Как найти смешные числа

Мы можем использовать неправильные дроби и смешанные числа для представления одних и тех же значений. Рассмотрим на примере равенство неправильной дроби и смешанного числа :

Перевод неправильной дроби в смешанное число

Для перевода неправильной дроби в смешанное число выполните следующие шаги:

• 1 Разделим числитель на знаменатель 22 ÷ 9, получим 2 целых и 4 в остатке.
• 2 Число 2 будет целой частью смешанного числа.
• 3 Остаток от деления 4 будет числителем дроби, а знаменатель останется прежним, равным 9. В результате получаем

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Для перевода смешанного числа в неправильную дробь выполните следующие шаги:

• 1 Умножим целую часть на знаменатель 2×6 и прибавим числитель 5. Полученное число 17=2×6+5запищем в числитель неправильной дроби.
• 2 Запищем в знаменатель неправильной дроби число 6, знаменатель при преобразование в неправильную дробь остается неизменным.
• 3 В результате шагов 1-2 получаем неправильную дробь

Рассмотрим на примерах как переводить смешанные числа в неправильные дроби.

Пусть $%n$% смешное. Тогда оно имеет не более одного простого делителя, отличного от трёх. Действительно, если $%p$% — такой делитель, то $%p$% и $%p+2$% не делятся на 3, откуда $%p+1$% кратно 3. Но тогда, если $%q$% — второй такой делитель, то $%pq$% также делит $%n$%, но оно при делении на 3 даёт в остатке 1, и число $%pq+2$% не простое.

Таким образом, достаточно рассматривать числа, делящиеся на 3. Легко видеть, что числа вида $%3^k+2$% будут простыми при $%0le kle4$%, а $%3^5+2=245$% составное. Если $%n$% является степенью тройки, то делителей у него не более пяти. Предположим, что есть ещё какой-то простой делитель $%p$% — он может быть всего один.

У чисел $%p+2$%, $%3p+2$%, $%9p+2$%, $%27p+2$% остатки от деления на 5 попарно различны, если $%pne5$% — это сразу ясно из рассмотрения попарных разностей. При $%p=5$% эти числа принимают значения $%7$%, $%17$%, $%47$%, $%137$%, то есть все являются простыми. Отсюда следует, что число $%135$% смешное, и у него имеется $%8$% делителей. Покажем, что это значение максимально, и оно ни на каком другом числе больше не достигается.

Прежде всего, если $%pne5$%, то при остатках от его деления на 5, равных 1, 2, 3, 4, на 5 будут делиться $%3p+2$%, $%9p+2$%, $%p+2$%, $%27p+2$% соответственно, то есть они вместе не могут оказаться простыми. Тогда смешное число $%n$% будет иметь не более 6 делителей. Действительно, других простых делителей больше нет, а $%p^2$% делителем не будет из-за остатка 1 от деления на 3. Остаётся случай $%p=5$%, который мы уже рассмотрели, и здесь осталось заметить, что 81 делителем $%n$% быть не может ввиду того, что $%5cdot81+2=407$% делится на 11.

Таким образом, только на числе $%135$% получается «рекордное» количество делителей, равное $%8$%.

Забавно, что последняя цифра в этих случаях остается неизменной при возведении в любую степень:
6*6=36, 6*6*6=216, 6*6*6*6=1296, 6**5=7776, 6**6=46656, 6**7=279936, 6**8=1679616,
5*5=25, 5**3=125, 5**4=625, 5**5=3125, 6**6=15625, 5**7=78125, 5**8=390625…
и так далее.
[Как понимать **?]
Двумя звездочками ** я кратко обозначаю возведение в степень, то есть, многократное умножение числа самого на себя. Это удобно. Например: 4**3 это просто-напросто 4*4*4, а 6**8=6*6*6*6*6*6*6*6.
Так же точно ведет себя и любое число, которое заканчивается на 5 или на 6, при возведении в любую степень. Например:

23423786**23=31777015701265874148423457214899307132892090989199920819277484025607338074233294492804166400591413227935540822413832621915682803707180038127054532163967000996457643769856, а

19578125**31=11089296799830771221957695164400841146651473667631210712354882995182788491789272425372043100187522263659607530027584553788478212271456524373086790515955215925579637141149230092879339405927130446372075311955995857715606689453125

В последнем примере неизменными сохраняются даже две цифры. Не просто 5, а 25.

Мало того: если перемножить любые два числа, заканчивающиеся на 5, то результат будет заканчиваться на 5. И если перемножить любые два числа, заканчивающиеся на 6, то результат будет заканчиваться на 6.

Например: 2235*9865=22048275, а 3450986*34576=119321291936.

Можно задаться вопросом: а какие ещё числа обладают таким свойством? Чтобы проверить это, сначала сообразим вот что: достаточно установить, что число проявляет данное свойство при возведении в квадрат. И тогда можно быть уверенным, что дальше оно уже выполняется автоматически. В самом деле, если пятерку нельзя с первого раза «убить» умножением на пятерку, то это невозможно и ни на каком шаге, сколько бы ты ни старался.

Кроме 5 и 6 есть ещё два числа, обладающих этим свойством. Это очевидные 0 и 1. Например:
12340**2=152275600, а 16741**2=280261081

Причина тут очевидна: когда мы перемножаем числа, то результат для последней цифры зависит только от последних цифр. «Старшие» разряды на него никак не влияют. И это основное свойство арабской системы записи чисел, которое мы в первую очередь используем при обычном школьном «умножении в столбик».
    35
    45
——-
  175
140
——-
1575

Ну, хорошо. А можно подобрать число так, чтобы при возведении в квадрат (а значит, и в любую степень!) сохранялись две последние цифры? Что это за цифры, и сколько таких чисел?
Оказывается, их всего четыре:

00, 01, 25 и 76

Например: 200*200=40000, 2101*2101=4414201, 625*625=390625, 123476*123476
15246322576.

В одном из премеров у нас сохранились не две, а аж три цифры! Оказывается, если число оканчивается на 625, то и любая его степень тоже оканчивается на 625.
Такое совпадение разогревает наш аппетит и хочется спросить: а какие ещё трехзначные числа обладают этим свойством? И сколько этих чисел?
Оказывается, их тоже всего четыре:

000, 001, 376, 625

Ну, а теперь — нам нечего делать в математике, если мы не замечаем закономерности: каждое следующее число такого типа включает в себя предыдущее, так как последние цифры в них сохраняются. Наша первоначальная четверка 0, 1, 5, 6 просто постепенно обрастает «подробностями»:

0, 1, 5, 6
00, 01, 25, 76
000, 001, 625, 376
0000, 0001, 0625, 9376
00000, 00001, 90625, 09376
000000, 000001, 890625, 109376
0000000, 0000001, 2890625, 7109376
00000000, 00000001, 12890625, 87109376
и так далее!

Эти ряды цифр можно сделать сколь угодно длинными.

Согласитесь, свойства двух последних чисел вглядят уже совсем-совем нетривиально! Например:
28367487109376 * 28367487109376 = 804714324900613528187109376,
а 6712890625**3 = 302502322591841220855712890625

Всё это было бы не более чем приколом и случайным совпадением, если бы не было тесно связано с самыми крутыми теоремами самой крутой теорией чисел, на которой и основаны современные системы шифрования.

И эта связь неслучайна! ведь великие математики прошлого (такие как Ферма или Эйлер), создавшие эту теорию, сами были когда-то детьми и странные совпадения вначале их просто забавляли, потом очаровывали, а потом захватили их ум и повели в неведомые выси. Невероятно, но весь необходимый шифрования математический аппарат был полностью придуман или ещё в XVIII веке. Современные математики лишь приладили этот аппарат к компьютеру, разработали алгоритм и научили машинку считать эти вещи.

Но каждый из нас в душе продолжает оставаться ребнком, и у каждого из нас спит в душе маленький Ферма или Эйлер, который так и не вырос в большого Ферма или Эйлера лишь потому, что рядом не оказалось умного и доброго взрослого, который помог бы ребенку ощутить жар холдных чисел. Сегодня мы уже старые, седина в волосах, и поздно начинать — но если бы мы жили как Адам и Ева по  несколько веков, то рано или поздно каждый из нас нашел бы время исправить эту досадную оплошность нашего воспитания и вникнуть в идеи великих. Потому что великие — такие же люди, как и мы. И все, что было понятно для них, может быть понятным и для нас. Пусть не в той же мере — люди все-таки отличаются друг от друга по естественным способностям! — но в значительной мере. Естественные способности разных людей отличаются друг от друга в несколько раз, ну от силы в десять раз — но не в тысячу или в сто, как может показаться, когда пытаешься «въехать» в ход мысли того же Эйлера.

Загадчным, таинственным остается момент, когда человеку «приходит в голову». Когда идея зачинается в нашем уме. Откуда она берется? Кто дает нам это таинственное семя? Это тайна, выходящая за пределы нашего разума, та тайна Бессознательного, которой посвящена значительная часть моего ЖЖурнала. И я надеюсь, я уже достаточно убедительно показал, что это НЕ человеческое. А далее уже нет ничего особенно таинственного. Человеческий ум постепенно взращивает это семя и рождает нормальную человеческую идею. Всё, что происходит в это время в уме Эйлера, в принципе могло бы произойти в уме каждого из нас. Ну, может быть, нам понадобилось бы в десять раз больше времени, чем Эйлеру — но не в тысячу и не в сто. Хотя при быстротечности нашей жизни даже десятка может стать критической…

А значит, в чем-то важном мы немногим хуже Эйлера. Он принял семя от Бессознательного, вырастил и родил. А мы принимаем готовый плод, усваиваем его — и он становится нашим. А в чем заключается суть усваивания? В том, чтобы выделить в этом плоде то изначальное семя, из которого Эйлер его произрастил. Увидеть нетривиальность, эвристичность самого первого хода его мысли — но вместе с тем железную логику и последовательность всех последующих ходов.

Двигаясь этим путем, можно воспринять идеи великих, прочувствовать их так же глубоко, как свои собственные идеи. Именно так я всегда поступал, когда мне нужно было усвоить новую теорию. Теория усвоена полностью, если у тебя есть такое чувство, будто ты сам её придумал. С нуля. Усвоить значить внутренне присвоить. А для этого нужно всегда начинать с нуля. Нужно стать на какое-то время маленьким Эйлером, который дивится забавным совпадениям-рифмам: пятью пять — двадцать пять, шестью шесть — тридцать шесть.

Маленькие дети не делятся на гуманитариев и технарей. Они цельны, и эта цельность является началом и концом настоящей мудрости. Я стараюсь сохранять строгий баланс между гуманитарной и технической стороной своего ума. Для меня это инь и ян, и одно без другого немыслимо. И мне бывает больно видеть людей, резко «перекошенных» на одну или другую сторону.

Последнее время я мало общаюсь с «физиками», всё больше с «лириками» — и это понятно и неизбежно, потому что наша физика находится пока в зачаточном состоянии. Мы только-только начали постигать этот мир при помощи матерматики, мы находимся в самом начале пути. Теория Власти — один из первых шагов в направлении вожделенного синтеза, в котором младенческая непосредственность и старческая мудрость сливаются воедино. Простота и цельность миросозерцания.

Физика — в интимном лоне своем, где она зачинает и рождает великие идеи — в самой основе своей — это не наука, а искусство.

Физика — это искусство применять математику для описания реальности.

Но мало того! Сама математика — это самая гуманитарная из всех наук. Ведь это единственная наука, которая изучает чистые продукты человеческого ума. Она черпает вдохновение не из реальности материального мира, а напрямую из идеального мира «Платоновских идей». А если говорить на христианском языке, она через духовную реальность пусть очень отдаленно и слегка, но все-таки прикасается к Божественным логосам бытия.

Потому понятно, что в душной безысходности замкнутого на себя советского мифа строителей коммунизма я не мог не стать физиком или математиком. Гуманитарных наук в СССР просто не было, они были истреблены ещё в 20-е, максимум в 30-е годы. И живой ребенок мог находить утешение лишь в фантастике и удивительной музыке сфер, которая звучала в переливах чисел и геометрических фигур. Здесь ощущалось настоящее, здесь бился пульс реальной жизни, в материальном мире почти полностью задавленный гнетом партийно-советской цензуры.

Лишь через религию вообще, а через Церковь в особенности мне довелось впервые понять, прочувствовать глубину и бездну классической гуманитарной философии, вернуться к той естественной среде обитания, где жила и дышала российская интеллектуальная элита до революции — все эти Менделеевы, Розановы, Булгаковы, Сикорские — для которых не было никакой границы между «естественным» и «гуманитарным», потому что гуманитарное для них было естественно, а естественное — гуманитарно.

Надеюсь, эта небольшая заметка поможет читателю если не понять, то хотя бы почувствовать, в чем состоит амбициозный замысел задуманного мною цикла «Математика для гуманитариев». Как и в каком стиле писать — я пока лишь нащупываю, придумываю на ходу, методом проб и ошибок. И мои читатели-комментаторы активно помогают мне найти верный путь.

Что нужно гуманитарию? Заново ощутить жизнь в той омертвевшей ещё в детстве части ума, которая отвечает за математическое мышление. Что это значит для него? Это значит ощутить прелесть, поэзию, небесную музыку, которая скрыта в формулах. Формулы — это язык, и они не бывают «сухими». «Сухой» в мире смыслов означает «лишенный смысла». Формула суха лишь для того, для кого она бессмысленна, кто не овладел языком, на котором выражена записанная при помощи этих знаков живая человеческая мысль.

Освоить этот язык, понять смысл формул значит открыть для себя целый новый мир! И притом это намного легче, чем выучить французский или там немецкий язык. Язык формул прост, в нём мало слов, но эти слова страшно ёмки. Это не язык Эллочки Людоедки, а скорее немногословные строки Мандельштама:

Из полутёмной залы вдруг
Ты выскользнула в лёгкой шали.
Мы никому не помешали,
Мы не будили спящих слуг.

Концентрация смысла зашкаливает, не правда ли?

Вот, например, малая теорема Ферма. Выглядит угрожающе просто:

Aⁿ%n=A

Даже проще, чем стих Мандельштама.

А в чем её смысл? Берется некое число, его возводят в какую-то степень (то есть, несколько раз перемножают само на себя), потом делают нечто таинственное (что я обозначил значком процента %) — и в результате получается само же число A, с которого начинали.

Что это? Совпадение?
Нет! говорит Ферма.
Это не совпадение. Это так и должно быть. И можно строго доказать, что иначе и быть не может, говорит Ферма.

И это безумно красиво. И не только красиво, но и полезно. Потому что на этом основаны современные системы шифрования. Когда Ферма создавал свою теорию, не было компьютеров и никому не приходила в голову безумная идея использовать такие вещи для шифрования. Просто потому, то это заняло бы слишком много времени. Трудные, длинные расчеты нужны, чтобы таким способом что-то зашифровать, а потом расшифровать. Но в XX веке появился железный паровоз, который делает такие вещи в два притопа и три прихлопа. Только «объясни» ему, что ты хочешь. Составь программу на понятном для него языке — и посчитает всё, что хочешь, за милую душу.

Тогда, в XVII (!) веке, Ферма просто баловался. Ему было прикольно и интересно понять, случайны ли такие совпадения? Почему пятью пять именно двадцать пять? А сегодня для нас это критически важно, чтобы совпало. Иначе мы зашифровать зашифруем, а расшифровать назад — не сможем.

Но каким надо было обладать гением, чтобы в XVII (!) веке, во время Тридцатилетней войны, доказать теорему, из которой потом (в XVIII веке) великий Эйлер сделает конфетку, скушав которую в XX веке математики сделают готовую шифровальную машинку.

Ферма просто забавлялся. И мы можем позабавиться вместе с ним. Например, я построил на теореме Фрема забавную заметку по теории чисел (см. Если n нечетно, то (n**5 — n) делится на 240 без остатка).

Это очень важно — позабавиться. Это необходимо для обновления. Тут мудрость. И у этой забавной мудрости есть недетский смысловой слой. Если кто имеет мудрость, сочти число зверя, ибо это число человеческое. Уметь считать — полезно, и иногда это критически важно для выживания. Но невозможно научиться считать, если не полюбишь числа. Любовь — основа бытия.

И потому для гуманитария нет никакого другого способа освоить математику, кроме как вернуться в детство и начать просто играть с числами и другими категориями, похожими на числа.

Заметьте! Хотя мы по видимости говорили о числах, на самом деле нас интересовали не сами числа, а только последние цифры в этих числах.
Нам было всё равно, 12476376 или 8764376. По сути, мы просто-напросто отождествляли между собой все числа, оканчивающиеся на заданные цифры. Мы отбрасывали у числа все, что идет впереди. Хотя впереди идет вроде бы самое важное, самые страшные миллиарды и триллионы! Но мы же дети, и нам забавно наблюдать за тем простым и понятным, что стоит в конце. Оно для нас важнее потому, что оно привлекло наше внимание. Мы заметили, что там происходит что-то прикольное и интересное. И мы по-детски непосредственно отбрасываем то, что нам в данный момент неинтересно. Нам пока неважны миллиарды, мы смотрим на гармонию сфер, которая вдруг зазвучала в последних цифрах числа. Она стала пока важной, а прочее неважным. И вот как раз отбрасывание неважного и обозначено в теореме Ферма при помощи значка процента %.

То есть, в переводе на русский язык, формула Aⁿ%n=A означает: если число А помножить само на себя n раз (А*А*А*…*А) и по определенному правилу отбросить образовавшиеся миллиарды и миллионы, то в остатке получится то же самое число А. Разве это не забавно? А если знаешь, что это ещё и полезно (для правильной расшифровки!), то имеет смысл вникнуть в это внимательнее.

…

Обыкновенные дроби 5 класс