Производная сложной функции
Формула
Пусть есть функция $ y=f(g(x)) $, тогда производную сложной функции можно найти по формуле:
$$ y’=f'(g(x)) cdot g'(x) $$
Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется «по цепочке». Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.
Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти производную сложной функции: $ y = sqrt{x^2+1} $ |
| Решение |
|
Пользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Сначала находим производную внешней функции без учета внутренней функции, а затем и производную от самой внутренней функции: $$ y’=( sqrt{x^2+1} )’= $$ $$ =frac{1}{2sqrt{x^2+1}} cdot (x^2+1)’= $$ $$ =frac{1}{2sqrt{x^2+1}} cdot 2x = frac{x}{sqrt{x^2+1}} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y’=frac{x}{sqrt{x^2+1}} $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную сложной функции: $ y = e^{4x+3} $ |
| Решение |
|
Видим экспоненту в задаче, поэтому берем значение производной для неё из таблицы, а затем вычисляем производную от аргумента: $$ y’=(e^{4x+3})’ = e^{4x+3} cdot (4x+3)’ = $$ $$ = e^{4x+3} cdot 4 = 4e^{4x+3} $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = 4e^{4x+3} $$ |
| Пример 3 |
| Найти производную сложной функции: $ y = arctan x^2 $ |
| Решение |
|
Зная значение производной арктангенса из таблицы, находим производную сложной функции: $$ y’ = (arctan x^2)’ = frac{1}{1+(x^2)^2} cdot (x^2)’ = $$ $$ = frac{1}{1+(x^2)^2} cdot 2x = frac{2x}{1+x^4} $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = frac{2x}{1+x^4} $$ |
| Пример 4 |
| Найти производную сложной функции: $ y = ln(x^3+2) $ |
| Решение |
|
Перед нами сложная функция, точнее натуральный логарифм от многочлена. Поэтому применим правило. Имеем: $$ y’ = (ln(x^3+2))’ = frac{1}{x^3+2} cdot (x^3+2)’ = $$ $$ = frac{1}{x^3+2} cdot 3x^2 = frac{3x^2}{x^3+2} $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = frac{3x^2}{x^3+2} $$ |
| Пример 5 |
| Найти производную от сложной функции: $ y = ln(sin^3x+ e^{cos x}) $ |
| Решение |
|
Сложную функцию представляет натуральный логарифм, аргументом которого является сумма двух функций, обе тоже сложные функции. Вспоминаем формулу и приступаем: $$ y’ = ( ln(sin^3x+e^{cos x}) )’ = $$ $$ =frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot (sin^3x+e^{cos x})’ = $$ Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $$ =frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot ( (sin^3x)’+(e^{cos x})’) = $$ Первая функция $ (sin^3x)’ $ — это производная от сложной функции: $$ (sin^3x)’ = 3sin^2x cdot (sin x)’ = 3sin^2x cos x $$ Вторая функция $ (e^{cos x})’ $ — это производная сложной функции: $$ (e^{cos x})’ = e^{cos x} cdot (cos x)’ = e^{cos x} cdot (-sin x) $$ Продолжаем нахождение производной исходной функции: $$ = frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot (3sin^2x cos x — e^{cos x} sin x) $$ |
| Ответ |
|
$$ y’ = frac{3sin^2x cos x — e^{cos x} sin x}{sin^3x+e^{cos x}} $$ |
F(x) = sin²x – сложная функция, поэтому её производная находится следующим способом:
f'(x) = (sin²x)’ = ((sin x)²)’ = 2sin x * (sin x)’ = 2sin x * cos x = sin 2x
Т.е. сначала мы находим производную функции u², где u = sin x (эта производная равна 2u), a затем умножаем её на производную функции u, где также u = sin x.
В общем виде это можно записать так:
f'(x) = (u²)’ * u’, где u = sin x
Отмена
Мирослав Кудрявин
Отвечено 22 сентября 2019
-
Комментариев (0)
Добавить
Отмена
Формула
Пусть есть функция $ y=f(g(x)) $, тогда производную сложной функции можно найти по формуле:
$$ y’=f'(g(x)) cdot g'(x) $$
Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется «по цепочке». Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.
Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.
Решение задач от 20 руб подробное написание Рефераты от 200 руб Уникальность 95%
Видео
«Распаковка» сложной функции
Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть — какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.
Сделал?
Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в (4)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию (2), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.
То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.
Например, вот такая функция: (y=tg(log_2x )). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:
(x → log_2x → tg(log_2x ))
Еще пример: (y=cos{(x^3 )}). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: (x → x^3 → cos{(x^3 )}). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть (cos{(x·x·x)})), а там в кубе косинус (x) (то есть, (cosx·cosx·cosx)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».
Последний пример (с важной информацией в нем): (y=sin{(2x+5)}). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: (x → 2x+5 → sin{(2x+5)}). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.
Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных — два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) — тоже простая функция. Например, (x^7) – простая функция и (ctg x) — тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:
(x^7+ ctg x) — простая, (x^7· ctg x) – простая, (frac{x^7}{ctg x}) – простая и т.д.
Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:
Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций: (y=cos{(sinx)}) (y=5^{x^7}) (y=arctg{11^x}) (y=log_2(1+x)) Ответы опять в конце статьи.
Сложная функция и производная
B классе 10, еще не известно ни о какой производной или её возможном применении для нахождения промежутков монотонности, вы использовали в различных задачах свойства основных элементарных функций. Так, например, чтобы доказать возрастание функции 
достаточно заметить, что большему значению 
соответствует большее значение выражения 
большему значению 
соответствует большее значение выражения 
большему значению 
соответствует большее значение выражения 
и, наконец, большему значению 
соответствует большее значение выражения 
т.е. самой функции 
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Эти выводы основаны на том, что линейная функция 
показательная функция
линейная функция 
и логарифмическая функция 
и являются возрастающими. То есть при увеличении значений их аргументов увеличиваются и значения самих функций. Таким образом, функция 
оказывается, подобно русской матрёшке, сложена из других, более простых функций 
Можно сказать, что эта сложная функция у составлена из функций 
и 
Рассмотрим сложную функцию 
где функция v имеет производную в точке 
а функция и имеет производную в точке 
Функцию 
иногда называют внешней, а функцию 
— внутренней.
Заметим, что приращению 
соответствует приращение 
которому, как приращению аргумента функции 
в свою очередь, соответствует приращение 
Тогда:
По условию функция 
дифференцируема в точке 
а значит, её приращение 
стремится к нулю при 
Имеем:
(нижние индексы показывают, по какому аргументу находится производная).
Производная сложной функции равна произведению производных внешней и внутренней функции: 
В выводе этой формулы есть небольшая тонкость — функция 
не должна в окрестности точки 
представлять собой постоянную. В противном случае приращение 
в этой окрестности будет тождественно равно нулю, и выражение 
— лишится смысла.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Вторая производная
Это он-лайн сервис в два шага:
- Ввести функцию, для которой надо найти производную
- Ввести найденную первую производную в форму
Перейти: Онлайн сервис «Вторая производная функции» →
Примеры
Найти производную сложной функции вида y=(2x+1)2.
Решение
По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g(x)=2x+1 считается линейной функцией.
Применим формулу производной для сложной функции и запишем:
f'(g(x))=((g(x))2)’=2·(g(x))2-1=2·g(x)=2·(2x+1);g'(x)=(2x+1)’=(2x)’+1’=2·x’+=2·1·x1-1=2⇒(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)=2·(2x+1)·2=8x+4
Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:
y=(2x+1)2=4×2+4x+1
Отсюда имеем, что
y’=(4×2+4x+1)’=(4×2)’+(4x)’+1’=4·(x2)’+4·(x)’+==4·2·x2-1+4·1·x1-1=8x+4
Результаты совпали.
При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g(x).
Следует найти производные сложных функций вида y=sin2x и y=sin x2.
Решение
Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g(x) – функцией синуса. Тогда получим, что
y’=(sin2x)’=2·sin2-1x·(sin x)’=2·sin x·cos x
Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g(x)=x2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как
y’=(sin x2)’=cos(x2)·(x2)’=cos(x2)·2·x2-1=2·x·cos(x2)
Формула для производной y=f(f1(f2(f3(…(fn(x)))))) запишется как y‘=f‘(f1(f2(f3(…(fn(x))))))·f1‘(f2(f3(…(fn(x)))))··f2‘(f3(…(fn(x))))·…·fn‘(x)
Найти производную функции y=sin(ln3 arctg(2x)).
Решение
Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y=f(f1(f2(f3(f4(x))))) обозначим, где f, f1, f2, f3, f4(x) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е, функцией арктангенса и линейной.
Из формулы определения сложной функции имеем, что
y’=f'(f1(f2(f3(f4(x)))))·f1′(f2(f3(f4(x))))··f2′(f3(f4(x)))·f3′(f4(x))·f4′(x)
Получаем, что следует найти f'(f1(f2(f3(f4(x))))) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f'(f1(f2(f3(f4(x)))))=cos(ln3 arctg(2x)). f1′(f2(f3(f4(x)))) в качестве производной степенной функции, тогда f1′(f2(f3(f4(x))))=3·ln3-1arctg(2x)=3·ln2arctg(2x). f2′(f3(f4(x))) в качестве производной логарифмической, тогда f2′(f3(f4(x)))=1arctg(2x). f3′(f4(x)) в качестве производной арктангенса, тогда f3′(f4(x))=11+(2x)2=11+4×2. При нахождении производной f4(x)=2x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1, тогда f4′(x)=(2x)’=2·x’=2·1·x1-1=2.
Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что
y’=f'(f1(f2(f3(f4(x)))))·f1′(f2(f3(f4(x))))··f2′(f3(f4(x)))·f3′(f4(x))·f4′(x)==cos(ln3 arctg(2x))·3·ln2 arctg(2x)·1arctg(2x)·11+4×2·2==6·cos(ln3 arctg(2x))·ln2 arctg(2x)arctg(2x)·(1+4×2)
Теги
Я
предлагаю решить задачу способом,
который многим знаком. Методом умножения
внешней производной функции на
внутреннюю производную функцию. Не
забывайте, что это функция относится к
сложной функции. Математически это
выглядит так: у`=2
sinx
cosx =sin2x.
Производная
синуса от переменной x равна косинусу
по x.
Эта
функция сложная, потому что в нее входит
и степенная и тригонометрическая
функция. Решать задачу нужно поэтапно.
Вначале необходимо найти производную
от степенной функции, а затем
результат умножают на производную
тригонометрической функции. После
преобразования синуса двойного аргумента
получаем результат, то есть (sin^2x)’
= sin 2x. И еще один совет, для решения
подобных задач необходимо знать таблицу
производных значений.