Как найти смешную дробь

Что такое смешанная дробь

По сути, данное понятие представляет собой сумму целого числа и правильной дроби:

(afrac bc;=;a+frac bc)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Пример:

(7frac34;=;7+frac34)

Превращение смешанной дроби в неправильную

Любое смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь. Для этого необходимо к произведению целой части и знаменателя дробной части прибавить числитель. Полученная сумма будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

Преобразование смешанной дроби в неправильную можно записать в виде формулы:

(afrac bc;=;frac{atimes c+b}c)

Пример:

(15frac89;=;frac{15times9+8}9;=;frac{143}9)

Выполнение действий со смешанными дробями, формулы и примеры

Сложение

Чтобы посчитать сумму смешанных дробей необходимо отдельно сложить их целые компоненты и дробные составляющие. Правильные дроби в составе смешанных чисел суммируются при помощи приведения к наименьшему общему знаменателю.

Формульное выражение сложения смешанных чисел:

(afrac bc+dfrac ef=left(a+dright)+left(frac bc+frac efright))

Пример:

(2frac13+5frac47;)

Вычисляем наименьший общий знаменатель дробных слагаемых:

3×7=21

(2frac13+5frac47=2+5+frac13+frac47;=7+frac7{21}+frac{12}{21}=7+frac{7+12}{21}=7frac{19}{21})

Вычитание

Чтобы из одной смешанной дроби вычесть другую, нужно дробные компоненты уменьшаемого и вычитаемого привести к минимальному общему знаменателю, затем выполнить вычитание отдельно целых и дробных частей.

Формула для ситуации, когда дробь в составе уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого:

(afrac bc-dfrac ef=left(a+frac bcright)-left(d+frac efright);=left(a-dright)+left(frac bc-frac efright))

В случае, когда дробь в составе уменьшаемого меньше дроби в составе вычитаемого, необходимо меньшую дробь превратить в неправильную, отняв единицу от целой части уменьшаемого, то есть:

(afrac bc-dfrac ef=left(left(a-dright)-frac efright)+frac bc)

Пример:

(13frac38-6frac12)

Для решения этого выражения найдем наименьший общий знаменатель:

8=2×2×2, следовательно, 8 — это наименьший общий знаменатель.

(13frac38-6frac12=13frac38-6frac48=left(12+1+frac38right)-6frac48=left(12+frac{1times8+3}8right)-6frac48=12frac{11}8-6frac48=left(12-6right)+left(frac{11}8-frac48right)=6+frac{11-4}8=6frac78)

Умножение и деление

Перед тем, как умножать или делить смешанные числа, необходимо преобразовать их в неправильные дроби. После этого можно производить нужное действие по правилам умножения и деления обыкновенных дробей.

Формула умножения смешанных чисел выглядит так:

(afrac bctimes dfrac ef=frac{atimes c+b}ctimesfrac{dtimes f+e}f=frac{left(atimes c+bright)timesleft(dtimes f+eright)}{ctimes f}=frac{left(ac+bright)left(df+eright)}{cf})

Формула деления смешанных дробей:

(afrac bcdiv dfrac ef=frac{atimes c+b}cdivfrac{dtimes f+e}f=frac{atimes c+b}ctimesfrac f{dtimes f+e}=frac{left(atimes c+bright)times f}{ctimesleft(dtimes f+eright)}=frac{fleft(ac+bright)}{cleft(df+eright)})

Пример 1:

(5frac2{19}times2frac79=frac{5times19+2}{19}timesfrac{2times9+7}9=frac{97}{19}timesfrac{25}9=frac{97times25}{19times9}=frac{2425}{171}=14frac{31}{171})

Пример 2:

(4frac23div3frac57=frac{4times3+2}3divfrac{3times7+5}7=frac{14}3divfrac{26}7=frac{14}3timesfrac7{26}=frac{14times7}{3times26}=frac{98}{78}=frac{98div2}{78div2}=frac{49}{39}=1frac{10}{39})

При умножении смешанной дроби на натуральное число преобразование в неправильную дробь делать не нужно. Такого рода вычисления производятся с помощью распределительного закона умножения.

Пример 3:

(3frac56times4=left(3+frac56right)times4=3times4+frac56times4=12+frac{5times4}6=12+frac{20div2}{6div2}=12+frac{10}3=12+3frac13=15frac13)

Если требуется разделить смешанную дробь на натуральное число или натуральное число на смешанную дробь, нужно представить делимое и делитель в виде неправильной дроби, затем выполнить необходимое действие, как с обыкновенными дробями.

Пример 4:

(5div3frac27=frac51divfrac{3times7+2}7=frac51divfrac{23}7=frac51timesfrac7{23}=frac{5times7}{1times23}=frac{35}{23}=1frac{12}{23})

Если нужно выполнить умножение или деление смешанной дроби на обыкновенную дробь, смешанное число необходимо преобразовать в неправильную дробь. После преобразований нужное действие производится по такому же алгоритму, как с обыкновенными дробями.

Пример 5:

(frac34div6frac12=frac34divfrac{6times2+1}2=frac34divfrac{13}2=frac34timesfrac2{13}=frac{3times1}{2times13}=frac3{26})

Определение смешанной дроби

В математике сумму $n+frac{a}{b}$, где $n$ -натуральное число, $frac{a}{b}$ — правильная обыкновенная дробь, принято записывать без знака $«+»$ в виде $nfrac{a}{b}$.

Для смешанных чисел справедливы равенства $nfrac{a}{b}=n+frac{a}{b}$ и $n+frac{a}{b}=nfrac{a}{b}$.

Встречаются числа в смешанной записи, которые в дробной части содержат неправильную дробь. Например, $3frac{54}{5}$, $56frac{9}{2}$. Запись этих чисел можно представить в виде суммы их целой и дробной части. Например, $3frac{54}{5}=3+frac{54}{5}$ и $56frac{9}{2}=56+frac{9}{2}$. Такие числа не подходят по определению смешанного числа, т.к. дробная часть смешанных чисел должна быть правильной дробью.

Число $0frac{2}{7}$ также не смешанное число, т.к. $0$ — не натуральное число.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Алгоритм перевода смешанного числа в неправильную дробь:

1. Записать смешанное число $nfrac{a}{b}$ в виде суммы целой и дробной части этого числа, т.е. в виде $n+frac{a}{b}$.

2. Целую часть исходного смешанного числа заменить дробью со знаменателем $1$.

3. Сложить обыкновенные дроби $frac{n}{1}$ и $frac{a}{b}$ для получения искомой неправильной дроби, равной исходному смешанному числу.

Весь алгоритм перевода смешанного числа $nfrac{a}{b}$ в неправильную дробь сводится к textit{формуле перевода смешанного числа в неправильную дробь}:

Выделение целой части из неправильной дроби

При получении числового решения не принято оставлять ответ в виде неправильной дроби. Неправильная дробь преобразуется в равное ей натуральное число (если числитель делится нацело на знаменатель), или выделяют целую часть из неправильной дроби (если числитель не делится нацело на знаменатель).

Для выделения целой части из неправильной дроби нужно представить неправильную дробь $frac{a}{b}$ в виде смешанного числа $qfrac{r}{b}$, где $q$ — неполное частное, $r$— остаток от деления $a$ на $b$. Таким образом, целая часть равна неполному частному от деления $a$ на $b$, а остаток равен числителю дробной части.

Докажем это утверждение. Для этого достаточно показать, что $qfrac{r}{b}=frac{a}{b}$.

Переведем смешанное число $qfrac{r}{b}$ в неправильную дробь с помощью формулы:

Т.к. $q$— неполное частное, $r$— остаток от деления $a$ на $b$, то является справедливым равенство $a=bcdot q+r$. Таким образом, $frac{qcdot b+r}{b}=frac{a}{b}$, откуда $qfrac{r}{b}=frac{a}{b}$, что и требовалось показать.

Таким образом, сформулируем textit{правило выделения целой части из неправильной дроби} $frac{a}{b}$:

1. Разделить $a$ на $b$ с остатком, при этом определить неполное частное $q$ и остаток $r$.

2. Записать смешанное число $qfrac{r}{b}$, равное исходной дроби $frac{a}{b}$.

Сложение смешанного числа и натурального числа

Правило сложения смешанного и натурального числа:

Для сложения смешанного и натурального числа нужно к целой части смешанного числа прибавить данное натуральное число, дробная часть остается без изменения:

где $afrac{b}{c}$ — смешанное число,

$n$ — натуральное число.

Сложение двух смешанных чисел

При сложении двух смешанных чисел складываются их целые части и дробные части.

Записываются они как (a)(frac{m}{n}), где – (a) целое число,(frac{m}{n}) — правильная дробь. 

Например:   (2)(frac{3}{5}) здесь (2) – целая часть, (frac{3}{5}) – дробная часть (правильная дробь).

                     (17)(frac{17}{18}) здесь (17) – целая часть, (frac{17}{18}) – дробная часть (правильная дробь).

Например:  (2frac{3}{5}=2+frac{3}{5})

Это не нужно заучивать, просто поймите суть. Вдумайтесь, что на практике означает, например, запись: «на складе осталось (2)(frac{3}{5}) мешка муки»? Что на складе лежит два полных мешка и еще один заполненный на (frac{3}{5}). Где здесь место умножению? Очевидно ведь, что это два плюс еще (frac{3}{5}) мешка муки! Понимать этот момент очень важно, потому что здесь допускается огромное количество ошибок при вычислениях со смешанными дробями (см. ниже).

Превращение смешанной дроби в неправильную

Например, при преобразовании (2)(frac{3}{5}) получим (frac{2·5 + 3}{5}=frac{13}{5}).

Почему вычисление производиться именно так? Все дело в плюсе, стоящем между целой и дробной частью (см. выше). На самом деле, полное преобразование выглядит вот так:

Но расписывать все так подробно слишком долго, да и незачем, проще сразу получать ответ, пользуясь формулой выше.

Превращение неправильной дроби в смешанную

Чтобы этого добиться, мы задаем себе вопрос – сколько раз знаменатель целиком «помещается» в числителе?
Например, пусть нам нужно представить как смешанную дробь (frac{13}{5}). Сколько раз пятерка «помещается» в тринадцати? Два раза. Третий раз уже «не влезет». Значит, целая часть будет равна двойке, а дробная – остатку, то есть (frac{3}{5}). Оформляем: (frac{13}{5})(=)(frac{10 + 3}{5})(=)(frac{10}{5})(+)(frac{3}{5})(=2+)(frac{3}{5})(=2)(frac{3}{5}). Вот еще примеры с верным преобразованием:

(frac{37}{11})(=)(frac{33 + 4}{11})(=)(frac{33}{11})(+)(frac{4}{11})(=3+)(frac{4}{11})(=3)(frac{4}{11})
(frac{26}{3})(=)(frac{24 + 2}{3})(=)(frac{24}{3})(+)(frac{2}{3})(=8+)(frac{2}{3})(=8)(frac{2}{3})

А вот пример неправильного выделения целой части:

(frac{7}{2})(=)(frac{4 + 3}{2})(=)(frac{4}{2})(+)(frac{3}{2})(=2+)(frac{3}{2})(=2)(frac{3}{2})

В чем ошибка? В том, что дробная часть должна быть правильной дробью. А здесь не так — значит целая часть выделена не полностью. Действительно, ведь двойка в семерке нацело помещается три раза, а не два. Поэтому верным будет вот такое выделение:

(frac{7}{2})(=)(frac{6 + 1}{2})(=)(frac{6}{2})(+)(frac{1}{2})(=3+)(frac{1}{2})(=3)(frac{1}{2})

Превращение смешанной дроби в десятичную

Например: (2)(frac{3}{5})(=2+)(frac{3}{5})(=2+0,6=2,6)
                      (7)(frac{11}{25})(=7+)(frac{11}{25})(=7+0,44=7,44)

Отсюда вывод:

Наиболее частые ошибки при работе со смешанной дробью

Главной причиной большинства ошибок является забывание описанного выше момента – между целой и дробной частью стоит «плюс», а не «умножить».

Пример: Вычислить (2)(frac{3}{5})(:)(frac{1}{5})
Ошибочное решение: (2)(frac{3}{5})(:)(frac{1}{5})(=2)(frac{3}{5})(·)(frac{5}{1})(=2)(frac{3 · 5}{5 · 1})(=2·3=6)
Правильное решение: (2)(frac{3}{5})(:)(frac{1}{5})(=(2+)(frac{3}{5})():)(frac{1}{5})(=)(frac{2·5+3}{5})(:)(frac{1}{5})(=)(frac{13}{5})(·)(frac{5}{1})(=)(frac{13 · 5}{5 · 1})(=13)

Пример: Вычислить (3)(frac{1}{5})(·1)(frac{1}{4})
Ошибочное решение: (3)(frac{1}{5})(·1)(frac{1}{4})(=3·)(frac{1}{5})(·1·)(frac{1}{4})(=)(frac{3}{5})(·)(frac{1}{4})(=)(frac{3 · 1}{5 · 4})(=)(frac{3}{20})
Правильное решение: (3)(frac{1}{5})(·1)(frac{1}{4})(=(3+)(frac{1}{5})()·(1+)(frac{1}{4})()=)(frac{3·5 + 1}{5})(·)(frac{1·4 + 1}{4})(=)(frac{16}{5})(·)(frac{5}{4})(=)(frac{16 · 5}{5 · 4})(=4)

Из того, что целая и дробная части соединены знаком плюс следует еще один вывод:

Например: (-7) (frac{5}{9})(=-(7+) (frac{5}{9})()=-7-) (frac{5}{9}).
Это важно помнить при вычитании смешанных дробей.

Пример. Вычислить (4)(frac{3}{5})(-2)(frac{1}{5}).
Решение: (4)(frac{3}{5})(-2)(frac{1}{5})(=(4+)(frac{3}{5})()-(2+)(frac{1}{5})()=4+)(frac{3}{5})(-2-)(frac{1}{5})(=4-2+)(frac{3}{5})(-)(frac{1}{5})(=2+)(frac{3-1}{5})(=2+)(frac{2}{5})(=2)(frac{2}{5}).

Вообще вычитание (сложение) смешанных дробей удобно проводить в два этапа: сначала отдельно вычесть (сложить) целые части, а затем – дробные.

Смотрите также:
Дроби (шпаргалка)

Содержание:

• Правильные и неправильные дроби
• Смешанные дроби

Правильные и неправильные дроби

Например. Дробь $frac{11}{23}$ является правильной,
так как ее числитель, равный 11, меньше, чем знаменатель, который равен 23: 11

Например. Дробь $frac{23}{11}$ — неправильная,
так как 23 > 11 . Дробь $frac{3}{3}$ — неправильная, так как числитель дроби равен ее знаменателю.

Смешанные дроби

Например. Для смешанной дроби $3 frac{11}{23}=3+frac{11}{23}$
число 3 — целая часть, $frac{11}{23}$ — дробная.

Неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа, для этого нужно
числитель поделить на
знаменатель.
Полученное неполное частное будет целой частью смешанной дроби, остаток — числителем дробной части, а знаменатель
исходной неправильной дроби — знаменателем дробной части.

Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, надо целую часть умножить на знаменатель
дробной части, к полученному числу прибавить числитель дробной части и записать эту сумму в числитель,
а знаменатель дробной части оставить без изменений.

Читать следующую тему: сравнение дробей.