Как найти соотношение оснований треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Треугольники общего вида

Треугольники общего вида.

Основные свойства треугольников:

Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
В равностороннем треугольнике все углы по $60°$.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Биссектриса — это линия, которая делит угол пополам.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)

4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.

5. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен: $r=/<2>$ , где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$<1>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<√3>/<2>$
$cosα$	$<√3>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<1>/<2>$
$tgα$	$<√3>/<3>$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$<√3>/<3>$

Тригонометрические тождества:

1. Основное тригонометрическое тождество:

2. Связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла:

3. Связь между котангенсом и синусом одного и того же угла:

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A=<4>/<5>$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

источники:

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

http://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-ravnobedrennyj-treugolnik

Источник

Соотношения в треугольнике

228. В этой главе мы будем главным образом понимать под обозначениями отрезков AB, AC и т. д. выражающие их числа.

Мы знаем (п. 226), что если даны геометрически два отрезка a и b, то мы можем построить средний пропорциональный между ними. Пусть теперь отрезки даны не геометрически, а числами, т. е. под a и b будем понимать числа, выражающие 2 данных отрезка. Тогда нахождение среднего пропорционального отрезка сведется к нахождению числа x из пропорции a/x = x/b, где a, b и x числа. Из этой пропорции имеем:

x² = ab
x = √ab

229. Пусть имеем прямоугольный треугольник ABC (чер. 224).

Опустим из вершины его прямого угла (∠B прямой) перпендикуляр BD на гипотенузу AC. Тогда из п. 225 мы знаем:

1) AC/AB = AB/AD и 2) AC/BC = BC/DC.

Отсюда мы получаем:

AB² = AC · AD и BC² = AC · DC.

Сложив по частям полученные равенства, получим:

AB² + BC² = AC · AD + AC · DC = AC(AD + DC).

т. е. квадрат числа, выражающего гипотенузу, равен сумме квадратов чисел, выражающих катеты прямоугольного треугольника.

Сокращенно говорят: Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Если мы дадим полученной формуле геометрическое толкование, то получим уже известную нам теорему Пифагора (п. 161):

квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Из уравнения AB² + BC² = AC² иногда приходится находить катет прямоугольного треугольника, по гипотенузе и другому катету. Получим, напр.:

AB² = AC² – BC² и, следов.,

230. Найденное числовое соотношение между сторонами прямоугольного треугольника позволяет решать множество вычислительных задач. Решим некоторые из них:

1. Вычислить площадь равностороннего треугольника по данной его стороне.

Пусть ∆ABC (чер. 225) равносторонний и каждая его сторона выражается числом a (AB = BC = AC = a). Для вычисления площади этого треугольника надо узнать сначала его высоту BD, которую мы назовем чрез h. Мы знаем, что в равностороннем треугольнике высота BD делит основание AC пополам, т. е. AD = DC = a/2. Поэтому из прямоугольного треугольника DBC имеем:

BD² = BC² – DC²,

или

h² = a² – a²/4 = 3a²/4 (выполняем вычитание).

Отсюда имеем:

(выносим множитель из под корня).

Следовательно, называя число, выражающее площадь нашего треугольника, чрез Q и зная, что площадь ∆ABC = (AC · BD)/2, находим:

Мы можем смотреть на эту формулу, как на один из способов измерения площади равностороннего треугольника: надо измерить его сторону в линейных единицах, возвести найденное число в квадрат, умножить полученное число на √3 и разделить на 4 — получим выражение площади в квадратных (соответствующих) единицах.
2. Стороны треугольника равны 10, 17 и 21 лин. един. Вычислить его площадь.

Опустим высоту h в нашем треугольнике (чер. 226) на большую сторону — она непременно пройдет внутри треугольника, так как в треугольнике тупой угол может быть расположен только против большей стороны. Тогда большая сторона, = 21, разделится на 2 отрезка, один из которых обозначим чрез x (см. чертеж) — тогда другой = 21 – x. Получим два прямоугольных треугольника, из которых имеем:

h² = 10² – x² и h² = 17² – (21 – x)²

Так как левые части этих уравнений одинаковы, то

10² – x² = 17² – (21 – x)²

Выполняя действия получим:

10² – x² = 289 – 441 + 42x – x²

Упрощая это уравнение, найдем:

42x = 252,

откуда

x = 6

Тогда из уравнения h² = 10² – x², получим:

h² = 10² – 6² = 64

и, следовательно,

h = √64 = 8

Тогда искомая площадь найдется:

Q = (21 · 8)/2 квад. един. = 84 квад. един.

3. Можно решить общую задачу:

как вычислить площадь треугольника по его сторонам?

Пусть стороны треугольника ABC выражены числами BC = a, AC = b и AB = c (чер. 227). Положим, что AC есть большая сторона; тогда высота BD пойдет внутри ∆ABC. Назовем: BD = h, DC = x и тогда AD = b – x.

Из ∆BDC имеем: h² = a² – x².

Из ∆ABD имеем: h² = c² – (b – x)²,

откуда a² – x² = c² – (b – x)².

Решая это уравнение, последовательно получаем:

2bx = a² + b² – c² и x = (a² + b² – c²)/2b.

Далее, подставляя это выражение в уравнение h² = a² – x², найдем

(Последнее написано на том основании, что числителя 4a²b² – (a² + b² – c²)² можно рассматривать, как равность квадратов, которую разлагаем на произведение суммы на разность).

Или

Эту формулу преобразовывают, вводя периметр треугольника, который обозначим чрез 2p, т. е.

a + b + c = 2p

Вычитая по 2c из обеих частей равенства, получим:

a + b + c – 2c = 2p – 2c или a + b – c = 2(p – c):

Также найдем:

c + a – b = 2(p – b) и c – a + b = 2(p – a).

Тогда получим:

(p выражает полупериметр треугольника).
Этою формулою можно пользоваться для вычисления площади треугольника по трем его сторонам.

231. Упражнения.

Основание равнобедренного треугольника равно 10 дм., а его площадь = 60 кв. дм. Найти (вычислить) его периметр.
Параллельные стороны равнобочной трапеции равны 16 и 40 дм., а каждая из непараллельных сторон = 37 дм. Вычислить его площадь.
Стороны трапеции равны: параллельные 15 и 36 дм., а непараллельные 13 и 20 дм. Вычислить их площадь.
Сторона ромба и его меньшая диагональ одинаковы. Найти формулу для измерения площади такого ромба по его стороне.
Катеты прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 8 дм. Найти отрезок гипотенузы, заключенный между биссектором прямого угла треугольника и высотою, опущенною из вершины прямого угла.
Биссектор прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на 2 отрезка, равные соответственно лин. един. Вычислить его площадь.
Найти сторону квадрата, равновеликого равнобедренному треугольнику, боковая сторона которого = 12 ½ лин. един., а высота относится к основанию, как 2 : 3.
Стороны параллелограмма равны a и b и один из его углов = 45°. Найти формулу для его площади.
Угол параллелограмма = 30°; выразить его площадь чрез его стороны (a и b).

232. В п. 229 мы нашли зависимость между сторонами прямоугольного треугольника. Можно найти подобную же зависимость для сторон (с присоединением еще одного отрезка) косоугольного треугольника.

Пусть имеем сначала ∆ABC (чер. 228) такой, чтобы ∠A был острый. Постараемся найти выражение для квадрата стороны BC, лежащей против этого острого угла (подобно тому, как в п. 229 нашли выражение для квадрата гипотенузы).

Построив BD ⊥ AC, получим из прямоугольного треугольника BDC:

BC² = BD² + DC²

Заменим BD2, определяя его из ABD, откуда имеем:

BD² = AB² – AD²,

а отрезок DC заменим чрез AC – AD (очевидно, что DC = AC – AD). Тогда получим:

BC² = AB² – AD² + (AC – AD)² = AB² – AD² + AC² – 2AC · AD + AD²

Выполнив приведение подобных членов, найдем:

BC² = AB² + AC² – 2AC · AD.

Эта формула читается: квадрат стороны треугольника, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух его других сторон, минус удвоенное произведение одной из этих сторон на ее отрезок от вершины острого угла до высоты.

233. Пусть теперь ∠A и ∆ABC (чер. 229) тупой. Найдем выражение для квадрата стороны BC, лежащей против тупого угла.

Построив высоту BD — она теперь расположится несколько иначе: на 228 где ∠A острый, точки D и C располагаются по одну сторону от A, а здесь, где ∠A тупой, точки D и C расположатся по разные стороны от A. Тогда из прямоугольного ∆BDC получим:

BC² = BD² + DC²

Мы можем BD2 заменить, определяя его из прямоугольного ∆BDA:

BD² = AB² – AD²,

а отрезок DC = AC + AD, что очевидно. Заменяя, получим:

BC² = AB² – AD² + (AC + AD)² = AB² – AD² + AC² + 2AC · AD + AD²

Выполняя приведение подобных членов найдем:

BC² = AB² + AC² + 2AC · AD,

т. е. квадрат стороны треугольника, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух его других сторон, плюс удвоенное произведение одной из них на ее отрезок от вершины тупого угла до высоты.
Эта формула, а равно и формула п. 232, допускают геометрическое истолкование, которое легко найти.

234. Пользуясь свойствами пп. 229, 232, 233, мы можем, если нам даны стороны треугольника в числах, узнать, есть ли у этого треугольника прямой или тупой угол.

Прямой или тупой угол в треугольнике может быть расположен лишь против большей стороны, каков же угол против нее, легко узнать: этот угол острый, прямой или тупой, смотря по тому, будет ли квадрат большей стороны меньше, равен или больше суммы квадратов двух других сторон.

Узнать, имеется ли прямой или тупой угол в следующих треугольниках, определяемых своими сторонами:

1) 15 дм., 13 дм. и 14 дм.; 2) 20, 29 и 21; 3) 11, 8 и 13; 4) 7, 11 и 15.

235. Пусть имеем параллелограмм ABCD (чер. 230); построим его диагонали AC и BD и его высоты BK ⊥ AD и CL ⊥ AD.

Тогда, если ∠A (∠BAD) острый, то ∠D (∠ADC) непременно тупой (ибо их сумма = 2d). Из ∆ABD, где ∠A считаем острым, имеем:

BD² = AB² + AD² – 2AD · AK,

а из ∆ACD, где ∠D тупой, имеем:

AC² = AD² + CD² + 2AD · DL.

Заменим в последней формуле отрезок AD равным ему отрезком BC и DL равным ему AK (DL = AK, ибо ∆ABK = ∆DCL, в чем легко убедиться). Тогда получим:

AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.

Сложив выражение для BD2 с последним выражением для AC², найдем:

BD² + AC² = AB² + AD² + BC² + CD²,

так как члены –2AD · AK и +2AD · AK взаимно уничтожаются. Полученное равенство можем прочитать:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

236. Вычисление медианы и биссектора треугольника по его сторонам. Пусть в треугольнике ABC (чер. 231) построена медиана BM (т. е. AM = MC). Зная стороны ∆ABC: BC = a, AC = b и AB = c, вычислить медиану BM.

Продолжим BM и отложим отрезок MD = BM. Соединив D с A и D с C, получим параллелограмм ABCD (выяснить это легко, так как ∆AMD = ∆BMC и ∆AMB = ∆DMC).

Называя медиану BM чрез m, получим BD = 2m и тогда, пользуясь предыдущим п., имеем:

237. Вычисление радиуса, описанного около треугольника круга. Пусть около ∆ABC (чер. 233) описан круг O. Построим диаметр круга BD, хорду AD и высоту треугольника BH.

Тогда ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d — угол A прямой, потому что он вписанный, опирающийся на диаметр BD и ∠D = ∠C, как вписанные, опирающиеся на одну дугу AB). Поэтому имеем:

BD/BC = AB/BH,

или, называя радиус OB чрез R, высоту BH чрез h и стороны AB и BC, как и раньше, соответственно чрез c и a:

2R/a = c/h,

откуда

R = ac/2h,

но площадь ∆ABC = Q = bh/2, откуда h = 2Q/b.

Следовательно, R = (abc) / (4Q).

Мы умеем (п. 230 зад. 3) вычислять площадь треугольника Q по его сторонам. Отсюда можем вычислить R по трем сторонам треугольника.

238. Вычисление радиуса вписанного в треугольник круга. Впишем в ∆ABC, стороны которого даны (чер. 234), круг O. Соединив его центр O с вершинами треугольника и с точками касания D, E и F сторон к кругу, найдем, что радиусы круга OD, OE и OF служат высотами треугольников BOC, COA и AOB.

Называя радиус вписанного круга чрез r, имеем:

Источник

Как найти основание треугольника

Часто в задачах по планиметрии и тригонометрии требуется найти основание треугольника. Для этой операции существует даже несколько методов.

Вам понадобится

Калькулятор

Инструкция

Строгого определения понятия «основание треугольника» в геометрии не существует. Как правило, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной вершины проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Поэтому выберем из всего многообразия примеров, известного в математике под понятием «решение треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.
Если известны высота и площадь треугольника, то для того чтобы найти основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь любого треугольника можно посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты:
S=1/2*c*h, где:
S — площадь треугольника,

с — длина его основания,

h — длина высоты треугольника.
Из этой формулы находим:
с=2*S/h.
Например, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты — 10 см, то основание треугольника будет:
с=2*20/10=4 (см).

Если известны боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=Р-2*а, где:
Р — периметр треугольника,

а — длина боковой стороны треугольника,

с — длина его основания.

Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=а*√(2*(1-cosC)), где:
C — величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

а — длина боковой стороны треугольника.

с — длина его основания.
(Формула является прямым следствием теоремы косинусов)
Имеется и более компактная запись этой формулы:
с=2*а*sin(B/2)

Если известны боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей легко запоминающейся формуле:
с=2*а*cosA
A — величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,

а — длина боковой стороны треугольника.

с — длина его основания.
Эта формула является следствием теоремы о проекциях.

Если известен радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=2*R*sinC, где:
C — величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

R — радиус описанной вокруг треугольника окружности,

с — длина его основания.
Эта формула является прямым следствием теоремы синусов.

Обратите внимание

Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как найти основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Так как основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала выберем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, чтобы он на ней стоял, и будем искать её длину.

Полезный совет

Как найти основание равнобедренного треугольника? Смотря, что дано в данном треугольнике. Если в равнобедренном треугольнике дана сторона и угол, который находится напротив основания, то можете провести из этого угла высоту треугольника. В результате, по свойству равностороннего треугольника вы получите два равных прямоугольника.

Источники:

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Как найти основание треугольника

Для того, чтобы найти основание треугольника, можно воспользоваться одной из формул, обязательно должны быть заданы для этой формулы площадь и высота. Вообще, в геометрии и тригонометрии нет четкого обозначения того, какая именно сторона является основанием, так как его можно перевернуть на любую из них. Чтобы найти основание треугольника, его для начала нужно обозначить, а именно выделить ту сторону, на противоположном от которой углу расположена высота. Это перпендикуляр по отношению к основанию, и в зависимости от типа треугольника, он может делить основание пополам.

Есть ряд основных формул, по которым можно найти основание треугольника, в том числе и равнобедренного. Основная формула выглядит так:

S – площадь треугольника;
С – длина основания треугольника, которую надо найти;
h – высота треугольника.

Исходя из тех данных, которые у нас есть, можно найти основание треугольника, если дана площадь и высота.

Как найти основание равнобедренного треугольника

По этой же формуле можно найти основание равнобедренного треугольника. Если известна одна сторона и значение угла напротив основания, то можно вывести по формуле высоту треугольника и потом найти основание по общей формуле.

Как найти основание равностороннего треугольника через косинус

Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла, можно найти основание треугольника через формулу, где используется значение косинуса.

С – величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника;
А – длина боковой стороны треугольника;
с – длина основания.

Эта формула для того, чтобы найти основание треугольника, основана на теореме косинусов и имеет более известную и более простую для применения формулу с=2*а*sin(B/2).

А еще интересно знать, стоит ли покупать евро, так как валюта постоянно дорожает.

Как найти основание треугольника

с — длина его основания,

а — длина боковой стороны треугольника,

с — длина его основания.

а — длина боковой стороны треугольника.

с — длина его основания.
Эта формула является следствием теоремы о проекциях.

R — радиус описанной вокруг треугольника окружности,

с — длина его основания.
Эта формула является прямым следствием теоремы синусов.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Как вычислить основание равнобедренного треугольника
Как найти основание у равнобедренного треугольника
Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если дано основание

Основание треугольника

Основание треугольника – это такая же сторона, как и две других. Основание редко имеет особое значение, но из-за визуальной обособленности от других сторон, ученики часто путаются и допускают ошибки. Разберем подробнее, как сторона треугольника может считаться основанием, и в каких случаях это действительно имеет значение

Стороны треугольника

У треугольника всегда три стороны. Одна из них считается основанием. Как правило, основание выделяется только построением, т.е. нижняя сторона треугольника, и приниматься за основание.

Иногда в решении указывают углы при основании произвольного треугольника. Это не совсем верно, поскольку в произвольном треугольнике все углы равнозначны, а значит не имеет смысла выделять углы при основании. Выделяются только углы при основании равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Углы произвольного треугольника.

Нужно учитывать, что любой произвольный треугольник можно условно перевернуть, т.е. перечертить фигуру таким образом, чтобы основанием стала другая сторона. По этому разделять понятие боковых сторон и основания у произвольного треугольника не имеет смысла – это только добавит путаницы в решение задачи.

Уравнение основания треугольника, так же, как и уравнение любой из сторон треугольника, является уравнением прямой линии.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – это единственный подвид треугольника, где основание имеет реальное практическое значение. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны между собой. Равные стороны зовутся боковыми, а третья сторона считается основанием.

Существует две теоремы об основании равнобедренного треугольника. Это:

Теорема о равенстве углов: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема о равенстве медианы, биссектрисы и высоты, проведенной к основанию. Теорема особенно подчеркивает, что из трех возможных медиан, высот и биссектрис, только проведенные к основанию окажутся равными между собой.

В равнобедренном треугольнике основание определяется значением сторон: равные стороны – боковые, неравная – основание.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник.

По ходу решения задачи может получится так, что основание окажется сбоку, не нужно этого пугаться. Стоит или привыкнуть к такому построению равнобедренного треугольника или каждый раз перечерчивать чертеж, разворачивая треугольник в нужную сторону.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – это частный случай равнобедренного. У равнобедренного треугольника равны две стороны, а у равностороннего все три. Но именно из-за этого свойства значение основания равнобедренного треугольника теряется.

В равностороннем треугольнике какую сторону не выбери: две другие всегда будут равны между собой, а значит любая сторона может считаться основанием.

Рис. 3. Равносторонний треугольник.

Существует формула, где часто упоминается слово основание. Это формула площади, которая равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведенную к этому основанию. Но в качестве основания может быть принята любая сторона, главное, чтобы именно на нее падала высота. Поэтому и в этом случае выбор стороны треугольника, которую можно считать основанием, некритичен.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое основание треугольника. Поговорили о ситуациях, когда стоит выделять основание среди других сторон треугольника, а когда это окажется напрасной тратой времени. Обсудили значимость основания равнобедренного треугольника.

Источник

О многоугольнике с тремя сторонами

Соотношение углов и сторон в треугольнике интуитивно можно понять, если хорошо представлять эту фигуру. Речь идет о плоском объекте, который состоит всего из трех отрезков. Они расположены таким образом, что начало первого совпадает с концом последнего, то есть они пересекаются. Каждый отрезок представляет собой независимую сторону фигуры. Точка пересечения является вершиной, а соответствующий ей угол является внутренним.

Таким образом, два ключевых элемента образуют рассматриваемую фигуру:

вершина;
сторона.

И вершин, и сторон в любом треугольнике по три, поэтому его принято обозначать большими латинскими буквами, например, ABC или MNK. Малые буквы резервируют для обозначения длин сторон, например, a, b, c.

На первый взгляд может показаться, что рассматриваемый объект является несложным, и в нем нечего изучать. Действительно, он является самым простым по построению многоугольником, однако, он обладает большим количеством свойств, количественное и качественное знание которых требуют понимания многих теорем.

Существование фигуры

Пусть имеется три отрезка, и необходимо понять, возможно ли из них построить треугольник. Это можно сделать с помощью одного простого правила, которое можно сформулировать следующим образом: любая сторона треугольника всегда меньше суммы длин двух других.

Знание этого правила является очень важным и эффективным инструментом при решении задач. Например, из отрезков с условными длинами 1, 2 и 4 построить треугольник невозможно, а из 2, 3, 4 это сделать можно.

Помимо соотношения длин сторон существует также еще одна теорема, которая гласит, что во всяком треугольнике сумма его внутренних углов всегда равна 180 °. Благодаря знанию этой теоремы можно все рассматриваемые фигуры разделить на три типа:

Остроугольные. В них все три угловые меры меньше 90 °. При этом возможны случаи взаимного их равенства, то есть каждый будет составлять 60 °. Такие треугольники называются равносторонними или правильными. Равны могут быть между собой также два угла, это будет уже равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны имеют одинаковую длину.
Тупоугольные. Поскольку сумма составляет 180 °, то по определению в рассматриваемом многоугольнике не может быть больше одного тупого угла. Тупоугольные фигуры могут иметь либо произвольный тип, когда все их отрезки различаются, либо являться равнобедренными.
Прямоугольные. Это специальный тип треугольников, о котором известно многое, и который разграничивает два предыдущих типа. В них один угол равен 90 °, а два других являются острыми.

Полноты ради следует сказать о вырожденных фигурах. К ним относятся такие многоугольники, у которых тупой стремится к 180 °. Несложно представить, что в этом случае два других будут обращаться в ноль, а сумма противолежащих им сторон окажется равной длине отрезка, расположенного напротив тупого угла. На плоскости вырожденный треугольник представляет отрезок, его площадь стремится к нулю.

Важные линии

Несмотря на всю простоту построения треугольника, при решении задач могут понадобиться дополнительные отрезки. Внутри фигуры существует целая гамма типов этих отрезков, наиболее важными из них являются следующие:

Медиана — делящий на две равные по площади части исходный треугольник. Отрезок проводится из вершины к середине противоположной стороны.
Биссектриса. Ею называют отрезок, который на две половины делит угол при произвольной вершине.
Высота. Этот элемент проводится также из вершины, но по отношению к противоположной стороне он является перпендикуляром. Таким образом, высота делит исходную фигуру на два прямоугольных геометрических объекта, которые в общем случае между собой не равны.
Медиатриса — это серединный перпендикуляр, то есть он сочетает свойства медианы и высоты, однако, через вершину треугольника он может не проходить. Медиатрисами пользуются при построении описанной окружности.
Средняя линия — это отрезок, который посередине пересекает две стороны треугольника. Его длина всегда будет в два раза меньше стороны фигуры, которой он параллелен. Средняя линия приводит к созданию подобной исходной фигуры, которая в два раза меньше.

Для правильных, равнобедренных и прямоугольных треугольников некоторые из названных отрезков могут совпадать друг с другом, а также со сторонами фигуры. Например, в прямоугольном треугольнике две малые стороны (катеты) также являются высотами.

Соотношение отрезков и углов

Задачи на соотношение отрезков и угловых мер в рассматриваемой фигуре могут требовать либо качественный, либо количественный ответ. В первом случае следует провести определенное доказательство, опираясь на известные аксиомы и теоремы о сторонах треугольника и их следствия. Во втором же случае следует пользоваться формулами и выражениями, которые содержат тригонометрические функции. В действительности оба типа задач связаны между собой. Так, прежде чем использовать какую-либо формулу, следует доказать возможность ее применения в конкретной ситуации.

Большие и меньшие длины

Основная теорема о соотношении между элементами в рассматриваемом типе многоугольников гласит, что против большего угла лежит большая сторона. Ее доказательство провести несложно, если построить треугольник, например, тупоугольный. Из тупого провести отрезок к противоположной стороне таким образом, чтобы он образовывал новый равнобедренный треугольник внутри исходного. После этого следует воспользоваться тем свойством, что внешний угол треугольника всегда больше внутреннего.

Следуя условию равенства углов в построенном равнобедренном треугольнике, легко показать, что против тупого всегда находится самый длинный отрезок.

Обратно эта теорема также справедлива, то есть против большей стороны треугольника лежит больший угол. Ее справедливость понятна каждому школьнику на интуитивном уровне, а доказательство заключается в переборе возможных трех вариантов соотношения между отрезками (больше, меньше, равно) и в привлечении уже доказанной теоремы.

Рассмотренные теоремы приводят к двум важным следствиям:

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. Следствие актуально для равносторонних и равнобедренных фигур.
Гипотенуза в треугольнике с прямым углом является самой длинной стороной, поскольку она лежит напротив самого большого угла.

Рассмотренные теоремы и их следствия активно используются при изучении подобных фигур. Поскольку напротив равных углов двух треугольников лежат соответствующие им длины отрезков, то последние будут попарно относиться друг к другу с определенным коэффициентом подобия.

Теоремы косинусов и синусов

Количественной характеристикой соотношения сторон и углов являются знаменитые формулы, содержащие зависимость длин отрезков и угловых мер. Первая из них называется теоремой косинусов. Соответствующая формула имеет вид:

Здесь величины a, b, c — это длины, C — угол напротив стороны c. Формула позволяет вычислить третью сторону по известным двум другим и углу между ними. Однако, возможности выражения шире, с его помощью можно посчитать всякий внутренний угол фигуры, если известны три ее стороны.

Следующая по счету, но не по важности теорема синусов. Ее математическое выражение записывается так:

Эти равенства говорят о том, что отношение стороны к синусу противоположного ей угла является постоянной характеристикой конкретного треугольника. Зная связь двух углов и стороны или двух отрезков и одного угла можно рассчитать все остальные характеристики фигуры. Следует запомнить, что для любого рассматриваемого типа многоугольников однозначное вычисление всех его свойств требует знания минимум трех элементов (кроме трех углов).

Прямоугольный треугольник

Этот особый случай следует рассмотреть подробнее. Каждый школьник знает знаменитую теорему, позволяющую сравнить соответствие отрезков друг другу в этом типе фигуры. Она гласит, что сумма квадратов катетов соответствует квадрату гипотенузы, и называется пифагоровой теоремой, то есть можно записать:

c² = a² + b².

Работать с прямоугольными треугольниками удобно по одной простой причине: через их геометрические параметры вводятся в математику тригонометрические функции. Последние легко использовать при вычислении сторон и углов фигуры. Например, если фигура является не только прямоугольной, но и равнобедренной, то ее катеты равны, а углы напротив них составляют по 45 °. При этом любой из катетов всегда в 2^0,5 раза меньше гипотенузы:

sin (45 °) = a/c = ½^0,5.

Это соотношение можно получить также из теоремы Пифагора.

Другая ситуация, когда один из острых углов равен 30 °. Для лежащего напротив него катета a можно записать следующее выражение:

sin (30 °) = ½ = a/c.

Иными словами, лежащий против 30 ° катет составляет ровно половину длины гипотенузы.

Таким образом, в любом треугольнике существует прямая пропорциональность между длиной стороны и противолежащим ей углом. Для количественного решения задач по геометрии с этой фигурой следует пользоваться выражениями синусов, косинусов и теоремой Пифагора.

Источник