Как найти смысл производной функции

Производная функции. Геометрический смысл производной



Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Определение.

Производная – это скорость изменения функции.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку А с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке  равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

.

Величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси X.

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке A функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A, образует острый угол  с положительным направлением оси X. Значит, в точке A производная положительна.

В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол  с положительным направлением оси X. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке B производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка С — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке С с «плюса» на «минус».

В точке D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

1. Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке E касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки E функция возрастала — и после точки E продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

2. Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных. В ней вы найдете производные всех элементарных функций и правила взятия производных, то есть дифференцирования.

Геометрический смысл производной, задачи

Покажем, что такое геометрический смысл производной, на примере нескольких задач из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. На рисунке изображен график функции ). Найдите количество решений уравнения )=0 на отрезке [-2,5; 9,5].

Решение:

Производная функции равна нулю в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

Задача 2. На рисунке изображен график функции y= ) — производной функции ). Сколько точек максимума имеет функция ) на отрезке ? В ответе запишите это число.

Решение:

Обратите внимание, что на этом рисунке изображен не график функции, а график ее производной.

В вариантах ЕГЭ по математике таких задач много. Пользуясь графиком производной, надо ответить на вопрос о поведении функции.

В точке максимума функции производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Такая точка на отрезке на графике одна.

Ответ: 1.

Задача 3. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Решение:

Вспомним определение.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке (то есть угловому коэффициенту касательной).

Это геометрический смысл производной.

В точке функция y = f(x) убывает. Касательная, проведенная к ее графику в этой точке, образует тупой угол с положительным направлением оси Х. Найдем тангенс острого угла смежного с углом

Ответ: -0,5.

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции определенной на отрезке В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 1,5.

Слева от этой точки, на отрезке [1; 1,5] производная отрицательна, и функция убывает. Справа от этой точки, на интервале [1,5; 5), производная положительна, и функция возрастает.

Значит, — точка минимума функции

Поэтому и свое наименьшее значение функция принимает в точке 1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 5. На рисунке изображен график — производной функции В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 3.

Слева от этой точки производная отрицательна, и функция убывает. Справа от точки x = 3 производная положительна, и функция возрастает.

Значит, — точка минимума функции

Кстати, вид графика функции определить нетрудно. Это квадратичная парабола с ветвями вверх.

Ответ: 3.

Задача 6. На рисунке изображен график производной непрерывной функции В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Решение:

На отрезке расположена точка в которой производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-».

Это значит, что — точка максимума функции на отрезке и наибольшее значение функция принимает именно в этой точке.

Ответ: — 2,5.

Задача 7. На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале (-3;7). В какой точке отрезка [-2; 4] функция принимает наименьшее значение?

Решение:

Точка минимума функции f(x) — это x = 0. В этой точке производная равна 0 и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Слева от точки 0 производная отрицательна, функция убывает. Справа от этой точки производная положительна, функция возрастает.

Наименьшее значение на отрезке достигается при x = 0.

Ответ: 0.

Задача 8. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Решение:

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

— касательная к

В точке производная отрицательная, т.к. функция — убывает в этой точке.

— угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.

Угол — тупой, а смежный с ним угол — острый.

Ответ: -0,375.

Задача 9. На рисунке изображен график непрерывной функции f(x) и касательные CD и MN, проведенные к ее графику в точках А и В. Найдите отношение значений производной функции f(x) в точках А и В.

Решение:

Найдём значения производных в точках А и В с помощью графика.

где — угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой

Для точки А:

Для точки В:

Отношение производных:

Ответ: 0,15.

Условия касания

Пусть прямая касается графика функции в точке Тогда для точки выполняются условия касания:

Первое уравнение показывает, что значения функций и в точке равны друг другу. Это верно, поскольку эта точка лежит и на одном, и на другом графике.

Второе условие показывает, что производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.

Задача 10. Прямая касается графика функции причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.

Решение:

Запишем условие касания:

Начнем со второго уравнения:

Т.к. то

Найдем подставив в первое уравнение:

отсюда

Ответ: -7.

Условия касания встречаются нам не только в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, но и в задачах с параметрами. Более того, это один из приемов решения уравнений и неравенств с параметрами.

Физический смысл производной

Мы узнали, что такое геометрический смысл производной. Научились находить производную с помощью графика функции и решать задачи ЕГЭ. Производная помогает нам исследовать функции, находить их точки максимума и минимума, строить графики функций.

И оказывается, что с производной вы познакомились намного раньше — в школьном курсе физики. Вы уже пользовались этим математическим понятием, но не называли его словом «производная».

Вспомним тему «Кинематика» в физике. Это раздел физики, описывающий механическое движение. Величины, которыми описывается движение какого-либо тела, — это скорость v, время t, координата х, если тело движется вдоль прямой. Или координаты x и y, если оно движется по плоскости.

Вспомним формулу для равномерного прямолинейного движения: где x — координата.

Пусть 3 материальных точки — например, три автомобиля — одновременно выезжают с постоянными скоростями из точки А и едут по прямолинейному шоссе. На графике показано, как меняется их координата x с течением времени. У какого из автомобилей скорость больше?

Очевидно, у третьего. Считая, что x = vt, для первого автомобиля найдем = 20 км/ч. Возможно, это машина, которая поливает или чистит дорогу, и поэтому так медленно едет. Для второго автомобиля = 40 км/ч, для третьего = 75 км/ч.

Но если пройденный путь, то есть изменение координаты тела, мы разделим на время, то найдем тангенс угла наклона для каждой из этих прямых. Так и есть.

Скорость тела — это производная от его координаты по времени.

А теперь пусть тело, например, автомобиль, движется вдоль оси x, причем его скорость не является постоянной. Зависимость его координаты от времени x(t) показана на графике.

Возьмем на графике точку, соответствующую моменту времени и проведем в этой точке касательную к графику функции.

Тангенс угла наклона этой касательной численно равен мгновенной скорости тела в момент

Мы получили, что мгновенная скорость — это производная от координаты по времени.

Это физический смысл производной.

Но не только скорость в физике является производной от другой физической величины, координаты.

Ускорение — это производная от скорости по времени. Сила тока — производная от заряда по времени.

Изучая курс физики в школе и в вузе, вы увидите множество уравнений, связывающих одни физические величины с производными других физических величин. Такие уравнения называются дифференциальными. А само действие взятия производной называется дифференцированием.

Вот задача из вариантов ЕГЭ по математике, где используется физический смысл производной.

Задача 11. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Решение:

Производная — это скорость изменения функции. Мгновенная скорость движущегося тела (материальной точки) является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной.

Найдем на графике s(t) точки, в которых производная функции s(t) равна нулю. Таких точек 6. Это точки максимума и минимума функции s(t).

Ответ: 6.

Изучая высшую математику в вузе, вы узнаете еще одно определение производной.

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

Это определение есть в вашем школьном учебнике алгебры. Но намного важнее не механически его запомнить, а понять его смысл. Первые шаги к этому мы сделали, определив производную как скорость изменения функции. Мы также узнали, что такое геометрический смысл производной и физический смысл производной.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

План урока:

Физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Связь производной с возрастанием и убыванием функций

Производная как функция

Вторая производная функции и ее физический смысл

Физический смысл производной

Вводя понятие производной, мы предварительно решали задачи на поиск мгновенной скорости некоторого тела (автомобиля, пешехода, самолета). Во всех них в качестве исходных данных задавался некоторый закон, который описывал зависимость пути, пройденного телом, от времени. Обычно этот закон представлял собой функцию s(t). Для нахождения мгновенной скорости мы сначала записывали выражение для вычисления средней скорости, которое содержало переменную величину ∆t. На следующем шаге мы составляли выражение ∆s/∆t, после чего величину ∆t мы устремляли к нулю и смотрели, чему в таком случае будет равняться предел отношения ∆s/∆t. Этот предел и принимался за мгновенную скорость тела.

Можно заметить, что последовательность наших действий совпадает с теми действиями, которые выполняются для вычисления производной. Разница лишь в обозначениях. В случае с производной мы рассматриваем функцию у(х), а в случае с поиском скорости тела – функцию s(t). Но если поменять букву t на х, а s на t, то окажется, что поиск мгновенной скорости в момент времени t₀ – это тоже самое, что и поиск производной функции s(t) в точке t₀. Таким образом, можно сформулировать физический смысл производной (иногда его называют механическим смыслом, так как в физике производная используется не только в механике):

Функцию s(t) обычно называют законом движения. Рассмотрим простейший случай, когда тело движется с постоянной скоростью, равной, например, 3 м/с. Из физики известно, что в таком случае путь s, пройденный телом за время t, можно вычислить по формуле

где v – скорость.

Значит, закон движения тела будет выглядеть так:

Найдем производную в произвольный момент времени t₀. Так как производная должна совпадать со скоростью, то независимо от значения t₀ производная должная оказаться равной 3. Действительно, в точке t₀ значение функции равно

Дадим приращение аргумента ∆t. В точке t₀ + ∆t функция будет равна

Найдем приращение функции ∆s:

Обратите внимание – величина ∆s уже не зависит от t₀. Далее найдем отношение ∆s/∆t:

Величины ∆t сократились, и получилось, что отношение ∆s/∆t от величины ∆t не зависит. Ясно, что предел этого отношения при ∆t→0 (а это и есть производная) будет равен 3:

Действительно, получилось, что производная s′(t) в любой точке равна 3, то есть она совпадает со скоростью.

Геометрический смысл производной

Возьмем график произвольной функции у(х) и выберем на ней точку х₀ (обозначим ее как А). Дадим ей приращение ∆х. Тогда мы получим новую точку с абсциссой х₀ + ∆х, которую обозначим буквой В. Соединим исходную и новую точку прямой линией АВ. Эта линия пересекает график как минимум в двух точках (А и B), поэтому мы можем назвать её секущей. Проведем также касательную к графику функции в точке А:

Если из точки B провести вертикальную линию, а из точки А – горизонтальную, то они пересекутся в некоторой точке О. Рассмотрим треугольник АОВ. Очевидно, что он прямоугольный (∠ АОВ = 90°). При этом АО = ∆х, а ОВ = ∆у. Так как АО и ОВ – это катеты прямоугольного треугольника, то их отношение (ОВ/АО) равно тангенсу угла ВАО, который на рисунке обозначен как α:

Ещё раз отметим, что угол α – это угол между секущей и горизонтальной линией. Этот угол определяется именно отношением величин ∆у и ∆х.

Производная – это предел отношения ∆у/∆х при ∆х→0. Попробуем устремить в данном случае величину ∆х к нулю. Тогда точка В начнет перемещаться по графику всё ближе к точке А, а треугольник АОВ будет сокращаться в размерах. Однако АВ всё ещё будет оставаться секущей:

Мы видим что при уменьшении ∆х секущая АВ приближается к касательной. В конце концов, при «максимальном» уменьшении ∆х, Точка В почти сольется с точкой А, а секущая АВ почти сольется с касательной. Тогда и угол α, являющийся углом наклона секущей, будет почти не отличаться (или отличаться на бесконечно малую величину) от угла наклона касательной. Поэтому можно принять, что угол α – это и есть угол наклона касательной:

Но мы уже определили ранее, что тангенс угла α – это отношение ∆у/∆х:

Получается, что в предельном случае, когда ∆х стремится к нулю, секущая, по сути, становится касательной к графику, а отношение ∆у/∆х – производной (по ее определению):

Отсюда следует, что значение производной в точке х₀ совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику функции в этой же точке. В этом заключается геометрический смысл производной.

Здесь следует уточнить понятие касательной. Из геометрии известно понятие касательной к окружности. Так называют прямую, имеющую с окружностью ровно одну общую точку. Однако для касательной к графику функции такое определение не подходит. Действительно, любая строго вертикальная прямая пересечет график функции только в одной точке, однако назвать ее касательной нельзя, ведь она проходит «сквозь график»:

С другой стороны, прямая, касающаяся графика в одной точке, может потом пересечь его в другой точке:

Поэтому касательную к графику в точке х₀ определяют именно как предельное положение секущей, которое получается, когда промежуток ∆х устремляют к нулю.

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику

в точке х₀ = 2.

Решение. Тангенс искомого угла можно найти, вычислив производную. Для этого сначала вычислим значение функции в точке х₀:

Теперь даем приращение ∆х и вычисляем функцию в точке (х₀ + ∆х):

Далее находим величину ∆у, то есть приращение функции в точке х₀:

Отношение ∆у/∆х можно определить так:

Если устремить величину ∆х к нулю, то отношение ∆у/∆х устремится к единице:

Значит, и производная в точке х₀ = 2 будет равна 1:

Производная – это тангенс угла наклона касательной, то есть

Так как тангенс 45° равен единице, то α = 45°. Убедимся в этом, проведя через точку (2; 1) прямую с таким наклоном. Она действительно оказывается касательной:

Ответ: 45°

Связь производной с возрастанием и убыванием функций

Заметим, что если провести касательную к графику в той точке, где функция возрастает, то сама эта касательная окажется также возрастающей линейной функцией. При этом угол ее наклона будет острым:

Напомним что тангенс любого острого угла – это всегда положительная величина, то есть tgα> 0.

Однако это тангенс равен значению производной. Значит, она также положительна, если функция возрастает.

Ситуация меняется в случае убывающей функции. Тогда и касательная к графику оказывает убывающей линейной функцией. Из-за этого она образует с горизонтальной осью Ох не острый, а тупой угол:

Напомним, что тангенс тупого угла является отрицательным числом. Но тогда и производная должна быть отрицательная. Получается, что по знаку производной можно определить, убывает или возрастает функция в данной точке.

Задание. Определите знак производной функции у = sinx в точке х₀ = 3π/4, не вычисляя её.

Решение. График у =sinx выглядит так:

Точка х₀ = 3π/4 находится между π/2 и π. Видно, что в этой точке функция убывает. Следовательно, производная в этой точке отрицательна.

Ответ: Производная отрицательна.

Производная как функция

До этого мы вычисляли значение производной в отдельных точках графика. Она представляет некоторое число у′(х₀). Однако чаще всего производную можно вычислить в каждой точке графика у(х). То есть каждой точке х₀ соответствует какое-то число у′(х₀). Но если есть соответствие между числами х₀ или у′(х₀), то можно говорить о функции. Её обозначают как у′(х), или просто как у′.

Объясним, чем отличаются обозначения у′(х₀) и у′. Обе эти величины называются производными и вычисляются для некоторой функции у(х). Однако у′(х₀) – это конкретное значение производной, то есть число. Например, 4 или 6. А выражение у′(х) – это не число, а функция, например, у = сosx или у = х³. Подставив в выражение у′(х) значение х₀, можно узнать и у′(х₀).

Возникает вопрос – а как находить функцию у′(х)? Для этого можно использовать определение производной, как и в случае су′(х₀). Только вместо значения х₀ не требуется подставлять какое-то число. Продемонстрируем эту процедуру на примере.

Пусть есть функция у = х². Найдем у′(х). Для этого дадим произвольной точке с координатой х приращение ∆х. В результате попадем в новую точку (х + ∆х). Вычислим значения функции у = х² в точках х и (х + ∆х):

Далее находим величину ∆у:

Следующий шаг – вычисляем отношение ∆у/∆х:

Осталось найти предел отношения ∆у/∆х при ∆х→0, который и будет являться производной у′:тут что-то не поняла решение, верное?

Получили, что у′ = 2х. Ещё раз обратите внимание, что у′– это функция, а не число. Поиск производной называют операцией дифференцирования. Для краткости иногда используют такую запись:

Здесь в левой части в скобках записана исходная функция. Над скобкой стоит штрих, который и означает дифференцирование. Справа записана производная. Когда надо вычислить производную, используют такие фразы, как «продифференцируем функцию» или «возьмем производную».

Итак, мы получили, что (х²)′ = 2x. Эту формулу производной для функции у =х² стоит запомнить.

Скажем сразу, что пока мы будем в основном рассматривать примеры, где необходимо продифференцировать функцию у = х², так как ее производная имеет простой вид и уже найдена нами. В следующих уроках мы научимся дифференцировать другие, значительно более сложные функции.

Найдя у′, мы существенно упрощаем свою жизнь. Пусть нам надо найти значение производной функции сразу в 5 точках. Раньше мы бы для каждой точке давали бы приращение ∆x, искали соответствующее ему значение ∆у, вычисляли бы отношение ∆у/∆х, а потом находили бы предел этого отношения. То есть нам надо было бы вычислить сразу 5 пределов. Однако зная у′, мы можем просто подставлять в неё значение х₀ и сразу находить производную.

Задание. Найдите производную функции у = х² в точке х₀ = 100.

Решение. Известно, что (х²)′ = 2x, то есть для функции у = х² производная равна

Подставим значение х₀ = 100 в производную:

Ответ: 100.

Задание. К графику у = х² в точках х₁ = 0,5 и х₂ = – 0,5 проведены касательные. Под каким углом пересекаются эти касательные?

Решение. Сначала приведем рисунок для этой задачи, причем выберем крупный масштаб, когда длина двух клеток равна всего 0,1:

Чтобы найти угол между двумя касательными, сначала найдем, какие углы они образуют с горизонтальной линией Ох. Для этого вычислим производную от у = х² в точках 0,5 и (– 0,5). Так как у′ = 2х, то

Получается, что тангенс наклона 1-ой касательной равен единице, это значит, что сам угол равен 45°. Тангенс наклона второй касательной равен (– 1). Чтобы найти угол ее наклона, составим тригонометрическое уравнение:

Естественно, уравнение имеет бесконечно большое количество решений: – π/4; 3π/4; 7π4 и т.д. Среди них нас интересует то, которое соответствует углу от 0 до 180°. Это угол 3π/4, который равен 135°.

Итак, касательные имеют углы наклона, равные 45° и 135°. Далее поиск угла их пересечения становится простой и чисто геометрической задачей. Добавим точки на рисунок:

Мы нашли, что ∠ВСЕ = 45° и ∠АDC = 135°. Тогда

Тогда из треугольника DOC можно найти и интересующий нас ∠DOC. Мы используем тот факт, что сумма углов любого треугольника составляет в точности 180°:

В итоге получаем, что прямые пересекаются под прямым углом.

Ответ: 90°.

Задание. Автомобиль стартует и набирает скорость, при этом закон его движения имеет вид s(t) = t². Найдите скорость машины через 2,3, 4 и 5 секунд после старта. Постройте график, иллюстрирующий зависимость скорости машины от времени.

Решение. Скорость машины будет равна производной ее закона движения. Производная функции s(t) = t² имеет вид s′(t) = 2t. Подставляя в производную значения 2, 3, 4 и 5, найдем скорость автомобиля в эти моменты времени:

Так как s′(t) = 2t, а скорость равна производной, то есть v(t) = s′(t), то получаем, что зависимость скорости от времени имеет вид v(t) = 2t. Её график будет выглядеть так (на нем отмечены те самые точки, которые соответствуют 2, 3, 4 и 5 секунде после старта):

Ответ: 4, 6, 8 и 10 м/с.

Рассмотренный пример показывает, что зная закон движения s(t), можно не просто вычислить скорость тела в отдельные моменты времени, но и получить зависимость, то есть общую формулу, позволяющую вычислять скорость. Другими словами, график производной s′(t) совпадает с графиком скорости v(t)

Вторая производная функции и ее физический смысл

Итак, мы узнали, что при дифференцировании функции мы получаем какую-то новую функцию. Встает логичный вопрос – а можно ли продифференцировать и эту новую функцию? Естественно можно, и в результате получат ещё одну функцию, которую называют второй производной. Для ее обозначения используют уже не один штрих, а сразу два: у′′. При необходимости можно взять и третью производную (у′′′), и четвертую (у′′′′), и даже сотую или тысячную. Однако при рассмотрении большинства практических задач достаточно первых двух производных.

Есть ли у второй производной функции физический смысл? Да. Дело в том, что в физике различают равномерное и ускоренное движение тела. В первом случае оно двигается с постоянной скоростью, а во втором скорость тела может изменяться. В связи с этим вводится и такая физическая величина, как ускорение. Она характеризует то, как быстро изменяется скорость тела. То есть ускорение – это скорость изменения скорости. Для обозначения ускорения обычно используют букву а. И для определения ускорения как раз и может потребоваться вторая производная.

Действительно, если ускорение – это скорость изменения скорости, то ее можно найти, взяв производную от функции v(t), то есть а(t) = v′(t). Однако сама скорость получается при дифференцировании закона движения s(t), то есть v(t) = s′(t). Тогда получается, что

То есть физический смысл второй производной заключается в том, что вторая производная закона движения s′′(t) в момент t₀ равна ускорению тела в этот самый момент.

Ещё раз взглянем на пример, который мы уже рассмотрели. Пусть автомобиль стартует с места, и пройденный им путь определяется законом s(t) = t². Мы уже выяснили, что в этом случае его скорость можно рассчитать по формуле v(t) = 2t. Получается, что скорость тела непостоянна, значит, имеет место ускоренное движение. Попробуем найти величину ускорения.

Для этого возьмем производную от функции v(t) = 2t. Возьмем какое-то значение аргумента t и дадим ему приращение ∆t, в результате получим новый аргумент (t + ∆t). Вычислим скорость тела в эти моменты времени:

Теперь мы можем найти приращение функции ∆v, соответствующее приращению ∆t

Далее находим отношение ∆v/∆t:

Получили, что это отношение является постоянной величиной и равно 2. Естественно, что предел постоянной величины равен этой величине:

Итак, получили, что производная v′ – это постоянное число, не зависящее от времени. Оно же равно ускорению тела. Значит, в любой момент времени ускорение тела равно 2м/с².

Напомним, что важнейший закон механики, известный как второй закон Ньютона, выглядит так:

где F– это сила, действующая на тело;

m–масса тела;

а – ускорение.

Однако теперь мы знаем, что ускорение является второй производной от закона движения. В связи с этим его можно переписать в виде

И на самом деле в физике значительно чаще используется именно такая его формулировка. Это лишний раз подтверждает значимость понятия производной.

Уравнение любой прямой в общем виде задается формулой:
$$y=kx+b;$$
Где (k) — это коэффициент наклона прямой, а (b) — свободный член.

Уравнение прямой в условии задачи выглядит так (y=-4). Сопоставьте это уравнение с общим видом прямой, и увидите, что у прямой из условия (k=0), а (b=-4).

Мы получили, что коэффициент наклона прямой из условия равен нулю! Значит у любой прямой, которая будет ей параллельна, коэффициент наклона тоже будет равен нулю. А раз коэффициент наклона ноль, то и производная тоже должна быть ноль.

Переформулируем условие задачи: необходимо найти на графике функции (f(x)) точки, в которых производная равна нулю.

Производная равна нулю в точках минимума и максимума: в «вершинах» и «впадинах». Нам остается только посчитать их количество на графике. Я их отметил красными точками:

На этой странице вы узнаете

• Почему функции похожи на американские горки? 
• Как с помощью производной оценить рост популярности видео в соцсети?
• Какие фокусы творят тригонометрия и геометрия вместе?

Она спешит на помощь быстрее, чем Чип и Дейл. Она наш спасательный круг в океане математики. Давайте посмотрим, как производная способна на такие чудеса.

Производная

Функции достаточно часто встречаются при решении задач. Они могут быть как составными частями какого-то задания, так и отдельным номером. Разумеется, встречаются не только простые функции. Если открыть банк заданий, то мы удивимся, насколько сложными они бывают. Так что делать с такими сложными и непонятными функциями? 

Производная — одно из самых важных понятий математического анализа. С ее помощью можно описать поведение любой функции. 

Представим наши американские горки в виде функции. 

Функция будет на некоторых участках возрастать, а на некоторых убывать. Скорость ее изменения на разных участках будет разной. 

Скорость изменения функции показывает, насколько сильно будет изменяться значение функции (то есть значение у) при небольшом изменении переменной функции (то есть значения х). 

Отложим на нашем графике две точки: х и х₁ и поднимем из них прямые, которые пересекут график в точках А и В. Тогда точка А будет иметь координаты (х;у), а точка В — (х₁;у₁). 

Представим, что наш вагончик проехал из точки А в точку В. Расстояние, которое он проехал по горизонтали, будет равно х₁ — х, а поднялся он на высоту у₁ — у. Для удобства дальнейших рассуждений примем эти расстояния за х и у. 

Знак Δ “дельта” — означает изменение величины, то есть разность между тем, что было в точке А и стало в точке В.

Теперь мы можем ввести определение приращения. 

Приращение функции — это разность между двумя значениями функции, то есть у.

Приращение аргумента — это разность между двумя значениями аргумента, то есть х.

Скорость изменения функции будет равна отношению приращения функции к приращению аргумента. При этом чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее мы приблизимся к верному значению. 

Отсюда мы получаем определение производной функции. 

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. 

Производную функции обозначают как f'(x). 

(f'(x) = frac{Delta y}{Delta x}: при: Delta x rightarrow 0)

Если мы применим одинаковое приращение аргумента к разным участкам функции, то заметим, что приращение функции также будет разное. Где-то значение у изменится больше, где-то меньше. Именно так изменяется скорость функции на разных ее участках. 

Нахождение производной называется дифференцированием. 

Геометрический смысл производной

Достроим прямоугольный треугольник АВС. Заметим, что отношение (frac{Delta x}{Delta y} = tg(BAC)), то есть равняется отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Иначе это отношение можно записать как (tg(BAC) = frac{BC}{AC}). 

Поскольку в этом примере мы взяли достаточно большое расстояние между значениями х, то АВ — секущая. Если мы будем сокращать расстояние между значениями аргумента, то две точки на графике будут ближе друг к другу, а секущая будет стремиться к касательной. 

Следовательно, мы можем описать скорость изменения функции через тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в некоторой точке. 

Из этих рассуждений мы можем вывести геометрический смысл производной:

Если провести касательную к функции в некоторой точке, то производная в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона. 

Рассмотрим касательную отдельно. Это прямая, которая имеет уравнение y = kx+b, где к — коэффициент наклона. 

Тогда мы получаем следующее уравнение:

f'(x) = k = tg(a) 

Знак производной 

Построим графики двух прямых с разным углом наклона. Пусть в первом случае k = 1, а во втором k = -1. Тогда получаем графики функций у = х и у = -х. 

Заметим, что тангенс угла наклона имеет разные значения в этих случаях: tg(a) = -1 и tg(a) = 1. 

Теперь достроим к касательным графики функций. В первом случае точка, к которой проведена касательная, будет лежать на участке функции, на котором она убывает. Во втором случае точка касания будет лежать на возрастающем участке функции. 

Чтобы определить, убывает или возрастает функция, нужно посмотреть на ее наклон на участке. 

Вспомним американские горки: пусть по функции будет слева направо ехать вагончик. В участках, где вагончик будет подниматься на гору, функция возрастает, а где вагончик съезжает с горки — функция убывает. 

Из этих рассуждений мы можем вывести зависимость знака функции и знака производной. 

1. Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда производная в данной точке положительна. 

В этом случае касательная к функции также будет возрастать. 

f'(x) = tg(a). Если tg(a) > 0, то и f'(x) > 0. 

2. Функция убывает в точке тогда и только тогда, когда производная в данной точке отрицательна. 

В этом случае касательная к функции будет убывать. 

 f'(x) = tg(a). Если tg(a) < 0, то и f'(x) < 0. 

3. Если касательная к функции параллельна оси абсцисс, то производная в этой точке равна 0. 

Поскольку прямая будет параллельна оси абсцисс, то у нее не будет угла наклона, а следовательно: k = tg(a) = 0 = f'(x).

Такие точки называются стационарными, это точки экстремума или седловые точки. 

Подведем итог.
Знак производной определяется по изначальной функции: 

• если функция возрастает, то производная положительна; 
• если функция убывает, то производная отрицательна; 
• в точках, где функция не возрастает и не убывает (стационарные точки), производная равна 0. 

Точки экстремума

Как уже было сказано ранее, производная функции может равняться 0. Она принимает такое значение в точках экстремума.

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке. 

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум. 

На рисунке видно, что точки А и В являются экстремумами. Например, до точки А функция будет возрастать, а после нее уже убывать, то есть наибольшее значение эта функция достигнет именно в точке экстремума. 

Если вспомнить наш вагончик, то в точке А он достигнет наибольшую высоту над землей. 

Во втором случае аналогичные рассуждения, но функция достигает уже наименьшее значение в точке В. 

В теме производной есть такие термины, как “точка минимума” и “точка максимума”. 

Точка минимума — это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

В этой точке знак функции меняется с отрицательного на положительный (то есть сначала функция убывала, а потом начала возрастать). Это точка В. 

Точка максимума — это точка, в которой достигается максимальное значение функции на отрезке. 

В этой точке знак функции меняется с положительного на отрицательный (то есть сначала функция возрастала, а потом стала убывать). Это точка А. 

Также с точками экстремума связаны наибольшее и наименьшее значение функции. 

Важно!
Следует вспомнить, что когда мы говорим о значении функции, то имеем в виду значение ординаты, то есть у (или f(x)).

Наибольшее значение функции — точка на оси ординат, в которой достигается наибольшее значение функции на заданном отрезке. 

Например, в точке А будет достигаться наибольшее значение функции. 

Наименьшее значение функции — точка на оси ординат, в которой достигается наименьшее значение функции на заданном отрезке. 

В точке В будет достигаться наименьшее значение функции. 

Физический смысл производной

Предположим, что некоторая точка движется прямолинейно, и ее путь можно описать по закону  х(t). То есть за определенное время t точка пройдет расстояние х. 

А теперь вспомним формулу скорости: (v = frac{x}{t}). 

Чтобы найти среднюю скорость на каком-то участке пути точки, нужно разделить весь путь на все время, или (v_{ср.} = frac{Delta x}{Delta t}). Таким образом, мы пришли к определению производной. 

Физический (механический) смысл производной состоит в том, что производная от функции равняется скорости движения некоторого тела по траектории x(t) в момент времени t. x'(t) = v

Также вспомним, что скорость тела зависит от его ускорения. Тогда, применяя аналогичные рассуждения, получаем:

v'(t) = a 

Производную можно брать несколько раз. Например, если мы дважды возьмем производную от x(t), то получим ускорение точки:

(x^{primeprime} (t) = v'(t) = a).

Как найти скорость и ускорение точки с помощью производной? 

Для этого необходимо воспользоваться физическим смыслом производной: производная от функции равна скорости движения некоторого тела. Производная от скорости равна ускорению тела.

Фактчек

• Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Скорость изменения функции равняется отношению приращения функции к приращению аргумента. Нахождение производной называется дифференцированием. 
• Если провести касательную к функции в некоторой функции, то производная в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона. Это геометрический смысл производной. 
• Производная будет положительна на участках возрастания функции и отрицательна на участках убывания. В стационарных точках (точки экстремума и седловые точки) производная будет равна 0. 
• Точка минимума — точка, в которой достигается минимальное значение на заданном отрезке, точка максимума — точка, в которой достигается максимальное значение. 
• Физический (механический) смысл производной состоит в том, что производная от функции равняется скорости движения некоторого тела по траектории x(t) в момент времени t. 

Термины

Абсцисса — координата определенной точки на оси Х. 

Ордината — координата определенной точки на оси У. 

Проверь себя

Задание 1. 
Что такое приращение функции? 

1. Разность между значениями у;
2. Разность между значениями х;
3. Сумма значений у;
4. Сумма значений х. 

Задание 2. 
Чему равна производная?

1. Котангенсу угла наклона касательной;
2. Тангенсу угла наклона касательной;
3. Синусу угла наклона касательной;
4. Косинусу угла наклона касательной. 

Задание 3. 
Как меняется знак производной в точке максимума? 

1. Знак производной не меняется;
2. Производная всегда равна 0 и не имеет знака;
3. Знак меняется с положительного на отрицательный;
4. Знак меняется с отрицательного на положительный.

Задание 4. 
В каком случае функция будет возрастать? 

1. Если производная положительна;
2. Если производная отрицательна;
3. Если производная равна 0;
4. Ни один из вышеперечисленных случаев. 

Задание 5. 
Какая величина получится, если дважды взять производную у функции? 

1. Скорость;
2. Ускорение;
3. Путь;
4. Время

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 3 4. — 1 5. — 1