Как найти собственное подпространство

5.
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

5.1
Собственные векторы и собственные
значения. Пусть
линейный оператор

действует в линейном пространстве
.

Определение.
Ненулевой элемент х
из

называется собственным
вектором
линейного оператора
,
если существует число

такое, что
.
Число

называется при этом собственным
значением оператора
.
Говорят также, что собственный вектор
х
отвечает (или соответствует) собственному
значению
.

Свойства
собственных векторов и собственных
значений линейного оператора.

1°.
Если

— различные собственные значения
оператора
,
то
отвечающие
им
собственные
векторы

линейно
независимы.

2°.
Линейный оператор, действующий в линейном
пространстве

размерности n,
не может иметь более п
различных собственных значений.

3°.
Если линейный оператор
,
действующий в линейном пространстве

размерности n,
имеет п
различных собственных значений
,
то отвечающие им собственные векторы

образуют базис пространства
.
Матрица оператора

в этом базисе имеет вид
,
где
—
символ Кронекера.

4°.
Множество,
содержащее нулевой элемент и все
собственные векторы линейного оператора
,
отвечающие собственному значению
,
является подпространством линейного
пространства
.

Подпространство

называется собственным
подпространством оператора
,
отвечающим собственному значению
.

5.2
Характеристическое уравнение. Пусть
—
матрица
линейного оператора

в базисе
,
E
— единичная матрица. Составим определитель
.
Он является многочленом степени п
относительно

и называется характеристическим
многочленом оператора
.

Уравнение

(1)

называется
характеристическим
уравнением
оператора
.

Характеристический
многочлен, а значит, и характеристическое
уравнение данного оператора, не зависит
от выбора базиса, т. е. в любом базисе
коэффициенты характеристического
многочлена одни и те же.

Cпособ
отыскания
собственных векторов и собственных
значений линейного оператора
.

  1. Находим
    собственные значения оператора, решая
    уравнение (1). Обозначим их
    .

  2. Для
    каждого собственного значения

    находим все ненулевые решения однородной
    системы уравнений

(2)

Каждое
ненулевое решение X
этой системы является столбцом координат
в базисе

собственного
вектора оператора
,
соответствующего собственному значению
.

Замечание.
Собственное значение

линейного оператора

называется
также собственным значением матрицы
,
а ненулевое решение системы (2)
(столбец X)
называется собственным вектором матрицы
.
Во многих разделах математики и ее
приложений рассматриваются именно
собственные значения и собственные
векторы матриц, вне связи их с линейными
операторами.

2.3
Инвариантные подпространства линейных
операторов.

Определение.
Подпространство М
линейного пространства

называется
инвариантным
относительно линейного оператора
,
если
для любого элемента х
из М
его образ

также принадлежит М.

Примеры.

  1. Подпространство,
    состоящее из одного нулевого элемента
    ,
    является инвариантным подпространством
    относительно любого линейного оператора.

  2. Само
    линейное пространство

    является инвариантным относительно
    любого линейного оператора, действующего
    в этом пространстве.

  3. Подпространства

    и

    называются тривиальными
    инвариантными подпространствами
    линейного оператора.

  4. Собственное
    подпространство

    линейного оператора
    ,
    отвечающее
    собственному значению
    ,
    является инвариантным относительно
    оператора
    .

  5. Найти
    собственные векторы и собственные
    значения линейного оператора
    ,
    действующего в линейном пространстве

    радиус-векторов и имеющего в
    ортонормированном базисе

    матрицу

    Так как

то
характеристическое уравнение оператора

имеет вид
.
Корни этого уравнения

и

— собственные значения оператора А.
Собственное значение

называется двукратным
собственным значением.

Чтобы
найти координаты собственных векторов,
нужно решить систему уравнений (2)
при

и

При

система уравнений (2) принимает вид

Так
как число неизвестных равно 3, а ранг
матрицы системы равен 2, то размерность
пространства решений равна 1. Решая,
находим фундаментальную систему решений,
состоящую из одного столбца
.
Это столбец координат собственного
вектора
,
отвечающего
собственному значению

в базисе
.
Множество всех собственных векторов,
соответствующих собственному значению
,
имеет вид
,
где

— произвольное вещественное число, не
равное нулю.

При

система уравнений (2) принимает вид

В
этой системе уравнений число неизвестных
равно 3, а ранг матрицы системы равен 1.
Поэтому размерность пространства
решений равна 2. Решая, находим
фундаментальную систему решений,
состоящую из двух столбцов

.

Эти
столбцы представляют собой координаты
в базисе

двух линейно независимых собственных
векторов

и
,
отвечающих
собственному значению
.
Все множество собственных векторов,
соответствующих собственному значению
,
дает линейная комбинация векторов
,
где

и
—
произвольные вещественные числа,
одновременно не равные нулю.

  1. Найти
    собственные векторы и собственные
    значения матрицы

Характеристический
многочлен матрицы А
имеет вид

Его
трехкратный корень

является собственным значением матрицы
А.
Чтобы найти собственные векторы, нужно
решить систему уравнений

В
этой системе число неизвестных равно
3, а ранг матрицы системы равен 2. Поэтому
размерность пространства решений равна
1. Решая, находим фундаментальную систему
решений, состоящую из одного столбца
.
Таким образом, множество всех собственных
векторов матрицы А
есть множество столбцов вида
,
где

— произвольное число, не равное нулю.

  1. Три
    материальных точки

    единичной массы соединены между собой
    и со стенкой тремя пружинами с
    коэффициентами жесткости
    ,
    ,

    (рис. 4). Найти собственные частоты и
    формы малых собственных колебаний
    данной системы.

рис.
4

Прежде
всего, уточним постановку задачи.
Положение равновесия материальных
точек
,
соответствующее нерастянутым пружинам,
отметим на оси х
точками
.
Если сжать или растянуть
пружины каким-то образом, а затем
отпустить их, то начнется колебательное
движение системы. Будем пренебрегать
силами
трения и массами пружин. В произвольный
момент времени t
точки

занимают какие-то положения
.
Величины направленных отрезков

и

на оси x,
характеризующие отклонения точек

от положения равновесия, обозначим
через
.
Если эти величины изменяются со временем
по закону

,

то
;
называется собственной
частотой
системы, а отношения

будем называть формой
собственных колебаний,
совершаемых с частотой
.

Для
отыскания собственных частот и
соответствующих им форм колебаний
составим уравнения движения материальных
точек
.
На каждую из этих точек действуют силы,
обусловленные жесткостью пружин.
Согласно закону Гука при малом растяжении
пружины упругая сила, стремящаяся
вернуть пружину в первона­чальное
(нерастянутое) положение, пропорциональна
величине растяжения. Величины растяжений
первой, второй и третьей пружин в момент
t
равны соответственно

(см. рис. 4). Поэтому на точку

в момент t
со стороны первой пружины действует
сила
,
а со стороны второй пружины — сила
.
Обратите
внимание на знаки выражений для

и
.
Если
,
то первая пружина в момент t
растянута по отношению к положению
равновесия, упругая сила стремится
сжать пружину, и, следовательно, на точку

со стороны первой пружины действует
сила, направленная влево, т. е.
.
Если
,
то первая пружина сжата, упругая сила
стремится растянуть ее, и поэтому на
точку

действует сила, направленная вправо,
т. е.
.
Аналогично, если
,
то вторая пружина растянута, сила
упругости стремится сжать ее, и поэтому
со стороны второй пружины на точку

действует сила, направленная вправо:
.
То же самое выражение для
получается
в случае
.

Итак,
результирующая сила, действующая на
точку
,
есть сила

По
второму закону Ньютона произведение
массы точки

(она равна единице) на ускорение точки
(ускорение есть вторая производная по
времени
от
смещения x)
равно результирующей силе

Аналогично,
на точки

и

действуют результирующие силы

и

.

Поэтому
уравнения движения этих точек имеют
вид

,

Будем
искать решение системы дифференциальных
уравнений

в
виде (3). Подставляя (3) в систему, приходим
к виду

(6)

где

— известная матрица, составленная из
коэффициентов правых частей уравнений,

— искомый столбец “амплитуд”,

— квадрат искомой собственной частоты,
взятый со знаком минус.

Таким
образом, для отыскания собственных
частот

нужно найти собственные значения

матрицы С,
а для нахождения формы собственных
колебаний нужно найти соответствующие
собственные векторы.

Учитывая,
что
,
,
,
получаем следующее ха­рактеристическое
уравнение матрицы С:

Оно
имеет корни
,
,
.
Следовательно,
,
,
,
т. е. собственными частотами колебательной
системы будут

,
,

Решая
для каждого собственного значения
систему
(6),
находим собственные векторы матрицы С
— столбцы

где
с
— произвольное число, не равное нулю.
Отношения элементов столбца

определяют форму собственных колебаний
с частотой
.
Так,
форма собственных колебаний с частотой

задается отношениями:
.

Соседние файлы в папке re

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

 

Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 11:34 


14/09/16
61

Оператор задан матрицей:
$$A = begin{pmatrix} 4 & -5 & 2 \ 5 & -7 & 3 \ 6 & -9 & 4 end{pmatrix}$$

C собственными значениями проблем нет:
$$mathrm{det}|A-I{lambda}| = begin{vmatrix}4-lambda & -5 & 2 \ 5 & -7-lambda & 3 \ 6 & -9 & 4-lambda end{vmatrix} = lambda^3-lambda^2 $$

И соответственно:

$lambda_1 = 0$ $lambda_2 = 1$

Как теперь найти корневые подпространства?

Профиль  

Xaositect 

Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422

А что такое корневое подпространство?

Профиль  

tremor 

Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 12:47 


14/09/16
61

А что такое корневое подпространство?

Ну в каких-то книжках его еще собственным называют, если я правильно помню.

Профиль  

Xaositect 

Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422

Ну в каких-то книжках его еще собственным называют, если я правильно помню.

Нет, корневые и собственные подпространства — это разные вещи, а я Вас просил привести определение.

Профиль  

tremor 

Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 13:05 


14/09/16
61

Ну в каких-то книжках его еще собственным называют, если я правильно помню.

Нет, корневые и собственные подпространства — это разные вещи, а я Вас просил привести определение.

Ядро линейного оператора вида $mathrm{ker}(A-{lambda_i}I)$

Где $lambda_{i}$ Соответствующее собственное значение?

Профиль  

Xaositect 

 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422

Это собственные подпространства, и найти их легко — надо решить уравнения $(A - lambda_i I)x = 0$.

Корневые подпространства — это немного посложнее. Вы по какому учебнику учитесь?

Профиль  

tremor 

Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 13:19 


14/09/16
61

Это собственные подпространства, и найти их легко — надо решить уравнения $(A - lambda_i I)x = 0$.

Корневые подпространства — это немного посложнее. Вы по какому учебнику учитесь?

По Ильину-Позняку (потому что физфак)

Профиль  

Xaositect 

 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422

Профиль  

tremor 

Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 13:38 


14/09/16
61

Вместо $lambda$ Подставляются найденные собственные значения, я правильно понял?

Профиль  

Xaositect 

Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422

Профиль  

tremor 

Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 16:05 


14/09/16
61

Да.

Да, все сходится, ну а кратность характеристического многочлена как я понял из экспериментов должна совпадать с кратностью собственного значения которое подставляем.

Профиль  

Brukvalub 

Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A

Сообщение08.06.2017, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

кратность характеристического многочлена

Что это за термин? :shock:

Профиль  

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Содержание

Характеристический многочлен линейного оператора

Инвариантные подпространства

Собственные вектора и собственные значения

Определение 2. Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно $varphi$, называется собственным вектором2) оператора $varphi$. Таким образом, собственный вектор $ v $ оператора $varphi$ удовлетворяет условию $varphi(v)=av$. При этом скаляр $ain F$ называется собственным значением3) оператора $varphi$.

Пример 1. Пусть $ V $ — двумерное векторное пространство над полем действительных чисел $mathbb{R}$, и $varphi$ — линейный оператор на $ V $, имеющий в некотором базисе $e_1,e_2in V$ матрицу $A_{varphi}=begin{pmatrix}1 & 1\4 & 1end{pmatrix}$. Тогда вектор $u=e_1+2e_2$ является собственным вектором оператора $varphi$ с собственным значением $ 3 $, а вектор $v=e_1-2e_2$ — собственным вектором с собственным значением $-1$. В этом можно удостовериться, решив уравнения,

$begin{pmatrix}1 & 1\4 & 1end{pmatrix}begin{pmatrix}u_1\u_2end{pmatrix}=3begin{pmatrix}u_1\u_2end{pmatrix}$ и $begin{pmatrix}1 & 1\4 & 1end{pmatrix}begin{pmatrix}v_1\v_2end{pmatrix}=-1begin{pmatrix}v_1\v_2end{pmatrix}$.

Определение 3. Подпространство4) $V^a={vin Vvertvarphi(v)=av}$ называется собственным подпространством5) оператора $varphi$. Размерность $textrm{dim}V^a$ называется геометрической кратностью6) собственного значения $ a $.

Определение 4. Множество всех собственных значений линейного оператора $varphi$ называется спектром7) этого оператора и обозначается символом $textrm{Spec}varphi$. Точка спектра называется простой 8) , если ей соответствует геометрическая кратность 1. Спектр называется простым9), если каждая точка спектра проста.

Предложение 1. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы. Сумма $sum_{aintextrm{Spec}varphi}V^a$ является прямой.

Пример 2. Опишем спектр линейного оператора $varphi$ на векторном пространстве $ V $ из примера 1. Так как на двумерном векторном пространстве любой линейный оператор имеет не более двух собственных значений10), то из примера 1 видно, что $-1$ и $ 3 $ образуют простой спектр этого оператора.

Характеристический многочлен

Диагонализируемые линейные операторы

Литература

Наверх

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти глагол в тексте 3 класс
  • Как найти ребенку свое собственное я
  • Как найти длину нити маятника в метрах
  • Как исправить биение шкива коленвала
  • Что такое нтд как найти