули относительного нормального и тангенциального ускорений:

От точки  (рис.4.20) отложим векторы ускорений, которые составляют правую часть уравнения (2).

Выберем систему координат , причем ось направим вдоль стороны треугольника.

Спроектируем равенство (2) на оси выбранной системы координат:

Подставляя числовые данные, получим:

Таким образом, ускорение вершины треугольника равно:

Поскольку проекция ускорения на ось равна нулю и величина проекции на ось положительная, то вектор ускорения точки будет направлен вдоль стороны треугольника от точки к точке .

Ответ:

Задача № 3

В шарнирном механизме (рис.4.21) в данный момент времени угловая скорость и угловое ускорение кривошипа равны Точка механизма движется по дуге окружности радиусом и в момент времени, что рассматривается, лежит на прямой .

Найти ускорение точки и мгновенное угловое ускорение шатуна , если  

Решение. Скорость точки кривошипа, который вращается вокруг точки равен:

Направлена скорость перпендикулярно в сторону угловой скорости (рис.4.21).

Точка  шатуна вращается вокруг центра и ее линейная скорость направлена перпендикулярно .

Поскольку скорости точек  и  шатуна параллельны, то мгновенный центр скоростей шатуна лежит в бесконечности и мгновенное движение шатуна является поступательным, то есть

Ускорение точки равно геометрической сумме нормального и тангенциального ускорений:

где 

Направления ускорений и показаны на рис.4.21.

Выберем точку за полюс для шатуна . Тогда для точки шатуна:

или

где  — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки к точке , 

 — относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно , направлением задаемся (рис.4.22), 

Свяжем с точкой прямоугольную систему координат (рис.4.22) и спроектируем уравнение (1), помня, что , на оси выбранной системы координат:

С другой стороны, при движении точки по дуге окружности радиуса , точка приобретет ускорения :

где  — нормальное ускорение точки в ее вращательном движении вокруг точки направлено к центру вращения;

 — тангенциальное ускорение точки в ее вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно , задаемся направлением (рис.4.22).

По величине нормальное и тангенциальное ускорения соответственно равны:

Спроектируем уравнение (4) на оси выбранной системы координат:

Подставим в (3) все рассчитанные величины:

Поскольку

то

Положительное значение величины указывает на то, что направление было выбрано верно.

Угловое ускорение тела равно:

Угловое ускорение направлено в сторону , то есть против хода часовой стрелки.

Для определения тангенциального ускорения в уравнение (2) подставим из (5):

Откуда

Поскольку величина отрицательная, то направление тангенциального ускорения выбрано не в ту сторону.

Полное ускорение точки :

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 18.12; 18.14; 18.22 [2].

План скоростей

План скоростей и план ускорений – физическое изображение векторных уравнений, связывающих скорости и ускорения точек механизма. Изображение механизма, выполненное с помощью условных обозначений (см. выше) называется структурной схемой механизма.

Определение скоростей различных точек движущейся плоской фигуры легко может быть выполнено графически с помощью построения плана скоростей.

План скоростей – это графическое изображение из единого центра (полюса) векторов абсолютных скоростей точек фигуры в фиксированный момент ее движения.

План скоростей может быть построен, если:

• известная скорость одной точки плоской фигуры и направление скорости другой точки;
• известная скорость одной точки плоской фигуры и мгновенная угловая скорость фигуры

Пусть известные скорости , , и , вершин прямоугольника (рис. 4.23, а). Для построения плана скоростей с произвольной точки  (рис.4.23,б), которая называется полюсом плана скоростей, отложим направленные отрезки и , которые в выбранном масштабе будут изображать скорости , , и . Полученные точки и , которые называются вершинами плана скоростей, соединим между собой прямыми линиями.

Установим свойства и правила построения плана скоростей.

По уравнению распределения скоростей при плоском движении фигуры, если за полюс принять точку , то для точки получим:

где  — вектор абсолютной скорости точки ;

 — вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг точки , направлена перпендикулярно и по модулю равна

С другой стороны для векторов треугольника плана скоростей (рис.4.23,б) можно записать:

Учитывая, что векторы и изображают в выбранном масштабе абсолютные скорости и и, сравнивая уравнения (4.14) и (4.15), можно сделать вывод, что отрезок изображает в масштабе скорость .

Таким образом, отрезок плана скоростей направлен перпендикулярно стороне фигуры и по модулю равен: 

где  — масштабный коэффициент, который принят при построении плана скоростей.

Аналогично:

Отсюда мгновенная скорость вращения плоской фигуры:

Вектор согласно уравнению (4.14) направлен на плане скоростей от точки к точке . Если этот вектор перенести в точку фигуры, то можно определить направление вращения точки вокруг точки вместе с фигурой (в данном случае, по ходу часовой стрелки). Направление же мгновенной угловой скорости плоской фигуры будет совпадать с направлением ее вращения.

Из рассматриваемого вытекает:

Порядок решения задач на тему: План скоростей

1. Изображают на чертеже в выбранном масштабе плоскую фигуру и вектор скорости той точки, скорость которой известна.

2. Определяют направление скорости второй точки плоской фигуры.

3. Записывают векторное уравнение распределения скоростей при плоском движении, принимая за полюс точку, скорость которой известна, а за искомую ту точку, направление скорости которой известно.

4. Решают записанное векторное уравнение графически путем построения в выбранном масштабе плана скоростей.

5. Определяют мгновенную угловую скорость вращения плоской фигуры.

6. Определяют скорость других точек плоской фигуры.

Примеры решения задач на тему: План скоростей

Задача №1

Найти угловую скорость шатуна 2 и скорость точки ползуна 3 кривошипно-шатунного механизма (рис. 4.24), если : 

Решение.

1. Согласно исходным данным в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.25, а).

2. Учитывая, что кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки с угловой скоростью определяем скорость точки кривошипа 1 и шатуна 2:

Направлена скорость перпендикулярно в сторону угловой скорости .

3. Следующей точкой шатуна, скорость которого можно определить, является точка , поскольку она, кроме шатуна, одновременно принадлежит и ползуну 3, что движется поступательно в горизонтальных направляющих. То есть направление этой скорости известно.

Для определения скорости точки запишем уравнение распределения скоростей при плоскопараллельном движении, принимая за полюс точку , скорость которой известна:

где — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 2 вокруг точки . Вектор направлен перпендикулярно ;

 — абсолютная скорость точки , которая движется прямолинейно вместе с ползуном 3 в горизонтальных направляющих.

4. Решим уравнение (1) графически (рис.4.25, б). Для этого с произвольной точки (полюса плана скоростей) отложим направленный отрезок , который в определенном масштабе будет изображать вектор скорости . Через точку  этого отрезка проведем линию перпендикулярно , вдоль которой от точки будет направлен вектор скорости , длина и направление которого неизвестны.

Вектор который будет на плане скоростей изображать абсолютную скорость точки , выходит из полюса параллельно к пересечению с линией в точке .

Определим направление отрезка , который на плане скоростей изображает относительную скорость . Поскольку, согласно уравнению (1), вектор надо прибавить к вектору , который на плане скоростей изображается вектором , то вектор будет направлен от точки к точке .

Полученный векторный треугольник представляет собой план скоростей для кривошипно-шатунного механизма в положении, что рассматривается. Стороны этого треугольника в определенном масштабе изображают: — абсолютную скорость точки ; — относительную скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном вокруг точки ; — абсолютную скорость точки .

Перенесем из плана скоростей в точку на рис.4.25, а найденные направления скоростей и .

Поскольку скорость на плане изображается вектором , а — вектором , то угол при вершине равен углу между этими двумя векторами скоростей. Если на рис.4.25, а перенести и в точку , то угол между ними будет составлять , то есть

Аналогично, равен углу между векторами и . Учитывая, что , с рис.4.25, а получим:

Таким образом, и угол при вершине тоже будет равняться , а треугольник будет равносторонним, то есть:

, или 

5. Определяем мгновенную угловую скорость шатуна 2. Поскольку , то:

где , исходя из того, что треугольник (рис.4.25,а) равнобедренный.

Направление угловой скорости определяется вектором . В данном случае направлена против хода часовой стрелки.

Ответ: 

Задача №2

Найти угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3 и абсолютные скорости точек и рычажного механизма (рис.4.26), если:   

Угловая скорость кривошипа 1 —  

Решение.

1. В соответствии с исходными данными в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.27, а).

2. Так как точка принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг шарнира с угловой скоростью , то:

Вектор скорости направлен перпендикулярно в сторону вращения кривошипа (рис.4.27, а).

2. Шатун 2 механизма движется плоскопараллельно. Скорость точки шатуна 2 равна скорости точки кривошипа 1. Второй точкой шатуна, направление скорости которой известно, есть точка . Точка , кроме шатуна, принадлежит и коромыслу 3, которое вращается вокруг центра . Таким образом, скорость точки направлена перпендикулярно радиусу вращения .

3. Для определения скорости точки запишем формулу распределение скоростей:

где  — абсолютная скорость точки , которая направлена перпендикулярно ;

 — абсолютная скорость точки ;

 — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 2 вокруг полюса . Направлен вектор перпендикулярно .

4. Решаем записанное уравнение графически. Для этого из произвольной точки (полюса плана скоростей) (рис.4.27,б) проводим вектор параллельно , который в определенном масштабе будет изображать скорость точки .

Через конец вектора проводим линию перпендикулярно , вдоль которой от точки будет направлен вектор относительной скорости . Длина и направление этого вектора неизвестны.

Скорость точки направлена перпендикулярно и, по правилу, должна проходить через полюс плана скоростей. Исходя из этого, через точку проводим линию перпендикулярную коромыслу 3 к пересечению в точке с линией .

Полученный на рис. 4.27, б векторный треугольник являет собой план скоростей механизма в данном положении. В этом треугольнике вектор изображает абсолютную скорость точки , вектор  направлен от полюса к точке — абсолютную скорость точки , а вектор направлен от точки к точке — относительную скорость , поскольку, согласно уравнению (2), эта скорость прибавляется к .

Перенесем направления скоростей и в точку на рис. 4.27, а.

Поскольку , а , то угол при вершине равен углу при вершине треугольника на схеме механизма (рис. 4.28), который образован путем продолжения кривошипа и коромысла к пересечению.

Таким образом

Угол при вершине будет равняться углу между продолжением прямой (рис.4.28) и прямой , поскольку сторона , а прямая . Учитывая, что , то:

Тогда угол при вершине :

Для определения сторон плана скоростей воспользуемся теоремой синусов:

Из уравнения (1) получим:

Таким образом:

5. Определим мгновенные угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3. Поскольку , то:

Направление угловой скорости определяется направлением относительной скорости . С рис.4.27,а видно, что угловая скорость будет направлена против хода часовой стрелки.

Угловая скорость коромысла 3 равна:

где

Направление  определяет скорость . Направлена угловая скорость коромысла 3 (рис.4.27,а) по ходу часовой стрелки.

6. Определить величины скоростей и можно непосредственно и путем измерения соответствующих отрезков на построенном плане скоростей.

Поскольку вектор на плане скоростей изображается отрезком , то масштабный коэффициент плана скоростей будет равен:

Скорости  на плане скоростей соответствует отрезок , а скорости – .

Тогда:

7. Для определения скорости точки воспользуемся теоремой подобия.

Поскольку фигура  на схеме механизма и фигура на плане скоростей должны быть подобными, то можно составить пропорцию:

В левой части пропорции (2) отношение отрезков на схеме механизма, а в правой — на плане скоростей.

Из уравнения (2) получим расстояние от точки к точке на плане скоростей:

Поскольку на схеме механизма отрезок перпендикулярен , то и на плане скоростей отрезок  надо провести перпендикулярно , причем в ту сторону, чтобы обход точек , и на плане скоростей должен был быть против хода часовой стрелки, как и для точек , и на схеме механизма.

Вектор скорости точки на плане скоростей в масштабе будет изображаться вектором , а величина скорости точки равна:

Ответ:    

Задача №3

В состав рычажного механизма (рис.4.29) входят два кривошипа 1 и 4, и два шатуна 2 и 3. Кривошип 1 вращается с угловой скоростью , а кривошип 4 с угловой скоростью .

Найти угловые скорости шатунов 2 и 3 и абсолютные скорости точек и , если: В данном положении механизма кривошип 1 расположен вертикально, а кривошип 2 – горизонтально.

Решение. Особенность этой задачи заключается в том, что определить сразу направление скорости точки невозможно. Но точка одновременно принадлежит к двум телам (шатуну и шатуну ), и для нее можно записать два векторных уравнения распределения скоростей при плоском движении (относительно точек и ), что позволяет решить задачу.

1. В соответствии с исходными данными в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.30, а).

2. Так как точка принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг шарнира с угловой скоростью , то:

Вектор скорости направлен перпендикулярно в сторону вращения кривошипа 1 (рис.4.30, а).

Шатун 2 механизма движется плоскопараллельно. Скорость точки шатуна 2 равна скорости точки кривошипа 1.

Для определения скорости точки шатуна 2 запишем формулу распределения скоростей при плоском движении:

где  — абсолютная скорость точки , величина и направление которой является неизвестным;

 — абсолютная скорость точки ;

 — относительная скорость точки при ее вращении вместе с шатуном 2 вокруг полюса . Направлен вектор перпендикулярно .

В уравнении (1) три неизвестных: величина и направление скорости точки ; величина скорости . Поскольку векторное уравнение

для плоскости позволяет определить только две неизвестных, то решить уравнение (1) невозможно.

3. Рассмотрим определение скорости точки шатуна 3 относительно точки .

Скорость точки  кривошипа 4 равна:

Вектор скорости направлен перпендикулярно в сторону вращения кривошипа 4 (рис.4.30, а).

Учитывая, что шатун 3 механизма движется плоскопараллельно, то для определения скорости точки шатуна 3 запишем формулу распределения скоростей при плоском движении:

где  — абсолютная скорость точки ;

 — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 3 вокруг полюса . Направлен вектор перпендикулярно .

В записанной системе векторных уравнений (1,2) четыре неизвестных: величина и направление скорости точки ; величина скорости ; величина скорости . Поскольку из каждого уравнения можно определить две неизвестных, то записанная система является определенной и ее можно решить.

4. Решаем записанную систему векторных уравнений (1) и (2) графически. Для этого из произвольной точки построим сначала уравнение (1), а затем (2) (рис.4.30, б).

Согласно уравнению (1) из произвольной точки проводим вектор параллельно , который будет изображать скорость точки . Длину отрезка выберем .

Тогда масштабный коэффициент плана скоростей будет равен:

Через конец вектора проводим линию перпендикулярно , вдоль которой от точки будет направлен вектор относительной скорости . Длина и направление этого вектора неизвестны.

Теперь построим из того же самого полюса уравнение (2). Сначала отложим вектор параллельно , который в масштабе будет изображать скорость точки . Длина этого вектора соответственно равна:

Через конец вектора проводим линию перпендикулярно , вдоль которой от точки будет направлен вектор относительной скорости .

Точка пересечения прямых и , которая одновременно удовлетворяет векторным уравнением (1) и (2), и будет решением системы, а вектор который на плане скоростей изображает будет направлен от полюса  к точке .

Полученный на рис. 4.30,б четырехугольник представляет собой план скоростей механизма в данном положении. В этом четырехугольнике: вектор определяет относительную скорость ; вектор — относительную скорость ; — абсолютную скорость точки .

Перенесем направления скоростей и на рис. 4.30,а и, померив длины соответствующих отрезков, определим величины этих скоростей:

5. Определим мгновенные угловые скорости шатунов.

Поскольку , то:

Направление угловой скорости определяется направлением относительной скорости . С рис.4.30, а видно, что будет направлена против хода часовой стрелки.

Аналогично, угловая скорость шатуна 3 равна:

Направление определяется относительной скоростью . Направлена угловая скорость шатуна 3 по ходу часовой стрелки.

Для определения скорости точки  воспользуемся теоремой подобия. Поскольку точка на схеме механизма лежит посередине шатуна , то и на плане скоростей она должна лежать посередине отрезка .

Вектор скорости точки на плане скоростей в масштабе будет изображаться вектором , а величина скорости точки равна:

Ответ:  

План ускорений

План ускорений – построенный в определенном масштабе векторный график, характеризующие ускорения всех точек и звеньев механизма. Произвольная точка ра, из которой производится построение плана ускорений, называется полюсом плана ускорений.

Рассмотрим графический способ определения ускорений точек плоской фигуры (тела) с помощью плана ускорений.

Планом ускорений плоской фигуры является геометрическое место концов векторов ускорений любых точек фигуры, что отложены из одной произвольной точки, которую называют полюсом плана ускорений.

Построение плана ускорений основано на представлении ускорения любой точки фигуры в виде суммы трех векторов:

где   — ускорение точки фигуры, которую принято за полюс поступательного движения;

 — относительное нормальное (центростремительное) ускорение точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса . Направлено это ускорение от точки к точке и по модулю равно

 — относительное тангенциальное (касательное) ускорение точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса . Направлено это ускорение перпендикулярно (отрезка  ) в сторону углового ускорения тела и по модулю равно 

Поскольку для определения величины надо знать угловую скорость плоской фигуры, то, если она не задана, предварительно надо построить план скоростей. Из плана скоростей определить относительную скорость вращения одной точки фигуры относительно второй и найти угловую скорость относительного вращательного движения (занятие 7).

Для того, чтобы уравнение (4.18) можно было решить, должно быть известно ускорение любой точки фигуры, которую выбирают за полюс поступательного движения.

Кроме того, должно быть известно:

Рассмотрим определение ускорений точек и треугольника (рис.4.31, а). Известными являются ускорение точки , направление ускорения точки  и угловая скорость треугольника , то есть случай 1.

Для ускорения точки , если за полюс выбрать точку , будет справедливым векторное уравнение (4.18).

Решим уравнение (4.18) графически. Для этого (рис.4.31, б) из произвольной точки (полюса плана ускорений) построим вектор , который в масштабе будет изображать ускорение . С конца построенного вектора (точки ) построим вектор , который в том же масштабе будет изображать ускорение .

Величину ускорения определим из формулы:

а направлен этот вектор вдоль  от точки  к точке .

К нормальному ускорению добавим, согласно уравнению (4.18), тангенциальное ускорение . Поскольку величина этого ускорения неизвестна, то через точку (конец вектора ) проведем линию перпендикулярно , вдоль которой и будет направлен вектор .

Направление абсолютного ускорения точки известно из условия задачи. Поскольку все абсолютные ускорения точек на плане откладываются от полюса , то через полюс проведем прямую, параллельную направлению ускорения точки . Точка пересечения   линий и будет решением уравнения (4.18), а вектор будет в выбранном масштабе изображать ускорение точки .

Для определения ускорения точки воспользуемся тем, что известными уже являются ускорения двух точек фигуры  и  (случай 2).

Запишем векторные уравнения для ускорения точки относительно полюсов  и :

где  и  — относительные нормальные ускорения точки в ее относительном вращательном движении соответственно вокруг точек  и ;

 и  — относительные тангенциальные ускорения точки в ее относительном вращательном движении вокруг точек  и , соответственно.

Первым решаем уравнение (4.19). Поскольку ускорение точки на плане (рис.4.31, б) уже построено, то с его конца (точки ) строим вектор , который направлен от точки к точке и по модулю в масштабе равен :

Через конец вектора проводим прямую, перпендикулярную , вдоль которой будет направлено ускорение и на которой будет лежать точка конца вектора .

Следующим построим уравнение (4.20). Поскольку ускорение точки на плане уже построено, то с его конца, точки , строим вектор , который направлен от к и по модулю в масштабе равен :

Через конец вектора проводим прямую, перпендикулярную , вдоль которой будет направлено ускорение и на которой будет лежать точка конца вектора .

Таким образом, конец вектора будет лежать на пересечении линий, вдоль которых будут направлены тангенциальные ускорения  и . Вектор  на плане ускорений будет в масштабе изображать абсолютное ускорение точки .

Векторы ,  и , выходящие из полюса плана ускорений, определяют абсолютные ускорения точек ,  и . Отрезки же, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений  и  определяют относительные ускорения одних точек при их вращении вокруг других 

Кроме абсолютных и относительных ускорений точек фигуры , определяется величина ее углового ускорения :

 или  или 

Для определения же направления углового ускорения надо перенести в точку вектор тангенциального ускорения и направление этого вектора укажет направление углового ускорения. В данном случае, угловое ускорение направлено по ходу часовой стрелки.

Треугольник , который образовался на плане ускорений будет подобно треугольнику .

Таким образом, для плана ускорений справедливо

правило подобия: фигура, которую образуют концы векторов абсолютных ускорений точек тела на плане ускорений подобная фигуре, которую одноименные точки образуют на теле.

Примеры решения задач на тему: План ускорений

Задача №1

Найти ускорение точки ползуна 3 и угловое ускорение шатуна 2 механизма, изображенном на рис.4.24. Выходные данные: ,  кривошип 1 вращается равномерно

Решение. План скоростей для этого механизма был построен в задаче № 1 занятия № 7 (рис.4.25,б) и была определена угловая скорость шатуна 2  

1.Построим схему механизма (рис. 4.32, а).

2. Сначала найдем ускорение точки механизме, поскольку она принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг точки  с известной угловой скоростью.

Учитывая, что угловая скорость кривошипа постоянная  то  и полное ускорение  будет равняться нормальному ускорению точки в ее вращательном движении вокруг :

По модулю:

Направлено ускорение от точки к точке  по линии .

3. Для определения ускорения точки запишем формулу распределения ускорений при плоском движении, приняв за полюс точку , ускорение которой уже известно:

где  — абсолютное ускорение точки , которое направлено по направлению движения ползуна 3 в горизонтальных направляющих;

 — ускорение точки , известное по величине и по направлению;

 — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено по шатуну от точки к точке и по модулю равно:

 — тангенциальное ускорение точки при ее вращении вокруг точки , направлено перпендикулярно шатуну и по модулю равно:

Поскольку направление ускорения точки известно, то уравнение (1) достаточно для определения .

4. Решим уравнение (1) графически путем построения плана ускорений.

Из произвольной точки полюса плана ускорений (рис.4.32,б) отложим вектор , который будет изображать ускорение , и который направлен параллельно линии от точки к точке . От конца этого вектора отложим вектор , что будет изображать , и который направлен параллельно от точки к точке . Через конец вектора , точку , проведем линию , перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение и на этой линии будет лежать точка  — конец вектора абсолютного ускорения точки механизма.

Поскольку ускорение направлено по оси движения ползуна 3, то с полюса проводим горизонтальную прямую. Точка пересечения этой прямой с линией , проведенная перпендикулярно , будет концом вектора ускорения точки , а вектор будет изображать на плане ускорений .

4. Из построенного плана ускорений определим абсолютные величины ускорений и . Для этого с полюса опустим перпендикуляр на продолжение линии . Угол равен углу и составляет .

Из векторного четырехугольника (рис. 4.32, б) вытекает:

Спроектируем векторное уравнение (2) на прямую :

Учитывая, что изображает на плане ускорений , ,  уравнение (3) можно переписать следующим образом:

Откуда:

Теперь спроектируем уравнение (2) на прямую :

Учитывая, что на плане ускорений изображает , получим:

Откуда:

Поскольку , то:

Из полученного результата следует, что в данный момент времени шатун механизма вращается равномерно и план ускорений будет иметь вид как на рис.4.33.

Ответ: 

Если построение плана ускорений выполнять с соблюдением масштаба, то ускорения характерных точек можно определить непосредственно измерением соответствующих отрезков на плане ускорений.

Задача №2

Найти абсолютное ускорение точек и на угловые ускорения шатуна 2 и коромысла 3 шарнирного механизма, схема которого изображена на рис.4.26, если:   .  Кривошип 1 механизма вращается с постоянной угловой скоростью

Решение. План скоростей механизма для положения, что рассматривается, был построен в задаче № 2 занятие № 7 (рис.4.27, б) и определены мгновенные угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3:

Решим задачу путем построения в масштабе плана ускорений.

1. Сначала в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.34, а).

2.Определим ускорение точки кривошипа.

Поскольку кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки с постоянной угловой скоростью (то есть и соответственно ), то ускорение точки :

По модулю  равно:

Направлено ускорение от точки к точке .

3.Запишем векторные уравнения для определения ускорения точки .

Точка принадлежит одновременно шатуну 2 и коромыслу 3 (случай 3). У шатуна 2 известно уже определенное ускорение точки , а в коромысла 3 ускорение точки (точка неподвижная, то есть ). Таким образом, можно записать формулы распределения ускорений для точки , взяв за полюс точку для шатуна 2 в первом уравнении и точку для коромысла 3 во втором уравнении:

где  — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль  от точки  к точке и по модулю равно:

 — относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно и по модулю равно:

 — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки  к точке и по модулю равно:

 — относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно и по модулю равно:

4.Решим графически систему векторных уравнений (1,2).

Сначала построим уравнение (1). Для этого из произвольной точки полюса плана ускорений (рис.4.34,б) отложим вектор , который будет изображать ускорение . Направлен вектор параллельно линии от точки к точке . Длину этого вектора выберем . Тогда масштабный коэффициент плана ускорений будет равняться:

От конца вектора отложим вектор , который будет изображать . Направлен вектор параллельно от точки к точке , а длина этого вектора равна:

Через конец вектора проведем линию перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение и на этой линии будет лежать точка  — конец вектора абсолютного ускорения точки механизма.

Следующим построим уравнение (2).

Поскольку , то точка будет лежать в полюсе плана ускорений.

От точки  отложим вектор , который будет изображать . Направлен вектор параллельно от точки к точке , а длина этого вектора соответственно равна:

Через конец вектора проведем линию перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение .

Решением системы (1,2) будет точка , в которой пересекаются линии, проведенные перпендикулярно и , вдоль которых направлены соответственно тангенциальные ускорения  и .

Вектор абсолютного ускорения точки на плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором , а величина ускорения точки равна:

Величины тангенциальных ускорений и найдем путем измерения соответствующих отрезков на плане ускорений:

Поскольку  и , то мгновенные угловые ускорения  шатуна 2 и  коромысла 3 соответственно равны:

где  — длина коромысла 3, которая была определена в задаче №2 занятия №7. 

Для определения направления углового ускорения перенесем мысленно в точку относительное тангенциальное ускорение . Направление указывает на то, что будет направлено по ходу часовой стрелки.

Аналогично, для определения направления в точку перенесем . Угловое ускорение  будет направлено против хода часовой стрелки.

5.Для определения ускорения точки воспользуемся теоремой подобия. Для этого сначала построим прямую на плане ускорений (рис.4.34, б). Поскольку фигура на схеме механизма и фигура на плане ускорений должны быть подобными, то можно составить пропорцию:

В левой части пропорции (3) отношение отрезков на схеме механизма, а в правой — на плане ускорений.

Из уравнения (3) получим расстояние от точки к точке на плане ускорений:

Поскольку на схеме механизма отрезок перпендикулярен , то и на плане ускорений отрезок  надо провести перпендикулярно , причем в ту сторону, чтобы расположение точек , и на плане ускорений было против хода часовой стрелки, как и точки , и на схеме механизма.

Вектор абсолютного ускорения точки на плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором , а величина ускорения точки равна:

Ответ:  

Задача №3

В состав рычажного механизма (рис.4.35) входят два кривошипа 1 и 4, и два шатуна 2 и 3. Кривошип 1 в настоящий момент времени вращается равномерно с угловой скоростью , а кривошип 4 – замедленно с угловой скоростью  и угловым ускорением 

Найти угловые ускорения шатунов 2 и 3 и абсолютные ускорения точек и , если:  . В данном положении механизма кривошип 1 расположен вертикально, а кривошип 4 — горизонтально.

Решение. План скоростей механизма для положения, что рассматривается, был построен в задаче №3 занятия №7 (рис.4.30, б) и определены мгновенные угловые скорости шатуна 2 и шатуна 3:

1. В произвольном масштабе построим схему механизма (рис. 4.36, а).

2.Сначала определим абсолютные ускорения точек и , принадлежащие соответственно кривошипам 1 и 4, угловые скорости которых известны.

Поскольку кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки  с постоянной угловой скоростью то есть , то:

Направлено ускорение вдоль кривошипа от точки к точке .

Кривошип 4 вращается вокруг неподвижной точки с угловой скоростью и угловым ускорением . Поскольку кривошип 4 вращается замедленно, то угловое ускорение направлено противоположно угловой скорости (рис.4.35.)

Абсолютное ускорение точки кривошипа 4 представляет собой векторную сумму нормальной и тангенциальной составляющих: 

Нормальная составляющая ускорения точки направлена вдоль от точки  к точке и по модулю равна:

а тангенциальная — перпендикулярно в сторону углового ускорения и по модулю равна:

3. Запишем векторные уравнения для определения ускорения точки .

Точка  принадлежит одновременно шатуну 2 и шатуну 3. У шатуна 2 известно ускорение точки , а у шатуна 3 — точки . Таким образом, можно записать формулы распределения ускорений для точки , взяв за полюс точку  для шатуна 2 в первом уравнении и точку шатуна 3 во втором:

В уравнении (2):

 — направлено вдоль от точки к точке и по модулю равно:

 — направлено перпендикулярно , величина и направление этого ускорения неизвестны.

В уравнении (3):

 — направлено вдоль от точки к точке и по модулю равно:

 — направлено перпендикулярно , величина и направление этого ускорения неизвестны.

4. Решим графически систему векторных уравнений (2,3).

Сначала построим уравнение (2). Для этого из произвольной точки полюса плана ускорений (рис.4.36,б) отложим вектор , который будет изображать ускорение . Направлен вектор  параллельно линии  от  точки к точке . Длину этого вектора выберем . Тогда масштабный коэффициент плана ускорений будет равняться:

От конца вектора отложим вектор , который будет изображать . Направлен вектор параллельно от точки к точке , а длина этого вектора равна:

Через конец вектора проведем линию перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение и на этой линии будет лежать точка — конец вектора абсолютного ускорения точки механизма.

Следующим построим уравнение (3).

Для построения вектора от полюса согласно уравнению (1) отложим вектор , а с его конца . Эти векторы в масштабе будут изображать ускорения и и будут направлены им параллельно (рис. 4.36, а).

Длины векторов и соответственно равны:

Абсолютное ускорение точки на плане ускорений будет изображаться вектором .

От точки отложим вектор , который будет изображать. Направлен вектор параллельно от точки к точке , а длина этого вектора равна:

Через конец вектора проведем линию перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение .

Решением системы (2,3) будет точка , в которой пересекаются линии, проведенные перпендикулярно и , вдоль которых направлены соответственно тангенциальные ускорения и .

Вектор абсолютного ускорения точки на плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором , а величина ускорения точки равна:

Величины тангенциальных ускорений и найдем путем измерения соответствующих отрезков на плане ускорений:

Поскольку  и , то мгновенные угловые ускорение шатуна 2 и  шатуна 3 соответственно равны:

Направления угловых ускорений  и  определяем путем перенесения мысленно в точку относительных тангенциальных ускорений и (аналогично задаче №2). Угловое ускорение направлено по ходу часовой стрелки, а — против хода часовой стрелки.

5. Для определения ускорения точки воспользуемся теоремой подобия. Поскольку точка на схеме механизма лежит посередине шатуна , то и на плане ускорений она должна лежать посередине отрезка . Вектор ускорения точки плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором , а величина абсолютного ускорения точки равна:

Ответ:  

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика материальной точки
24. Динамика механической системы
25. Динамика плоского движения твердого тела
26. Динамика относительного движения материальной точки
27. Динамика твердого тела
28. Кинематика простейших движений твердого тела
29. Общее уравнение динамики
30. Работа и мощность силы
31. Обратная задача динамики
32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
34. Сферическое движение твёрдого тела
35. Движение свободного твердого тела
36. Сложное движение твердого тела
37. Сложное движение точки
38. Статика твердого тела
39. Равновесие составной конструкции
40. Равновесие с учетом сил трения
41. Центр масс
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки