Как найти скорость ускорение в математике

Скорость, ускорение и время являются основными величинами для вывода уравнения движения. В общем, производная скорости по времени дает ускорение.

В кинематике скорость можно найти, используя ускорение и время. С скорость и ускорение связаны с величиной и направлением, для определения скорости мы используем как алгебраический метод, так и интегральное исчисление. В этом посте обсуждается, как найти скорость с учетом ускорения и времени, используя оба метода.

Представим, что тело движется с ускорением «а», преодолевая определенное расстояние в момент «t».

Алгебраическим методом:

Из кинематического определения ускорение — скорость изменения скорости движущегося тела.

а=в/т

Здесь мы считаем; первоначально тело обладает минимальной скоростью; следовательно, начальная скорость можно считать примерно равной нулю.

Переставляя члены, мы получаем скорость тела как;

v = а * т

Методом интегрального исчисления:

Производная по времени от скорость дает ускорение тела. Это определяется следующим уравнением.

d/dt[v(t)]= а(t)

Преобразуя приведенное выше уравнение

dv (t) = a (t) dt

Интегрируя приведенное выше уравнение по времени t

∫d/dt[v(t)]=∫a(t) dt+C

Где; C — интегральная постоянная.

Следовательно; v = при + C

Вышеприведенное уравнение дает скорость; таким образом, умножение ускорения на время дает скорость.

Как найти скорость по графику ускорения и времени?

Построен график ускорения в зависимости от времени, что позволяет определить различные физические величины, такие как рывки и удары. скорость. Область, покрытая графиком «ускорение – время», показывает скорость.

Например, машина движется с начальной скоростью 16 м / с. Как со временем, машина начинает разгоняться. В ускорение автомобиля постоянна во времени. Через некоторое время машина внезапно останавливается, что показано на приведенном ниже графике.

Пунктирная линия используется как контрольная линия, когда тело останавливается.

Площадь, занимаемая в график ускорение – время представляет собой прямоугольник. Площадь прямоугольника определяется как

А = l × b

Из приведенного выше графика длина прямоугольника — это ускорение, а ширина — время; следовательно, уравнение

А = а * т

Но площадь графика at — это скорость, тогда

v = а * т

v = 7 × 8

v = 56 м / с.

Следовательно, по определению На графике времени разгона площадь — это не что иное, как скорость.

Как найти начальную скорость с ускорением и временем?

Когда тело начинает двигаться из одной точки в другую, вначале оно обладает некоторой скоростью. Тело не нуждается постоянная скорость пока не достигнет конечного пункта назначения. Скорость тела изменяется со временем по мере его прохождения, и, следовательно, тело приобретает ускорение.

Из приведенного выше объяснения ясно, что движущееся тело может иметь разные скорости. Тела скорость на начальном этапе может отличаться от финального. Давайте обсудим нахождение скорости с ускорением и временем в начальной точке.

Рассмотрим сначала автомобиль, движущийся со скоростью v_i, а его скорость изменится через некоторое время t. Теперь тело ускоряется с ускорением «а», и, наконец, когда оно достигает конечной точки, оно имеет скорость v_f.

Начальную скорость можно рассчитать тремя способами.

Используя алгебраический метод:

Ускорение из-за изменения скорости определяется выражением

а = (v_f-v_i)/т

а * т = v_f — v_i

О перестановке

v_i = V_f — в

Вышеприведенное уравнение дает начальную скорость движущегося тела.

По расчетам:

Исходя из определения ускорения, уравнение имеет вид

а=дв/дт

Изменение условий;

адт = дв

Интегрируя приведенное выше уравнение, выбирая пределы в качестве начальной скорости vi в момент времени t = 0 и конечной скорости v_f в момент t.

а (t — 0) = (v_f — v_i)

при = v_f — v_i

Преобразуя приведенное выше уравнение, мы получаем начальную скорость.

v_i = V_f — в

Графическим методом:

Построен график зависимости скорости от времени, наклон которого дает ускорение — затем, найдя наклон, можно вычислить начальную скорость.

Исходя из приведенного выше графика, мы можем сказать это.

• В единый интервал времени скорость тела изменяется.
• OD — время, затрачиваемое телом на путешествие, а BD — конечная скорость тела.
• Перпендикулярные линии от BD к A проводятся параллельно OD. Таким же образом проводится линия BE параллельно OD.

На приведенном выше графике показано, что

Начальная скорость тела v_i = ОА

Конечная скорость тела v_f = БД

На графике BD = BC + DC

Следовательно, v_f = ВС + ПОС

Но DC = OA = v_i

v_f = до нашей эры + ви

На графике наклон = ускорение a

а=ВС/АС

Но AC = t (из графика)

а=БК/т

при = BC

Подставляя значение BC

v_f = при + v_i

v_i = V_f — в

Как найти изменение скорости в зависимости от ускорения и времени

В общем, изменение скорости со временем дает ускорение.

Пусть тело движется с ускорением ‘a’ со временем ‘t’, изначально скорость объекта равна v_i, а в конечной точке имеет скорость v_f. Тогда изменение скорости определяется по уравнению:

∆a=(Δv/Δt)

Где ∆v — изменение скорости, а ∆t — изменение во времени.

∆v = ∆a∆t

Но изменение скорости определяется разница между начальной и конечной скоростью. Это дается уравнением ниже.

∆v = v_f -v_i

Изменение в скорость можно рассчитать с помощью графика «ускорение – время». Площадь под графиком at показывает изменение скорости.

Давайте ясно поймем это, рассмотрев пример, представленный графиком, приведенным ниже.

Площадь на графике времени ускорения представляет собой треугольник. Следовательно, вычисляя изменение скорости дается путем вычисления площади треугольника. Формула для определения площади треугольника:

А=(1/2)чб

Здесь h — высота треугольника, ускорение считается высотой, а b — основание треугольника, которое определяется осью времени. Таким образом, изменение скорости равно

∆v=(1/2)*6*9

∆v = 29 м / с.

По изменению скорости мы можем узнать начальную и конечную скорость тела.

Решены задачи о том, как найти скорость с ускорением и временем.

Задача 1) Лодка движется с начальной скоростью 11 м / с. Лодка развивает ускорение 3 м / с.² каждые 10 секунд. Затем рассчитайте изменение скорости и конечную скорость лодки.

Решение:

Данные приведены для расчета:

Начальная скорость лодки v_i = 11 м / с.

Изменение ускорения, достигаемого лодкой a = 3 м / с².

Изменение по времени t = 10 сек.

∆v = ∆a∆t

∆v = 3 × 10

∆v = 30 м / с

Чтобы найти окончательную скорость, уравнение

∆v = v_f -v_i

v_f = ∆v + v_i

v_f = 30 + 11

v_f = 41 м / с.

Задача 2) График ускорение – время приведен ниже. Найдите изменение скорости и вычислите начальную скорость, если конечная скорость равна 54 м / с.

Решение:

Приведенные данные:

Конечная скорость v_f = 54 м / с. На графике ускорение-время покрытая область представляет собой трапецию. Таким образом, площадь трапеции определяется выражением

А=[(а+б)/2)]*ч

Где a и b — прилегающее основание трапеции, h — высота. Из графика; a = 9 единиц, b = 5 единиц, h = 4 единицы.

А=[(9+5)/2]*4

А = 28 шт.

Изменение скорости равно площади трапеции.

∆v = 28 м / с.

Чтобы найти начальную скорость

∆v = v_f -v_i

v_i = V_f — ∆v

v_i = 54 — 28

v_i = 26 м / с.

Задача 3) дается график ускорение – время для определения изменения скорости.

Решение:

Приведенный выше график можно разделить на три части, представленные пунктирной линией, как показано на рисунке ниже.

На приведенном выше графике можно понять следующие термины.

OAD и BCE — треугольник; площадь треугольника задается формулой

а=(1/2)чб

ABCD — прямоугольник; площадь прямоугольника определяется выражением

А = l × b

Чтобы найти изменение скорости, необходимо вычислить сумму площадей всех геометрических структур.

∆v = A=(1/2)hb+lb+(1/2)hb

Изменение скорости ∆v = 180 м / с.

Задача 4) Найдите начальную скорость мяча, который ускоряется со скоростью 6 м / с.² со временем 8 сек. Конечная скорость мяча составляет 100 м / с.

Решение:

Приведены данные: ускорение мяча a = 6 м / с2.

Время t = 8 сек.

Конечная скорость v_f = 100 м / с.

Для нахождения начальной скорости тела задается уравнение

v_i = V_f — в

v_i = 100 — (6 ×

v_i = 100 — 48

v_i = 52 м / с.

Задача 5) Рассчитайте изменение скорости движущегося объекта, имеющего начальную скорость 34 м / с. Ускорение объекта 12 м / с.², а изменение по времени — 7 сек.

Решение:

Данный:

Начальная скорость объекта v_i = 34 м / с.

Ускорение объекта a = 12 м / с².

Изменение по времени t = 7 сек.

Конечная скорость объекта определяется выражением;

v_f = V_i + в

v_f = 34 + (12 * 7)

v_f = 34 + 84

v_f = 118 м / с.

Изменение скорости определяется выражением;

∆v = v_f — v_i

∆v = 118 — 34

∆v = 84 м / с.

Задача 6) Диск движется с начальной скоростью 25 м / с. Диск меняет свою скорость каждые 10 секунд. Изменение ускорения 5 м / с.². Рассчитайте конечную скорость диска.

Решение:

Приведенные данные:

Начальная скорость диска v_i = 25 м / с.

Изменение ускорения ∆a = 5 м / с².

Изменение времени ∆t = 10 сек.

Изменение скорости равно

∆v = ∆a∆t

∆v = 5 × 10

∆v = 50 м / с.

Конечная скорость диска может быть рассчитана по формуле, приведенной ниже.

∆v = v_f — v_i

50 = в_f -25

v_f = 50 + 25

v_f = 75 м / с.

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора – вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами – единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? “Наверное какой-то жуткий”, подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки – это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора – это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему “механика твердых тел”. А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.