Как найти смешанные частные производные онлайн

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Калькулятор поможет найти частные производные функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

• : x^a

модуль x: abs(x)

Для того, чтобы найти производную функции
нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется
найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], {x, n}. В
том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где
— интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по
некоторой переменной порядка n, то следует ввести: f[x, y, z,…,t], {j,
n}, где означает тоже, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение
производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу
выдаваемого ей ответа.

Примеры

• x*E^x, x;
• x^3*E^x, {x,17};
• x^3*y^2*Sin[x+y], x;
• x^3*y^2*Sin[x+y], y,
• x/(x+y^4), {x,6}.

Понятие частной производной применимо только к функциям многих переменных. Рассмотрим функцию двух переменных
z=f(x,y).
Частные производные по переменным

и

записываются в виде
∂z∂x

и
∂z∂y

соответственно. Сами частные производные
∂z∂x

и
∂z∂y

также являются функциями двух переменных:
∂z∂xpx,y

и
∂z∂yqx,y

, поэтому от них тоже можно взять производные:

∂p∂x∂∂x∂z∂x∂2z∂x2

∂q∂y∂∂y∂z∂y∂2z∂y2

∂p∂y∂∂y∂z∂x∂2z∂x∂y

∂q∂x∂∂x∂z∂y∂2z∂y∂x

Производные
∂2z∂x2

и
∂2z∂y2

– являются вторыми частными производными функции

по переменным

и

соответственно. Производные
∂2z∂x∂y

и
∂2z∂y∂x

– называются смешанными производными функции

по переменным
,

и
,

соответственно. При условии, что функция

и её смешанные производные
∂2z∂x∂y

и
∂2z∂y∂x

определены в некоторой окрестности точки
M(x₀,y₀)
и непрерывны в этой точке, выполняется равенство:

∂2z∂x∂y∂2z∂y∂x

По аналогии, можно ввести производные более высоких порядков, например, запись
∂5z∂x2∂y3

означает, что мы должны продифференцировать функцию

по переменной

два раза, а затем по переменной

три раза, т.е. фактически:

∂5z∂x2∂y3∂3∂y3∂2z∂x2∂∂y∂∂y∂∂y∂∂x∂z∂x

Иногда, для обозначения частных производных некоторой функции
z=f(x,y)
используют запись вида:
f_x‘(x,y)
и
f_y‘(x,y),
указывая переменную по которой происходит дифференцирование. Таким образом можно обозначать и смешанные производные:
f_xy»(x,y)
и
f_yx»(x,y)
а также вторые производные и производные более высокого порядка:
f_xx»(x,y)
и
f_xxy»’(x,y)
соответственно. Следующие обозначения эквиваленты: