Как найти смешанную дробь правило

Что такое смешанная дробь

По сути, данное понятие представляет собой сумму целого числа и правильной дроби:

(afrac bc;=;a+frac bc)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Пример:

(7frac34;=;7+frac34)

Превращение смешанной дроби в неправильную

Любое смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь. Для этого необходимо к произведению целой части и знаменателя дробной части прибавить числитель. Полученная сумма будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

Преобразование смешанной дроби в неправильную можно записать в виде формулы:

(afrac bc;=;frac{atimes c+b}c)

Пример:

(15frac89;=;frac{15times9+8}9;=;frac{143}9)

Выполнение действий со смешанными дробями, формулы и примеры

Сложение

Чтобы посчитать сумму смешанных дробей необходимо отдельно сложить их целые компоненты и дробные составляющие. Правильные дроби в составе смешанных чисел суммируются при помощи приведения к наименьшему общему знаменателю.

Формульное выражение сложения смешанных чисел:

(afrac bc+dfrac ef=left(a+dright)+left(frac bc+frac efright))

Пример:

(2frac13+5frac47;)

Вычисляем наименьший общий знаменатель дробных слагаемых:

3×7=21

(2frac13+5frac47=2+5+frac13+frac47;=7+frac7{21}+frac{12}{21}=7+frac{7+12}{21}=7frac{19}{21})

Вычитание

Чтобы из одной смешанной дроби вычесть другую, нужно дробные компоненты уменьшаемого и вычитаемого привести к минимальному общему знаменателю, затем выполнить вычитание отдельно целых и дробных частей.

Формула для ситуации, когда дробь в составе уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого:

(afrac bc-dfrac ef=left(a+frac bcright)-left(d+frac efright);=left(a-dright)+left(frac bc-frac efright))

В случае, когда дробь в составе уменьшаемого меньше дроби в составе вычитаемого, необходимо меньшую дробь превратить в неправильную, отняв единицу от целой части уменьшаемого, то есть:

(afrac bc-dfrac ef=left(left(a-dright)-frac efright)+frac bc)

Пример:

(13frac38-6frac12)

Для решения этого выражения найдем наименьший общий знаменатель:

8=2×2×2, следовательно, 8 — это наименьший общий знаменатель.

(13frac38-6frac12=13frac38-6frac48=left(12+1+frac38right)-6frac48=left(12+frac{1times8+3}8right)-6frac48=12frac{11}8-6frac48=left(12-6right)+left(frac{11}8-frac48right)=6+frac{11-4}8=6frac78)

Умножение и деление

Перед тем, как умножать или делить смешанные числа, необходимо преобразовать их в неправильные дроби. После этого можно производить нужное действие по правилам умножения и деления обыкновенных дробей.

Формула умножения смешанных чисел выглядит так:

(afrac bctimes dfrac ef=frac{atimes c+b}ctimesfrac{dtimes f+e}f=frac{left(atimes c+bright)timesleft(dtimes f+eright)}{ctimes f}=frac{left(ac+bright)left(df+eright)}{cf})

Формула деления смешанных дробей:

(afrac bcdiv dfrac ef=frac{atimes c+b}cdivfrac{dtimes f+e}f=frac{atimes c+b}ctimesfrac f{dtimes f+e}=frac{left(atimes c+bright)times f}{ctimesleft(dtimes f+eright)}=frac{fleft(ac+bright)}{cleft(df+eright)})

Пример 1:

(5frac2{19}times2frac79=frac{5times19+2}{19}timesfrac{2times9+7}9=frac{97}{19}timesfrac{25}9=frac{97times25}{19times9}=frac{2425}{171}=14frac{31}{171})

Пример 2:

(4frac23div3frac57=frac{4times3+2}3divfrac{3times7+5}7=frac{14}3divfrac{26}7=frac{14}3timesfrac7{26}=frac{14times7}{3times26}=frac{98}{78}=frac{98div2}{78div2}=frac{49}{39}=1frac{10}{39})

При умножении смешанной дроби на натуральное число преобразование в неправильную дробь делать не нужно. Такого рода вычисления производятся с помощью распределительного закона умножения.

Пример 3:

(3frac56times4=left(3+frac56right)times4=3times4+frac56times4=12+frac{5times4}6=12+frac{20div2}{6div2}=12+frac{10}3=12+3frac13=15frac13)

Если требуется разделить смешанную дробь на натуральное число или натуральное число на смешанную дробь, нужно представить делимое и делитель в виде неправильной дроби, затем выполнить необходимое действие, как с обыкновенными дробями.

Пример 4:

(5div3frac27=frac51divfrac{3times7+2}7=frac51divfrac{23}7=frac51timesfrac7{23}=frac{5times7}{1times23}=frac{35}{23}=1frac{12}{23})

Если нужно выполнить умножение или деление смешанной дроби на обыкновенную дробь, смешанное число необходимо преобразовать в неправильную дробь. После преобразований нужное действие производится по такому же алгоритму, как с обыкновенными дробями.

Пример 5:

(frac34div6frac12=frac34divfrac{6times2+1}2=frac34divfrac{13}2=frac34timesfrac2{13}=frac{3times1}{2times13}=frac3{26})

Определение смешанной дроби

В математике сумму $n+frac{a}{b}$, где $n$ -натуральное число, $frac{a}{b}$ — правильная обыкновенная дробь, принято записывать без знака $«+»$ в виде $nfrac{a}{b}$.

Для смешанных чисел справедливы равенства $nfrac{a}{b}=n+frac{a}{b}$ и $n+frac{a}{b}=nfrac{a}{b}$.

Встречаются числа в смешанной записи, которые в дробной части содержат неправильную дробь. Например, $3frac{54}{5}$, $56frac{9}{2}$. Запись этих чисел можно представить в виде суммы их целой и дробной части. Например, $3frac{54}{5}=3+frac{54}{5}$ и $56frac{9}{2}=56+frac{9}{2}$. Такие числа не подходят по определению смешанного числа, т.к. дробная часть смешанных чисел должна быть правильной дробью.

Число $0frac{2}{7}$ также не смешанное число, т.к. $0$ — не натуральное число.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Алгоритм перевода смешанного числа в неправильную дробь:

1. Записать смешанное число $nfrac{a}{b}$ в виде суммы целой и дробной части этого числа, т.е. в виде $n+frac{a}{b}$.

2. Целую часть исходного смешанного числа заменить дробью со знаменателем $1$.

3. Сложить обыкновенные дроби $frac{n}{1}$ и $frac{a}{b}$ для получения искомой неправильной дроби, равной исходному смешанному числу.

Весь алгоритм перевода смешанного числа $nfrac{a}{b}$ в неправильную дробь сводится к textit{формуле перевода смешанного числа в неправильную дробь}:

Выделение целой части из неправильной дроби

При получении числового решения не принято оставлять ответ в виде неправильной дроби. Неправильная дробь преобразуется в равное ей натуральное число (если числитель делится нацело на знаменатель), или выделяют целую часть из неправильной дроби (если числитель не делится нацело на знаменатель).

Для выделения целой части из неправильной дроби нужно представить неправильную дробь $frac{a}{b}$ в виде смешанного числа $qfrac{r}{b}$, где $q$ — неполное частное, $r$— остаток от деления $a$ на $b$. Таким образом, целая часть равна неполному частному от деления $a$ на $b$, а остаток равен числителю дробной части.

Докажем это утверждение. Для этого достаточно показать, что $qfrac{r}{b}=frac{a}{b}$.

Переведем смешанное число $qfrac{r}{b}$ в неправильную дробь с помощью формулы:

Т.к. $q$— неполное частное, $r$— остаток от деления $a$ на $b$, то является справедливым равенство $a=bcdot q+r$. Таким образом, $frac{qcdot b+r}{b}=frac{a}{b}$, откуда $qfrac{r}{b}=frac{a}{b}$, что и требовалось показать.

Таким образом, сформулируем textit{правило выделения целой части из неправильной дроби} $frac{a}{b}$:

1. Разделить $a$ на $b$ с остатком, при этом определить неполное частное $q$ и остаток $r$.

2. Записать смешанное число $qfrac{r}{b}$, равное исходной дроби $frac{a}{b}$.

Сложение смешанного числа и натурального числа

Правило сложения смешанного и натурального числа:

Для сложения смешанного и натурального числа нужно к целой части смешанного числа прибавить данное натуральное число, дробная часть остается без изменения:

где $afrac{b}{c}$ — смешанное число,

$n$ — натуральное число.

Сложение двух смешанных чисел

При сложении двух смешанных чисел складываются их целые части и дробные части.

Смешанные дроби и действия с ними

Например,

(frac{7}{4} = frac{4}{4} + frac{3}{4} = 1 + frac{3}{4} = 1frac{3}{4})

1 – целая часть, а (frac{3}{4}) – дробная часть смешанного числа (1frac{3}{4}).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА НЕПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ В СМЕШАННУЮ:

1. Разделить числитель на знаменатель в столбик с остатком.

2. Неполное частное будет целой частью.

3. Остаток (если он есть) станет числителем дробной части смешанной дроби, а делитель — знаменателем.

Например,

Переведем неправильную дробь (frac{48}{9}) в смешанную:

Неполное частное (= 5), остаток (= 3,) делитель (= 9), тогда эту неправильную дробь можно записать как: (5frac{3}{9}).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА СМЕШАННОЙ ДРОБИ В НЕПРАВИЛЬНУЮ:

1. Перемножить целую часть со знаменателем дробной части.

2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.

3. Записать полученную сумму в числитель неправильной дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Например,

Переведем смешанную дробь (4frac{5}{7}) в неправильную:

Числитель неправильной дроби будет равен

((4 bullet 7) + 5 = 28 + 5 = 33).

Знаменатель останется прежний и будет равен 7.

Получим: (4frac{5}{7} = frac{33}{7})

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ДРОБЕЙ:

При сложении и вычитании смешанных чисел отдельно складывают целые части, отдельно дробные по правилам сложения обыкновенных дробей.

1. Если суммой дробных частей является неправильная дробь, то из нее выделяют целую часть и прибавляют к сумме целых частей.

Например:

(5frac{3}{8} + 2frac{6}{8} = (5 + 2) + (frac{3}{8} + frac{6}{8}) = 7 + frac{9}{8} = 7 + 1frac{1}{8} = 8frac{1}{8})

1. Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то поступают так:

(7frac{3}{5} – 2frac{4}{5} = (7 + frac{3}{5}) – 2frac{4}{5} = (6 + 1 + frac{3}{5}) – 2frac{4}{5} = (6 + 1frac{3}{5}) – 2frac{4}{5} = (6 + frac{8}{5}) – 2frac{4}{5} = 6frac{8}{5} + 2frac{4}{5})

Таким образом мы выделили из целой части единицу и прибавили её к дробной. Теперь можно считать разность:

(7frac{3}{5} – 2frac{4}{5} = 6frac{8}{5} + 2frac{4}{5} = (6 – 2) + (frac{8}{5} – frac{4}{5}) = 4 + frac{4}{5} = 4frac{4}{5})

1. Так же поступают при вычитании смешанной дроби из целого числа.

Например:

(3 – 1frac{2}{6} = (2 + frac{6}{6}) – 1frac{2}{6} = (2 – 1) + (frac{6}{6} – frac{2}{6}) = 1frac{4}{6})

Среди обыкновенных дробей различают два разных вида.

Правильные и неправильные дроби

Рассмотрим дроби.

Обратите внимание, что в двух первых дробях (

и

)
числители меньше знаменателей. Такие дроби называют правильными.

Рассмотрим две оставшиеся дроби.

Дробь

имеет числитель равный знаменателю (такие дроби
равны единицы), а дробь

имеет числитель больший знаменателя. Такие
дроби называют неправильными.

Любая неправильная дробь всегда больше правильной.

Как выделить целую часть

У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:

1. разделить с остатком числитель на знаменатель;
2. полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
3. остаток записываем в числитель дроби;
4. делитель записываем в знаменатель дроби.

Пример. Выделим целую часть из неправильной дроби

.

Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно
выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:

1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.

Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.

• Умножаем целую часть на знаменатель.

  3 · 5 = 15

• Прибавляем числитель.

  15 + 2 = 17

• Записываем полученную сумму в числитель новой дроби, а знаменатель оставляем прежним.
  

Любое смешанное число можно представить как сумму целой и дробной части.

Частное от деления числителя на знаменатель такой дроби будет равно данному натуральному числу.

Примеры.

Ваши комментарии

Оставить комментарий: