Как найти смежный угол
Плоским углом называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Если один из лучей продолжить за его начальную точку, то есть сделать прямой линией, то его продолжение образует со вторым лучом еще один угол — он называется смежным. Так как стороны угла равнозначны и продолжить можно любую из них, у каждого угла есть по два смежных.
Инструкция
Если вам известна величина основного угла (α) в градусах, рассчитать градусную меру любого из пары смежных (α₁ и α₂) будет очень просто. Каждый из них дополняет основной угол до развернутого, то есть равного 180°, поэтому для их нахождения вычтите из этого числа известную величину основного угла α₁ = α₂ = 180°-α.
Величина исходного угла может быть приведена в радианах. Если и результат нужно получить в этих единицах, исходите из того, что развернутому углу соответствует количество радиан, равное числу Пи. Значит, формулу вычисления можно записать в таком виде: α₁ = α₂ = π-α.
Вместо градусной или радианной меры основного угла в условиях может быть дано соотношение величин основного и смежного углов. В этом случае составьте уравнение пропорции. Например, обозначьте через Y величину доли пропорции, относящуюся к основному углу, через X — относящуюся к смежному, а количество градусов, приходящееся на каждую единицу пропорции, обозначьте через k. Тогда общую формулу можно будет записать так: k*X+k*Y=180° или k*(X+Y)=180°. Выразите из нее общий множитель: k=180°/(X+Y). Затем рассчитайте величину смежного угла, умножив полученный коэффициент на долю этого угла в заданной пропорции: k*X = 180°/(X+Y)*X. Например, если это соотношение равно 5/13, величина смежного угла должна составлять 180°/(5+13)*13 = 10°*13 = 130°.
Если в исходных условиях ничего не сказано об основном угле, но дана величина вертикального угла, для вычисления смежных углов используйте формулы двух предыдущих шагов. Согласно определению вертикальный угол образуется двумя лучами, исходящими из той же точки, что и лучи основного угла, но направленными в строго противоположные стороны. Это значит, что градусная или радианная мера основного и вертикального угла равны, а значит, равны и величины смежных им углов.
Видео по теме
Источники:
- как найти смежный угол в треугольнике если
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Смежные углы в геометрии
15 июня 2022
Два угла называются смежными, если у них общая вершина, общая сторона, а две других стороны образуют прямую.
В этом уроке:
- Что такое смежные углы
- Основное свойство смежных углов
- Биссектрисы смежных углов
- Тренировочные задачи
Это довольно простая, но очень важная тема.
1. Что такое смежные углы
Возьмём прямую $AB$ и отметим на ней точку $M$. Получим развёрнутый угол $AMB:$
Проведём из точки $M$ луч $MN$, не совпадающий с лучами $MA$ и $MB$.
Получим два новых угла: $angle AMN$ и $angle BMN$. Эти углы и называются смежными.
Определение. Два угла называются смежными, если у них одна общая сторона, а две других образуют прямую (или, что то же самое, являются дополнительными лучами).
Обратите внимание: чтобы углы стали смежными, им недостаточно просто иметь общую сторону. Вот эти углы — не смежные, хотя они и имеют общую сторону:
А вот дальше — смежные, хотя и расположены немного непривычно:
Часто смежные углы возникают в точке пересечения прямых. Например, при пересечении двух прямых
образуется четыре пары смежных углов: $angle ASM$ и $angle ASN$; $angle BSM$ и $angle MSN$; $angle ASN$ и $angle BSN$; наконец, $angle ASM$ и $angle BSM$.
2. Основное свойство внешних углов
У смежных углов есть замечательное свойство, которое будет преследовать нас на протяжении всей геометрии, до конца 11 класса.
Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$ с общей стороной $MN$:
Поскольку луч $MN$ делит угол $AMB$ на смежные углы $AMN$ и $BMN$, по основному свойству углов
[angle AMB=angle AMN+angle BMN]
Но угол $AMB$ — развёрнутый, поэтому
[angle AMN+angle BMN={180}^circ ]
Другими словами, если один угол равен $alpha $, то смежный с ним равен ${180}^circ -alpha $. Или если известно, что углы $alpha $ и $beta $ — смежные, то $alpha +beta ={180}^circ $.
Казалось бы, элементарные рассуждения, но их вполне достаточно, чтобы решать большой класс задач.
Задача 1. Найдите угол, смежный с углом $ABC$, если:
- $angle ABC={36}^circ $.
- $angle ABC={121}^circ $.
Решение
1) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет тупым:
Тогда $x=180-36=144$.
2) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет острым:
Тогда $x=180-121=59$.
Немного усложним задачу.
Задача 2. Найдите смежные углы, если:
- один из них на 68° больше другого.
- один из них в 5 раз больше другого.
- их градусные меры относятся как 5 : 4.
Решение.
1) Пусть один из углов равен $x$. Тогда другой (очевидно, больший) будет равен $x+68$.
Поскольку углы смежные, их сумма равна 180 градусов:
[begin{align}2x+68&=180 \ 2x&=112 \ x&=56 end{align}]
Итак, один угол равен 56 градусов. Тогда другой равен $x+68=124$ градуса.
2) Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним равен $5x$.
Сумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому
[begin{align}5x+x&=180 \ 6x&=180 \ x&=30 end{align}]
Мы нашли меньший угол — он равен 30 градусов. Тогда второй угол равен $5x=150$ градусов.
3) В задачах с отношениями величинам удобно обозначать их кратными некоторой переменной. Например, если углы относятся как 5 к 4, то пусть величина одного угла будет $5x$, а другого — $4x$.
Сумма смежных углов вновь равна 180 градусов:
[begin{align}5x+4x&=180 \ 9x&=180 \ x&=20 end{align}]
Поэтому сами углы равны $4x=80$ и $5x=100$ градусов.
3. Биссектрисы смежных углов
Вновь рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$:
Построим биссектрису $MC$ угла $AMN$ и биссектрису $MD$ угла $BMN$:
Если $angle AMC=x$ и $angle BMD=y$, то $angle AMN=2x$ и $angle BMN=2y$. Это смежные углы, поэтому
[begin{align}2x+2y&={180}^circ \ x+y&={90}^circ end{align}]
Получается, что биссектрисы смежных углов всегда пересекаются под углом 90°. Этот факт известен далеко не всем ученикам. Хотя он вполне может встретиться, например, на ЕГЭ.
Задача 3. Углы $ABC$ и $MBC$ смежные, $angle ABC={70}^circ $. Луч $BD$ принадлежит углу $ABC$, причём $angle ABD={40}^circ $. Найдите угол между биссектрисами углов $CBD$ и $MBC$.
Решение. Изобразим все углы на рисунке:
Видим, что углы $ABD$ и $MBD$ — смежные. Следовательно
[begin{align}angle MBD&={180}^circ -angle ABD= \ &={180}^circ -{40}^circ ={140}^circ end{align}]
Синим цветом отмечены биссектрисы углов $CBD$ и $MBC$. Обозначим величину углов переменными: $angle CBD=2x$, $angle MBD=2y$. Но $angle MBD=angle MBC+angle CBD$, поэтому
[begin{align}2x+2y&=140 \ x+y&=70 end{align}]
Это и есть искомый угол между биссектрисами. Он равен 70 градусов.
Задача 4. Дан треугольник $ABC$. Лучи $AM$ и $CN$ лежат на одной прямой со стороной $AB$ (см. рисунок). Известно, что $angle MAC+angle ABC={180}^circ $. Докажите, что $angle MAC=angle NBC$.
Пусть $angle ABC=x$. Тогда из условия следует, что $angle MAC={180}^circ -x$.
С другой стороны, углы $ABC$ и $NBC$ смежные, поэтому $angle NBC={180}^circ -x$.
Получается, что углы $MAC$ и $NBC$ равны одному и тому же выражению. Следовательно, $angle MAC=angle NBC$, что и требовалось доказать.
Смотрите также:
- Что такое вертикальные углы
- Перпендикулярные прямые — определение и свойства
- Правила комбинаторики в задаче B6
- Метод координат в пространстве
- Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
- Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение
Смежные и вертикальные углы
- Смежные углы
- Сумма смежных углов
- Вертикальные углы
- Равенство вертикальных углов
Смежные углы
Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла составляют развёрнутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны (только в том случае, когда смежные углы не равны).
∠ABD и ∠DBC — это смежные углы, AC — прямая, луч BD — общая сторона углов и наклонная к прямой AC, ∠ABC — развёрнутый угол, B — основание наклонной.
Чтобы построить угол, смежный с данным углом, нужно одну из сторон угла продлить за вершину:
Сумма смежных углов
Любые два смежных угла составляют в сумме развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен двум прямым углам, поэтому можно сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.
∠ABD + ∠DBC = 2d,
где d — это обозначение прямого угла (d = 90°).
Вертикальные углы
Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла. Пересечение двух прямых линий образует две пары вертикальных углов:
∠AOB и ∠COD, а также ∠AOD и ∠BOC — вертикальные углы.
Равенство вертикальных углов
Вертикальные углы равны между собой. Рассмотрим вертикальные углы 1 и 3:
Сумма ∠1 и ∠2 равна развёрнутому углу (180°). Сумма ∠2 и ∠3 тоже равна развёрнутому углу (180°). Значит:
∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3
Следовательно, ∠1 = ∠3. Равенство вертикальных углов доказано.
Смежные углы
Определение
Смежные углы — это два угла, у которых есть общая вершина и одна сторона, а две другие стороны являются продолжением друг друга и лежат на одной прямой.
Свойства и виды смежных углов в геометрии
- Так как две стороны смежных углов образуют прямую линию, то вместе они составляют развернутый угол. Его градусная мера составляет 180^circ. Следовательно — сумма смежных углов тоже равна (180^circ.)
- Если две прямые пересекаются, то они образуют две пары смежных углов: (angle1) и (angle2), (angle3) и (angle4), а также (angle1) и (angle3), ( angle2) и (angle4). При этом объединение пар, которые обозначены обозначениями 1 и 4, 2 и 3, представляют из себя вертикальные углы, а значит — они равны. Поэтому рассматривать можно только одну из пар смежных углов, другая окажется идентична по всем показателям.
- У смежных углов одинаковые синусы.
- Для косинусов и тангенсов тоже распространяется равенство, но их значения противоположны по знаку.
- Чтобы построить смежный угол уже заданному, требуется продлить одну из сторон существующего угла дальше вершины.
Примечание
В паре, если один угол тупой, то по правилу другой обязательно острый.
Если один из углов является прямым, то второй тоже прямой.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как найти, чему равна сумма
Сумма смежных углов всегда составляет 180 градусов.
Отсюда следует формула:
(anglealpha+anglebeta=180^circ)
(anglealpha=180^circ-anglebeta)
(anglebeta=180^circ-anglealpha)
Примеры решения задач
Задача №1
Дано: (anglealpha) и (anglebeta) — смежные, (anglebeta=60^circ).
Найти: чему равен (anglealpha).
Решение
Так как углы смежные, значит:
(anglealpha+anglebeta=180^circ.)
(anglealpha=180^circ-anglebeta.)
(anglealpha=180^circ-60^circ=120^circ.)
Ответ: (;anglealpha=120^circ).
Задача №2
Дано: ( anglealpha) и (anglebeta) — смежные, (anglealpha) на (30^circ) больше, чем (anglebeta.)
Найти: чему равны (anglealpha) и (anglebeta.)
Решение
Допустим,( anglebeta=x), тогда (anglealpha=x+30^circ.)
Так как сумма смежных углов равна 180 градусов, то получаем уравнение, которое выглядит, как:
(x+x+30^circ=180^circ)
(2x=180^circ-30^circ)
(2x=150^circ)
(x=75^circ)
Значит, величина (anglebeta=75^circ.)
Чтобы найти (anglealpha), нужно выполнить стандартные вычисления согласно теореме о сумме:
(anglealpha=180^circ-anglebeta=180^circ-75^circ=105^circ.)
Ответ: (anglealpha=105^circ.)
Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Начальные геометрические сведения
- Смежные углы
Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.
На Рис.1 ОС — общая сторона, ОА и ОВ продолжают друг друга, значит 
АОС и СОВ — смежные.
Вместе смежные углы составляют развернутый угол, т.е. угол равный 1800. На Рис.1 АОВ = АОС + СОВ = 1800. Значит:
- Зная один из смежных углов, всегда можно найти второй. На Рис.2
СОВ = 350, тогда АОС = 1800 — СОВ = 1800 — 350 = 1450.
- Если один из смежных углов острый, то второй будет тупой и наоборот (Рис.3).
- Если один из смежных углов прямой т.е. равен 900, то второй также будет прямой (Рис.4).
Советуем посмотреть:
Точки, прямые, отрезки
Провешивание прямой на местности
Луч
Угол
Равенство геометрических фигур
Сравнение отрезков
Сравнение углов
Длина отрезка
Единицы измерения длины, расстояний
Градусная мера угла
Измерение углов на местности
Вертикальные углы
Перпендикулярные прямые
Построение прямых углов на местности
Начальные геометрические сведения
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 54,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 62,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 82,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 173,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 186,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 227,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 346,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 2,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1270,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник