Как найти скорость выполнения работы

2-й способ решения — без таблицы

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.

Во-первых, сравним формулы:

Движение	Работа
( displaystyle v=frac{S}{t})	( displaystyle P=frac{A}{t})
Скорость движения	Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь	Выполненная работа
Потраченное на движение время	Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Пример №1

Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.

Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Как решать задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример №2

Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).

За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Придумал?

Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).

Итак,

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):

( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 8

На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?

Решение:

Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).

Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).

Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).

( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.

То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).

Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:

Цели:

• сформировать представление о величине
  «производительность», выявить зависимость между
  величинами: объем выполненной работы (А),
  производительность (V) и время (t), построить
  формулу работы А = V * t, V = A : t, t = A : V.
• повторить и закрепить решение примеров на
  порядок действий, соотношение между единицами
  дины, времени, массы.

ХОД УРОКА

I.

– Кто из Вас знает, кем работают ваши родители и
на каком предприятии они трудятся?
– А кто из Вас знает пословицы о труде?

• Работа силушку копит, а лень ее топит.
• Под лежачий камень вода не течет.
• Трудолюбив, как муравей.
• Не спеши языком, торопись делом.
• Кто мало говорит, тот много делает.
• Без труда не вытащишь рыбку из пруда.
• Рабочие руки не знают скуки.
• Дело мастера боится.
• Всякое умение трудом дается.
• Без труда нет добра.
• Без труда день годом станет.
• Горька работа, да сладок мед.

II. Актуализация знаний

(На доске таблица и формулы. Дети придумывают
задачи и решают устно)

– Найдите среди формул те, которые показывают,
как найти неизвестные значения пути, скорости и
времени. (Формулы выставляются на доске и
комментируются)
– А зачем вообще нужны формулы? (Показывают,
как решать похожие между собой задачи).
– Подберите формулы для решения первой задачи.
(S = V * t)
– Придумайте по этой формуле задачу, аналогичную
первой задачи.
– Запишите формулу, подходящую к задаче: «Один
всадник проскакал 70 км за 2 ч, а второй – 90 км за 3
ч. Какой из них скакал быстрее?» (V = S: t)
– Решите эту задачу, пользуясь формулой.
(1. 70 : 2 = 35 (км/ч) – скорость первого всадника.
2. 90 : 3 = 30 (км/ч) – скорость второго всадника.
3. 35 км/ч > 30 км/ч => 1 всадник скакал быстрее)

III. Постановка проблемы

– Подберите формулу к задаче: «Один мастер
сделал 2 детали за 4 часа, а  второй – 21 деталь
за 3 часа. Кто из них работал быстрее?» (Подходящей
формулы среди данных нет)
– Сформулируйте цель урока –
установить, какие величины описывают процесс
выполнения работы, и установить взаимосвязь
между ними.
– Тема урока – Формула работы.

IV. «Открытие» детьми нового знания.

– О каких величинах идет речь в последней
задаче – о площади, объеме, пройденном пути? (Нет.
В задаче говориться о количестве деталей,
сделанных рабочими, о скорости и времени их
работы).
– Как найти скорость работы мастеров? (Надо
количество сделанных деталей разделить на время
работы).
– Скорость работы называют производительностью
и обозначают (V), всю выполненную работу – А, время
работы – t.
– Попробуйте установить взаимосвязь между этими
величинами. (А = V * t, V = A : t, t = A : V)
– Теперь, зная формулу работы, давайте решим
задачу.

V = A : t
1. 24 : 4 = 6 (дет./ч) – производительность первого
мастера.
2. 21 : 3 = 7 (дет./ч) – производительность второго
мастера.
3. Второй мастер работал быстрее.

Практическая работа на производительность

– Решите устно в течение 2 минут следующие
уравнения.

9 + х =
12                              
х – 27 =
8                    5
* х = 25
8 * х =
480                            
52 : х =
13                   420
: х = 7
40 – х =
12                            
х : 19 =
4                     800
+ х = 823
90 : х =
5                               
34 – х =
17                  х
– 36 = 15
х * 50 = 250   
           
           18 + х =
110               х
– 25 = 118

– Давайте проверим количество правильных
ответов и вычислим производительность каждого
из вас.
– Как это сделать? (Количество верных ответов
разделить на 2).
– А какая у вас производительность за урок? (То
что получилось умножить на 45 минут).

Закрепление понятия «производительность»

• С. 44, №1

V. Первичное закрепление

• С.44, №2
• С. 44, №3
• С.44, №4 (а)

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой
по эталону

• С.44, №4 (б).

VII. Закрепление пройденного

• С.45, №10 (а)

VIII. Итог

– Что сегодня на уроке было самым интересным?
– Что сегодня на уроке было главным?
– Где нам могут пригодиться эти знания?
– Какую поговорку выберем своим девизом?

IX. Домашнее задание

• С.44, №5 и №7

Приложение 1

гречиху фасуют два дозатора. В один дозатор засыпают (200) кг гречихи, и он расфасовывает крупу в пакеты за (20) мин. В другой засыпают (330) кг, и он расфасовывает крупу за (30) мин. Какой из дозаторов работает быстрее?

Сначала найдём, скорость каждого дозатора.

Эту задачу можно представить в виде таблицы:

Значит, работает быстрее второй дозатор.

Текстовые задачи на работу

В текстовых задачах на работу присутствуют такие характеристики как время и производительность – это количество работы, которую выполняют за единицу времени. Также есть такое понятие как работа – общее выполненное количество.

Эти характеристики объединятся следующей формулой:

(A = t bullet P)

где (A) – это проделанная работа, (t) – время, потраченное на её выполнение, (P) – скорость выполнения работы.

Пример №1:

Рабочие на кондитерской фабрике производят 25 коробок конфет в день. Сколько коробок конфет будет произведено через 3 дня работы?

• Используем формулу производительности. Если каждый день делать по 25 коробок, а таких дня у нас 3, тогда всего будет сделано:

( A = t bullet P = 3 bullet 25 = 75 коробок)

Ответ: 75 коробок.

Пример №2:

За 5 дней работы рабочие на заводе произвели 35 деталей для автомобилей. Сколько деталей в день изготавливалось на заводе?

• Для того, чтобы найти производительность, зная работу и время, нужно поделить работу на время:

(P = A : t = 35 : 5 = 7 деталей/день)

Ответ: 7 деталей в день.

ЗАДАЧИ НА ОБЩУЮ РАБОТУ

Рассмотрим ещё 2 задачи. Они похожи друг на друга, но имеют некоторые различия.

Пример №3:

Для производства инструментов нужно сделать 600 деталей. Первый завод сделает эту работу за 10 дней, а второй завод за 15. За сколько дней будут готовы все детали, если их будут делать сразу два завода?

1. Мы знаем работу и время производства деталей в первом заводе. Найдем их производительность:

(P_{1} = 600:10 = 60 деталей в день делает первый завод)

1. Также найдем производительность для второго завода:

(P_{2} = 600 : 15 = 40 деталей в день делает второй завод)

1. Тогда за один день два завода вместе сделают:

(P_{общ} = 60 + 40 = 100 деталей в день)

Это производительность является общей для заводов.

1. С такой производительностью они сделают 600 деталей за:

(t_{общ} = 600 :100 = 6 дней)

Мы узнали, за какое время заводы сделаю 600 деталей, если каждый день будут работать вместе. Запишем ответ.

Ответ: 6 дней.

Пример №4:

Первый завод сделает 600 деталей за 10 дней, а второй завод за 15. За сколько дней будут готовы 900 деталей, если их будут делать сразу два завода?

1. Аналогично найдем общую производительность заводов:

(P_{1} = 600:10 = 60 деталей в день делает первый завод)

(P_{2} = 600 : 15 = 40 деталей в день делает второй завод)

(P_{общ} = 60 + 40 = 100 деталей в день)

1. Но это еще не все. Нас спрашивают, за сколько дней будут готовы 900 деталей. Найдем это время:

(t_{общ} = 900 : 100 = 9 дней)

Ответ: 9 дней.

Для решения задач на совместную работу используются уравнения и системы уравнений. Применение уравнений для решения задач в 4 классе является дискуссионым, однако часто без них никак.

Задачи на совместную работу многообразны. Это могут быть и бригады рабочих, выполняющие одну и ту же работу, и трубы, наполняющие бассейн и выводящие из него воду, землекопы, копающие траншеи и пр.

Принципы решения задач на совместную работу схожи с принципами решения задач на движение. В задачах на движение путь — это произведение скорости на время.

В задачах на совместную работу аналогом пройденного пути выступает объём сделанной работы, который вычисляется как скорость производства чего бы то ни было (скорость наполнения воды в бассейне, копания канавы и пр.), умноженная на время.

В задачах на движение скорости двух объектов, движущихся навстречу друг другу, складываются, а в случае, когда один объект догоняет другой, то скорость сближения определяется как разность скоростей двух объектов.

Аналогично в задачах на совместную работу скорости выполнения работ — если это работа в одно направлении, складываются, и вычитаются, если это работы в противоположном направлении. Например, если две трубы заполняют бассейн с определённой скоростью, то для вычисления времени, за который бассейн будет заполнен двумя трубами, надо сложить скорости заполнения каждой из труб — этот случай аналогичен движению объектов навстречу друг другу (у них одна цель, т.е. они делают одну и ту же работу).

Если же у нас из одной трубы в бассейн втекает объём воды с определённой скоростью, а из другой трубы вытекает с другой (меньшей) скоростью, то для нахождения времени заполнения бассейна нам надо из скорости первой трубы вычесть скорость второй трубы. Это аналогично случаю, когда более быстрый объект догоняет более медленный. У них разные цели — один хочет оторваться от преследования, второй хочет его догнать, и их скорости вычитаются. Точно так же у двух труб разные цели — одна хочет бассейн наполнить, а вторая опустошить.

Рассмотрим конкретные примеры.

Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС

Задача 1

2 трубы наполняют бассейн. Одна со скоростью 5 литров в минуту, вторая со скоростью 10 литров в минуту. Объём бассейна 300 литров. За какое время две трубы наполнят бассейн?

Решение

Две трубы делают одну и ту же работу, поэтому для нахождения суммарной скорость их работы надо сложить скорость наполнения бассейна первой трубой со скоростью наполнения второй трубой.

V = 5 + 10 = 15 л/мин.

Объём бассейна нам известен — 300 л. Следовательно, для того, чтобы найти, за какое время он будет наполнен, надо объём бассейна разделить на скорость наполнения, которую мы только что нашли.

t = 300 / 15 = 20 минут.

Ответ: бассейн наполнится за 20 минут

Задача 2

В изначально пустой бассейн объёмом 400 литров поступает вода из трубы со скоростью 30 литров в минуту. Из второй трубы меньшего диаметра вода вытекает из бассейна со скоростью 20 литров в минуту. За какое время наполнится бассейн?

Решение

В данном случае трубы выполняют противоположную работу, поэтому для нахождения итоговой скорости работы надо из большей скорости вычесть меньшую скорость.

V = 30 — 20 = 10 л/мин

10 л/мин — это итоговая скорость наполнения бассейна. Если у нас за одну минуту в бассейн вылилось 30 литров воды, и за эту же минуту 20 литров вытекло из него, то осталось всего 10 литров — это и есть скорость наполнения.

Время заполнения бассейна водой мы находим аналогично первой задаче:

t = 400/10 = 40 мин.

Ответ: бассейн заполнится за 40 минут

Задача 3

Первая бригада может выполнить задание за 36 ч, а вторая бригада может выполнить то же задание за 18 ч. За сколько часов это задание выполнят две бригады при совместной работе?

Решение. 1 способ — с помощью дробей

В старших классах такая задача решается просто с помощью дробей.

Примем всю работу за единицу, тогда за 1 ч первая бригада выполняет 1/36 работы, а вторая бригада за 1 час сделает 1/18 работы. При совместной работе за 1 ч две бригады выполняют всей работы, поэтому всю работу они выполнят

всей работы. Таким образом, если за 1 час выполняется 1/12 всей работы, то вся работа целиком будет сделана за 12 часов.

Ответ: 12 часов

Решение. 2 способ — по действиям без дробей

Если первая бригада всю работу делает за 36 часов, то мы можем представить, что работа состоит из 36 частей, каждая из которых равна 1 часу.

1. Определим, какую часть работы делает за 1 час первая бригада.

Для этого разделим общее количество частей, из которых состоит работа, на то время, за которое первая бригада делает всю работу

36:36 = 1 часть

2. Определим, какую часть работы делает за 1 час вторая бригада.

Делаем как в первом действии

36:18 = 2 части.

3. Найдём, сколько частей работы делают за один час две бригады в месте

2 + 1 = 3 части

4. Найдём, за какое время обе бригады сделают всю работу.

Для этого общее количество частей (36) разделим на суммарную скорость работы двух бригад, т.е. 3 части в час.

36:3 = 12 часов.

Как видим, при решении вторым способом мы получили тот же ответ, что и при решении с помощью дробей.

Ответ: 12 часов

Одна труба может наполнить бассейн водой за 12 часов, а другая — за 20 часов. За какое время бассейн будет наполнен водой, если две трубы будут работать одновременно?

Решение

В 4-м классе дети дробей ещё не знают, поэтому задачу надо решать через части.

Итак, нам надо всю работу обозначить каким-то количеством частей, и далее, исходя из этого, определить скорость работы труб в частях.

Наиболее простой способ определения количества частей — перемножить 12 на 20 и получить 240 частей. В этом случае скорость работы первой трубы — 20 частей в час (12 — это 1/20 от 240), а скорость второй трубы — 12 частей в час (20 — это 1/12 от 240).

Суммарная скорость работы двух труб: 20+12 = 32 части в час.

Чтобы найти время, за которое наполнится бассейн, надо 240 поделить на 32. Дробных чисел дети в 4-м классе ещё не знают, поэтому поделим нацело 240 на 32 и найдём частное и остаток:

240:32 = 7 остаток 16.

16 — это половина от 32

Суммарная скорость двух труб — 32 части в час, значит 16 частей бассейна заполняются за полчаса, то есть 30 минут.

Ответ — 7 часов 30 минут.

Общее количество частей можно определить не путём перемножения времени работы первой трубы на время работы второй, а путём нахождения наименьшего общего кратного (НОК) этих двух чисел.

Для 12 и 20 НОК равен 60. 60 — наименьшее число, которое без остатка делится и на 12 и на 20.

Таким образом, если вся работа — 60 частей, то

скорость первой трубы — 60:12 = 5 частей в час

скорость второй трубы — 60:2- = 3 части в час.

Суммарная скорость двух труб: 5+3 = 8 частей в час.

Теперь для нахождения времени заполнения бассейна нам надо 60 поделить на 8.

60:8 = 7 остаток 4.

Суммарная скорость двух труб — 8 частей в час, значит 4 части бассейна заполняются за полчаса, то есть 30 минут.

Таким образом, общее время наполнения бассейна — 7 часов 30 минут. Мы получили то же самое время, что и в первом способе, когда у нас вся работа состояла из 240 частей.

Ответ: 7 часов 30 минут

Задача 5

За пять недель пират Ерёма

Способен выпить бочку рома

А у пирата, у Емели

Ушло б на это две недели.

За сколько дней прикончат ром

Пираты, действуя вдвоём?

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

Решение

Эту задачу можно решить через дроби. 5 недель — это 35 дней, 2 недели — 14 дней, далее нужно 1/35 (скорость выпивания бочки в день пирата Ерёмы) сложить с 1/14 (скорость Емели), привести дроби к общему знаменателю, получить суммарную скорость в 1/10, и, соответственно, ответ в 10 дней.

Но можно решить эту задачу и без использования дробей.

Аналогично предыдущей задачи про бассейн, выразим всю работу в частях, при этом так, чтобы это число делилось без остатка и на 35 и на 14.

Наименьшее число, которое делится без остатка и на 35 и на 14 — это 70. (Если мы испытываем сложности с нахождением минимального числа, то всегда можно перемножить 35 на 14 и получить 490).

Итак, всю бочку рома мы приняли равной в 70 частей. Акцентирую ваше внимание, что мы вместо 70 могли бы взять любое другое количество частей — это не повлияло бы на логику решения задачи, но, т.к. в 4-м классе дети не умеют работать с дробными числами, то мы берём то число частей, которое без остатка делится на скорость работы всех работников, которые есть в условии задачи. В нашем случае работники — это два пирата, работа которых заключается в выпивании рома.

Таким образом, если Ерёма выпивает всю бочку за 35 дней, то его скорость это

70:35 = 2 части в день

Скорость Емели, который ту же бочку выпивает за 14 дней:

70:14 = 5 частей в день.

Суммарная скорость выпивания рома Ерёмы и Емели — 5 + 2 = 7 частей в день.

Таким образом, если весть объём рома — это 70 частей, а оба пирата за день выпивают 10 частей, то весь ром они выпьют за

70:7 = 10 дней.

Ответ: 10 дней.

Задача 6

Два оператора могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 4 ч, а второй 12 ч, то они выполнят всю работу. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Решение

введём обозначения

x — объём текста, который в час печатает первый оператор

y — объём текста, который в час печатает второй оператор

С одной стороны, весь объём работы можно выразить как

8x + 8y (два оператора набирают текст за 8 часов).

С другой стороны, этот же объём работы:

4x + 12y

Т.к. это одинаковые объёмы работы, то составим уравнение:

8x + 8y = 4x + 12y

8x — 4x = 12y — 8y

4x = 4y

x = y

Отсюда делаем вывод, что операторы работают с одинаковой скоростью.

Рассмотрим случай, когда первый оператор будет работать 4 ч, а второй 12 ч.

Вот схема их работы:

Первые 4 часа оба оператора работают вместе, и за это время они сделают половину всей работы (т.к. работая вместе 8 часов, они сделают всю работу).

После 4 часов работы первый оператор прекращает работать и продолжает работать второй оператор. Всего он по условию задачи работает 12 часов — то есть ещё 8 часов после того, как прошли первые 4 часа.

И если за первые 4 часа сделана половина работы, то оставшиеся 8 часов работы второго оператора — это вторая половина работы.

То есть второй оператор половину работы делает за 8 часов, и, следовательно, всю работу он сделает за 16 часов. Как мы уже выяснили ранее, скорости работы операторов равны, поэтому первый оператор также всю работу выполнит за 16 часов.

Ответ: и первый и второй оператор всю работу по отдельности выполнят за 16 часов.

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

Задача 7

Первая труба наполняет резервуар объемом 180 литров, а вторая труба наполняет резервуар объемом 120 литров. При этом известно, что одна из труб пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем другая. Необходимо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуары полностью заполняются за одинаковое время.

Решение

Как мы уже говорили в начале этого урока, принципы решения задач на совместную работу схожи с принципами решения задач на движение.

Рассматриваемая задача схожа с задачами на движение, в которых один объект догоняет другой. Напомню, что в таких задачах, если у нас известно первоначальное расстояние между двумя объектами, и скорости этих объектов, то время, за которое второй объект догонит первый, рассчитывается как первоначальное расстояние, поделённое на скорость сближения объектов, где скорость сближения — разница между скоростью догоняющего объекта и догоняемого.

В этой задаче про два резервуара известно, что они наполняются за одинаковое время, хотя их объёмы разные. То есть скорость наполнения первого, более большого резервуара, очевидно выше, чем скорость наполнения второго, меньшего по объему. Разница между скоростями наполнения известна — 1 литр в минуту.

Таким образом, если проводить аналогии с задачами на движение, где один объект догоняет второй, мы можем сказать, что скорость догона в нашем случае — это тот самый 1 литр в минуту, а первоначальное расстояние между объектами — это разница в объёмах двух резервуаров, то есть 180-120 = 60 л. И чтобы найти, за какое время один объект догонит другой — то есть в нашем случае, когда они полностью заполнятся, надо разницу в объёмах разделить на разницу в скоростях заполнения.

То есть 60/60 = 1 час.

1 час равен 60 минутам.

По условию задачи нам надо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба.

Для этого объём первого резервуара надо поделить на время, за которое он полностью заполняется.

То есть 180 литров /60 минут = 3 литра в минуту.

Ответ: скорость первой трубы — 3 литра в минуту.

Мы понимаем, что приведённые при решении этой задачи рассуждения могут показаться неочевидными. Для того, чтобы вы могли убедиться, что данная методика является верной, проиллюстрируем её на примере с меньшими цифрами.

Пусть у нас есть два бака, один объёмом 15 литров, второй объёмом 18 литров. Первый наполняется со скоростью 5 литров в минуту, а второй — со скоростью 6 литров в минуту.

Несложно подсчитать, что время заполнения у них будет одинаковое — 3 минуты (15:5 = 3, 18:6 = 3).

Эти же три минуты можно получить по другому:

Разница в объёмах баков — 3 литра (18- 15 = 3). Разница в скоростях наполнения — 1 литр в минуту (6 — 5 = 1).

Соответственно, время, за которое второй, более объёмный бак, «догонит» первый, меньший по объёму, составляет 3:1 = 3 минуты.

Проиллюстрируем это на рисунке.

На горизонтальной шкале отложим объём — от нуля до 18 литров.

Для первого бака, который объёмом 15 литров, отсчёт будем вести от отметки в 3 л и до 18 л. То есть как будто бы его объём тоже 18 литров, но на три литра он уже заполнен, и осталось заполнить 15 литров.

Таким образом отметка в 3 литра — это первоначальное «расстояние» между двумя баками.

После первой минуты первый бак заполнился на 5 литров, и мы рисуем синюю полоску от отметки 3 л до отметки 8 л. Второй бак заполнился на 6 литров, и мы рисуем синюю полоску от 0 до 6 л. Таким образом, за первую минуту разница в объёмах воды в двух баках («расстояние» между ними) сократилось с первоначальных 3 литров до 2 литров.

После второй минуты первый бак заполнился ещё на 5 литров (итого за 2 минуты на 10 литров), и мы рисуем синюю полоску от отметки 3 литра до отметки 13 литров. Второй бак заполнился ещё на 6 литров (итого на 12 литров за 2 минуты), и мы рисуем синюю полоску от отметки 0 до 12 литров. Разница в объёмах воды в баках сократилась с 2 литров до 1 литра.

После третьей минуты первый бак заполнился ещё на 5 литров (итого за 3 минуты на 15 литров), и мы рисуем синюю полоску от отметки 3 литра до финальной отметки 18 литров. Второй бак заполнился ещё на 6 литров (итого на 18 литров за 3 минуты), и мы рисуем синюю полоску от отметки 0 до 18 литров. Разница в объёмах воды в баках сократилась с 1 литров до нуля. Оба бака заполнились полностью.

Таким образом, из данного рисунка следует, с каждой минутой разница в объёмах воды в баках сокращается ровно на величину, равную разнице скоростей наполнения баков.

Поэтому применённая нами формула для решения этой задачи, согласно которой время наполнения — это разница в объёмах резервуаров, делённая на разницу скоростей, является рабочей.