Как найти скорость верхней точки колеса

Перейти к контенту

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

2020-03-27   

Найдите скорость верхней точки пересечения двух катящихся колес (рис.а) в тот момент, когда она находится на одной горизонтали с центром большого колеса. Скорости колес одинаковы и равны $v$, радиусы колес $r$ и $R$.

Решение:

Вводим неизвестные: $v_{A}$ — скорость точки А и $gamma$ — угол, который она образует с горизонтом (рис.б). Скорость точки A образует угол $gamma$ с отрезком $O_{2}A$ и угол $(90^{ circ} + alpha — gamma )$ с отрезком $O_{1}A$, где $alpha = arccos frac{R-r}{r}$. Для этих двух отрезков наше уравнение принимает вид

$v_{A} cos gamma = v$,

$v_{A} cos (90^{ circ} + alpha — gamma ) = v cos (90^{ circ} — alpha )$.

Решение этой непростой системы уравнений мы оставляем читателям и приводим лишь окончательный ответ:

$v_{A} = v sqrt{1 + 4 tg^{2} alpha } = v sqrt{ frac{4r^{2} }{(R-r)^{2} } — 3 }$.

А нет ли более простого метода решения этой задачи? Оказывается, есть.

Метод, который мы предлагаем для решения задач со связями, заключается в переходе в движущуюся систему отсчета. Например, рассматривая движение жесткого стержня (см. рис.), мы можем «сесть на точку В», т.е. перейти в систему отсчета $K^{ prime}$, которая движется со скоростью $vec{v}_{0}$, равной скорости $vec{v}_{2}$ точки В. Выигрыш от такого перехода очевиден. Теперь точка В покоится относительно нас, и вместо двух движущихся точек осталась только одна точка А. Это большое упрощение.

Действительно, если точка В покоится, то единственным возможным движением стержня может быть только вращение относительно этой точки. При этом скорость $vec{v}_{1}^{ prime}$ точки A (относительно новой системы отсчета $K^{ prime}$) может быть любой по величине, но направлена она обязательно перпендикулярно стержню (рис.).

В неподвижной системе отсчета $K$, согласно классическому закону сложения скоростей, скорость точки A равна

$vec{v}_{1} = vec{v}_{1}^{ prime} + vec{v}_{0} = vec{v}_{1}^{ prime} + vec{v}_{2}$.

Давайте прочитаем эту формулу нужным для нас способом: «Да, скорости $vec{v}_{1}$ и $vec{v}_{2}$» концов стержня могут быть разными, но отличаются они лишь на вектор $vec{v}_{1}^{ prime}$, перпендикулярный самому стержню». А это означает, что проекции скоростей $vec{v}_{1}$ и $vec{v}_{2}$ на стержень одинаковы (проекция их разности $vec{v}_{1}^{ prime}$ на сам отрезок равна нулю). Наша волшебная формула подтверждена.

А теперь посмотрим, как с помощью этого метода можно проще решить задачу. Прежде подготовимся, чтобы не запутаться в обозначениях. Скорости центров колес, точек $O_{1}$ и $O_{2}$, одинаковы: $v_{1} = v_{2} = v$ и противоположно направлены: $vec{v}_{1} = — vec{v}_{2}$. Введем скорость $vec{v}_{0}$, равную по модулю $v$ и направленную влево. Эта скорость равна скорости большого колеса: $vec{v}_{2} = vec{v}_{0}$ и противоположна скорости малого колеса: $vec{v}_{1} = — vec{v}_{0}$.

«Сядем на большое колесо», т.е. перейдем в систему отсчета $K^{ prime}$, движущуюся со скоростью $vec{v}_{0}$ (рис.а). В этой системе отсчета большое колесо покоится, а малое движется вправо со скоростью $2v$. Нетрудно убедитьсяв том, что наш ответ для движущейся системы отсчета таков — скорость точки пересечения направлена вертикально вверх и равна

$v_{A}^{ prime} = 2v tg alpha$, где $alpha = arccos frac{R-r}{r}$.

Нам осталось лишь вернуться в лабораторную систему отсчета и с помощью классического закона сложения скоростей $vec{v}_{A} = vec{v}_{A}^{ prime} + vec{v}_{0}$ пересчитать скорость точки А. С помощью рисунка б получаем окончательный ответ:

$v_{A} = sqrt{v_{0}^{2} + v_{A}^{ 2 prime}} = v sqrt{1 + 4tg^{2} alpha} = v sqrt{ frac{4r^{2} }{(R-r)^{2} } — 3}$.

Решение закончено, ответ получен. Расплата за простоту -необходимость пересчитывать скорости при переходе из одной системы отсчета в другую. Впрочем, выбирайте сами, что для вас легче: решать непростую систему уравнений или разыскивать систему отсчета, в которой сразу можно указать направление неизвестной скорости.

Спрятать решение

Источник: Кирик Л. А. Са­мо­сто­я­тель­ные и кон­троль­ные ра­бо­ты для 9 клас­са, Х.: «Гим­на­зия», 2002 (№ 6 (дост.) стр. 43)

Задача 1. За промежуток времени с тело прошло половину окружности радиусом 100 см. Найти среднюю путевую скорость и модуль средней скорости .

Решение: средней путевой скоростью называется средняя скорость прохождения пути, которую мы с вами вычисляем, деля весь путь (длину траектории) на все время. Модуль средней скорости еще называют средней скоростью по перемещению. Ее можно определить, разделив перемещение на время. Тогда длина пути – это длина половины окружности, а перемещение – длина диаметра.

Ответ: средняя путевая скорость – 0,314 м/с, средняя скорость по перемещению – 0,2 м/с

Задача 2. Однородный диск радиусом 0,5 м катится без проскальзывания со скоростью 2 м/с. Найти скорость точек диска . Найти геометрическое место всех точек диска,  скорость которых 2 м/с. Угол .

Решение:

Точка A – центр вращения. Поэтому ее скорость относительно поверхности, по которой катится диск, равна 0. Поскольку в условии сказано, что диск катится со скоростью 2 м/с, то это означает, что с такой скоростью относительно поверхности будет передвигаться его центр: м/с. Поэтому точка А относительно центра будет передвигаться с точно такой же скоростью – со скоростью 2 м/с, и это и будет линейная скорость вращения диска, то есть скорость всех точек, лежащих на его краю, относительно центра м/с.  Линейные скорости показаны для  точек оранжевыми стрелками. Эти стрелки показывают, какой была бы скорость данной точки, если бы диск не катился, а вращался бы, например, на оси, проходящей через его центр. Но наш диск катится. Поэтому к линейной скорости вращения каждой точки необходимо еще прибавить скорость движения диска относительно опоры. То есть к каждой рыжей стрелке прибавим (векторно) скорость точки О – центра диска – черную стрелку. Тогда-то и становится понятным, почему у точки скорость равна 0 – линейная скорость вращения направлена влево, а скорость качения – вправо, и поскольку они равны, то гасят друг друга: .  В точке C скорости, напротив, сложатся, поскольку они сонаправлены: м/с.

Определим теперь скорости точек и . Понятно, что они будут равны численно, но направлены в разные стороны.

Осталось разобраться с точкой . Сделаем еще один рисунок. Линейная скорость вращения всегда направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу . Углы, которые образуются между векторами, показаны на рисунке, в том числе угол . Тогда в параллелограмме угол , а так как

, то все углы в треугольнике равны и он равносторонний, то есть м/с. Также можно было найти длину этого вектора скорости по теореме косинусов или складывая проекции векторов. Можно догадаться, что точка, симметричная точке E относительно A также имеет скорость, равную 2 м/с. Вообще точки, лежащие на одном и том же расстоянии от центра вращения A будут иметь равные скорости, линии равных скоростей (геометрические места точек с равными скоростями) показаны на рисунке различного цвета дугами: единственная точка (точка C) будет иметь скорость 4 м/с, точки, лежащие на рыжей дуне, будут иметь скорости, равные , точки, лежащие на синей дуге, будут иметь скорости, равные 2 м/с, как у точки E.

Задача 3. Колесо, пробуксовывая, катится по ровной, горизонтальной дороге. Найти скорость центра колеса , если известно, что скорость нижней точки м/c, а верхней — м/c.

Решение:

Если колесо пробуксовывает, то это означает, что скорость его нижней точки не равна нулю, то есть его центр вращения – не точка касания поверхности, центр вращения будет расположен выше. Но центр вращения находится и не в центре колеса. Найти его можно, если провести вертикальный диаметр, построить вектора скоростей в масштабе, а затем, соединив концы векторов скоростей прямой линией, отметить точку пересечения этой линии с диаметром. У нас на рисунке это точка О. Точка К – центр колеса, его скорость нам и нужно найти. Из подобия треугольников и запишем отношения сходственных сторон:

Тогда

Тогда

Теперь обратимся к подобным треугольникам и . Для них отношение сходственных сторон равно:

Откуда м/с.

Ну а более простым решение было бы, если бы мы просто нашли среднее арифметическое скоростей, ведь точка, про которую нас спрашивают, лежит по центру между точками приложения векторов скоростей и , при этом не забываем о векторном сложении скоростей, берем скорость со знаком «минус»:

м/с.

Ответ: 4 м/с.

Задача 4. Обруч, проскальзывая, катится по горизонтальной ровной поверхности. В некоторый момент скорость верхней точки А м/с, а нижней точки  B м/с. Определить скорость концов диаметра , перпендикулярного к , для того же момента времени. Под какими углами они направлены к горизонту?

Решение:

Проскальзывание – это ситуация, когда скорость нижней точки (точки касания обручем земли) не нулевая, но направлена она в сторону качения. В этом случае центр вращения, так же, как и в случае пробуксовки, не совпадает с центром колеса. Более того, центр вращения даже не внутри колеса – он снаружи (точка О). Как и в предыдущей задаче, можно найти его таким же способом – проведя линию через концы скоростей и найдя ее пересечение с продолжением вертикального диаметра. И, точно так же, как в предыдущей задаче, можно определить скорость центра колеса как среднее арифметическое, только обе скорости направлены у нас теперь в одну сторону, поэтому ставим знак «плюс» перед обеими:

м/с.

Так как скорость точки есть результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра колеса , то можем из этого сделать вывод, что линейная скорость вращения равна 2 м/с – ровно на столько скорость центра колеса, найденная нами, отличается от скорости точки , данной в условии задачи. Линейную скорость на рисунке не показывала, или показывала не везде. Скорости точек и равны численно, но направлены по-разному. Их скорости – также результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра, а, так как эти две скорости перпендикулярны друг другу, то результат их сложения может быть найден по Пифагору:

Понятно, что раз скорости перпендикулярны друг другу, то являются катетами некоторого прямоугольного треугольника, и связывает их между собой функция тангенса, поэтому угол наклона к горизонту скорости точки можно найти как

Ответ: ,

Задача 5. Шарик радиусом см катится равномерно и без проскальзывания по двум параллельным линейкам, расстояние между которыми равно см, и за время с проходит см. С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки шарика?

На рисунке изображено, как двигается шарик, при этом для удобства показан как вид спереди, так и вид сбоку. Поскольку скорость шарика равна м/с, то эта скорость – скорость поступательного движения его центра масс – точки А. Центр вращения шарика находится в точке О – на уровне края линеек. Определим положение точки О – определим длину отрезка . Это легко сделать, зная радиус шарика и рассмотрев рисунок, из треугольника . Центр вращения в данный момент неподвижен, а точка А двигается относительно него со скоростью 0,6 м/с. Поэтому скорость нижней точки   будет

Таким же способом определяем скорость верхней точки :

Ответ: скорость нижней точки 0,15 м/c, скорость верхней 1,35 м/c.

Задача 6.  Автомобиль движется по закругленному шоссе, имеющему радиус кривизны м. Закон движения автомобиля имеет вид: , где м, м/с, м/с. Найти скорость автомобиля , его тангенциальное  , нормальное и полное ускорения в момент времени с.

Решение.

Путь:

Производная пути – линейная скорость:

Вторая производная – тангенциальное ускорение:

Нормальное ускорение:

Полное ускорение:

Задача7. Угол поворота диска радиусом см  изменяется со временем по закону . Определить зависимости от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек диска.

Решение: угловая скорость – производная угла:

Угловое ускорение – производная угловой скорости:

Линейная скорость:

Задача 8.  Точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением рад/. Найти угол между скоростью и ускорением  через 1 с после начала движения. Начальная скорость точки равна 0.

Решение: так как тангенциальное ускорение и линейная скорость совпадают по направлению, то определим обе составляющие ускорения: как нормальную, так и тангенциальную. Угол между полным ускорением и его тангенциальной составляющей можно тогда будет найти через функцию тангенса.

Известно, что нормальное ускорение  , тангенциальное ускорение . При этом , или . Тогда

Искомый угол:

Ответ:

Задача 9. Два концентрических колеса радиусами см и см вращаются с угловыми скоростями рад/c и рад/с соответственно. Между ними зажато третье колесо так, как показано на рисунке. Какова угловая скорость этого колеса вокруг собственной оси?  Проскальзывания нет.

Решение: определим радиус маленького (третьего) колеса, м:

Определим линейную скорость точек первого колеса:

Определим линейную скорость точек второго колеса:

Найдем угловую скорость маленького колеса, зная, что линейная скорость его точек равна линейной скорости больших колес, так как проскальзывания нет:

Ответ: 20 рад/с

Задача 10. Гайку закручивают на болт за время . Длина болта , резьба составляет угол с плоскостью гайки. Найдите угловую скорость гайки, если радиус болта равен .

Решение: при закручивании гайка не только вращается, но и движется вдоль болта поступательно, например, спускается вниз. Поэтому точка, взятая на ребре гайки, будет обладать двумя составляющими скорости: скорость, с которой она будет двигаться вниз вдоль болта (назовем ее ) и скорость, с которой эта точка вращается – это уже знакомая нам линейная скорость (). Тогда .

Из рисунка видно, что

С другой стороны, так как длина болта , а гайка спускается по нему за время , то

Тогда

И можно определить :

Тогда

Ответ: