Как найти соотношение площадей треугольников в треугольнике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Основные сведения об отношении площадей подобных треугольников

Понятие подобия треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов пропорциональны.

A B / K L = B C / L M = A C / K M = k , ∠ A = ∠ K , ∠ B = ∠ L , ∠ C = ∠ M ⇒ Δ A B C

Отношение длин подобных треугольников называют коэффициентом подобия (k).

Также пропорциональные стороны подобных треугольников могут быть названы сходственными сторонами.

В подобных треугольниках, кроме сторон, подобны и другие величины: биссектрисы, медианы, высоты и т.д.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Формулировка теоремы: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

В геометрии существует три признака подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение длин соответствующих элементов подобных элементов равно коэффициенту подобия.

Доказательство теоремы

Докажем теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: изобразим подобные треугольники Δ A B C

Из подобия треугольников по определению следует: A B / K L = B C / L M = A C / K M = k .

Воспользуемся следующей теоремой: если у двух треугольников равны углы (∠A=∠K), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы. Запишем в виде формулы:

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

Площади подобных треугольников ΔABC и ΔA1B1C1 равны соответственно 200 см² и 50 см². Сторона A1B1=5 см. Найдите сходственную ей сторону AB треугольника ABC.

По теореме об отношении площадей подобных треугольников: S a b c / S a 1 b 1 c 1 = k ² ⇒ 200 / 50 = k ² ⇒ k = 2 .

A B / A 1 B 1 = 2 , A B = A 1 B 1 * 2 , A B = 5 * 2 = 10 с м .

ΔABC и ΔA1B1C1 — подобны. Сходственные стороны AC и A1C1 соответственно равны 13 см и 0,1 м.

Найдите отношение периметров ΔABC и ΔA1B1C1.

A 1 C 1 = 0 , 1 м = 10 с м

A C / A 1 C 1 = 13 / 10 = 1 , 3 ⇒ P a b c / P a 1 b 1 c 1 = 1 , 3

Задача для самостоятельной работы

Треугольники Δ A B C

Δ K L M подобны. Площадь ΔABC равна 500 см², площадь ΔKLM равна 125 см². Сторона AC равна 18 см, найти сходственную ей сторону KM.

Проверьте, насколько верный или неверный ваш ответ.

Советуем составить краткий конспект для подготовки к уроку.

Отношение площадей подобных треугольников

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы введем понятие подобных треугольников и рассмотрим теорему об отношении их площадей. Затем будет рассмотрен ряд примеров на применение этой теоремы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Измерение»

источники:

http://wika.tutoronline.ru/geometriya/class/8/osnovnye-svedeniya-ob-otnoshenii-ploshhadej-podobnyh-treugolnikov

http://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/otnoshenie-ploschadey-podobnyh-treugolnikov

Источник

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Подобные треугольники
Отношение площадей подобных треугольников

Теорема

Доказательство

Дано: АВСА₁В₁С₁, — коэффициент подобия, и — площади АВС и А₁В₁С₁.

Доказать: .

Доказательство:

1. АВСА₁В₁С₁, следовательно, А =А₁, значит, (т.к. площади треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих равные углы). При этом, из подобия треугольников АВС и А₁В₁С₁ следует то, что , значит, и , тогда, .

Теорема доказана.

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 543,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 544,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 545,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 546,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 622,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 627,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1077,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1143,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1209*,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1308,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

План урока:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй и третий признаки подобия треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Пропорциональные отрезки

Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как

Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:

Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.

Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD

Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:

Если отношение отрезка AB к А₁В₁равно отношению отрезка СD к С₁D₁, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁. Например, пусть

Получается, AВ и CD пропорциональны А₁В₁ и С₁D₁. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.

Определение подобных треугольников

В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:

Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.

Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых соответственно равны углы:

Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁.

Можно дать такое определение подобных треугольников:

Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:

Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:

Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:

Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:

Задание. ∆AВС подобен ∆DEF. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:

Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:

Задание. ∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:

Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:

Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.

Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.

Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А₁В₁С₁, причем

Периметр ∆AВС можно вычислить так:

Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.

Первый признак подобия треугольников

Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.

Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).

Если прямые ВВ₁ и СС₁ (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ₁ и АС₁, то есть справедливо соотношение:

Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ₁ и АС₁. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть

Естественно, эта точка не будет совпадать с С₁. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С₁:

Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С₁Н:

Пусть эта прямая пересечет отрезок С₁Н в некоторой точке С₂, а сторону AВ в точке В₂. Ясно, что отрезки AВ и АВ₂ пропорциональны отрезкам АС и АС₂, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB₂ к AB равно 5/8, так как AB₂ состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС₂ к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:

Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С₁, то есть АН >C₁. Случай, когда АН <АС₁, рассматривается аналогично, и также получается противоречие. Эти противоречия означают, что на самом деле точка Н должна совпадать с С₁, то есть справедливо равенство

ч.т. д.

Теперь, доказав обобщенную теорему Фалеса, мы можем перейти к первому признаку подобия треугольников.

Действительно, пусть есть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых

Так как сумма углов у любого треуг-ка постоянна и составляет 180°, то должны быть одинаковы и третьи углы:

При таком наложении прямые ВС и В₁С₁ окажутся параллельными, так как соответственные углы ∠В₁С₁А и ∠ВСА одинаковы. Но параллельные прямые должны отсекать на сторонах угла пропорциональные отрезки, то есть

У ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ углы одинаковы, а лежащие напротив них стороны пропорциональны, следовательно, это подобные треуг-ки.

Задание. Прямая, параллельная стороне AВ ∆AВС, пересекает стороны ВС и АС в точках Е и Р. Известно, что ЕС = 2, ВЕ = 3, ЕР = 3,2. Какова длина AВ?

Решение. В данной задаче есть только два треуг-ка, ∆AВС и ∆РЕС. Докажем их подобие. У них есть общий∠С, а ∠СЕР = ∠СВА, ведь это односторонние углы при параллельных прямых ЕР и AВ. Отсюда следует, что ∆AВС∾∆РЕС. Значит, ∠А = ∠СРЕ.

Далее надо найти коэффициент подобия. Стороны СЕ и ВС лежат против равных углов∠А и ∠СРЕ, поэтому они сходственные.

Задание. По данным рисунка найдите длину КЕ:

Решение. На рисунке показано, что ∠ВСА = ∠СКЕ, а∠А = ∠Е = 90°. То есть у ∆AВС и ∆СКЕ есть два одинаковых угла, и, следовательно, они подобны. Сходственными будут являться стороны AВ и ЕС, с их помощью найдем коэффициент подобия:

Задание. Основания трапеции имеют длины 5 и 8 см. Длины ее боковых сторон составляют 3,6 и 3,9 см. Продолжения боковых сторон пересекаются в точке М. Определите расстояние от М до вершин меньшего основания.

Решение. Для начала выполним построение:

Отрезки ВС и АD параллельны, так как они являются основаниями трапеции. Отсюда получаем равенство соответственных углов:

Теперь посмотрим на ∆АМD и ∆ВМС. МЫ только что выяснили, что у них есть одинаковые углы (∠МВС и ∠МАD), а ∠М является общим для них. Тогда получаем, что эти треуг-ки подобны. Стороны ВС и AD будут сходственными, так как лежат против одного и того же ∠М, поэтому по их длине можно найти коэффициент подобия:

Для нахождения МВ обозначим его длину как х. Тогда отрезок АМ будет иметь длину х + 3,9. Но из подобия треуг-ков следует такое соотношение:

Подставив сюда значение k и выраженные через х длины АМ и МВ, получим уравнение:

МС можно найти таким же путем, обозначив его длину как у. Тогда отрезок МD будет равен у + 3,6, и можно составить уравнение:

Второй и третий признаки подобия треугольников

Существует ещё два признака подобия треуг-ков, которые в решении задач используются значительно реже. Они выводятся непосредственно из первого признака.

Докажем второй признак подобия. Пусть есть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, для которых выполняются соотношения:

Необходимо доказать, что они подобны. Для этого построим ещё один ∆AВС₂, который будет иметь общую сторону с ∆AВС, причем точку С₂ мы выберем так, что будут выполняться условия:

∆А₁В₁С₁ и ∆AВС₂ будут подобными, ведь у них одинаковы два угла. Значит, будет выполняться соотношение

Но тогда ∆AВС и ∆AВС₂ будут равными, ведь у них одинаковы две стороны и угол, образованный этими сторонами:

В итоге у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ оказываются два одинаковых угла, то есть они подобны друг другу

ч. т. д.

Задание. На стороне угла отмечены точки A и В так, что AВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отмечены точки С и D так, что AD = 8 cм и AF = 10 см. Подобны ли ∆АСD и ∆AFB?

Решение.

У рассматриваемых треуг-ков есть общий угол ∠А. Найдем отношение сторон, прилегающих к этому углу.

Отношения одинаковы, значит, треуг-ки подобны.

Примечание. В данном случае важно понимать, какие стороны надо делить друг на друга. У ∆АСD известны стороны АС и АD, равные 16 и 8 см. У ∆AFB известны AF и AB, которые составляют 10 и 5 см. Делить надо большую сторону одного треуг-ка на большую сторону другого треуг-ка, то есть 16 на 10. Потом же делим меньшие стороны, то есть 8 на 5.Если получили одно и тоже число, то это значит, что рассмотренные треуг-ки подобны, причем полученное число как раз и является коэффициентом подобия.

Рассмотрим третий признак подобия треуг-ков.

Докажем его. Пусть у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ пропорциональны их стороны:

Можно заметить, что ∆AВС₂ и ∆А₁В₁С₁ подобны, ведь у них совпадают два угла. Тогда верны соотношения:

Самая левая дробь в обоих случаях одинакова, а в других отличны лишь числители. Значит, эти числители одинаковы:

Но тогда у ∆AВС и ∆AВС₂совпадают все стороны, то есть эти треуг-ки равные. Следовательно. Так как ∆AВС₂ подобен ∆А₁В₁С₁, то и равный ему ∆AВС также подобен ∆А₁В₁С₁

ч. т. д.

Задание. Подобны ли ∆AВС и ∆DEF, если их стороны имеют длины:

Решение.

Для проверки достаточно просто поделить длины сторон друг на друга. При этом большую сторону одного треуг-ка будем делить на большую сторону другого, а меньшую – на меньшую. Если в результате отношение всех трех сторон будет одинаково, то можно утверждать, что треуг-ки подобны:

Все три раза мы получали число 2, именно оно и является коэффициентом подобия треуг-ков.

Отношение площадей подобных треугольников

Если треуг-ки подобны, то их стороны отличаются в k раз, где k– коэффициент подобия. А как соотносятся друг с другом длины их высот, медиан и других характерных отрезков. Несложно догадаться, что они также отличаются в k раз.

Докажем это на примере высот. Пусть есть подобные ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, причем их коэффициент подобия равен k:

Проведем в них высоты СН и С₁Н₁:

Теперь сравним ∆АСН и ∆А₁С₁Н₁. Из подобия ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ следует, что

Аналогично можно доказать, что в k раз будут отличаться длины медиан и биссектрис.

А каким будет отношение площадей подобных треугольников?Оказывается, что они отличаются уже в k²раз. Докажем это.

Пусть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН₁:

Запишем очевидные равенства:

В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в k²раз.

Задание. Известно, у ∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5. ∆DEF подобен ∆AВС, причем сторона DE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь ∆DEF.

Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:

Задание. Площади двух подобных треуг-ков составляют 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго треуг-ка равна 9 м. Вычислите сходственную ей сторону первого треуг-ка.

Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:

Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна

9:2 = 4,5 м

Ответ: 4,5 м.

Источник

Утверждение

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то есть отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дано:

$[Delta ABC sim Delta {A_1}{B_1}{C_1}]$

Доказать:

$[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}} = {k^2}]$

Площадь треугольника ABC может быть найдена, например, по двум сторонам и углу между ними:

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sin angle A.]$

Аналогично,

$[{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = frac{1}{2} cdot {A_1}{B_1} cdot {A_1}{C_1} cdot sin angle {A_1}.]$

Так как углы подобных треугольников равны, а стороны — пропорциональны, то ∠A=∠A1,

$[frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = k,]$

то есть

$[{A_1}{B_1} = k cdot AB,{B_1}{C_1} = k cdot BC.]$

Теперь можем найти, как относятся площади подобных треугольников:

$[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = frac{{frac{1}{2} cdot {A_1}{B_1} cdot {A_1}{C_1} cdot sin angle {A_1}}}{{frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sin angle A}} = ]$

$[ = frac{{k cdot AB cdot k cdot ACsin angle A}}{{AB cdot AC cdot sin angle A}} = {k^2}.]$

Так как

$[k = frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}},]$

то

$[{k^2} = {(frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2},]$

то есть

$[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = {(frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2} = ]$

$[ = frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}}.]$

Что и требовалось доказать.

Поскольку отношение любых линейных размеров (высот, медиан, биссектрис, периметров) подобных треугольников равно коэффициенту подобия, площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

Источник

§ 1. Подобие треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Свойства медиан, биссектрис и высот

Две фигуры $$ F$$ и $$ {F}^{text{‘}}$$ называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между двумя точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры $$ F$$ и $$ {F}^{text{‘}}$$ подобны, то пишется $$ Fsim {F}^{text{‘}}$$Напомним, что в записи подобия треугольников $$ ∆ABC~∆{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$$ предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. $$ A$$ переходит в $$ {A}_{1}$$, $$ B$$ — в $$ {B}_{1}$$, $$ C$$ — в $$ {C}_{1}$$. Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если $$ ∆ABC~∆{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$$

$$ angle A=angle {A}_{1}, angle B=angle {B}_{1}, angle C=angle {C}_{1}, {displaystyle frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}}={displaystyle frac{BC}{{B}_{1}{C}_{1}}}={displaystyle frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}}$$.

Два треугольника подобны:

1) если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
2) если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
3) если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

Из признаков подобия следует утверждения, которые удобно использовать в решении задач:

1°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках, отсекает треугольник, подобный данному.

Рис. 5

2°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает на них отрезки, пропорциональные данным сторонам, т. е. если $$ MNleft|right|AC$$ (рис. 5), то

$$ {displaystyle frac{m}{n}}={displaystyle frac{p}{q}}=frac{m+p}{n+q}$$

3°. Если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки, то она параллельна третьей стороне, т. е. если (см. рис. 5)

$$ {displaystyle frac{m}{n}}={displaystyle frac{m+p}{n+q}}$$ или $$ {displaystyle frac{m}{n}}={displaystyle frac{p}{q}}$$,

то $$ MN$$ параллельна $$ AC$$ (доказательство было дано в задании для 9 класса).

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках $$ M$$ и $$ N$$. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны $$ a$$ и $$ b$$.

Пусть $$ O$$ точка пересечения диагоналей трапеции (рис. 6). Обозначим:

$$ AD=a, BC=b, MO=x, BO=p, OD=q.$$

$$1.;left.begin{array}{l}BCparallel AD\bigtriangleup BOCsimbigtriangleup DOA;(mathrm{по};mathrm{двум};mathrm{углам})end{array}right|Rightarrowdfrac ba=dfrac pq$$ (1)

$$2.;left.begin{array}{l}MOparallel AD\bigtriangleup MBOsimbigtriangleup ABDend{array}right|Rightarrowdfrac xa=dfrac p{p+q}$$. (2)

Из (1) и (2) следует $$ x=a{displaystyle frac{p}{p+q}}=q{displaystyle frac{p/q}{p/q+1}}={displaystyle frac{ab}{a+b}}$$, т. е. $$ MO={displaystyle frac{ab}{a+b}}.$$

Аналогично устанавливаем, что $$ NO={displaystyle frac{ab}{a+b}}$$, поэтому $$ overline{)MN={displaystyle frac{2ab}{a+b}}}$$.

Результат этой задачи, как утверждение, верное для любой трапеции, следует запомнить.

Рис. 6

Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответствующие линейные элементы пропорциональны. Так, отношение периметров подобных треугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например, в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношению длин соответствующих сторон. Это замечание поможет нам решить следующую задачу.

Рис. 7

В прямоугольном треугольнике $$ ABC$$ из вершины $$ C$$ прямого угла проведена высота $$ CD$$ (рис. 7). Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $$ ACD$$ и $$ BCD$$ равны соответственно $$ {r}_{1}$$ и $$ {r}_{2}$$. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник $$ ABC$$.

Обозначим искомый радиус $$ r$$, положим $$ AB=c$$, $$ AC=b$$, $$ BC=a$$. Из подобия прямоугольных треугольников $$ ACD$$ и $$ ABC$$ (у них равные углы при вершине $$ A$$) имеем $$ {displaystyle frac{r}{{r}_{1}}}={displaystyle frac{c}{b}}$$, откуда $$ b={displaystyle frac{{r}_{1}}{r}}c$$. Прямоугольные треугольники $$ BCD$$ и $$ BAC$$ также подобны, поэтому $$ {displaystyle frac{r}{{r}_{2}}}={displaystyle frac{c}{a}}$$, — откуда $$ a={displaystyle frac{{r}_{2}}{r}}c$$. Так как $$ {a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}$$ то, возводя в квадрат выражения для $$ a$$ и $$ b$$ и складывая их, получим $$ {left(frac{{r}_{1}}{r}right)}^{2}{c}^{2}+{left(frac{{r}_{2}}{r}right)}^{2}{c}^{2}={c}^{2}$$ или $$ {displaystyle frac{{r}_{1}^{2}+{r}_{2}^{2}}{{r}^{2}}}=1$$. Находим $$ r=sqrt{{{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}}$$.

Напомним, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных элементов. Для треугольников это утверждение можно сформулировать так: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Рассмотрим характерную задачу на эту тему.

Рис. 8

Через точку $$ M$$, лежащую внутри треугольника $$ ABC$$, проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовались три треугольника (рис. 8), площади которых равны $$ {S}_{1}$$, $$ {S}_{2}$$ и $$ {S}_{3}$$. Найти площадь треугольника $$ ABC$$.

Легко видеть, что треугольники $$ EKM$$, $$ MQF$$ и $$ PMN$$ подобны треугольнику $$ ABC$$.

Пусть $$ S$$ -площадь треугольника $$ ABC$$, тогда

$$ {displaystyle frac{{S}_{1}}{S}}={left({displaystyle frac{EM}{AC}}right)}^{2}; {displaystyle frac{{S}_{2}}{S}}={left({displaystyle frac{MF}{AC}}right)}^{2}; {displaystyle frac{{S}_{3}}{S}}={left({displaystyle frac{PN}{AC}}right)}^{2}.$$

Откуда находим

$$ EM=sqrt{{displaystyle frac{{S}_{1}}{S}}}AC, MF=sqrt{{displaystyle frac{{S}_{2}}{S}}}AC, PN=sqrt{{displaystyle frac{{S}_{3}}{S}}}AC.$$

А так как $$ EM=AP, MF=NC$$, то $$ EM+PN+MF=AP+PN+NC=AC$$.

Таким образом, $$ AC=AC·left(sqrt{{displaystyle frac{{S}_{1}}{S}}}+sqrt{{displaystyle frac{{S}_{2}}{S}}}+sqrt{{displaystyle frac{{S}_{3}}{S}}}right)$$, откуда следует

$$ S={left(sqrt{{S}_{1}}+sqrt{{S}_{2}}+sqrt{{S}_{3}}right)}^{2}$$.

Свойства медиан, высот, биссектрис треугольника

В наших заданиях 9-го и 10-го классов здесь повторяемые теоремы и утверждения были доказаны. Для некоторых из них мы напоминаем пути доказательств, доказывая их моменты и давая поясняющие рисунки.

Рис. 9

Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения каждая медиана делится в отношении `2 : 1`, считая от вершины.

Теорема 2. Три медианы, пересекаясь, разбивают треугольник на `6` треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.

(На рис. 9 площадь каждого из `6` треугольников с вершиной `M` и основанием, равным половине стороны, равна $$ {displaystyle frac{1}{2}}{S}_{ABC}$$. Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника.

Теорема 3. Пусть $$ BD$$ — медиана треугольника

$$ ABC (BC=a, AC=b, AB=c, BD={m}_{a})$$, тогда

$$ {m}_{c}^{2}={displaystyle frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}-{displaystyle frac{{c}^{2}}{4}}$$. (Доказательство приведено далее в §4 Задания).

Рис. 10

Медианы $$ A{A}_{1}$$ треугольника $$ ABC$$ пересекаются в точке $$ O$$, $$ A{A}_{1}=12$$ и $$ C{C}_{1}=6$$ и одна из сторон треугольника равна `12`. (рис. 10). Найти площадь треугольника $$ ABC$$.

1. По теореме 1 имеем $$ AO={displaystyle frac{2}{3}}A{A}_{1}=8$$, $$ CO={displaystyle frac{2}{3}}C{C}_{1}=4$$.

Расставим на рисунке 10 длины отрезков медиан. По условию, одна из сторон треугольника равна `12`, сторона $$ AC$$ не может равняться `12`, иначе $$ AC=AO+OC$$ — нарушено неравенство треугольника. Также не может равняться `12` сторона $$ AB$$, так в этом случае $$ A{C}_{1}=6$$ и треугольник $$ AO{C}_{1}$$ со сторонами `8`, `2`, `6` не существует. Значит, $$ BC=12$$ и $$ A{C}_{1}=6$$.

2. Площадь треугольника находим по формуле Герона:

$$ p=7, {S}_{{A}_{1}OC}=sqrt{7·1·3·3}=3sqrt{7}$$.

По теореме 2 площадь треугольника $$ ABC$$ в `6` раз больше, находим $$ {S}_{ABC}=18sqrt{7}$$.

Теорема 4. Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника). В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

Были доказаны также две леммы о высотах

1-ая лемма.

Если $$ A{A}_{1}$$ и $$ B{B}_{1}$$ — высоты треугольника $$ ABC$$, то треугольник $$ {A}_{1}{B}_{1}C$$ подобен треугольнику $$ ABC$$ с коэффициентом подобия $$ k={displaystyle frac{{A}_{1}{B}_{1}}{AB}}=left|mathrm{cos}Cright|$$. Можно это утверждение сформулировать так: Если соединить основания двух высот $$ A{A}_{1}$$ и $$ B{B}_{1}$$ треугольника $$ ABC$$, то образуется треугольник, подобный данному: $$ ∆{A}_{1}{B}_{1}C~∆ABC$$.

Из прямоугольных треугольников $$ AC{A}_{1}$$ следует $$ {A}_{1}C=AC·mathrm{cos}C$$ или $$ {A}_{1}C=AC·mathrm{cos}(180°-C)=ACleft|mathrm{cos}Cright|$$ (рис. 11а, б), а из прямоугольных треугольников $$ BC{B}_{1}$$ следует $$ {B}_{1}C=BC·mathrm{cos}C$$ или $$ {B}_{1}C=BC·mathrm{cos}(180°-C)=BCleft|mathrm{cos}Cright|$$. Далее рассуждения очевидны.

2-ая лемма.

Если высоты $$ A{A}_{1}$$ и $$ B{B}_{1}$$ (или их продолжения) пересекаются в точке $$ H$$, то справедливо равенство $$ AH·H{A}_{1}=BH·H{B}_{1}$$ (рис. 12а, б).

Рис. 13

Высоты $$ A{A}_{1}$$ и $$ B{B}_{1}$$ пересекаются в точке $$ H$$ (рис. 13), при этом $$ AH=3H{A}_{1}$$ и $$ BH=H{B}_{1}$$. Найти косинус угла $$ ACB$$ и площадь треугольника $$ ABC$$, если $$ AC=a$$.

Обозначим $$ H{A}_{1}=x, H{B}_{1}=y$$,

1. Точка $$ H$$ — середина высоты (рис. 13). Если отрезок $$ MH$$ проходит через точку $$ H$$ и параллелен основаниям, то `MN` — средняя линия; `MN=a/2`.

2. $$left.triangle HA_1Nsimtriangle AA_1Cright|Rightarrowdfrac{HN}{AC}=dfrac x{4x},;HN=dfrac14a.$$ Значит, $$ MH=HN={displaystyle frac{a}{4}}$$ и $$ A{B}_{1}={B}_{1}C={displaystyle frac{a}{2}}$$ Треугольник $$ ABC$$ равнобедренный, $$ AB=BC$$.

3. $$ angle {B}_{1}BC=90°-angle C$$, поэтому `ul(/_BHA_1=/_AHB_1=/_C)`, а по второй лемме о высотах $$ AH·H{A}_{1}=BH·H{B}_{1}$$ т. е. $$ 3{x}^{2}={y}^{2}, y=xsqrt{3}$$.

Далее, $$ mathrm{cos}C=mathrm{cos}(angle AH{B}_{1})={displaystyle frac{y}{3x}}$$, находим $$ mathrm{cos}C={displaystyle frac{1}{sqrt{3}}}$$.

4. $$ △AH{B}_{1}: A{B}_{1}^{2}=(3x{)}^{2}-{y}^{2}$$, $$ {displaystyle frac{{a}^{2}}{4}}=6{x}^{2}$$, $$ x={displaystyle frac{a}{2sqrt{6}}}$$, $$ y={displaystyle frac{a}{2sqrt{2}}}$$, тогда

$$ {S}_{ABC}={displaystyle frac{1}{2}}AC·B{B}_{1}=ay={displaystyle frac{{a}^{2}sqrt{2}}{4}}$$.

Теорема 5. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если $$ AD$$ — биссектриса треугольника $$ ABC$$ (рис. 14), то

$$ {displaystyle frac{BD}{DC}}={displaystyle frac{AB}{AC}} left({displaystyle frac{x}{y}}={displaystyle frac{c}{b}}right)$$

Доказательство легко выполните сами, применяя теорему синусов к треугольникам $$ ADB$$ и $$ ADC$$.

Теорема 6. Пусть $$ AD$$ — биссектриса треугольника $$ ABC$$ (рис. 14), тогда $$ AD=sqrt{AB·AC-DB·DC}$$ (в обозначениях рисунка 14а)

`ul(AD=sqrt(bc-xy))`.

Эту теорему докажем. Опишем около треугольника $$ ABC$$ окружность, точку пересечения прямой $$ AD$$ и окружности обозначим $$ K$$ (рис. 14а).

Обозначим $$ AD=z, DK=m.△ABDsim ∆AKC$$ $$ (angle ABD=angle AKC$$ и $$ angle 1=angle 2)$$. Из подобия следует $$ {displaystyle frac{AB}{AK}}={displaystyle frac{AD}{AC}}$$, т. е. $$ {displaystyle frac{c}{z+m}}={displaystyle frac{z}{b}}$$, откуда $$ {z}^{2}+zm=bc$$, $$ {z}^{2}=bc-zm$$.

По свойству пересекающихся хорд: $$ AD·DK=BD·CD$$, т. е. $$ z·m=x·y$$, тогда $$ {z}^{2}=bc-xy$$, $$ z=sqrt{bc-xy}$$.

В треугольнике $$ ABC$$ со сторонами $$ AB=5$$, $$ AC=3$$ биссектриса $$ AD={displaystyle frac{15}{8}}$$. Найти сторону $$ BC$$ и радиус вписанной окружности.

По теореме 5 (см. рис. 14) имеем $$ {displaystyle frac{x}{y}}={displaystyle frac{5}{3}}$$ Обозначим $$ x=5z$$, тогда $$ y=3z$$. По теореме 6 выполнено равенство $$ {left({displaystyle frac{15}{8}}right)}^{2}=5·3-5z·3z.$$ Легко находим $$ z={displaystyle frac{7}{8}}$$ значит `ul(BC=7)`. Радиус вписанной окружности найдём по формуле $$ S=pr$$ (`S` — площадь треугольника, `p` -полупериметр). Имеем $$ p={displaystyle frac{15}{2}}$$, по формуле Герона $$ S=sqrt{{displaystyle frac{15}{2}}·{displaystyle frac{1}{2}}·{displaystyle frac{10}{2}}·{displaystyle frac{9}{2}}}={displaystyle frac{15sqrt{3}}{2}},$$ поэтому $$ r={displaystyle frac{S}{p}}={displaystyle frac{sqrt{3}}{2}}.$$

Источник