Как найти сложную номинальную процентную ставку

Многие активы не учитывают в своей потенциальной доходности такой важный элемент, как сложный процент. Используя механизм капитализации, можно даже маленький капитал превратить в колоссальную сумму. Расскажем в статье, как работает сложный процент в инвестициях и в чем состоит его феномен.

Сложный процент — что это такое

Простыми словами, сложный процент – это процент, который начисляется на начальную сумму вложений и на проценты, накопленные за предыдущие периоды.

Основное преимущество инвестиций со сложным процентом состоит в том, что регулярное реинвестирование прибыли увеличивает доходность финансового актива и позволяет заработать еще больше в будущем.

Как работает и где используется

Механизм сложного процента действует по подобию снежного кома: инвестиции приносят доход, который в свою очередь также вкладывается и создает уже новый дополнительный доход. Чтобы получать эффект сложного процента от своих инвестиций, дополнительных стратегий или особых экономических знаний не требуется. Достаточно реинвестировать доходы, а не тратить их.

Сегодня капитализация процентов активно используется в банковской сфере и на рынке ценных бумаг (акции, облигации, ПИФы, ETF и т. д.). Также сложный процент можно применять и в недвижимости, когда доход от аренды направляется на покупку и сдачу в аренду новых недвижимых объектов.

Формула сложного процента

В интернете есть большое количество ресурсов, которые предлагают клиенту автоматически рассчитать капитализацию. Такие калькуляторы сложных процентов сильно экономят время. Однако если вы хотите досконально разобраться в работе капитализации процентов, лучше рассчитать ваши доходы от инвестиций вручную.

Итак, как капитализация процентов определяется по формуле?

Самая простая формула для расчета сложных процентов выглядит следующим образом:

FV = PV х (1+r/100)ⁿ , где

• FV – будущая сумма;
• PV – начальная сумма вложений;
• r – процентная ставка;
• n – количество лет (дней, месяцев и т. д.).

Главное качество, которое должны развить в себе все инвесторы, желающие применять силу сложных процентов, – это терпеливость. В первые годы реинвестирования капитала прибыль будет незначительной по сравнению с простым процентом, но на длительном промежутке времени доходность будет расти в геометрической прогрессии. Эффект сложных процентов позволяет доходу, который вы реинвестируете, приносить вам в будущем «проценты на проценты». Наиболее очевидный пример сложного процента – описание схемы работы банковского депозита.

Пример расчета

Допустим, клиент открыл банковский вклад на 100 000 рублей под 10% годовых.

Срок вложения – 5 лет. По договору также есть право каждый год снимать проценты со вклада. Сколько в итоге можно заработать?

Есть два подхода к формированию прибыли:

1. Простая ставка процента. Каждый год инвестор будет снимать со счета все начисленные проценты и тратить их на свои нужды.
2. Сложная ставка процента. Инвестор не снимает проценты. Начисленный доход реинвестируется и приносит еще больше прибыли.

Годовая доходность инвестора по вкладу в первый год составляет 10 000 рублей. Если регулярно снимать проценты, то за 5 лет клиент заработает 50 000 рублей чистой прибыли. Можно ли заработать больше? Можно. Если не снимать проценты, то доходность вклада с каждым годом будет увеличиваться, так как начисленные проценты будут реинвестироваться и генерировать новый доход. В таком случае через 5 лет инвестор заработает уже 61 051 рубль. Более наглядно математическую «магию» можно проследить в таблице ниже.

Через 5 лет разница в реальном выражении составит 11 051 рублей. Благодаря капитализации процентов инвестор сможет заработать не 50 000 рублей, а 61 051 рубль чистой прибыли. Данный пример показывает, что на длительной дистанции эффект сложного процента очевиден. Чем дольше реинвестировать, тем больше можно заработать.

Более упрощенно наши расчеты доходности можно было бы записать через ранее рассмотренную формулу сложного процента с капитализацией: FV = PV х (1+r/100)ⁿ

Нам известны следующие данные:

• PV = 100 000 рублей;
• r = 10%;
• n = 5 лет.

Подставим все значения в формулу расчета сложных процентов:

FV = 100 000 х (1+10/100)⁵  = 161 051 рубль

Как видно, результат тот же. Через 5 лет банковский вклад с капитализацией превратит 100 000 рублей клиента в 161 051 рубль.

Важно отметить, что многие банки практикуют политику ежемесячной капитализации, а не годовой. Это значит, что даже при номинальной годовой ставке в 10% (как в нашем примере) вкладчик, который не снимал деньги со счета все 12 месяцев, в конце первого финансового года получит уже не 10 000 рублей, а 10 446 рублей.

Примечание. Ежемесячная ставка составляет 1,0083%. (10% / 12 месяцев). В таком случае по формуле сложных процентов среднегодовая ставка с учетом капитализации составит уже 10,46%.

Сложный процент в инвестировании

Помимо банковской сферы, капитализация процентов активно используется и на фондовом рынке. Ведь реинвестирование прибыли – эффективный инструмент, который позволяет многим профессиональным участникам рынка добиваться значительных результатов даже без сложных финансовых стратегий и умных алгоритмов торговли. Рассмотрим, как работает сложный процент в разных инвестиционных активах.

Реинвестиции дивидендов по акциям

Заработать на акциях можно не только путем купли-продажи по более высокой цене, но и за счет получения дивидендов. При этом многие инвесторы придерживаются более долгосрочных взглядов и реинвестируют дивиденды, покупая новые акции. Как и при банковском вкладе, инвестор имеет возможность получить гораздо большую прибыль в будущем при условии, что курсовая стоимость новых акций будет расти, а не падать.

Среди российских компаний инвесторы чаще всего получают дивиденды от Газпрома, МТС и Лукойла.

Реинвестирование облигаций

Все владельцы облигаций (кроме дисконтных бумаг) получают от эмитента купонный доход. Он может выплачиваться компанией или государством один раз в месяц, квартал или даже год. Если инвестор не планирует тратить купонный доход, его также можно реинвестировать.

При этом важно понимать, что номинальная стоимость облигации обычно составляет 1000 рублей. Поэтому, если инвестор покупает долговую ценную бумагу, например, за 1100 рублей (рыночная цена), то выплата процентов и погашение основной суммы долга будет осуществляться из расчета именно в 1000 рублей. И в таком случае вкладчик будет нести убытки.

Чтобы реинвестирование купонных доходов приносило инвестору ощутимую прибыль, необходимо покупать бумаги по цене ниже номинальной стоимости, а не наоборот.

Вложения в ETF или ПИФ

Как правило, владельцы акций ETF или паев ПИФа не получают никаких дивидендов. Инвесторы зарабатывают только на купле-продаже ценных бумаг. Однако это не значит, что механизм реинвестирования в этих финансовых инструментах не работает. Дело в том, что структура активов ETF и ПИФов также состоит из акций и облигаций, по которым выплачивается периодический доход. Но чаще всего управляющие фондов сами автоматически реинвестируют дивиденды и купонные доходы без участия акционеров и пайщиков.

Таким образом, реинвестирование в ETF и ПИФах есть, но напрямую инвесторы на этот процесс повлиять практически не могут.

Банковский вклад с капитализацией

Банковские вклады с капитализацией – самый прибыльный вид депозитов. Каждое последующее начисление процентов всегда больше предыдущего, в результате чего общая доходность вклада также возрастает.

Чаще всего многие банки при рекламе вкладов с капитализацией пишут только номинальную ставку. Однако если вклад учитывает сложные проценты, то средняя процентная ставка будет немного выше.

Например, номинальная ставка при 5-летнем вкладе составляет 10%. А средний процентный доход с капитализацией уже будет исчисляться по ставке 12,21%. Это не означает, что каждый год клиент банка будет получать на 2,21% больше, чем написано в договоре. Просто реинвестирование процентов позволит в конце 5-летнего срока вклада заработать на 11,05% больше обычного (2,21% х 5 лет).

Благодаря сложным процентам прирост прибыли по вкладу со временем будет ускоряться, поскольку каждый раз банк начисляет проценты на всё более крупную сумму, а не на первоначальные вложения.

Делаем выводы

Главная цель всех инвесторов – получать максимальный доход от своих инвестиций. Добиться этого можно по-разному. Но самый простой способ – реинвестировать свои доходы. Механизм сложного процента позволяет инвестору зарабатывать на дистанции гораздо больше при прочих равных условиях. Повторно вкладывать капитал можно во что угодно. Например, покупать новые акции, облигации, паи ПИФов, акции ETF или даже просто открывать банковский вклад. Такой подход позволит увеличить капитал в долгосрочной перспективе и быстрее достичь финансовых целей.

Процесс реинвестирования не всегда приносит только прибыль. Чтобы не получать убытки от своих вложений, важно ответственно подходить к выбору активов и соотносить уровень риска с потенциальной доходностью.

Только при разумном инвестировании доход, полученный от первоначального капитала, способен генерировать новые денежные потоки и увеличивать совокупную доходность инвестиционного портфеля. В противном случае инвестора будет ожидать не рост капитала, а его падение.

Популярные вопросы

Сложная процентная ставка – ставка, которая в каждом новом периоде начисляется на сумму принципала и процентов за предыдущий период. Как правило, сложная процентная ставка применяется к ссудам, длительность которых составляет более одного года.

Как рассчитывается сложная процентная ставка?

Сложная ставка призвана мотивировать вкладчиков банка не снимать деньги как можно дольше. Формула для вычисления наращенной суммы выглядит следующим образом:

S = P * (1 + Ic) ^ n

Уточним, какие показатели обозначаются переменными: P – начальная сумма вклада, Ic – это ежегодная ставка, выраженная десятичной дробью (1 / c), n – число периодов (обычно лет). Весь множитель (1 + Ic) ^ n носит название множитель наращения. Его можно вычислить с использованием инженерного калькулятора.

Рассмотрим, как использовать формулу сложного процента, на примере:

Инвестор Z положил на депозит в банке 100 тыс. рублей (P) под сложный процент, равный 20% (с) на пять лет (n). Следует посчитать, сколько денег сможет снять с депозита инвестор Z через пять лет.

Подставив данные в формулу, мы получим:

S = 100000 * (1 + 0.2) ^ 5 = 248832 рубля

Чтобы уточнить, насколько достоверным оказался результат расчета, посчитаем сумму более детально – через таблицу:

Итог оказался совершенно точен. Если бы инвестор Z положил бы деньги под простую ставку, он получил бы почти на 50 тыс. рублей меньше (ровно 200 тыс. рублей). Отличием сложной ставки от простой является то, что суммы начисленных процентов меняются от периода к периоду: если за первый период инвестор Z получил процентами всего 20 тыс. рублей, то за пятый – уже 41 тыс. 472 рубля. Если бы инвестор оставил лежать деньги на счету и дальше, проценты копились бы по принципу «снежного кома». При простой процентной ставке такого интенсивного накопления не происходило бы – инвестор получал бы от периода к периоду по 20 тыс. рублей.

Виды сложных процентных ставок

Сложные ставки классифицируются на два вида:

Номинальная процентная ставка задается изначально и является базисом для вычисления эффективной процентной ставки, которая обозначается как Re. Применяется обратная формула:

1 + Re = FV / PV

где FV – это базисная сумма, а PV – наращенная.

Может применяться и другая:

Re = ((1 + r / m) ^ m) – 1

где R – номинальная ставка, а m – число внутригодовых выплат.

Стоит отметить две закономерности:

1. Если m = 1, эффективная и номинальная ставки равны.

1. Чем больше m, тем выше и эффективная ставка.

Полезные формулы

Существуют еще две формулы, которые необходимы инвестору для расчетов со сложными процентами:

1. Ставка – под какой процент нужно внести деньги, чтобы получить желаемую сумму:

% = ((Сумма / X) ^ 1/n) – 1

1. Срок – на сколько периодов следует положить деньги под процент, чтобы получить целевую сумму:

Под сложной
процентной ставкой понимается
ставка, при которой база начисления
является переменной, т.е. проценты
начисляются на проценты.

Пусть первоначальная
сумма ссуды равна P₀.
При начислении на неё простых процентов
i через год новая сумма
с начисленными на неё процентами составит
P₀ (1 + i),
через два года – P₀ (1 + i)²,
через n лет P₀ (1 + i)ⁿ.

Для вывода формулы
сложных процентов произведём следующие
действия:

Пусть
в момент t = 0
сумма P₀
размещена на банковский счет под сложную
годовую процентную ставку. По определению
сложной процентной ставки, база для
начисления процентов на каждом периоде
является переменной, т.е. проценты
начисляются на предыдущую сумму.
Следовательно, проценты за каждый год
вклада составляют:

I₁ = iP₀
,
I₂ = iS₁,
…, I_n–1 = iS_n–2,
I_n = iS_n–1,
где S₁, …, S_n–2, S_n–1
− суммы вклада в конце соответствующего
периода наращения. Очевидно,
что

S₁ = P₀ + I₁, …,
S_n–1 = S_n–2 + I_n–1,
S_n = S_n–1 + I_n.

Выражения
для процентов имеют вид:

I₁ = iP₀,
I₂ = iS₁ = i (P₀ + I₁) = iP₀ + iI₁ = I₁ + iI₁ = I₁(1 + i),

…………………………………………………………………….

I_n = iS_n–1 = i(S_n–2 + I_n–1) = iS_n–2 + iI_n–1 = I_n–1 + iI_n–1 = I_n–1(1 + i).

Таким
образом,

I₂ = I₁(1 + i),

………………

I_n = I_n–1(1 + i).

Следовательно,
I₁,
I₂,
… , I_n
— члены геометрической прогрессии с
первым членом I₁
и знаменателем (1 + i).
Проценты за весь срок вклада составляют
I(n) = I₁ + I₂ + … + I_n.
По формуле суммы n
членов геометрической прогрессии
находим

.

Наращенная
сумма вклада через n
лет станет равной S_n = P₀ + I(n).
Отсюда

S_n = P₀(1 + i)ⁿ. (1.4.1)

Используя формулу
сложных процентов можно найти
первоначальную сумму ссуды, период
действия ссуды и процентную ставку
наращения.

Первоначальная
сумма ссуды:

P₀
=
(1.4.2)

Период действия
ссуды:

S_n = P₀(1 + i)ⁿ






n
=
(1.4.3)

Процентная ставка
наращения:

S_n = P₀(1 + i)ⁿ


= (1 + n)ⁿ




i
=
− 1 (1.4.4)

§5. Номинальная процентная ставка

Часто различные
финансовые операции предполагают
начисление процентов не один раз в год,
а, например, каждый месяц, квартал,
полугодие и т.д. В таких случаях говорят,
что проценты начисляются т раз в
году и в контрактах указывается процентная
ставка не за период, а годовая называемая
номинальной. Частным случаем
номинальной процентной ставки является
сложная процентная ставка с начислением
процентов один раз в году. Номинальная
процентная ставка обозначается i^(m)
(или j), количество
начислений равно тп, а проценты за
один период начисляются по ставке

(или
).

Начисление процентов
по номинальной ставке производится по
следующей формуле:

S_n
= P₀ ·
(1.5.1)

§6. Дисконтирование по сложной процентной ставке и сложная учётная ставка

Формулы дисконтирования
по сложной процентной ставке получаются
из (1.4.1) в случае, когда период начисления
процентов равен одному году и из (1.5.1),
когда используется номинальная процентная
ставка, т.е. проценты начисляются
несколько раз в году, и имеют следующий
вид:

(1.6.1)

(1.6.2)

где

и

являются дисконтными множителями.

Дисконт с суммы
S находится по формуле:
D=S_n
– P₀.

Так как рассматриваемая
учётная ставка является сложной,
то она применяется не к первоначальной
сумме, а к уже дисконтированной на
предыдущем этапе, поэтому для определения
суммы, выдаваемой банком при учёте
векселя, используются формулы:

P₀ = S_n · (1 – d)ⁿ (1.6.3)

(1.6.4)

где d
– сложная учётная ставка.

Для определения
суммы погашаемого долга, например
определения стоимости векселя,
используются формулы, получаемые из
(1.6.3) и (1.6.4):

(1.6.5)

(1.6.6)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.