Как найти собственные числа линейного оператора

Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть число $lambda$ и вектор $xin L, xneq 0$ таковы, что $$Ax=lambda x.qquadqquadqquadqquadqquad(1)$$ Тогда число $lambda$ называется собственным числом линейного оператора $A,$ а вектор $x$ собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу $lambda.$

В конечномерном пространстве $L_n$ векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству $$(A-lambda E)X=0,,,,, Xneq 0.qquadqquadquadquad (2)$$ 

Отсюда следует, что число $lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда детерминант $det(A-lambda E)=0,$ т. е. $lambda$ есть корень многочлена $p(lambda)=det(A-lambda E),$ называемого характеристическим многочленом оператора $A.$ Столбец координат $X$ любого собственного вектора соответствующего собственному числу $lambda$ есть нетривиальное решение однородной системы (2).

Примеры.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

4.134. $A=begin{pmatrix}2&-1&2\5&-3&3\-1&0&-2end{pmatrix}.$

Решение.

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение: 

$$A-lambda E=begin{pmatrix}2&-1&2\5&-3&3\-1&0&-2end{pmatrix}-lambdabegin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}=$$ $$=begin{pmatrix}2-lambda&-1&2\5&-3-lambda&3\-1&0&-2-lambdaend{pmatrix}.$$

$$det(A-lambda E)=begin{vmatrix}2-lambda&-1&2\5&-3-lambda&3\-1&0&-2-lambdaend{vmatrix}=$$ $$=(2-lambda)(-3-lambda)(-2-lambda)+3+2(-3-lambda)+5(-2-lambda)=$$ $$=-lambda^3-3lambda^2+4lambda+12+3-6-2lambda-10-5lambda=-lambda^3-3lambda^2-3lambda-1=0.$$

Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.

$$lambda^3+3lambda^2+3lambda+1=(lambda^3+1)+3lambda(lambda+1)=$$ $$=(lambda+1)(lambda^2-lambda+1)+3lambda(lambda+1)=(lambda+1)(lambda^2-lambda+1+3lambda)=$$ $$=(lambda+1)(lambda^2+2lambda+1)=(lambda+1)^3=0Rightarrow lambda=-1.$$

Собственный вектор для собственного числа $lambda=-1$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A+E)X=0, Xneq 0$$

$$(A+E)X=begin{pmatrix}2+1&-1&2\5&-3+1&3\-1&0&-2+1end{pmatrix}begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3end{pmatrix}=$$ $$=begin{pmatrix}3x_1-x_2+2x_3\5x_1-2x_2+3x_3\-x_1-x_3end{pmatrix}=0.$$

Решим однородную систему уравнений:

$$left{begin{array}{lcl}3x_1-x_2+2x_3=0\ 5x_1-2x_2+3x_3=0\-x_1-x_3=0end{array}right.$$ 

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin{pmatrix}3&-1&2\5&-2&3\-1&0&-1end{pmatrix}$ методом окаймляющих миноров:    

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin{vmatrix}3&-1\5&-2end{vmatrix}=-6+5=-1neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка:  $begin{vmatrix}3&-1&2\5&-2&3\-1&0&-1end{vmatrix}=6+3-4-5=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin{vmatrix}3&-1\5&-2end{vmatrix}=-1neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left{begin{array}{lcl}3x_1-x_2+2с=0\ 5x_1-2x_2+3с=0end{array}right.Rightarrowleft{begin{array}{lcl}3x_1-x_2=-2c\5x_1-2x_2=-3cend{array}right.$$ 

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

$Delta=begin{vmatrix}3&-1\5&-2end{vmatrix}=-6+5=-1;$

$Delta_1=begin{vmatrix}-2c&-1\-3c&-2end{vmatrix}=4c-3c=c;$

$Delta_2=begin{vmatrix}3&-2c\5&-3cend{vmatrix}=-9c+10c=c;$

$x_1=frac{Delta_1}{Delta}=frac{c}{-1}=-c;$ $x_2=frac{Delta_2}{Delta}=frac{c}{-1}=-c.$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=begin{pmatrix}-c\-c\cend{pmatrix}.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin{pmatrix}-1\-1\1end{pmatrix}.$ 

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$

Ответ: $lambda=-1;$ $X=cbegin{pmatrix}-1\-1\1end{pmatrix}, cneq 0.$

 {jumi[*3]}

4.143. $A=begin{pmatrix}0&-1&0\1&1&-2\1&-1&0end{pmatrix}.$

Решение.

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение: 

$$A-lambda E=begin{pmatrix}0&-1&0\1&1&-2\1&-1&0end{pmatrix}-lambdabegin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}=$$ $$=begin{pmatrix}-lambda&-1&0\1&1-lambda&-2\1&-1&-lambdaend{pmatrix}.$$

$$det(A-lambda E)=begin{vmatrix}-lambda&-1&0\1&1-lambda&-2\1&-1&-lambdaend{vmatrix}=$$ $$=-lambda(1-lambda)(-lambda)+2-lambda+2lambda=$$ $$=-lambda^3+lambda^2+lambda+2=0.$$

Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.

$$-lambda^3+lambda^2+lambda+2=(lambda-2)(-lambda^2-lambda-1)=0Rightarrow lambda=2.$$

Собственный вектор для собственного числа $lambda=2$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A-2E)X=0, Xneq 0$$

$$(A-2E)X=begin{pmatrix}-2&-1&0\1&-1&-2\1&-1&-2end{pmatrix}begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3end{pmatrix}=$$ $$=begin{pmatrix}-2x_1-x_2\x_1-x_2-2x_3\x_1-x_2-2x_3end{pmatrix}=0.$$

Решим однородную систему уравнений:

$$left{begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\ x_1-x_2-2x_3=0\x_1-x_2-2x_3=0end{array}right.$$ 

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin{pmatrix}-2&-1&0\1&-1&-2\1&-1&-2end{pmatrix}$ методом окаймляющих миноров:    

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin{vmatrix}-2&-1\1&-1end{vmatrix}=2+1=3neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка:  $begin{vmatrix}-2&-1&0\1&-1&-2\1&-1&-2end{vmatrix}=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin{vmatrix}-2&-1\1&-1end{vmatrix}=3neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left{begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\ x_1-x_2-2с=0end{array}right.Rightarrowleft{begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\x_1-x_2=2cend{array}right.$$ 

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

$Delta=begin{vmatrix}-2&-1\1&-1end{vmatrix}=2+1=3;$

$Delta_1=begin{vmatrix}0&-1\2c&-1end{vmatrix}=2c;$

$Delta_2=begin{vmatrix}-2&0\1&2cend{vmatrix}=-4c;$

$x_1=frac{Delta_1}{Delta}=frac{2c}{3};$ $x_2=frac{Delta_2}{Delta}=frac{-4c}{3}.$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=begin{pmatrix}frac{2c}{3}\-frac{4c}{3}\cend{pmatrix}.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin{pmatrix}frac{2}{3}\-frac{4}{3}\1end{pmatrix}.$ 

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$ Переобозначив постоянную, $alpha=3c,$ получаем собственный вектор $X=alphabegin{pmatrix}2\-4\3end{pmatrix}, alphaneq 0.$

Ответ: $lambda=2;$ $X=alphabegin{pmatrix}2\-4\3end{pmatrix}, alphaneq 0.$

Домашнее задание.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

 4.135. $A=begin{pmatrix}0&1&0\-4&4&0\-2&1&2end{pmatrix}.$

Ответ: $lambda=2;$ $X=c_1begin{pmatrix}1\2\0end{pmatrix}+c_2begin{pmatrix}0\0\1end{pmatrix}, $c_1$ и $ c_2$ не равны одновременно нулю.

4.142. $A=begin{pmatrix}1&-3&1\3&-3&-1\3&-5&1end{pmatrix}.$

Ответ: $lambda_1=-1,$ $X(lambda_1)=cbegin{pmatrix}1\1\1end{pmatrix};$ $lambda_2=2,$ $X(lambda_2)=cbegin{pmatrix}4\1\7end{pmatrix};$ $lambda_3=-2,$ $X(lambda_3)=cbegin{pmatrix}2\3\3end{pmatrix}, cneq 0.$

  {jumi[*4]}

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Определение . Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит x в коллинеарный ему вектор, то есть A· x = λ· x . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору x .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов x ₁, x ₂, . x _m оператора A , отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы x ₁, x ₂, . x _m оператора A с попарно различными собственными числами λ₁, λ₂, …, λ_m линейно независимы.
3. Если собственные числа λ₁=λ₂= λ_m= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов x ₁, x ₂, . x _n, соответствующих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R_n. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе < ε _i> (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса — собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Пример №1 . Линейный оператор A действует в R₃ по закону A· x =(x₁-3x₂+4x₃, 4x₁-7x₂+8x₃, 6x₁-7x₂+7x₃), где x₁, x₂, . x_n — координаты вектора x в базисе e ₁=(1,0,0), e ₂=(0,1,0), e ₃=(0,0,1). Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
A· e ₁=(1,4,6)
A· e ₂=(-3,-7,-7)
A· e ₃=(4,8,7)
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1-λ)x₁-3x₂+4x₃=0
x₁-(7+λ)x₂+8x₃=0
x₁-7x₂+(7-λ)x₃=0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

Пример №2 . Дана матрица .
1. Доказать, что вектор x =(1,8,-1) является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.

Решение находим с помощью калькулятора.
1. Если A· x =λ· x , то x — собственный вектор

Определение . Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой a_i k =a_k i .

Замечания .

1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.

В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

Пусть — линейное преобразование n-мерного линейного пространства . Ненулевой вектор линейного пространства , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором линейного преобразования . Число в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению . Если пространство вещественное (комплексное), то собственное значение — действительное (комплексное) число.

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром .

Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования , если его образ коллинеарен прообразу . Другими словами, если — собственный вектор, то преобразование имеет одномерное инвариантное подпространство . Справедливо и обратное утверждение.

В самом деле, пусть собственный вектор соответствует некоторому собственному значению . Любой вектор из имеет вид , где — любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

Следовательно, для любого вектора , т.е. подпространство инвариантно относительно преобразования . Размерность подпространства равна единице, так как по определению.

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы n-го порядка называется ненулевой числовой столбец , удовлетворяющий условию (7.13):

Число в (9.6) называется собственным значением матрицы . При этом считалось, что собственное значение и числа принадлежат полю комплексных чисел.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Теорема 9.3 о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Пусть — линейное преобразование n-мерного линейного пространства с базисом . Тогда собственное значение и координатный столбец собственного вектора преобразования являются собственным значением и собственным вектором матрицы этого преобразования, определенной относительно базиса , т.е.

Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец и число являются собственным вектором и собственным значением матрицы , причем числа принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство , то вектор и число являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования с матрицей в базисе .

В самом деле, условие (9.5) в координатной форме имеет вид (9.6), что совпадает с определением (7.13) собственного вектора матрицы. Наоборот, из равенства (9.6) следует равенство (9.5) при условии, что векторы и определены, т.е. числа принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство.

Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения , где — характеристический многочлен матрицы . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.

Характеристическим многочленом линейного преобразования n-мерного линейного пространства называется характеристический многочлен матрицы этого преобразования, найденной относительно любого базиса пространства .

Уравнение называется характеристическим уравнением линейного преобразования .

Преобразование называется характеристическим для линейного преобразования .

1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от базиса, в котором найдена матрица преобразования.

В самом деле, матрицы и линейного преобразования в базисах и являются, согласно (9.4), подобными: , где — матрица перехода от базиса к базису . Как показано ранее, характеристические многочлены подобных матриц совпадают (см. свойство 3). Поэтому для характеристического многочлена преобразования можно использовать обозначение , не указывая матрицу этого преобразования.

2. Из теоремы 9.3 следует, что любой комплексный (действительный, рациональный) корень характеристического уравнения является собственным значением линейного преобразования линейного пространства , определенного над полем комплексных (действительных, рациональных) чисел.

3. Из теоремы 9.3 следует, что любое линейное преобразование комплексного линейного пространства имеет одномерное инвариантное подпространство, так как это преобразование имеет собственное значение (см. пункт 2), а следовательно, и собственные векторы. Таким подпространством является, например, линейная оболочка любого собственного вектора. У преобразования вещественного линейного пространства одномерных инвариантных подпространств может и не быть, если все корни характеристического уравнения комплексные (но не действительные).

Теорема 9.4 об инвариантных подпространствах линейного оператора вещественного пространства. У всякого линейного преобразования вещественного линейного пространства существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Действительно, составим матрицу линейного преобразования n-мерного вещественного линейного пространства в произвольном базисе . Элементы этой матрицы — действительные числа. Следовательно, характеристический многочлен — это многочлен степени с действительными коэффициентами. Согласно следствиям 3, 4 основной теоремы алгебры, такой многочлен может иметь действительные корни и пары комплексных сопряженных корней.

Если — действительный корень характеристического уравнения, то и соответствующий собственный вектор матрицы также действительный. Поэтому он определяет собственный вектор линейного преобразования (см. теорему 9.3). В этом случае существует одномерное инвариантное относительно подпространство (см. геометрический смысл собственных векторов).

Если — пара комплексных сопряженных корней , то собственный вектор матрицы также с комплексными элементами: . Его можно представить в виде , где — действительные столбцы. Равенство (9.6) при этом будет иметь вид

Выделяя действительную и мнимую части, получаем систему

Покажем, что столбцы и линейно независимы. Рассмотрим два случая. Если , то из первого уравнения (9.7) следует, что , так как . Тогда , что противоречит условию . Предположим, что и столбцы и пропорциональны, т.е. существует такое действительное число , что . Тогда из системы (9.7) получаем Прибавляя ко второму уравнению первое, умноженное на , приходим к равенству . Так как , то выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е. . Поскольку , то . Этого не может быть, так как — действительное число. Получили противоречие. Таким образом, столбцы и линейно независимы.

Рассмотрим подпространство , где . Это подпространство двумерное, так как векторы линейно независимы (как показано выше, их координатные столбцы линейно независимы). Из (9.7) следует, что т.е. образ любого вектора, принадлежащего , также принадлежит . Следовательно, — двумерное подпространство, инвариантное относительно преобразования , что и требовалось доказать.

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования вещественного линейного пространства следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать произвольный базис линейного пространства и найти в этом базисе матрицу преобразования .

2. Составить характеристический многочлен преобразования .

3. Найти все различные действительные корни характеристического уравнения . Комплексные (но не действительные) корни характеристического уравнения следует отбросить (см. пункт 2. замечаний 9.4).

4. Для корня найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений , где . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования , отвечающие собственному значению

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образовать ненулевые линейные комбинации

где — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений линейного преобразования .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования комплексного линейного пространства нужно в пункте 3 определить все корни характеристического уравнения и, не отбрасывая комплексные корни, выполнить для них пункты 4,5.

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

1. Для нулевого преобразования любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим нулевому собственному значению , так как .

2. Для тождественного преобразования любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим единичному собственному значению , так как .

3. Для центральной симметрии любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как .

4. Для гомотетии любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению (коэффициенту гомотетии), так как .

5. Для поворота плоскости (при ) собственных векторов нет, так как при повороте на угол, не кратный , образ каждого ненулевого вектора неколлинеарен прообразу. Здесь рассматривается поворот вещественной плоскости, т.е. двумерного векторного пространства над полем действительных чисел.

6. Для оператора дифференцирования любой ненулевой многочлен нулевой степени (не равный тождественно нулю) является собственным вектором, соответствующим нулевому собственному значению , так как . Любой многочлен ненулевой степени не является собственным вектором, так как многочлен не пропорционален своей производной: , поскольку они имеют разные степени.

7. Рассмотрим оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как , а любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как . Другие векторы не являются собственными, так как равенство возможно либо при , либо при .

8. Рассмотрим оператор отражения на подпространство параллельно подпространству . Здесь , для . Для этого оператора любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как , а любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как . Другие векторы не являются собственными, так как равенство возможно либо при , либо при .

9. В пространстве радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , рассмотрим поворот на угол , вокруг оси , заданной радиус-вектором . Любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору , является собственным, отвечающим собственному значению . Других собственных векторов у этого преобразования нет.

Пример 9.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования , преобразующего пространство тригонометрических многочленов (частоты ):

а) с действительными коэффициентами ;

б) с комплексными коэффициентами .

Решение. 1. Выберем стандартный базис и составим в этом базисе матрицу оператора

2. Составим характеристический многочлен преобразования .

3. Характеристическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни . Действительных корней нет, поэтому преобразование вещественного пространства (случай (а)) не имеет собственных значений, а следовательно, и собственных векторов. Преобразование комплексного пространства (случай (б)) имеет комплексные собственные значения .

4(1). Для корня находим фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, умножая первое уравнение на и вычитая его из второго уравнения:

Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем , т.е. .

5(1). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образуют ненулевые функции, пропорциональные .

4(2). Для корня аналогично находим фундаментальную систему (состоящую из одного вектора) решений однородной системы уравнений

5(2). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образуют ненулевые функции, пропорциональные .

Найти собственные векторы дифференцирование

Найдем такие вектора (называются собственными векторами) v
и такие числа — значения (называются собственными значениями) l
матрицы A, для v, l и A выполняется:
A*v = l*v.

Также вычисляется кратность собственных значений и находит характеристическое уравнение матрицы.

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: