Как найти скорость в квадрате в физике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Средняя квадратичная скорость молекул — среднее квадратическое значение модулей скоростей всех молекул рассматриваемого количества газа

$Large vecupsilon =sqrt{frac{3kT}{m}}=sqrt{frac{3RT}{M}}$

Таблица значений средней квадратичной скорости молекул некоторых газов

Для того чтоб понять, откуда же у нас получается эта формула, мы выведем среднюю квадратичную скорость молекул. Вывод формулы начинается с основного уравнения молекулярно кинетический теории (МКТ):

Где у нас количество вещества, для более легкого доказательства, возьмем на рассмотрение 1 моль вещества, тогда у нас получается:

Если посмотреть, то PV это две третьих средней кинетической энергии всех молекул (а у нас взят 1 моль молекул):

$large PV=frac{2}{3}vec E_k$

Тогда, если приравнять правые части, у нас получается, что для 1 моля газа средняя кинетическая энергия будет равняться:

$large vec E_k =frac{3}{2}RT$

Но средняя кинетическая энергия, так же находится, как :

$large vec E_k =frac{1}{2}N_a m vecupsilon^2$

А вот теперь, если мы приравняем правые части и выразим из них скорость и возьмем квадрат,Число Авогадро на массу молекулы , получается Молярная масса то у нас и получится формула для средней квадратичной скорости молекулы газа:

$Large vecupsilon =sqrt{frac{3RT}{M}}$

А если расписать универсальную газовую постоянную, как , и за одно молярную массу , то у нас получится?

$Large vecupsilon =sqrt{frac{3kT}{m}}$

В Формуле мы использовали :

— Средняя квадратичная скорость молекул

$k=1.38cdot10^{-23}$ — Постоянная Больцмана

— Температура

— Масса одной молекулы

— Универсальная газовая постоянная

— Молярная масса

— Количество вещества

— Средняя кинетическая энергия молекул

$N_a=6,02cdot10^{23}$ — Число Авогадро

Источник

Средняя квадратичная скорость — среднее квадратическое значение скоростей всех молекул данного количества газа. Измеряется в (м^2/с^2.)

Что оказывает влияние на скорость молекул

На быстроту движения молекул в газе оказывают влияние следующие параметры:

Давление (возникает в результате ударов частиц о стенки сосуда).
Концентрация частиц (количество частиц в единице объема).
Температура (с увеличением температуры, частицы начинают двигаться быстрее, с уменьшением — замедляются).
Масса молекул.

Эта взаимозависимость выражается главным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(P=frac13times m_0times ntimes V^2)

Где P — давление газа в Паскалях, (m_0) — масса молекулы в килограммах, n — концентрация частиц в (м^3), V — скорость движения молекул в м/с.

Расчет по формуле

Для определения средней квадратичной скорости (обозначение — v) всех молекул в газе, нужно вычислить квадратный корень из средней арифметической величины квадратов скоростей каждой частицы.

В виде формулы это выглядит так:

(v=sqrt{frac{v_1^2+v_2^2+…v_n^2}N})

Где (v_1) — (v_n) — это скорости молекул, N — их число в газе.

Расчет значения по такой формуле очень громоздок и сложен, поэтому для определения значения средней квадратичной скорости используют следующее уравнение:

(v=sqrt{frac{3times Rtimes T}M})

Где R — универсальная газовая постоянная, равная примерно 8,31 Дж/Кхмоль, T — температура в Кельвинах, M — молярная масса в кг/моль.

Получается такое уравнение путем преобразования основного уравнения кинетической теории газов.

Источник

Средняя квадратичная скорость молекул

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 286.

Обновлено 30 Июля, 2021

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 286.

Обновлено 30 Июля, 2021

Температура — это уровень внутренней энергии, заключённой в хаотическом движении молекул вещества. Скорость конкретной молекулы может иметь весьма широкий диапазон, однако скорость большинства молекул лежит в достаточно узких пределах, поэтому в молекулярной физике используется среднее значение этой скорости. Как же оно определяется?

Среднее значение физической величины

Большинство физических величин, характеризующих конкретный объект, имеет вполне определённое значение. Однако, если рассматривается несколько объектов, измеренная величина может быть различна для каждого объекта. И для моделирования поведения системы этих объектов требуется учитывать все значения.

С возрастанием числа объектов измерять параметры для каждого объекта становится всё сложнее. Но при этом зачастую оказывается, что все измеряемые значения лежат в некоторых пределах, причём систему можно достаточно точно моделировать, пренебрегая мелкими отличиями параметров каждого объекта.

Когда число объектов очень велико (например, число молекул в теле), этот метод является единственно возможным. Более того, значение, полученное для одного конкретного объекта, практически не играет роли.

В таких случаях используется специальное значение, при котором суммарная ошибка параметра для всех объектов будет наименьшей. Это значение называется средним значением физической величины. Среднее значение может рассчитываться несколькими способами.

Рис. 1. Виды средних значений.

Скорость молекул газа

Газ — это хороший пример системы, которая состоит из большого числа движущихся объектов (молекул), при этом скорость каждой отдельной молекулы не имеет значения, и единственный способ оценки молекулярных движений — использование средней скорости.

Рис. 2. Движение молекул газа.

Простейший способ нахождения среднего значения — это суммирование всех значений и деление суммы на количество значений. Такое среднее называется средним арифметическим.

Для скорости молекул такое среднее не подходит. Скорости молекул имеют самые разные направления, и, какое бы направление мы не взяли, всегда окажется, что по этому направлению и против него движется одинаковое число молекул. Простая сумма скоростей будет равна нулю. Поэтому здесь используется среднее значение квадрата скорости молекул.

$$overline{v^2} = {v^2_1+v^2_1+…+v^2_N over N}$$

Особенности среднеквадратичного значения

Квадрат любого ненулевого числа положителен, поэтому значение в приведённой формуле также всегда будет положительным.

Ещё одно преимущество использования средней квадратичной скорости молекул состоит в том, что кинетическая энергия материальной точки находится по формуле:

$$E={mv^2 over 2}$$

Получается, что средняя квадратичная скорость молекул газа удобна для нахождения средней энергии молекулы, а она, в свою очередь, связана с макроскопическими параметрами — с температурой и давлением. Поэтому именно среднеквадратичная скорость используется в большинстве формул молекулярно-кинетической теории.

Рис. 3. Молекулярно-кинетическая теория.

Что мы узнали?

Средняя квадратичная скорость молекул газа — удобный показатель, широко использующийся в молекулярно-кинетической теории для определения макроскопических параметров — температуры и давления.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка доклада

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 286.

А какая ваша оценка?

Источник

Для характеристики движения молекул в физике используют две скорости: среднюю и среднюю квадратичную скорость молекул.

Важно. Следует обязательно понимать, что в реальных условиях мы не можем точно знать ни конкретное число молекул в системе, ни тем более скорость каждой из них в конкретный момент времени. Это обусловлено неимоверно гигантским числом частиц в реальных и даже сколько-нибудь приближенных к ним системах. Например, в 1 см³ при давлении 200 мм. рт. ст. содержится 4,18*1018 молекул водорода. Говоря более понятными категориями, это более чем 4 миллиарда миллиардов. Заметим, что указанное давление меньше атмосферного почти в 4 раза. Последнее в среднем равняется 760 мм. рт. ст. Разрежённый водород по своим свойствам наиболее близок к идеальному газу. В данном случае физика вынуждена иметь дело с распределениями скоростей и энергий частиц.

Что такое средняя скорость движения молекул

Среднюю скорость движения молекул часто именуют скоростью их теплового движения.

Определение 1

Вид формулы средней относительной скорости молекул в физике можно представить выражением:

[text { Vотн }=sqrt{2} sqrt{frac{8 R T}{pi m_{0}}}]

Выражение под корнем – средняя скорость молекул идеального газа.

Как определить среднюю квадратичную скорость движения молекул

Определение 2

Средней квадратичной скоростью молекул идеального газа называют величину равную квадратному корню из среднего арифметического величины квадратов скоростей каждой из молекул.

Средняя скорость молекул равна:

[leftlanglemathrm{V}_{mathrm{KB}}rightrangle=sqrt{frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} v_{i}^{2}}]

Если обе её части возвести в квадрат и проинтегрировать, то получим выражение:

[langlemathrm{VKB}rangle^{2}=int_{0}^{infty} v^{2} F(v) d v]

Ещё одно выражение для среднеквадратичной скорости:

[leftlangle V_{K B}rightrangle=sqrt{frac{3 k T}{m_{0}}}=sqrt{frac{3 R T}{mu}}]

Именно она присутствует в уравнении, именуемом основным уравнением молекулярно-кинетической теории

P = (1/3)nm*<Vкв>

Где n – концентрация молекул, которая вычисляется делением их общего числа на объём.

Пример. 1.

Рассмотрим простейший случай, чтобы использование интегрирования не затруднило понимание сути явления и помогло лучше понять материал. Вычислим как меняется средняя скорость движения молекул в идеальном газе при линейном увеличении его давления. График следующий:

Где P — давление, ρ — плотность

Напомним, что средняя скорость частиц:

[mathrm{Vcp}=sqrt{frac{8 R T}{pi m_{0}}}]

Если присмотреться к представленному графику, то можно заметить, что P приблизительно равно ρ‎. Эти две величины можно связать соотношением

P=C*ρ‎

Где С – некоторая постоянная величина, константа.

Далее считаем m₀= ρ/n, p = n*k*T = C* ρ. Отсюда следует, что k*T = (C*ρ)/n.

Нужно лишь подставить эти значения в формулу для средней скорости:

[V c p=sqrt{8 mathrm{kT} / pi mathrm{m}}=sqrt{(8 mathrm{C} rho / pi mathrm{n})(mathrm{n} / rho)}=sqrt{8 mathrm{C} / pi}]

В полученном выражении нет ни одной переменной величины, т. е. при увеличении давления, вопреки ожиданиям, скорость оказалась неизменной.

Ответ: В процессе, который был дан нам на графике, при увеличении давления средняя скорость молекул никак не меняется.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Пример. 2.

Определим среднюю квадратичную скорость молекул газа при условии, что нам известны его давление (P), молярная масса (M) и концентрация частиц (n).

Воспользуемся формулой:

[leftlanglemathrm{V}_{kappa в}rightrangle=sqrt{frac{3 k T}{m_{0}}}=sqrt{frac{3 R T}{mu}}]

Также нам потребуется уравнение Менделеева-Клайперона

Здесь мы воспользовались тем, что:

m/μ = N/N_a

PV = (m/μ)*RT = (N/N_a)*RT

Если обе части этого уравнения поделить на V и принять во внимание, что

(N/V) = n, то можно получить

P = (n/N_a)*RT. Отсюда находим, что RT = (p*N)/n

Если мы это подставим в выражение для среднеквадратичной скорости [leftlangle V_{K B}rightrangle=sqrt{3 mathrm{kT} / mathrm{m}_{0}}=sqrt{3 mathrm{RT} / mu}], получим, что средняя квадратичная скорость движения молекул газа: [leftlangle V_{K B}rightrangle=sqrt{left(3 rho N_{a}right) /(mu mathrm{n})}]

Ответ: Формула средней квадратичной скорости молекул исходя из данный нам условий следующая:

[leftlangle V_{K B}rightrangle=sqrt{left(3 rho N_{a}right) /(mu mathrm{n})}]

Источник

В молекулярной физике газ рассматривается как совокупность большого числа частиц, которые движутся хаотически во всём объёме. Исходя из огромного количества частиц, рассмотреть движение каждой из них достаточно сложно (в силу большого количества уравнений), но есть возможность описать усреднённые кинематические характеристики движения молекул газа.

Так, проанализируем используемые усреднённые скорости:

$displaystyle <upsilon >=sqrt{frac{8RT}{pi M}}$ (1)

где

$displaystyle sqrt{<{{upsilon }^{2}}>}=u=sqrt{frac{3RT}{M}}$ (2)

где
- — среднеквадратичная скорость движения молекул.

Данные скорости выводятся, исходя из статистических соотношений, и сам вывод сложен, поэтому просто обсудим, что мы ввели. Итак, средняя скорость (1) — усреднённое значение скоростей всех молекул газа (т.е. мы виртуально просуммировали скорости всех молекул и разделили на их количество). Для нахождения среднеквадратической скорости (2) мы виртуально возвели в квадрат скорость каждой молекулы в газе, затем просуммировали и разделили на полное количество молекул (т.е. усреднили квадраты скоростей).

Частицы газа, находящиеся в постоянном тепловом движении, постоянно сталкиваются друг с другом. Однако для отдельно выбранной молекулы можно ввести расстояние и время движения молекулы от столкновения к столкновению — длину свободного пробега. Опять же статистически можно просчитать данный параметр:

$displaystyle <l>=frac{<upsilon >}{<z>}$ (3)

где

Или ещё один вариант:

$displaystyle <l>=frac{1}{sqrt{2}}npi {{d}^{2}}$ (4)

где

Соотношения (3) и (4) используются напрямую в задаче (большинство задач ЦТ по этой теме в одну формулу).

Рассмотрим среднюю кинетическую энергию движения молекулы газа:

$displaystyle <{{E}_{k}}>=frac{m<{{upsilon }^{2}}>}{2}$ (5)

где

Воспользуемся соотношением (2):

$displaystyle <{{E}_{k}}>=frac{m}{2}frac{3RT}{M}=frac{3}{2}frac{m}{M}RT$ (6)

Далее учтём определение молярной массы ( $displaystyle R={{N}_{A}}k$ ) и раскроем константу ( $displaystyle R={{N}_{A}}k$ ):

$displaystyle <{{E}_{k}}>=frac{3}{2}frac{m}{{{N}_{A}}m}{{N}_{A}}kT=frac{3}{2}kT$ (7)

где

Аналогичным образом можем просчитать суммарную кинетическую энергию одного моля газа:

$displaystyle <{{E}_{k}}>=frac{3}{2}kT{{N}_{A}}=frac{3}{2}RT$ (8)

И для всего газа в целом:

$displaystyle <{{E}_{k}}>=frac{3}{2}nu RT=U$ (9)

где

Параметр внутренней энергии газа ( displaystyle U ) достаточно важный, фактически, он является суммарной кинетической энергией всех молекул газа и связывает кинематические характеристики движения отдельных молекул (скорость) с температурой всего газа.

Одним из часто рассматриваемых параметров газа является концентрация вещества, во общем случае её можно получить как:

$displaystyle n=frac{N}{V}$ (10)

где

Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона при условии химического количества ( $displaystyle nu =frac{N}{{{N}_{A}}}$ ):

$displaystyle PV=frac{N}{{{N}_{A}}}RT$ (11)

Исходя из (10) получим $displaystyle R={{N}_{A}}k$ и подставим в (1) с учётом $displaystyle R={{N}_{A}}k$ :

$displaystyle PV=frac{nV}{{{N}_{A}}}k{{N}_{A}}TRightarrow P=nkT$ (12)

Исходя из (7):

$displaystyle <{{E}_{k}}>=frac{3}{2}kTRightarrow kT=frac{2<{{E}_{k}}>}{3}$ (13)

Подставим (13) в (12):

$displaystyle P=nfrac{2<{{E}_{k}}>}{3}=frac{2}{3}n<{{E}_{k}}>$ (14)

Соотношение (12) и (14) — различные формы записи зависимости кинематических характеристик движения молекул (скорость энергия, количество молекул) с термодинамическими характеристиками идеального газа (объём, давление, температура).

Вывод: задачи на данную тематику достаточно линейны, т.е. узнать их можно по соответствующим понятиям: «средняя скорость», «среднеквадратичная скорость», «средняя длинна свободного пробега», «внутренняя энергия» и т.д. Все такие задачи чаще всего решаются в одну конкретную формулу (1) — (6). Остальные формулы (7) — (14) практически одинаковы по логике и используются в зависимости дано в задаче.

Источник