Для
того, чтобы наблюдать рассеяние
количественного признака значений
выборки вокруг своего среднего значения
, вводят сводную характеристику-
выборочную дисперсию.
-
Выборочной
дисперсией называют
среднее арифметическое квадратов
отклонения наблюдаемых значений
признака от их среднего значения .
Если
все значения признака выборки различны,
то
если
же все значения имеют частоты n1, n2,…,nk,
то
Для
характеристики рассеивания значений
признака выборки вокруг своего среднего
значения пользуются сводной характеристикой
— средним квадратическим отклонением.
Вычисление
дисперсии- выборочной или генеральной,
можно упростить, используя формулу:
Замечание:
если выборка представлена интервальным
вариационным рядом, то за xi принимают
середины частичных интервалов.
Для
исправления выборочной дисперсии
достаточно умножить ее на дробь
получим исправленную
дисперсию S2.
Исправленная дисперсия является
несмещенной оценкой.
В
качестве оценки генеральной дисперсии
принимают исправленную дисперсию.
Для
оценки среднего квадратического
генеральной совокупности
используют исправленное
среднее квадратическое отклонение
Пример:
По
выборке объема N=41 найдена
смещенная оценка генеральной дисперсии 
.
Найти несмещенную оценку дисперсии
генеральной совокупности.
Решение. Смещенной
оценкой генеральной дисперсии служит
выборочная дисперсия
Несмещенной
оценкой генеральной дисперсии является
«исправленная дисперсия»
или 
Таким
образом, мы получаем искомую несмещенную
оценку дисперсии генеральной совокупности:
11. Интервальные
оценки неизвестных параметров генеральной
совокупности. Доверительная вероятность.
Интервальная оценка мат. ожидания
нормально распределенного признака
при известном среднем квадратическом
отклонении.
Интервальной оценкой
называется числовой интервал, который
определяется двумя числами – границами
интервала, содержащего неизвестный
параметр генеральной совокупности.
Доверительным
интервалом называется интервал, в
котором с той или иной заранее заданной
вероятностью находится неизвестный
параметр генеральной совокупности.
Доверительная
вероятность 
–
вероятность, что событие вероятности 1-
можно
считать невозможным, a
= 1-
–
уровень значимости. В качестве
доверительных вероятностей используют
вероятности, близкие к 1 (например, 0,95;
0,99; 0,999).
Для
малых выборок (n<30) нормально
распределенного количественного
признака Х доверительный интервал имеет
вид:
,
где 
– коэффициент
Стьюдента, значение которого определяется
величиной доверительной вероятности 
и числом степеней свободы f
= n
— 1.
Для
больших выборок (n<30) нормально
распределенного количественного
признака Х доверительный интервал имеет
вид:
,
где 
–
коэффициент Стьюдента, значение которого
определяется величиной доверительной
вероятности 
и числом степеней свободы
f
= n
– 1.
Пусть
математическое ожидание выборочной
средней
нормального распределения равно a и
среднее квадратическое отклонение –
σ.
Требуется
найти доверительные интервалы, покрывающие
параметр a
с надежностью γ, т.е.
Для
решения воспользуемся формулой вычисления
вероятности заданного отклонения из
теории вероятностей:
Проведя
замены X на
и σ на
,
получим
Найдя
из последнего равенства
,
можем написать
Приняв
во внимание, что доверительная вероятность
задана и равна γ, и заменив выборочную
среднюю на
окончательно
имеем
Смысл
полученного равенства:
С
надежностью γ можно утверждать, что
доверительный интервал
)
покрывает неизвестный параметр a,
точность оценки
.
Число
t определяется из соотношения
.
По
таблице функции Лапласа находят аргумент
t, которому соответствует значение
функции Лапласа
Замечание
1. Оценку
называют классической. Из формулы
точности оценки
следуют выводы:
1)
При возрастании объема выборки n число
δ убывает, следовательно точность
увеличивается;
2)
Увеличение надежности оценки приводит
к увеличению t. Как следствие, возрастает
δ и уменьшается точность оценки.
Замечание
2. Как следует из равенства точности
оценки, минимальный объем выборки,
который обеспечит заданную точность
оценки математического ожидания, равен:
Приветствую посетителей блога statanaliz.info. В данной статье рассмотрим, что такое «выборочная несмещенная дисперсия».
Тема не нова, так как с таким показателями как размах значений, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации мы уже знакомы.
Понятие о сплошном и выборочном наблюдении
С точки зрения охвата объекта исследования, статистический анализ можно разделить на два вида: сплошной и выборочный. Сплошной статанализ предполагает изучение генеральной совокупности данных, то есть всего явления во всем его многообразии без распространения выводов на другие элементы, не входящие в анализируемую совокупность. Из названия данного типа явствует, что наблюдению подвергаются тотально все элементы. Результат анализа распространяется на всю генеральную совокупность без каких-либо допущений и поправок на ошибку. Данный тип статистического исследования является наиболее полным и точным, так как дополнительные знания почерпнуть уже неоткуда – информация собрана со всех элементов объекта исследования. Это бесспорный плюс.
Отличным примером сплошного наблюдения является перепись населения. «Всесоюзная перепись населения» — красиво звучало! Кстати, советская статистика, как и наука в целом, была одной из самых лучших в мире. Денег на проведение сплошных обследований не жалели, так как при СССР статистика выполняла свою прямую функцию – исследовала реальность, без чего невозможно было строить «светлое будущее». При этом советские ученые-статистики справедливо критиковали буржуазную статистику за то, что те скрывают от народа реальное положение дел и используют статистику для промывки мозгов. Об этом, кстати, писали и сами буржуи. Более практичный пример сплошного наблюдения – опрос жителей многоэтажного дома на предмет заваривания мусоропровода. Опрашиваются все, результат дает вполне однозначный ответ об отношении жителей к мусоропроводу. Ошибки в выводах маловероятны.
Как бы там ни было, у сплошного наблюдения есть отрицательное качество: на организацию и проведение исследования могут потребоваться значительные ресурсы. Одно дело взять пробу из партии товаров, другое – проверять всю партию. Одно дело опросить тысячу прохожих на улице, совсем другое – организовать перепись населения.
В противовес сплошному придумали выборочное наблюдение. Название метода точно отражает его суть: из генеральной совокупности отбирается и анализируется только часть данных, а выводы распространяют на всю генеральную совокупность. Отбор данных происходит таким образом, чтобы выборка была репрезентативной, то есть, сохранила внутреннюю структуру и закономерности генеральной совокупности. Если это условие не соблюдено, то дальнейший анализ во многом теряет смысл.
Сам анализ выборочных данных происходит так же, как и при сплошном наблюдении (рассчитываются различные показатели, делаются прогнозы и т.д.), только с поправкой на ошибку. Это значит, что рассчитывая тот или иной показатель, мы понимаем, что при повторной выборке его значение будет другим. К примеру, провели опрос общественного мнения. Опрос показал, что за кандидата N желают проголосовать 60% опрошенных. Если провести еще один такой же опрос, даже в том же месте, то результат будет отличаться. То есть, взяв первое значение 60%, следует понимать, что с той или иной вероятностью оно могло быть, скажем, и 58%, и 62%. Точность и разброс выборочных показателей зависят от характера данных и их количества.
У выборочного наблюдения есть один существенный плюс и один минус, однако по сравнению со сплошным наблюдением крайности меняются местами. Плюс заключается в том, что для проведения выборочного обследования требуется гораздо меньше ресурсов. Минус – в том, что выборочное наблюдение всегда ошибочно. Поэтому основная задача проведения выборочного наблюдения – добиться максимальной точности при приемлемых затратах на его проведение.
Выборочная несмещенная дисперсия
И вот, стало быть, дисперсия. Дисперсия, как и доля или средняя арифметическая, также меняет свое значение от выборки к выборке, но здесь есть интересная особенность. Дисперсия ведь рассчитывается от средней величины, а она в свою очередь, тоже рассчитывается по выборке, то есть является ошибочной. Как же это обстоятельство влияет на саму дисперсию?
Если бы мы знали истинную среднюю величину (по генеральной совокупности), то ошибка дисперсии была бы связана только с нерепрезентативностью, то есть с тем, что данные в выборке оказались бы ближе или дальше от средней, чем в целом по генеральной совокупности. При этом при многократном повторении данные стремились бы к своему реальному расположению относительно средней.
Выборочный показатель, который при многократном повторении выборки стремится к своему теоретическому значению, называется несмещенной оценкой. Почему оценкой? Потому что мы не знаем реальное значение показателя (по генеральной совокупности), и с помощью выборочного наблюдения пытаемся его оценить. Оценка показателя – это есть его характеристика, рассчитанная по выборке.
Теперь смотрим внимательно на выборочную среднюю. Выборочная средняя – это несмещенная оценка математического ожидания, так как средняя из выборочных средних стремится к своему теоретическому значению по генеральной совокупности. Где она расположена? Правильно, в центре выборки! Средняя всегда находится в центре значений, по которым рассчитана – на то она и средняя. А раз выборочная средняя находится в центре выборки, то из этого следует, что сумма квадратов расстояний от каждого значения выборки до выборочной средней всегда меньше, чем до любой другой точки, в том числе и до генеральной средней. Это ключевой момент. А раз так, то дисперсия в каждой выборке будет занижена. Средняя из заниженных дисперсий также даст заниженное значение. То есть при многократном повторении эксперимента выборочная дисперсия не будет стремиться к своему истинному значению (как выборочная средняя), а будет смещена относительно истинного значения по генеральной совокупности.
Отклонение выборочной средней от генеральной показано на рисунке.
Несмещенность оценки – одна из важных характеристик статистического показателя. Смещенная оценка показателя заранее говорит о тенденции к ошибке. Поэтому показатели стараются оценивать таким образом, чтобы их оценки были несмещенными (как у средней арифметической). Чтобы решить проблему смещенности выборочной дисперсии, в ее расчет вносят корректировку – умножают на n/(n-1), либо сразу при расчете в знаменатель ставят не n, а n-1. Получается так.
Выборочная смещенная дисперсия:
Выборочная несмещенная дисперсия:
Под выборочной дисперсией понимают, как правило, именно несмещенный вариант.
Теперь посмотрим на практическую сторону отличия смещенной и несмещенной дисперсии. Соотношение между выборочной и генеральной дисперсией составляет n/n-1. Несложно догадаться, что с ростом n (объема выборки) данное выражение стремится к 1, то есть разница между значениями выборочной и генеральной дисперсиями уменьшается.
Так, в выборке из 11 наблюдений относительная разница составляет 11/10 = 10%. При 21 наблюдениях, отличие сокращается до 5%, при 31 наблюдении – до 3,3%, при 51 – до 2%, при 101 – до 1%. Короче, при достаточно большой выборке данных (50 и выше наблюдений) относительная разница между смещенной и несмещенной дисперсией практически исчезает. Оценка параметра, когда с ростом выборки его отклонение от теоретического значения уменьшается, называется асимптотически несмещенной оценкой.
При переходе к среднеквадратичном отклонению по выборке (корень из выборочной дисперсии) разница становится еще меньше.
Таким образом, эффект смещенной дисперсии проявляется в небольших выборках. В больших выборках можно использовать генеральную дисперсию, что как бы не усложняет и не упрощает жизнь. Вручную сейчас никто не считает. Все легко посчитать в Excel. Но понимать различие в терминологии и в сути показателей все же следует.
Из данной статьи неплохо бы усвоить следующее.
1. Формула генеральной дисперсии в выборке дает смещенную оценку.
2. В знаменателе несмещенной оценки n-1 вместо n.
3. При большом объеме выборки (от 100 наблюдений) разница между смещенной и несмещенной дисперсиями практически исчезает.
4. Стандартное отклонение по выборке – это корень из выборочной дисперсии.
До новых встреч на блоге statanaliz.info.
Поделиться в социальных сетях:
Выборочная дисперсия, описание
Выборочная дисперсия является сводной характеристикой для наблюдения рассеяния количественного признака выборки вокруг среднего значения.
Определение
Выборочная дисперсия – это среднее арифметическое значений вариантов части отобранных объектов генеральной совокупности (выборки).
Связь выборочной и генеральной дисперсии
Генеральная дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадратов отступлений значений признаков генеральной совокупности от их среднего значения.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Определение
Генеральная совокупность – это комплекс всех возможных объектов, относительно которых планируется вести наблюдение и формулировать выводы.
Выборочная совокупность или выборка является частью генеральной совокупности, выбранной для изучения и составления заключения касательной всей генеральной совокупности.
Как вычислить выборочную дисперсию
Выборочная дисперсия при различии всех значений варианта выборки находится по формуле:
({widehat D}_В=frac{displaystylesum_{i-1}^n{(x_i-{overline x}_В)}^2}n)
Для значений признаков выборочной совокупности с частотами n1, n2,…,nk формула выглядит следующим образом:
({widehat D}_В=frac{displaystylesum_{i-1}^kn_i{(x_i-{overline x}_В)}^2}n)
Квадратный корень из выборочной дисперсии характеризует рассеивание значений вариантов выборки вокруг своего среднего значения. Данная характеристика называется выборочным средним квадратическим отклонением и имеет вид:
({widehatsigma}_В=sqrt{{widehat D}_В})
Упрощенный способ вычисления выборочной или генеральной дисперсии производят по формуле:
(D=overline{x^2}-left[overline xright]^2)
Если вариационный ряд выборочной совокупности интервальный, то за xi принимается центр частичных интервалов.
Пример
Найти выборочную дисперсию выборки со значениями:
- xi: 1, 2, 3, 4;
- ni: 20, 15, 10, 5.
Решение
Для начала необходимо определить выборочную среднюю:
({overline x}_В=frac1{50}(1cdot20+2cdot15+3cdot10+4cdot5)=frac1{50}cdot100=2)
Затем найдем выборочную дисперсию:
(D_В=frac1{50}({(1-2)}^2cdot20+{(2-2)}^2cdot15+{(3-2)}^2cdot10+{(4-2)}^2cdot5)=1)
Исправленная дисперсия
Математически выборочная дисперсия не соответствует генеральной, поскольку выборочная используется для смещенного оценивания генеральной дисперсии. По этой причине математическое ожидание выборочной дисперсии вычисляется так:
(Mleft[D_Bright]=frac{n-1}nD_Г)
В данной формуле DГ – это истинное значение дисперсии генеральной совокупности.
Исправить выборочную дисперсию можно путем умножения ее на дробь:
(frac n{n-1})
Получим формулу следующего вида:
(S^2=frac n{n-1}cdot D_В=frac{displaystylesum_{i=1}^kn_i{(x_i-{overline x}_В)}^2}{n-1})
Исправленная дисперсия используется для несмещенной оценки генеральной дисперсии и обозначается S2.
Среднеквадратическая генеральная совокупность оценивается при помощи исправленного среднеквадратического отклонения, которое вычисляется по формуле:
(S=sqrt{S^2})
При нахождении выборочной и исправленной дисперсии разнятся лишь знаменатели в формулах. Различия в этих характеристиках при больших n незначительны. Применение исправленной дисперсии целесообразно при объеме выборки меньше 30.
Для чего применяют исправленную выборочную дисперсию
Исправленную выборочную используют для точечной оценки генеральной дисперсии.
Пример
Длину стержня измерили одним и тем же прибором пять раз. В результате получили следующие величины: 92 мм, 94 мм, 103 мм, 105 мм, 106 мм. Задача найти выборочную среднюю длину предмета и выборочную исправленную дисперсию ошибок измерительного прибора.
Решение
Сначала вычислим выборочную среднюю:
({overline x}_В=frac{92+94+103+105+106}5=100)
Затем найдем выборочную дисперсию:
(D_В=frac{displaystylesum_{i=1}^k{(x_i-{overline x}_В)}^2}n=frac{{(92-100)}^2+{(94-100)}^2+{(103-100)}^2+{(105-100)}^2+{(106-100)}^2}5=34)
Теперь рассчитаем исправленную дисперсию:
(S^2=frac5{5-1}cdot34=42,5)
Задача 55. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема N, заданная вариантами ХI и соответствующими им частотами. Найти несмещенную оценку генеральной средней.
|
Варианта ХI |
2 |
5 |
7 |
10 |
|
Частота Ni |
16 |
12 |
8 |
14 |
Решение. Множество всех объектов, подлежащих изучению, называется Генеральной совокупностью. Множество случайно отобранных объектов называется выборочной совокупностью или Выборкой.
Для оценки неизвестных параметров теоретического распределения служат статистические оценки. Статистическая оценка, определяемая одним числом, называется Точечной оценкой.
Точечная статистическая оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, называется Несмещенной оценкой. Статистическая оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру является Смещенной.
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя
(1),
Где ХI – варианта выборки (элемент выборки); Ni – частота варианты ХI (число наблюдений варианты ХI); 
– объем выборки (число элементов совокупности).
Объем данной выборки равен 
.
Далее по формуле (1) вычисляем несмещенную оценку генеральной средней:
Задача 56. По выборке объема N=41 найдена смещенная оценка генеральной дисперсии 
. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
Решение. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является «исправленная дисперсия»
или 
Таким образом, мы получаем искомую несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности:
Задача 57. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью P=0,95 неизвестного математического ожидания A нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение S=5, выборочная средняя 
, а объем выборки N=25.
Решение. Интервальной оценкой называется интервал, покрывающий оцениваемый параметр. Доверительным интервалом является интервал, который с данной надежностью покрывает оцениваемый параметр.
Для оценки математического ожидания A нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней 
при известном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности служит доверительный интервал
,
Где 
– точность оценки, T – значение аргумента функции Лапласа 
(приложение, таблица 2).
В данной задаче T находим из условия 
. По таблице 2 определяем 
. Таким образом, T=1,96.
Далее получаем
Или 
Задача 58. По данным N=9 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений 
и исправленное среднее квадратическое отклонение S=6. Оценить истинное значение измеряемой величины при помощи доверительного интервала с надежностью 
=0,99.
Решение. Оценкой математического ожидания A нормально распределенного количественного признака Х в случае неизвестного среднего квадратического отклонения является доверительный интервал
.
По таблице 3 приложения, по заданным N и 
находим 
=3,36.
Таким образом
Окончательно получаем
Задача 59. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема N. Оценить с надежностью =0,95 математическое ожидание A нормально распределенного признака Х генеральной совокупности по выборочной средней с помощью доверительного интервала.
|
Значение признака ХI |
-2 |
1 |
1 |
3 |
4 |
5 |
|
Частота Ni |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
Решение. Объем данной выборки равен 
По данным задачи находим выборочную среднюю:
Далее находим исправленное среднее квадратическое отклонение S:
Для оценки математического ожидания A нормально распределенного количественного признака Х в случае неизвестного среднего квадратического отклонения служит доверительный интервал
.
По таблице 3 приложения по заданным N и находим =2,26.
Таким образом
Окончательно получаем
Задача 60. Построить полигон частот и эмпирическую функцию по данному распределению выборки:
|
Варианты ХI |
-3 |
0 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|
Частоты Ni |
3 |
6 |
1 |
2 |
5 |
1 |
Решение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки 
; 
;…;
, где ХI – варианты выборки, Ni – соответствующие им частоты.
Полигон частот для данного распределения изображен на рисунке 15.
Рис. 15
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию 
, определяющую для каждого значения X относительную частоту события 
:
,
Где 
– число вариант, меньших Х; N – объем выборки.
Из определения следует, что 
.
Найдем эмпирическую функцию распределения.
Объем данной выборки равен =18.
Если 
, то =0 (так как -3 – наименьшая варианта). Если 
, то значение 
, а именно 
наблюдалось 3 раза, следовательно, 
. При 
значения 
, а именно и 
наблюдались 3+6=9 раз, следовательно, 
.
Аналогично получаем, что при 
функция распределения 
; при 
функция распределения 
; при 
функция распределения 
. Далее, если 
, то 
(так как 7 – наибольшая варианта).
Таким образом, эмпирическая функция распределения равна:
График полученной эмпирической функции распределения изображен на рисунке 16.
Задача 61. Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема N=100:
|
Варианта ХI |
48 |
52 |
56 |
60 |
64 |
68 |
72 |
76 |
80 |
84 |
|
Частота Ni |
2 |
4 |
6 |
8 |
12 |
30 |
18 |
8 |
7 |
5 |
Решение. Асимметрия 
эмпирического распределения определяется равенством:
,
Где 
— центральный эмпирический момент третьего порядка, вычисляемый по формуле: 
Эксцесс 
эмпирического распределения определяется равенством:
,
Где 
— центральный эмпирический момент четвертого порядка, вычисляемый по формуле: 
Асимметрия и эксцесс служат для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому, если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального. Кроме того, если эксцесс положительный, то распределение будет островершинным; если отрицательный, то распределение будет плосковершинным по сравнению с нормальным распределением.
Для практического расчета асимметрии и эксцесса непосредственно пользоваться вышеуказанными формулами довольно затруднительно, поэтому воспользуемся методом сумм. Составим расчетную таблицу 1, для этого:
1) Запишем варианты в первый столбец.
2) Запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца.
3) В качестве ложного нуля С выберем варианту (68), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетках строки, содержащей ложный нуль, запишем нули; в четвертом столбце над и под уже помещенным нулем запишем еще по одному нулю.
4) В оставшихся незаполненными над нулем клетках третьего столбца (исключая самую верхнюю) запишем последовательно накопленные частоты:
2; 2+4=6; 6+6=12; 12+8=20; 20+12=32.
Сложив все накопленные частоты, получим число B1=72, которое поместим в верхнюю клетку третьего столбца. В оставшихся незаполненными под нулем клетках третьего столбца (исключая самую нижнюю) запишем последовательно накопленные частоты:
5; 5+7=12; 12+8=20; 20+18=38.
Сложив все накопленные частоты, получим число A1=75, которое поместим в нижнюю клетку третьего столбца.
5) Аналогично заполняется четвертый столбец, причем суммируют частоты третьего столбца. Сложив все накопленные частоты, расположенные над нулем, получим число B2=70, которое поместим в верхнюю клетку четвертого столбца. Сумма накопленных частот, расположенных под нулем, равна числу A2=59, которое поместим в нижнюю клетку четвертого столбца.
6) Для заполнения столбца 5 запишем нуль в клетке строки, содержащей ложный нуль (68); над этим нулем и под ним поставим еще по два нуля. В клетках над нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 сверху вниз; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты:
2; 2+8=10; 10+20=30.
Сложив накопленные частоты, получим число B3=42, которое поместим в верхнюю клетку пятого столбца. В клетках под нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 снизу вниз; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты:
5; 5+17=22.
Сложив накопленные частоты, получим число A3=27, которое поместим в нижнюю клетку пятого столбца.
7) Аналогично заполняется столбец 6, причем суммируют частоты столбца 5.
В итоге получим расчетную таблицу 1:
Расчетная таблица 1
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
ХI |
Ni |
B1=72 |
B2=70 |
B3=42 |
B4=14 |
|
48 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
52 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
56 |
6 |
12 |
20 |
30 |
0 |
|
60 |
8 |
20 |
40 |
0 |
0 |
|
64 |
12 |
32 |
0 |
0 |
0 |
|
68 |
30 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
72 |
18 |
38 |
0 |
0 |
0 |
|
76 |
8 |
20 |
37 |
0 |
0 |
|
80 |
7 |
12 |
17 |
22 |
0 |
|
84 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
|
N=100 |
A1=75 |
A2=59 |
A3=27 |
A4=5 |
Теперь найдем Di (I=1, 2, 3) и si (I=1, 2, 3, 4):
; 
; 
;
; 
;
; 
.
Найдем условные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:
; 
;
;
.
Найдем далее центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков, учитывая, что шаг 
(разность между двумя соседними вариантами):
;
Так как дисперсия 
, то выборочное среднее квадратическое отклонение 
.
Учитывая определения асимметрии и эксцесса, окончательно получаем:
; 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Генеральная и выборочная дисперсия
Для анализа полученных данных в математической статистике используют различные виды показателей вариации, среди которых:
- размах вариации;
- среднее абсолютное отклонение;
- дисперсия.
Разберем понятие дисперсии, ее виды и свойства.
Дисперсия — величина, являющаяся мерой разброса полученных в ходе наблюдений данных относительно истинного значения.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Дисперсия является точечной оценкой параметра, так как имеет одно конкретное числовое значение.
Статистический анализ при исследовании некоторого объекта может быть сплошным или выборочным в зависимости от охватываемого объема данных.
В обоих вариантах результаты анализа распространяют на генеральную совокупность, однако при сплошном анализе наблюдению подвергают абсолютно все имеющиеся данные. Выборочный анализ, напротив, предполагает наблюдение только за некоторой выбранной частью данных. При этом выбранная совокупность должна сохранять структуру и закономерности генеральной.
Дисперсию также делят на два вида в зависимости от используемых данных:
- генеральная дисперсия;
- выборочная дисперсия.
Как видно из названия, дисперсии отличаются объемом выборки, на основе которой происходит расчет и анализ.
Выборочная дисперсия, определение, формулы для вычисления
Пусть имеется некоторая выборка Y из генеральной совокупности объемом n. Среднее значение выборки обозначим как ({overline y}_в).
Выборочная дисперсия (D_в) — величина, равная среднему арифметическому отклонению квадратов разности признаков выборки (y_1,;y_2,;…y_n) от ее среднего значения ({overline y}_в).
Данные в выборке могут располагаться хаотично, то есть быть несгруппированными, или же сформированы в вариационный ряд.
Выборочную дисперсию для несгруппированной выборки можно посчитать по формуле:
Формула 1
(D_в=frac{{displaystylesum_{i=1}^n}(y_i-{overline y}_в)}n)
В случае вариационного ряда используют кратные значения и частоты для дискретного представления; середины частичных интервалов и частоты для интервального представления.
Формула 2
(D_в=frac{{displaystylesum_{i=1}^k}(y’_i-{overline y}_в)cdot n_i}n)
где (y’_i )— кратное (одинаковое) значение в выборке или значение, соответствующее середине интервала;
(n_i )— частота.
Выборочная дисперсия, рассчитанная по приведенным выше формулам, дает недостоверное (заниженное) значение. Это значит, что при большом количестве экспериментов выборочная дисперсия будет давать смещенное относительно истинного значения генеральной совокупности значение.
Чтобы получить несмещенную выборочную дисперсию, используют следующую формулу:
Формула 3
(D_в=frac{{displaystylesum_{i=1}^n}{(y_i-{overline y}_в)}^2}{n-1})
Примечание 1
Как правило при использовании термина «выборочная дисперсия» имеют в виду именно несмещенную выборочную дисперсию.
Генеральная дисперсия, определение, что является оценкой, формулы для вычисления
Пусть имеется некоторая генеральная совокупность X объемом N и среднее значение признаков совокупности (X — {overline x}_г.)
Генеральная дисперсия (D_г) есть среднее арифметическое отклонение квадратов разности признаков (x_1,;x_2,;…x_n) генеральной совокупности X от их среднего значения ({overline x}_г).
Примечание 2
Иногда генеральную дисперсию называют теоретической.
Аналогично выборочной, генеральная дисперсия может быть рассчитана для несгруппированных данных генеральной совокупности:
Формула 4
(D_г=frac{{displaystylesum_{i=1}^N}{(x_i-{overline x}_г)}^2}N)
и для сформированного вариационного ряда:
Формула 5
(D_г=frac{{displaystylesum_{i=1}^K}{(x’_i-{overline x}_г)}^2cdot n_i}N)
Значение теоретической дисперсии бывает сложно вычислить из-за большого объема данных или их недостатка. Тогда для оценки используют выборочную дисперсию. Но если для оценки генеральной дисперсии применить выборочную, это приведет к возникновению ряда систематических ошибок. В результате оценка будет произведена неверно, а значение генеральной дисперсии занижено.
Чтобы устранить возникающую погрешность в качестве оценки генеральной дисперсии используют исправленную или несмещенную выборочную дисперсию, формула которой представлена выше.
Оценки параметров распределения
Оценкой параметра в статистике считают численное значение какого-либо параметра данной выборки.
Приведем оценки параметров распределения случайной величины, которые связаны с дисперсией.
Среднеквадратическое отклонение (δ) — характеристика рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания. Определяется как корень квадратный из дисперсии.
Формула 6
(delta=sqrt D)
Математическое ожидание случайной величины X — среднее (по весу вероятностей возможных значений) значение случайной величины. Обозначается как M(X).
Математическое ожидание и дисперсия для дискретной случайной величины связаны соотношением:
Формула 7
(D=Mleft[X-M(X)right]^2)
для непрерывной:
Формула 8
(D=int_{-infty}^infty(x-M{(x))}^2cdot f(x)dx)
где f(x) — функция распределения случайной величины.
Отметим, что указанные выше параметры могут быть определены как для генеральной совокупности, так и для некоторой выборки.
Примеры решения задач
Пример 1
Напряжение в цепи измеряют 6 раз с помощью одного и того же вольтметра. Получены следующие значения: 210 В, 200 В, 195 В, 205 В, 190 В, 200 В. Найти выборочную смещенную дисперсию и дать оценку генеральной дисперсии.
Решение.
Сначала вычислим выборочное среднее значение:
({overline x}_в=frac{210+200+195+205+190+200}6=200;B.)
Теперь найдем выборочную дисперсию:
(D_в=frac{{(210-200)}^2+{(200-200)}^2+{(195-200)}^2+{(205-200)}^2+{(190-200)}^2+{(200-200)}^2}6=frac{250}6approx42.)
Оценкой генеральной дисперсии является исправленная или выборочная несмещенная дисперсия. Чтобы вычислить исправленную дисперсию, умножим полученную ранее выборочную дисперсию на множитель (frac n{n-1} (n=6):)
(D_и=frac n{n-1}cdot D_в=frac65cdotfrac{250}6=50.)
Примечание 3
Данный пример показывает, что значение выборочной смещенной дисперсии занижено относительно генеральной.
Пример 2
Случайная величина задана следующей таблицей распределения, среднее значение выборки равно 14. Найти выборочную несмещенную дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Решение.
Вычислим выборочную несмещенную дисперсию:
(D_в=frac{2{(10-14)}^2+1{(3-14)}^2+1{(11-14)}^2+3{(8-14)}^2+2{(6-14)}^2}9cdotfrac98=frac{398}8approx50.)
Теперь найдем среднеквадратическое отклонение:
(delta=sqrt{D_в}=sqrt{frac{398}8}=frac{sqrt{199}}2approx7.)