Как найти смещение луча в плоскопараллельной пластинке

Лекция № 3:
Преобразование световых полей элементами
оптических систем

Обязательной
составной частью практически любого
оптоэлектронного устройства является
оптическая система. Это отдельные
элементы: линзы, призмы, зеркала,
световоды, фильтры и комбинации этих
элементов.

Независимо от вида
конкретной реализации оптических
элементов в оптоэлектронном приборе
его оценка как чисто оптической системы
почти всегда обязательна.

Фактически
назначение оптической системы состоит
в формировании пространства изображений
адекватного пространству отображаемых
предметов или процессов.

Типичные
преобразования, выполняемые оптической
системой:

увеличение
(уменьшение) изображений;

изменение
пространственного положения изображений;

поворот изображений
на тот или иной угол;

расщепление
изображений и передача по нескольким
каналам;

изменение
поляризации светового потока или
выделение его отдельных спектральных
составляющих и др.

Отметим, что
оптическая система выполняет свои
функции в пределах своей апертуры,
которая аналогична динамическому
диапазону радиотехнических устройств.

Основные параметры
оптической системы:

Апертура

– интерференционно действующее
отверстие (зрачок) оптической системы.
Количественно она характеризуется:

– линейными
размерами зрачка (для крупного зрачка
его диаметр D);

– угловой апертурой
А, определяемой половиной максимального
угла конического светового пучка:

где n

– показатель преломления в пространстве
предметов; N

– число, определяемое по F-алгоритму
при преобразовании светового пучка в
определенной оптической системе.

Коэффициент
(показатель) преобразования Г(γ)
–
может быть величиной положительной,
отрицательной (зеркальное отображение)
и в общем случае является комплексной.
При линейном преобразовании:

(3.2)

при угловом
преобразовании:

(3.3)

Здесь
,,,– линейные и угловые размеры элемента
в пространстве изображений (u
)
и предметов (n
).

Любой оптоэлектронный
прибор характеризуется угловой
дисперсией:

(3.4)

или линейной
дисперсией:

(3.5)

Значения
и– угловое и линейное отклонение лучей
с различными значениями.

Затухание
сигнала
.
Вводят коэффициент пропускания системы,
состоящей из i

различных
оптических элементов, тогда:

,
(3.6)

Основные виды
аберраций:

сферическая.

Лучи, выходящие из одной точки, попадающие
на входной зрачок на разных расстояниях
от оси, образуют различный

кана

или аберрация наклона немеридианального
пучка лучей (фигура имеет вид вытянутого
искривленного неравномерно освещенного
пятна, вносящего ассиметрию в пространство
изображений);

астигматум
,
возникающий вследствие различия
передачи лучейлужащих во взаимно
перпендикулярных плоскостях,
проявляющийся в том, что каждая точка
пространства отражается в виде
«крестика»;

кривизна поля
.
Та же природа, что и у астигматума, но
отличие в том, что плоскость пространства
предметов превращается в поверхность
параболоида в пространстве изображений;

дисторция
,
приводящая к искривлению прямых линий
и нарушению подобия изображения и
предметов. Обусловлена неравномерностью
увеличения по полю зрачка.

Совместное действие
всех видов аберраций приводит к тому,
что изображение оказывается расплывчатым,
иногда раздвоенным. А при добавлении
хроматической аберрации еще и с радужной
оболочкой.

Плоское зеркало

Представляет собой
оптическую систему с единичным
увеличением, дающую мнимое изображение
(изображение называется мнимым, если
оно образовано не самими лучами, а их
продолжениями).

В зависимости от
расположения предмета, зеркала и
наблюдателя могут реализоваться условия
прямого перевернутого изображений.
Считается, что зеркало свободно от
аберраций при любом характере падения
лучей. Для лучших зеркальных поверхностей
(Al,
Ag,
Cr,
Ni
и др.) в видимой и ближней ИК-областях
спектра легко достигается R
= 0,98…0,99.

Рисунок 1 –
Формирование изображения в плоском
зеркале

1 – зеркало; 2 –
предмет; 2 /
– мнимое изображение предмета; 3 лучи
от предмета;

Плоскопараллельная
пластина

Сохраняет
неизмененным направление прохождения
через нее светового луча, вызывая в то
же время его параллельный сдвиг на:

(3.7)

1 – падающий, 2 –
проходящий, 3,1 /
— преломленные и 4 – отраженный лучи

Плоскопараллельная
пластина, работающая в параллельных
лучах, является безаберрационной
системой. При конусном ходе 2 лучей имеют
место сферическая аберрация, астигматум,
диторция.

Плоскопараллельные
пластины широко используются в качестве
фазокомпенсирующих элементов, а также
в интерференционных приборах.

Призмы

Представляют собой
многогранники из прозрачного материала.
Служат главным образом оборачивания
изображений, изменения ширины параллельных
пучков лучей, для спектрального разложения
световых потоков. Максимальная угловая
дисперсия преломляющей призмы при
падении на нее параллельного пучка
лучей шириной Н:

(3.8)

Рисунок 3 –
Отражающая (а) и преломляющая (б) системы
на призмах

Линзы

Относятся к числу
основных элементов большинства оптических
систем.

Рисунок 4 – Линзы

Основным параметром
линзы, характеризующим ее преломляющее
действие, является оптическая сила Ф:

(3.10)

Одно из применений
свойств линзы – конструкция линзо-растрового
экрана, основное назначение которого
в оптоэлектронике (главным образом в
индикаторной технике) – создание
однородной освещенности небольшой
площади при использовании источника
малых размеров.

Дифракционная
решетка

Наиболее широко
используются в спектральных приборах,
а в оптоэлектронике служат главным
образом для избирательности (выделения)
модуляции.

Рисунок 5

,
(3.11)

С увеличением
числа N

избирательность растет при сохранении
одного итого же размера а
.
При углах 
= 
= 0решетка называется амплитудной, при

≠ 
— фазовой или амплитудно-фазовой.
Дифракционные решетки могут быть одно-,
двух- и трехмерные (объемные).

Волоконно-оптические
элементы

Представляют собой
прозрачные структуры с неоднородностью
оптических свойств в радиальном
направлении.

Рисунок 6 –
Волоконно-оптические элементы

В фононе при выходе
лучей со стороны широкого торца происходит
угловое сужение пучка:

Неравенство имеет
место согласно закону преломления:

(3.13)

Типовое применение
фонона в оптоэлектронике – сужение
диаграммы направленности точечного
источника (например, при вводе излучения
лазера в ВОЛС). Это возможно тогда, когда
апертура источника меньше апертуры
световода.

Иногда фонон
используется и для обратной задачи –
стягивание большого светового пятна в
точку; при этом нежелательный эффект
состоит в увеличении угловой расходимости
пучка при выходе из фонона.

Селерон или
цилиндрический грин
.

Рисунок 7 – Селерон

Внутриапертурные
лучи распространяются по синусоидальной
траектории и имеют радиальный закон
излучения вида:

(3.15)

Другие оптические
элементы

Объектив

выполняется в виде жестко связанной
комбинации нескольких линз. Его
определяющими параметрами являются
апертура, поле зрения, увеличение,
фокусное расстояние.

Объективы
используются в качестве конденсоров
(то есть устройств, концентрирующих
излучение точечного источника) или
коллиматоров (устройств, преобразующих
расходящийся пучок лучей в параллельный).

Оптический фильтр

выделяет из светового потока необходимые
спектральные составляющие. Фильтр тем
совершеннее, чем меньше потери в полосе
пропускания и чем значительнее подавление
его рабочей полосы.

Устройство
оптических фильтров основывается на
абсорбционном принципе, избирательно
поглощении и отражении лучей тонкой
прозрачной пластиной или стопой пластин,
на интерференции световых потоков при
взаимодействии с дифракционной решеткой.

Расщепитель

(светоделитель, диплексор) служит для
разделения светового потока на два с
различными направлениями распространения.
Реализуется, главным образом, в виде
диэлектрического зеркала, которое часть
потока отражает, а часть пропускает
через себя, поворачивая его. Эффективность
такого светоделителя характеризуют
величиной URT:
если потери незначительны и интенсивность
обоих потоков примерно одинакова, то
URT1.

Оптический
резонатор
.
Подобен СВЧ резонатору. Служит для
выделения модулирующего оптического
излучения. Наибольшее распространение
получили оптические системы из двух
параллельных плоских зеркал (резонатор
Фабри-Перо) и дифракционные решетки.

Недостатки
оптических элементов и систем на их
основе

Сложность
изготовления многих элементов из-за
необходимости реализации требуемых
криволинейных поверхностей, точных
угловых соотношений обеспечения
оптической однородности материалов,
высокого качества обработки всех
поверхностей и т. д.;

Принципиальная
неустранимость аберраций;

Объемность
конструкций оптических элементов,
исключающая возможность микроминиатюризации;

Сложность
механического объединения отдельных
элементов в законченные оптоэлектронные
и оптические приборы, не позпозволяющие
преодолеть такие факторы, как изменение
температуры, вибрация, удары, степень
стирания разнородных материалов.

Метрологические
аспекты оптоэлектроники

При количественном
описании светового излучения используются
следующие системы параметров:

Световые,
ориентированные на человеческий глаз;

Энергетические
(объективная система, базирующаяся на
традиционной классической метрологии).

Перечислим основные
параметры энергетической системы, прямо
описывающей поле оптического излучения,
и световой системы, косвенно характеризующей
это поле (указывается в скобках):

1)

Поток излучения

(световой поток) – мощность излучения,
то есть энергия излучения
,
переносимая потоком квантов:

Кд (Вт/ср),
(3.17)

где
— единичный вектор, характеризующий
направление излученияr
.

Рисунок 8

(3.18)

Величина
является основной, поэтому кандела
основная единица светотехнической
системы, все остальные строятся как ее
производные. Изменениеосуществляется двумя методами: сравнения
или непосредственной оценки.

В случае неточечных
излучателей понятие силы излучения
неприменимо.

,
(Вт/м 2)
или (лм/ м 2)
(3.19)

4)
Энергетическая яркость
(яркость
света) – отношение
в данном направлении к проекции излучающей
поверхности на плоскость перпендикулярно
этому направлению:

,
(Вт/срм 2);
для
(кд/м 2),
(3.20)

Рисунок 9

При воздействии
излучателя на глаз человека освещенность
сетчатки определяется соотношением:

,
(3.21)

где
—
площадь входа зрачка;—
глубина глазного яблока;—
коэффициент пропускания глазных сред.

5)

Облученность

(освещенность) – представляет собой
плотность
по облучаемой поверхности:

6)

Энергетическая
экспозиция

(экспозиция) – энергия излучения
поступившая на единицу площади облученной
поверхности за время облучения Т
:

Защитные стекла, сетки, светофильтры, покровные и выравниваемые стекла и другие оптические детали, ограниченные параллельными плоскостями, являются плоскопараллельными пластинами. Любая нормаль к поверхности этой пластины может быть оптической осью, поэтому за таковую принимают оптическую ось всей системы, одной из деталей которой является пластина.

Прохождение луча через плоскопараллельную пластину показано на рис. 48, а. Луч в пространстве предметов образует с оптической осью угол Точка пересечения луча с оптической осью являемся в данном случае мнимой предметной точкой А.

Из рис. 48, а следует, что поэтому

Если плоскопараллельная пластина находится в однородной среде, например в воздухе, а следовательно, и углы равны.

Осевое смещение преломленного луча, находящегося в однородной среде, определяется согласно рис. 48, а следующим равенством:

Для случая, когда углы малы,

Следовательно, для пластины, находящейся в воздухе,

где показатель преломления материала пластины.

Рис. 48. Преломление луча плоскопараллельиой пластиной

Поперечное смещение луча плоскопараллельной пластиной, находящейся в однородной среде (см. рис. 48, а), будет следующим:

Заменяя согласно закону преломления, при (воздух) и получим:

Формула (113) устанавливает связь между углом поворота пластины поперечным смещением луча.

Из рассмотрения хода преломленного луча плоскопараллельной пластиной следует, что ее расположение в пучке параллельных лучей вносит одинаковое осевое и одинаковое поперечное смещение всех лучей.

Сместим выходную грань пластины, находящейся в воздухе, справа налево так, чтобы луч совпал с направлением луча (рис. 48, б). Тогда, очевидно, точка А должна совместиться с точкой А. При этом пластины уменьшится на величину Примем, что Так как в полученной новой пластине луч не преломляется, то показатель преломленкя такой пластины должен быть равен единице.

Описанный прием, заключающийся в приведении оптической среды пластины к воздуху, называют редуцированием.

Толщина редуцированной пластины (см. рис. 48, б)

Подставив в формулу найденное по формуле (112), получим где показатель преломления материала пластины до редуцирования.

Замена, плоскопараллельной пластины пластиной, приведенной к воздуху, упрощает габаритные расчеты. При переходе от редуцированных пластин к реальным следует учитывать внесенное при редуцировании смещение луча

Толщину пластины устанавливают в зависимости от допустимой деформации (прогиба), а также возможности изготовления оптически точных поверхностей, необходимости внесения изменения в оптическую длину луча и т. п.

Пластины высокой точности, например, помещаемые перед длиннофокусными объективами, должны иметь толщину, равную диаметра или диагонали. Пластины средней точности (выравнивающие стекла, лимбы, сетки и светофильтры, устанавливаемые в плоскости изображения) имеют толщину диаметра или диагонали.

Материалом для изготовления защитных, предметных и покровных пластин служит стекло Пластины повышенной точности делают из стекла ситалла или кварца (термостойкие).

При определении светового диаметра пластины необходимо учитывать преломление лучей, однако при редуцировании это требование отпадает.

11.2. Геометрическая оптика

11.2.2. Отражение и преломление световых лучей в зеркале, плоскопараллельной пластинке и призме

Формирование изображения в плоском зеркале и его свойства

Законы отражения, преломления и прямолинейного распространения света используются при построении изображений в зеркалах, рассмотрении хода световых лучей в плоскопараллельной пластинке, призме и линзах.

Ход световых лучей в плоском зеркале
показан на рис. 11.10.

Изображение в плоском зеркале формируется за плоскостью зеркала на том же расстоянии от зеркала f
, на каком находится предмет перед зеркалом d
:

f
= d
.

Изображение в плоском зеркале является:

• прямым;
• мнимым;
• равным по величине предмету: h
  = H
  .

Если плоские зеркала образуют между собой некоторый угол, то они формируют N
изображений источника света, помещенного на биссектрису угла между зеркалами (рис. 11.11):

N
=
2
π
γ
−
1
,

где γ — угол между зеркалами (в радианах).

Примечание. Формула справедлива для таких углов γ, для которых отношение 2π/γ является целым числом.

Например, на рис. 11.11 показан источник света S
, лежащий на биссектрисе угла π/3. Согласно приведенной выше формуле формируются пять изображений:

1) изображение S
1 формируется зеркалом 1;

2) изображение S
2 формируется зеркалом 2;

Рис. 11.11

3) изображение S
3 является отражением S
1 в зеркале 2;

4) изображение S
4 является отражением S
2 в зеркале 1;

5) изображение S
5 является отражением S
3 в продолжении зеркала 1 или отражением S
4 в продолжении зеркала 2 (отражения в указанных зеркалах совпадают).

Пример 8.
Найти число изображений точечного источника света, полученных в двух плоских зеркалах, образующих друг с другом угол 90°. Источник света находится на биссектрисе указанного угла.

Решение
. Выполним рисунок, поясняющий условие задачи:

• источник света S
  расположен на биссектрисе угла между зеркалами;
• первое (вертикальное) зеркало З1 формирует изображение S
  1;
• второе (горизонтальное) зеркало З2 формирует изображение S
  2;
• продолжение первого зеркала формирует изображение мнимого источника S
  2, а продолжение второго зеркала — мнимого источника S
  1; указанные изображения совпадают и дают S
  3.

Число изображений источника света, помещенного на биссектрису угла между зеркалами, определяется формулой

N
=
2
π
γ
−
1
,

где γ — угол между зеркалами (в радианах), γ = π/2.

Число изображений составляет

N
=
2
π
π
/
2
−
1
=
3
.

Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке

Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке
зависит от оптических свойств среды, в которой находится пластинка.

1. Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке, находящейся в оптически однородной среде
(по обе стороны от пластинки коэффициент преломления среды одинаков), показан на рис. 11.12.

Световой луч, падающий на плоскопараллельную пластинку под некоторым углом i

1 , после прохождения плоскопараллельной пластинки:

• выходит из нее под тем же углом:

i

3 = i

1 ;

• смещается на величину x
  от первоначального направления (пунктир на рис. 11.12).

2. Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке, находящейся на границе двух сред
(по обе стороны от пластинки коэффициенты преломления сред различны), показан на рис. 11.13 и 11.14.

Рис. 11.13

Рис. 11.14

Световой луч после прохождения плоскопараллельной пластинки выходит из пластинки под углом, отличающимся от угла падения его на пластинку:

• если показатель преломления среды за пластинкой меньше показателя преломления среды перед пластинкой (n

  3 < n

  1), то:

i

3 > i

1 ,

т.е. луч выходит под бо́льшим углом (см. рис. 11.13);

• если показатель преломления среды за пластинкой больше показателя преломления среды перед пластинкой (n

  3 > n

  1), то:

i

3 < i

1 ,

т.е. луч выходит под меньшим углом (см. рис. 11.14).

Смещение луча
— длина перпендикуляра между выходящим из пластинки лучом и продолжением луча, падающего на плоскопараллельную пластинку.

Смещение луча при выходе из плоскопараллельной пластинки, находящейся в оптически однородной среде (см. рис. 11.12), рассчитывается по формуле

где d
— толщина плоскопараллельной пластинки; i

1 — угол падения луча на плоскопараллельную пластинку; n
— относительный показатель преломления материала пластинки (относительно той среды, в которую помещена пластинка), n
= n

2 /n

1 ; n

1 — абсолютный показатель преломления среды; n

2 — абсолютный показатель преломления материала пластинки.

Рис. 11.12

Смещение луча
при выходе из плоскопараллельной пластинки может быть рассчитано с помощью следующего алгоритма
(рис. 11.15):

1) вычисляют x

1 из треугольника ABC
, пользуясь законом преломления света:

где n

1 — абсолютный показатель преломления среды, в которую помещена пластинка; n

2 — абсолютный показатель преломления материала пластинки;

2) вычисляют x

2 из треугольника ABD
;

3) рассчитывают их разность:

Δx
= x

2 − x

1 ;

4) смещение находят по формуле

x
= Δx
 cos i

1 .

Время распространения светового луча
в плоскопараллельной пластинке (рис. 11.15) определяется формулой

где S
— путь, пройденный светом,
S
=
|
A
C
|
; v
— скорость распространения светового луча в материале пластинки, v
= c
/n
; c
— скорость света в вакууме, c
≈ 3 ⋅ 10 8 м/с; n
— показатель преломления материала пластинки.

Путь, пройденный световым лучом в пластинке, связан с ее толщиной выражением

S
= d
 cos i

2 ,

где d
— толщина пластинки; i

2 — угол преломления светового луча в пластинке.

Пример 9.
Угол падения светового луча на плоскопараллельную пластинку равен 60°. Пластинка имеет толщину 5,19 см и изготовлена из материала с показателем преломления 1,73. Найти смещение луча при выходе из плоскопараллельной пластинки, если она находится в воздухе.

Решение
. Выполним рисунок, на котором покажем ход светового луча в плоскопараллельной пластинке:

• световой луч падает на плоскопараллельную пластинку под углом i

  1 ;

• на границе раздела воздуха и пластинки луч преломляется; угол преломления светового луча равен i

  2 ;

• на границе раздела пластинки и воздуха луч преломляется еще раз; угол преломления равен i

  1 .

Указанная пластинка находится в воздухе, т.е. по обе стороны от пластинки среда (воздух) имеет одинаковый показатель преломления; следовательно, для расчета смещения луча можно применить формулу

x
=
d
sin
i
1
(1
−
1
−
sin
2
i
1
n
2
−
sin
2
i
1)
,

где d
— толщина пластинки, d
= 5,19 см; n
— показатель преломления материала пластинки относительно воздуха, n
= 1,73; i

1 — угол падения света на пластинку, i

1 = 60°.

Вычисления дают результат:

x
=
5,19
⋅
10
−
2
⋅
3
2
(1
−
1
−
(3
/
2)
2
(1,73)
2
−
(3
/
2)
2)
=
3,00
⋅
10
−
2
м
=
3,00
см.

Cмещение луча света при выходе из плоскопараллельной пластинки равно 3 см.

Ход светового луча в призме

Ход светового луча в
призме
показан на рис. 11.16.

Грани призмы, через которые проходит луч света, называются преломляющими
. Угол между преломляющими гранями призмы называется преломляющим углом
призмы.

Световой луч после прохождения через призму отклоняется; угол между лучом, выходящим из призмы, и лучом, падающим на призму, называется углом отклонения луча
призмой.

Угол отклонения луча призмой φ (см. рис. 11.16) представляет собой угол между продолжениями лучей I и II — на рисунке обозначены пунктиром и символом (I), а также пунктиром и символом (II).

1. Если световой луч падает на преломляющую грань призмы под произвольным углом
, то угол отклонения луча призмой определяется формулой

φ = i

1 + i

2 − θ,

где i

1 — угол падения луча на преломляющую грань призмы (угол между лучом и перпендикуляром к преломляющей грани призмы в точке падения луча); i

2 — угол выхода луча из призмы (угол между лучом и перпендикуляром к грани призмы в точке выхода луча); θ — преломляющий угол призмы.

2. Если световой луч падает на преломляющую грань призмы под малым углом
(практически перпендикулярно
преломляющей грани призмы), то угол отклонения луча призмой определяется формулой

φ = θ(n
− 1),

где θ — преломляющий угол призмы; n
— относительный показатель преломления материала призмы (относительно той среды, в которую эта призма помещена), n
= n

2 /n

1 ; n

1 — показатель преломления среды, n

2 — показатель преломления материала призмы.

Вследствие явления дисперсии (зависимость показателя преломления от частоты светового излучения) призма разлагает белый свет в спектр (рис. 11.17).

Рис. 11.17

Лучи различного цвета (различной частоты или длины волны) отклоняются призмой по-разному. В случае нормальной дисперсии
(показатель преломления материала тем выше, чем больше частота светового излучения) призма наиболее
сильно отклоняет фиолетовые лучи; наименее
— красные.

Пример 10.
Стеклянная призма, изготовленная из материала с коэффициентом преломления 1,2, имеет преломляющий угол 46° и находится в воздухе. Луч света падает из воздуха на преломляющую грань призмы под углом 30°. Найти угол отклонения луча призмой.

Решение
. Выполним рисунок, на котором покажем ход светового луча в призме:

• световой луч падает из воздуха под углом i

  1 = 30° на первую преломляющую грань призмы и преломляется под углом i

  2 ;

• световой луч падает под углом i

  3 на вторую преломляющую грань призмы и преломляется под углом i

  4 .

Угол отклонения луча призмой определяется формулой

φ = i

1 + i

4 − θ,

где θ — преломляющий угол призмы, θ = 46°.

Для расчета угла отклонения светового луча призмой необходимо вычислить угол выхода луча из призмы.

Воспользуемся законом преломления света для первой преломляющей грани

n

1  sin i

1 = n

2  sin i

2 ,

где n

1 — показатель преломления воздуха, n

1 = 1; n

2 — показатель преломления материала призмы, n

2 = 1,2.

Рассчитаем угол преломления i

2:

i

2 = arcsin (n

1  sin i

1 /n

2) = arcsin(sin 30°/1,2) = arcsin(0,4167);

i

2 ≈ 25°.

Из треугольника ABC

α + β + θ = 180°,

где α = 90° − i

2 ; β = 90° − i

3 ; i

3 — угол падения светового луча на вторую преломляющую грань призмы.

Отсюда следует, что

i

3 = θ − i

2 ≈ 46° − 25° = 21°.

Воспользуемся законом преломления света для второй преломляющей грани

n

2  sin i

3 = n

1  sin i

4 ,

где i

4 — угол выхода луча из призмы.

Рассчитаем угол преломления i

4:

i

4 = arcsin (n

2  sin i

3 /n

1) = arcsin(1,2 ⋅ sin 21°/1,0) = arcsin(0,4301);

i

4 ≈ 26°.

Угол отклонения луча призмой составляет

φ = 30° + 26° − 46° = 10°.

Преломление света
в плоскопараллельной пластине

Плоскопараллельная пластина

Плоскопараллельная пластина
— это оптический прибор, представляющий собой ограниченный параллельными поверхностями слой однородной среды, прозрачной в некотором интервале длин волн λ оптического излучения. Основным оптическим свойством пластины является то, что луч, падающий на пластину, в результате двукратного преломления на поверхностях пластины параллельно смещается на некоторую величину δL

относительно исходного луча (см. рисунок).
Плоскопараллельную пластину можно рассматривать в качестве сферической линзы, ограниченной поверхностями бессконечного радиуса. Для такой линзы величина оптической силы равна нулю. Именно поэтому обычные оконные стекла не искажают изображения, а лишь немного смещают его. Но такой сдвиг незаметен глазу, поскольку сдвигается все изображения в поле зрения.

Величина смещения в плоскопараллельной пластине

Величина сдвига луча света δL

зависит:

• от угла падения света α
  
  ,
• от толщины пластины d
  
  ,
• от показателя преломления вещества, из которого изготовлена плоскопараллельная пластина n
  
  .

C увеличением любого из этих параметров смещение луча света увеличивается.

Вывод формулы величины смещения луча

Для того, чтобы узнать, на сколько смещается преломленный пластиной луч относительно падающего, воспользуемся элементарными тригонометрическими соотношениями. Для начала заметим, что геометрическая длина пути, проходимого лучом в пластине равна:

A
= d
/cos β
,

Где β

— угол, на который преломляется луч света проходящий в пластину. Этот отрезок является гипотенузой в прямоугольном треугольнике (желтый треугольник на рисунке), в котором катетом лежащим против угла α – β

и является искомая величина смещения δL

. Откуда найдем величину смещения:

δL
=A
sin (α – β
) = d
sin (α – β
) / cos β
,

Чтобы преобразовать это выражение воспользуемся формулой синуса разности :

δL
= d
(sin α
cos β
– sin β
cos α
) / cos β
,

После чего выразим синус угла преломления β

из закона преломления Снеллиуса : sin β
= sin α
/ n
и вынесем sin α

за скобку:

.

Для малых углов падения в этом равенстве можно сделать грубое приближение cos α
≈ cos β

и тогда полученное выражение можно упростить:

δL
≈ d
sin α
(1 – 1/n) .

Точное выражение для величины смещения луча в плоскопараллельной пластине после избавления от угла cos β

при помощи основного тригонометрического тождества и закона преломления имеет вид:

.

Из этого выражения видно, что величина смещения луча в пластине зависит от угла падения, толщины пластины и показателя преломления. Из формулы видно, что отклонения луча не происходит, если:

1. угол падения равен нулю: α
   = 0
   ,
2. относительный показатель преломления равен единице (преломления не происходит): n
   = 1
   ,
3. толщина пластины равна нулю: d
   = 0
   ,

Интерактивная модель «Ход лучей в плоскопараллельной пластине»

В представленной модели можно изменять:

• Положение источника света;
• Ориентацию плоскопараллельной пластины;
• Толщину пластины;
• Показатель преломления материала пластины.

В модели автоматически чертятся

• Ход преломленных пластиной лучей.

Управление интерактивной моделью

• Изменить масштаб: «CTRL + колесо мыши»
  или «CTRL + «+»»–«CTRL + «–»»
  
• Изменить позицию: перетащить при зажатой «CTRL + левая кнопка мыши»
  
• Стереть все «следы»: «CTRL + F
  »

Скачать модель

Авторами моделей, отмеченных знаком © CC-BY-SA, Являются указанные на сайте лица. Интерактивные модели распространяются по лицензии Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Attribution-ShareAlike (by-sa)
— Лицензия «С указанием авторства — Копилефт». Эта лицензия позволяет другим перерабатывать, исправлять и развивать произведение даже в коммерческих целях при условии указания авторства и лицензирования производных работ на аналогичных условиях. Эта лицензия является копилефт-лицензией. Все новые произведения основанные на лицензированном под нею будут иметь аналогичную лицензию, поэтому все производные будет разрешено изменять и использовать в коммерческих целях. При воспроизведении работ, распространяемых по данной лицензии ссылка на сайт обязательна!

Скачать модель

id=»tabs-2″>

Вопросы для самоконтроля:

• Что такое плоскопараллельная пластина?
• Как преломляются лучи в плоскопараллельной пластине?
• От чего зависит смещения луча?
• При каких условиях смещение луча в пластине равно нулю?
• Какие формулы используются в процессе вывода выражения зависимости смещения луча от угла падения на пластину?

органов без хирургического вмешательства (эндоскопы), а также на производстве для освещения недоступных участков.

5. На законах преломления основан принцип действия разнообразных оптических устройств, служащих для задания световым лучам нужного направления. Для примера рассмотрим ход лучей в плоскопараллельной пластинке и в призме.

1).
Плоскопараллельная пластинка
– изготовленная из прозрачного вещества пластинка с двумя параллельными плоскими гранями.Пусть пластинка изготовлена из вещества, оптически более плотного, чем окружающая среда. Предположим, что в воздухе (n1
=1) находится стеклянная

пластинка (n
2
>1), толщина которойd
(рис.6).

Пусть луч падает на верхнюю грань этой пластинки. В точке А
он преломится и пойдет в стекле по направлениюАВ
. В точкеВ
луч снова преломится и выйдет из стекла в воздух. Докажем, что луч из пластинки выходит под тем же углом, под каким падает на нее. Для точкиА
закон преломления имеет вид: sinα/sinγ=n
2
/n
1,
и так какn
1
=1, тоn
2
= sinα/sinγ. Для

точки В закон преломления следующий: sinγ/sinα1
=n
1
/n
2
=1/n
2
. Сравнение

формул дает равенство sinα=sinα1
, а значит, и α=α1
.Следовательно, луч

выйдет из плоскопараллельной пластинки под таким же углом, под каким на неё упал. Однако луч, вышедший из пластинки, смещен относительно падающего луча на расстояние ℓ, которое зависит от толщины пластинки,

показателя преломления и угла падения луча на пластинку.

Вывод
:
плоскопараллельная пластинка не меняет направление падающих на нее лучей, а лишь смешает их, если рассматривать преломленные лучи.

2).
Треугольная призма
– это выполненная из прозрачного вещества призма, сечение которой представляет собой треугольник.Пусть призма изготовлена из материала оптически более плотного, чем окружающая среда

(например, она из стекла, а вокруг – воздух). Тогда луч, упавший на её грань,

преломившись, отклоняется к основанию призмы, поскольку он переходит в оптически более плотную среду и, значит, его угол падения φ1
больше угла

преломления φ2
. Ход лучей в призме показан на рис.7.

Угол ρ при вершине призмы, лежащий между гранями на которых преломляется луч, называется преломляющим углом призмы
; а сторона,

лежащая против этого угла, — основанием призмы. Угол δ между направлениями продолжения луча, падающего на призму (АВ
) и луча (CD
)

вышедшего из нее, называется углом отклонения луча призмой
– он показывает, как сильно призма изменяет направление падающих на нее лучей. Если известны угол р и показатель преломления призмыn
, то по заданному углу падения φ1
можно найти угол преломления на второй грани

φ4
. В самом деле, угол φ2
определяется из закона преломления sinφ1
/sinφ2
=n

(призма из материала с показателем преломления n
помещена в воздух). В

BCN
стороныВN
иCN
образованы прямыми, перпендикулярными к граням призмы, так что уголCNE
равен углу р. Поэтому φ2
+φ3
=р
, откуда φ3
=р
-φ2

становится известным. Угол φ4
определяется законом преломления:

sinφ3
/sinφ4
=1/n
.

Практически часто бывает нужно решать такую задачу: зная геометрию призмы (угол р
) и определяя углы φ1
и φ4
, найти показатель

преломления призмы n
. Применяя законы геометрии, получаем: угол МСВ=φ4
-φ3
, угол МВС=φ1
-φ2;
угол δ — внешний к BМC и, следовательно,

равен сумме углов МВС и МСВ: δ=(φ1
-φ2
)+(φ4
-φ3
)=φ1
+φ4
-р
, где учтено

равенство φ3
+φ2
=р
. Поэтому,

Следовательно, угол
отклонения луча призмой тем больше, чем больше угол падения луча и чем меньше преломляющий угол призмы.Сравнительно сложными рассуждениями можно показать, что при симметричном ходе луча

сквозь призму (луч света в призме параллелен ее основанию) δ
принимает наименьшее значение.

Предположим, что преломляющий угол (тонкая призма) и угол падения луча на призму малы. Запишем законы преломления на гранях призмы:

sinφ1
/sinφ2
=n
, sinφ3
/sinφ4
=1/n
. Учитывая, что для малых углов sinφ≈
tgφ≈
φ,

получим: φ1
=n
φ2
, φ4
=n
φ3
. подставив φ1
и φ3
, в формулу (8) для δ получим:

Подчеркнем, что эта формула для δ верна лишь для тонкой призмы и при очень малых углах падения лучей.

Принципы получения оптических изображений

Геометрические принципы получения оптических изображений основываются только на законах отражения и преломления света, полностью отвлекаясь от его физической природы. При этом оптическую длину светового луча следует считать положительной, когда он проходит в направлении распространения света, и отрицательной в противоположном случае.

Если пучок световых лучей, исходящий из какой-либо точкиS
, в

результате отражения и/или преломления сходится в точке S
΄, тоS
΄

считается
оптическим изображениемили просто
изображением точки S.

Изображение называется действительным,
если световые лучи действительно пересекаются в точкеS
΄. Если же в точкеS
΄ пересекаются продолжения лучей, проведенные в направлении, обратном распространению

света, то изображение называется мнимым.
При помощи оптических приспособлений мнимые изображения могут быть преобразованы в действительные. Например, в нашем глазу мнимое изображение преобразуется в действительное, получающееся на сетчатке глаза. Для примера рассмотрим получение оптических изображений с помощью 1)

плоского зеркала; 2) сферического зеркала и 3) линз.

1.
Плоским зеркаломназывают
гладкую плоскую поверхность, зеркально отражающую лучи. Построение изображения в плоском зеркале можно показать с помощью следующего примера. Построим, как виден в зеркале точечный источник света
S(рис.8).

Правило построения изображения следующее. Поскольку от точечного источника можно провести разные лучи, выберем два из них — 1 и 2 и найдем точку S
΄, где эти лучи сходятся. Очевидно, что сами отраженные 1΄ и 2 ΄ лучи расходятся, сходятся лишь их продолжения (см. пунктир на рис.8).

Изображение получилось не от самих лучей, а от их продолжения, и является мнимым. Простым геометрическим построением легко показать, что

изображение расположено симметрично по отношению к поверхности зеркала.

Вывод:
плоское зеркало дает мнимое изображение предмета,

расположенное за зеркалом на таком же расстоянии от него, что и сам предмет. Если два плоских зеркала расположены под углом φ друг к другу,

то возможно получить несколько изображений источника света.

2.
Сферическим зеркаломназывается
часть сферической поверхности,

зеркально отражающая свет.
Если зеркальной является внутренняя часть поверхности, то зеркало называютвогнутым,
а если наружная, товыпуклым.

На рис.9 показан ход лучей падающих параллельным пучком на вогнутое сферическое зеркало.

Вершина сферического сегмента (точка D
) называетсяполюсом зеркала.
Центр сферы (точкаО
), из которой образовано зеркало, называется

оптическим центром зеркала.
Прямая, проходящая через центр кривизныО
зеркала и его полюсD
, называется главной оптической осью зеркала.

Применяя закон отражения света, в каждой точке падения лучей на зеркал

восстанавливают перпендикуляр к поверхности зеркала (этим перпендикуляром является радиус зеркала — пунктирная линия на рис. 9) и

получают ход отраженных лучей. Лучи, падающие на поверхность вогнутого зеркала параллельно главной оптической оси, после отражения собираются в одной точке F
, называемойфокусом зеркала,
а расстояние от фокуса зеркала до его полюса — фокусным расстояниемf.
Поскольку радиус сферы направлен по нормали к ее поверхности, то, по закону отражения света,

фокусное расстояние сферического зеркала определяют по формуле

где R
-радиус сферы (ОD
).

Для построения изображения необходимо выбрать два луча и найти их пересечение. В случае вогнутого зеркала такими лучами могут быть луч,

отраженный от точки D
(он идет симметрично с падающим относительно оптической оси), и луч, прошедший через фокус и отраженный зеркалом (он идет параллельно оптической оси); другая пара: луч, параллельный главной оптической оси (отражаясь, он пройдет через фокус), и луч, проходящий через оптический центр зеркала (он отразится в обратном направлении).

Для примера построим изображение предмета (стрелки АВ
), если он находится от вершины зеркалаD
на расстоянии, большем радиуса зеркала

(радиус зеркала равен расстоянию OD=R
). Рассмотрим чертеж, сделанный согласно описанному правилу построения изображения (рис.10).

Луч 1 распространяется от точки В
до точкиD
и отражается по прямой

DE
так, что уголADВ
равен углуADE
. Луч 2 от той же точкиВ
распространяется через фокус до зеркала и отражается по линииCB
«||DA
.

Изображение действительное (образованное отраженными лучами, а не их продолжениями, как в плоском зеркале), перевернутое и уменьшенное.

Из простых геометрических расчетов можно получить соотношение между следующими характеристиками. Если а
– расстояние от предмета до зеркала, откладываемое по главной оптической оси (на рис.10 – этоAD
),b
–

расстояние от зеркала до изображения (на рис.10 — это DA
«), тоа/b
=AB/A»B»
,

и тогда фокусное расстояние f
сферического зеркала определяют по формуле

Величина оптической силы измеряется в диоптриях (дптр); 1 дптр = 1м-1
.

3.
Линзой называют прозрачное тело, ограниченное сферическими поверхностями, радиус, по крайнем мере, одной из которых не должен быть бесконечным. Ход лучей в линзе зависит от радиуса кривизны линзы.

Основными характеристиками линзы являются оптический центр, фокусы,

фокальные плоскости. Пусть линза ограничена двумя сферическими поверхностями, центры кривизны которых С
1
иС
2
, а вершины сферических

поверхностей О
1
иО
2
.

На рис.11 схематично изображена двояковыпуклая линза; толщина линзы в середине больше, чем у краев. На рис.12 схематично изображена двояковогнутая линза (в середине она тоньше, чем у краев).

Для тонкой линзы считают, что О
1
О
2
<<С
1
О
2
иО
1
О
2
<<С
2
О
2
, т.е.

практически точки О
1
иО
2
. слиты в одну точкуО
, которая называется

оптическим центром линзы
. Прямая, проходящая через оптический центр линзы, называется оптической осью.Оптическая ось, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется
главной оптической осью
(С
1
С
2
, на рис.11 и 12). Лучи, идущие через оптический центр, не

преломляются (не изменяют своего направления). Лучи, параллельные главной оптической оси двояковыпуклой линзы, после прохождения через нее пересекают главную оптическую ось в точке F
(рис.13), которая называется главным фокусом линзы, а расстояние от этой точки до линзыf

есть главное фокусное расстояние. Постройте самостоятельно ход хотя бы двух лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси

(стеклянная линза расположена в воздухе, учтите это при построении), чтобы доказать, что расположенная в воздухе линза является собирающей, если она двояковыпуклая, и рассеивающей, если линза двояковогнутая.