© 2011-2023 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Калькулятор онлайн.
Смешанное произведение векторов.
Этот калькулятор онлайн вычисляет смешанное произведение 3-х векторов.
Онлайн калькулятор для вычисления смешанного произведения векторов не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с
пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac{2}{3} )
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac{5}{7} )
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Определение и геометрический смысл смешанного произведения векторов
Определение
Смешанным произведением трех векторов ( vec{a}, ; vec{b}, ; vec{c} ) называется число, равное скалярному произведению
вектора ( vec{a} ) на векторное произведение векторов ( vec{b} ) и ( vec{c} ), т.е.
( vec{a} cdot ( vec{b} times vec{c} ) )
Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения векторов.
Теорема
Смешанное произведение ( vec{a} cdot ( vec{b} times vec{c} ) ) равно объёму параллелепипеда, построенного на
векторах ( vec{a}, ; vec{b}, ; vec{c} ) взятому со знаком «+», если тройка ( vec{a}, ; vec{b}, ; vec{c} )
— правая, со знаком «-«, если тройка ( vec{a}, ; vec{b}, ; vec{c} ) — левая. Если же
( vec{a}, ; vec{b}, ; vec{c} ) компланарны, то ( vec{a} cdot ( vec{b} times vec{c} ) = 0 ). Другими
словами:
$$ vec{a} cdot ( vec{b} times vec{c} ) = left{
begin{array}{r l}
v, & если ;; vec{a}, vec{b}, vec{c} ;; text{правая тройка} \
-v, & если ;;vec{a}, vec{b}, vec{c} ;; text{левая тройка} \
0, & если ;;vec{a}, vec{b}, vec{c} ;; компланарны
end{array} right. $$
Следствие
Из теоремы легко выводится следующее тождество:
( vec{a} cdot ( vec{b} times vec{c} ) = ( vec{a} times vec{b} ) cdot vec{c} )
т.е. знаки ( cdot ) и ( times ) в смешанном произведении векторов можно менять местами.
В силу этого тождества смешанные произведения ( vec{a} cdot ( vec{b} times vec{c} ) ) и
( ( vec{a} times vec{b} ) cdot vec{c} ) можно обозначать более простым символом ( vec{a} vec{b} vec{c} )
Выражение смешанного произведения через координаты векторов
Теорема
Если векторы ( vec{a}, ; vec{b}, ; vec{c} ) заданы своими координатами
( vec{a} left( a_x; a_y; a_z right), ; ) ( vec{b} left( b_x; b_y; b_z right), ; ) ( vec{c} left( c_x; c_y; c_z right) )
то смешанное произведение ( vec{a} vec{b} vec{c} ) вычисляется по формуле:
( vec{a} vec{b} vec{c} = a_x begin{vmatrix} b_y & b_z \ c_y & c_z end{vmatrix} +
a_y begin{vmatrix} b_z & b_x \ c_z & c_x end{vmatrix} +
a_z begin{vmatrix} b_x & b_y \ c_x & c_y end{vmatrix} )
или
( vec{a} vec{b} vec{c} = a_x( b_y c_z — c_y b_z) + a_y ( b_z c_x — c_z b_x) + a_z( b_x c_y — c_x b_y) )
Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор
Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Смешанное произведение векторов (теория)
Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c, то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab] скалярно умножается на вектор c.
Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c). Тогда можно записать:
Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2′ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).
Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.
Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab],c) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab],c) равно нулю.
Следствие 1. Имеет место следующее равенство:
Для доказательства следствия заметим, что из переместительного свойства скалярного произведения имеем:
Следовательно нам достаточно доказать, что
Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.
Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc, не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.
Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).
Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.
Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.
Смешанное произведение векторов в декартовых координатах
Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами
Тогда смешанное произведение abc равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:
Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab] и c. Векторное произведение векторов [ab] в декартовых координатах вычисляется формулой (подробнее смотрите на странице векторное произведение векторов онлайн):
Тогда скалярное произведение векторов [ab] и c можно записать так:
Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:
Формулы (6) и (4) эквивалентны, так как (6) является разложением определителя (4) по третьей строке.
Теорема доказана.
Следствие 3. Для компланарности трех векторов
необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:
Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.
Смешанное произведение векторов на примерах
Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс, где
Решение.
Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:
Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:
Ответ.
Смешанное произведение векторов a, b, c равен :
Пример 2. Найти смешанное произведение векторов abс, где
Начальная точка вектора a:
Конечная точка вектора a:
Вектор b:
Начальная точка вектора c:
Конечная точка вектора c:
Решение.
Переместим вектор a на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки B координаты начальной точки A:
Переместим вектор c на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки F координаты начальной точки E:
Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:
Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:
Ответ.
Смешанное произведение векторов a, b, c равен :
Смешанное произведение
трех векторов
— это скалярное произведение вектора
на векторное произведение векторов
:
Результатом смешанного произведения векторов является скаляр. Формула для вычисления смешанного произведения, задается на основе определителя:
, где
и
и
.
Смешанное произведение векторов, обладает следующими основными свойствами:
Если поменять местами два вектора, смешанное произведение изменит знак:
Смешанное произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда три вектора
компланарны. Следовательно, вектора являются линейно зависимыми.
Онлайн калькулятор позволяет вычислить
смешанное произведение векторов
с описанием подробного хода решения на русском языке.
Смешанное произведение векторов (также иногда можно встретить название «тройное скалярное произведение») a, b, c – это скалярное произведение вектора на произведение векторов b и c.
Геометрический смысл: абсолютная величина тройного скалярного произведения — есть объем параллелепипеда, образованного тройкой векторов a,b и c.
Численно же, смешанное произведение можно получить, посчитав определитель матрицы, составленной из координат трех заданных векторов.
Смешанное произведение векторов имеет распространенное применение во многих задачах стереометрии и аналитической геометрии.
Ниже представлен онлайн-калькулятор, при помощи которого вы можете легко решить поставленную задачу.
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
