Как найти сложение векторов по координатам

Сложение векторов

Формула

Чтобы складывать вектора нужно найти суммы соответствующих координат данных векторов. Например, пусть есть векторы на плоскости $ overline{a} = (x_1;y_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2) $, тогда их сумму можно найти по формуле: $$ overline{a}+overline{b} = (x_1+x_2;y_1+y_2)$$

Если векторы заданы в пространстве тремя координатами $ overline{a} = (x_1;y_1;z_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2;z_2) $, то выполнить сложение нужно по другой формуле:

$$ overline{a}+overline{b} = (x_1+x_2;y_1+y_2; z_1+z_2) $$

При сложении первая координата первого вектора складывается с первой координатой второго вектора, вторая координата первого вектора складывается со второй координатой второго вектора и так далее в зависимости от размерности векторов. Стоит отметить, что складывать векторы можно только одинаковой размерности.

Примеры решений

Пример
Даны два вектора $ overline{a} = (1,3) $ и $ overline{b} = (2,4) $. Нужно сложить два вектора.
Решение

Итак, как складывать вектора по координатам? К первой прибавляем первую, вторую ко второй:

$$ overline{a}+overline{b} = (1+2;3+4) = (3;7) $$

В этой задаче векторы заданы в двумерном пространстве и имеют только две координаты. Если бы координат было бы три, то применять нужно вторую формулу для трехмерной задачи.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ overline{a}+overline{b} = (3;7) $$

Определение и обозначение вектора

Вектор в геометрии — это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом. В некоторых учебниках вектор могут называть направленным отрезком.

Вектор обозначается одной строчной буквой латинского алфавита или двумя заглавными со стрелкой (в некоторых случаях — прямой линией) сверху.

Обозначение вектора

Интересно, что порядок букв в названии вектора имеет значение! Первая буква отвечает за начало вектора, а последняя — за его конец. Поэтому

и

— абсолютно разные векторы.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Альтернативный текст для изображения

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Реши домашку по математике на 5.

Виды векторов

Во-первых, векторы бывают коллинеарными и неколлинеарными.

Коллинеарные и неколлинеарные векторы

Коллинеарными называют те векторы, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых. На рисунке

и

и

являются коллинеарными, а

и

относительно друг друга — нет.

Виды векторов

Векторы различаются и по направлению. Если векторы уже являются коллинеарными, они могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Сонаправленные векторы обозначаются так:

Если же они противоположно направлены, мы можем записать это следующим образом:

Равными являются те векторы, которые одновременно и коллинеарны, и сонаправлены, а также имеют одинаковую длину.

Нулевой вектор — вектор, длина которого равна нулю. Чаще всего его обозначают так:

Он считается коллинеарным любому вектору.

Иногда в геометрии вводят дополнительные понятия, рассмотрим и их:

  • Закреплённый вектор — отрезок с упорядоченными концами: если С — точка начала вектора, а Е — точка конца, тогда

    (это то, что мы понимаем под обычным вектором в школьной геометрии).

  • Свободный вектор — вектор, начало и конец которого не закреплены. Его можно перемещать как вдоль прямой, на которой он находится, так и параллельно этой прямой. По сути под свободным вектором понимают множество закреплённых векторов.

Сложение и вычитание векторов

Действия с векторами описываются и в алгебре, и в геометрии. Сегодня мы рассмотрим способы, благодаря которым можно сложить и вычесть векторы, не зная их координат.

Сложение: метод треугольника

Представим, что в пространстве заданы векторы

и

которые нам необходимо сложить. Эта задача особенно актуальна для физиков, поскольку такие векторные величины, как сила, часто приложены к одному и тому же телу. В таком случае возникает вопрос: а как же рассчитать результирующее действие всех этих сил?

В этом на помощь физикам приходит математика — царица наук! Чтобы сложить два вектора, необходимо:

  1. Отложить начало одного вектора от конца другого.

  2. Вектор их суммы будет совпадать с вектором

    , который соединяет начало вектора

    с концом вектора

Сложение векторов методом треугольника

Сложение: метод параллелограмма

Сложение векторов методом параллелограмма

Сложить векторы можно и по-другому, используя метод параллелограмма:

  1. Совместим между собой начала

    и

  2. Отложим от конца

    вектор, равный

  3. Отложим от конца

    вектор, равный

  4. Благодаря пунктам 2 и 3 мы получили параллелограмм (четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны).

  5. Проведём диагональ параллелограмма между

    и

    на которой будет лежать вектор, равный сумме

    и

Задача решена, вы великолепны!

Обратите внимание

Как метод параллелограмма, так и метод треугольника подразумевает перемещение векторов в пространстве: мы или совмещаем их начала, или откладываем от конца одного вектора начало другого. Получить сумму векторов, не имеющих общей точки, с этими методами не представляется возможным.

Сложение: метод многоугольника

А что если векторов больше, чем два? На эту проблему математика уже подготовила решение: воспользуемся расширенным методом треугольника, который получил название «метод многоугольника».

Согласно этому методу мы последовательно совмещаем конец и начало векторов, а после изображаем суммирующий вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего. Лучше всего рассмотреть это на чертеже:

Сложение векторов методом многоугольника

Вычитание векторов

Продолжаем проделывать с векторами всевозможные действия, на этот раз вычитание. Математики знают, что вычитание — это по своей сути то же сложение, но с обратным числом.

С векторами работает та же штука: вместо вычитания попробуем прибавить вектор, противоположно направленный исходному:

Изобразим разность векторов с помощью уже знакомого нам правила треугольника:

Вычитание векторов. Рисунок 1

Боитесь запутаться в векторах сонаправленных и противоположно направленных?
Существует отдельное правило для их вычитания:

  1. Отложим один вектор от начала другого.

  2. Тогда вектор их разности совпадает с вектором, начало которого совмещено с концом вычитаемого вектора, а конец — с концом уменьшаемого.

Вычитание векторов. Рисунок 2

Этот метод схож и с методом параллелограмма, но в этом случае мы берём другую диагональ.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Для выполнения остальных действий с векторами нам необходимо поместить их в такую систему координат, чтобы можно было
определить их положение относительно друг друга. Для этого используют декартову систему координат, которой можно
пользоваться как на плоскости с осями X и Y, так и в пространстве с осями
X, Y, Z.

Тогда, если

находится на плоскости, его координаты можно выразить как

если в пространстве

Базисные векторы — это векторы, каждый из которых направлен вдоль своей оси координат, в трёхмерном пространстве их обозначают

Базисные векторы

Любой вектор в трёхмерном пространстве можно разложить по трём базисным векторам.

с координатами

можно записать так:

Умножение вектора на число

Представьте, что нам необходимо растянуть вектор в два раза или же сжать, но уже в три. За все эти действия отвечает
одна простая задача: умножение вектора на число.

Для того чтобы увеличить или уменьшить вектор в некоторое количество раз, необходимо умножить все координаты вектора
на это число.

Таким образом, если

задан координатами

то

Кстати, подобным образом можно перевернуть вектор, направив его в противоположную сторону:

Длина вектора

Длина вектора — одно из основных понятий в этом разделе. И неудивительно, ведь она характеризует его протяженность в
пространстве и выражается числом.

Итак, длина вектора — это расстояние между его началом и концом. Её часто называют модулем, что
отражается и в обозначении. Если нам необходимо найти длину

мы так и запишем:

Длину вектора можно найти разными способами, вот основные:

  1. через координаты вектора;

  2. через координаты точек начала и конца вектора;

  3. через теорему косинусов.

Давайте вместе разберём все методы!

Длина вектора через его координаты

Если

задан через координаты

то его длину можно найти как

Почему мы можем быть уверены, что эта формула правильная? Рассмотрим вектор

в декартовой системе координат.

Длина вектора через его координаты

Отложим вектор

от точки

с координатами

Тогда этот вектор можно назвать

, и так как мы строили его из
начала координат, координаты вектора могут быть найдены как

Рассчитаем длину

через теорему Пифагора:

Задача 1

Посчитайте, чему равен модуль

, если его координаты

Решение:

Модуль вектора — это его длина, а значит,

Задача 2

Длина

Чему равна координата по оси

, если координата по оси

Решение:

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Для начала давайте вспомним, как задать координаты вектора через координаты его начала и конца.

Длина вектора через координаты точек начала и конца. Рисунок 1

Рассмотрим

где

и

Тогда координаты вектора можно выразить так:

Мы уже знаем, как найти длину вектора через его координаты, поэтому подставим полученное выражение в формулу:

Задача 3

Найдите длину

если

и

Решение:

Задача 4

Длина вектора через координаты точек начала и конца. Рисунок 2

Рассчитайте координату по

точки

вектора

, если его длина равна

а

Решение:

Остановимся здесь и подставим известные числа в формулу:

или

Длина вектора через теорему косинуса

К сожалению, в задачах не всегда даны координаты точек вектора или его самого. В таком случае мы воспользуемся
теоремой косинуса.
Давайте вспомним её формулировку.

Длина вектора через теорему косинуса. Рисунок 1

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

Эту теорему можно применить и в векторной форме. Немного изменим рисунок:

Длина вектора через теорему косинуса. Рисунок 2

Тогда, чтобы найти длину

, необходимо знать (или иметь возможность вычислить) длины

и

, знать угол между ними, а также уметь рассчитать произведение длин этих векторов.

Задача 5

Длины

и

равны 4 и 6 соответственно, а угол между ними равен

Вычислите длину

Решение:

Задача 6

Рассчитайте модуль вектора

в треугольнике, если длина

= 8, длина

= 10, а угол между ними равен

Решение:

Длина вектора через теорему косинуса. Рисунок 3

Скалярное произведение векторов

Мы практически дошли до финала нашего путешествия по царству векторов. 👑 Нам осталось изучить только скалярное
произведение векторов. Что это?

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то
есть число,
которое не зависит от выбора системы координат.

Скалярным произведением

и

будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на
косинус угла между ними:

Вспомним, что в той же физике величины делятся на скалярные (не имеющие направления, например, масса) и векторные
(имеющие направление, например, сила, ускорение, скорость). В математике под вектором подразумевают направленный
отрезок, а понятие скаляра хоть и не равно, но очень близко к понятию числа.

Скалярное произведение показывает, насколько синхронизированы, скоординированы направления векторов. Так, чем больше
угол между векторами, тем меньше согласованности, а значит, скалярное произведение будет уменьшаться с ростом угла:

  • Скалярное произведение вектора на само себя равно квадрату его модуля:

    В данном случае значение скалярного произведения является наибольшим из
    возможных.

  • Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, так как

    Скалярное произведение векторов. Рисунок 1

  • Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0, так как

    Скалярное произведение векторов. Рисунок 2

  • Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как

    Скалярное произведение векторов. Рисунок 3

  • Cкалярное произведение вектора на противоположно направленный ему вектор равно отрицательному произведению их
    длин
    . В данном случае значение скалярного произведения является наименьшим из возможных.

    Скалярное произведение векторов. Рисунок 4

Конечно, вы можете возразить: «Согласованность направлений отлично показывает угол, для чего нам эти сложные
вычисления?». А всё дело в том, что в пространстве порой очень сложно измерить угол, а вот посчитать скалярное
произведение — просто, особенно если рассмотреть его через координаты.

Если

выражен координатами

а

то скалярное произведение этих векторов описывается формулой:

В пространстве скалярное произведение через координаты векторов будет задаваться так:

Где применяется скалярное произведение? Благодаря ему выполняется большое количество математических операций, таких
как нахождение угла между векторами и любых расстояний, если они заданы через координаты. Благодаря скалярному
произведению можно описать даже характеристику криволинейных поверхностей, но это мы обсудим как-нибудь в другой
раз. 🙂

Чтобы закрепить пройденный материал, нужно больше, чем пара заданий. Поэтом приглашаем на онлайн-уроки математики в
школу Skysmart. За короткое время благодаря особенной платформе и учителям-профессионалам вы сможете улучшить
школьные отметки, подготовиться к экзаменам и олимпиадам, и самое главное — понять и полюбить математику.

Содержание:

Определение: Вектором называется направленный отрезок прямой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где А начало, а В конец вектора.

Замечание: Векторы в основном обозначают одной прописной буквой латинского алфавита со стрелочкой (или черточкой) наверху Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Определение: Если начало и конец вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не закреплены, то он называется свободным.

Замечание: Свободный вектор можно перемещать как вдоль его прямой, так и параллельно самому себе.

Определение: Если зафиксирована точка, которая определяет начало вектора, то она называется точкой приложения вектора.

Определение: Длиной (модулем) вектора а называется расстояние от его начала до его конца: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение: Векторы называются коллинеарными (Рис. 1), если они лежат на одной прямой или в параллельных прямых.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис.1. Коллинеарные векторы.

Определение: Векторы называются компланарными (Рис. 2), если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис.2. Компланарные векторы.

Определение: Два коллинеарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются равными, если они со-направлены и имеют одинаковую длину.

Определение вектора и основные свойства

Многие величины, например, масса, длина, время, температура и др. характеризуются только числовыми значениями. Такие величины называются скалярными величинами. Некоторые же величины, например, скорость, ускорение, сила и др. определяются как числовыми значениями, так и направлением. Такие величины называются векторными величинами. Перемещение — самый простой пример векторных величин. Перемещение тела из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения изображается с помощью направленного от Вектор - определение и основные понятия с примерами решения до Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отрезка — вектора. Вектор изображается с помощью направленного отрезка.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Длина этого отрезка, называется длиной или модулем вектора. Вектор обозначается указанием начальной и конечной точки. Например, вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, здесь Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — начало, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектора. Вектор обозначается также и маленькими буквами, например, вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Длину вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают, как: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Два вектора называется равными, если они равны по модулю и одинаково направлены. На рисунке векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

• Два вектора называются противоположными, если они равны по модулю и противоположно направлены.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположны: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Длина нулевого вектора равна 0, а направление не определено. Если направленные отрезки, изображающие векторы, параллельны или лежат на одной и той же прямой, то они называются коллинеарными векторами. Коллинеарные вектора могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Одинаково направленные вектора обозначаются как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а противоположно направленные Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунке векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения -коллинеарные векторы. Здесь Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Выражения вектора компонентами в координатной плоскости

Рассмотрим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на координатной плоскости. Конечная точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения относительно начальной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения изменила свое положение вдоль оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направо, при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения налево), вдоль оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вверх, при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вниз). Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, определенные (и по модулю, и по направлению) парами чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(как указано выше), являются компонентами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. На координатной плоскости вектор записывается как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Эта запись называется записью вектора с компонентами.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Равные векторы имеют равные компоненты. Наоборот, если, соответствующие компоненты векторов равны, то эти векторы равны. На рисунке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Если дан какой либо вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то выбрав любую точку плоскости как начало, можно построить вектор равный данному, причем только один. Значит, выбирая разные начальные точки можно построить бесконечно много векторов равных данному.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На координатной плоскости вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения с начальной точкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и конечной точкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения согласно координатам этих точек можно выразить с компонентами. Так как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Здесь Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются также координатами вектора.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Длина вектора

Длину вектора можно найти по координатам начальной у и конечной точек, используя формулу расстояния между точками.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Длину вектора данными с компонентами можно найти по формуле: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 1.

Напишите вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начальная точка которого Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, конечная Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение: Напишем вектор с компонентами: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 2.

Точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начальная точка вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Найдите координаты конечной точки этого вектора.

Решение: Примем за координаты конечной точки вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения: Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Конечная точка этого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 3.

В координатной плоскости нарисуйте несколько векторов равных вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начальными точками которых являются точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Решение: Данные точки отмечаются на координатной плоскости. Начиная с этих точек изображаются векторы равные Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 4.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно начальная и конечная точка вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Напишите этот вектор в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и найдите длину Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Направление вектора

В соответствии с областями применения существуют различные способы определения направления вектора. В повседневной жизни мы выражаем направление словами налево, направо, вниз, вверх или же восток, запад, север, юг. На координатной плоскости направление вектора определяется углом с положительным направлением оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения против часовой стрелки. Этот угол назовем углом наклона.

На рисунке длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначена Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а угол, определяющий направление, через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

длина вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

направление вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения или Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Иногда для простоты вектор изображается на плоскости только указанием положительного направления Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 1.

Вектор перемещения, модуль которого 200 м, направлен под углом наклона Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Выбрав масштаб 1 см : 100 м, нарисуйте этот вектор.

Решение: От начала луча, образующий с положительным направлением оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения угол в Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, соответственно масштабу 1 см : 100 м линейкой отложим отрезок длиной 2 см.

Пример 2.

Определите длину и угол наклона вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение: Произвольную точку на координатной плоскости примем за начало вектора. От этой точки по горизонтальной оси отложим компоненту Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, равную 3 единицам, по вертикальной оси отложим компоненту Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, равную 4 единицам, и построим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения как показано на рисунке. Если измерить транспортиром угол Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то можно увидеть, что его приближенное значение равно Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Это можно проверить вычислениями.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Длина вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Угол наклона: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сложение и вычитание коллинеарных векторов

Вектор, показывающий сумму одинаково направленных коллинеарных векторов называется результирующим. Его абсолютная величина равна сумме абсолютных величин данных векторов, а сам вектор имеет одинаковое направление с данными векторами.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Абсолютная величина результирующего вектора 2-х противоположно-направленных коллинеарных векторов равна разности абсолютных величин этих векторов, а направление совпадает с направлением вектора большего по абсолютной величине.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Выполним графически сложение векторов, соответствующее реальным жизненным ситуациям.

Задача 1.

Для того, чтобы достичь финиша, Джамиля должна пройти 3 знака. Если она пройдет 10 м на восток, то доберется до 1-го знака, потом пройдя 50 м вперед до 2-го знака и, пройдя в том же направлении еще 20 м, сможет добраться до финиша. Изобразите движение Джамили графически — векторами. Выберем масштаб:

1 см : 10 м и на числовой оси нарисуем векторы так, чтобы начало второго вектора совпало с концом первого, а начало третьего с концом второго.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Результирующий вектор обозначим через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Его длину можно выразить как: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Общее перемещение: 10 м + 50 м + 20 м = 80 м (на восток) Изображается вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения длиной 8 см согласно выбранному масштабу.

Задача 2.

Представьте, что вы прошли 100 м на восток, еще 200 метров на запад.

Нарисуем данные вектора в масштабе

По определению, модуль результирующего вектора равен разности модулей векторов. А направление будет на запад.

В этом случае длина результирующего вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

200 м 100 м = 100 м (на запад)

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположно направленные, а Вектор - определение и основные понятия с примерами решения их результирующий вектор. При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения одинаково направлен с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения одинаково направлен с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то есть сумма противоположных векторов равна Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектору.

Для того, чтобы найти разность Вектор - определение и основные понятия с примерами решения нужно к вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения прибавить вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, противоположный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

То есть выражения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения эквивалентные.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Жившие в XVII веке ученые-математики Рене Декарт и Пьер Ферма, взаимосвязывая алгебру и геометрию, создали новую область науки-аналитическую геометрию. Аналитическая геометрия, благодаря методу координат, позволила, с одной стороны, посредством алгебраических выкладок легко доказывать геометрические теоремы, а с другой стороны, в силу наглядности геометрических представлений упрощает решение задач над векторами.

Сложение векторов

Существуют различные способы сложения неколлинеарных векторов. Рассмотрим два графических способа. При сложении векторов графическим способом данные вектора и результирующий вектор, показывающий их сумму строятся с помощью линейки (модуль) и транспортира(направление).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектора можно складывать в любой последовательности. Переместительное свойство сложения верно и для векторов. По этому правилу можно складывать три и более вектора. Определим графическим способом вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Для этого: 1) нарисуем вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияпротивоположный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения 2) Вектор - определение и основные понятия с примерами решения переместим так, чтобы конечная точка вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадала с начальной точкой вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

3. Соединим начальную точку вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и конечную точку вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Это будет вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 1.

Джамал прошел от палатки, разбитой в лагере 60 метров на юг, 120 м на восток, еще 100 м на север и дошел до озера. Какое наименьшее расстояние от палатки до озера?

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Выберем масштаб: 1 см : 40 м

Движение Джамала изобразим последовательно соответствующими векторами по выбранному масштабу.

Начальную точку 1-го вектора, показывающего движение Джамала, соединим с конечной точкой 3-го вектора. Полученный результирующий вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выражает сумму векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Длина этого вектора приблизительно 126,4 метров, а направление под углом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Ответ: Озеро находится на расстоянии 126,4 м от палатки.

Правило параллелограмма

1. Даны вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2. Переместим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения так, чтобы начальные точки векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадали.

3. Построим параллелограмм со сторонами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения параллельным переносом соответствующих векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Диагональ этого параллелограмма, которая соединяет начальную и конечную точку векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения показывает их сумму: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Переместительные и сочетательные свойства сложения векторов

Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения верно следующее:

Переместительное свойство: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сочетательное свойство: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойство идентичности: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сумма противоположенных векторов: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сложение векторов, заданных компонентами

Выполним сложение двух векторов на координатной плоскости, используя их компоненты.

Суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будет вектор: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 1.

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выразите через компоненты.

Решение: Для того, чтобы найти компоненты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения нужно по горизонтали (оси абсцисс) и по вертикали (оси ординат) сложить соответствующие компоненты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 2.

Самолет летит в направлении северо-востока со скоростью 707 миль/час. Скорость самолета выражается вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения В восточном направлении дует ветер со скоростью 40 миль/час. Скорость ветра выражается вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Как изменится скорость самолета под воздействием ветра? Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Конечная скорость самолета:Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Аналогично можно показать, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 3.

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Тригонометрические отношения и компоненты вектора

Найдем компоненты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в координатной плоскости, используя тригонометрические отношения. Обозначим Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Запись Вектор - определение и основные понятия с примерами решения также является записью вектора с компонентами. Угол наклона можно найти по формуле Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 1.

Автомобиль движется в северо-восточном направлении под углом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения со скоростью 80 км/ч. Напишите вектор скорости с компонентами.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение: По данным Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

скорость в вост. напр. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

скорость в север, напр. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 2.

Движения мяча изображены двумя векторами: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения с углом наклона Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и модулем равным 18 м и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения с углом наклона Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и модулем равным 10 м. Определите вектор, показывающий перемещение мяча (модуль и направление).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение: Перемещение мяча: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Запишем векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения c компонентами: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Здесь Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

По правилу сложения векторов с заданными компонентами имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Найдем длину и угол наклона вектора перемежения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения мяча, изобразив этот вектор в новой системе координат.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Умножение вектора на число

Произведение вектораВектор - определение и основные понятия с примерами решения на число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения записывается как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а его длина равна Вектор - определение и основные понятия с примерами решения при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеют одинаковое направление, при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеют противоположное направление. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Любой вектор коллинеарен вектору, выражающему произведение этого вектора на число (отличное от нуля). Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарные векторы, то существует единственное число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойство умножения вектора на число

1. Сочетательное свойство.

Для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2. Распределительное свойство.

Для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Действия над векторами, заданным над координатами

Для вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения заданного компонентами и для любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения верно: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример: Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример: Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

• Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

• Наоборот, если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарные.

Условие коллинеарности векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения)

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример: При каком значении Вектор - определение и основные понятия с примерами решения векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны?

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Подробное объяснение вектора:

Определение: Вектор — Упорядоченную совокупность Вектор - определение и основные понятия с примерами решения n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — компонентами, или координатами, вектора.

Пример:

Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Обозначения:

Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(2, 3, 5, 0, 1).

Операции над векторами. Произведением вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на действительное число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияназывается вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пространство векторов. N-мерное векторное пространство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначается количество Вектор - определение и основные понятия с примерами решения блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Линейная независимость. Система Вектор - определение и основные понятия с примерами решения n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Геометрический смысл линейной зависимости векторов в Вектор - определение и основные понятия с примерами решения интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияназывается правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Базис и координаты. Тройка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения некомпланарных векторов в Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется базисом, а сами векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — базисными. Любой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (1.1) числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в разложении (1.1) называются координатами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в базисе Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и обозначаются Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Ортонормированный базис. Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Будем предполагать, что в пространстве Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выбрана правая система декартовых прямоугольных координат Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторное произведение. Векторным произведением вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , который определяется следующими тремя условиями:

  1. Длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  2. Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения перпендикулярен к каждому из векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  3. Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решениявзятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вводится обозначение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, тo Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в частности, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Векторные произведения ортов: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения заданы в базисе Вектор - определение и основные понятия с примерами решения координатами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения скалярно умножается на третий вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в базисе Вектор - определение и основные понятия с примерами решения заданы своими координатами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование — это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — левая, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения следовательно Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначается символом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Символом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначается радиус-вектор точки М, символами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначаются модули векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №1

Найдите угол между векторамиВектор - определение и основные понятия с примерами решенияединичные векторы и угол между Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равен 120°.

Решение:

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Окончательно имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №2

Зная векторы АВ(-3,-2,6) и ВС(-2,4,4), вычислите длину высоты AD треугольника АВС.

Решение:

Обозначая площадь треугольника АВС через S, получим:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения значит, вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (—5,2,10).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №3

Даны два вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Найдите единичный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, ортогональный векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения была правой.

Решение:

Обозначим координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияотносительно данного правого ортонормированного базиса через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения По условию задачи требуется, чтобы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем систему уравнений для нахождения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из первого и второго уравнений системы получим Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияПодставляя Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в третье уравнение, будем иметь: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Используя условие Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияполучим неравенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

С учетом выражений для Вектор - определение и основные понятия с примерами решения перепишем полученное неравенство в виде: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения откуда следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Линейные операции над векторами

1. Сумма векторов. Для нахождения суммы векторов существует два правила: а) правило треугольника. Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения неколлинеарные и пусть начало вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совмещено с концом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, тогда их суммой будет вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начало которого совпадает с началом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а его конец — с концом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(Рис. 3):

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 3. Сложение векторов по правилу треугольника.

б) правило параллелограмма. Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения неколлинеарные и пусть начала векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадают. Построим на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения параллелограмм (Рис. 4), тогда их суммой будет вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начало которого совпадает с общим началом векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а его конец лежит в противоположной вершине параллелограмма: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 4. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Сумма векторов обладает следующими свойствами:

-переместительным Вектор - определение и основные понятия с примерами решения; — сочетательным Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2. Разность векторов. Разностью векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сумма которого с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решениядает вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (Рис. 5): Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рис. 5. Разность векторов.

3. Умножение вектора на вещественное число. При умножении веществе иного числа k на вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получают ему коллинеарный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения длина которого равна Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сонаправленный с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и антинаправленный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Замечание: Числа в векторной алгебре называют скалярами. Отметим здесь, что векторы и скаляры нельзя складывать и вычитать, так как это объекты разной природы.

Замечание: Из определения операции 3 следует первое условие коллинеарности векторов: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — отношения соответствующих проекции векторов должны быть равны между собой (о проекциях векторов см. ниже пункты 3 и 4).

Пример №4

Найти произведение вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на 2 и (-3).

Решение:

Используя вышеприведенное правило, получим Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Произведение числа на вектор обладает следующими свойствами:

Замечание: Если k = 0, то в результате умножения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, получают нулевой вектор.

Определение: Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают, т.е. расположены в одной точке.

Проекция вектора на произвольную ось

Пусть дана ось l и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Проведем через начало вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения прямую,

которая параллельна оси l, угол между прямой и вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначим через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (Рис. 6):

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 6. Проекция вектора на заданную ось.

Из начала и конца вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения опустим на ось l перпендикуляры, получим отрезок Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение: Проекцией вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на ось l называется длина отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения взятая со знаком «+», если угол Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и со знаком «-», если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Из рисунка видно, что отрезок Вектор - определение и основные понятия с примерами решения следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Из этой формулы видно, что при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения величина Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения величина Вектор - определение и основные понятия с примерами решения При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения проекция равна нулю, Т. е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Проекции обладают свойствами:

— если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Декартова система координат и вектора

Определение: Направленная прямая с выбранным началом отсчета и масштабом измерения называется числовой осью.

Определение: Две (три) взаимно перпендикулярные числовые оси называются декартовой системой координат на плоскости (в пространстве).

Рассмотрим декартову систему координат и спроектируем вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на координатные оси (Рис. 7). Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 7. Проекции вектора на оси декартовой системы координат.

Из рисунка видно, что проекции вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на:

(в пространстве — ось аппликат (Oz) Вектор - определение и основные понятия с примерами решения).

Определение: Проекции Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются координатами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Используя теорему Пифагора, найдем длину вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Направляющие косинусы вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Обозначим углы, которые образует вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияс положительными направлениями координатных осей пространственной декартовой системы отсчета через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение: Величины Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются направляющими косинусами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вычислив квадрат модуля вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения найдем соотношение, которое связывает направляющие косинусы вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Способы задания вектора

  1. Задаются координаты начальной и конечной точек вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения иВектор - определение и основные понятия с примерами решения. Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  2. Задаются аффинные координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  3. Задаются длина вектора и два любых угла, которые образует вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения с какими-либо координатными осями и знак одной из проекций:Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения, но так как по условию Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Деление отрезка в заданном отношении

Пусть в пространственной декартовой системе отсчета даны две точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияи Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Требуется найти на заданном отрезке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такую точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решениячтобы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — заданное число (Рис. 8). Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 8. Деление отрезка в заданном отношении.

Из рисунка видно, чтоВектор - определение и основные понятия с примерами решения В силу того, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Подставляя это равенство в систему и исключая вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения найдем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Отсюда найдем вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения В проекциях на координатные оси это равенство равносильно системе равенств Вектор - определение и основные понятия с примерами решения которая определяет деление отрезка в заданном отношении. Если точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения делит отрезок Вектор - определение и основные понятия с примерами решения пополам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то система полученных равенств принимает вид известный из курса математики средней школы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Понятие базиса векторов

Определение: Любые два (три) неколлинеарных (некомпланарных) вектора образуют базис.

Теорема: Пусть даны два неколлинеарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияи Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Любой другой компланарный им вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — вещественные числа.

Доказательство: Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения приведены к общему началу (Рис. 9), т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 9. Разложение вектора по заданному базису.

Из рисунка видно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (правило параллелограмма, Лекция .№ 4). Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарен вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, найдутся 2 вещественных числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такие, что будут выполняться равенства: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Докажем единственность разложения вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияпо базису Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пусть существуют другие вещественные числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такие что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и пусть хотя бы одна из пар Вектор - определение и основные понятия с примерами решения содержит разные числа, например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вычитая из первого разложения второе, получим

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это означает, что векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарные, что противоречит условию теоремы о том, что они образуют базис. Таким образом, разложение вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения по базису Вектор - определение и основные понятия с примерами решения единственно и имеет ВИД Вектор - определение и основные понятия с примерами решения В силу произвольности вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения данная теорема справедлива для любого вектора компланарного с векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Замечание: С геометрической точки зрения числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения определяют те числа, на которые надо умножить базисные вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения чтобы по правилу параллелограмма получить вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения В трехмерном пространстве произвольный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения может быть разложен по некомпланарной тройке векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения причем единственным образом.

Определение: Ортом направления оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектор единичной длины в выбранном масштабе измерения, сонаправленный с этой осью Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рассмотрим пространственную декартову систему координат, по всем осям (абсцисс — Ох, ординат — Оу и аппликат — Oz) выберем одинаковый масштаб измерения. Вдоль направления каждой оси отложим отрезки единичной длины. Обозначим орты осей:Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — черезВектор - определение и основные понятия с примерами решения — через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(Рис. 10): Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 10. Орты (единичные векторы) декартовой системы координат.

Из Рис. 10 видно, что орты осей имеют следующие проекции:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Так как векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения некомпланарные, то они образуют базис и любой пространственный вектор может быть единственным образом разложен по этому базису, причем в качестве чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выступают проекции вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы в геометрии

Изучая материал этого параграфа, вы узнаете, что векторы используются не только в физике, но и в геометрии. Вы научитесь складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число, находить угол между двумя векторами, применять свойства векторов для решения задач.

Понятие вектора в геометрии

Вы знаете много величин, которые определяются своими числовыми значениями: масса, площадь, длина, объем, время, температура и т. д. Такие величины называют скалярными величинами или скалярами.

Из курса физики вам знакомы величины, для задания которых недостаточно знать только их числовое значение. Например, если на пружину действует сила 5 Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то непонятно, будет ли пружина сжиматься или растягиваться (рис. 12.1). Надо еще знать, в каком направлении действует сила.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Величины, которые определяются не только числовым значением, но и направлением, называют векторными величинами или векторами.

Сила, перемещение, скорость, ускорение, вес — примеры векторных величин.

Есть векторы и в геометрии.

Рассмотрим отрезок Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если мы договоримся точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения считать началом отрезка, а точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — его концом, то такой отрезок будет характеризоваться не только длиной, но и направлением от точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения к точке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Вектор с началом в точке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и концом в точке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (читают: «вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунках вектор изображают отрезком со стрелкой, указывающей его конец. На рисунке 12.2 изображены векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Для обозначения векторов также используют строчные буквы латинского алфавита со стрелкой сверху. На рисунке 12.3 изображены векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор, у которого начало и конец — одна и та же точка, называют нулевым вектором или нуль-вектором и обозначают Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если начало и конец нулевого вектора — это точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то его можно обозначить и так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения На рисунке нулевой вектор изображают точкой.

Модулем вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют длину отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Модуль вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияобозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а модуль вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Модуль нулевого вектора считают равным нулю: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение. Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

На рисунке 12.4 изображены коллинеарные векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Тот факт, что векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунке 12.5 ненулевые коллинеарные векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения одинаково направлены. Такие векторы называют сонаправленными и пишут: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Аналогичным свойством обладают и сонаправленные векторы, то есть если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 12.6).

На рисунке 12.7 ненулевые коллинеарные векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположно направлены. Этот факт обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение. Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны.

На рисунке 12.8 изображены равные векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Это обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Равенство ненулевых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения означает, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Нетрудно доказать, что если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Убедитесь в этом самостоятельно.

Часто, говоря о векторах, мы не конкретизируем, какая точка является началом вектора. Так, на рисунке 12.9 изображены вектор а и векторы, равные вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Каждый из них также принято называть вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунке 12.10, а изображены вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если построен вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияравный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то говорят, что вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отложен от точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 12.10, б).

Покажем, как от произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отложить вектор, равный данному вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения нулевой, то искомым вектором будет вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теперь рассмотрим случай, когда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пусть точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежит на прямой, содержащей вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 12.11). На этой прямой существуют две точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такие, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения На указанном рисунке вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будет равным вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Его и следует выбрать.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не принадлежит прямой, содержащей вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то через точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения проведем прямую, ей параллельную (рис. 12.12). Дальнейшее построение аналогично уже рассмотренному.

От заданной точки можно отложить только один вектор, равный данному.

Пример №5

Дан четырехугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Известно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияОпределите вид четырехугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Из условия Вектор - определение и основные понятия с примерами решения следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, четырехугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — параллелограмм.

Равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения означает, что диагонали четырехугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны. А параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Координаты вектора

Рассмотрим на координатной плоскости вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отложим от начала координат равный ему вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 13.1). Координатами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют координаты точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Запись Вектор - определение и основные понятия с примерами решения означает, что вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют соответственно первой и второй координатами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из определения следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Например, каждый из равных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 13.2) имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Справедливо и обратное утверждение: если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Действительно, если отложить такие векторы от начала координат, то их концы совпадут.

Очевидно, что нулевой вектор имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теорема 13.1. Если точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно являются началом и концом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны соответственно первой и второй координатам вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Пусть вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Докажем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отложим от начала координат вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда координаты точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то, воспользовавшись результатом задачи 12.32, можем сделать вывод, что середины отрезков Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадают. Координаты середин отрезков Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Эти равенства выполняются и тогда, когда точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадает с точкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения или точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадает с точкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из формулы расстояния между двумя точками следует, что если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №6

Даны координаты трех вершин параллелограмма Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения Найдите координаты вершины Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Поскольку четырехугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — параллелограмм, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, координаты этих векторов равны.

Пусть координаты точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Для нахождения координат векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения воспользуемся теоремой 13.1.

Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Ответ: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сложение и вычитание векторов

Если тело переместилось из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а затем из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то суммарное перемещение из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения естественно представить в виде вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения считая этот вектор суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.1).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Этот пример подсказывает, как ввести понятие суммы векторов, то есть как сложить два данных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отложим от произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Далее от точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отложим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.2) и записывают: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом треугольника.

Это название связано с тем, что если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не коллинеарны, то точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения являются вершинами треугольника (рис. 14.2).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

По правилу треугольника можно складывать и коллинеарные векторы. На рисунке 14.3 вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равен сумме коллинеарных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, для любых трех точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения которое выражает правило треугольника для сложения векторов.

Теорема 14.1. Если координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Пусть точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения таковы, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Докажем, что координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Найдем координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

С учетом того, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получаем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Замечание. Описывая правило треугольника для нахождения суммы векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения мы отложили вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения от произвольной точки. Если точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения заменить точкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то вместо вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равного сумме векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получим некоторый вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Из теоремы 14.1 следует, что координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Это означает, что сумма векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не зависит от того, от какой точки отложен вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияСвойства сложения векторов аналогичны свойствам сложения чисел.

Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняются равенства:

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Сумму трех и более векторов находят так: сначала складывают первый и второй векторы, затем складывают полученный вектор с третьим и т. д. Например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из переместительного и сочетательного свойств сложения векторов следует, что при сложении нескольких векторов можно менять местами слагаемые и расставлять скобки любым способом.

В физике часто приходится складывать векторы, отложенные от одной точки. Так, если к телу приложены силы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.4), то равнодействующая этих сил равна сумме Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для нахождения суммы двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, удобно пользоваться правилом параллелограмма для сложения векторов.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пусть надо найти сумму неколлинеарных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.5). Отложим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны, то четырехугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — параллелограмм с диагональю Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Приведенные соображения позволяют сформулировать правило параллелограмма для сложения неколлинеарных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отложим от произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Построим параллелограмм Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.6). Тогда искомая сумма Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение. Разностью векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют такой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сумма которого с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пишут: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Покажем, как построить вектор, равный разности данных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

От произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отложим векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равные векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.7). Тогда вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равен разности Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияДействительно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, по определению разности двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунке 14.7 векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения неколлинеарны. Однако описанный алгоритм применим и для нахождения разности кол-линеарных векторов. На рисунке 14.8 вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равен разности коллинеарных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, для любых трех точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения которое выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки.

Теорема 14.2. Если координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Докажите эту теорему самостоятельно.

Из теоремы 14.2 следует, что для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения существует единственный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такой, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение. Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены.

Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположны, то говорят, что вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектором, противоположным нулевому вектору, считают нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из определения следует, что противоположным вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения является вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда для любых точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из правила треугольника следует, что

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

А из этого равенства следует, что если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теорема 14.3. Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенства. Сделайте это самостоятельно.

Теорема 14.3 позволяет свести вычитание векторов к сложению: чтобы из вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вычесть вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения можно к вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения прибавить вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.9).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №7

Диагонали параллелограмма Вектор - определение и основные понятия с примерами решения пересекаются в точке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.10). Выразите векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения через векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Поскольку точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — середина отрезков Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Умножение вектора на число

Пусть дан ненулевой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения На рисунке 15.1 изображены вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Очевидно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и считают, что он получен в результате умножения вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на число 2. Аналогично считают, что вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получен в результате умножения вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на число -3, и записывают: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Этот пример подсказывает, как ввести понятие «умножение вектора на число».

Определение. Произведением ненулевого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отличного от нуля, называют такой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2) если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пишут: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то считают, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунке 15.2 изображены векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из определения следует, что

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Также из определения следует, что если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны.

А если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, то можно ли представить вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в виде произведения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Ответ дает следующая теорема.

Теорема 15.1. Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то существует такое число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получаем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то или Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

1) Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рассмотрим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Кроме того, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Таким образом, векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сонаправлены и их модули равны. Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2) Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рассмотрим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Для этого случая завершите доказательство самостоятельно. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теорема 15.2. Если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рассмотрим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Покажем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отложим от начала координат векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равные соответственно векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку прямая Вектор - определение и основные понятия с примерами решения проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Этой прямой принадлежит точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения также принадлежит прямой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения поэтому векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеют одинаковые знаки (или оба равны нулю). Таким же свойством обладают числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияСледовательно, при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат в одной координатной четверти (или на одном координатном луче), поэтому векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сонаправлены (рис. 15.3), то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будут противоположно направленными, то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, мы получили, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следствие 1. Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны.

Следствие 2. Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, причем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то существует такое число Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

С помощью теоремы 15.2 можно доказать такие свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняются равенства:

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правых и левых частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства позволяют преобразовывать выражения, содержащие сумму векторов, разность векторов и произведение векторов на число, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения. Например,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №8

Докажите, что если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат на одной прямой.

Решение:

Из условия следует, что векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны. Кроме того, эти векторы отложены от одной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат на одной прямой. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №9

Точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — середина отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения— произвольная точка (рис. 15.4). Докажите, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Применяя правило треугольника, запишем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сложим эти два равенства:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположны, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №10

Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения продолжение ее боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение:

Пусть точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — середины оснований Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения трапеции Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — точка пересечения прямых Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 15.5).

Применяя ключевую задачу 2, запишем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения —некоторые числа.

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из ключевой задачи 1 следует, что точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат на одной прямой. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №11

Докажите, что если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — точка пересечения медиан треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Пусть отрезки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — медианы треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 15.6). Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из свойства медиан треугольника следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Аналогично Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Применение векторов

Применяя векторы к решению задач, часто используют следующую лемму.

Лемма. Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — такая точка отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 15.9). Тогда для любой точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Запишем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Заметим, что эта лемма является обобщением ключевой задачи 2 п. 15.

Пример №12

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — точка пересечения медиан треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — произвольная точка (рис. 15.10). Докажите, что

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Пусть точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — середина отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда, используя лемму, можно записать:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Докажем векторное равенство, связывающее две замечательныеВектор - определение и основные понятия с примерами решения точки треугольника.

Теорема. Если точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — ортоцентр треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — центр его описанной окружности, то

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Для прямоугольного треугольника равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения очевидно.

Пусть треугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не является прямоугольным. Опустим из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения перпендикуляр Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на сторону Вектор - определение и основные понятия с примерами решения треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 15.11). В курсе геометрии 8 класса было доказано, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На луче Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отметим точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такую, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то четырехугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — параллелограмм.

По правилу параллелограмма Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения является серединой отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то в четырехугольнике Вектор - определение и основные понятия с примерами решения диагонали точкой пересечения делятся пополам. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Обратимся к векторному равенству Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — точка пересечения медиан треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Так как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — произвольная точка, то равенство остается справедливым, если в качестве точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выбрать точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — центр описанной окружности треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Учитывая равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получаем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это равенство означает, что точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера. Напомним, что это замечательное свойство было доказано в курсе геометрии 8 класса, но другим способом.

Скалярное произведение векторов

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — два ненулевых и несонаправленных вектора (рис. 16.1). От произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отложим векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равные векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Величину угла Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будем называть углом между векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Угол между векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Например, на рисунке 16.1 Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а на рисунке 16.2 Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сонаправлены, то считают, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если хотя бы один из векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения нулевой, то так же считают, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет место неравенство:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют перпендикулярными, если угол между ними равен Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пишут: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вы умеете складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число. Также из курса физики вы знаете, что если под действием постоянной силы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения тело переместилось из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 16.3), то совершенная механическая работа равна Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Изложенное выше подсказывает, что целесообразно ввести еще одно действие над векторами.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если хотя бы один из векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения нулевой, то очевидно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Скалярное произведение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют скалярным квадратом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и обозначают Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Мы получили, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то есть скалярный квадрат, вектора равен квадрату его модуля.

Теорема 16.1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Доказательство: Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Докажем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть теперь Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Докажем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Запишем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теорема 16.2. Скалярное произведение векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения можно вычислить по формуле

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Сначала рассмотрим случай, когда векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решениянеколлинеарны.

Отложим от начала координат векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равные векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 16.4). Тогда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Применим теорему косинусов к треугольнику Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Кроме того, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Воспользовавшись формулой нахождения модуля вектора по его координатам, запишем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Упрощая выражение, записанное в правой части последнего равенства, получаем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рассмотрим случай, когда векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны.

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то очевидно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то существует такое число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Случай, когда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения рассмотрите самостоятельно. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следствие. Косинус угла между ненулевыми векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияможно вычислить по формуле

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Из определения скалярного произведения векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияследует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Воспользовавшись теоремой 16.2 и формулой нахождения модуля вектора по его координатам, получаем формулу Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

С помощью теоремы 16.2 легко доказать следующие свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения справедливы равенства:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения— переместительное свойство;

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — сочетательное свойство;

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — распределительное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно выразить через координаты векторов скалярные произведения, записанные в правых и левых частях равенств, и сравнить их. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовывать выражения, содержащие скалярное произведение векторов, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения.

Например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №13

С помощью векторов докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

На рисунке 16.5 изображен ромб Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Очевидно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения По правилу параллелограмма имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №14

Известно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Найдите Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Ответ: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №15

В треугольнике Вектор - определение и основные понятия с примерами решения известно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Найдите медиану Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение. Применяя ключевую задачу 2 п. 15, запишем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 16.6).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Ответ: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Справочный материал

Вектор

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Равные векторы

Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Координаты вектора

Если точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно являются началом и концом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны соответственно первой и второй координатам вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Модуль вектора

Если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Правила сложения двух векторов

Правило треугольника

Отложим от произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а от точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — сумма векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Для любых трех точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Правило параллелограмма

Отложим от произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Построим параллелограмм Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — сумма векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Координаты суммы векторов

Если координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойства сложения векторов

Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняются равенства:

Разность векторов

Разностью векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют такой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сумма которого с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для любых трех точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Координаты разности векторов

Если координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Противоположные векторы

Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены. Для любых точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отличного от нуля, называют такой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2) если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то считают, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойства коллинеарных векторов

Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, причем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то существует такое число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, причем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то существует такое число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойства умножения вектора на число

Для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения справедливы равенства:

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Скалярное произведение векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения можно вычислить по формуле Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняются равенства:

Условие перпендикулярности двух векторов

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Косинус угла между двумя векторами

Косинус угла между ненулевыми векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения можно вычислить по формуле Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы в аналитической геометрии

Понятие вектора широко применяется в экономике, математике, физике и других науках, при этом одинаково широко используется как алгебраическая концепция изложения векторного анализа, так и его геометрическая интерпретация, в рамках которой различаются величины двух видов: скалярные и векторные.

Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.

Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.

Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:

  • направлением;
  • длиной (модулем).

Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества — представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.

Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияили двумя буквами со стрелкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, где точка А есть начало вектора (его точка приложения), а В — его конец.

Длина вектора называется его модулем, обозначаетсяВектор - определение и основные понятия с примерами решенияили Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

и равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором и обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Два вектора называются равными, если:

  1. равны их длины;
  2. они параллельны;
  3. они направлены в одну сторону.

Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Линейные операции над векторами

Сложение вектора производится по правилу параллелограмма:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияравен Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то можно дать другое правило нахождения суммы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (правило треугольника): суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения является вектор, идущий из начала Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияв конец Вектор - определение и основные понятия с примерами решения если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияприложен к концу вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е.:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4-1)

Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияобразуют ломаную OAB…KL, то суммой этих векторов является вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, замыкающий эту ломаную, т.е.:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4-2)

В частности, если ломаная замыкается, т.е. O = L, то сумма ее звеньев равна нуль-вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения -сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией — вычитанием.

Разностью двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, отложенных от одной точки О является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в конец уменьшаемого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рис. 4.2.

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равен Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — некоторое число, если:

  1. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарен Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  2. длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отличается от длины вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в Вектор - определение и основные понятия с примерами решения раз, т.е.
  3. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  4. при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направлены в одну сторону, при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — в разные.

Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Проекция вектора на ось

Пусть даны осьВектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Проектируя начало и конец вектора на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияполучим на ней вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. ПроекциейВектор - определение и основные понятия с примерами решениявектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияна ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется число, равное длине вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, в ту же сторону, что и ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (. или в противоположную.

Проекция вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (: обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения).

Свойства проекций:

  1. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — угол между вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияи осью Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  2. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  3. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

ПустьВектор - определение и основные понятия с примерами решения — произвольная конечная система векторов; Вектор - определение и основные понятия с примерами решения произвольная система действительных чисел.

Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется линейной комбинацией векторов этой системы.

Из свойства проекций следует, что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Линейная зависимость векторов

Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4-3)

следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

В противном случае векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, называются линейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решениякак, то говорят, что вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно выражается через векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Теорема. Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные.

Следствие. Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности , ни один из них не может быть нулевым.

Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинсарные векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, напримерВектор - определение и основные понятия с примерами решения ? линейно выражается через второй, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а это противоречит неколлинеарности Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения— линейно независимы.

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения неколлинеарные векторы, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — произвольный вектор компланарный векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Отложим векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения от одной точки О, т.е. построимВектор - определение и основные понятия с примерами решения (Рис.4.3).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из параллелограмма Вектор - определение и основные понятия с примерами решения видно, что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, любые три компланарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы.

Любые три некомпланарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно независимы.

Если предположить, что три некомпланарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы, то один из них, например Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, линейно выражается через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а это говорит о том, что три вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Три вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в некотором базисе имеют координаты

Вектор - определение и основные понятия с примерами решениясоответственно. Тогда векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решениялинейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такой, что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения 4)

Если один из векторов, например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения,, является нулевым, то система Вектор - определение и основные понятия с примерами решения окажется линейно зависимой, т.к. равенство (4.4) будет выполнено при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Теорема, Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Базис. Координаты вектора в базисе

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямой называется любой ненулевой векторВектор - определение и основные понятия с примерами решения на

этой прямой. Любой другой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, коллинеарный данной прямой,

может быть выражен через вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияэтой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, компланарный плоскости, на которой выбран базис Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, может быть представлен в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Тогда существуют числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такие, что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.5)

КоэффициентыВектор - определение и основные понятия с примерами решения называются координатами вектораВектор - определение и основные понятия с примерами решения в базисе Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а формула (4.5) есть разложение вектора с по данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс (Ох), вторая — осью ординат (Оу), третья — осью аппликат (Oz); точка О — начало координат (Рис. 4.4).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Положение координат осей можно задать с помощью единичных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направленных по осям Ох, Оу, Oz. Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются основными или базисными ортами и определяют базис Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияв трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве дана точка М. Проектируя ее на ось Ох, получим точку Мх. Первой координатой х или абсциссой точки М называется длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, взятая со знаком плюс, если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направлен в ту же сторону, что и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, и со знаком минус -если в противоположную. Аналогично проектируя точку М на оси Оу и Oz, определим ее ординату у и аппликату z. Тройка чисел (х, у, z) взаимно однозначно соответствует точке М .

Система координат называется правой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно с положительного направления оси Oz совершающимися против часовой стрелки, и левой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно совершающимися по часовой стрелке.

Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, направленный из начала координат в точку М(х, у, z) называется радиус-вектором точки М, т.е.:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.6)

Если даны координаты точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то координаты вектора АВ получаются вычитанием из координат его конца В координат начала Вектор - определение и основные понятия с примерами решения или Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Следовательно, по формуле (4.5):

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.8)

Длина вектораВектор - определение и основные понятия с примерами решения, заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками А и В вычисляется по формуле:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.9)

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.10)

Пусть точка М(х, у, z) делит отрезок между точками Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в отношении Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, тогда радиус-вектор точки М выражается через радиусы-векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения его концов по формуле:Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда получаются координатные формулы:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

В частности, если точка М делит отрезок Вектор - определение и основные понятия с примерами решения пополам, то

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Направляющие косинусы

Пусть дан вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Единичный вектор того же направления, что и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (орт вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения) находится по формуле:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения образует с осями координат углыВектор - определение и основные понятия с примерами решения. Направляющими косинусами оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются косинусы этих углов: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Если направление Вектор - определение и основные понятия с примерами решения задано единичным вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то направляющие косинусы служат его координатами, т.е.:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если направление Вектор - определение и основные понятия с примерами решения задано произвольным вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то находят орт этого вектора и, сравнивая его с выражением для единичного вектораВектор - определение и основные понятия с примерами решения , получают:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Скалярное произведение

Скалярными произведением Вектор - определение и основные понятия с примерами решения двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

4. Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения— ненулевые векторы, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то угол между а и ЬВектор - определение и основные понятия с примерами решения— острый, если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то угол — тупой;

5. Скалярный квадрат вектора а равен квадрату его длины, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение вектора на единичный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равно проекции вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на направление, определяемое Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения :

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если векторы заданы своими координатами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения через координаты векторов:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторное произведение

Векторным произведением вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения длина и направление которого определяется условиями:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

  3. Вектор - определение и основные понятия с примерами решениянаправлен так, что кратчайший поворот от Вектор - определение и основные понятия с примерами решения виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения 4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинсарны. В частностиВектор - определение и основные понятия с примерами решения для любого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;

5. Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма S построенного на этих векторах, как на сторонах.

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.

Основные орты перемножаются следующим образом: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

ЕслиВектор - определение и основные понятия с примерами решения, то с учетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей :

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.11)

Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения принадлежат плоскости Оху, т.е. их можно представить какВектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т.е. размером 2×2, состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

В таком случае: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, как на сторонах.

Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.12) Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке. Таким образом:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

и представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых.

Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоваться правилом Саррюса, которое формулируется следующим образом:

  • Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы;
  • Знак «плюс» имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали;
  • Знак «минус» имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Смешанное произведение

Смешанным произведением тройки векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется число, равное скалярному произведению вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на векторное произведение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если рассматриваемые векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения некомпланарны, то векторное произведение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор а, то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.

Таким образом, смешанное произведение векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

(которое обозначается есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного па векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Знак произведение положителен, если векторыВектор - определение и основные понятия с примерами решения, образуют правую тройку векторов, т.е. вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направлен так, что кратчайший поворот от Вектор - определение и основные понятия с примерами решения виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения: для того, чтобы векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их сметанное произведение было отлично от нуля.

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияи Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

или в свернутой форме:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Справедливы следующие свойства сметанного произведения векторов:

  1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  2. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы в высшей математике

Определение вектора:

На начальной стадии, когда приходится прибегать к математическим методам исследования, необходимо разработать удобное средство организации исходных данных. Таким простейшим средством является вектор. Например, еженедельное изменение цены за месяц на некоторый товар удобно записать в виде массива: (5500; 5700; 6000; 6200). Записанный таким образом массив чисел называют вектором.

Алгебраические операции над векторами и их свойства

Введём теперь математическое определение векторов и алгебраические операции над ними.

Упорядоченную совокупность действительных чиселВектор - определение и основные понятия с примерами решения назовём вектором и обозначим Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Действительные числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будем называть координатами вектора. Равные векторы имеют равные координаты. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором и обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Вектор, у которого одна из координат равна 1, а все остальные равны нулю, называется единичным вектором. Единичными векторами будут векторы:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

С геометрической точки зрения, вектор — это направленный отрезок. Поэтому вектор, длина которого равна единице, также называется единичным вектором.

Определим далее линейные операции над векторами: сложение и умножение вектора на число.

Сложение векторов

Пусть даны два вектора

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения . Суммой двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения назовем вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, координаты которого равны суммам соответствующих координат векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть дан вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения . Обозначим через —Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектор, порождённый вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , такой, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения .

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

  1. Для любых двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения существует единственный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , называемый суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  2. Для любых Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  3. Для любых Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  4. Существует единственный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, называемый нулевым вектором, такой, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для всех Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  5. Для любого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения существует единственный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , такой, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектором, противоположным вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из указанных свойств векторов следует, что можно рассматривать сумму любого конечного числа векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Умножение вектора на число

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Произведение вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — это вектор, обозначаемый, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения полученный умножением координат вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Положим, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

  1. Для любого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения существует единственный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  2. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любогоВектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  3. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любого .
  4. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любого Вектор - определение и основные понятия с примерами решения .
  5. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любого Вектор - определение и основные понятия с примерами решения .

Выражение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — вскто-ры, а Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — любые действительные числа, называется ли-нейиой комбинацией векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения с коэффициентами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Линейная комбинация векторов-это вектор. Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения представленный в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решениябудем называть транспонированным по отношению к вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и обозначать Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Замечание. Зная координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, можно вычислить его длину по формуле

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Пример №16

Найти линейную комбинацию Вектор - определение и основные понятия с примерами решения векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Решение:

Воспользуемся определением линейной комбинации векторов и операций над векторами. Тогда получим вектор вида:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Скалярное произведение векторов и его свойства

Предположим, что объем продаж трёх видов товаров фирмы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в течение месяца составил 34, 57, 21 единиц, и что цены этих же товаров были равны соответственно 2, 3, 7 дсн.ед. Следовательно, общий доход от продажи всех трёх товаров за месяц равен: Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияден.ед. Представим данные о продажах с помощью вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а соответствующие цены с помощью вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Тогда общий доход от продажи трёх товаров, равный 386 ден.ед., представляет собой сумму произведений элементов вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на соответствующие элементы вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Приведенный пример помогает уяснить общую методику введения скалярного произведения векторов.

Определепие2.2.1. Скалярным произведением векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется число, обозначаемое Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, равное сумме произведений соответствующих коорди-. пат векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это определение можно применять только в тех случаях, когда векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения содержат одинаковое количество координат; в противном случае скалярное произведение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не может быть определено.

Укажем некоторые свойства скалярного произведения:

  1. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  2. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  3. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  4. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Два ненулевых вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рассмотрим систему n ненулевых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Если

скалярное произведение каждого вектора на себя равно единице, а скалярное произведение различных векторов равно нулю, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

то система векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется ортоиормированной. Условия (1.3) можно записать в координатной форме:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Пример №17

Найти вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарный1 вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и удовлетворяющий условию Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Решение:

Так как вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то его координаты пропорциональны координатам вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Воспользовавшись определением скалярного произведения, составим равенство: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Откуда следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения . Тогда вектор коллинеарный вектору я будет иметь координаты: (6,-2,8).

Пример №18

Пусть рассматривается проект вложения капитала на четыре года. Этот проект должен обеспечивать следующую денежную выручку: в первый год- 1000 дсн.ед.; во второй — 3000 дсн.ед.; в третий — 10000 ден.ед.; в четвёртый — 15000 дсн.ед. Проект будет принят в том случае, если совокупный доход от капиталовложений (в пересчёте на сегодняшний доход) будет превышать требующиеся затраты, составляющие 17000 дсн.ед. Дисконтирование ожидаемого дохода проводится по годовой ставке равной 10%. Будет ли принят рассматриваемый проект?

Решение:

При ставке дисконтирования 10% годовых, доход, который будет получен на протяжении первого года, должен быть умножен на Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, на протяжении второго года- на Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , на протяжении третьего года- на 0,7513 =Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и на протяжении четвёртого года- на 0,6838 =Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

1. Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется коллинеарным вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , если при совмещении их начальных точек они располагаются на одной прямой.

Запишем денежную выручку и дисконтирующие множители в векторной форме:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

и

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Скалярное произведение векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения —определяет дисконтированный совокупный доход за четыре года: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Так как 21158,3>17000, то рассматриваемый проект вложения капитала будет принят.

Операции над векторами в высшей математике

Внимание! Вектор определяется числом и направлением.

Отрезком АВ называется множество точек, заключенных между точками

А и В, включая их. Точки А и В называются концами отрезка.

Отрезок АВ называется направленным, если его концы упорядочены.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В будем обозначать АВ. Направленный отрезок ВА с началом в точке В и концом в точке А называется противоположно направленным отрезку АВ.

Модулем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направленного отрезка АВ называется его длина.

Вектором называется класс направленных отрезков, расположенных на параллельных или совпадающих прямых и имеющих одинаковые направление и длину.

Векторы геометрически изображают направленными отрезками и обозначаются Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и буквами жирного шрифта Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вывод. Вектор однозначно определяется своим одним направленным отрезком. Пусть заданы два вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис.1). Суммой векторов а и b

называется вектор, проведенный из начала а к концу b: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Способ сложения векторов, показанный на рис.1, называется правилом треугольника.

Замечание. На векторах а и b можно построить параллелограмм, в котором одна диагональ будет их суммой: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а вторая — разностью: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Способ сложения векторов, показанный на рис.2, называется правилом параллелограмма.

Множество всех нулевых отрезков называется нулевым вектором и обозначается 0. Направление нулевого вектора произвольно.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Для любого вектора а верны равенства:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Произведением вектора а на число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отличное от нуля, называется вектор, обозначаемый Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и удовлетворяющий следующим условиям:

  1. длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна длине вектора а, умноженного на модуль числаВектор - определение и основные понятия с примерами решения
  2. векторы а и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения одинаково направлены, если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, и противоположно направлены, если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис.З).

Произведение вектора на число «нуль» есть нулевой вектор. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Углом между двумя векторами а и b называется наименьший угол Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим вектором (рис.4).

Проекцией вектора а на вектор b называется длина вектора а, умноженная на косинус угла между векторами а и b (рис.4):

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Внимание! Для ненулевых векторов возможны три варианта произведений: скалярное произведение (в ответе получается число), векторное произведение (в ответе получается вектор) и смешанное произведение (в ответе получается число).

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Таким образом,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Например, для скалярного квадрата ii, где i -единичный вектор, имеем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторным произведением двух ненулевых векторов а и b называется такой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что

  1. 1) его модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е.Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  2. 2) он перпендикулярен плоскости построенного на данных векторах параллелограмма, , т.е.Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  3. 3) векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения образуют правую тройку векторов, т.е. при наблюдении из конца вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения кратчайший поворот от а к b виден против часовой стрелки.

Пример №19

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b. если а — единичный вектор, длина вектора b равна трем, а их скалярное произведение — двум.

Решение:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, равна Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения.

По условию задачи имеем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Найдем синус угла между векторами а и b. Так как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Подставим найденное значение в формулу и получим: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Задача решена.

Смешанным произведением трех ненулевых векторов а, b и с называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов а и b на третий вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Обозначение: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Замечание. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Действительно,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где S — площадь основания параллелепипеда, H — высота параллелепипеда, V -объем параллелепипеда.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Необходимое и достаточное условие ортогональности:

Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Пулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности:

  1. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения— произвольное число, отличное от нуля.
  2. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору (площадь параллелограмма равна нулю).

Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости. Любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают компланарной.

Необходимое и достаточное условие компланарности. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (объем параллелепипеда равен нулю).

Действия над векторами, заданными прямоугольными координатами

Пусть Ох, Оу, Oz — три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начала координат) и образующие правую тройку (рис. 5).

Точка М с координатами х, у, z обозначается M(x,y,z), причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, третья — аппликатой точки М.

Для каждой точки М пространства существует ее радиус-вектор r=ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М. Координаты x,y,z точки М являются проекциями радиус-вектора r на оси Ох, Оу, Oz соответственно.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда координаты вектора АВ вычисляются по формуле:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

(«от координат конца отнимают координаты начала»).

Например, координаты радиус-вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если ввести единичные векторы i,j, k, направленные по осям Ох, Оу, Oz соответственно (рис.5), то координаты вектора r можно записать в эквивалентной форме:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы i, j,k называются базисными.

Пусть даны два вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сложив векторы почленно, получим: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

или

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Умножив вектор а на число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получим:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

или

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №20

Найти вектор х из уравнения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Выразим х из векторного уравнения:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Подставим векторы а, b и с в полученное выражение:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Задача решена.

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для cкалярного квадрата аа получаем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

но, с другой стороны, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Мы получили формулу вычисления длины вектора, заданного в координатной форме.

Векторное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

которую можно выразить через символический определитель третьего порядка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Смешанное произведение трех векторов в координатной форме Вектор - определение и основные понятия с примерами решения определяется формулой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №21

Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А( 1,1 ,-1), В(2,1,-3), С(-1,1,1), D(0,7,3). Вычислить высоту пирамиды, опущенную из вершины D на основание АВС.

Решение:

Высоту треугольной пирамиды найдем из формулы:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — объем пирамиды ABCD, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — площадь основания АВС, H — высота пирамиды, опущенная из вершины D.

Найдем площадь треугольника АВС. Она равна половине площади параллелограмма, построенного, например, на векторах АВ и АС. Следовательно, по определению векторного произведения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения По координатам точек А, В и С найдем координаты векторов АВ и АС:Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторное произведение АВ и АС в координатной форме равно Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Найдем объем треугольной пирамиды. Он равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного, например, на векторах АВ, АС и AD. Тогда по геометрическому смыслу смешанного произведения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Найдем координаты вектора AD:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Смешанное произведение АВ, АС и AD в координатной форме равно Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияразложим определитель по второму столбцуВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Задача решена.

Замечание.

  • 1. Площадь треугольника АВС можно находить из площади параллелограмма, построенного на любых двух векторах, исходящих из одной вершины, например: АВ и АС; ВА и ВС; СА и СВ.
  • 2. Объем треугольной пирамиды ABCD можно находить из объема параллелепипеда, построенного на любых трех векторах, исходящих из одной точки, например: АВ, АС и AD; ВА, ВС и BD; СА, СВ и CD; DA, DB и DC.

Линейное пространство

Идея линейности является одним из важнейших принципов математики. На этой основе построены различные разделы математики. Более того, почти каждый экономический процесс в малом является линейным, что позволяет делать о нём достаточно точные выводы, изучая линейный, гораздо более простой для исследования объект.

В математике часто приходится встречаться с объектами, для которых определены операции сложения и умножения на числа. Объектами такого рода являются векторы, функции, матрицы и т.д. Для того, чтобы изучать все такие объекты с единой точки зрения и вводится понятие линейного пространства.

Определение 2.3.1. Множество L элементов х, у, z,… называется линейным пространством, если:

При этом введенные операции должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам):

  1. х+у = у+х (коммутативности);
  2. (х+у)+ z = x+(y+z) (ассоциативности);
  3. существует элемент 0, такой, что х+0=х для любого х. Элемент 0 называется нулевым элементом;
  4. для каждого х существует противоположный элемент, обозначаемый -х, такой, что х+(-х)=0;
  5. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  6. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  7. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:;
  8. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения,

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — вещественные числа.

В определении линейного пространства не говорится, как определяются операции сложения и умножения на числа, и не говорится о природе объектов. Требуется только, чтобы были выполнены сформулированные выше аксиомы. Поэтому всякий раз, когда мы встречаемся с операциями, удовлетворяющими этим условиям, будем считать их операциями сложения и умножения.

Рассмотрим систему векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве, для которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число как в п.2.1. Так как для этих операций выполняются свойства (1) — (8) определения 2.3.1, то они образуют линейное пространство.

Линейное пространство образует и совокупность многочленов степени не выше п с вещественными коэффициентами, для которых определены обычные операции сложения многочленов и умножения многочлена на число.

Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым.

Пространство, где векторами являются наборы из n действительных чисел с покомпонентными операциями сложения и умножения их на число, и скалярное произведение определяется по формуле (1.2.1), является евклидовым пространством. Это пространство обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Свойства линейной зависимости векторов.

Определение линейной комбинации векторов, тесно связано с понятием подпространства векторного пространства.

Определение 2.4.1. Некоторое непустое подмножество векторного пространства М называется подпространством, если оно само является векторным пространством.

А доказательство того, что подмножество является векторным пространством, проводится на основании доказательства того, что всякая линейная комбинация любых двух векторов этого подмножества, также является вектором этого подмножества.

Определение 2.4.2. Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения из Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияназываются линейно независимыми, если не существует чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения хотя бы одно из которых отлично от нуля, таких, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если равенство (2.4.1) возможно и при ненулевом значении хотя бы одного числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются линейно зависимыми.

Пример №22

Рассмотрим евклидово пространство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

называемые координатными векторами. Покажем, что в пространстве Вектор - определение и основные понятия с примерами решения векторыВектор - определение и основные понятия с примерами решениялинейно независимы.

Решение:

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения произвольные числа. Составим линейную комбинацию векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Подставив координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , получим:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

В результате получили векторВектор - определение и основные понятия с примерами решения, который будет нулевым если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения . Следовательно, линейная комбинация Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, может равняться нулю если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. А это и есть условие линейной независимости векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется линейной комбинацией векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияиз Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, если существуют числаВектор - определение и основные понятия с примерами решения, такие, что выполняется равенство: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Относительно линейной зависимости векторов справедливы следующие утверждения:

  1. Если совокупность векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияиз Вектор - определение и основные понятия с примерами решения содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
  2. Если в системе векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеется подсистема линейно зависимых векторов, то и вся совокупность векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависима.
  3. Система векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения из Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависима тогда и только тогда, если один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.
  4. Любые Вектор - определение и основные понятия с примерами решения векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения из Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, каждый из которых является линейной комбинацией m векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы. .

Пример №23

Выясним линейную зависимость векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Решение. Составим линейную комбинацию этих векторов

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Полученный вектор является нулевым, если координаты равны нулю:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Полученная система имеет только одно решение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Следовательно, векторное равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется при нулевых значениях коэффициентов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Это значит, что векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно независимы.

Заметим, что два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (их направления параллельны). Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (их направления параллельны некоторой плоскости).

Элементы векторной алгебры

Некоторые физические величины (например, температура, масса, объем, работа, потенциал) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения; такие величины называются скалярными. Ещё примеры скалярных величин: длина, площадь, время, угол, плотность, сопротивление.

Другие величины (например, сила, скорость, ускорение, напряжённость электрического или магнитного поля) характеризуются числом и направлением. Эти величины называются векторными.

Необходимо подчеркнуть, что вектор не является числом. Если мы рассматриваем вектор, лежащий в плоскости, то для его описания необходимо знать два фактора – модуль и его направление (например, угол, образуемый им с одним из осей координат). Если рассматривается вектор в трехмерном пространстве, то для описания вектора требуется три фактора: один – величину для его модуля и два для указания его положения в системе координат.

Скаляры и векторы

Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром. Таковы, например, масса тела, объем его, температура среды и т. п. Скаляр определяется числом положительным или отрицательным или равным нулю.

Величина, кроме числового значения характеризуемая еще направлением, называется векторной или вектором. К числу их относятся сила, перемещение, скорость и т.п. Вектор определяется числом и направлением.

Векторы обычно обозначают буквами жирного шрифта, например а. Геометрически вектор изображается направленным отрезком пространства (рис. 168); при этом используется обозначение а = Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, где точка А — начало В отрезка, а точка В — конец его. В дальнейшем, для наглядности изложения, векторы мы будем рассматривать как направленные отрезки.

Под модулем (длиной) вектора а

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

понимается числовое значение его, без учета направления. (Естественно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначает модуль вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения) Вектор 0, модуль которого равен нулю, называется нулевым или нуль-вектором (направление нулевого вектора произвольно).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Два вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения считаются равными, если они расположены на параллельных или совпадающих прямых (параллельность в широком смысле) и имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Мы условимся не различать равные векторы и, таким образом, приходим к понятию свободного вектора. Иными словами, свободный вектор допускает перенос его в любую точку пространства при условии сохранения длины и направления.

В частности, для свободных векторов можно обеспечить общую начальную точку их. В дальнейшем мы будем излагать теорию свободных векторов в трехмерном пространстве.

Сумма векторов

Определение: Суммой нескольких векторов, например а, b, с, d (рис. 169), называется вектор

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

по величине и направлению равный замыкающей ОМ пространственной ломаной линии, построенной на данных векторах.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для случая двух векторов а и b (рис. 170) их суммой s является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки приложения их (правило параллелограмма).

Так как в треугольнике длина одной стороны не превышает суммы длин двух других сторон, то из рис. 170 имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т. е. модуль суммы двух векторов не превышает суммы модулей этих векторов.

Для случая трех векторов а, b, с (рис. 171) их суммой s является диагональ Вектор - определение и основные понятия с примерами решения параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Легко проверить, что для векторного сложения справедливы следующие свойства:

1)переместительное свойство

а + b = b + а,

т. е. векторная сумма не зависит от порядка слагаемых;

2)сочетательное свойство

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т.е. сумма трех (и большего числа) векторов не зависит от порядка расстановки скобок.

Для каждого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 172) существует противоположный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, имеющий ту же длину, но противоположное направление. По правилу параллелограмма, очевидно, имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где 0 — нуль-вектор.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Легко проверить, что а + 0 = а.

Разность векторов

Под разностью векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 173) понимается вектор

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

такой, что

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отметим, что в параллелограмме, построенном на данных векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (см. рис. 170), их разностью является соответственно направленная вторая диагональ.

Легко проверить, что справедливо следующее правило вычитания:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Умножение вектора на скаляр

Определение: Произведением вектора а на скаляр k (рис. 174) называется вектор

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

имеющий длину b =Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а, направление которого: 1) совпадает

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

с направлением вектора а, если k > 0; 2) противоположно ему, если k < 0; 3) произвольно, если k = 0.

Нетрудно убедиться, что эта векторная операция обладает следующими свойствами:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если ненулевой вектор а разделить на его длину a = |a| (т.е. умножить на скаляр 1 /а), то мы получим единичный вектор е, так называемый Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, того же направления: е = а/а. Отсюда имеем стандартную формулу вектора

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Формула (1) формально справедлива также и для нулевого вектора а = 0, где а = 0 и е — произвольный орт.

Коллинеарные векторы

Определение: Два вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 175) называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле (т. е. расположены или на параллельных прямых, или же на одной и той же прямой).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Так как направление нулевого вектора произвольно, то можно считать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема: Два ненулевых вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

(k — скаляр).

Доказательство: 1) Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны и е, е’ — их орты. Имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Очевидно,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где знак плюс соответствует векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения одинакового направления, а знак минус— векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположного направления.

Из формул (2) и (3) получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда вытекает формула (1), где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2) Если выполнено равенство (1), то коллинеарность векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения непосредственно следует из смысла умножения векторов на скаляр.

Компланарные векторы

Определение: Три вектора a, b и с называются компланарны ми, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле (т. е. или параллельны плоскости, или лежат в ней).

Можно сказать также, что векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда после приведения их к общему началу они лежат в одной плоскости.

По смыслу определения тройка векторов, среди которых имеется хотя бы один нулевой, компланарна.

Теорема: Три ненулевых вектора а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, т.е., например,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

(k, I — скаляры).

Доказательство: 1) Пусть векторы а, b и с компланарны, расположены в плоскости Р (рис. 176) и имеют общую точку приложения О.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Предположим сначала, что эти векторы не все попарно коллинеарны, например векторы а и b неколлинеарны. Тогда, производя разложение вектора с в сумму векторов са и сь, коллинеарных соответственно векторам а и b, в силу будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где k и I — соответствующие скаляры.

Если векторы а, b, с попарно коллинеарны, то можно написать

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

таким образом, снова выполнено условие (1).

2) Обратно, если для векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 176) выполнено условие (1), то на основании смысла соответствующих векторных операций вектор с расположен в плоскости, содержащей векторы а и b, т. е. эти векторы компланарны.

Пример:

Векторы а, а + b, а — b компланарны, так как

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Проекция вектора на ось

Осью называется направленная прямая. Направление прямой обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси будем считать положительным, противоположное — отрицательным.

Определение: Проекцией точки А на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(рис.177) называется основание А’ перпендикуляра АА’, опущенного из точки А на эту ось.

Здесь под перпендикуляром АА’ понимается прямая, пересекающая ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и составляющая с ней прямой угол. Таким образом, проекция А есть пересечение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной оси с этой осью.

Определение: Под ком-по не н той (составляющей) вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения относительно оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 177) понимается вектор а’ = АВ’, начало которого А есть проекция на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начала А вектора а, а конец которого В’ есть проекция на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения конца В этого вектора.

Определение: Под проекцией вектора а на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения понимается скаляр Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, равный длине {модулю) его компоненты а’ относительно оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, взятой со знаком плюс.

Напомним, что все геометрические объекты мы здесь рассматриваем в трехмерном пространстве.

Если направление компоненты совпадает с направлением оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, и со знаком минус, если направление компоненты противоположно направлению оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если а = О, то полагаютВектор - определение и основные понятия с примерами решения = О.

Заметим, что если е — единичный вектор оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то для компоненты а’ справедливо равенство

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теорема: Проекция вектора а на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна произведению длины а вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Так как вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения свободный (рис. 178), то можно предположить, что начало его О лежит на оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

1) Если угол ф между вектором a и осью Вектор - определение и основные понятия с примерами решения острый Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то направление компоненты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектора а совпадает с направлением оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 178, а). В этом случае имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2) Если угол ф между вектором а и осью Вектор - определение и основные понятия с примерами решения тупой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(рис. 178, б), то направление компоненты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектора а противоположно направлению оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

3) Если же ф = Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то формула (2), очевидно, выполняется, так как при этом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Таким образом, формула (2) доказана.

Следствие 1. Проекция вектора на ось: 1) положительна, если вектор образует с осью острый угол; 2) отрицательна, если этот угол — тупой, и 3) равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Теорема: Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме их проекций на эту ось.

Доказательство: Пусть, например, s = a + b + с,

где (рис. 179) Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и, следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Обозначая проекции точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и учитывая направления компонент (рис. 179), имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

что и требовалось доказать.

Следствие. Проекция замкнутой векторной линии на любую ось равна нулю.

Теорема: При умножении вектора на скаляр его проекция на данную ось умножается на этот скаляр, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Формула (4) следует из теоремы 1 и смысла умножения вектора на скаляр.

Следствие. Проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Пусть (рис. 180) Ox, Оу, Oz — три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начало координат) и образующие правую тройку (правая система координат), т. е. ориентированные по правилу правого буравчика. Иными словами, для наблюдателя, направленного по оси Oz, кратчайший поворот оси Ох к оси Оу происходит против хода часовой стрелки.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Три взаимно перпендикулярные плоскости Oyz, Ozx и Оху, проходящие через соответствующие оси, называются координатными плоскостями; они делят все пространство на восемь октантов.

Для каждой точки М пространства (рис. 180) существует ее радиус-вектор г = ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М.

Определение: Под декартовыми прямоугольными координатами х, у, z точки М понимаются проекции ее радиуса вектора г на соответствующие оси координат, т. е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

В дальнейшем для краткости декартовы прямоугольные координаты мы будем называть просто прямоугольными координатами.

Точка М с координатами х, у, z обозначается через М (х, у, z), причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, а третья — аппликатой точки М.

Для нахождения этих координат через точку М проведем три плоскости МА, MB, МС, перпендикулярные соответственно осям Ox, Оу, Oz (рис. 180). Тогда на этих осях получатся направленные отрезки

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

численно равные координатам точки М.

Радиус-вектор г является диагональю параллелепипеда П с измерениями Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, образованного плоскостями МА, МБ, МС и координатными плоскостями. Поэтому

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если обозначить через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения углы, образованные радиусом-вектором г с координатными осями, то будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Косинусы cos а, cos р, cos у называются направляющими косинусами радиуса-вектора г. Из (4), учитывая (3), получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов радиуса-век-тора точки пространства равна 1.

Из формулы (4) следует, что координата точки М положительна, если радиус-вектор этой точки образует острый угол с соответствующей координатной осью, и отрицательна, если этот угол тупой. В частности, в I октанте пространства, ребра которого составляют положительные полуоси координат, все координаты точек положительны- В остальных октантах пространства отрицательными координатами точек будут те, которые соответствуют отрицательно направленным ребрам октанта.

Измерения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения параллелепипеда П равны расстояниям точки М соответственно от координатных плоскостей Oyz, Ozx, Оху. Таким образом, декартовы прямоугольные координаты точки М пространства представляют собой расстояния от этой точки до координатных плоскостей, взятые с надлежащими знаками,

В частности, если точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежит на плоскости Oyz, то х = 0; если на плоскости Ozx, то у = 0; если же на плоскости Оху, то z = 0, и обратно.

Длина и направление вектора

Пусть в пространстве Oxyz задан вектор а. Проекции этого вектора на оси координат

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

называются координатами вектора а; при этом вектор мы будем записывать так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Так как вектор а свободный, то его можно рассматривать как радиус-вектор точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Отсюда получаем длину вектора

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Направляющие косинусы вектора а определяются из уравнений

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

причем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице. Направляющие косинусы ненулевого вектора однозначно определяют его направление. Следовательно, вектор полностью характеризуется своими координатами.

Пример №24

Найти длину и направление вектора а = {1, 2, -2}.

Решение:

Имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, вектор а образует острые углы с координатными осями Ох и Оу и тупой угол с координатной осью Ог.

Расстояние между двумя точками пространства

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — начальная точка отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения— конечная точка его. Точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения можно задать их радиусами-векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 181).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рассматривая вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, из Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Проецируя это векторное равенство на оси координат и учитывая свойства проекций, получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, проекции направленного отрезка на оси координат равны разностям соответствующих координат конца и начала отрезка.

Из формул (2) получаем длину отрезка (или, иначе, расстояние между двумя точками Вектор - определение и основные понятия с примерами решения)

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Итак, расстояние между двумя точками пространства равно корню квадратному из квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Пример №25

Ракета из пункта М1 (10, -20, 0) прямолинейно переместилась в пункт М2 (-30, -50, 40) (расстояния даны в километрах). Найти путь пройденный ракетой.

Решение:

На основании формулы (3) имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Заметим, что, найдя направляющие косинусы вектора перемещения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, нетрудно определить направление движения ракеты.

Действие над векторами, заданными в координатной форме

Пусть вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения задан своими проекциями на оси координат Ox, Оу, Oz.

Построим параллелепипед (рис. 182), диагональю которого является вектор а, а ребрами служат компоненты его Вектор - определение и основные понятия с примерами решения относительно соответствующих координатных осей. Имеем разложение

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если ввести единичные векторы (орты) i, j, k, направленные по осям координат, то на основании связи между компонентами вектора и его проекциями будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем координатную форму вектора

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Заметим, что разложение (3) для вектора а единственно. Действительно, пусть

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда, вычитая из равенства (3) равенство (3′) и пользуясь перемести -тельным и сочетательным свойствами суммы векторов, а также свойствами разности векторов, будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если хотя бы один из коэффициентов при ортах i, j и k был отличен от нуля, то векторы i, j и k были бы компланарны, что неверно. Поэтому Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и единственность разложения (3) доказана.

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то, очевидно, также имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рассмотренные выше линейные операции над векторами можно теперь записать в следующем виде:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

или короче: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Таким образом, при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр;

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

или кратко: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, при сложении (или вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (или вычитаются):

Пример №26

Найти равнодействующую F двух сил

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

и ее направление.

Решение:

Имеем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — направляющие косинусы равнодействующей F.

Скалярное произведение векторов

Определение: Под скалярным произведением двух векторов а и b понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. в обычных обозначениях:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Заметим, что в формуле (1) скалярное произведение можно еще записывать как ab, опуская точку. Так как (рис. 183)

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

то можно записать

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого на ось с направлением первого.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Физический смысл скалярного произведения

Пусть постоянная сила F обеспечивает прямолинейное перемещение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения материальной точки. Если сила F образует угол ф с перемещением s (рис. 184), то из физики известно, что работа силы F при перемещении s равна

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На основании формулы (1) имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее м точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Скалярное произведение векторов обладает следующими основными свойствами.

1)Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство):

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Эта формула непосредственно следует из формулы (1).

2)Для трех векторов а, b и с справедливо распределительное свойство

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т. е. при скалярном умножении суммы векторов на вектор можно «раскрыть скобки».

Действительно, на основании формул (2), учитывая свойства проекций векторов, имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

3)Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Действительно,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда для модуля вектора получаем формулу

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

4)Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это свойство также легко получается из (1).

5)Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

(Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — скаляры).

Это — очевидное следствие 2) и 4).

Из определения (1) вытекает, что косинус угла Вектор - определение и основные понятия с примерами решения между двумя ненулевыми векторами а и b равен

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из формулы (8) получаем, что два вектора а и b перпендикулярны (ортогональны), т. е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, тогда и только тогда, когда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из векторов а или b нулевой.

Пример №27

Найти проекцию вектора а на вектор b. Обозначая через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения угол между этими векторами, имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где е =Вектор - определение и основные понятия с примерами решения— орт вектора b

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Пусть

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Перемножая эти векторы как многочлены и учитывая соотношения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат. Отсюда, обозначая через ф угол между векторами а и b, получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример:

Определить угол ф между векторами а = { 1,+2, 3} и b ={-3, 2,-1}. На основании формулы (4) имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть векторы а и b коллинеарны (параллельны). Согласно условию коллинеарности,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где k — скаляр, что эквивалентно Вектор - определение и основные понятия с примерами решения или

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

Для перпендикулярных (ортогональных) векторов а и b имеем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и, следовательно, cos ф = 0 или, согласно формуле (4),

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма парных произведений их одноименных координат равна нулю.

Векторное произведение векторов

Напомним, что тройка а, b и с некомпланарных векторов называется правой (рис. 185, а) или левой (рис. 185, б), если она ориентирована по правилу правого винта или соответственно по правилу левого винта.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Заметим, что если в тройке некомпланарных векторов а, b, с переставить два вектора, то она изменит свою ориентацию, т. е. из правой сделается левой или наоборот.

В дальнейшем правую тройку мы будем считать стандартной.

Определение: Под векторным произведением двух векторов а и b понимается вектор

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

для которого:

1)модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т. е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 186);

2)этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен плоскости построенного на них параллелограмма), т. е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;

3)если векторы неколлинеарны, то векторы а, b, с образуют правую тройку векторов.

Укажем основные свойства векторного произведения.

1)При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Действительно, при перестановке векторов а и b площадь построенного на них параллелограмма остается неизменной, т. е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Однако тройка векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения является левой. Поэтому направление вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположно направлению вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (а и b неколлинеарны). Если а и b коллинеарны, то равенство (3) очевидно.

Таким образом, векторное произведение двух векторов не обладает переместительным свойством.

2)Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это — очевидное следствие свойства 1).

3)Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — скаляр, то

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это свойство непосредственно вытекает из смысла произведения вектора на скаляр и определения векторного произведения.

4)Для любых трех векторов а, b, с справедливо равенство

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т.е. векторное произведение обладает распределительным свойством.

Пример:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда, в частности, имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т. е. площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, равна удвоенной площади этого параллелограмма.

С помощью векторного произведения удобно формулировать легко проверяемый критерий коллинеарности двух векторов а и b:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторное произведение в координатной форме

Пусть

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Перемножая векторно эти равенства и используя свойства векторного произведения, получим сумму девяти слагаемых:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из определения векторного произведения следует, что для ортов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения справедлива следующая «таблица умножения»:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поэтому из формулы (3) получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (с сохранением порядка следования букв Вектор - определение и основные понятия с примерами решения).

Для удобства запоминания формула (4) записывается в виде определителя третьего порядка (см. гл. XVII) Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из формулы (4) вытекает, что

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Геометрически формула (6) дает квадрат площади параллелограмма, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Пример №28

Найти площадь треугольника с вершинами А (1, 1, 0), В (1,0, 1) и С (0, 1, 1).

Решение:

Площадь S треугольника ABC равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 187). Используя формулы для проекций направленных отрезков, имеем Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решенияотсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно,Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Смешанное произведение векторов

Определение: Под смешанным (или векторно-скалярным) произведением векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения понимается число

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Построим параллелепипед П (рис. 188), ребрами которого, исходящими из общей вершины О, являются векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е. площадь основания параллелепипеда. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Высота этого параллелепипеда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, очевидно, равна

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и знак плюс соответствует острому углу Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а знак минус — тупому углу ф. В первом случае векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения образуют правую тройку, а во втором — левую тройку.

На основании определения скалярного произведения имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где V — объем параллелепипеда, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т. е. смешанное произведение трех векторов равно объему V параллелепипед а у построенного на этих векторах, взятому со знаком плюсу если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку.

Справедливы следующие основные свойства смешанного произведения векторов.

1)Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда П, ни ориентация его ребер.

2)При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на обратный, т. е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это следует из того, что перестановка соседних множителей, сохраняя объем параллелепипеда, изменяет ориентацию тройки векторов, т.е. правая тройка переходит в левую, а левая — в правую.

С помощью смешанного произведения получаем необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:

abc = 0

(объем параллелепипеда равен нулю). Если

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

то, используя выражения в координатах для векторного и скалярного  произведений векторов, получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения т. e. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

  • Прямая — понятие, виды и её свойства
  • Плоскость — определение, виды и правила
  • Кривые второго порядка
  • Евклидово пространство
  • Логарифм — формулы, свойства и примеры
  • Корень из числа — нахождение и вычисление
  • Теория множеств — виды, операции и примеры
  • Числовые множества

Мы постепенно показываем вам математику за пределами школьной программы. Начинали со знакомства с векторами, теперь сделаем следующий шаг. 

Напомним основные мысли: 

  • Вектор — это абстрактное понятие, которое представляет собой организованную последовательность каких-то чисел.
  • В виде вектора можно представить координаты предмета в каком-то пространстве; площадь квартиры и её стоимость; цифровые данные анкеты какого-то человека и динамику цен на нефть.
  • Если по-простому, то векторы нужны, чтобы обрабатывать большое количество организованных чисел. Представьте, что вектор — это коробка с конфетами, только вместо конфет — числа. Каждое число стоит в своей ячейке.
  • Машинное обучение основано на перемножении матриц, которые, в свою очередь, можно представить как наборы векторов. Так что векторы лежат в глубине всех модных и молодёжных технологий ИИ.

С векторами можно совершать некоторые математические операции. Вот о них и поговорим. 

Правильно — векторы

Математики часто говорят во множественном числе «вектора», но по словарю правильно «векторы». Это такой профессиональный жаргон, как «договора», «бухгалтера» и «сервера». Мы будем использовать «векторы», но если вы окажетесь в постковидном математическом баре, лучше говорите «вектора». 

Сложение

Представим четыре вектора, которые лежат в двухмерном пространстве и пока что не связаны между собой. Нарисуем эти векторы и обозначим их буквами X, Y, Z, K. 

Поскольку векторы находятся в одном пространстве, координаты каждого состоят из одинакового количества чисел. У нас пример с двухмерным пространством и два числа. Выглядеть это будет так: X = (6, 4); Y = (3, −2); Z = (−7, −5); K = (−10, 4).

Операции с векторами

Векторы X, Y, Z, K в двухмерном пространстве

Если у нас несколько векторов с одинаковым количеством чисел, то эти числа можно поэлементно складывать. Для этого мы берём первое число одного вектора, складываем его с первым числом другого вектора и так далее. 

Предположим, нам нужно сложить векторы X и Y. 

X = (6, 4)
Y = (3, −2)
X + Y = (9, 2)

Вроде просто: складываешь последовательно все координаты, результаты сложения складываешь в исходные коробочки. Так можно делать с любым количеством координат. Помните, что вектор — это необязательно стрелка в двумерном пространстве. Она может быть и в десятимерном пространстве — с точки зрения математики это неважно.

Например, вот сложение векторов с пятью координатами: 

X = (6, 4, 11, 14, 99)
Y = (3, -2, 10, -10, 1)
X + Y = (9, 2, 21, 4, 100)

Интуитивное изображение сложения

Для интуитивного восприятия удобно использовать векторы с двумя координатами. Их удобно рисовать на координатной плоскости и таким образом смотреть на геометрию.

Например, можно на плоскости показать, как будет работать сложение двух векторов. Для этого есть два метода: метод треугольника и метод параллелограмма. 

Метод треугольника: ставим векторы Х и Y в очередь друг за другом. Для этого берём вектор Х, ставим за ним вектор Y и получаем новый вектор. Новый вектор начинается в хвосте вектора Х и заканчивается на стрелке вектора Y. Этот вектор — результат сложения. Представьте, что это ребёночек двух векторов.

Операции с векторами

Сложение векторов по методу треугольника: X = (6, 4); Y = (3, −2); Х + Y = (9, 2)

Чтобы воспользоваться методом параллелограмма, нам нужно поставить векторы Х и Y в одну исходную точку. Дальше мы дублируем векторы Х и Y, формируем параллелограмм и получаем новый вектор. В новом векторе соединяем исходную точку с исходной точкой дублирующих векторов — стрелка проходит посередине параллелограмма. Длина нового вектора — это сумма векторов Х и Y. 

Сложение по методу параллелограмма и треугольника даёт одинаковый результат. Поэтому выбирайте вариант, который больше подходит под задачу.

Операции с векторами

Сложение векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); Y = (3, -2); Х + Y = (9, 2)

Вычитание

Вычитание векторов немного сложнее. Чтобы вычесть векторы, нужно «развернуть» вычитаемый вектор и сложить его с исходным. «Развернуть» — то есть направить в обратную сторону, «перевернув» знаки координат. Получится конструкция вроде такой: Х + (−Y)

Дальше используются правила сложения. Пошагово это выглядит так: 

  1. У нас есть X = (6, 4) и Y = (3, −2). 
  2. Превращаем формулу Х − Y в формулу Х + (−Y). 
  3. Разворачиваем вектор Y. Было: Y = (3, −2). Стало: −Y = (−3, 2).
  4. Считаем: X + (−Y) = (3, 6). 

Теперь посмотрим, как выглядит вычитание векторов на графике:

Операции с векторами

Вычитание векторов по методу треугольника: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6)
Операции с векторами
Вычитание векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6)

Длина вектора 

Длина вектора — это одно число, которое измеряется расстоянием от кончика до стрелки вектора. Длину вектора нельзя путать с координатами. Координаты — это несколько чисел, которые указывают на расположение стрелки вектора. По координатам можно определить только конечную точку вектора. Например, если X = (6, 2), то стрелка будет находиться в точке 6 по оси Х. Или другой пример: если Y = (6, 5), то стрелка этого вектора будет находиться в точке 5 по оси Y.    

Предположим, нам известны начальные точки векторов X и Y. Пусть это будет точка 2 по оси X и точка 2 по оси Y. Так мы можем легко посчитать длину отрезков: 

X = 6 − 2 = 4
Y = 5 − 2 = 3

Иногда приходится рассчитывать длину третьего вектора, который привязан к двум другим векторам. Это легко сделать с помощью теоремы Пифагора — это когда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае катетами будут длины векторов X и Y. Вспоминаем школьную формулу и считаем:

|C|2 = 42 + 32 = 25
|C| = √25 = 5

Операции с векторами

Длина вектора считается по формуле прямоугольного треугольника. Чтобы было проще представить — перенесите векторы на систему координат

Это формула для двумерного пространства. В трёхмерном пространстве формула похожая: нужно сложить квадраты трёх координат и вычислить квадратный корень из суммы. 

Операции с векторами

В пространстве с большим числом измерений формула выглядит сложнее, но по сути то же: складываем все квадраты координат и получаем квадратный корень из этой суммы.

Операции с векторами

Умножение и деление вектора на число 

Умножение и деление позволяют изменить длину и направление вектора. Если мы умножим вектор Х на три, то увеличим его длину в три раза. Если умножим на минус три — увеличим длину и изменим его направление на противоположное. 

Операции с векторами

Умножение вектора на число

Для деления сохраняются аналогичные правила. Делим вектор Х на три и сокращаем длину в три раза. Делим на минус три — сокращаем и разворачиваем.

Операции с векторами

Деление вектора на число

Да вроде несложно!

Пока ничего сложного. Но если углубляться, вы узнаете, что: 

  • векторы можно умножать на векторы тремя способами в зависимости от задачи и от того, что мы понимаем под умножением;
  • если от векторов перейти к матрицам, то перемножение матриц имеет несколько более сложную и довольно неинтуитивную математику;
  • а перемножение матриц — это и есть машинное обучение. 

Что дальше

В следующей статье рассмотрим линейную зависимость векторов. Чтобы не скучать — посмотрите интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия сеньор-дата-сайентист в Росбанке и по совместительству блогер с интересной историей. 

Иллюстратор

Даня Берковский

Векторэто направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий
определенную длину и определенное направление. Пусть точка  А – начало вектора, а точка B – его конец, тогда вектор обозначается символом 
 или . Вектор  называется противоположным
вектору 
 и может быть
обозначен
 .

Сформулируем ряд базовых определений. 

Длиной
или модулем
вектора 
 называется
длина отрезка и обозначается 
. Вектор нулевой длины (его суть — точка) называется нулевым 
 и направления
не имеет. Вектор 
 единичной длины, называется единичным. Единичный вектор, 
направление которого совпадает с направлением вектора 
, называется ортом вектора  .

Векторы
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых, записывают
. Коллинеарные векторы могут иметь совпадающие или
противоположные направления. Нулевой вектор считают коллинеарным любому
вектору.

Векторы
называются равными 
, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют
одинаковые длины.

 Три вектора в пространстве называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди
трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы
компланарны.

Рассмотрим в
пространстве прямоугольную систему координат 0xyz. Выделим на осях координат 0x, 0y, 0z единичные векторы (орты) и
обозначим их через 
 соответственно.
Выберем произвольный вектор

 пространства и совместим его начало с началом
координат. Спроектируем вектор
 на координатные
оси и обозначим проекции через ax, ay, az 
соответственно. Тогда нетрудно показать, что 

.                                                                                                                                                                     (2.25)

Эта
формула является основной в векторном исчислении и называется разложением
вектора по ортам координатных осей
. Числа ax, ay, az называются координатами вектора 
. Таким образом, координаты вектора являются его
проекциями на оси координат. Векторное равенство (2.25) часто записывают в
виде 

. Мы будем использовать обозначение вектора в фигурных
скобках, чтобы визуально легче различать координаты вектора и координаты точки.
С использованием формулы длины отрезка, известной из школьной геометрии, можно
найти выражение для вычисления модуля вектора 

:

,                                                                                                                                                                               (2.26)

то
есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Обозначим углы между вектором 
 и осями
координат через α, β, γ  соответственно. Косинусы этих углов называются
для вектора 
 направляющими, и для них выполняется соотношение:Верность данного равенства можно показать с помощью
свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем
пункте 4.

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы  своими
координатами.  Имеют место следующие
операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и
проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные
произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).

1. Сложение  двух векторов производится покоординатно, то
есть если 

.

Данная
формула имеет место для произвольного конечного числа слагаемых.

Геометрически
два вектора складываются по двум правилам:

а) правило треугольника
результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с
концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого
вектора; для суммы векторов –
результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего
вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с
концом предыдущего;

б)
правило
параллелограмма
(для двух
векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах,
приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из  их общего начала, является  суммой 
векторов.

2. Вычитание двух векторов производится
покоординатно, аналогично сложению, то есть если 
, то

.

Геометрически два
вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма  с учетом того, что разностью векторов
является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор
направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

Важным следствием
вычитания векторов является тот факт, что если известны координаты начала и
конца вектора, то для вычисления координат вектора необходимо из координат его конца
вычесть координаты его начала
. Действительно, любой вектор пространства 
 может быть
представлен в виде разности двух векторов, исходящих из начала координат: 
. Координаты векторов и совпадают с
координатами точек
А и В, так как начало координат О(0;0;0). Таким образом, по правилу
вычитания векторов следует произвести вычитание координат точки
А из координат точки В.

3. Умножение вектора на число λ покоординатно:.

При  λ>0
– вектор
 сонаправлен ; λ<0 – вектор  противоположно направлен ; |λ|>1 –  длина вектора  увеличивается в λ раз; |λ|<1 –  длина вектора   уменьшается в λ раз.

4. Пусть в пространстве задана
направленная прямая (ось l), вектор 
 задан
координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l
соответственно через A  и B.

Проекцией вектора  на ось l называется длина вектора ,   взятая со
знаком «+», если вектор 
 и ось  l  сонаправлены,  и  со
знаком «–»,  если 
 и l  противоположно направлены.

 

Если
в качестве оси l взять некоторый другой вектор 
, то получим проекцию вектора  на вектор .

Рассмотрим некоторые
основные свойства проекций:

1)     проекция вектора  на ось l равна произведению модуля
вектора 
 на косинус угла
 между вектором и осью, то есть 
;

2.)     проекция вектора на ось
положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и
равна нулю, если этот угол – прямой; 

3)     проекция суммы нескольких
векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.

Сформулируем определения и
теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над
векторами.

5. Скалярным произведением  векторов  и  называется
число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на  косинус угла
φ между
ними, то есть 

 .                                                                                                                                                                                 (2.27)

Очевидно, что скалярный квадрат любого ненулевого вектора равен квадрату его длины, так как в этом случае угол , поэтому его косинус (в 2.27) равен 1.

Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием
перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного
произведения 

Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть 

Теорема 2.3. Скалярное произведение двух векторов ,
заданных своими координатами, равно сумме  произведений их одноименных координат, то есть 

                                                                                                                                                       (2.28)

С помощью скалярного произведения векторов можно
вычислить угол
 между ними. 
Если  заданы два ненулевых вектора
своими координатами 
, то косинус угла φ между ними:

                                                                                                                                            (2.29)

Отсюда
следует условие перпендикулярности ненулевых векторов
 
 и  :

                                                                                                                                                                              (2.30)

Нахождение проекции вектора  на направление,
заданное вектором 
 , может осуществляться по формуле

                                                                                                                       (2.31)

С помощью скалярного произведения векторов находят
работу постоянной  силы 
 на
прямолинейном участке пути.

Предположим, что под действием постоянной силы  материальная точка перемещается прямолинейно из
положения А в положение B. Вектор силы 
образует угол φ с вектором перемещения  (рис. 2.14). Физика утверждает, что работа силы  при перемещении  
равна .

Следовательно, работа постоянной силы
при прямолинейном перемещении точки ее приложения равна скалярному произведению
вектора силы на вектор перемещения.

       Пример
2.9.
С
помощью скалярного произведения векторов найти угол при вершине
A параллелограмма  ABCD
 построенного на векторах     

Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение
по теореме (2.3):

Отсюда согласно формуле (2.29) получим косинус
искомого угла 

Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых
на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).

Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной
тонны творога?

                                                                                                         Таблица 2.2                               

                         

 Решение. Введем в рассмотрение два вектора: вектор затрат
ресурсов на тонну продукции  и вектор цены единицы
соответствующего ресурса  .

Тогда . Общая цена
ресурсов 
, что представляет собой скалярное произведение
векторов 
. Вычислим его по формуле (2.28) согласно теореме 2.3:

 

 Таким образом, общая цена затрат на производство одной
тонны творога составляет 279 541,5 рублей

Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10,
можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного
произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве
аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений
которых необходимо найти. В MathCAD
скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего
оператора панели инструментов Matrix 

Пример 2.11. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно
из положения A(2;4;6) в положение A(4;2;7). Под каким углом к AB направлена сила 
?

Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты
начала

 . По формуле (2.28)  (единиц работы).

Угол φ между  и
 
 находим по
формуле (2.29), то есть 

 

 6. Три некомпланарных вектора , взятые в указанном порядке, образуют правую
тройку
,
если при наблюдении из конца третьего вектора  кратчайший
поворот от первого вектора 
 ко второму
вектору 
совершается против часовой стрелки, и левую,
если по часовой стрелке.

Векторным
произведением
 
 вектора  на вектор  называется
вектор 
, удовлетворяющий следующим условиям:

–  перпендикулярен  векторам   и ;

– имеет длину, равную , где φ – угол, образованный векторами
 
 и ;

– векторы  образуют правую
тройку (рис. 2.15).

        Теорема 2.4. Необходимым и достаточным
условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного
произведения 
  

Теорема 2.5. Векторное произведение векторов , заданных своими координатами, равно определителю
третьего порядка вида

                                                                                                                                                                    (2.32)  

Примечание.  Определитель (2.25) 
раскладывается по свойству 7  определителей 

 Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух
векторов является пропорциональность их соответствующих координат

Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны 

Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю 

Геометрическая
интерпретация векторного произведения
состоит в том, что длина результирующего
вектора численно равна площади S
параллелограмма, построенного на векторах–сомножителях как на сторонах,
приведенных к одному началу. Действительно, согласно определению,  модуль
векторного произведения векторов равен  
. С другой стороны, площадь параллелограмма,
построенного на векторах 
 и , также равна    

. Следовательно,

 .                                                                                                                                                                         (2.33)

         Также с помощью векторного произведения можно
определить момент  силы относительно точки и  линейную  скорость вращения.

      
Пусть в точке A приложена
сила 
 и пусть O
некоторая точка пространства (рис. 2.16). Из курса физики известно, что моментом
силы 
 относительно
точки
O называется вектор 
, который проходит через точку  O и удовлетворяет следующим условиям:

— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки OAB;

его модуль численно равен произведению силы на плечо .

—  образует правую тройку с векторами  и  .

Следовательно,
момент силы 
 относительно
точки 
O представляет собой векторное произведение 

       .                                                                                                                                                                                        (2.34)

  

Линейная скорость  точки М твердого тела, вращающегося с
угловой скоростью 
 вокруг
неподвижной оси, определяется формулой
 Эйлера  , O – некоторая неподвижная

точка оси (рис. 2.17).

Пример 2.12. С помощью
векторного произведения найти площадь треугольника ABC, построенного на векторах
 
 , приведенных к одному началу.

Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по
формуле (2.32).

.  Согласно формуле (2.33) модуль векторного
произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади
параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах, приведенных к
общему началу, то есть 
. Тогда площадь треугольника   
. Следовательно, искомая площадь равна  (единиц
площади)

7. Рассмотрим произведение трех векторов , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а
результирующий вектор скалярно на третий. Такое произведение 
 называется смешанным
произведением
трех векторов
(векторно–скалярным произведением).

Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности
трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения 

Теорема 2.7. Если три вектора  заданы своими координатами, то их смешанное
произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из
координат векторов- сомножителей соответственно, то есть

                                                                                                                                                                                 (2.35)

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда,
построенного на векторах 
 как на
сторонах, приведенных к общему началу, численно равен модулю смешенного
произведения этих векторов 
.          

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же
векторах, равен

                                                                                                                                                                                       (2.36)

Пример 2.13. Вершинами пирамиды служат точки . Вычислить объем пирамиды.

Решение. Найдем
координаты векторов

 . Вычислим смешанное произведение этих векторов: 

По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на
векторах 
 равен
 
(единиц объема)  

Рассмотрим очень важный вопрос о
разложении вектора по базису. Приведем 
следующие определения.

Система векторов  называется
линейно зависимой, если существуют такие числа 
, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет
место равенство

                                                                                                                                                                   (2.37) 

Отсюда всегда можно один из линейно
зависимых векторов выразить через линейную комбинацию остальных. Действительно,
допустим для определенности, что 
. Тогда на это число разделим равенство (2.37), имеем: 

получим выражение вектора  через
остальные векторы 

Линейно независимыми называют векторы, если равенство
(2.37)  выполняется только тогда, когда
все

  В системе векторов  число линейно
независимых векторов равняется рангу матрицы, которая составлена из координат
этих векторов (смотри
  раздел  I.5).

Базисом n – мерного
пространства
En называют любую совокупность  линейно независимых векторов         n – мерного пространства.

Произвольный вектор  n
– мерного пространства можно представить
в виде линейной комбинации векторов базиса 

 таким образом: 

Числа
 
называются координатами
вектора 
 в базисе
векторов 
.

Линейное пространство называется
конечномерным
и имеет размерность n, если в этом
пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая,
что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.

Например, в трехмерном пространстве
существует базис единичных орт 
 такой, что любое расширение этой системы
линейно независимых векторов, то есть каждый вектор 
 трехмерного
пространства, приводит к линейной зависимости векторов (является линейной
комбинацией
орт ): Коэффициенты {x1, x2, x3} такого разложения вектора
 по ортам  являются координатами вектора  в трехмерном 
пространстве.

Вопросы для самопроверки 

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти колечко в снегу
  • Как найти лоуренса принца
  • Как найти органы малахая
  • Как найти электронный больничный сотрудника
  • Как на маке найти другие