Как найти сопротивление объекта

Для того чтобы научиться решать задачи по сопромату, нужно знать теорию. На этой странице я собрала краткий и полный курс лекций с формулами и определениями и со множеством примеров решения задач.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

На этой странице всё о предмете «сопротивление материалов»:

• Предмет сопротивление материалов

Ниже предоставлены задачи с подробным решением по всем темам сопротивления материалов и дополнительная теория которая поможет в выполнении задач.

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов — это наука о прочности, жесткости и надежности инженерных конструктивных элементов. Методы сопротивления материалов используются для проведения практических расчетов и определения необходимых, как говорится, достоверных размеров деталей машин, различных конструкций и сооружений.

Основные понятия сопротивления материалов основаны на законах и теоремах общей механики и, прежде всего, на законах статики, без знания которых изучение этого предмета становится практически невозможным.

В отличие от теоретической механики, сопротивление материала рассматривает проблемы, где наиболее существенными являются свойства деформированных тел, а законы движения тел, как жесткое целое, не только отступают на задний план, но в некоторых случаях просто несущественны.

Целью сопротивления материалов является создание практически приемлемых простых методов расчета типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций. Необходимость доводить каждую практическую задачу до определенного численного результата заставляет в некоторых случаях прибегать к упрощающим гипотезам — предположениям, которые впоследствии оправдываются сравнением расчетных данных с экспериментом.

Растяжение и сжатие. Статически определенная задача

Статически определимыми называют задачи, которые можно решать методами статики твердого тела, т. е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия.

Задача №1.3

Определить размеры поперечных сечений стержней металло-деревянной фермы. Материал стержней 1 и 2 — древесина с равным квадратным поперечным сечением; стержень 3 стальной, из двух равнополочных уголков (рис. 1.5, а).

Расчетные сопротивления: для стали R = 210 МПа, для древесины

Решение:

Нагрузка F через стержни 1 и 2 передается на опоры А и В, где возникают три реакции , которые могут быть определены из уравнений равновесия

Значит, эта система является статически определимой.

Поскольку стержни фермы соединяются между собой при помощи шарниров, действующая нагрузка может вызвать в них только продольные силы N, т. е. они подвергаются деформации растяжения-сжатия.

Рассматриваемая система относится к случаю, когда внутренние силы в ее стержнях можно определить без нахождения опорных реакций.

Для определения усилий в стержнях фермы используется метод сечений, по которому ферма «рассекается» на две части так, чтобы одновременно рассекались не более трех стержней.

Первое сечение проведем, как показано на рис. 1.5, б, и составим уравнения равновесия для узла С.

Искомые усилия , направим от сечения (считаем растягивающими):

Решив уравнения, получим стержни 1 и 2 сжаты. Второе сечение проведем, как показано на рис. 15, в. Искомое усилие направим от сечения, а найденное — к сечению, так как стержень 2 сжат.

Уравнение равновесия узла В

откуда

Стержень 3 испытывает деформацию растяжения. Из условия прочности (1.2) определим значения площадей поперечных сечений стержней фермы. Для первого стержня

сторона сечения

Для второго стержня

сторона сечения

Конструктивно принимаем Для третьего стержня

Для одного уголка

Из таблицы сортамента равнополочных уголков принимаем два уголка 40 х 40 х 5 мм с площадью поперечного сечения

Растяжение и сжатие. Статически неопределенная задача

Статически неопределёнными называют задачи с числом неизвестных, превышающим число уравнений равновесия сил, т. е. задачи, которые нельзя решать методами статики твёрдого тела и для решения которых нужно учитывать деформации тела, обусловленные внешними нагрузками.

Задача №1.7

Стальной стержень круглого поперечного сечения, жестко защемленный обоими концами в неподвижных опорах, нагружен системой расчетных сил F (рис. 1.9, а).

Определить минимально необходимый диаметр стержня, если R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:

Нагрузка F, действующая по продольной оси стержня, вызывает в опорах только по одной реакции по линии действия сил.

Сам стержень подвергается деформации растяжения-сжатия с образованием в его сечениях продольных сил N.

Неизвестные реакции направляются произвольно. Для данного стержня можно составить только одно уравнение равновесия:

из которого две неизвестные величины не могут быть определены. Значит, рассматриваемый стержень является статически неопределимым.

Для проведения расчета стержень делится на расчетные участки с граничными сечениями, в которых приложены внешние силы (активные и реактивные). В задании — четыре расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I—IV. Заданным длинам l участков придается номер расчетного участка.

Для раскрытия статической неопределимости к уравнению равновесия необходимо составить одно дополнительное уравнение, исходя из принципа совместности перемещений его участков.

Для проведения расчета выбирается так называемая основная (статически определимая) система, которая получается из статически неопределимой путем удаления одной связи (здесь — опоры). Основная система загружается заданной нагрузкой и неизвестной реакцией удаленной опоры. Один из вариантов основной системы показан на рис. 1.9, б, где удалена верхняя опора.

Смысл совместности перемещений в этом задании заключается в том, что в основной системе, вследствие деформации расчетных участков стержня от действия нагрузки (сил F) и неизвестной реакции перемещение сечения должно быть равно нулю. Уравнение перемещений в общем виде

Выразив деформации на участках стержня через продольные силы N по закону Гука и учтя, что на участках стержня получим

или

откуда

Полученный в результате вычислений знак «минус» при означает, что эта реакция имеет противоположное направление. Направление (см. рис. 1.9, б) исправлено на действительное.

Для определения реакции рассмотрим основную систему, изображенную на рис. 1.9, в:

откуда

Направление реакции на рис. 1.9, в показано правильно. По уравнению равновесия проверим правильность определения опорных реакций:

реакции определены правильно.

Определим продольные силы N на участках стержня, используя второй прием, по которому

и правило знаков, описанное выше (от сечения — «плюс», к сечению -«минус»).

Рассматриваем «отсеченную» верхнюю часть стержня:

По этим данным строится эпюра продольных сил (рис. 1.9, г). Диаметр стержня определяем из условия прочности по нормальным напряжениям.

Площадь поперечного сечения стержня

а его диаметр

л V 3,14

По стандарту принимаем диаметр стержня d = 3,2 см с площадью сечения

Нормальные напряжения на участках стержня

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 1.9, д. Для построения эпюры перемещений необходимо вычислить деформации на каждом расчетном участке стержня:

Перемещения граничных сечений

Эпюры перемещений показаны на рис. 1.9, е.

Геометрические характеристики плоских сечений. Расчет составного сечения

Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).

Задача №3.3

Для сечения, составленного из двух швеллеров и листа, определить значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.5).

Данные к заданию: швеллер № 20, лист сечением 15,2 х 2 см. Из таблиц сортамента для швеллера № 20: h = 20 см, b = 7,6 см,

Решение:

На сечении отмечаются центры тяжести швеллеров листа проводятся их центральные оси и

Центр тяжести сечения лежит на оси так как последняя является осью симметрии. Вспомогательная ось проводится по нижней стороне сечения.

Координаты центров тяжести отдельных фигур относительно осей

Ордината центра тяжести

На сечении отмечается центр тяжести О и проводится центральная ось

Вычисляем расстояния между осями п и т:

Значения осевых моментов инерции относительно центральных осей

Так как оси являются главными цен тральными осями сечения, значения и являются главными центральными моментами инерции. Из значенийи. следует, что a Данное сечение имеет наибольшую сопротивляемость изгибу относительно оси и наименьшую относительно оси .

Кручение. Статически неопределенная задача. Расчет вала

Кручение — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент.

Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики. Один из методов решения статически неопределимых задач сводится к следующему: а) составляются все возможные в данной задаче уравнения статики; б) представляется картина деформации, происходящей в данной конструкции, и записываются деформационные уравнения, число которых должно быть равно степени статической неопределимости задачи; в) решается совместная система уравнений статики и деформационных уравнений.

Задача №4.3

Стержень круглого поперечного сечения d = Зсм с защемленными концами подвергается действию двух скручивающих моментов, соотношение которых .

Определить наибольшие допустимые значения скручивающих моментов и угол поворота сечения (т. К) стержня, если , G = 80 ГПа (рис. 4.9).

Решение:

Исходя из характера нагрузки на стержень, в его опорах возникнет по одной реакции — реактивному моменту Т (предварительно направляются произвольно), рис. 4.9, а.

Уравнение равновесия можно составить только одно:

в котором две неизвестные величины. Значит, рассматриваемый стержень является один раз статически неопределимым (2-1 = 1).

Для раскрытия статической неопределимости необходимо составить дополнительное уравнение исходя из принципа совместности перемещений.

За основную (статически определимую) систему выбираем стержень с удаленной, вот, левой опорой (рис. 4.9, б), загруженный заданными моментами и и неизвестным реактивным опорным моментом .

На опоре А (заделке) угол поворота в заданной системе (см. рис. 4.9, а) Чтобы основная система (см. рис. 4.9, б) была эквивалентна заданной, необходимо выдержать это условие и в основной системе: Это и есть дополнительное уравнение, выраженное в общем виде.

Применив метод независимости (сложения) действия сил и исходя из принципа совместности деформации (углов поворота) участков стержня, раскроем дополнительное уравнение, используя формулу (4.3) и соотношение скручивающих моментов:

или

Учитывая, что , получим

Направление было выбрано правильно (значение положительное). Определением момента статическая неопределимость раскрыта. Аналогичным образом можно определить реактивный момент .

Определяем значения крутящих моментов на трех расчетных участках стержня:

По значениям крутящих моментов, выраженных в долях от строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.9, в). Из эпюры следует, что

Из условия прочности (4.2) максимальный допустимый крутящий момент, который может воспринять стержень:

Нагрузочные (скручивающие) моменты на стержень и реактивный момент

откуда

На эпюре крутящих моментов (рис. 4.9, в) проставлены значения крутящих моментов на участках стержня.

Угол поворота среднего сечения (т. К) стержня определим, используя формулу (4.3):

или

Эпюра касательных напряжений и угол поворота сечения К показаны на рис. 4.9, г.

Прямой изгиб. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балки

Прямой изгиб — это вид деформации, при котором первоначально прямолинейная ось стержня искривляется. Если балка изгибается по направлению действия внешней нагрузки, то это прямой изгиб.

Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах которых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выражения. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены внешние нагрузки: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка одного направления и изменяющаяся по одному закону, а также начало и конец балки.

Задача №5.3

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для двухопорной балки с консолью (рис. 5.8).

Определяем опорные реакции.

откуда

откуда

— реакции определены верно (по направлению и значениям). Балка имеет три расчетных участка.

Участок 1 — ход слева:

При

при

Участок 2 — ход слева:

— линейная зависимость;— параболическая зависимость.

При

при

Участок 3 — ход справа:

При

при

На участке ВС балки эпюра Q переходит через нуль (Q = 0). В этом сечении, определяемом абсциссой , изгибающий момент М имеет экстремальное значение.

Определим расстояние из выражения

откуда

При

Заметим, что на участках балки, где действует распределенная нагрузка q, изгибающий момент изменяется по закону параболы. Линия эпюры изогнута в сторону направления нагрузки q.

Из построенных эпюр следует, что

Прямой изгиб. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балки с шарниром

Первый вопрос, на который должен получить ответ конструктор, – какие по величине и направлению внутренние силовые факторы (ВСФ) действуют в различных сечениях вдоль оси бруса. Это необходимо для определения вида нагружения (по действующим ВСФ) и выбора так называемого опасного сечения (определяется величиной ВСФ). С этой целью строят графики, которые носят название эпюры.

Графики, показывающие изменение внутренних усилий и моментов в сечениях по длине бруса, называются эпюрами усилий и моментов (эпюрами ВСФ).

В каждом сечении тела, естественно, внутренние усилия и моменты различны по величине и направлению. Таким образом, эпюры дают картину распределения ВСФ по длине бруса.

Задача №5.4

Построить эпюры Q и М для двухпролетной балки с промежуточным шарниром (рис. 5.9).

Решение:

Сложная (составная) балка АК состоит из двух частей: основной А С, покоящейся на шарнирных опорах А и В, и дополнительной, опирающейся левым концом на основную балку, а правым — на опору К.

Нагрузка q, действующая на основную балку, передается только на опоры А и В. Нагрузка F, действующая на дополнительную часть балки, передается на опору К и через шарнир С — на основную часть балки, а затем на опоры А и В.

Для ведения расчета сложную балку следует расчленить на основную и дополнительную части, проведя сечение через шарнир С (рис. 5.9, б).

Реакции в опорах балки определяют обычным образом, рассматривая отдельно каждую часть сложной балки, начиная с дополнительной.

Составляем уравнения равновесия для дополнительной части балки (СК):

Составляем уравнения равновесия для основной части балки (АС). В сечении С основной части балки нужно приложить ту часть нагрузки F, которая с дополнительной части передается на основную. Эта часть нагрузки равна реакции дополнительной части, т. е. Направлять следует противоположно направлению .

Для определения опорных реакций можно поступить иначе. Так как изгибающий момент в шарнире равен нулю (через шарнир мо-

мент не передается), то к обычным уравнениям равновесия можно добавить еще одно — сумма моментов относительно шарнира С от сил слева или справа от него равна нулю Тогда рис. 5.9, б не нужен.

В данном задании целесообразно составить следующие уравнения равновесия:

— определяется реакция ;

— войдут неизвестная реакция и известная реакция . Совместное решение уравнений дает значение реакции ;

— определяется реакция

Возможно применение других вариантов уравнений равновесия. Эпюры Q и М строятся обычным путем, отдельно для каждой части балки, а затем их нужно соединить.

После того как изучены закономерности изменения Q и М на участках балки в зависимости от вида нагрузки, процедуру их определения можно несколько упростить. Выражения для Q и М на каждом участке балки в зависимости от z не составляются, а сразу вычисляются их значения для конкретных сечений (обычно это границы расчетных участков балки).

Как выявлено ранее, в сечении, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре Q образуется скачок на величину этой силы. Поэтому в таких сечениях вычисляются два значения Q на бесконечно малых расстояниях слева (л) и справа (п) от него.

То же относится и к сосредоточенному моменту М.

Определяем внутренние силы (усилия) в характерных сечениях балки.

Ход слева.

Сечение А:

Сечение В:

Сечение С:

Для остальной части балки целесообразен ход справа.

Сечение К:

Сечение D:

Сечение С

Заметим, что последние значения Q и М можно было не определять (уже найдены).

По вычисленным значениям Q и М строятся их эпюры (рис. 5.9, в, г). На участке АВ балки эпюра Q переходит через нуль. Определим это сечение N, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение:

откуда

При

Из построенных эпюр следует, что

Процедуру построения эпюры Q можно еще более упростить, применив графоаналитический прием, помня о закономерности изменения Q в зависимости от вида нагрузки.

Начинать построение удобно с крайнего левого сечения балки.

В сечении А — скачок на величину и направление реакции, т. е. вверх на 9 кН. На участке АВ — прямая, наклонная по направлению нагрузки q, т. е. вниз на

Получим точку с ординатой

9-20 = -11 кН.

От этой точки вверх на значение реакции получим точку с ординатой 4 кН. На участке ВС и CD изменений нет — эпюра прямая, параллельная оси. В сечении D — скачок вниз на F = 8 кН -получим ординату 4 кН. На участке DK изменений нет. В сечении К -скачок вверх на значение реакции = 4 кН. Построение всегда должно «замкнуться» на нуле.

Прямой изгиб. Расчет балки на прочность

Элементы перекрытий зданий и сооружений, пролетных строений мостов, эстакад, оси машин и механизмов и т.д., представляющие собой установленные на опоры и сопротивляющиеся изгибу стержни, называются балками.

Задача №5.7

Подобрать размеры нижеобозначенных форм сечений балки и сопоставить коэффициенты их экономичности. Для прямоугольного сечения принять h/b = 1,4.

Расчетные сопротивления материала балки R = 210 МПа, (рис. 5.15).

Решение:

Определяем опорные реакции

— реакции определены верно.

Вычислим значения Q и М в характерных сечениях балки и построим их эпюры (рис. 5.15, а, б).

Сечение С:

Сечение А :

Сечение В:

Абсцисса , где Q = 0, будет

При z = 3,4 м

Подбор сечений ведется по формуле (5.4), исходя из

Требуемый момент сопротивления

Для круглого поперечного сечения

откуда принимаем d= 8,5 см.

Для прямоугольного сечения

откуда b = 5,49 см, h = 7,68 см.

Конструктивно принимаем h = 8 см, b = 5,5 см.

Для прокатного профиля из сортамента по принимаем двутавр

Вычислим коэффициенты экономичности для принятых размеров сечений балки по выражению

Для круглого сечения

Для прямоугольного сечения

Для двутавра

Из рассмотренных форм сечений балки наиболее экономичным является двутавр.

Вычислим максимальные значения нормальных и касательных напряжений для принятых размеров сечений балки.

Нормальные напряжения (максимальны в крайних точках сечений): а)круглое сечение

б) прямоугольное сечение

в) для двутавра

Касательные напряжения (максимальны на уровне нейтральной оси):

а) круглое сечение

Для круглого сечения где половина площади сечения а расстояние от центра тяжести до ее нейтральной оси

б) прямоугольное сечение

в) для двутавра (толщина стенки)

По полученным значениям и для двутавра построены соответствующие эпюры (рис. 5.15, в) с учетом того, что на нейтральной оси сечения , а в крайних точках сечения .

Проанализировав значения для рассмотренных форм сечений (а это наиболее распространенные), заметим: если размеры сечений определены из условия прочности по нормальным напряжениям, то максимальные касательные напряжения значительно меньше не достигают предельно допустимых значений.

Прямой изгиб. Расчет балки на прочность и на жесткость методом начальных параметров

В инженерной практике часто применяются балки с поперечным сечением, имеющим вертикальную ось симметрии. Если внешняя нагрузка и реактивные усилия лежат в одной плоскости, которая совпадает с осью симметрии сечения, то балка будет изгибаться в той же плоскости.

Задача №5.13

Для двухопорной балки с консолью (рис. 5.24), выполненной из двух стальных швеллеров, подобрать их номер и проверить жест кость, если R = 210 МПа,

Построить эпюру прогибов.

Решение:

Начало координатных осей помещено в сечении А. Значения опорных реакций приведены на рис. 5.24, а (нагрузку q, показанную пунктиром, при вычислении реакций можно не учитывать).

Построим эпюры Q и М.

В сечении А

В сечении С

В сечении В

Для сечения, в котором Q = 0, ордината

и

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления

По таблицам сортамента принимаем два швеллера № 14

Рассматриваемая балка имеет два расчетных участка (участка нагружения).

Заметим, что распределенная нагрузка q не доходит до конца балки. Поэтому ее необходимо продлить по консоли до конца балки и на этом участке приложить компенсирующую нагрузку q’ = q.

Составим уравнения перемещений оси изогнутой балки:

Начальные параметры и определим, исходя из деформационных условий на опорах балки. При z = 0 (опора А) прогиб а значит, и

При z = 4 м (опора В) прогиб

Запишем уравнение прогибов для сечения В (первый участок, z = 4 м):

откуда

Определим значение прогибов посредине пролета балки и на конце консоли. При z = 2 м

откуда

При z = 5 м

Эпюра прогибов показана на рис. 5.24, г. При построении эпюры прогибов ее очертание согласуется с эпюрой изгибающих моментов.

Максимальный абсолютный прогиб в пролете балки достигает значения , относительный прогиб

Условие жесткости по формуле (5.8)

— выполняется

Прямой изгиб. Расчет балки на жесткость энергетическим методом (с помощью интеграла Мора)

Для того, чтобы судить о работе балки, знания одних напряжений в ее сечениях недостаточно. Имеющие запас прочности балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жесткости.

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.

Задача №5.17

Для двухопорной балки с консолью определить прогибы в сечениях С и Д и построить эпюру прогибов (в долях ), рис. 5.30.

Решение:

Значения опорных реакций определяются из условий равновесия:

Определим значения ординат для построения эпюр Q и М.

При

При

При

При

Эпюры Q и М даны на рис. 5.30, б и в. Единичные эпюры и от сил F= 1, приложенных в сечениях, где нужно определить прогибы, показаны на рис. 5.30, г и д. Грузовую эпюру сложного очертания, разделим на простые фигуры. Выделим параболу и два треугольника и . Площадь параболы

• где l — длина параболы;
• h — высота параболы в центре тяжести ее (от нижней точки до пунктирной линии).

Высоту параболы можно вычислить геометрически по эпюре М, но удобнее пользоваться выражением

Определим ординаты на единичной эпюре (см. рис. 5.30, г) под центрами тяжести выделенных простых фигур:

Необходимо обратить внимание на расположение грузовой и единичных эпюр относительно их осей. Прогиб на конце консоли (сечение Д):

(направлен в противоположную сторону по отношению F = 1, т. е. вверх).

Определим ординаты под центрами тяжести простых фигур на второй единичной эпюре:

Прогиб в пролете балки (сечение С)

(направлен по направлению силы F = 1, т. е. вниз).

По полученным значениям прогибов строится соответствующая эпюра (рис. 5.30, е).

Очерчивая эпюру прогибов, следует обратить внимание, что консоль балки (участок BД) не нагружена и, следовательно, этот участок не деформируется, но перемещается вследствие деформации пролетной части.

В случае необходимости определения прогиба не на границе расчетных участков балки, а в произвольном сечении расчет по способу Верещагина значительно усложняется, особенно на участках с распределенной нагрузкой q.

В таких случаях лучше воспользоваться методом начальных параметров.

Расчет статически неопределимых систем. Статически неопределимая балка

Для того чтобы стержневые системы (балки, рамы и т. п.) могли служить сооружениями и выдерживать внешние нагрузки, необходимо наложить на них определенные связи, которые делят на связи внешние и связи внутренние.

Наиболее широко применяемым методом раскрытия статической неопределимости стержневых систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных (лишних) связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется силами и моментами.

Величина их в дальнейшем определяется так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом при указанном способе решения неизвестными оказываются силы или моменты, действующие в местах отброшенных или рассеченных связей. Отсюда и название «метод сил».

Балки могут выполнять функции элемента конструкции лишь в тех случаях, если они неподвижны, т.е. когда их точки перемещаются только в результате деформирования. В случае действия нагрузки только в одной плоскости неподвижность обеспечивается тремя связями (опорами). Эти связи являются необходимыми. Поскольку для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия, то реакции необходимых связей могут быть найдены с помощью лишь одних уравнений статики. Такие балки называются статически определимыми.

Однако в балке из конструкционных соображений, для увеличения её прочности и жёсткости, может быть больше трех связей (реакций). В этом смысле некоторые связи являются лишними. Балки с лишними связями называются статически неопределимыми, поскольку реакции таких балок невозможно определить только при помощи уравнений статики. Степень статической неопределимости балки определяется разностью между числом неизвестных реакций и числом независимых уравнений статики.

Задача №6.3

Для многопролетной балки (рис. 6.7, а) построить эпюры Q и М, подобрать номер прокатного двутавра, если R = 210 МПа.

Определить прогиб посередине ненагруженного пролета, изобразить ось изогнутой балки.

Решение:

Рассматриваемая балка состоит из трех пролетов и проходит не прерываясь над двумя промежуточными опорами, т. е. является неразрезной и дважды статически неопределимой (по числу промежуточных опор). Для ее решения воспользуемся методом сил.

Основную систему получим путем постановки шарниров на промежуточных опорах В и С (рис. 6.7, б). Обозначив неизвестные изгибающие моменты на этих опорах через и , запишем систему канонических уравнений по выражению (6.1):

Загрузив основную систему заданной нагрузкой (рис. 6.7, б), вычислив опорные реакции и значения М в характерных сечениях, построим грузовую эпюру изгибающих моментов для каждого пролета балки (рис. 6.7, в).

Затем нагружаем основную систему единичными опорными моментами на опоре В и — на опоре С. Для каждого

пролета основной системы определяем опорные реакции и строим единичные эпюры (рис. 6.7, г, д).

Грузовая эпюра расчленяется на простые фигуры и отмечаются их центры тяжести (см. рис. 6.7, в). На единичных эпюрах под центрами тяжести вычисляются значения ординат (см. рис. 6.7, г, д). Отмечаются также центры тяжести единичных эпюр и ординаты в их расположении.

Вычисляем значения площадей фигур, составляющих эпюры и :

Вычисляем значения ординат у на единичных эпюрах:

Перемножив единичные эпюры (сами на себя и между собой), получим значения коэффициентов канонических уравнений:

Перемножив грузовые эпюры на единичные, получим значения свободных членов канонических уравнений:

С учетом значений коэффициентов и свободных членов канонические уравнения примут вид

Решив систему уравнений (6.10), получим значения изгибающих моментов на промежуточных опорах неразрезной балки:

Решая задачи самостоятельно, не забудьте проверить правильность решения системы уравнений (6.10).

Заметим и учтем, что направление опорного момента противоположно направлению (знак «минус»), а направления и совпадают.

Определением значений и заканчивается раскрытие статической неопределимости балки.

Окончательные эпюры Q и М построим, рассматривая отдельно каждый пролет неразрезной балки как самостоятельную балку, нагруженную заданной нагрузкой и найденными опорными моментами (рис. 6.8, а). Сначала определяются опорные реакции, а затем значения Q и М в характерных сечениях.

Эпюры Q и М для рассмотренной неразрезной балки показаны на рис. 6.8, б, в.

Для проверки правильности выполнения расчетов надо перемножить окончательную эпюру изгибающих моментов на единичные. Решение будет верным, если результат перемножения будет равен нулю.

Ограничимся перемножением окончательной эпюры М на единичную (рис. 6.9, а, б):

Определим номер двутавра. Из окончательной эпюры М следует, что

Требуемый момент сопротивления сечения

Принимаем двутавр № 20, для которого

Для определения прогиба посередине пролета ВС (сечение К) следует в названном сечении основной системы приложить единичную силу и построить единичную эпюру (рис. 6.10,а)

Напомним, что:

В настоящем задании на грузовой эпюре М — один расчетный участок, на единичной (ломаная прямая) — два. Площадь берут с каждого участка единичной эпюры, а ординаты у — с грузовой, расчленив ее, как показано на рис. 6.10, б.

Значения площадей и ординат:

м (из подобных треугольников);

Перемножив эпюры, получим

откуда прогиб

Знак «минус» при означает, что прогиб происходит в направлении, противоположном единичной силе, т. е. вверх (рис. 6.8, д).

Ось изогнутой неразрезной балки (эпюра прогибов) изображена на рис. 6.8, д.

Обратите внимание на точки перегиба на эпюре и проследите согласование расположения ординат эпюры М с выпуклостью балки.

Теория напряженного и деформированного состояния. Исследование плоского напряженного состояния

Теория напряженного состояния ставит своей целью определить напряженное состояние исследуемого твердого тела. Напряженное состояние деформируемого твердого тела считается определенным, если определено напряженное состояние в каждой его точке. Напряженное состояние в некоторой точке считается определенным, если определены все напряжения по всем площадкам, образующим данную точку. При этом точка представляется как элементарный объем, ограниченный со всех сторон элементарными площадками.

Когда говорят об исследовании напряженного состояния, понимают вычисление по заданным на взаимно перпендикулярных площадках напряжениям напряжений на площадках произвольной ориентации, определение главных площадок и главных напряжений, площадок, по которым действуют экстремальные касательные напряжения.

Задача №7.6

По граням элемента, выделенного из нагруженного тела, действуют напряжения, показанные на рис. 7.12, а.

Определить положение главных площадок, значения главных напряжений и установить вид напряженного состояния.

Решение:

Определим значения главных напряжений:

Положение главной площадки с напряжением

Угол отсчитывается от оси X против хода часовой стрелки, так как угол положительный.

На рис. 7.12, б по вычисленным значениям показаны положения главных площадок и направления главных напряжений.

Анализ полученных значений главных напряжений показывает, что рассмотренный элемент находится в условиях линейного напряженного состояния, так как отличным от нуля оказалось только одно главное напряжение (действует только в одном направлении)

Косой изгиб. Расчет двух опорной балки

Косым изгибом называется такой изгиб, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении балки не совпадает с главными плоскостями инерции Оху или Oxz. Различают два вида косого изгиба: плоский и пространственный. При плоском косом изгибе нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции. Эта плоскость называется силовой плоскостью, а линия ее пересечения с плоскостью поперечного сечения балки — силовой линией. При пространственном косом изгибе нагрузки действуют в различных плоскостях.

Двухопорной называют балку, удерживаемую в равновесии двумя шарнирными опорами. При этом одна из опор должна быть шарнирно-неподвижной другая шарнирно-подвижной. Часть балки расположенная между смежными опорами называется пролетом.

Задача №8.3

Определить размеры поперечного прямоугольного сечения деревянной двухопорной балки (рис. 8.7, а), подвергающейся изгибу в двух главных плоскостях, при заданном отношении сторон h/b = 1,4.

Расчетное сопротивление материала балки R = 12 МПа.

Виды опор балки в вертикальной и горизонтальной плоскостях однотипны.

Решение:

Рассматриваемая балка подвергается косому изгибу.

Определим реакции опор и построим эпюры изгибающих моментов в плоскостях действующей нагрузки.

Вертикальная плоскость (рис. 8.7, б):

откуда Аналогично

При z = 1,5 м

при z = 2,5 м

Горизонтальная плоскость (рис. 8.7, в):

откуда аналогично

При z = 1,5 м

при z = 2,5 м

Эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 8.7, б и в. Подбор размеров сечения балки проведем из условия прочности в виде (8.3):

В данном задании коэффициент

Расчет должен производиться по наибольшему расчетному моменту .

Анализ эпюр изгибающих моментов показывает, что опасное сечение балки, где сочетание этих моментов самое неблагоприятное, неявно.

Исследуем сечение С и К:

в сечении С

в сечении К

Таким образом, опасным является сечение С, где

Требуемый момент сопротивления сечения балки из условия прочности будет

Для прямоугольного поперечного сечения с учетом того, что h /b =1,4:

откуда получим b = 17,9 см, h = 25,06 см.

Приняв конструктивно b = 18 см, k = 25 см вычислим значение максимального нормального напряжения по формуле (8.2):

Размеры сечения определены верно. Моменты инерции принятого сечения

Положение нейтральной оси в сечении С

Положительное значение откладываем от оси X против хода часовой стрелки.

Эпюры нормальных напряжений от каждого изгибающего и суммарного момента приведены на рис. 8.7, г.

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия). Внецентренное растяжение (сжатие) бруса

Изгиб с растяжением – частный случай сложного сопротивления, при котором на брус действуют продольные и поперечные нагрузки, пересекающие ось бруса.

Внецентренным растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении (сжатии), а смещена относительно продольной оси и остается ей параллельной.

Задача №8.6

На поперечном сечении колонны (рис. 8.13, а) определить точку приложения сжимающей силы F, наиболее удаленной от центра тяжести по оси Y, при которой в колонне не будет растягивающих напряжений.

Построить ядро сечения и эпюру напряжений (в долях от F).

Решение:

Поскольку сила F должна быть приложена к колонне вне ее центра тяжести сечения, колонна будет подвергаться внецентренному сжатию.

Для отыскания точки приложения силы F воспользуемся формулами (8.8):

Для определения необходимых геометрических характеристик рассматриваемое сложное сечение разделим на четыре простые фигуры: два прямоугольника и два треугольника (см. рис. 8.13, а). Площадь сечения

Ордината центра тяжести сечения (относительно вспомогательной оси )

Оси и являются главными центральными осями сечения, так как — ось симметрии.

Моменты инерции относительно главных центральных осей сечения

Радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей

Точка приложения силы F связана с положением нейтральной оси. Поскольку сила F находится на оси , нейтральная ось должна быть ей перпендикулярна.

Для выполнения условия задачи (в сечении не должно возникать растягивающих напряжений) нужно задаться двумя положениями нейтральной оси, совпадающими с верхней и нижней гранями сечения, и определить ординату точки приложения силы F.

В положении нейтральной оси по верхней грани сечения (рис. 8.13, б) ее ордината

а ордината точки приложения силы F будет

При положении и.о. по нижней грани сечения

По условию задачи принимаем положение точки приложения силы F (точка К) выше центральной оси на расстоянии (см. рис. 8.13, а).

Для построения эпюры напряжений вычислим их значения (в долях от F) для крайних точек сечения:

Условие задачи выполнено — в сечении нет растягивающих напряжений. Эпюра напряжений показана на рис. 8.13, б.

Для построения ядра сечения задаемся рядом последовательных положений нейтральной оси, касающихся контуров сечения и не пересекающих его. Для каждого ее положения вычисляются координаты а затем соответствующие данному положению нейтральной оси координаты точки приложения силы F, которые являются координатами точек ядра сечения

Для вычисления координат точек ядра сечения воспользуемся формулами (8.8).

Нейтральная ось в положении

Нейтральная ось в положении 2-2 на главных центральных осях , отсекает отрезки, координаты которых необходимо определить используя подобие образовавшихся треугольников: ДВЕ, ДИЛ, ДОП (см. рис. 8.13, б):

откуда а = 17,78 см;

откуда

Координаты ядра сечения

Нейтральная ось в положении 3-3:

Нейтральная ось в положении 4-4:

Положение нейтральной оси 5-5 симметрично положению 3-3, а положение 6-6 симметрично 2-2.

По полученным значениям построено ядро сечения (см. рис. 8.13, б).

Как видно по ядру сечения, наиболее удаленной от центра является точка 4. Приложив в этой точке силу F, получим наиболее допустимый ее эксцентриситет при котором в сечении будут напряжения одного знака. Это подтверждает ранее сделанный расчет.

В заключение заметим, что, прикладывая нагрузку F в пределах ядра сечения, по всему сечению получим напряжения одного знака.

Продольный и продольно — поперечный изгиб. Расчет сжатого стержня на устойчивость

Продольно-поперечным называют изгиб при котором к брусу приложены одновременно изгибающие (поперечные) и сжимающие (продольные) нагрузки.

Расчет на устойчивость сжатых стержней является одной из наиболее актуальных и значимых задач в рамках курса «Сопротивление материалов».

Термин «устойчивость» охватывает очень широкий круг вопросов: от движения планет и течения жидкостей, до строительных конструкций и энергетических систем. В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость формы и устойчивость положения.

Под устойчивостью будем понимать способность элемента (конструкции) при воздействии на него (нее) сжимающих внешних нагрузок сохранять первоначально заданную форму равновесия, т.е. деформироваться таким образом, чтобы гарантировать его (ее) заданные эксплуатационные качества.

Задача №9.3

Стальная колонна длиной l = 6 м, составленная из четырех равно-полочных уголков, загружена сжимающей силой F= 500 кН (рис. 9.6)

Условия закрепления концов колонны в главных плоскостях сечения одинаковы. Жесткая решетка, соединяющая ветви колонны (показана пунктиром), обеспечивает их совместную работу.

Определить номер уголков и коэффициент запаса устойчивости, если R= 210 МПа.

Решение:

По условию закрепления концов колонны (шарниры) коэффициент приведения длины

Положение центра тяжести сечения очевидно. Оси XY являются главными центральными осями сечения колонны.

Подбор уголков сечения проведем по формуле (9.8):

Поскольку площадь сечения неизвестна, расчет ведется путем предварительного выбора коэффициента с последующим его уточнением.

В первом приближении задаемся (середина интервала значений ). Тогда из (9.8) площадь сечения колонны

Площадь сечения одного уголка

По этому значению выбираем ближайший номер уголка. Проверим сечение из уголков 80 х 80 х 8 мм. Из таблицы сортамента

Для всего сечения: площадь сечения

моменты инерции относительно главных центральных осей

радиус инерции

гибкость колонны

Для данного значения гибкости по табл. 9.1 путем интерполяции вычислим табличное значение , соответствующее

для

для

для

Вычислим напряжение в колонне:

Расчетное (допустимое) сопротивление в колонне с учетом устойчивости

При этом сечении колонны недонапряжение составляет

Устойчивость колонны будет обеспечена, однако возможности материала полностью не используются. Размеры сечения можно уменьшить.

Рекомендуется последовательное приближение к правильному выбору уголков.

Во второй попытке задаемся значением :

Из условия устойчивости для сечения колонны необходима площадь

Для одного уголка

Проверим сечение из уголков 70 х 70 х 7 мм, для которых

Для всего сечения

Напряжение в колонне

Расчетное сопротивление

Недонапряжение составляет 16,2 %.

Поскольку площадь сечения уголков от номера к номеру изменяется непоследовательно (см. таблицу сортамента), после нескольких попыток выбора коэффициента целесообразно перейти к логическому выбору номера уголка.

После второго приближения действующее напряжение в колонне ниже допустимого. Следовательно, площадь сечения можно уменьшить.

Проверим сечение из уголков 70 х 70 х 6 мм, для которых

Для всего сечения:

Напряжение в колонне расчетное сопротивление — недонапряжение составляет 3,5 %, что приемлемо.

Проверка сечения из уголков 75 х 75 х 5 мм с ближайшей меньшей площадью показала перенапряжение 5,8 %, что недопустимо.

Итак, принимаем сечение колонны из уголков 70 х 70 х 6 мм с приемлемым недонапряжением.

В завершение задания вычислим коэффициент запаса устойчивости принятого сечения колонны.

Так как гибкость колонны воспользуемся формулами Ясинского.

Критическое напряжение

Критическая сила

Коэффициент запаса устойчивости

Продольный и продольно — поперечный изгиб. Расчет на прочность балки при продольно – поперечном изгибе

Продольно-поперечным называют изгиб при котором к брусу приложены одновременно изгибающие (поперечные) и сжимающие (продольные) нагрузки.

Продольно-поперечным изгибом называется сочетание поперечного изгиба со сжатием или растяжением бруса. При расчете на продольно-поперечный изгиб вычисление изгибающих моментов в поперечных сечениях бруса производится с учетом прогибов его оси.

Задача №9.6

Стальная балка, шарнирно опертая на концах, нагружена поперечной и продольной нагрузками (рис. 9.10, а).

Определить номер двутавра, если R = 210 МПа.

Решение:

Рассматриваемая балка подвергается продольно-поперечному изгибу. Сначала надо учесть воздействие поперечной нагрузки, а затем — дополнительно от продольной.

Определим номер двутавра от воздействия поперечной силы F = 50 кН, вызывающей плоский изгиб балки. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 9.10, б.

Максимальный изгибающий момент в середине пролета

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления сечения

Наметим предварительно двутавр № 22, для которого

Прогиб в середине пролета балки Do от поперечной нагрузки F в плоскости ее действия определяется по формуле (см. справочник)

Проверим намеченный номер двутавра на воздействие продольной нагрузки , создающей дополнительный прогиб и дополнительный изгибающий момент.

Вычислим полный прогиб и от поперечной и продольной сил по формуле (9.11) в плоскости действия поперечной силы, т. е. в вертикальной плоскости:

где эйлерова сила

Еще раз заметим, что при вычислении F, использовалось значение момента инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости действия поперечной нагрузки, т. е. значение .

Максимальный изгибающий момент в опасном сечении балки по (9.12)

Проверку прочности предварительно намеченного двутавра проведем по формуле (9.13):

Перенапряжение составляет 20,8 %.

Проверим пригодность ближайшего номера двутавра с большими геометрическими характеристиками — это № 24. Его характеристики

Повторим вычисления расчетных параметров в установленном ранее порядке. Прогиб от поперечной нагрузки

Эйлерова сила

Полный прогиб балки

Максимальный изгибающий момент

Максимальное нормальное напряжение

Условию прочности двутавр № 24 удовлетворяет. Проверим устойчивость балки из двутавра № 24 в горизонтальной плоскости (плоскости наибольшей гибкости, так как

Гибкость балки

коэффициент

Допускаемая продольная сила

Принимаем окончательно двутавр № 24.

Задачи динамики. Учет сил инерции. Расчет балки на прочность при изгибе

Задачи динамики являются важной темой курса сопротивление материалов. При статическом действии нагрузки возрастают от нуля до конечного значения настолько медленно, что ускорениями частиц тела при деформировании можно пренебрегать. Поэтому в статике считается, что внешние и внутренние силы взаимно уравновешены. В процессе эксплуатации конструкция имеет дело с динамической нагрузкой, достаточно быстро меняющей свое значение или положение. Динамические нагрузки вызывают большие ускорения частиц тела при деформировании, и поэтому задачи динамики учитывают силы инерции помимо внешних и внутренних сил.

Сила инерции, как известно, равна произведению массы материальной точки (или системы) на ее ускорение и направлена в сторону, противоположную ускорению. Силы инерции, так же как и собственный вес, представляют собой объемные силы, так как приложены к каждой точке тела.

При расчете изгибаемых элементов строительных конструкций на прочность применяется метод расчета по предельным состояниям. В большинстве случаев основное значение при оценке прочности балок и рам имеют нормальные напряжения в поперечных сечениях. При этом наибольшие нормальные напряжения, действующие в крайних волокнах балки, не должны превышать некоторой допустимой для данного материала величины.

Задача №10.3

На балке, состоящей из двух двутавров № 20, установлена лебедка массой для подъема груза массой на тросе сечением (рис. 10.4, а).

Для данной конструкции определить максимально допустимое ускорение подъема, если расчетное сопротивление для двутавра R = 210 МПа, для троса R = 150 МПа.

Собственный вес балки и троса не учитывать.

Решение:

Момент сопротивления двутавра № 20

Нагрузкой на трос является вес поднимаемого груза:

Напряжение в тросе от статического действия груза весом

Максимальное допускаемое напряжение в тросе

Максимальный допускаемый коэффициент динамичности для троса

По формуле (10.1)

откуда максимальное допустимое ускорение подъема груза

Нагрузкой для балки являются: вес лебедки

вес поднимаемого груза

Расчетная схема балки и эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 10.4, б.

Напряжение в балке от статического действия нагрузки

Для балки максимальный допустимый коэффициент динамичности

Из формулы (10.1) максимальное допустимое ускорение подъема груза

Для конструкции, исходя из прочности троса, принимаем наи-большее допустимое ускорение подъема груза

Задачи динамики. Удар. Расчет на прочность и жесткость консольной балки при ударной нагрузке

Удар — это происходящее в результате соприкосновения взаимодействие движущихся тел. Удар характеризуется резким изменением скоростей частиц взаимодействующих тел за малый промежуток времени, при этом сила удара достигает очень большого значения. В качестве примера можно привести действие кузнечного молота на кусок металла, удар падающего груза при забивке свай, воздействие колеса вагона на рельс при перекатывании через стык.

Динамические явления характеризуются прежде всего наличием инерционных сил при движении элементов конструкций, сравнимых по значению с вешними нагрузками на систему, а так же переменных во времени таких характеристик как скорость, ускорение, нагрузки и деформации.

Во время удара происходит резкое изменение скоростей точек системы, а так же кратковременно возникают большие усилия. С точки зрения механики энергия удара обеспечивает возможность многократного увеличения нагрузки, действующей на конструкцию при малых перемещениях.

Условием возникновения удара является наличие относительной скорости взаимодействующих тел, в результате чего происходит обмен импульсами и энергией. При этом возникают местные деформации и напряжения, распространяющиеся волной со звуковой или сверхзвуковой скоростью. В настоящее время задачи динамики решаются преимущественно методом конечных элементов. Воспользовавшись нашим онлайн расчетом можно рассчитать ударные нагрузки, перемещения и время соударения стержней, балок и наиболее распространенной общей вязко-упругой модели.

Задача №10.6

К деревянной консольной балке прямоугольного поперечного сечения (h = 20 см, b = 10 см), рис. 10.9, на свободном конце внезапно приложен груз массой т = 200 кг.

Определить предельную длину балки, если R = 11 МПа. Массу балки не учитывать.

Решение:

Вес груза

Момент сопротивления сечения балки

При внезапном приложении груза принимается Н = 0. Тогда из формулы (10.2) динамический коэффициент

Из условия прочности балки максимально допустимое статическое напряжение

Исходя из схемы балки и вида нагрузки, максимальный изгибающий момент будет в защемлении и определится выражением

Максимальное нормальное напряжение в защемлении

откуда наибольшая допустимая длина балки

При этой длине прочность балки обеспечена. Возникает вопрос задачи: как взаимосвязаны динамические напряжения с длиной балки при внезапном приложении груза и почему? (Пропорционально, так как

Лекции по сопротивлению материалов

Сопротивление материалов — это почти первая общая инженерная дисциплина, с которой сталкивается студент. Это наука о прочности и жесткости элементов и конструктивных деталей, которая ставит задачу разработки простых, практических методов расчета типичных, наиболее распространенных конструктивных элементов.

Сопротивление материалов относится к фундаментальным дисциплинам общей инженерной подготовки специалистов с высшим техническим образованием. Без фундаментальных знаний о сопротивлении материалов невозможно создать различные типы машин и механизмов, гражданские и промышленные конструкции, мосты, линии электропередач и антенны, ангары, корабли, самолеты и вертолеты, турбомашины и электрические машины, ядерные энергетические установки, ракетную и реактивную технику и т.д., а также разработать методики расчета наиболее распространенных элементов конструкций.

Общие понятия, законы, формулы и определения сопротивления материалов

1. Изгиб прямых стержней
2. Типы опор и типы балок
3. Вычисление внутренних сил при поперечном изгибе балки
4. Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью нагрузки
5. Построение эпюр внутренних сил способом составления аналитических выражений
6. Построение эпюр внутренних сил в балках способом характерных сечений
7. Построение эпюр внутренних сил в плоских рамах
8. Определение нормальных напряжений в произвольной точке поперечного сечения балки при чистом изгибе
9. Закон парности касательных напряжений
10. Касательные напряжения при поперечном изгибе
11. Проверка прочности балки при поперечном изгибе
12. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
13. Метод непосредственного интегрирования
14. Определение прогибов и углов поворота в балках методом начальных параметров
15. Напряженное и деформирование состояние в точке
16. Правила расстановки индексов и знаков
17. Напряжения на наклонной площадке при плоском напряженном состоянии
18. Главные площадки и главные напряжения
19. Графическое представление плоского напряженного состояния
20. Понятие о траекториях главных напряжений
21. Главные деформации и главные оси деформации
22. Закон Гука при плоском и объемном напряженных состояниях
23. Понятие о чистом сдвиге
24. Анализ напряженного состояния при чистом сдвиге
25. Закон Гука при чистом сдвиге
26. Зависимость между модулем упругости при растяжении (сжатии) и модулем сдвига
27. Расчет болтовых (заклепочных) соединений на срез
28. Расчет болтовых (заклепочных) соединений на смятие
29. Расчет сварных соединений — угловых фланговых швов

Кручение

Основные понятия. Вычисление крутящих моментов

На кручение работают многие детали машин и механизмов, некоторые элементы строительных конструкций. Для вычисления крутящих моментов используется метод сечений.

Правило знаков:

Внешний момент вызывает положительный крутящий момент, если со стороны внешней нормали сечения он виден направленным по ходу часовой стрелки.

1. Особенности деформирования стержня круглого сечения при кручении
2. Определение касательных напряжений при кручении сечений круглого сечений
3. Деформации при кручении стержней круглого сечений
4. Анализ напряженного состояния и вид разрушения стержней при их кручении в зависимости от материала
5. Расчет на прочность и жесткость стержни круглого или кольцевого сечений при кручении

Теории прочности

Основные понятия

Многие элементы строительных конструкций испытывают сложное напряженное состояние. Проведение испытаний материалов при сложном напряженном состоянии затруднительно или невозможно. Поэтому требуется создать такую методику расчета, которая позволила бы оценить степень опасности любого напряженного состояния, основываясь на результатах испытания при простом растяжении, сжатии, кручении и сдвиге. Такими методиками являются теории прочности. Для суждения о наступлении предельного состояния необходимо знать причину разрушения материала. Этот вопрос является сложным и до конца еще не решенным.

В каждой теории прочности выдвигается своя причина (критерий) разрушения. Поэтому и существуют десятки теорий прочности, а в идеале должна быть только одна.

1. Теория прочности Галилея-Лейбница, Клебша-Ренкина. Первая теория прочности
2. Теория прочности Мариотта-Грасгофа, Сен-Венана. Вторая теория прочности
3. Теория прочности Кулона. Третья теория прочности

Статически неопределимые системы

Основные понятия

Статически неопределимая система в сопромате — это геометрически неизмененная система, в которой реакции связи (силы в опорных скобах, стержнях и т. д.) не могут быть определены с использованием только статических уравнений, так как требуется совместное рассмотрение последних с дополнительными уравнениями, характеризующими деформации этой системы.

Статически неопределимая система характеризуется наличием дополнительных связей, которые могут быть удалены без нарушения геометрической неизменности системы. Число дополнительных уравнений, равное количеству дополнительных связей (дополнительных неизвестных), называется степенью статической неопределенности системы. Для расчета используются метод сил и метод перемещений.

1. Статически неопределимые системы
2. Порядок расчета статически неопределимого ступенчатого стержня
3. Температурные напряжения в статически неопределимом ступенчатом стержне
4. Расчет статически неопределимого стержни круглого или кольцевого сечения при кручении
5. Расчет статически неопределимых стержневых систем
6. Теорема о взаимности работ внешних сил
7. Теорема о взаимности работ внутренних сил
8. Теорема о взаимности перемещений
9. Определение перемещений методом Максвелла-Мора
10. Вычисление интеграла Мора способом Верещагина
11. Разложение эпюр на составляющие треугольной и параболической форм
12. Статически неопределимые системы
13. Понятие об основной системе метода сил
14. Определение перемещений в статически неопределимых балках
15. Учет осадок опор при расчете неразрезных балок

Сложное сопротивление

Основные понятия

Сложное сопротивление в сопромате— это одновременное воздействие на балку нескольких простых типов деформаций: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Например, совместное действие напряжения и кручения.

1. Сложное сопротивление
2. Косой изгиб. Общие понятия
3. Определение напряжений при косом изгибе
4. Определение положения нейтральной оси при косом изгибе
5. Определение прогибов балки при плоском и пространственном косых изгибах
6. Построение эпюр внутренних сил при косом изгибе балки
7. Порядок расчета на прочность балки при косом изгибе
8. Внецентренное растяжение (сжатие)
9. Определение нормальных напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)
10. Определение положения нулевой линии (нейтральной оси) при внецентренном растяжении (сжатии)
11. Свойства нулевой линии
12. Ядро сечения
13. Свойства ядра сечения
14. Примеры построения ядра сечения
15. Порядок расчета внецентренно сжатой колонны
16. Изгиб с растяжением или сжатием
17. Изгиб с кручением
18. Расчет пространственного ломаного стержни
19. Устойчивость сжатых стержней
20. Основные понятия об устойчивости
21. Метод Эйлера определения критической сжимающей силы для стержня
22. Влияние способов закрепления сжатого стержня на величину критической силы
23. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского
24. Расчет сжатого стержни любой гибкости
25. Практический расчет сжатых стержней
26. Динамический расчет строительных конструкций
27. Учет сил инерции при расчете троса
28. Расчет на удар
29. Прочность при переменных напряжениях
30. Виды циклов напряжений
31. Понятие о пределе выносливости
32. Диаграмма предельных амплитуд
33. Факторы, влияющие на величину предела выносливости
34. Учет пластических деформаций при расчете элементов
35. Пластический изгиб статически определимой балки

Задачи с решением по сопромату

Расчет стержня переменной жесткости на статические нагрузки

Задача №1:

Стержень переменной жесткости, закрепленный верхним концом и загруженный двумя центрально приложенными силами — сила = 72 кН, направленная вверх, и = 48 кН, направленная вниз. Стержень состоит из двух ступеней. Площадь поперечного сечения верхней ступени равна = 6 а площадь поперечного сечения нижней ступени — =8. Модуль упругости материала стержня Е = 200ГПа. Размеры и место приложения сил показаны на рисунке 151.

Решение:

Продольную ось стержня Z направим от опоры в сторону стержня — в данном случае это вниз. Пронумеруем особенные сечения, начиная от опоры. Направим неизвестную реакцию опоры в любую сторону, например, вверх.

Составим уравнение статического равновесия и решим его

Знак «минус» означает, что направление реакции выбрано ошибочно. В действительности реакция направлена вниз. Внесем исправления на рисунке 151, и значение реакции будем считать положительным.

Используя метод сечений, определим продольную силу на участке 1-2. Для этого проведем сечение , в произвольном месте участка 1-2. Это сечение разделит стержень на две части и . Рассмотрим часть 1-. Будем полагать, что в сечении действует растягивающая сила (рис. 152, а). Составим уравнение статического равновесия выбранной части стержня и решим его

Знак «минус» означает, что мы ошиблись, предполагая продольную силу растягивающей. В действительности продольная сила на участке 1-2 вызывает сжатие материала. В отличие от внешних сил, для внутренней силы знак «минус» сохраняется.

Затем, в произвольном месте участка 2-3 проведем сечение и рассмотрим верхнюю от сечения часть стержня (рис. 152, б). Составим уравнение статического равновесия для рассматриваемой части стержня и решим его.

Знак «плюс» означает, что продольная сила , как и предполагалось, растягивает материал участка 2-3.

Проведем сечение в произвольном месте участка 3-4 (рис.152, в) и рассмотрим верхнюю часть стержня. Составим уравнение равновесия и решим его.

Очевидно, что материал участка 3-4 также испытывает растяжения.

На участке 4-5 стержня нет приложенных сил, поэтому продольная сила на этом участке равна нулю и материал его и не растягивается и не сжимается.

По результатам расчета построим эпюру продольных сил (рис. 151). Вычислим значения нормальных напряжений на участках стержня.

Построим эпюру нормальных напряжений (рис. 151). Используя закон Гука, вычислим деформации (изменения длины) участков стержня.

Вычислим перемещения отмеченных сечений стержня, используя реккурентную формулы .

Построим эпюру перемещений (рис. 151). Отметим, перемещения со знаком плюс совпадают с направлением продольной оси Z. Направление перемещений можно указывать и стрелками.

Расчет плоской стержневой системы

Задача №2:

Плоская стержневая система, состоящая из двух деформируемых стержней 1 и 2, а также двух абсолютно жестких элементов, соединенных друг с другом и с опорами шарнирами. Модуль упругости и расчетное сопротивление принято равными Е = 200ГПа, R=210МПа . Исходные данные приведены на рисунке 153.

Решение:

Разрежем стержень 1 и стержень 2 одним сечением, разделив систему на две части — верхнюю и нижнюю. Будем полагать, что оба деформируемые стержни растянуты продольными силами и . То есть эти продольные силы считаем положительными. В результате имеем восемь неизвестных

Вычислим угол наклона второго стержня.

Из уравнения статического равновесия верхней части стержневой системы определим реакции и продольную силу .

Из уравнений равновесия нижней части стержневой системы вычислим реакции и продольную силу .

Реакции на опоре К определим из уравнениями равновесия узла К на горизонтальную и на вертикальную оси.

В результате расчета установлено, что оба деформированные стержни сжаты. Значения реакций положительные, значит их направление выбрано правильно. Если значения какой-либо реакции оказалась бы отрицательной, то следует изменить ее направление на противоположное и считать ее положительной. В данном примере все реакции оказались положительными. Поэтому ничего менять не следует.

Проверим соблюдение условий равновесия всей стержневой системы.

Условие равновесия выполняется. Из условия прочности

определим требуемую площадь поперечного сечения для первого деформируемого стержня.

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два уголка 2L56x4. Тогда площадь поперечного сечения первого стержня равна = 2 • 4,38 = 8,76

Проверим по условию прочности первый стержень

Недогрузка первого стержня составляет

Из условия прочности

определим требуемую площадь поперечного сечения для второго деформируемого стержня.

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два уголка 2L60x6. Тогда площадь поперечного сечения второго стержня равна = 2 • 6,92 = 13,84

Проверим по условию прочности второй стержень

Недогрузка второго стержня составляет

Определим длину первого и второго деформируемых стержней

Используя закон Гука, вычислим деформации первого и второго стержней.

Вычислим радиусы окружностей, по которым движутся точки В и G, и их углы наклона и (рис. 185).

Используя деформируемую схему с учетом упрощений, установим связь между перемещениями точек В и G и деформациями первого и второго стержней (рис. 154).

Вычислим перемещение точки В

Из соотношения перемещений точек В и G

найдем перемещение точки G

Вычислим перемещения точки А.

Определение геометрических характеристик сечения сложной геометрической формы

Задача №3:

Сечение сложной геометрической формы (рис. 155). Требуется определить главные центральные моменты инерции.

Решение:

Разделим сечение на части с простыми геометрическими формами — прямоугольники, треугольники и круги (рис. 155). Выберем вспомогательные оси координат и обозначим их буквами X, Y.

Вычислим площади, определим координаты центров тяжестей частей сечения, их осевые и центробежные моменты инерции: — первая часть сечения — треугольник

• вторая часть сечения — круг

третья часть сечения — прямоугольник

Вычислим площадь всего сечения

Вычислим статические моменты всего сечения относительно вспомогательных осей X и Y

Вычислим координаты центра тяжести всего сечения

Покажем на рисунке центр тяжести и проведем центральные оси и параллельно вспомогательным осям X и Y.

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения в центральной системе координатных осей и

Проверим положение центра тяжести сечения. Для этого используем утверждение, что статический момент любого сечения относительно любой центральной оси равен нулю.

Вычислим моменты инерции всего сечения относительно центральных осей и , параллельных вспомогательным осям X и У.

Вычислим главные центральные моменты инерции и всего сечения

Вычислим угол поворота главных осей инерции относительно центральных осей и

Ось V откладываем от оси на угол , так как так, чтобы она проходила через отрицательные квадранты, так как .

Возможно вам будет полезна страница:

Определение геометрических характеристик сечения, составленного из прокатных профилей

Задача №4:

Сечение, составленное из двутавра №22, листа 1,6×22 см и неравнополочного уголка L 125x80x12 (рис. 159).

Требуется определить геометрические характеристики сечения -положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции и положение главных центральных осей инерции.

Решение:

Вычертим сечение в масштабе и укажем положение центров тяжестей частей сечения. Пронумеруем части сечения и выпишем их геометрические характеристики из таблиц прокатных профилей.

Выберем вспомогательные оси координат X и У.

Используя проставленные на рисунке размеры (рис.159), определим координаты центров тяжестей частей сечения во вспомогательной системе координатных осей Х и У.

В соответствии с проставленными номерами частей сечения, пронумеруем и обозначим их площади следующим образом.

Вычислим площадь всего сечения.

Вычислим статические моменты сечения относительно вспомогательных осей координат X и У.

Найдем координаты центра тяжести всего сечения.

Проведем центральные оси координат и , параллельные вспомогательным осям (рис. 159).

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения относительно центральныз осей.

Проверим найденные координаты, используя доказанное утверждение, что статический момент относительно центральных осей сечения равен нулю.

Условие равенства нулю подтверждается. Следовательно, координаты центра тяжести сечения найдены правильно.

Внесем коррективы в обозначения моментов инерции частей сечения в соответствии с их положением. В сечении (рис.159) ось двутавра направлена вдоль его стенки, а на эскизе (рис. 156) эта ось обозначена как Y. Поэтому следует принимать равным . Аналогично для оси -следует принимать , равным . Так же рассуждая, внесем следующие коррективы для первой, второй и третьей частей сечения. В итоге получим:

Вычислим моменты инерции сечения относительно центральных осей и .

Определим главные центральные моменты инерции сечения и

Найдем угол наклона главных центральных осей инерции относительно центральных осей с и .

Покажем на рисунке (рис.159) положение главных центральных осей инерции. Ось V, относительно которой главный момент инерции меньший, отложим от оси на угол так как . При этом она должна проходить через отрицательные квадранты, потому что центробежный момент инерции сечения меньше нуля . Ось U с большим главным центральным моментом инерции проведем через центр тяжести сечения перпендикулярно оси V.

Построение эпюр внутренних сил и расчет на прочность шарнирно опертой балок

Задача №5:

Приняты следующие исходные данные. Деревянная шарнирно закрепленная балка прямоугольного сечения. Расчетные сопротивления на сжатие (растяжение) и сдвиг соответственно равны R=13 МПа и =2 МПа. Модуль упругости материала балки E=10 ГПа. Балка загружена сосредоточенными силой и моментом, а также равномерно распределенной нагрузкой (рис. 160).

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, из условия прочности подобрать размеры сечения балки, приняв отношение высоты к ширине сечения равным трем.

Решение:

Вначале определим все внешние силы — реакции опор. Будем предполагать, что реакции опори направлены вверх. Отметим, что горизонтальная реакция равна нулю, так как все нагрузки, приложенные к балке, вертикальные.

Составим уравнения статического равновесия и определим значения реакций опор и .

Обе реакции получились положительными. Следовательно, предположение о том, что они направлены вверх правильное.

Определеим поперечные силы и изгибающие моменты в отмеченных сечениях на балке. Для этого используем метод сечений.

На всех рисунка (рис.161) выбраны направления поперечных сил и изгибающих моментов такими, которые соответствуют их положительным значениям.

сечение в точке К, расположенной в том месте балки, где поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент принимает экстремальное значение (рис. 161, и). Удаленность этой точки от левого края участка определяется отношением значения поперечной силы на этом конце участка к интенсивности распределенной нагрузки Найдем значение изгибающего момента в сечении, проведенном через точку К.

По найденным значениям поперечных сил и изгибающих моментов строим их эпюры (рис. 160).

Момент сопротивления прямоугольного сечения (рис. 160) с учетом отношения высоты к его ширине выражается формулой

Из условия прочности при изгибе

выразим требуемую ширину сечения, принимая расчетное значение изгибающего момента

В соответствии с заданным отношением высоте сечения к его ширине вычислим требуемую высоту сечения.

Вычислим момент инерции, момент сопротивления и статический момент отсеченной части сечения.

Проверим выполнение условия прочности по нормальным и по касательным напряжениям, принимая в качестве расчетных значений поперечной силы и значение изгибающего момента .

По нормальным напряжениям

Недогрузка составляет

По касательным напряжениям (по формуле Журавского)

Для изготовления использовать клееную деревянную балку.

Построение эпюр внутренних сил и расчет на прочность защемленной балки

Задача №6:

Деревянная защемленная одним концом деревянная балка круглого сечения. Расчетные сопротивления на сжатие (растяжение) и сдвиг соответственно равны R= 13 МПа и =2 МПа. Балка загружена сосредоточенными силой и моментом, а также равномерно распределенной нагрузкой (рис. 162).

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, из условия прочности подобрать диаметр сечения балки, соблюдая условие если для одной балки это условие не соблюдается, то принять две или три или большее количество балок.

Решение:

Из условия равновесия определим реакции опор и .

Используя метод сечений (см. предыдущий пример), вычислим поперечные силы и изгибающие моменты в помеченных буквами сечениях балки и построим их эпюры (рис. 162).

Расчетные поперечная сила и изгибающий момент, соответственно, равны и .

Из условия прочности

определим диаметр сечения балки, если использована она одна n=1

Ограничение по размеру сечения не выполняется. Поэтому примем две балки n=2.

Условие выполняется. Поэтому принимаем две балки диаметром D=30 см. Вычислим момент сопротивления, статический момент отсеченной части и момент инерции сечения одной балки.

Проверим выполнение условия прочности по нормальным напряжениям.

Недогрузка составляет

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям.

Расчет двутавровой балки на прочность и жесткость

Задача №7:

Подобрать прокатный двутавр для балки (рис. 163), вычислить прогибы и проверить по условию жесткости. Балка и исходные данные приведены на рисунке 163.

Решение:

Составим уравнения равновесия и вычислим реакции опор. Будем полагать, что реакция на левой опоре направлена вверх, а на правой — вниз.

Используя метод сечений, определим поперечные силы и изгибающие моменты в отмеченных сечениях балки (рис. 164).

• сечение правее точки 1 (рис. 164, а)

• сечение слева от точки 2 (рис. 195, б)

— сечение справа от точки 2 (рис. 164, в)

— сечение слева от точки 3 (рис. 164, г)

сечение справа от точки 3 — значение поперечной силы такое же, как и в сечении, расположенной в точке 4 слева (рис. 164, д), а изгибающего момента такое же, как и в сечении 3 слева (рис. 164, г)

-сечение слева от точки 4 (рис. 164, д)

-сечение в точке К (рис. 164, е) — расстояние от точки А до точки К равно отношению поперечной силы на рассматриваемом участке к интенсивности равномерно распределенной нагрузки .

Найденные значения поперечных сил и изгибающих моментов откладываем на графике и соединяем эти точки по правилам построения эпюр (рис. 163).

Расчетными значениями поперечных сил и изгибающих моментов, согласно построенным эпюрам, назначаем

Из условия прочности

найдем требуемый момент сопротивления

Из таблицы прокатных профилей выберем двутавр, у которого момент сопротивления равен или больше требуемого и выпишем необходимые для дальнейшего расчета геометрические характеристики его поперечного сечения.

Двутавр №20: осевой момент сопротивления ; осевой момент инерции ; статический момент отсеченной части ; толшина стенки .

Проверим выполнение условия прочности по нормальным напряжениям

Недогрузка составляет

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям

Подготовим балку для вычисления прогибов согласно требованиям метода начальных параметров:

• пронумеруем участки балки слева направо;
• дополним распределенную нагрузку до конца балки;
• приложим компенсирующую нагрузку.

Составим универсальное уравнение упругой оси балки

Начальные параметры определим по условию закрепления балки 1) при z = а = 2 м V= 0, участок I

2) при z = а+Ь+с = 2+4+2=8 м V= 0, участок III

Решим полученную систему уравнений и найдем начальные параметры

Вычислим прогиб балки в точке С ( z = 0 )

Вычислим прогиб балки в точке D ( z = 6м)

Проверим по условию жесткости

Условие жесткости выполняется.

Используя полученные значения прогибов в точках С и D учитывая, что на опорах прогибы равны нулю и в соответствии с эпюрой изгибающих моментов построим упругую ось балки.

Построение эпюр внутренних сил в плоских рамах

Задача №8:

Дана плоская рама, загруженная сосредоточенным моментом, сосредоточенной силой и равномерно распределенной нагрузкой (рис. 166).

Требуется построить эпюры продольных и поперечных сил, а также эпюру изгибающих моментов.

Решение:

Вначале определим все внешние силы, то есть реакции опор. Для этого составим уравнения статического равновесия и решим их.

Для удобства пронумеруем сечения, в которых следует определить внутренние силы (рис. 166). Внутренние силы в раме определим, используя метод сечений (рис. 167):

сечение 1 (рис. 167, а)

сечение 2 (рис. 167,б)

сечение 3 (рис. 198, в)

сечения 4 (рис. 198, г)

сечение 5 (рис. 198, д)

сечение 6 (рис. 198, е)

сечение 7 (рис. 198, .ж)

сечение 8 (рис. 198, з)

Найденные значения внутренних сил в отмеченных номерами сечениях откладываем на графике и строим эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов согласно правилам. На рисунке 166 показан узел С и все силы, приложенные к нему. Очевидно, что равновесие узла выполняется.

Возможно вам будет полезна страница:

Исследование напряженного состояния в точке

1) Обозначим напряжения, укажем их знаки и дополним недостающие напряжения.

2) Вычислим главные напряжения.

3) Вычислим угол поворота главных площадок.

4) Покажем положение главных площадок и главные напряжения.

Направление напряжения откладываем от направления большего напряжения в сторону, куда показывает напряжение на площадке с нормалью У.

Пример расчета заклепочного соединения

Задача №9:

• Уголок №75×8;
• Размеры листа 95×20 мм; 6 = 95 мм; t = 20 мм.
• Схема узла приведена на рисунке 170

Решение:

Проверим на срез

Количество площадок среза в одной залепке

Проверим на смятие

Проверим лист на растяжение

Проверим уголок на растяжение

Условие прочности выполняется.

Пример расчета сварного соединения

Задача №10:

Пусть неравнополочный уголок(рис. 171) соединен с листом по своей широкой полки электросваркой (угловым фланговым швом); (электрод с тонкой обмазкой). К соединению приложена сила N=35 кН. Принять коэффициент

Рассчитать длину швов.

Решение:

Из условия прочности для углового флангового сварного шва на срез

определим расчетную длину шва

Распределим шов на обушок и на перо

Принимаем проектные длины швов

Пример расчета стержня круглого сечения на кручение

Задача №11:

Стержень кольцевого сечения подвергнут кручению двумя моментами Наружный и внутренний диаметры кольцевого сечения соответственно равны мм, и Модуль сдвига и расчетное сопротивление материала стержня, соответственно, равны

Решение:

Полярный момент инерции сечения стержня

Угол закручивания участка 1-2

Угол закручивания участка 2-3

Углы поворота сечений стержня

Полярный момент сопротивления кольцевого сечения

Проверим по прочности

Условие прочности выполняется.

Пример расчета статически неопределимого ступенчатого стержня

Задача №12:

Стержень переменного сечения, загруженный осевыми сосредоточенными силами (рис.204). Расстояние между опорами больше чем общая длина стержня на 1 мм. Числовые данные приведены на рисунке 173. Стержень изготовлен из стали. Модуль упругости материала стержня равен Е=200 ГПа

Решение:

Определим степень статической неопределимости системы:

То есть система один раз (однажды) статически неопределимая. Обозначим особенные сечения стержня цифрами, начиная со стороны защемления А.

Составим уравнение статического равновесия

Составим уравнение совместности деформаций

Используя закон Гука, вычислим деформацию стержня от нагрузки, отбросив нижнюю опору и считая неподвижной верхнюю опору.

Следовательно, в результате деформации стержня от нагрузки зазор закрывается и на нижней опоре появляется дополнительная реакция.

Используя закон Гука, выразим деформацию стержня от неизвестной реакции. Выразим потому, что еще не знаем величину самой реакции .

Подставим полученные выражения в уравнение совместности деформаций и получим дополнительное уравнение

Объединим уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение в систему

Решим полученную систему уравнений. Учитывая, что система содержит неполное уравнение, из второго уравнения найдем значение реакции

Из первого уравнения определим реакцию

Используя метод сечений, вычислим значения продольных сил на участках стержня (рис. 174).

На участке 1-2

На участке 2-3

На участке 3-4

На участке 4-5

Построим эпюру продольных сил (рис.175).

Вычислим значения напряжений в поперечных сечениях стержня

Построим эпюру нормальных напряжений (рис.175). Пусть материал стержня деформируется по закону Гука. Вычислим относительные линейные деформации на участках стержня

Вычислим абсолютные линейные деформации участков стержня

Вычислим перемещения отмеченных сечений стержня и построим эпюру перемещения (рис.175)

Построим эпюру перемещений сечений стержня (рис. 175).

Пример расчета статически неопределимого стержня на температурные воздействия

Задача №13:

Стальной стержень кольцевого сечения состоит из двух участков с разной площадью поперечных сечений, подвергнут температурному воздействию. Расстояние между опорами больше на 3 мм длины стержня. Температура стержня увеличилась на 90°. Требуется определить продольные силы, температурные напряжения и перемещения сечений стержня. Исходные данные приведены на рисунке (рис.176).

Решение:

Предположим, что в результате температурных деформаций стержень удлинница на величину большую, чем зазор между нижним концом стержня и нижней опорой. Тогда кроме реакции на верхней опоре появится реакция и на нижней опоре.

Определим степень статической неопределимости:

Отсюда следует, что стержень один раз (однажды) статически неопределимый.

Составим уравнение статического равновесия

Отсюда следует, что реакции опор равны по величине, но направлены в разные стороны.

Составим уравнение совместности деформаций

По закону температурных деформаций вычислим деформацию стержня от повышения температуры при условии отсутствия нижней опоры. Коэффициент линейного температурного расширения принимаем равным .

Отсюда следует, что в результате деформации стержня от температуры зазор закрывается и на нижней опоре действительно появляется реакция.

Используя закон Гука, выразим (выразим, потому что еще не знаем значение самой реакции ) деформацию стержня от неизвестной реакции.

Подставим выражения для и в уравнение совместности деформаций и получим дополнительное уравнение.

Уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение имеют одинаковые неизвестные, поэтому они образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Из второго уравнения определим значение реакции .

Из первого уравнения (уравнения равновесия) определим реакцию верхней опоры

Определим продольные силы на участках стержня:

• на участке А-С (рис.208, а)

• на участке С-В (рис.208, б)

Вычислим температурные напряжения на участках стержня

Вычислим деформации участков стержня. При этом следует учитывать деформацию от реакции и деформацию от изменения температуры:

Определим перемещения помеченных сечений стержня: WA — 0; (по условию закрепления)

Построим эпюры продольных сил, напряжений и перемещений (рис.178).

Расчет статически неопределимого стержня круглого (кольцевого) сечения на кручение

Задача №14:

Стальной стержень переменной жесткости круглого поперечного сечения, защемленный обоими концами. Схема стержня приведена на рисунке (рис. 179)

Приняты следующие исходные данные:

Решение:

Определим степень статической неопределимости:

Следовательно, стержень один раз статически неопределимый. Составим уравнение статического равновесия

Вычислим модуль сдвига материала стержня

Вычислим полярные моменты инерции поперечных сечений стержня на участках А-С и С-В

Освободим правый конец балки от опоры и определим угол поворота правого сечения B, вызванного заданным крутящим моментов Т.

Выразим угол закручивания правового торца стержня, вызванного неизвестным реактивным моментом

Составим уравнение совместности деформаций — дополнительное уравнение

Уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение образуют систему уравнений

Решим систему уравнений и найдем значения неизвестных реактивных моментов и .

Определим крутящие моменты на участках стержня

Участок АС

Участок СВ

Вычислим полярные моменты сопротивления сечений стержня на его участках АС и СВ

Определим максимальные касательные напряжения в сечениях стержня

Вычислим деформации (углы закручивания) участков стержня

Определим углы поворота сечений стержня

Очевидно, что кинематические условия задачи выполняются. Построим эпюры крутящих моментов и углов закручивания сечений стержня (рис.181).

Расчет статически неопределимой плоской стержневой системы

Задача №15:

Плоская стержневая система, состоящая из двух деформируемых стальных стержней и одного абсолютно жесткого элемента (диска), прикрепленного к опоре неподвижным шарниром. Модуль упругости материала деформируемых стержней принят равным Е=200 ГПа. Стержневая система загружена равномерно распределенной нагрузкой q = 120 кН/м и сосредоточенной силой F = 240 кН. Площади поперечных сечений первого и второго стержней приняты соответственно равными и . Размеры и положение элементов системы приведены на рисунке (рис.182).

Требуется найти продольные силы в деформируемых стержнях, вычислить их деформации и определить перемещения точек А и В.

Решение:

Вычислим длинны деформируемых стержней

Вычислим радиусы окружностей, по которым движутся точки А и В

Вычислим угол наклона первого стержня к горизонтальному направлению

Составим уравнение статического равновесия

Вычислим углы наклона радиусов окружностей, по которым движутся точки А и В, к горизонтальному направлению

Установим связь между перемещениями шарниров А и В

Установим связь между перемещениями точек А, В и деформациями первого и второго деформируемых стержней системы.

Принимаем, что материал первого и второго стержней деформируется по закону Гука.

Объединим уравнения и получим дополнительное уравнение

Уравнение статического равновесия и полученное нами дополнительное уравнение образуют систему, решением которой являются продольные силы в первом и во втором стержнях

В результате решения получим значения продольных сил

Очевидно, что первый стержень растянут, а второй сжат. Определим реакции на опоре С. Для этого составим уравнения статического равновесия Из первого уравнения найдем реакцию

Из второго уравнения

найдем реакцию

Вычислим напряжения в первом и во втором стержнях.

Вычислим деформации первого и второго стержней системы

Определим перемещения точек А и В

Расчет статически неопределимой балки методом начальных параметров

Задача №16:

Статически неопределимая консольная балка (рис. 183), защемленная левым концом и шарнирно опирающаяся правым. Пролет балки равен 6 м, длина консоли 2 м. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой и сосредоточенным моментом Приняты расчетное сопротивление материала балки на растяжение (сжатие) R = 210МПа, расчетное сопротивление на срез , допускаемый относительный прогиб

Требуется раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр и определить прогибы балки в точках С и D а также проверить условие жесткости.

Решение:

Количество неизвестных равно четырем — . Количество линейно независимых уравнений равновесия равно трем. Степень статической неопределимости равна n = 4 -3 = 1. То есть балка один раз (однажды) статически неопределимая.

Составим универсальное уравнение упругой оси балки.

Отметим, что левый конец балки защемлен. Поэтому прогиб и угол поворота сечения расположенного на опоре А равны нулю по условию защемления, а значит, равны нулю. Равны нулю и начальные параметры и .

По условию закрепления балки прогиб балки в точке В равен нулю, так как эта точка располагается на шарнирно подвижной опоре. Используем это условие для составления дополнительного уравнения.

Составим уравнение статического равновесия балки

Оба полученные уравнения содержат одни и те же неизвестны — и . Поэтому они образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными

Решим эту систему и получим значения реакций

Чтобы получить значение реакции , используем еще одно уравнение статического равновесия

Решим его и получим значение реакции опоры В, =62,83 кН. Используя метод сечений и правила построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.183).

Из условия прочности

определим требуемый момент сопротивления

По таблице прокатных профилей подберем двутавр с уклоном полок №30а. Выпишем его геометрические характеристики:

Проверим на прочность по нормальным напряжениям

Недогрузка составляет

Проверим на прочность по касательным напряжениям

7780-10″8 • 6,5 -10 Найдем прогиб балки в точке С при z = а = 4 м (уча-сток I)

Найдем прогиб балки в точке D при z = a+b+c = 4+2+2=8 м (участок III)

Проверим по жесткости

Условие жесткости выполняется.

Используя полученные значения прогибов балки в точках С и D, а также учитывая, что угол поворота сечения в точке А и прогибы балки на опорах А и В равны нулю, построим упругую ось балки (рис. 183). Отметим, что упругая ось балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов. Растянутые волокна балки на ее упругой оси должны быть с той стороны, в которую отложены ординаты на эпюре изгибающих моментов.

Определение деформаций статически определимой балки методом Максвелла-Мора (способ Верещагина)

Задача №17:

Статически определимая шарнирно опертая балка, загруженная сосредоточенным моментом М=24кНм, сосредоточенной силой F = 18kHh равномерно распределенной нагрузкой q = 12кН/м. Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр, определить прогибы в точках С, D и H, проверить по условию жесткости, приняв, расчетные сопротивления на растяжение (сжатие) R = 210МПа, на сдвиг и модуль упругости стали Е = 200ГПа. Размеры балки приведены на рисунке (рис.184).

Решение:

Составим уравнения статического равновесия и вычислим реакции опор и , Учитываем, что горизонтальная реакция на шарнирно неподвижной опоре А равна нулю =0.

Используя метод сечений, вычислим значения поперечных сил и изгибающих моментов и по правилам построим их эпюры (рис.184). Из условия прочности

определим требуемый момент сопротивления

и подберем прокатный двутавр № 18а. Выпишем его геометрические характеристики Проверим балку на прочность по нормальным напряжениям

Недогрузка составляет

Проверим на прочность по касательным напряжениям

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных в точках С, D и G, где следует найти прогибы балки (рис.184).

Перемножим эпюру и ,и найдем прогиб балки в точке D. Для этого разложим эпюры на части треугольной и параболической форм (рис.185).

Знак минус означает, что прогиб балки в точке D направлен против направления силы то есть вверх. Аналогично найдем прогиб балки в точках G и С

Знак плюс означает, что направление прогиба балки в точке G совпадает с направлением единичной силы то есть вниз.

Знак минус означает, что направление прогиба балки в точке С противоположно направлению единичной силы , то есть вверх.

По найденным значениям прогибов балки в точках D, G и С, а также учитывая эпюру изгибающих моментов, построим упругую ось балки (рис.184).

Расчет статически неопределимой балки методом сил (Максвелла-Мора)

Задача №18:

Двух пролетная статически неопределимая балка (рис. 186), опирающаяся на шарнирные опоры и загруженная равномерно распределенной нагрузкой q = 12 кН/м и сосредоточенной силой F = 48 кН. Размеры балки и схема нагружения показаны на рисунке (рис.186). Требуется раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр, вычислить прогибы в точках К и D а также построить упругую ось, принимая модуль упругости Е = 200 МПа, расчетные сопротивления на растяжение (сжатие) R = 210 МПа, расчетное сопротивление на сдвиг .

Решение:

Определим степень статической неопределимости:

Составим каноническое уравнение

Вычислим коэффициент канонического уравнения

Подставим значения коэффициента и свободного члена в каноническое уравнение

Решим его и получим значение неизвестного

Приложим к основной системе нагрузку и найденный опорный момент Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.186).

Из условия прочности

определим требуемый момент сопротивления

По таблицам прокатных профилей подберем двутавр с уклонами полок Проверим по условию прочности

Недогрузка составляет

Проверим на прочность по касательным напряжениям

Вычислим прогиб балки в точке D. Для этого перемножим единичную эпюру на окончательную эпюру изгибающих моментов и разделить на жесткость (рис.217).

Вычислим прогиб балки в точке К. Для этого перемножим единичную эпюру на окончательную эпюру изгибающих моментов и разделим на жесткость (рис.186).
Недогрузка составляет

Проверим балку по жесткости

Условие жесткости балки выполняется.

По найденным значениям прогибов и учитывая, что на опорах прогибы равны нулю, построим упругую ось балки (рис.186). Отметим, что упругая ось балки должна соответствовать эпюре изгибающих моментов.

Расчет балки на прочность и жесткость при плоском косом изгибе

Задача №19:

Двутавровая балка №24, защемленная одним концом и загруженная на свободном конце сосредоточенной силой F= 3,6 кН, направленной под углом = 12° к вертикальному направлению (рис.187). Длина балки l= 2м. Требуется построить эпюры изгибающих моментов в двух главных плоскостях, установить опасное сечение, найти положение нейтральной оси, проверить по условию прочности, найти прогиб и его направление на свободном конце балки.

Решение:

Выпишем геомертические характеристики сечения двутавра №24:

Определим проекции силы F на главные оси инерции сечения двутавра

Вычислим изгибающие моменты от составляющих силы и в сечении, расположенном у защемления балки

Построим эпюры изгибающих моментов, выберем опасное сечение у защемления и направим главные центральные оси в сторону растянутых волокон балки.

Так как отношение изгибающих моментов во всех поперечных сечениях балки одинаковое, то это значит, что плоскость суммарного изгибающего момента так же занимает одинаковое положение во всех сечениях. То есть, имеет место плоский косой изгиб.

Определим положение нейтральной оси. Для этого найдем угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси инерции X.

Угол откладываем от оси X так, чтобы нейтральная ось проходила через отрицательные квадранты координатной плоскости (рис.188).Определим координаты опасной точки t в растянутой части сечения

Определим координаты опасной точки s в сжатой части сечения

Определим напряжения в опасных точках поперечного сечения балки при косом изгибе.

Вычислим прогиб балки в горизонтальном и вертикальном

направлениях, используя ранее полученную формулу

Определим полный прогиб на свободном конце балки

Найдем направление полного прогиба

Положение нейтральной оси показано на рисунке 188.

Расчет балки на прочность и жесткость при пространственном косом изгибе

Задача №20:

Деревянная балка прямоугольного сечения, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис.189). Балка загружена вертикальной равномерно распределенной нагрузкой q = 24 кН/м и горизонтальной сосредоточенной силой F = 6 кН, приложенной в ее середине. Размеры сечения балки bxh = 18х56см, ее длина (пролет) l = 6 м. Модуль упругости материала балки Е = 10 ГПа.

Требуется построить эпюры изгибающих моментов, построить нейтральную ось, найти максимальные нормальные напряжения, найти прогиб и его направление в середине пролета балки.

Решение:

Определим главные центральные моменты поперечного сечения балки. При этом учитываем, что сечение имеет оси симметрии, поэтому положение главных осей инерции заранее известно — это оси симметрии.

Рассмотрим балку только в вертикальной плоскости ZY (рис.189). Вычислим вертикальные реакции опор балки.

Рассмотрим балку только в горизонтальной плоскости ZX (рис.189). Вычислим вертикальные реакции опор балки.

Пользуясь методом сечений и правилами, построим эпюр изгибающих моментов и построим эпюру изгибающих моментов в плоскости ZX и ZY (рис. 189). В точке С расчетные моменты равны кНм.

Определим угол наклона нейтральной оси к координатной оси X.

Определим опасные точки в растянутой и в сжатой частях сечения С. Их координаты

Вычислим нормальные напряжения в опасных точках сечения С.

Прогиб балки в точке С по горизонтальному направлению вычислим по формуле

Прогиб балки в точке С по вертикальному направлению вычислим по формуле

Определим направление полного прогиба балки в точке С

Полный прогиб балки с точке С.

Построим эпюры напряжений и покажем прогибы (рис. 190).

Расчет стержня на внецентренное растяжение (сжатие)

Задача №21:

Дано сечение внецентренно сжатого стержня (рис.191). Равнодействующая сжимающей силы равна F=108 кН. Требуется найти положение центра тяжести сечения, положение нулевой линии, определить опасные точки и напряжения в них, построить эпюру нормальных напряжений и ядро сечения.

Решение:

Разделим сечение на части, имеющие простые геометрические формы прямоугольник верхний, прямоугольник нижний и круг. Выберем вспомогательные оси координат — ось X по нижнему краю сечения, а ось Y — по оси симметрии. Отметим положения центров тяжестей отдельных частей сечения и определим их координаты, вычислим площади и осевые моменты инерции относительно их собственных центральных осей, параллельных выбранным вспомогательным осям (рис.191).

Для первой части сечения — верхний прямоугольник

Для второй части сечения — нижний прямоугольник

Для третьей части сечения

Координаты точки приложения равнодействующей силы в базовых осях

Площадь всего сечения

Статический момент всего сечения относительно вспомогательной оси X

Вычислим координату центра тяжести всего сечения

Покажем центр тяжести всего сечения и проведем центральные оси, параллельно соответствующим базовым осям (рис.191).

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения относительно центральных осей Хс и Yc.

Найдем координаты точки приложения силы в центральных осях Хс и Yc

Проверим координаты центра тяжести всего сечения, используя утверждение, что статический момент относительно любой центральной оси должен быть равным нулю. Вычислим статические моменты всего сечения относительно центральных осей Хс и Yc .

Погрешность координаты центра тяжести не превышает

так как ось Yc является осью симметрии сечения.

Вычислим главные центральные моменты инерции всего сечения.

Вычислим квадраты радиусов инерции сечения

Найдем отсеченные отрезки нулевой линии

Построим нулевую линию на сечении стержня и определим координаты опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения в базовых осях координат. Обозначим опасную точку в сжатой части сечения буквой s, а в сжатой —t.

Определим координаты опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения в центральных осях координат Хс и Yc.

Найдем напряжения в опасных точках сечения колонны

Построим эпюру нормальных напряжений (рис.191).

Построим ядро сечения. Для этого найдем отсеченные отрезки касательных к сечению колонны и соответствубщие им точки приложения силы.

1-я касательная (нулевая линия)

2-я касательная (нулевая линия).

Из рисунка видно, что вторая касательная проходит через две точки сечения с координатами

Отсеченные отрезки этой (второй) касательной определим из выражений

3-я касательная (нулевая линия)

4-я касательная (нулевая линия)

Отметим точки, координаты которых найдены, и соединим их согласно свойствам ядра сечения и нулевой линии (рис.191).

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Расчет стержня круглого сечения, испытывающего кручение с изгибом

Задача №22:

Вал круглого поперечного сечения (рис.192) закреплен на опорах с подшипниками и загружен двумя вертикальными силами =120 кН, одной горизонтальной силой =40 кН передает крутящий момент =30 кНм. Материал вала — сталь с расчетным сопротивлением R=180 МПа. Размеры вала приведены на рисунке (рис.193). Требуется проверить прочность вала по третьей и по четвертой теориям прочности.

Решение:

Построим эпюры изгибающих и крутящегл моментов (рис.193).

Вычислим осевой момент сопротивления поперечного сечения стержня

Из эпюр (рис. 192) назначим расчетные моменты

Вычислим суммарный изгибающий момент

Определим приведенный момент по третьей теории прочности

Проверим на прочность по третьей теории прочности

Определим приведенный момент по четвертой теории прочности

Проверим на прочность по четвертой теории прочности

Прочность выполняется по обеим теориям.

Построение эпюр внутренних сил в пространственном стержне

Задача №23:

Элемент, входящий в пространственную конструкцию. Поперечные сечения на всех трех участках стержня имеет форму круга диаметров D. Участки элемента ортогональны. Длина всех участков одинаковая и равная а = 2 м. Форма элемента показаны на рисунке (рис.193). Требуется построить эпюры внутренних сил на участках пространственного элемента, установить виды сопротивления и привести расчетные формулы для напряжений.

Решение:

Будем отмечать расположение растянутых волокон словами — верхние или нижние, левые или правые, дальние или ближние. Знаки на эпюре изгибающих моментов не ставятся, а направление действия изгибающих моментов определяем положением волокон, которые они растягивают.

Знак продольной силы определяется тем, какое действие она совершает — растягивает или сжимает. Если продольная сила растягивает материал, то она принимается положительной, если сжатие, то она принимается отрицательной.

Знак поперечной силы принимается по правилу буравчика — если направление сдвига соответствует буравчику, вкручивающемуся в соответствующую поперечную ось, то поперечная сила, вызывающая этот сдвиг, принимается положительной. Если буравчик выкручивается из соответствующей оси координат, то поперечная сила считается отрицательной.

Знак на эпюре крутящих моментов не выставляется.

Определение внутренних сил выполняется по методу сечения. При этом продольную силу и поперечные силы предварительно направляем так, чтобы они были положительными.

Используя уравнения статического равновесия найдем внутренние силы в отмеченных сечениях стержня.

На участке 1-2 в сечении 1 (рис.224, а, б)

На участке 1-2 в сечении 2 (рис.224, в, г)

На участке 2-3 в сечении 2 (рис.224, д,е)

На участке 2-3 в сечении 3 (рис.225 ж, з)

На участке 3-4 в сечении 3 (рис.194 и, к)

Ha участке 3-4 в сечении 4 (рис. 194 л, м)

По найденным значениям и используя правила, построим эпюры внутренних сил в пространственном элементе (рис. 195).

Подбор сечения сжатого стержня с учетом продольного изгиба

Задача №24:

Стержень длинной l = 4 м защемлен обеими концами сжат силой F = 240 кН. Подберем двутавровое сечение. Расчетное сопротивление и модуль упругости материала двутавра приняты равными R=210МПа и Е=200ГПа

Решение:

В первом приближении принимаем коэффициент продольного изгиба равным . Из условия прочности при продольном изгибе

определим требуемую площадь сечения стержня

По требуемой площади поперечного сечения стержня подберем из таблицы прокатов двутавр №18 и выпишем его площадь и радиус инерции

Определим гибкость стержня

Найдем коэффициент продольного изгиба, используя линейную интерполяцию

Проверим сжатый стержень по условию прочности при продольном изгибе

Условие прочности выполняется. Определим критическое напряжение по формуле Эйлера, так как

Вычислим критическую силу

Найдем коэффициент запаса устойчивости

Определение несущей способности сжатого стержня кольцевого поперечного сечения с учетом продольного изгиба

Задача №25:

Стержень кольцевого сечения, шарнирно закрепленный верхним концом и защемленный нижним концом, сжат силой F = 240 кН. Все числовые данные приведены на рисунке (рис. 197).

Решение:

Вычислим площадь сечения

Вычислим момент инерции сечения стержня

Определим радиус инерции сечения

Найдем гибкость стержня

Вычислим предельную гибкость для материала стержня (стали)

Определим критическую силу. Так как воспользуемся формулой Эйлера.

Найдем коэффициент продольного изгиба, используя таблицу и линейную интерполяцию

По интерполяции получим

Проверим по условию прочности

Условие прочности выполняется.

Найдем несущую способность сжатой стойки — допускаемую сжимающую силу из условия прочности.

Определим коэффициент запаса устойчивости.

Определение несущей способности сжатого стержня, составленного из двух уголков, с учетом продольного изгиба

Задача №26:

Сжатый стержень защемлен нижним концом и свободен на верхнем конце. Стержень состоит их двух равнополочных прокатных уголков L№ 120×8, образующих крестообразное сечение. Из таблицы прокатных профилей выпишем площадь сечения одного уголка радиус инерции Расчетное сопротивление и модуль упругости равны R = 210 МПа и Е=200 ГПа. По условию закрепления коэффициент приведения длины равен

Решение:

Вычислим гибкость стержня из плоскости, содержащей ось V (рис. 198).

Используя таблицу коэффициентов продольного изгиба и линейную интерполяцию, вычислим коэффициент продольного изгиба при гибкости

Из условия прочности найдем допускаемую сжимающую силу

Вычислим критическое напряжение, используя формулу Ясинского, так как

Определим критическую сжимающую силу

Найдем коэффициент запаса устойчивости

Расчет балки на поперечный удар

Задача №27:

Балка пролетом 3 м, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис.199). На балку падает тело массой m=2000 кг с выcоты 11 см. Балка изготовлена из двутавра №20а с моментом инерции

и моментом сопротивления Модуль упругости материала двутавра принят равным Е = 200 ГПа. Требуется найти динамический коэффициент, динамическое напряжение и динамический прогиб балки. Собственная масса не учитывается.

Решение:

Вес падающего тела на поверхности Земли равен

Определим прогиб балки от статически приложенной нагрузки, то есть веса падающего тела.

Вычислим динамический коэффициент

Найдем максимальный изгибающий момент от статически приложенной нагрузки.

Определим максимальное нормальное напряжение от статически приложенной нагрузки, то есть от веса падающего тела.

Вычислим максимальное нормальное напряжение при ударе падающего тела.

Определим прогиб балки от динамического приложения нагрузки (ударе)

Дополнительный материал по сопротивлению материалов

Назначение дисциплины

«Сопротивление материалов» рассматривает расчет отдельных элементов конструкций.

Элементы конструкций рассчитываются на прочность, жесткость и устойчивость.

Прочность — способность элемента конструкции воспринимать нагрузку не разрушаясь.

Жесткость — способность элемента конструкции оказывать сопротивление деформации, допуская ее в определенных пределах.

Устойчивость — способность элемента конструкции сохранять под нагрузкой первоначальную форму равновесия.

Гипотезы и допущения:

В теории дисциплины при выводе расчетных формул применяется ряд гипотез и допущений.

Основные из них:

• материал принимается сплошным, однородным и изотропным (свойства в любой точке и направлении считаются одинаковыми);
• материал до определенной степени нагружения деформируется линейно;
• деформации элемента конструкции весьма малы по сравнению с размерами самого элемента;
• до приложения внешних сил в материале отсутствуют напряжения.

Геометрическая схематизация элементов строительных конструкций. Расчетная схема

Расчет строительной конструкции начинается с геометрической схематизации ее элементов. Все формы элементов строительных конструкций с достаточной степенью точности можно отнести к четырем основным формам: брус, пластина, массив и оболочка.

Расчет пластин, массивов и оболочек осуществляется с использованием теории упругости, а расчет бруса — с использованием сопротивления материалов.

После схематизации геометрических форм производят выбор расчетной схемы. Расчетная схема представляет собой упрощенную схему элемента, которая отражает наиболее существенные его особенности под действием нагрузки. При составлении расчетной схемы брус не вычерчивают полностью, а только его продольную ось, поскольку она является геометрическим местом центров тяжести поперечных сечений. Все действующие на элемент внешние силы приводятся к этой оси по правилу механики.

На расчетной схеме намечается система трех взаимно перпендикулярных осей координат: Z— вдоль продольной оси, X, Y — поперек продольной оси (рис. 1, а, б). Начало координатных осей обычно располагается в крайней левой точке расчетной схемы.

Каждый элемент конструкции соединяется с другим элементом или основанием при помощи опорных устройств. Опоры подразделяются на шарнирно-подвижные, шарнирно-неподвижные, защемления (заделки), см. рис. 1, а, б.

В зависимости от конструктивного назначения брус могут называть стержнем, балкой, колонной или валом.

• Стержень — это брус, работающий на растяжение (сжатие).
• Балка — брус, работающий на изгиб.
• Колонна — вертикально стоящий брус, предназначенный для восприятия сжимающей нагрузки.
• Вал — брус, работающий на кручение.

Внешние силы

Элементы конструкций испытывают воздействие внешних сил, которые делятся на активные (нагрузки) и реактивные (реакции опор). Среди нагрузок различают сосредоточенные F, М, Т (считаются приложенными в точке элемента или конкретном сечении) и распределенные q (по длине или площади элемента), см. рис. 1, а, б. Опорные реакции плоской системы определяются из трех условий равновесия (статики): см- Рис- 1, а, б.

Внутренние силы

В результате действия внешних сил в элементе конструкции возникают внутренние силы (усилия), которые сопротивляются действию внешних сил и обусловлены упругим взаимодействием частиц материала.

Внутренние силы (рис. 1, в) привязываются к системе координатных осей стержня и подразделяются:

Для определения внутренних сил используется метод сечений. Стержень в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части. Одна часть стержня отбрасывается, а действие отброшенной части на оставленную (рассматриваемую) заменяется неизвестными внутренними силами. Для оставшейся части составляются уравнения равновесия, из которых и определяются неизвестные внутренние силы.

Напряжения

Различают нормальные а и касательные напряжения. Нормальные напряжения действуют перпендикулярно поперечному сечению и являются функцией

а касательные — в плоскости поперечного сечения и являются функцией

Виды напряженного состояния материала

В общем случае действия внешних сил на тело (элемент конструкции) по граням элементарно малого прямоугольного параллелепипеда, выделенного в любой точке, действует совокупность нормальных и касательных напряжений, определяющих напряженное состояние в этой точке (рис. 2, а). На невидимых гранях элемента возникают соответственно такие же напряжения, но противоположно направленные.

Нормальным напряжениям присваивают индекс, указывающий ось, параллельно которой они направлены. Для обозначения касательных напряжений используется двойной индекс. Первый указывает ось, параллельно которой направлено касательное напряжение, второй — ось, параллельно которой направлена нормаль к площадке, где действует касательное напряжение.

С поворотом параллелепипеда вокруг точки значение напряжений будет изменяться, и можно найти такое его положение, при котором касательные напряжения по его граням исчезнут, а нормальные сохранятся (рис. 2, б). Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а действующие на них нормальные напряжения — главными нормальными напряжениями. Они обозначаются , причем .

По совокупности главных напряжений различают три вида напряженного состояния материала:

• объемное, когда все три главных напряжения отличны от нуля (см. рис. 2, б);
• плоское, когда два главных напряжения отличны от нуля (рис. 2, в);
• линейное, когда отлично от нуля лишь одно главное напряжение (рис. 2, г).

Деформации и перемещения

Под воздействием внешних нагрузок элементы конструкции деформируются, т. е. изменяют свои размеры и форму. Деформации могут быть упругими и пластическими. Упругие деформации исчезают после снятия нагрузки, а пластические сохраняются.

В зависимости от условий загружения внешними силами брус может испытывать такие виды деформаций, как растяжение (сжатие), сдвиг, кручение и изгиб. Эти четыре вида деформаций относят к простым. На практике брус часто подвергается одновременно нескольким простым деформациям, например, изгиб с растяжением, изгиб с кручением и растяжением и т. д. Такую деформацию называют сложной.

В случае когда длина бруса намного больше его поперечных размеров (например, чертежная линейка), сжимающие силы могут изогнуть его. Произойдет особый вид деформации — продольный изгиб.

При деформациях точки элемента конструкции перемещаются в пространстве. Различают линейные перемещения — для точек и угловые — для линий (рис. 3, а).

В конкретных видах деформаций перемещения приобретают определенные обозначения и названия. При растяжении-сжатии -продольная деформация (рис. 3, б); при кручении — угол закручивания (рис. 3, в); при изгибе — прогиб, а угол поворота сечения (рис. 3, г).

Методы расчета на прочность и жесткость

В расчетной практике используется несколько методов расчета на прочность. Наиболее распространены два из них.

Расчет деталей машин и механизмов ведется по методу допускаемых напряжений, а расчет элементов строительных конструкций -по методу предельных состояний.

По методу допускаемых напряжений условие прочности при линейном напряженном состоянии имеет вид

Максимальные напряжения определяются от нормативной нагрузки, т. е. нагрузки, установленной нормами проектирования.

Допускаемые напряжения устанавливаются по результатам испытания материала с учетом общего коэффициента запаса прочности.

По методу предельных состояний условие прочности имеет вид

где — расчетные сопротивления для материала элемента.

Максимальные напряжения определяются от расчетной нагрузки, учитывающей возможность ее отклонения от нормативной.

Расчетные сопротивления также устанавливаются по результатам испытания материала, но с использованием ряда частных коэффициентов, каждый из которых учитывает какой-либо один фактор, влияющий на его прочность.

Расчет по методу предельных состояний позволяет спроектировать элемент конструкций более рационально, т. е. с меньшими затратами материала.

Из условия прочности можно решить три типа задач:

1. Проверить прочность стержня, когда известны нагрузка, форма и размеры поперечного сечения и род материала.
2. Определить размеры поперечного сечения стержня, если известны нагрузка, форма поперечного сечения и род материала.
3. Определить наибольшую допустимую нагрузку на стержень, если известны форма и размеры поперечного сечения и род материала.

Для случаев сложной деформации, т. е. сложного напряженного состояния (плоского и объемного), задача составления условия прочности решается с помощью теорий прочности, каждая из которых основана на определенной гипотезе, объясняющей причину разрушения материала.

При оценке прочности материала при сложном напряженном состоянии вводится понятие расчетного напряжения , которое определяется по принятой теории прочности и сравнивается с тем же расчетным сопротивлением материала R, полученным испытанием материала на растяжение-сжатие:

В частном случае плоского напряженного состояния — чистом сдвиге, когда в поперечном сечении стержня возникают только касательные напряжения, условие прочности используется в виде

где — расчетное сопротивление материала сдвигу.

Расчет на жесткость элементов конструкции сводится к определению максимальных перемещений (линейных или угловых) под действием нормативной нагрузки и сравнении ее с допустимым значением , установленным нормами проектирования.

Условие жесткости имеет вид

Необходимо отметить, что в дисциплине «Сопротивление материалов» рассматриваются принципы расчета на прочность и жесткость, а не конкретные конструкции, поэтому в настоящем издании для упрощения все нагрузки указываются в расчетных значениях, а расчеты выполняются по методу предельных состояний. Исключение составляют расчеты на изгиб с кручением, которые выполнены по методу допускаемых напряжений.

Растяжение и сжатие

Элемент конструкции подвергается деформации растяжения или сжатия, когда равнодействующая внешних сил действует на него по центральной оси Z (рис. 1.1, а). Такое растяжение-сжатие называется центральным (осевым).

Действующая на элемент конструкции система сил должна находиться в равновесии: .

При растяжении длина стержня (участка) в продольном направлении увеличивается (деформация обозначается знаком «плюс»), а при сжатии — уменьшается (знак «минус»).

Внутренние силы

При центральном растяжении-сжатии в поперечном сечении стержня возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила N. Для ее определения на стержне, исходя из вида нагрузки и ее расположения, выделяются расчетные участки: между точками приложения сосредоточенных сил F и в пределах распределенной нагрузки q.

В пределах каждого участка намечаются сечения (I, II, …, i) и отмечаются их положения в системе координатных осей

Для определения продольной силы N используется метод сечений. Стержень в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части. Одна из частей его «отбрасывается». Поскольку весь стержень находится в равновесии, то и его рассматриваемая часть под действием известных внешних сил (F, q) и неизвестной внутренней N также должна находиться в равновесии, т. е. удовлетворять условию .

Составить выражения для определения продольной силы N можно двумя способами.

Первый способ. На схеме для каждого участка показывается отсеченная часть стержня и составляется уравнение равновесия этой части с использованием правила знаков для сил, принятое в курсе теоретической механики.

Так, для сечения III (рис. 1.1,б) уравнение равновесия имеет вид

откуда

Второй способ. На рисунке для всех участков отсеченная часть стержня не показывается.

Выражения для определения продольной силы составляются по следующему правилу: продольная сила N в сечении стержня численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения:

При определении N можно рассматривать любую часть «рассеченного» стержня.

Правило знаков для сил связано с учетом характера вызываемой ими деформации стержня (растяжение или сжатие).

Если внешняя сила (F, q) направлена от рассматриваемого сечения стержня (стремится растянуть его рассматриваемую часть), то в этом сечении возникает положительная продольная сила ,

и если направлена к сечению (стремится сжать), то в сечении возникает отрицательная продольная сила .

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 1.2

Полученный в результате вычислений знак при N укажет на характер деформации участка стержня от суммарного действия сил: «плюс» означает, что участок стержня растянут, «минус» — что участок сжат. Так, для сечения III (см. рис. 1.2, б) выражение для продольной силы будет

Второй прием составления выражений для N сокращает объем вычислений и является общим для всех видов сопротивлений.

По вычисленным на участках стержня значениям N строится эпюра продольных сил (см. примеры).

Напряжения. Условие прочности

При деформации растяжения или сжатия в сечениях стержня возникают нормальные напряжения.

Продольная сила N связана с нормальным напряжением зависимостью

• где N — продольная сила в сечении стержня;
• А — площадь поперечного сечения стержня.

При вычислении нормальных напряжений по длине стержня также выделяются расчетные участки. К указанным выше границам этих участков добавляются точки, где изменяются размеры поперечных сечений (см. рис. 1.1, а). По вычисленным значениям строится эпюра (см. примеры).

Нормальное напряжение о распределяется по поперечному сечению равномерно. График, показывающий изменение напряжения по высоте сечения стержня, называется эпюрой напряжений (эп. ), рис. 1.1, в.

При растяжении-сжатии стержня его материал в любой точке находится в условии линейного напряженного состояния, поэтому проверка прочности ведется по максимальному нормальному напряжению и условие прочности имеет вид

• где — продольная сила на наиболее нагруженном участке стержня;
• R — расчетное сопротивление материала стержня растяжению-сжатию.

Для пластичных материалов (сталь) расчетные сопротивления при растяжении и сжатии одинаковы, для хрупких (чугун, бетон) -разные.

Деформации. Условие жесткости

Возникновение продольной силы N в сечении стержня сопровождается его продольной деформацией : удлинением при растяжении и укорочением при сжатии.

Абсолютная продольная деформация от сосредоточенных сил F определяется по формуле Гука

• где N — продольная сила в стержне (на участке);
• l — длина стержня (участка);
• Е — модуль продольной упругости (модуль Юнга) материала стержня;
• А — площадь поперечного сечения стержня (участка).

Абсолютная продольная деформация от равномерно распределенной нагрузки q (действующей на данном участке стержня) определяется по формуле

Абсолютная продольная деформация от собственного веса стержня определяется по формуле

где — вес единицы объема материала стержня.

Вычислив деформации на участках стержня, можно найти перемещения его характерных сечений и построить эпюру перемещений (см. примеры).

Относительная продольная деформация стержня (или его участка) определяется по формуле

• где — абсолютная продольная деформация стержня (участка); l — длина стержня (участка).

Условие жесткости при растяжении-сжатии имеет вид

где — предельно допустимая относительная продольная деформация.

Закон Гука при растяжении-сжатии (из формулы (1.3)), выражающий зависимость между напряжением и деформацией, имеет вид

Модуль продольной упругости Е характеризует способность материала сопротивляться деформациям растяжения-сжатия в зависимости от его свойств.

Статически определимые системы

Статически определимыми являются системы, усилия в элементах которых можно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия (статики).

Для плоской системы сил их три:

Пример задачи №1.1

Пример задачи 1.1 Стальная полоса прямоугольного поперечного сечения нагружена системой расчетных сил F (рис. 1.3, а).

Статически неопределимые системы

Статически неопределимыми являются системы, внутренние силы в элементах которых невозможно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия (статики).

Степень статической неопределимости определяется разностью между числом неизвестных (внутренних сил и реакций опор) и числом возможных уравнений равновесия.

Для раскрытия статической неопределимости, т. е. определения внутренних сил в элементах системы, к уравнениям равновесия нужно составить столько дополнительных уравнений, сколько раз система статически неопределима.

Существует несколько методов раскрытия статической неопределимости. Наиболее простой — метод сравнения деформаций, построенный на принципе совместности перемещений.

Принцип совместности перемещений означает, что элементы системы в результате действия нагрузки должны перемещаться совместно, без разрушений, разъединений, смещений друг относительно друга.

Чтобы составить уравнение совместности перемещений, необходимо представить систему в деформированном состоянии и установить геометрическую зависимость между деформациями ее стержней.

Совместное решение уравнений равновесия с уравнениями перемещений позволяет раскрыть статическую неопределимость.

Следует заметить, что в статически определимых системах искомые внутренние силы в стержнях предварительно направлялись произвольно. В статически неопределимых многостержневых системах искомые внутренние силы в стержнях нужно направлять в соответствии с предполагаемой деформацией стержня. Так, если стержень удлиняется — неизвестная внутренняя сила в нем направляется от сечения, если укорачивается — к сечению.

Пример задачи №1.5

Пример задачи 1.5 Абсолютно жесткий элемент Р, нагруженный расчетной нагрузкой F = 136 кН, подвешен на трех стальных стержнях одинаковой длины и площади поперечного сечения (рис. 1.7).

Сдвиг

Деформация сдвига наблюдается в тех случаях, когда внешние силы, действующие на стержень, пытаются сдвинуть одну его часть по отношению к другой (рис. 2.1).

Это происходит, когда на стержень перпендикулярно продольной оси Z на очень близком расстоянии а друг от друга действуют две равные сосредоточенные силы F, направленные в противоположные стороны.

Деформации сдвига (среза) подвергаются в основном соединительные элементы конструкций: заклепки, болты, швы электросварки, врубки, шпонки.

При сдвиге в поперечном сечении стержня возникают поперечная сила Q и изгибающий момент М. В большинстве случаев определяющее значение имеет поперечная сила, а изгибающим моментом пренебрегают, т. е. сдвиг считают чистым. Поперечная сила Q определяется методом сечений.

Поперечная сила приводит к образованию касательных напряжений , которые, как принято считать, по площади сдвига (среза) распределяются равномерно и определяются по формуле

• где Q — поперечная сила в сечении сдвига;
• А — площадь поперечного сечения в зоне сдвига.

В зоне чистого сдвига материал элемента находится в условии плоского напряженного состояния. Но поскольку в зоне сдвига возникают только касательные напряжения, условие прочности записывается в виде

где — расчетное сопротивление материала сдвигу.

В зоне сдвига наблюдаются следующие деформации: — абсолютный сдвиг и относительный сдвиг (см. рис. 2.1). Закон Гука при сдвиге выражается формулой

где G — модуль упругости материала при сдвиге (модуль упругости второго рода).

Расчет заклепочных соединений

В реальных условиях соединений заклепки рассчитываются на срез по касательным напряжениям, а контактирующие элементы (заклепки, соединяемые части) — еще и на смятие по нормальным напряжениям (рис. 2.2).

Принято считать, что при статической нагрузке заклепки вдоль линии действия внешних сил нагружены одинаково.

Различают заклепочные соединения одно- и многосрезные (см. примеры).

Условие прочности на срез имеет вид

где Q — поперечная (срезывающая) сила в заклепочном соединении: Q =f (F);

В местах контакта заклепки с соединяемыми элементами возникают усилия смятия, приводящие к образованию по площади контакта нормальных напряжений . Считается, что эти напряжения распределяются по условной площади сечения (d t) равномерно. Условие прочности на смятие имеет вид

Количество заклепок в соединении определяется из условий прочности на срез (2.1) и смятие (2.2). В расчет принимается большее их количество.

Поскольку площадь поперечного сечения соединяемых элементов конструкции уменьшена (ослаблена) отверстиями под заклепки, требуется проверка их прочности на растяжение по нормальным напряжениям:

• где N — продольная сила в соединяемых элементах;
• — площадь ослабленного сечения (нетто);
• R — расчетное сопротивление материала соединяемых элементов на растяжение.

Ослабление сечения отверстиями под заклепки у прокатных профилей составляет около 15 % Болтовые соединения рассчитываются аналогично заклепочным.

Пример задачи №2.1

Пример задачи 2.1 Стальная полоса 1 сечением 130 *8 мм, с расчетной нагрузкой F = 160 кН прикрепляется к фасонному листу 2 толщиной 10 мм заклепками диаметром d = 16 мм, рис. 2.3. Проверить прочность заклепочного соединения. Расчетные сопротивления: для соединяемых элементов — на растяжение R = 210 МПа, на смятие = 420 МПа, для заклепок — на срез = 200 МПа.

Расчет сварных соединений

В строительных конструкциях наиболее применимы сварные соединения внахлестку, которые выполняются угловыми (валиковыми) электрошвами. Швы, расположенные в направлении действующей силы, называются боковыми (фланговыми), а расположенные перпендикулярно к этому направлению — торцевыми (лобовыми), рис. 2.5.

Угловые швы (боковые и торцевые) работают в основном на срез. Образующиеся в них касательные напряжения считаются равномерно распределенными по площади среза.

Условие прочности на срез для угловых швов имеет вид.

Проектная длина каждого участка шва увеличивается на 1 см против расчетной в связи с неполным проваром его концов. Длина отрезка шва должна быть в пределах

Пример задачи №2.3

Пример задачи 2.3 Стальная полоса, нагруженная расчетной силой F=160kH (рис. 2.6), угловыми швами приварена к фасонному листу. Толщина шва = 8 мм. Сварка выполнена ручным способом. Проверить прочность полосы и сварных швов, если R = 210 МПа,= 150 МПа.

Расчет врубок

Врубки как способ соединения деревянных элементов конструкций, вследствие различной сопротивляемости древесины вдоль и поперек волокон, рассчитываются на скалывание (сдвиг) вдоль волокон и смятие вдоль и поперек волокон по площади соприкосновения соединяемых элементов (рис. 2.8).

Условие прочности врубки на скалывание вдоль волокон имеет вид

• l — длина зоны скалывания;
• — расчетное сопротивление древесины на скалывание (вдоль волокон).

Условие прочности врубки на смятие вдоль волокон имеет вид

Условие прочности врубки на смятие поперек волокон имеет вид

Соединение деревянных элементов конструкций при помощи шпонок, а также соединение на шип рассчитываются аналогично расчету врубок.

Пример задачи №2.5

Пример задачи 2.5 Соединение стропильной ноги 1 с затяжной 2 выполнено с помощью лобовой врубки. Усилие в стропильной ноге F = 100 кН (рис. 2.9).

Геометрические характеристики плоских сечений

Плоское поперечное сечение любого стержня характеризуется рядом геометрических величин: площадью А;

Эти величины используются при расчетах элементов конструкций на прочность и жесткость.

Площадь поперечного сечения А характеризует сопротивляемость стержня растяжению и сжатию.

Осевые моменты инерции и характеризуют сопротивляемость изгибу, а полярный — кручению, в зависимости от размеров и формы сечения.

Формулы для определения некоторых геометрических характеристик для простых фигур приведены на рис. 3.1.

Для прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок) данные о геометрических характеристиках приводятся в соответствующих стандартах на сортаменты (приложения).

Для определения координат центра тяжести сложного сечения произвольно выбирается прямоугольная система вспомогательных осей XOY. Сечение разделяется на простые фигуры, центры тяжести и площади которых легко определяются, отмечаются эти центры , проводятся центральные оси , и обозначаются расстояния , и ,- от центральной оси каждой простой фигуры до вспомогательных осей (рис. 3.2).

Координаты центра тяжести сложного сечения определяются по формулам

где — сумма статических моментов простых фигур относительно соответствующей вспомогательной оси;

— суммарная площадь простых фигур.

Статические моменты площади сечения относительно вспомогательных осей равны произведению площади на расстояние от ее центра тяжести до данной оси:

где , — координаты центра тяжести отдельных простых фигур в системе вспомогательных осей;

; — площади сечений этих отдельных фигур.

Статический момент площади фигуры в зависимости от положения фигуры относительно рассматриваемой оси может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Статический момент площади относительно центральной оси равен нулю.

Если фигура имеет ось симметрии, то ее центр тяжести лежит на этой оси. Если фигура имеет две оси симметрии, то ее центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей.

Осевые и центробежные моменты инерции сложного сечения относительно его центральных осей определяются исходя из значений моментов инерций для простых фигур с учетом

формулы перехода к параллельным осям (переход от центральной оси простой фигуры к центральной оси всего сечения):

где — моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей;

, и — расстояния между центральными осями простых фигур и центральными осями всего сечения (см. рис. 3.2).

Моменты инерции измеряются единицами длины в четвертой степени (, , ). Осевые моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от положения фигуры относительно координатных осей.

Центробежный момент инерции сечения относительно центральных осей, из которых хотя бы одна является осью симметрии, равен нулю.

Для неравнополочного и равнополочного уголков значение центробежного момента инерции относительно центральных осей, параллельных полкам, определяется по формуле

где — минимальный момент инерции сечения (приводится в сортаменте).

В некоторых сортаментах приводятся готовые значения . Знак для уголка зависит от его положения в сечении. Рекомендуется пользоваться схемой, приведенной на рис. 3.1, где показаны возможные положения уголка в сечении и приведены знаки для .

Главные центральные оси

При повороте центральных взаимно перпендикулярных осей вокруг центра тяжести сечения (точки О) значения осевых и центробежного моментов инерции изменяются. При некотором положении этих осей центробежный момент инерции сечения станет равным нулю. Эти оси называются главными центральными и обозначаются буквами U и V. Положение их обусловлено углом (см. рис. 3.2), определяемым по формуле

Угол отсчитывается от оси с большим моментом инерции (или ), положительное значение — против хода часовой стрелки. Так определяется положение оси U, а ось V ей перпендикулярна.

Осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей имеют экстремальные значения (максимальное и и минимальное ) и определяются по формуле

В теории сопротивления материалов доказывается, что сумма осевых моментов инерции сечения при повороте осей относительно их центра тяжести не изменяется, т. е.

Это положение может быть использовано для контроля определения моментов инерции, вычисленных по формуле (3.5).

В сечении, имеющем одну ось симметрии, эта ось является одной из главных центральных осей. Если сечение имеет две оси симметрии, то они являются главными центральными осями.

Главные центральные моменты инерции, как имеющие экстремальные значения, характеризуют наибольшую и наименьшую жесткость (сопротивляемость) балки при изгибе. Они позволяют рационально расположить сечение балки по отношению к нагрузке.

Пример задачи №3.1

Пример задачи 3.1 Для заданного сечения определить значения главных центральных моментов инерции.

Кручение

Стержень подвергается деформации кручения при нагружении его парой сил F, лежащих в плоскости, перпендикулярной продольной оси Z. Пара сил приводится к моменту

который называется скручивающим (внешним) моментом (рис. 4.1)

Прямой стержень круглого поперечного сечения, работающий на кручение, называется валом. Нагрузка вала (скручивающие моменты) образуется от приводных шкивов и зубчатых колес, насаженных на вал, а также от двигателя.

Если вал находится в состоянии покоя или равномерного вращения, условие равновесия выражается уравнением

Внутренние силы при кручении

В поперечных сечениях скручиваемого стержня возникают внутренние силы сопротивления — крутящие моменты Т. Они определяются методом сечении, по которому стержень мысленно разделяется на две части и рассматривается равновесие любой из них (см. рис. 4.1).

Из условия равновесия вытекает, что крутящий момент Т в сечении вала равен алгебраической сумме всех скручивающих моментов , действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения (слева или справа):

Правило знаков для моментов таково: скручивающий момент образует в поперечном сечении положительный крутящий момент (Т> 0), если он () направлен по ходу часовой стрелки при взгляде со стороны сечения, и наоборот.

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 4.2.

Поскольку сопротивление кручению материалов в ту или другую сторону одинаково, можно применять и обратное правило знаков.

По вычисленным значениям Т на расчетных участках вала (между сечениями, где приложены моменты) строится эпюра крутящих моментов.

Кручение стержней круглого поперечного сечения

Напряжения при кручении

При кручении стержня круглого поперечного сечения применима гипотеза плоских сечений — смежные сечения поворачиваются одно относительно другого, оставаясь плоскими при неизменном расстоянии между ними. Радиусы, проведенные в сечении до деформации, остаются прямыми и после нее.

Элементы материала скручиваемого стержня испытывают деформацию чистого сдвига и сопровождаются касательными напряжениями .

Формула для определения касательного напряжения в любой точке скручиваемого стержня круглого поперечного сечения имеет вид

Касательные напряжения распределяются по поперечному сечению стержня неравномерно, нарастая от продольной оси Z к поверхности по линейному закону: в центре тяжести сечения = 0;

на контуре сечения, где — достигают максимального значения (рис. 4.3).

Максимальные касательные напряжения в скручивающем стержне

где r — радиус сечения стержня.

Отношение

называется полярным моментом сопротивления, который характеризует сопротивляемость сечения деформации кручения в зависимости от его размеров и формы.

Поскольку в поперечном сечении скручиваемого стержня возникают только касательные напряжения, материал его находится в условиях чистого сдвига, как частный случай плоского напряженного состояния.

Если кручение стержня происходит от нагрузки в состоянии покоя (статическое действие), то условие прочности для пластичного материала используется в виде

Для стержня круглого (сплошного и кольцевого) сечения условие прочности при кручении принимает вид

Для кольцевого сечения

где d — диаметр сплошного (наружный диаметр кольцевого) сечения; с — отношение внутреннего диаметра к наружному d в кольцевом сечении

Деформации при кручении. Условие жесткости

При кручении стержня круглого поперечного сечения его продольная ось остается прямой и не изменяет своей длины. Поперечные сечения, оставаясь плоскими и перпендикулярными к продольной оси, поворачиваются на некоторый угол (рис. 4.4).

Абсолютный угол закручивания (поворота сечения) определяется по формуле

Для сплошного круглого сечения

для кольцевого

Вычислив значения на участках стержня, можно найти перемещения граничных сечений и построить эпюру перемещений (см. примеры).

Величина угла закручивания ограничивается определенными пределами, которые обычно задаются в относительных величинах.

Условие жесткости при кручении имеет вид

Из условий прочности и жесткости можно решить три типа задач: проверить прочность и жесткость стержня, определить его диаметр и наибольшую допустимую нагрузку.

При определении диаметра стержня по названным условиям из двух его найденных значений принимается большее.

Значение скручивающего момента , передаваемого двигателем на вал, определяется по формуле

• где Р — мощность двигателя, кВт;
• п — частота вращения, об/мин.

Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения

При кручении стержня прямоугольного поперечного сечения

гипотеза плоских сечений на опыте не подтверждается — поперечные сечения искривляются (депланируют) и касательные напряжения распределяются по сечению по более сложному закону (рис. 4.5).

Наибольшие касательные напряжения возникают посередине длинной стороны сечения и определяются по формуле

• где — момент сопротивления при кручении;
• b и h — меньшая и большая стороны прямоугольного сечения;
• а — коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника (h/b), принимаемый по табл. 4.1

Посередине короткой стороны касательные напряжения составляют часть максимального напряжения по длинной стороне:

где — коэффициент, зависящий от отношения h/b.

В угловых точках и в центре тяжести прямоугольного сечения касательные напряжения равны нулю.

Угол закручивания стержня прямоугольного сечения определяется по формуле

Значения коэффициентов , и для прямоугольного сечения приведены в табл. 4.1.

Пример задачи №4.1

Пример задачи 4.1 Стальной стержень круглого поперечного сечения (рис. 4.6) находится под действием скручивающей нагрузки (моментов ). Определить диаметр стержня из условий прочности и жесткости. Для материала стержня

Прямой изгиб

Изгиб — это деформация, при которой происходит искривление оси бруса. Изгиб бывает плоский и пространственный, прямой и косой.

В этом разделе рассматривается плоский прямой изгиб, при котором вся нагрузка, включая и реакции опор, лежит в одной плоскости, называемой силовой (Р), и эта плоскость проходит по линии симметрии поперечных сечений балки (рис. 5.1).

При прямом изгибе деформированная ось балки также находится в плоскости действия нагрузки.

При изучении изгиба используется обычная система координатных осей: ось Z совпадает с продольной осью балки, а оси X и У

располагаются в плоскостях поперечных сечении и совпадают с главными центральными осями инерции.

Плоский изгиб балки может происходить в плоскости YOZ (вертикальной) или XOZ (горизонтальной).

Внутренние силы. Эпюры

Балка как элемент конструкции соединяется с другими элементами при помощи устройств, называемых опорами. Различают три типа опор: шарнирно-неподвижную, шарнирно-подвижную и защемление (заделка). Опорные устройства препятствуют произвольному перемещению балок от воздействия нагрузки, накладывая на балку определенное число связей (ограничений). В наложенных на балку связях возникают реакции, называемые опорными. Число опорных реакций равно числу наложенных связей.

Так, шарнирно-неподвижная опора А (рис. 5.2, а) имеет две связи -вертикальную и горизонтальную, дает две реакции и . Шар-нирно-подвижная опора В имеет одну связь — дает одну реакцию . Защемление С имеет три связи — дает три реакции: , , (рис. 5.2, б).

Наименьшее число связей, обеспечивающих неподвижность балки по отношению к другим элементам конструкции в плоской системе сил, равно трем. Эти связи должны быть расположены рационально: не быть параллельными друг другу или пересекаться в одной точке.

Под действием нагрузки и опорных реакций балка должна находиться в равновесии. Поэтому для определения опорных реакций

можно воспользоваться тремя условиями равновесия (для плоской системы сил):

Сумма моментов берется относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил.

Рекомендуется такой порядок определения опорных реакций:

Балки, опорные реакции которых можно определить при помощи трех уравнений равновесия, называются статически определимыми. Такие балки рассматриваются в настоящем разделе.

В результате действия внешних сил (нагрузки) в поперечных сечениях балки возникают внутренние силы (усилия): поперечная сила и изгибающий момент . Такой изгиб называют поперечным. В частном случае в поперечных сечениях балки может возникать только один изгибающий момент . В этом случае изгиб называют чистым. Внутренние силы, как и при других, изученных выше деформациях, определяются методом сечений.

Балка в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части (рис. 5.3, а). Одна из частей балки мысленно отбрасывается. Поскольку вся балка находится в равновесии, то и оставшаяся ее часть (рис. 5.3, б) под действием известных внешних сил (активных q, М и реактивной) и неизвестных внутренних в исследуемом сечении также должна находиться в равновесии и удовлетворять условиям (момент относительно центра тяжести рассматриваемого сечения):

откуда

откуда

Исходя из названных условий равновесия выработано правило определения поперечной силы и изгибающего момента в сечениях балки. При этом сами уравнения равновесия не составляются, а сразу записываются выражения для и .

Правило таково — в рассматриваемом сечении балки:

поперечная сила численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил (активных и реактивных), расположенных по одну сторону от этого сечения:

изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения:

Для определения и можно рассматривать любую часть «рассеченной» балки.

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 5.4.

Для проведения расчетов балки на прочность необходимо знать максимальные значения и . Для этого нужно выявить закон изменения этих величин по длине балки:

Изменения и по длине балки удобно представлять графически в виде эпюр (рис. 5.5).

Исходя из нагрузки, на балке выделяют расчетные участки: между точками приложения сосредоточенных нагрузок (F, М) и в пределах распределенной (q).

В пределах каждого расчетного участка намечаются сечения (I, II, i) и отмечаются их положения в системе координатных осей

Затем на каждом расчетном участке балки по ранее изложенным правилам составляются выражения для определения и . По составленным выражениям вычисляются значения и в характерных сечениях каждого участка балки. По этим данным в выбранном масштабе строятся соответствующие эпюры (см. рис. 5.5).

Положительные ординаты откладываются вверх от оси эпюры, отрицательные — вниз. Эпюра изгибающих моментов в строительном проектировании строится со стороны растянутых волокон балки. Это значит, что положительные значения откладываются вниз от оси эпюры, а отрицательные — вверх.

При построении эпюр и и для проверки их правильности могут быть использованы дифференциальные зависимости между , и q:

где индекс z при Q и М означает, что эти параметры являются функцией абсциссы z балки.

Из названных дифференциальных зависимостей вытекает ряд важных следствий (см. рис. 5.5):

1. Если на участке балки q = 0 (АС, DK), то поперечная сила = const, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
2. Если на участке балки , то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент — по закону параболы (выпуклостью по направлению нагрузки q).
3. Если на участке балки поперечная сила = 0 (ЕК), то изгибающий момент = const.
4. Если на участке балки поперечная сила > 0 (AL), то изгибающий момент возрастает, и наоборот (LE).
5. В сечении балки, где поперечная сила переходит через нуль (= 0), изгибающий момент имеет экстремальное значение (максимум или минимум) — сечение L.
6. В сечении балки, где приложена сосредоточенная сила F (сечение В,Е), на эпюре имеется «скачок» на величину этой силы и в ее направлении, а на эпюре — излом.
7. В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент М (сечение E), на эпюре имеется «скачок» на величину этого момента, а на эпюре изменений нет.
8. Поперечная сила в данном сечении балки может рассматриваться как тангенс угла наклона касательной к эпюре М в соответствующей этому сечению точке (точка N на рис. 5.5).

Из построенных эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для расчета на прочность выбираются максимальные значения и ...

Пример задачи №5.1

Пример задачи 5.1 Для консольной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 5.6).

Возможно вам будет полезна страница:

Напряжения при изгибе. Условия прочности

Как было отмечено выше, в общем случае нагружения балки в ее поперечных сечениях возникают изгибающий момент и поперечная сила или в частном случае — только изгибающий момент (при чистом изгибе).

Принято считать, что при чистом изгибе поперечное сечение, плоское до деформации, остается плоским и после деформации (гипотеза плоских сечений). Предполагается, что продольные волокна балки не давят друг на друга, но каждое из них претерпевает простое растяжение или сжатие.

При изгибе продольные волокна балки принимают криволинейное очертание. При этом с выпуклой стороны они удлиняются (растягиваются), а с вогнутой — укорачиваются (сжимаются) (см. рис. 5.4). Существует промежуточный слой волокон, который не деформируется — это нейтральный слой. В поперечном сечении он проходит через центр тяжести сечения, совпадает с главной центральной осью и называется нейтральной осью (н.о.) или нулевой линией (н.л.). Нейтральная ось делит поперечное сечение балки на две части — растянутую и сжатую.

Поскольку волокна балки при чистом изгибе испытывают простое растяжение или сжатие, в них возникают нормальные напряжения , действующие перпендикулярно поперечному сечению (рис. 5.11, а).

Нормальные напряжения ст в любой точке поперечного сечения балки определяются по следующей формуле:

Напряжение ст зависит от величины у линейно, поэтому эпюра нормальных напряжений прямолинейна (рис. 5.11, в). Максимальные нормальные напряжения появляются в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Знак нормальных напряжений устанавливается по смыслу: если точка расположена в растянутой зоне сечения и — если в сжатой. Характер деформации зоны сечения устанавливается по эпюре .

При поперечном изгибе характер деформации волокон балки несколько изменяется: отдельные волокна сдвигаются относительно друг друга, отчего поперечные сечения слегка искривляются, т. е. гипотеза плоских сечений нарушается.

Поскольку влияние указанных изменений на величину нормальных напряжений невелико, формула (5.1), полученная для случая чистого изгиба, используется и при поперечном изгибе.

Так как при поперечном изгибе волокна балки претерпевают сдвиг, в ее сечении возникают касательные напряжения х, которые лежат в плоскости сечения (рис. 5.12, а) и в любой его точке определяются по формуле Журавского:

— момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси; b — ширина сечения на уровне точки, в которой определяется напряжение.

Для произвольной точки К (рис. 5.12, б), расположенной на расстоянии от нейтральной оси, статический момент

Считается, что касательные напряжения распределяются по ширине сечения равномерно. По высоте сечения т изменяются по закону параболы (рис. 5.12, в). Наибольшее касательное напряжение появляется на нейтральной оси, проходящей через центр тяжести сечения. В крайних точках сечения = 0, так как для этих точек = 0.

Следует обратить внимание, что напряжение достигает максимума в тех точках сечения, где напряжение = 0, а напряжение достигает максимума в тех точках, где = 0. Поэтому материал балки в различных точках по высоте сечения находится в разных напряженных состояниях.

Рассмотрим тавровое поперечное сечение (рис. 5.13).

В крайних точках поперечного сечения= 0, . Материал балки здесь находится в условиях линейного напряженного состояния (рис. 5.13, г) и условие прочности имеет вид

На нейтральной оси поперечного сечения = 0, . Здесь материал испытывает чистый сдвиг (рис. 5.13, в), являющийся частным случаем плоского напряженного состояния, и условие прочности записывается в виде

Во всех остальных точках поперечного сечения изгибаемого стержня, где и имеет место общий случай плоского напряженного состояния (рис. 5.13, а, б) и проверку прочности следует вести по теориям прочности.

Для большинства случаев проверка прочности балок проводится отдельно по нормальным а и отдельно по касательным напряжениям.

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

Для балок, поперечные сечения которых симметричны относительно нейтральной оси, условие прочности по нормальным напряжениям целесообразно использовать в виде

где — момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Момент сопротивления сечения характеризует сопротивляемость балки изгибу и зависит только от формы и размеров поперечного сечения.

Для прямоугольного сечения

для круглого

Для прокатных профилей (двутавр, швеллер) значения приведены в таблицах сортамента.

Отклонение максимального нормального напряжения от расчетного сопротивления не должно превышать ±5 %. При подборе сечений балок из прокатных профилей допускаются и более значительные отклонения в сторону уменьшения .

Проверку прочности балок, изготовленных из хрупкого материала, ведут по растягивающим напряжениям, так как расчетное сопротивление растяжению меньше, чем сжатию . Однако следует проверять и сжимающие напряжения.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид

В сопротивлении материалов принято, что касательные напряжения во всех точках прямоугольного поперечного сечения параллельны силе . В действительности для некоторых других форм сечений (круг, двутавр, швеллер) по контуру сечения и в крайних точках его направление несколько изменяется.

Поскольку максимальные касательные напряжения (по которым ведется проверка прочности) расположены на нейтральной оси, где параллельны Q, формула (5.5) применима практически для всех типов сечений.

Для отдельных форм сечения балок (двутавр, швеллер, тавр) и в отдельных случаях нагружения (короткая балка, большая нагрузка вблизи опор) возникает необходимость проверить прочность не в крайних точках сечения и не на нейтральной оси, а в некоторой промежуточной точке, например К, где одновременно действуют и нормальные и касательные напряжения (см. рис. 5.13), т. е. произвести полную проверку прочности.

По граням прямоугольного элемента, выделенного вокруг т. К, действует система напряжений: по поперечным сечениям и , по продольным — только т (по закону парности касательных напряжений) (см. рис. 5.13, а).

При некотором положении прямоугольного элемента (под углом к нейтральной оси) по его граням касательные напряжения станут равными нулю ( = 0), а нормальные достигнут экстремальных (максимальных или минимальных) значений (см. рис. 5.13, б), которые называются главными напряжениями и определяются по формуле

гдеи— напряжения в поперечном сечении, определяемые по формулам (5.1) и (5.2).

Положение главных площадок (направление главных напряжений) определяется по формуле

где угол отсчитывается от направления нейтральной оси. Положительные значения — против хода часовой стрелки.

По площадкам, образующим с главными площадками угол 45° (рис. 5.13, в)у действуют максимальные касательные напряжения

Для полной проверки прочности балки сначала по эпюрам и находится сечение, в котором оба их значения одновременно возможно большие. Это будет опасное сечение. Далее по высоте сечения выбирается точка, в которой одновременно значения и также возможно большие. Это будет опасная точка сечения. Для прямоугольного сечения эта точка не явна. Для сечений типа двутавр, швеллер, тавр опасная точка — точка соединения стенки с полкой.

Полная проверка прочности балки проводится по гипотезам прочности.

Для пластического материала, например, по четвертой (энергетической) теории, условие прочности имеет вид

Рациональной формой сечения балки будет та, при которой обеспечена прочность при малом весе. В большинстве случаев потеря прочности связана с нормальными напряжениями. Из эпюры ст (см. рис. 5.12, 5.13) видно, что материал у нейтральной оси напряжен слабо. Поэтому часть материала можно «перенести» от нейтральной оси к краям сечения, где напряжения большие и где материал будет использоваться полнее. Чем дальше от нейтральной оси расположены частицы сечения, тем больше будет момент сопротивления .

Экономичность поперечного сечения балки можно оценить отношением : чем больше это отношение, тем экономичнее сечение.

Для пластичных материалов (сталь) рациональной является форма двутавра.

Для хрупких материалов (чугун), у которых сопротивление сжатию больше, чем растяжению, рациональным является такой тип сечения, у которого нейтральная ось сдвинута в сторону растянутых волокон. Это тавровое сечение.

Практика показала, что в большинстве случаев расчет балок на прочность ведется по нормальным напряжениям для крайних точек сечения по условию

По этому условию можно решить три типа задач:

Деформации при изгибе. Проверка на жесткость

Под действием нагрузки балка деформируется. Ось ее искривляется и при плоском изгибе представляет собой плавную плоскую кривую, называемую упругой линией (или осью изогнутой балки). При этом поперечные сечения балки претерпевают перемещения, преимущественно линейные (прогиб перпендикулярно оси балки) и угловые (угол поворота сечения относительно первоначального положения) (рис. 5.19). Перемещения вдоль оси Z незначительные и ими пренебрегают.

Для определения перемещений балки необходимо получить уравнения ее упругой линии: Такие уравнения в дифференциальной форме составлены для случая чистого изгиба . Поскольку влияние поперечной силы на величину перемещений незначительно, уравнения

считаются допустимыми и для случая поперечного изгиба, когда

Для определения перемещений (, ) в балке существует несколько методов.

1. Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии. Метод применяется для простых балок с одним или двумя участками нагружения.
2. Метод начальных параметров: используются универсальные уравнения упругой линии балки, пригодные для любых (по сложности нагрузок) балок и позволяющие определить перемещения в любых ее сечениях.
3. Метод Мора с непосредственным интегрированием формулы перемещений, а также с использованием правила Верещагина для решения интеграла Мора. Метод универсален, применим как для прямых, так и ломаных стержней, как при изгибе, так и других деформациях. Целесообразен для определения перемещений в конкретном сечении.

В настоящее время для определения перемещений в балках наиболее часто используются универсальные уравнения упругой линии, а также формула Мора и правило Верещагина.

Проверка жесткости балки сводится к требованию, по которому наибольший прогиб не должен превышать определенной, установленной нормами проектирования, допустимой величины.

Обычно нормами задается допустимый относительный прогиб, т. е. максимальный прогиб, отнесенный к длине пролета (расстоянию между опорами).

В зависимости от назначения конструкции допустимый относительный прогиб в строительном проектировании колеблется в пределах

Условие жесткости при изгибе имеет вид

Практически можно считать, что максимальный прогиб в пролетной части балки наблюдается посередине ее длины. Прогибы на консолях оговариваются отдельно.

Метод начальных параметров

За начало координатных осей выбирается крайнее левое сечение балки, а положительные направления их — вправо (Z) и вверх (Y) (рис. 5.20).

Универсальными уравнениями оси изогнутой балки (упругой линии) являются:

уравнение углов поворота сечений

уравнение прогибов

При составлении уравнений упругой линии балки для конкретного сечения следует включать в них только те силовые факторы, которые расположены левее этого сечения, и назначить знаки слагаемых, принятые для изгибающих моментов (см. рис. 5.4).

Если распределенная нагрузка q не доходит до конца балки, то ее продлевают и прикладывают компенсирующую нагрузку (рис. 5.21, а).

Начальные параметры и определяются из условий закрепления опор балок: в защемлении = 0, = 0 (см. рис. 5.21, а), на шарнирной опоре (рис. 5.21, б).

Если начало отсчета координатных осей находится на свободном конце балки (рис. 5.21, в), начальные параметры и определяются из условий закрепления на опорах:

По вычисленным значениям и в характерных сечениях балки (обычно на границе расчетных участков) можно построить графики — эпюры углов поворота сечений и прогибов .

В сечениях балки, где = 0, на эпюре имеется перегиб, а сам прогиб достигает максимального значения (рис. 5.21, г).

При решении задач следует иметь в виду, что положительный прогиб направлен вверх (в сторону положительного направления оси Y), а положительный угол поворота сечения — против хода часовой стрелки (от первоначального положения сечения).

Пример задачи №5.11

Пример задачи 5.11 Для консольной балки определить углы поворота и прогибы сечений В и С (в долях от жесткости сечения балки — ), рис. 5.22.

Метод Мора и Верещагина

Формула (интеграл) Мора, позволяющая определить перемещения в любом отдельном сечении балки, имеет вид

На рис. 5.26, а показана заданная балка, у которой нужно определить угол поворота и прогиб концевого сечения.

На рис. 5.26, б, в показаны вспомогательные состояния той же балки.

При определении прогиба в искомом сечении прикладывается единичная сила F = 1, а при определении угла поворота — единичный момент М= 1.

Составляются выражения для и и по формуле (5.11) определяется искомое перемещение.

Если балка имеет сложную нагрузку и много участков нагруже-ния, непосредственное интегрирование выражений изгибающих моментов трудоемко.

Вместо непосредственного вычисления интеграла Мора можно воспользоваться способом Верещагина — это графоаналитический прием решения интеграла перемещений, основанный на перемножении эпюр.

По способу Верещагина перемещение (угол поворота сечения или прогиб) в любом сечении балки определяется по формуле

Определяются (рис. 5.27) прогиб в сечении п и угол поворота в сечении т.

На рис. 5.27, а изображена эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки.

На рис. 5.27, б — единичная эпюра от вспомогательной единичной силы F = 1 (для определения прогиба ), а на рис. 5.27, в -единичная эпюра от вспомогательного единичного момента М = 1 (для определения угла поворота ).

Эпюра , которая может быть любой формы, в пределах расчетных участков разделяется на простые фигуры, площади и центры тяжести которых можно легко определить.

По формуле (5.12) прогиб в сечении п

угол поворота в сечении т

• где — площади простых фигур на одной из эпюр изгибающих моментов;
• у, у’ — ординаты под центром тяжести этих фигур на другой эпюре.

Эпюры изгибающих моментов от единичных сил всегда прямолинейны.

Если в пределах расчетного участка обе эпюры ( и ) прямолинейны, то можно брать площадь со любой из них. Если эпюра криволинейна, то площадь берется обязательно с этой эпюры.

Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения (, ) совпадает с направлением единичной силы (или момента); если результат отрицательный — перемещение происходит в обратном направлении вектора единичной силы.

В табл. 5.1 приведены выражения для определения площадей некоторых простых фигур и положение их центра тяжести.

Параболические эпюры, приведенные в табл. 5.1, получены от действия только распределенной нагрузки q.

В тех случаях, когда в сложной эпюре криволинейные участки получены от одновременного действия q, F, М, их (участки) надо разделить на простые фигуры (см. примеры).

Пример задачи №5.15

Пример задачи 5.15 Определить угол поворота и прогиб сечения В консольной балки (в долях от жесткости сечения ), рис. 5.28.

Статически неопределимые балки

Статически неопределимыми называются балки, опорные реакции у которых невозможно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия, так как они имеют «лишние» неизвестные реакции.

Степень статической неопределимости определяется разностью между числом неизвестных реакций и числом независимых уравнений равновесия.

Балки, изображенные на рис. 6.1, имеют четыре опорные связи, а следовательно и четыре опорные реакции. При трех возможных уравнениях равновесия они являются один раз статически неопределимыми (4 — 3 = 1).

Раскрытие статической неопределимости балки заключается в определении лишних неизвестных реакций путем составления дополнительных уравнений к имеющимся уравнениям равновесия. Дополнительных уравнений должно быть столько, сколько лишних неизвестных, т. е. сколько раз балка статически неопределима.

Существует несколько методов раскрытия статической неопределимости балок. Выбор метода связан со степенью статической неопределимости. Если «лишних» неизвестных немного (одна-две), дополнительные уравнения целесообразно составить, исходя из деформационных условий (прогибов) на опорах балки, используя метод начальных параметров.

У неразрезных балок степень статической неопределимости может быть высокой. В таких случаях дополнительные уравнения составляются исходя из деформационных условий (углов поворота сечений) на промежуточных опорах балки с использованием метода сил.

Из совместного решения уравнений равновесия и дополнительных уравнений определяются все опорные реакции балки.

Для расчета статически неопределимой балки выбирается так называемая основная система, которая получается из статически неопределимой балки путем удаления «лишних» связей. Основная система должна быть статически определимой, геометрически и кинематически неизменяемой.

В качестве «лишних» неизвестных могут быть выбраны внешние (реакции опор) или внутренние факторы (изгибающие моменты в каком-либо сечении балки).

Дополнительные уравнения составляются из условий совместности перемещений основной системы и заданной балки. Существует несколько способов составления этих уравнений. Наиболее общим и распространенным является метод сил.

В неразрезной балке (рис. 6.2, а) решение по методу сил получается наименее трудоемким, если основную систему выбрать путем установки шарнира на промежуточной опоре (рис. 6.2, б). Тогда неразрезная балка разделится на две статически определимые, а в качестве неизвестной принимается изгибающий момент на промежуточной опоре (обозначается буквой X).

Эквивалентная система получается путем загружения основной системы заданными внешними силами и неизвестными опорными моментами (рис. 6.2, в) и составлением условия совместности перемещения (основной системы и заданной балки).

Система канонических уравнений метода сил, полученная исходя из условий совместности перемещений основной системы и заданной балки, имеет вид

Первый индекс коэффициентов и свободных членов уравнений означает направление перемещения и одновременно номер промежуточной опоры, второй — причину, вызвавшую перемещение (номер единичной силы).

Физический смысл уравнений метода сил для неразрезных балок заключается в неразрывности упругой линии над промежуточными опорами, т. е. в совместности угловых перемещений сечений над опорами (рис. 6.2, и).

Для определения параметров канонических уравнений необходимо построить эпюры изгибающих моментов для однопролетных балок основной системы: сначала от заданной нагрузки (грузовые эпюры ), рис. 6.2, г, а затем от опорных моментов, принятых равными единице: X = 1 (единичные эпюры ), рис. 6.2, д.

Коэффициенты , и свободные члены , канонических уравнений определяются по способу Верещагина путем перемножения единичных и грузовых эпюр:

У одной из эпюр берется ее площадь , а у другой — ордината у, измеренная против центра тяжести первой (см. п. 5.3).

Перемножая единичные эпюры сами на себя, получают значения а между собой Исходя из теоремы о взаимности перемещений справедливы равенства Перемножив грузовые эпюры на единичные, получают значения свободных членов

Решив систему канонических уравнений, находят значения изгибающих моментов на промежуточных опорах неразрезной балки: Этим заканчивается раскрытие ее статической неопределимости.

Окончательные эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М строятся отдельно для каждого пролета балки, загруженного заданной нагрузкой и найденными опорными реакциями с учетом их знаков (рис. 6.2, е, ж).

Эпюра прогибов (см. рис. 6.2, и) строится по значениям прогибов, полученных любым из ранее названных способов.

Заметим, что на промежуточной опоре В угол поворота одинаковый как для левого примыкающего сечения, так и для правого, т. е. выполняется условие совместности перемещений, заложенное в канонические уравнения.

Расчет статически неопределимых балок на прочность и жесткость ведется так же, как и статически определимых.

Пример задачи №6.1

Пример задачи 6.1 Для балки (рис. 6.3, а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определить прогиб посередине пролета. Изобразить ось изогнутой балки.

Анализ напряженного состояния в точке

В разделе «Введение» было определено, что материал конструкции может находиться в линейном, плоском или объемном напряженном состоянии, в зависимости от того, испытывает ли выделенный вокруг точки элементарный параллелепипед растяжение или сжатие соответственно в одном, двух или трех взаимно перпендикулярных направлениях. В этом разделе рассматриваются линейное и плоское напряженные состояния. Объемное напряженное состояние рассматривается в курсе «Теория упругости».

Анализ напряженного состояния в точке деформированного тела сводится к определению напряжений в наклонных площадках при известных главных напряжениях (прямая задача) и определению главных напряжений по известным не главным напряжениям (обратная задача).

Значения главных напряжений используются при проверке прочности элементов конструкций по соответствующим теориям прочности.

Нормальные и касательные напряжения на площадках элемента определяются по формулам сопротивления материалов, а также методами теории упругости. Эти напряжения могут быть получены и опытным путем посредством электротензометрии.

Установим правило знаков для напряжений. Растягивающее нормальное напряжение будем считать положительным, сжимающее -отрицательным. Касательное напряжение будет положительным, если оно стремится повернуть бесконечно малый элемент конструкции по ходу часовой стрелки, и наоборот (рис. 7.1).

Линейное напряженное состояние

Этот вид напряженного состояния имеет место в материале элементов конструкций, подвергающихся растяжению-сжатию, в некоторых точках сечений изгибаемых элементов и других видах деформаций (сопротивлений).

При линейном (одноосном) напряженном состоянии по исходным граням элемента действуют только нормальные напряжения и только в одном направлении (по одной оси): — при растяжении (рис. 7.2, а) или — при сжатии (рис. 7.2, б). Касательные напряжения по этим граням отсутствуют.

В наклонных площадках (сечениях), образующих новый элемент внутри исходного, действуют как нормальные, так и касательные напряжения (рис. 7.3, а).

Угол , отсчитываемый от направления главного напряжения к нормали Р в наклонной площадке против хода часовой стрелки, считается положительным (рис. 7.3, б).

При решении прямой задачи, т. е. при определении нормальных и касательных напряжений в наклонных площадках, используются следующие формулы:

Здесь — нормальное напряжение в поперечном сечении стержня. Из формул (7.1) и (7.2) следует, что

Проведем анализ напряжений в элементе при линейном напряженном состоянии:

Очевидно, что максимальные нормальные напряжения появляются при = 0, т. е. в поперечном сечении стержня. Максимальные касательные напряжения появляются в наклонном под углом 45° сечении и равны половине нормального напряжения.

Пример задачи №7.1

Пример задачи 7.1 На элементарный параллелепипед, выделенный в окрестности некоторой точки деформированного стержня, действует нормальное напряжение (рис. 7.4).

Плоское напряженное состояние

Этот вид напряженного состояния имеет место в материале элементов конструкций, подвергающихся изгибу, в трубах с внутренним давлением, при изгибе с кручением и других видах деформаций (сопротивлений).

При плоском (двухосном) напряженном состоянии в элементе, выделенном в окрестности исследуемой точки, по двум взаимно перпендикулярным направлениям: и или и , или и (рис. 7.6), действуют два главных отличных от нуля напряжения

Решение прямой задачи — определение напряжений по наклонным площадкам при известных главных напряжениях, действующих по исходным граням (рис. 7.7), производится по формулам

Таким образом, , т. е. по двум взаимно перпендикулярным

площадкам всегда действуют равные по величине касательные напряжения, направленные так, что поворачивают элемент в противоположные направления — закон парности касательных напряжений. При любых значениях угла

Наибольшие нормальные напряжения в случае плоского напряженного состояния

а наибольшие касательные напряжения

Угол отсчитывается от большего главного напряжения против хода часовой стрелки при положительном его значении (см. рис. 7.3,б).

Для определения значений главных напряжений, максимальных касательных напряжений, а также положения главных площадок (обратная задача) используются формулы

при этом или (рис. 7.8).

Плоское напряженное состояние, при котором , называют чистым сдвигом. В этом случае по площадкам под углом нормальные напряжения равны нулю, а касательные равны главным (рис. 7.9).

Пример задачи №7.1.2

Пример задачи 7.1.2 По исходным граням параллелепипеда действуют нормальные напряжения, как показано на рис. 7.10, а. Определить значения напряжений по площадкам нового параллелепипеда, повернутого по отношению к исходному на угол по ходу часовой стрелки, а также максимальное касательное напряжение.

Сложное сопротивление

В рассмотренных выше деформациях, таких как, например, растяжение-сжатие, изгиб, кручение, внешние силовые факторы, действующие на брус, по отношению к его продольной оси Z направлены строго определенным образом:

при растяжении-сжатии — по его продольной оси (рис. 8.1, а); изгибе — перпендикулярно продольной оси, но в одной из главных плоскостей сечения (рис. 8.1, б);

кручении — вокруг продольной оси (рис. 8.1, в).

На практике часто имеют место случаи, когда внешние силы ориентированы по отношению к продольной оси Z бруса произвольно: параллельно продольной оси, но с эксцентриситетом b к ней (рис. 8.1, г), перпендикулярно продольной оси, но не в главной плоскости сечения (рис. 8.1, д), перпендикулярно продольной оси, но с эксцентриситетом а к ней (рис. 8.1, е). В таких случаях в поперечном сечении бруса возникает одновременно несколько внутренних силовых факторов и он находится в условиях сложного сопротивления (сложной деформации).

Вид сложного сопротивления в простых случаях загружения стержня легко установить по направлению внешних сил по отношению к его продольной оси. При сложной нагрузке вид сопротивления устанавливается после определения внутренних сил.

Для выявления внутренних сил все действующие на брус произвольно направленные внешние силы (рис. 8.2, а) должны быть разложены на составляющие по направлению координатных осей (рис. 8.2, б) и приведены к продольной оси Z по правилам механики (рис. 8.2, в). Заметим, что оси X и У являются главными центральными осями сечения бруса. В общем случае действия сил в сечении бруса образуются продольная сила N, изгибающие моменты и , крутящий момент и поперечная сила Q.

По сочетанию внутренних сил могут быть следующие виды сложного сопротивления: косой изгиб (, ), внецентренное растяжение-сжатие (,,), изгиб с кручением (,,) и др. Поперечная сила Q при расчете на прочность при сложном сопротивлении не играет существенной роли.

При расчетах сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил. Это значит, что напряжения и перемещения от различных силовых воздействий суммируются: нормальные напряжения — алгебраически, а касательные напряжения и перемещения — геометрически.

Последовательность расчета элементов конструкций на прочность следующая: определяются опорные реакции, вычисляются значения внутренних сил, строятся их эпюры, выявляются опасное сечение и наиболее напряженная его точка, устанавливается вид напряженного состояния и с использованием теории прочности вычисляется значение наибольшего напряжения.

Перемещения в элементах конструкции при сложном сопротивлении определяются теми же методами, что и при простых сопротивлениях.

Условие прочности и жесткости при сложном сопротивлении составляется идентично простым видам сопротивлений: максимальные напряжения и перемещения не должны превышать допустимых значений.

Косой изгиб

Косой изгиб наблюдается в тех случаях, когда плоскость действия нагрузки, проходящая через продольную ось бруса, не совпадает ни с одной из главных плоскостей (рис. 8.3, б), или когда она действует одновременно в двух главных плоскостях (рис. 8.3, а).

В поперечном сечении бруса, подвергающегося косому изгибу, возникают, как и при плоском поперечном изгибе, поперечная сила Q и изгибающий момент М, но только не в одной, а в двух взаимно перпендикулярных главных плоскостях. Косой изгиб есть сочетание двух плоских изгибов.

Определение внутренних сил (изгибающих моментов), построение их эпюр и нахождение напряжений при косом изгибе ведутся по тем же правилам и формулам, что и при плоском изгибе.

Нормальные напряжения при косом изгибе в любой точке поперечного сечения определяются по формуле

Знаки напряжений устанавливаются в зависимости от расположения рассматриваемой точки в растянутой или сжатой зоне сечения. Характер деформации зоны устанавливается по направлению изгибающих моментов и в данном сечении.

На рис. 8.4, а показаны эпюры нормальных напряжений в двух главных плоскостях сечения и результирующая (эпюра ).

Заметим, что изгибающий момент растягивает часть сечения, расположенную выше оси X, а нижнюю часть сжимает (см. эпюру ). Изгибающий момент растягивает часть сечения, расположенную справа от оси У, а левую часть сжимает (см. эпюру ).

При сложной нагрузке характер деформации зоны сечения удобнее определять по эпюрам изгибающих моментов (см. примеры).

Нормальные напряжения при косом изгибе распределяются в поперечном сечении по линейному закону, но неравномерно (как и при плоском изгибе). Наибольшие напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси (и.о.). На рис. 8.4, а это точка К.

При косом изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения и делит его на две зоны: растянутая и сжатая зона.

На нейтральной оси волокна не деформируются, а следовательно, нормальные напряжения в этой области равны нулю. Положение нейтральной оси определяется по формуле

где — угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси X.

В приведенной формуле следует учитывать знаки изгибающих моментов. Положительное значение угла отсчитывается от оси X против хода часовой стрелки, отрицательное — по ходу.

Максимальные нормальные напряжения действуют по контуру сечения бруса, где касательные напряжения равны нулю. Следовательно, в названных точках имеет место линейное напряженное состояние и условие прочности используется в виде

В развернутом виде условие прочности при косом изгибе для любой формы сечения в наиболее напряженной (опасной) точке имеет вид

Для бруса из хрупкого материала следует проверять прочность как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

При сложной нагрузке, когда изгибающие моменты изменяются по длине бруса по различным законам, в поисках опасного сечения приходится проверять несколько сечений, где оба изгибающих момента достигают возможно больших значений (см. примеры).

Для поперечных сечений, имеющих две оси симметрии и выступающие (незакругленные) углы (прямоугольник, двутавр, швеллер и подобные другие), условие прочности можно представить в виде

где , — моменты сопротивления сечения относительно главных центральных осей.

При подборе размеров сечения условие прочности целесообразно использовать в виде

где — приведенный (расчетный) момент;

к — коэффициент, равный отношению / .

Для прямоугольного сечения к = h/b, среднее значение для прокатного двутавра k = 8, для швеллера k=7.

Наибольшее значение расчетного момента определяется путем пробных вычислений в нескольких сечениях бруса.

Для бруса круглого поперечного сечения =. Поэтому косой изгиб сводится к плоскому и условие прочности принимает вид

где — суммарный изгибающий момент в опасном сечении бруса.

Рациональной формой поперечного сечения при косом изгибе является сечение, у которого выполняется условие

Для прямоугольного сечения минимальная площадь сечения получается при условии

Перемещения при косом изгибе определяются теми же методами, что и при плоском. Рекомендуется использовать уравнения метода начальных параметров, а также метод Мора и способ Верещагина.

Перемещения определяются отдельно в каждой из главных плоскостей (в горизонтальной и вертикальной ) от действующих в них внешних сил или их составляющих (см. рис. 8.4, б).

Полный (суммарный) прогиб определяется по выражению

и направлен перпендикулярно нейтральной оси и под углом Р к вертикальной оси сечения

При косом изгибе продольная ось бруса представляет собой плоскую или пространственную кривую.

Пример задачи №8.1

Пример задачи 8.1 Проверить прочность и жесткость стальной консольной балки составного поперечного сечения (рис. 8.5, а), если нагрузка F направлена под углом к вертикальной оси сечения.

Внецентренное растяжение-сжатие

Элемент конструкции (стержень) подвергается деформации вне-центренного растяжения-сжатия, когда внешняя сила действует параллельно его продольной оси с некоторым эксцентриситетом от центра тяжести сечения (рис. 8.8, а).

Расчетная схема стержня составляется путем переноса внешней силы F к центру тяжести сечения по правилам механики (рис. 8.8, б). При этом образуются продольная сила N = F и изгибающие моменты относительно главных центральных осей сечения

где и — координаты точки приложения силы F. Поперечная сила Q отсутствует.

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 8.8, в. Следует заметить, что строить эпюры необязательно, так как все внутренние силы по длине стержня постоянны.

Таким образом, внецентренное растяжение-сжатие есть сочетание центрального растяжения-сжатия и чистого изгиба в главных плоскостях сечения стержня.

Для определения напряжений используются формулы, полученные для центрального растяжения-сжатия и чистого изгиба.

Продольная сила N и изгибающие моменты и связаны с нормальными напряжениями, которые в любой точке поперечного сечения внецентренно растянутого или сжатого стержня определяются по формуле

Знаки напряжений устанавливаются в зависимости от того, расположена точка в растянутой или сжатой зоне сечения стержня. Характер деформации зоны сечения устанавливается исходя из направления действия внутренних силовых факторов (, , ) по отношению к этому сечению (см. примеры).

При внецентренном растяжении-сжатии нормальные напряжения распределяются в сечении по линейному закону, но не равномерно. Нейтральная ось (где ) не проходит через центр тяжести сечения. Она располагается в четверти сечения, противоположной точке приложения внешней силы F, и делит сечение на растянутую и сжатую зоны (рис. 8.9).

Положение нейтральной оси в сечении стержня определяется по формулам

В выражениях (8.5) следует учитывать знаки координат точки приложения внешней силы F. Заметим, что координаты , и , всегда имеют разные знаки, так как полюс силы и нейтральная ось лежат по разные стороны от центра тяжести сечения (в противоположных четвертях).

Положение нейтральной оси зависит от размеров и формы сечения и координат полюса силы F, но не зависит от ее величины.

При внецентренном растяжении-сжатии в любой точке поперечного сечения стержня (кроме точек нейтральной оси) возникают лишь нормальные напряжения , а касательные отсутствуют. Это значит, что материал стержня находится в условиях линейного напряженного состояния и условие прочности используется в виде

В раскрытом виде это условие для любой формы сечения стержня принимает вид

где , — координаты опасной точки сечения, т. е. наиболее удаленной от нейтральной оси точки.

Опасные точки определяются при помощи касательных, проведенных к сечению параллельно нейтральной оси (нулевой линии) (на рис. 8.9 — точки К и Д).

Для пластичных материалов опасной является максимально удаленная от нейтральной оси точка сечения, где напряжения по абсолютному значению наибольшие. Для хрупких материалов проверка прочности должна производиться как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

Для стержней, имеющих сечение с двумя осями симметрии и выступающими углами (прямоугольник, двутавр и подобные), условие прочности можно представить в виде

где , — моменты сопротивления сечения изгибу относительно главных центральных осей.

Для названных выше типов сечений наиболее напряженными всегда являются угловые точки.

Подбор размеров сечения при внецентренном растяжении-сжатии не дает однозначного решения, так как геометрические параметры A, , взаимно связаны. Рекомендуется проведение ряда последовательных попыток.

Между полюсом внешней силы F и положением нейтральной оси существует определенная взаимосвязь — они расположены по разные стороны от центра тяжести поперечного сечения. При приближении силы F к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот. При некотором положении полюса силы F нейтральная ось будет касаться контура сечения. При этом по всему сечению напряжения будут иметь один и тот же знак.

Зона в сечении стержня, расположенная вокруг его центра тяжести, в пределах которой следует прикладывать нагрузку, чтобы по всему сечению напряжения имели один и тот же знак, называется ядром сечения (рис. 8.10).

Координаты ядра сечения , связаны с положением нейтральной оси, т. е. с ее координатами ,, и определяются по следующим формулам, полученным из (8.5):

Формулы (8.7) можно привести к другому виду, более удобному для многократных вычислений, используя такую геометрическую характеристику, как радиус инерции сечения:

Тогда формулы (8.7) примут вид

Для построения ядра сечения задаются рядом последовательных положений нейтральной оси, касающейся контура сечения (не пересекая его), вычисляются значения координат этих положений нейтральной оси, а затем координаты точек ядра сечения.

Форму и размеры ядра сечения важно знать при расчете внецентренно нагруженных элементов конструкции, выполненных из хрупкого материала.

Пример задачи №8.4

Пример задачи 8.4 Стальная полоса прямоугольного поперечного сечения, имеющая выточки (рис. 8.11, а)у нагружена растягивающими силами F = 20 кН по продольной оси Z.

Изгиб с кручением

Элемент конструкции (брус) подвергается деформации изгиба с кручением, когда внешние силы или их составляющие действуют перпендикулярно продольной оси Z в главных плоскостях сечения (т. е. создают изгиб), и пары сил, действующих в плоскости, перпендикулярной продольной оси, с моментом вокруг этой оси (т. е. создают кручение), рис. 8.14, а.

Деформации изгиба с кручением подвергаются в основном детали машин и валы различных механизмов, имеющие преимущественно круглое поперечное сечение, а также элементы пространственных систем.

В поперечном сечении вала при изгибе с кручением образуются следующие внутренние силовые факторы: крутящий момент Т, изгибающие моменты , (рис. 8.14, в) и поперечные силы ,.

Последние на прочность вала существенно не влияют (на рис. 8.14 не показаны).

Определение внутренних сил и построение их эпюр ведется по тем же правилам, что и при простых видах сопротивлений (рис. 8.14, б). По построенным эпюрам , Т устанавливается опасное сечение вала, т. е. сечение, где их сочетание наиболее неблагоприятное.

Изгибающие моменты связаны с нормальными напряжениями, которые в любой точке сечения определяются по формулам

а крутящие моменты — с касательными напряжениями:

Поскольку в поперечном сечении вала, подвергающегося изгибу с кручением, одновременно возникают нормальные и касательные напряжения, материал вала находится в условиях плоского напряженного состояния, поэтому проверка прочности производится по теориям прочности для точек, лежащих на контуре сечения, где имеется самое неблагоприятное сочетание и (см. рис. 8.14, в).

Условие прочности, выраженное через внутренние силовые факторы, для вала круглого поперечного сечения имеет вид

Для круглого сплошного сечения

для кольцевого сечения

По четвертой (энергетической) теории прочности приведенный момент

В поисках опасного сечения вала часто приходится просчитывать значение для нескольких по длине вала сечений, ориентируясь на эпюры внутренних сил.

Приведенное условие прочности применимо и для расчета валов кольцевого сечения.

Пример задачи №8.7

Пример задачи 8.7 Консольный стальной брус (рис. 8.15, а) круглого поперечного сечения диаметром d = 40 мм нагружен системой внешних сил. В опасном сечении бруса построить эпюры нормальных и касательных напряжений, отыскать его опасную точку. Проверить прочность стержня.

Общий случай сложного сопротивления

В общем случае сложного сопротивления (рис. 8.17, а) внешние силы действуют на элемент конструкции (брус) таким образом, что в его поперечном сечении возникает шесть внутренних силовых факторов: продольная сила N, изгибающие моменты, , крутящий момент Т и поперечные силы , (рис. 8.17, б). Поперечные силы на прочность бруса существенно не влияют, и их эпюры на рисунке не показаны.

Таким образом, общий случай сложного сопротивления элемента конструкции (стержня) есть сочетание нескольких простых сопротивлений: центрального растяжения-сжатия, плоского изгиба в одной или двух главных плоскостях сечения и кручения.

Продольная сила N и изгибающие моменты , связаны с нормальным напряжением , а крутящий момент Т — с касательным напряжением . Эпюры этих напряжений показаны на рис. 8.17, в.

В общем случае сложного сопротивления материал элемента конструкции находится в условиях сложного напряженного состояния, поэтому условие прочности составляется по теориям прочности для наиболее напряженной точки сечения.

Для элемента с круглым поперечным сечением наиболее напряженная (опасная) точка лежит на контуре сечения.

Для пластичных материалов наиболее приемлема четвертая (энергетическая) теория прочности, по которой условие прочности, выраженное через напряжения, имеет вид

Заметим, что касательные напряжения от поперечной силы Q на контуре сечения, где расположена опасная точка, равны нулю.

Продольный и продольно-поперечный изгибы

В предыдущих главах пособия рассматривался расчет элементов конструкций, для которых основным являлся вопрос о прочности или жесткости. При этом напряжения и деформации линейно зависели от нагрузки, т. е. с ростом нагрузки они увеличивались постепенно, без резких скачков.

Однако встречаются случаи, когда при постепенном увеличении нагрузки резко изменяется форма равновесия элемента конструкции, вследствие чего может произойти его внезапное разрушение. В таких случаях наряду с проблемой прочности существует проблема устойчивости, т. е. сохранения под действием нагрузки первоначальной формы равновесия.

Несущая способность элемента конструкции может быть исчерпана потерей устойчивости задолго до потери прочности. При этом утрачивается первоначальная форма равновесия.

Искривление стержня, вызванное только продольными сжимающими силами, называется продольным изгибом.

Продольно-поперечный изгиб стержня происходит в случае действия как продольных сжимающих, так и поперечных изгибающих сил.

Продольный изгиб (устойчивость сжатых стержней)

В механике твердого тела различают три формы равновесия твердого тела: устойчивая, безразличная и неустойчивая. Эти формы равновесия присущи сжатым гибким (длинным, тонким) стержням (рис. 9.1).

При незначительной сжимающей силе F, меньшей некоторого критического значения первоначальная прямолинейная форма стержня является устойчивой (рис. 9.1, а).

При сжатый стержень находится в состоянии безразличного равновесия, когда возможны как первоначальная прямолинейная форма равновесия, так и несколько близких к ней криволинейных (рис. 9.1, б).

Если F > , первоначальная форма стержня становится неустойчивой, происходит интенсивное нарастание деформации изгиба (прогиб), рис. 9.1, в.

Устойчивость — способность стержня под действием сжимающей нагрузки находиться в состоянии упругого равновесия и сохранять первоначальную форму.

Критическая сила — осевая сжимающая сила, при которой стержень будет в состоянии безразличного равновесия (критическое состояние), а малейшее ее превышение приведет к интенсивному росту прогибов (к потере устойчивости).

Критическая нагрузка является опасной и считается разрушающей. Разрушение происходит внезапно.

Допустимая (безопасная) сжимающая нагрузка на стержень составляет некоторую часть критической:

Критическая нагрузка для сжатого прямолинейного стержня постоянного поперечного сечения определяется по формуле Эйлера:

Непосредственно формула Эйлера была получена для случая стержня с шарнирными опорами. Влияние других видов опор Ф. С. Ясинский предложил учитывать коэффициентом , значения которого приведены на рис. 9.2. Пунктиром показана ось стержня при потере устойчивости.

Если моменты инерции сечения относительно главных центральных осей не равны между собой, то продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, т. е. стержень будет искривляться перпендикулярно оси, относительно которой момент инерции будет меньшим.

Напряжение, вызванное в стержне действием критической силы, также называется критическим и определяется исходя их формулы Эйлера:

где ——гибкость стержня;

минимальный радиус инерции сечения.

Гибкость стержня — геометрическая характеристика, зависящая от способа закрепления его концов, длины, формы и размеров сечения.

Формула Эйлера (9.3) применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала:

т. е. при работе материала в упругой стадии. Обычно это условие выражается через гибкость стержня и записывается в виде

где — предельная гибкость, ниже которой формула Эйлера не применима. Предельная гибкость зависит от механических свойств материала. Для стали для древесины

В случаях когда потеря устойчивости происходит за пределами упругости материала и расчет на устойчивость ведется по формуле Ясинского:

где а и b — коэффициенты, полученные экспериментальным путем и зависящие от механических свойств материала.

Для стали а= 310 МПа, b = 1,14 МПа;

для древесины а = 28,7 МПа, b = 0,19 МПа.

Критическая нагрузка в этих случаях

Различают три категории гибкости стержня (для стали):

1. Стержни большой гибкости расчет которых ведется на устойчивость по формуле Эйлера.
2. Стержни средней гибкости расчет которых на устойчивость ведется по формуле Ясинского.
3. Стержни малой гибкости рассчитываемые на прочность при сжатии (потеря устойчивости не происходит).

Условие прочности для стержня малой гибкости имеет вид

где — расчетное сопротивление материала на сжатие.

Стержни средней и большой гибкости рассчитываются на устойчивость по формуле

где — коэффициент запаса устойчивости.

Этот коэффициент кроме чистого изгиба учитывает еще ряд других факторов: возможный небольшой эксцентриситет нагрузки, небольшое начальное искривление стержня, неоднородность материала и др. Для данного материала коэффициент не является постоянной величиной, а зависит от гибкости стержня. Так, для металлов = 1,5-3; для древесины = 2,5-3,2.

Для удобства проведения расчета сжатых стержней строительных конструкций принят общий вид условия устойчивости

где — коэффициент уменьшения расчетного сопротивления материала стержня (коэффициент продольного изгиба), зависящий от материала, гибкости стержня, принятого коэффициента запаса устойчивости.

Значения коэффициента изменяются от 0 до 1 и для различных материалов в зависимости от значения гибкости приводятся в виде таблиц (табл. 9.1, 9.2) или графиков (рис. 9.3).

Таким образом, расчет на устойчивость сводится к недопущению потери первоначальной формы равновесия сжатого стержня. Достигается это уменьшением допустимых нормальных напряжений против расчетных значений , причем для каждого значения гибкости стержень будет иметь свое допускаемое напряжение.

Подбор сечения по формуле (9.8) затруднителен тем, что при неизвестной площади сечения А невозможно вычислить гибкость и получить значение . Поэтому рекомендуется предварительно задаться значением (для начала = 0,5 — середина интервала) и из (9.8) определить площадь сечения А, затем и .

Если выбранный и вычисленный коэффициенты близки — проверяют условие (9.8).

Значительное их различие требует продолжение расчета (см. примеры).

Расхождение между и не должно превышать 3-5 %.

Сечение стержня, «работающего» на устойчивость, будет рациональным, если минимальный момент инерции будет возможно большим при возможно меньшей площади сечения А. Этому требованию удовлетворяют трубчатые, коробчатые сечения, а также некоторые сечения, составленные из прокатных профилей (швеллеров, уголков).

Если у сечения главные моменты инерции равны — стержень будет равноустойчивым.

Пример задачи №9.1

Пример задачи 9.1 Стальная стойка квадратного поперечного сечения (а = 7 см) длиной l = 3м центрально нагружена сжимающей силой F(рис. 9.4, а). Нижний конец стойки защемлен, а верхний в направлении главной центральной оси Х — защемлен, в направлении оси Y — свободен. Определить наибольшее допустимое значение силы F, если R = 210 МПа, Е = 200 ГПа, а коэффициент запаса устойчивости

Продольно-поперечный изгиб

Изгиб прямого стержня называется продольно-поперечным, если к нему одновременно приложены продольная и поперечная нагрузки (рис. 9.8, а).

При расчете массивных элементов конструкций, обладающих большой жесткостью, можно использовать принцип независимости действия сил, суммируя отдельно напряжения от изгиба и от сжатия:

Для стержней, обладающих значительной гибкостью, принцип независимости действия сил неприменим. Необходимо рассматривать деформированную схему стержня (см. рис. 9.8, а), у которого — прогиб от поперечной нагрузки, a — дополнительный прогиб от продольной сжимающей силы F.

Задача определения полного прогиба и изгибающего момента М является довольно затруднительной (особенно при сложной нагрузке). В таких случаях используются приближенные, более простые, приемы расчета. Принимают, что прогибы и являются независимыми и что форма упругой линии балки близка к синусоиде.

Исходя их этих допущений получена формула для определения полного прогиба при продольно-поперечном изгибе:

• где эйлерова сила;
• J — момент инерции сечения балки, зависящий от ее положения по отношению к поперечной нагрузке.

Это может быть (рис. 9.8, б) или (рис. 9.8, в).

Если используется — эйлерова сила равна критической:

В поперечных сечениях стержня, подвергающегося продольно-поперечному изгибу, возникают изгибающие моменты как от поперечных нагрузок , определяемых обычным способом, так и дополнительные от продольной:

Полный изгибающий момент

В изгибаемых балках с шарнирными опорами максимальный изгибающий момент при симметричной нагрузке имеет место посередине пролета и вблизи середины — при несимметричной. В консольной балке наблюдается в защемлении. Максимальный изгибающий момент в балке

Проверка прочности при продольно-поперечном изгибе осуществляется по нормальным напряжениям, возникающим в крайних точках сечения с наибольшим изгибающим моментом, по формуле

Формулу (9.13) можно представить в развернутом виде:

Следует заметить, что нормальные напряжения нелинейно связаны с продольной силой F, и при приближении ее величины к эйлеровой силе напряжения будут стремительно возрастать, достигая опасных значений. Поэтому продольная сжимающая нагрузка должна быть в пределах

При большой продольно-сжимающей силе F необходима проверка стержня на устойчивость по условию (9.8) в направлении, свободном от поперечных нагрузок .

Пример задачи №9.8

Пример задачи 9.8 Деревянная консольная балка длиной l = 2 м прямоугольного поперечного сечения нагружена сосредоточенной силой F = 5 кН в точке К под углом к оси Z (рис. 9.12, а). Проверить прочность и устойчивость балки.

Расчеты при действии динамических нагрузок

В предыдущих разделах рассмотрены расчеты на статическую нагрузку, величина которой остается постоянной или изменяется во времени медленно, плавно, и ускорениями точек элемента конструкции можно пренебречь. Однако часто приходится сталкиваться с нагрузками, воздействующими на конструкцию с большими и неравномерными скоростями, а также нагрузками внезапного кратковременного действия. Такие нагрузки называются динамическими. При действии динамических нагрузок появляются большие инерционные силы, которые необходимо учитывать в расчетах.

Физические условия работы элемента конструкции при динамическом действии нагрузки являются более сложными, чем при статическом. Для выработки расчетных условий требуется привлечение более сложных математических методов. Многие факторы еще недостаточно изучены. Поэтому на практике пользуются упрощенными методами расчета, основанными на ряде допущений. В частности, допускается, что в пределах упругих деформаций при динамических нагрузках верен закон Гука, т. е. напряжения и деформации связаны линейной зависимостью

Установлено, что практически во всех случаях силы динамического воздействия пропорциональны статическим. Поэтому расчеты на прочность при динамических нагрузках выполняются по методам, разработанным для статических нагрузок, но с введением динамического коэффициента.

Различают следующие виды расчета на динамическую нагрузку:

1. расчет на действие сил инерции;
2. расчет на ударную нагрузку;
3. расчет на колебательную (вибрационную) нагрузку.

Расчет на действие сил инерции

Инерционной нагрузке подвержены элементы подъемников, лифтов, транспортеров, деталей машин и механизмов, движение которых происходит с ускорением (рис. 10.1, а).

Согласно принципу Даламбера, всякое движущееся тело можно считать находящимся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции, направив ее в сторону, противоположную ускорению (рис. 10.1, а, б).

Сила инерции Р численно равна произведению массы движущегося элемента т на ускорение движения а:

Р = та.

Для случая, показанного на рис. 10.1, б, на отсеченную часть стержня действуют собственный вес этой части

где q — вес погонного метра стержня (линейная плотность), и сила инерции

Р = та,

где т — масса части стержня.

В случае наличия груза Q (рис. 10.1, в) на рассматриваемую часть стержня действуют вес груза Q, собственный вес части стержня и сила инерции

Р = т’а,

где — масса груза и части стержня.

Напряжение в стержне, движущимся с ускорением:

Для случая на рис. 10.1, в

Динамический коэффициент определяется по формуле

• где а — ускорение движения;
• g — ускорение силы тяжести (свободного падения).

Условие прочности при учете сил инерции имеет вид

При значительном весе груза Q и небольшой длине стержня (троса) собственным весом троса можно пренебречь.

Пример задачи №10.1

Пример задачи 10.1 Груз массой т = 1,5 т при помощи троса поднимается на высоту Н = 30 м (рис. 10.2). В первые три секунды подъема с постоянным ускорением груз проходит путь s = 22,5 м. Определить площадь сечения троса, если его расчетное сопротивление R = 190 МПа, модуль продольной упругости Е = 100 ГПа, объемная плотность

Расчет на ударную нагрузку

Ударной называется нагрузка, которая за короткий промежуток времени достигает значительной величины.

Поскольку продолжительность удара измеряется долями секунды, образующиеся большие ускорения приводят к большой инерционной силе, воздействующей на элемент конструкции, воспринимающий удар.

В зависимости от характера взаимодействия соударяющихся тел различают продольный (сжимающий или растягивающий), поперечный (изгибающий) и скручивающий удары. Во всех этих случаях степень воздействия ударной нагрузки зависит от массы и скоростей (в момент удара) обоих соударяющихся тел. Массой ударяемого элемента можно пренебречь, если она значительно меньше массы ударяющего тела.

В случае продольного удара (рис. 10.5) коэффициент динамичности определяется по формуле

• где Н — высота падения груза;
• — деформация стержня от статического действия ударяющей силы:

• А — площадь поперечного сечения;
• Е — модуль продольной упругости материала стержня.

В случае изгибающего удара (рис. 10.6) динамический коэффициент определяется по формуле

где H — высота падения груза;

— прогиб балки в ударяемом сечении от статического действия ударяющей силы.

Например, при ударе посередине длины балки прогиб

при ударе на конце консоли

Анализ формул для определения показывает, что при внезапном приложении нагрузки (Н = 0) коэффициент динамичности Если высота падения груза H значительно больше , то в формулах (10.2), (10.3) единицей под корнем можно пренебречь.

Если известна скорость падения груза V в начале удара, то коэффициент динамичности можно определить по формуле

где или в зависимости от вида удара (продольный или поперечный).

Условие прочности по методу предельных состояний при ударном действии нагрузки имеет вид

В теории доказывается, что величина динамических напряжений зависит от объема подвергающегося удару элемента конструкции (стержня, балки, вала) и качества его материала.

Чем больше объем и чем меньше модуль упругости, тем меньше динамические напряжения в элементе конструкции.

Для снижения динамических напряжений нужно увеличить податливость (деформативность) элемента путем увеличения, например, его длины или замены на материал с более низким модулем упругости. Применимы и амортизирующие устройства (прокладки, пружины).

Изложенный выше способ расчета на действие ударной нагрузки не учитывает массу элемента конструкции, который подвергается удару. Вследствие этого формулы (10.2)—(10.6) дают несколько преувеличенное значение определяемых параметров, что идет в запас прочности и жесткости.

Приведем формулу для вычисления динамического коэффициента с учетом массы ударяемого элемента конструкции:

Пример задачи №10.4

Пример задачи 10.4 На стальной стержень длиной l = 1 м квадратного поперечного сечения (а = 5 см), рис. 10.7, с высоты Н = 10 см падает груз массой т = 30,6 кг. Проверить прочность стержня без и с учетом его массы, если допускаемое напряжение из расчета на устойчивость составляет R = 74,1 МПа.

Расчет на колебательную (вибрационную) нагрузку

Всякий упругий элемент конструкции (балка, вал, пружина) определенной массы т под действием внезапно приложенной нагрузки Q способен около положения равновесия совершать собственные (свободные) непериодические колебания с частотой и, благодаря наличию внутренних упругих сил, постепенно затухающей амплитудой до восстановления равновесия (рис. 10.10)

Если на балку действует один груз Q и ее собственная масса т значительно меньше, чем масса груза, то такая балка обладает одной степенью свободы и перемещения всех ее точек в любой момент времени можно выразить через перемещение одной точки (под грузом). Балка, несущая п сосредоточенных грузов, имеет п степеней свободы.

По виду деформации элемента конструкции различают продольные (при растяжении-сжатии стержня, пружины), поперечные (при изгибе балки) и крутильные (при кручении вала) колебания.

Частота собственных колебаний для любого элемента конструкции с одной степенью свободы независимо от вида совершаемых колебаний — линейных (при растяжении-сжатии, изгибе), угловых (при кручении) — определяется по формуле

Для консольной балки с грузом на ее конце

Для двухопорной балки с грузом посредине пролета

При определении частоты собственных колебаний силами сопротивления в опорах конструкции, а часто и ее собственным весом, пренебрегают.

Если на элемент конструкции кроме постоянного груза Q будет действовать периодически изменяющаяся возмущающая сила с амплитудой Р и частотой , то этот элемент станет совершать вынужденные колебания с частотой возмущающей силы (рис. 10.11).

Возмущающую силу (вибрацию) создают механизмы с вращающимися, не вполне уравновешенными частями за счет возникающей центробежной силы инерции (электродвигатели, лебедки, валы механизмов).

В отличие от собственных колебаний, которые быстро затухают, вынужденные остаются постоянными, так как энергия со стороны возмущающей силы подводится непрерывно.

Расчет ведется по вертикальной амплитуде центробежной силы Р,совпадающей с направлением постоянного груза Q.

От соотношения частот вынужденных и собственных колебаний зависит степень силового воздействия на элемент конструкции, которая оценивается динамическим коэффициентом

Из формулы (10.9) следует, что если частота вынужденных колебаний приближается к частоте собственных колебаний , то динамический коэффициент, а следовательно, деформации и напряжения в элементе конструкции неограниченно возрастают.

Если , коэффициент возрастает до бесконечности — наступает явление резонанса, представляющего собой опасность для элемента конструкции. Соответствующая частота возмущающей силы называется критической. Нецелесообразно допускать эксплуатацию конструкции в зоне резонанса, так как обеспечение прочности потребует значительного расхода материала. Частота собственных колебаний должна быть примерно на 30 % больше частоты вынужденных.

Деформации и напряжения в элементе конструкции от возмущающей силы Р определяются с использованием динамического коэффициента:

Суммарные деформации и напряжения слагаются из статических и динамических:

Пример задачи №10.7

Пример задачи 10.7 Электродвигатель весом Q = 1,5 кН установлен на консольных деревянных балках прямоугольного поперечного сечения при соотношении сторон h / b= 1,5 (рис. 10.12, а).

Готовые задачи по сопротивлению материалов

Сопротивление материалов — это наука о прочности, жесткости и стабильности элементов в инженерных конструкциях.

Сопротивление материала относится к механике деформируемого твердого тела, которая, как и теоретическая механика, является частью общей механики.

К механике деформируемого твердого тела, кроме сопротивления материала, относятся теория упругости, теория пластичности и ползучести, механика разрушения, механика композиционных материалов и другие.

Основные положения о сопротивлении материалов основаны на законах и теоремах теоретической механики и, прежде всего, на законах статики. Однако в отличие от теоретической механики, считающей тела абсолютно твердыми, сопротивление материала учитывает изменение формы и размеров тела под воздействием внешних сил, т.е. деформацию.

Задача сопротивления материалов заключается в разработке методов расчета конструкций и их элементов на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном соблюдении требований надежности и экономичности.

Прочность — это способность тела противостоять внешним нагрузкам без разрушения.

Жесткость — это способность тела сопротивляться изменениям в размерах и форме при воздействии внешних нагрузок.

Устойчивость — способность кузова сохранять свою первоначальную форму под нагрузкой.

Растяжение и сжатие

Задача №1.2

Бетонная колонна квадратного поперечного сечения нагружена расчетной системой сил: сосредоточенных F и равномерно распределенных q (рис. 1.4)

Определить размеры поперечных сечений, постоянных для каждого расчетного участка колонны, и перемещение ее свободного сечения.

Для материала колонны: расчетное сопротивление на сжатие = 4 МПа, модуль продольной упругости Е = 15 ГПа.

Решение:

Поскольку нагрузка действует по продольной оси Z колонны, последняя подвергается деформации сжатия.

На рассматриваемой колонне исходя из характера нагрузки выделяются три расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I-III.

Длинам участков l придается индекс номера участка.

Колонна в своем основании имеет опору, в которой возникает только одна реакция . Уравнение равновесия можно составить также одно: , из которого определится реакция :

откуда = 984 кН.

Рассматриваемая система является статически определимой.

Для определения продольной силы на участках колонны воспользуемся вторым приемом, без показа «отсеченных» частей, используя правило

Участок I :

при

Участок II:

Участок III:

при

Контроль правильности вычислений N таков: при z = 3,7 м по модулю

Для вычисления N сечения можно было назначать со стороны опоры.

По полученным значениям N строится эпюра продольных сил -эп. N (рис. 1.4, б). Отрицательные значения N обычно откладываются влево от оси эпюры.

На участке колонны, где распределенная нагрузка q = 0, N = const, а на участке, где (прямая наклонная).

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре N имеется «скачок» на величину этой силы (480 -160 = 320 кН).

Размеры поперечных сечений на каждом участке колонны определим из условия прочности по нормальным напряжениям (1.2):

На участке I

сторона сечения

На участке II

сторона сечения . Принимаем

На участке III

сторона сечения Принимаем

На рис. 1.4, в показана схема спроектированной колонны. Для построения эпюры напряжений необходимо вычислить значения ст в характерных сечениях колонны. В сечении А

В сечении С

В сечении D

В сечении В

По полученным значениям строится эпюра напряжений (эпюра ), показанная на рис. 1.4, г.

Значения абсолютных продольных деформаций на участках колонны вычислим, используя формулы (1.3) и (1.4).

Следует обратить внимание, что на первом участке колонны продольная сила N складывается из сосредоточенной и равномерно распределенной q. Поэтому на первом участке

Распределенная нагрузка для второго участка колонны действует как сосредоточенная. Поэтому на втором участке

На третьем участке

Для определения деформации участков колонны можно использовать эпюру напряжений. Особенно это удобно на участках с распределенной нагрузкой. Деформация

где — площадь эпюры напряжений.

Так, для участка l (где эпюра напряжений является трапецией)

что соответствует первому вычислению.

Перемещения граничных сечений колонны определяются исходя из значений деформаций его участков.

Для проведения расчета на колонне выбирается сечение, перемещение которого известно, — это опора, где перемещение равно нулю

Перемещения остальных граничных сечений вычисляются последовательным добавлением к начальному перемещению деформаций последующих участков колонны:

По вычисленным значениям строится эпюра перемещений (эпюра ), приведенная на рис. 1.4, д.

На участке колонны, где перемещение наращивается по закону параболы.

Из эпюры перемещений следует, что перемещение свободного сечения составляет = 0,810 мм. Это же число определяет и полную деформацию колонны.

Статически неопределимые системы

Задача №1.6

Абсолютно жесткий элемент Р закреплен в шарнирно-неподвижной опоре и поддерживается двумя стальными стержнями, выполненными из сдвоенных равнополочных уголков (рис. 1.8, а).

Определить наибольшую допустимую нагрузку на систему. Стержень 1: длина уголок 50 х 50 х 5 мм; стержень 2: длина ,уголок 70 х 70 х 6 мм. Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:

Из таблицы сортамента прокатных уголков выписываем значения площадей сечения стержней:

Система имеет четыре опорные реакции. Для нее можно составить три уравнения равновесия. Следовательно, она является один раз статически неопределимой (4 — 3 = 1).

Поскольку стержни 1 и 2 соединяются с элементом Р при помощи шарниров, в них образуются только продольные силы N.

Исходя из характера закрепления элемента Р, направления нагрузки и расположения стержней, можно предположить, что элемент Р повернется вокруг шарнира А на некоторый угол. При этом стержень 1 удлинится, а стрежень 2 укоротится. Соответственно этому показываются направления продольных сил в стержнях: от сечения, — к сечению.

Рациональным уравнением равновесия является

или

Чтобы построить диаграмму перемещений, стержни 1 и 2 следует мысленно отсоединить от элемента Р и по направлению этих стержней отложить отрезки, изображающие их деформации: — удлинение, — укорочение. Получим точки и .

Из точки проведем перпендикуляр к продольной оси стержня 1. Поскольку элементы системы должны перемещаться совместно, конец деформированного стержня 1 нужно свести с узлом К элемента Р. Для этого из точки К проводим перпендикуляр к продольной оси элемента Р. Пересечение двух названных перпендикуляров даст точку — новое положение узла К.

Так как элемент Р абсолютно жесткий, его ось, повернувшись вокруг шарнира А, пройдет через точку и на оси стержня 2 отсечет отрезок (рис. 1.8, б).

Чтобы составить дополнительное уравнение, нужно из подобия треугольников и связать между собой деформации стержней и :

Выразив деформации через продольные силы, получим

Из уравнений (1.9) и (1.10) получим

Допустимую нагрузку q найдем из условия прочности стержней. Из условия прочности стержня 1

а нагрузка

Из условия прочности стержня 2

За максимально допустимую нагрузку на систему принимаем меньшее значение q: = 168 кН/м. При этой нагрузке продольные силы в стержнях будут

а напряжения = 36,0 МПа, = 210 МПа.

Как видно из расчета, стержень 1 недонапряжен, что является особенностью статически неопределимых систем, в которых достичь равной прочности всех стержней довольно сложно.

Сдвиг

Задача №2.2

Нижний пояс фермы, выполненный из неравнополочных уголков, соединяется при помощи накладки и заклепок диаметром d = 14 мм, рис. 2.4.

Расчетная продольная сила (выявленная в процессе расчета фермы) N = 500 кН. Подобрать номер уголков и размеры поперечного сечения накладки, а также определить необходимое количество заклепок, если R = 210 МПа, Высоту накладки принять на 15 мм больше высоты полки уголка.

Решение:

Соединяемые элементы (уголки) пояса фермы и соединительная накладка подвергаются растяжению и смятию, а заклепки — срезу.

Площадь поперечного сечения нижнего пояса фермы определим из условия прочности по нормальным напряжениям (2.3):

Для одного уголка

По сортаменту для неравнополочных уголков принимаем два уголка 125 х 80 х 7 мм с площадью

Толщину накладки можно определить из формулы (2.3) или воспользоваться значением для уголков: . По условию задачи

Тогда

откуда = 2 см.

Определим количество заклепок из условия прочности на срез (2.1):

В рассматриваемом примере заклепки двухсрезные

Определим количество заклепок из условия прочности на смятие (2.2):

Заметим, что в одном направлении сминаются уголки, для которых

а в другом — накладка, для которой

В расчет идет меньшее значение (как более слабое).

Из двух вычисленных значений п выбираем большее. Округлив число n до большего целого, получим п = 9.

Таким образом, на каждой половине накладки необходимо разместить по девять заклепок.

Уточним несущую способность N рассмотренного заклепочного соединения. Из условия прочности нижнего пояса фермы по формуле (2.3)

Из условия прочности накладки по (2.3)

Из условия прочности заклепок на срез по (2.1)

Из условия прочности заклепок на смятие по формуле (2.2)

Анализ полученных значений N показывает, что безопасная продольная сила, которую может воспринять заклепочное соединение, N = 526 кН, т. е. пояс фермы имеет повышенный на 5,2 % запас прочности.

Расчет сварных соединений

Задача №2.4

Стык двух неравнополочных уголков, перекрытый накладкой, растягивается силой F = 245 кН (рис. 2.7).

Из условия равнопрочности соединения определить номер уголков, размеры поперечного сечения накладки и длину фланговых швов для соединения уголков с накладкой, если R = 210 МПа, = 180 МПа. Сварка ручная.

Решение:

Номер неравнополочных уголков определим из условия прочности по нормальным напряжениям:

откуда

Для одного уголка

Из таблицы сортамента принимаем два уголка 63 х 40 х 6 мм с площадью сечения

Для принятого уголка В = 63 мм, = 2,12 см. Толщину накладки определим из условия ее равнопрочности с уголками, приняв во внимание, что ее сторона

откуда

Принимаем

Приняв толщину шва = 6 мм (равную толщине уголка) и учитывая, что Q = F, длину сварных швов определим из условия прочности их на срез (2.4):

Вычисленная длина швов должна быть расположена по одну сторону от стыка.

Так как в соединении два уголка, на один уголок длина шва будет

причем

Поскольку линия действия силы F, проходящая по продольной оси уголка, находится на разных расстояниях от верхнего 1 и нижнего 2 швов, длина их должна быть обратно пропорциональна расстоянию от продольной оси до швов, т. е.

Решив совместно уравнения (2.5) и (2.6), получим

Проектную длину швов с учетом неполного провара их концов примем

Расчет врубок

Задача №2.6

Стык двух сосновых брусьев сечением h = 18 см и b = 6 см осуществлен при помощи зуба (рис. 2.10).

Определить необходимые размеры зуба (длину l и высоту а). Расчетные сопротивления брусьев: на растяжение R = 10 МПа, на срез а, на смятие

Решение:

Зуб рассчитывается на скалывание и смятие вдоль волокон (зоны деформации показаны на рис. 2.10). Высота ослабленного сечения бруса

и высота зуба а связаны между собой. Выразив F из условия прочности на растяжение и смятие, найдем значение высоты зуба а, а следовательно, и значение высоты ослабленного сечения бруса .

Из условия прочности на растяжение

Из условия прочности на смятие

Из уравнений (2.10) и (2.11) а = 4,74 см, принимаем а = 5 см. Высота ослабленного сечения бруса

Наибольшая допустимая нагрузка на соединение брусьев

Длину зуба I определим из условия прочности на скалывание (2.7):

принимаем l= 28 см.

Геометрические характеристики плоских сечений

Задача №3.2

Для заданного сечения определить положение центра тяжести и значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.4).

Данные к примеру: h = = 15 см, b = 18 см, d= 8 см.

Решение:

Данное сложное сечение можно представить как сочетание прямоугольника (1), двух треугольников (3 и 4) и выемки в виде полукруга (2).

На сечении отмечаются центры тяжести простых фигур и проводятся их центральные оси и

Поскольку ось сечения является осью симметрии — центр тяжести его лежит на этой оси. Для определения положения центра тяжести по оси выбирается вспомогательная ось совпадающая с нижней стороной сечения.

Вычисляем расстояние от центральных осей простых фигур до вспомогательной оси:

Площадь рассматриваемого сечения

По формуле (3.2) статический момент площади сечения относительно вспомогательной оси

Ордината центра тяжести сечения (по формуле (3.1))

На сечении отмечается центр тяжести (точка О) и проводится центральная ось . Напомним, что другой центральной осью является ось .

Вычисляем расстояния m, п между центральными осями простых фигур и всего сечения:

Предварительно для каждой простой фигуры вычисляем значения осевых моментов инерции относительно собственных центральных осей

Для первой фигуры (прямоугольник)

Для второй фигуры (полукруг)

Для третьей и четвертой фигур (треугольники)

Определяем значения осевых моментов инерции заданного сечения относительно центральных осей (по формуле (3.3)):

Рассматриваемое сечение имеет ось симметрии — ось — Значит, эта ось является одной из главных осей. Другая главная ось — -проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна первой. Исходя из значений и следует, что а а

Кручение

Задача №4.2

Проверить прочность и жесткость стального стержня круглого поперечного сечения, защемленного левым концом (рис. 4.8).

Диаметры участков: = 5,2 см, = 4,5 см.

Для материала стержня

Решение:

Действующие на стержень скручивающие моменты вызывают в опоре реактивный момент для определения которого имеется одно уравнение равновесия YMz = 0 (система статически определима). Искомый момент направляется произвольно.

откуда

Полученный знак «минус» при означает, что действительное направление момента противоположное. Стержень имеет два расчетных участка.

Крутящие моменты на участках стержня (рассматриваются части стержня слева от сечения)

Касательные напряжения на участках стержня (по формуле (4.2))

Относительные деформации на участках стержня (по формуле (4.4))

Прочность и жесткость стержня при данных диаметрах обеспечены

Прямой изгиб

Задача №5.2

Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 5.7).

Решение:

Координатная ось Z совпадает с продольной осью балки, ось Y ей перпендикулярна.

Действующая на балку нагрузка передается на опоры, где возникают опорные реакции и , которые определяются из уравнений равновесия.

Составим два уравнения моментов относительно опорных сечений, чтобы реакции можно было найти независимо друг от друга:

откуда = 2,556 кН;

откуда = 5,444 кН.

Знаки «плюс» у реакций и указывают на то, что их действительное направление совпадает с предполагаемым. Проверим правильность вычисления реакций:

— реакции определены верно.

На балке выделяются три расчетных участка. С целью сокращения объема вычислений для составления выражений для Q и М будем рассматривать часть сечений с левого, а часть — с правого конца балки (рис. 5.7, а).

Участок 1 — ход слева:

— линейная зависимость.

Участок 2 — ход слева:

— линейная зависимость.

При

при

Участок 3 — ход справа:

— линейная зависимость.

По полученным значениям Q и М строятся соответствующие эпюры (рис. 5.7, б, в).

Анализ эпюры изгибающих моментов показывает, что в том сечении балки, где приложен сосредоточенный момент М, на эпюре образуется скачок на величину этого момента. Скачок направлен вверх, так как М направлен против хода часовой стрелки.

На участке АС балки поперечная сила Q > 0 — изгибающий момент возрастает, а на участке CD, где Q < 0 — изгибающий момент убывает.

В концевых шарнирных опорах балки (А, D) изгибающие моменты равны нулю.

Характер деформации волокон балки на ее участках предлагается установить самостоятельно.

Из построенных эпюр следует, что

Напряжения при изгибе. Условия прочности

Задача №5.6

Определить значения нормальных и касательных напряжений в точке К деревянной балки (рис. 5.14). Проверить прочность балки по этим напряжениям и построить их эпюры.

Расчетные сопротивления материала балки R = 15 МПа, = 2 МПа.

Решение:

Определяем опорные реакции:

Вычислим значения Q и М для характерных сечений балки и построим их эпюры (рис. 5 Л 4, б и в).

Сечение А :

Сечение С:

Сечение В:

Определим напряжения в точке К. В сечении балки, где расположена эта точка, Q = 6,8 кН,

Для определения нормального напряжения воспользуемся формулой (5.5). По модулю

Для прямоугольного сечения балки момент инерции относительно нейтральной оси

Для установления знака вычисленного напряжения нужно обратиться к эпюре , В сечении, где расположена точка К, ординаты эпюры лежат снизу от оси эпюры. Это значит, что волокна балки, лежащие ниже продольной оси, растянуты, а выше — сжаты. Так как точка К расположена в сжатой зоне сечения балки, напряжению в ней присваивается знак «минус»

Значение касательного напряжения в заданной точке вычислим по формуле (5.2):

Статический момент части площади сечения, расположенной выше точка К:

Касательному напряжению присваивается знак поперечной силы

Проверка прочности балки производится по максимальным значениям и . В данном примере

Заметим, что максимальные значения внутренних сил могут быть в одном или в разных сечениях.

Проверку прочности по нормальным напряжениям проведем по формуле (5.3):

Эти напряжения появляются в крайних точках сечения. На нейтральной оси, где у = 0, нормальные напряжения равны нулю:

Проверку прочности по касательным напряжениям проведем по формуле (5.5):

Статический момент на уровне нейтральной оси

Максимальные касательные напряжения появляются в точках на нейтральной оси сечения балки. В крайних точках сечения, где , касательные напряжения равны нулю: .

Таким образом, условия прочности балки по нормальным и касательным напряжениям выполняются.

Закономерность распределения нормальных и касательных напряжений по высоте сечения, т. е. их эпюры, показана на рис. 5.14, г.

Задача №5.10

Провести полную проверку прочности балки, состоящей из двух швеллеров № 22, если R = 210 МПа, = 130 МПа (рис. 5.18).

Решение:

• Из таблицы сортамента для швеллера № 22:
• h = 220 мм, b = 82 мм, d = 5,4 мм, t = 9,5 мм,
• 

Вследствие симметрии нагрузки опорные реакции Значения Q и М в характерных сечениях:

в сечении А

в сечении С

в сечении Д

В других сечениях Q и М определить самостоятельно. Эпюры Q и М показаны на рис. 5.18, б, в.

Проверка прочности балки по нормальным напряжениям производится для сечения Д, где максимален:

Проверка прочности по касательным напряжениям производится для сечения А, где Q максимально:

Условия прочности балки и выполняются.

Полная проверка прочности производится в сечении балки, где Q и М одновременно большие. В рассматриваемом примере опасное сечение С, где Q= 108 кН, М = 68,4 кН-м.

Опасной точкой, где проводится полная проверка прочности, для сечений типа двутавр, швеллер является точка сопряжения полки со стенкой (точка К). В этой точке — самое неблагоприятное сочетание напряжений и .

При вычислении статического момента на уровне точки К полку швеллера можно рассматривать как прямоугольник шириной b и высотой t (без учета скруглений и скоса):

Определяем нормальные и касательные напряжения в опасной точке К:

По формуле (5.6) главные напряжения

Следовательно,

В точке К материал испытывает плоское напряженное состояние, поэтому проверка прочности производится по гипотезам прочности.

Для стальной балки (пластичный материал) применима четвертая (энергетическая) теория прочности (формула (5.6)):

Условие прочности по четвертой теории выполняется.

Деформации при изгибе. Проверка на жесткость

Задача №5.12

Для двухопорной деревянной балки прямоугольного поперечного сечения (h = 18 см, b = 14 см) построить эпюру прогибов и определить наибольший относительный прогиб, если модуль продольной упругости материала Е=10 ГПа (рис. 5.23).

Решение:

Начало координатных осей помещаем в сечении А — шарнирной опоре балки.

Значения опорных реакций приведены на рис. 5.23, а, а эпюры Q и — на рис. 5.23, б и в.

Момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси

Балка имеет два расчетных участка. Составим уравнения оси изогнутой балки:

Вертикальными линиями отмечены границы уравнений для участков балки и область их применения.

В уравнения для первого участка вошли только те силовые факторы, которые лежат левее конца этого участка, т. е. только . На втором участке добавилась нагрузка q.

Для определения начальных параметров в составленных уравнениях нужно рассмотреть условия перемещений в начале координат, т. е. на шарнирной опоре А. В шарнирной опоре вертикальное перемещение отсутствует, т. е. , следовательно, . Угловое же перемещение на шарнирной опоре возможно, т. е. , значит, и .

Для определения параметра нужно составить уравнение прогибов для сечения В, где на шарнирной опоре вертикальное перемещение отсутствует, т. е.

При z = 3 м (сечение В)

откуда .

После определения всех начальных параметров уравнения оси изогнутой балки примут вид

Известно, что максимальный прогиб балки будет в том сечении, угол поворота которого равен нулю. Отыщем это сечение. Уравнение углов поворота сечений: для первого участка

откуда (сечение за пределами участка);

второго участка

откуда

Для построения эпюры прогибов вычислим их значения для нескольких характерных сечений балки, а также вычислим углы поворота сечений А и В.

При z = 0 (сечение А, 1-й участок)

При z = 1 м (сечение С, 1-й участок)

При z = 1,5 м (сечение Д, 2-й участок, середина пролета)

При z = 1,555 м (сечение, где )

При z = 1,667 м (сечение И, где )

При z = 3 м (сечение В, 2-й участок)

По полученным значениям построена эпюра прогибов (рис. 5.23, г).

Выпуклость изогнутой оси балки (эпюра ) направлена в сторону ординат эпюры .

Анализ полученных значений прогибов показывает, что абсолютный прогиб в середине пролета балки () и максимальный () практически совпадают.

Относительный прогиб балки

Сечение с наибольшим прогибом не обязательно должно совпадать с сечением, где изгибающий момент наибольший (). Это возможно лишь в частных случаях.

Метод Мора и Верещагина

Задача №5.16

Определить прогиб посередине пролета двухопорной балки (в долях от ), рис. 5.29.

Грузовая эпюра изгибающих моментов (от заданной нагрузки) показана на рис. 5.29, а.

Посередине пролета, где требуется определить прогиб, к балке вспомогательного состояния прикладывается единичная сосредоточенная сила F = 1 (рис. 5.29, б), определяются опорные реакции и строится эпюра .

В данном примере грузовая эпюра балки пересекает ось,а единичная эпюра имеет два расчетных участка, поэтому площадь со берется с единичной эпюры, а ордината у — с грузовой.

Ординаты у берутся из грузовой эпюры , как моменты в соответствующем сечении:

Прогиб посередине пролета балки

Найденный прогиб направлен вниз, по направлению единичной силы F = 1.

Вид эпюры прогибов показан на рис. 5.29, в.

Статически неопределимые балки

Задача №6.2

Для двухпролетной балки (рис. 6.4, а) построить эпюры Q и М, подобрать номер прокатного двутавра, определить прогиб в сечении D, изобразить ось изогнутой балки. Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:

Неизвестных опорных реакций четыре: Незави-симых уравнений равновесия три:

Следовательно, балка один раз статически неопределима. Уравнения равновесия

Независимое уравнение = 0 можно составить только одно относительно любой точки балки. В примере рационально использовать точку С:

или

Раскрытие статической неопределимости проведем двумя методами: с использованием метода начальных параметров и метода сил.

1.Расчет по методу начальных параметров.

Составим дополнительное уравнение, исходя из деформативных условий на опорах балки: =0, = 0.

Напомним, что начало координатных осей помещается в крайнем левом сечении балки — сечении А.

Составим выражения для названных прогибов.

При z = 6 м

При z = 11 м

Начальный параметр , так как прогиб на опоре А

Решая совместно уравнения (6.7) и (6.8), после исключения , получим

Из совместного решения уравнений (6.6) и (6.9) найдем, что

Осталась неизвестной реакция . Для ее определения нужно составить уравнение относительно точки А или В:

откуда

Контроль правильности определения реакций выполним по уравнению (6.5):

— раскрытие статической неопределимости выполнено верно.

Дальнейший расчет балки обычный. Ординаты эпюры М в характерных сечениях:

• сечение А: М = 0;
• сечение К:

• сечение В:

• сечение С:

• сечение D.

При z = 2,3 м (ход справа)

• Эпюры Q и М показаны на рис. 6.4, б, в.
• Из эпюры М следует, что

Требуемый момент сопротивления для подбора номера двутавра

Принимаем двутавр

Для определения прогибов в сечениях балки составим соответствующее выражение (по методу начальных параметров), учтя, что :

Начальный параметр определим из условия, что прогиб на опоре В (z = 6 м) равен нулю ():

откуда

Прогиб в заданном сечении D (при z = 8,5 м)

Ось изогнутой балки изображена на рис. 6.4, г. Напомним, что очертание эпюры прогибов необходимо согласовывать с эпюрой М: ординаты М должны находиться на выпуклой стороне балки. В сечениях, где М = 0, на эпюре прогибов находятся точки перегиба.

2.Расчет по методу сил.

Необходимую для расчета основную систему получим путем постановки шарнира на промежуточной опоре В (рис. 6.5,а)

Образуются две статически определимые балки, связанные между собой шарниром В (на рис. 6.5, а для удобства пояснения балки раздвинуты).

Обозначим неизвестный опорный момент через и для его определения запишем каноническое уравнение метода сил (6.1):

Параметры уравнения определим по способу Верещагина. Сначала загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем опорные реакции и обычным способом строим эпюры изгибающих моментов (грузовые эпюры) для каждого пролета (рис. 6.5, б).

Затем нагружаем основную систему единичным опорным моментом , определяем опорные реакции и строим эпюру изгибающих моментов (единичную эпюру) также для каждого пролета (рис. 6.5, в).

Грузовая эпюра расчленяется на простые фигуры и отмечаются их центры тяжести. На единичных эпюрах под центром тяжести простых фигур вычисляются значения ординат и отмечаются собственные центры тяжести .

Вычислим сначала значения всех площадей (треугольники и парабола) и ординат y.

Площади:

Ординаты:

Напомним, что

Приступаем к определению параметров уравнения метода сил (6.5).

Умножив единичную эпюру саму на себя, получим значение коэффициента уравнения:

Умножив грузовую эпюру на единичную, получим значение свободного члена уравнения:

Заметим, что произведение будет положительным, если площадь и ордината у лежат по одну сторону от оси эпюры, отрицательным — если по разные (в примере и лежат по разные стороны оси).

Полученные значения подставим в каноническое уравнение:

откуда

Знак «минус» при означает, что направление изгибающего момента на опоре В противоположно предполагаемому.

Таким образом, определением изгибающего момента на опоре В балки заканчивается раскрытие ее статической неопределимости.

Для построения эпюр Q и М нужно рассматривать отдельно балку каждого пролета, нагруженную заданной нагрузкой и найденным опорным моментом (рис. 6.5, г).

Построив эпюры Q и М, можно убедиться, что они совпадают с показанными на рис. 6.4, б, в.

Для определения прогибов по способу Верещагина в заданном сечении D основной системы следует приложить единичную силу (рис. 6.6, б), построить от нее единичную эпюру и перемножить эту эпюру с окончательной эпюрой изгибающих моментов М в этом пролете балки (рис. 6.6, а).

При разделении сложной эпюры М на простые фигуры следует иметь в виду, что единичная сила разделила пролет балки на два расчетных участка и на каждом из них выделяются парабола и два треугольника (см. рис. 6.6, а).

Площади фигур

Ординаты у

Заметим, что обе параболы лежат ниже оси эпюры М. Это станет очевидным, если представить эпюру М только от распределенной нагрузки q.

Прогиб в сечении D:

Знак «плюс» при означает, что прогиб происходит в направлении единичной силы , т. е. вниз.

Таким образом, результаты расчета двухпролетной балки методом начальных параметров и методом сил совпадают.

Анализируя трудоемкость расчета, можно сделать вывод, что для балки один раз статически неопределимой оба метода примерно равноценны. При большей степени статической неопределимости метод сил эффективнее.

Заметим, что при сложной нагрузке (особенно распределенной q) вычисление прогибов по способу Верещагина может оказаться сложнее, чем по методу начальных параметров.

Анализ напряженного состояния в точке

Задача №7.2

Как велики должны быть нормальные напряжения, действующие по граням параллелепипеда (рис. 7.5) в направлении оси X, чтобы в наклонной площадке под углом нормальное напряжение было сжимающим и не превышало 30 МПа? Касательное напряжение не должно превышать 40 МП

Решение:

Рассматриваемый параллелепипед находится в условиях линейного напряженного состояния. Для того чтобы в наклонной площадке появилось сжимающее напряжение, по исходной площадке должно действовать также сжимающее напряжение: .

По формулам (7.1), исходя из требования по и по при :

Принимаем

Задача №7.3

Элементарный параллелепипед находится в условиях линейного напряженного состояния. При условии определить положение наклонной площадки, в которой нормальное напряжение будет равно 0,8R.

Решение:

Напряжение на наклонной площадке

Из формулы (7.1)

откуда

Плоское напряженное состояние

Задача №7.5

По граням элемента, выделенного из нагруженного тела, действуют напряжения, как показано на рис. 7.11, а.

Определить положение главных площадок, значения главных напряжений и наибольших касательных напряжений. Установить вид напряженного состояния элемента.

Решение:

Значение главных нормальных напряжений определим по формуле (7.6):

Закономерность выполняется:

Наибольшее касательное напряжение найдем по формуле (7.8):

Положение одной из главных площадок (угол между осью X и направлением ) определим по формуле (7.7):

Вторая главная площадка, с напряжением , располагается перпендикулярно к первой.

Угол откладывается от оси с алгебраически большим не главным напряжением, т. е. от оси X по ходу часовой стрелки, так как угол отрицательный.

На рис. 7.11, б показаны исходные, а также и найденные главные напряжения.

Анализ полученных значений главных нормальных напряжений показывает, что элемент находится в условиях плоского напряженного состояния, так как два главных напряжения и (действуют в двух направлениях) отличны от нуля.

Сложное сопротивление

Задача №8.2

Определить значение наибольшей допустимой нагрузки q на стальную консольную балку (рис. 8.6, а), выполненную из двутавра № 24, расположив его сечение рационально по отношению к этой нагрузке.

Расчетное сопротивление для стали R = 210 МПа.

Решение:

Нагрузка на балку действует в двух плоскостях, совпадающих с главными центральными осями сечения X и У, т. е. в двух главных плоскостях. Значит, эта балка подвергается косому изгибу.

Выпишем из таблицы сортамента геометрические характеристики для двутавра № 24, соответствующие положению 1:

Во втором положении двутавра его характеристики

Эпюры изгибающих моментов строятся в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 8.6, б).

В сечении А

Анализ эпюр изгибающих моментов показывает, что в опасном сечении А балки наибольший изгибающий момент действует в горизонтальной плоскости . Следовательно, рациональным будет второе положение сечения балки, так как большему изгибающему моменту будет соответствовать больший момент сопротивления.

Исходя из формы поперечного сечения балки, условие прочности следует использовать в виде (8.2):

Из этого условия наибольшая допустимая нагрузка на балку

откуда

В завершение примера определим положение нейтральной оси и построим суммарную эпюру нормальных напряжений.

Угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси X определяется по формуле (8.1):

Положительное значение угла отсчитывается от оси X против хода часовой стрелки (рис. 8.6, в).

На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю. Наибольшие напряжения будут в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, и равны расчетному сопротивлению R. Это точки Д и К сечения.

В точке Д нормальные напряжения будут положительными как от момента , так и от момента В точке К оба значения отрицательны (см. рис. 8.6, в).

Внецентренное растяжение-сжатие

Задача №8.5

Короткая бетонная колонна сжимается продольной силой F, приложенной в точке К (рис. 8.12, а).

Определить наибольшее допустимое значение этой силы, если положение нейтральной оси. Построить эпюру нормальных напряжений и ядро сечения.

Решение:

Внешняя сила F действует на колонну параллельно ее продольной оси Z, но с эксцентриситетом:

Вследствие этого колонна подвергается внецентренному сжатию.

Исходя из формы сечения (две оси симметрии и выступающие углы) условие прочности используем в виде (8.6):

Определим необходимые геометрические характеристики сечения колонны.

Площадь сечения

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей

Моменты сопротивления сечения

Определим внутренние силы (усилия), образующиеся в колонне:продольная сила N = -F,

изгибающие моменты

Расчетная схема колонны показана на рис. 8.12, б. Изгибающие моменты и направлены согласно с точкой приложения силы F.

Заметим, что в данном случае все сечения колонны равноопасны, так как внутренние силы во всех сечениях одинаковы.

Положение нейтральной оси определим, исходя из формулы (8.5). Отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных центральных осях сечения:

Положение нейтральной оси показано на рис. 8.12, а, из которого видно, что нейтральная ось не проходит через центр тяжести сечения. Она, пересекая главные центральные оси X и Y, делит сечение на две зоны: сжатую (нижнелевую) и растянутую (верхнеправую), и лежит по другую сторону от центра тяжести сечения, чем точка приложения силы F.

Для хрупких материалов наиболее опасными являются растягивающие напряжения. Максимальные растягивающие напряжения будут в т. В сечения, как наиболее удаленной от нейтральной оси в растянутой зоне. Cоставим выражение для определения напряжения в т. В:

Проследим знаки слагаемых в составленном выражении. Первое слагаемое имеет знак «минус», так как действующая сила F сжимает колонну. Это относится к любой точке сечения. Второе и третье слагаемые имеют знак «плюс», так как в т .В оба изгибающих момента создают растягивающие напряжения (см. расчетную схему).

Условие прочности для т. В будет

откуда наибольшая допустимая нагрузка на колонну, исходя из растягивающих напряжений:

Вычислим наибольшие сжимающие напряжения, которые будут в т. С, как наиболее удаленной от нейтральной оси в сжатой зоне:

Таким образом, наибольшая допустимая нагрузка на колонну составит F = 127,0 кН, при которой будет обеспечена прочность как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 8.12, а, из которого видно, что при внецентренной нагрузке нормальные напряжения распределяются по сечению неравномерно.

Заметим, что полюс нагрузки F (точка К) лежит в большей по площади зоне напряжений (сжатой). Это постоянная закономерность.

Координаты ядра сечения определим из (8.7), задавшись положениями нейтральной оси, совпадающими со сторонами сечения колонны (рис. 8.12, в).

Нейтральная ось в положении 1-1.

Отрезки, отсекаемые нейтральной осью в системе главных центральных осей, будут

Координаты ядра сечения

Нейтральная ось в положении 2-2.

Вследствие симметрии сечения:

Ядро сечения показано на рис. 8.12, в.

Обратите внимание, что точка К (полюс силы F) лежит за пределами ядра сечения, отчего нейтральная ось проходит по сечению, разделяя его на две зоны: сжатую и растянутую.

Если т. К будет приближаться к центру тяжести сечения, то нейтральная ось будет удаляться от него. При положении т. К в пределах ядра сечения нейтральная ось уйдет за пределы сечения и напряжения по всему сечению будут одного знака.

Изгиб с кручением

Задача №8.8

Консольный стальной брус (рис. 8.16, а) круглого поперечного сечения нагружен внешними силами на перпендикулярно присоединенных к нему поперечинах.

Определить диаметр бруса, если

Решение:

Внешние силы не приложены непосредственно к рассматриваемому брусу, поэтому для него нужно составить расчетную схему, перенося внешние силы к продольной оси Z по правилу механики. Образуются вертикально действующие, перпендикулярные оси сосредоточенные силы

изгибающие брус, и моменты относительно оси Z

скручивающие брус (рис. 8.16, б).

Определим значения изгибающих и крутящих моментов в характерных сечениях бруса:

Эпюры и T показаны на рис. 8.16, в г.

В данном примере опасное сечение не явно. Это сечение А или B. Приведенные моменты для этих сечений

сечение А:

сечение В:

Таким образом, опасным является сечение А, где наибольший. Из условия прочности (8.9) требуемый момент сопротивления сечения

Из выражения

определяем диаметр бруса:

Принимаем диаметр бруса d = 40 мм (перенапряжение при этом не превышает 5 %).

Общий случай сложного сопротивления

Задача №8.9

Пространственная система (рис. 8.18, а), состоящая из трех стальных стержней круглого поперечного сечения диаметром d= 4 см и жестко соединенных между собой под прямым углом, нагружена расчетной нагрузкой.

Расчетные сопротивления для стали R = 210 МПа, .

Проверить прочность стержней системы.

Решение:

Стержни системы находятся под действием различных видов и направлений нагрузки. Чтобы установить вид сопротивления на каждом стержне системы, необходимо построить эпюры внутренних силовых факторов. Для этого целесообразно рассматривать систему со свободного конца. В таком случае не потребуется определять опорные реакции в защемлении системы и сложность эпюр будет нарастать постепенно.

Для каждого стержня системы, начиная с первого, составляется расчетная схема с использованием локальной системы координат (см. рис. 8.18, а). Переходя к последующему стержню, необходимо по правилу механики перенести к нему все силы, действующие на предыдущий стержень.

При переносе сосредоточенной силы F параллельно самой себе образуются сосредоточенная сила F той же величины и направления и момент М, равный произведению силы F на плечо а (расстояние переноса):

М = Fa.

Сосредоточенный момент М параллельно самому себе «перемещается» по оси, относительно которой он действует.

Приступим к составлению расчетных схем, определению внутренних сил в характерных сечениях каждого стержня системы, начиная с первого, и построению их эпюр.

Поперечные силы от изгиба во внимание не принимаются.

Стержень 1 (А В).

Расчетная схема стержня — защемление в точке В (рис. 8.18, д).

Нагрузкой на стержень является сосредоточенная сила F = 0,6 кН, действующая по направлению оси X Она вызывает изгиб стержня относительно оси Y.

Изгибающие моменты:

Ординаты момента откладываются по направлению оси X со стороны растянутых волокон стержня, т. е. справа от оси Z (АВ) (рис. 8.18, и).

Другие силовые факторы

Общее правило: в системе взаимно перпендикулярных осей m, п сила F, действующая по направлению оси п, создает изгиб относительно оси m и ордината изгибающего момента откладывается по направлению силы F.

Стержень 2 (ВС).

Расчетная схема стержня — защемление в точке С (рис. 8.18, в). Непосредственно на стержень действует распределенная нагрузка q. Нагрузка F, действующая на первый стержень в т. А, будучи приведенной к т. В второго стержня, образует сосредоточенную силу F, направленную параллельно оси X, и момент относительно оси Z, направленный по часовой стрелке, если смотреть со стороны сечения стержня.

Распределенная нагрузка q создает изгиб стержня относительно оси Х , а сосредоточенная F — изгиб относительно оси Y. Момент создает кручение относительно оси Z.

Таким образом, второй стержень подвергается изгибу (в двух плоскостях) и кручению.

Определим значения внутренних сил в характерных сечениях.

Крутящий момент

Ординаты эпюры (параболический треугольник) отложены по оси Y сверху продольной оси Z стержня, a — по оси X справа оси Z, в обоих случаях — со стороны растянутых волокон. Продольная сила во втором стержне

N = 0.

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 8.18, ж-и.

Стержень 3 (СД).

Расчетная схема — защемление в т. Д (см. рис. 8.18, б). Непосредственно действующих на стержень внешних сил нет. Силы, действующие на предыдущие участки, будучи приведенными к третьему, образуют в т. С сосредоточенные силы F и и моменты

а также момент (на предыдущем стержне это ).Сосредоточенная сила F создает в стержне деформацию сжатия. Сосредоточенная сила и момент создают деформацию изгиба относительно оси X (т. е. в вертикальной плоскости), а момент -изгиб относительно оси Y (т. е. в горизонтальной плоскости). Момент создает деформацию кручения.

Внутренние силы в стержне.

Изгибающие моменты:

в т. С

в т. Д

Крутящий момент

Продольная сила

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 7.18, е—и. Ординаты эпюр и отложены со стороны растянутых волокон стержня. Как изгибается стержень, нетрудно представить по расчетной схеме.

Анализ эпюр внутренних сил позволяет установить вид сопротивления каждого стержня системы, выявить опасное сечение и проверить его прочность.

Сначала вычислим необходимые геометрические характеристики сечения (сечение круглое, диаметром d = 4 см). Площадь сечения

Осевой момент сопротивления

Полярный момент сопротивления:

В стержне АВ возникает лишь изгибающий момент . Значит, он подвергается плоскому изгибу. Опасное сечение В, где

Максимальное нормальное напряжение в стержне

Условие прочности удовлетворяется.

Стержень ВС подвергается изгибу в двух плоскостях и кручению. Опасное сечение С, где , ,

Поскольку изгиб происходит в двух плоскостях, необходимо вычислить суммарный изгибающий момент:

Максимальное касательное напряжение от крутящего момента

Максимальное нормальное напряжение от суммарного изгибающего момента

Так как стержень подвергается изгибу с кручением, проверку прочности следует выполнить по теории прочности (формула (8.10)). Максимальное расчетное напряжение

Условие прочности удовлетворяется.

Стержень СД подвергается сжатию, изгибу в двух плоскостях и кручению.

Опасное сечение Д, где N = 0,6 кН, , , .

Суммарный изгибающий момент

Максимальное касательное напряжение от крутящего момента

Максимальное нормальное напряжение от суммарного момента

Максимальное нормальное напряжение от сжимающей продольной силы

Максимальное расчетное напряжение

Условие прочности удовлетворяется.

В завершение примера установим положение наиболее напряженной точки в опасном сечении Д.

Нормальные напряжения от продольной силы N распределяются по сечению равномерно. Касательные напряжения от крутящего момента Т максимальны по контуру сечения. Максимальные нормальные напряжения от изгибающих моментов и будут также на контуре сечения по линии действия суммарного момента . Таким образом, наиболее напряженной является точка К, лежащая на контуре сечения по линии действия (рис. 8.18, г). Расчетное напряжение в этой точке

Координаты точки К легко определить, вычислив значение угла

Продольный и продольно-поперечный изгибы

Задача №9.2

Стальная стойка длиной l = 5 м, составленная из двух швеллеров № 12, центрально нагружена сжимающей силой F = 190 кН (рис. 9.5).

Определить, каким запасом на устойчивость обладает стойка при условии равноустойчивости.

Решение:

Необходимые геометрические характеристики для швеллера № 12

Для сечения стойки: площадь

момент инерции относительно оси X

условие равноустоичивости

момент инерции сечения относительно оси Y с учетом равноустойчивости

откуда расстояние между осями швеллеров а = 9,06 см; радиусы инерции стойки

При шарнирном закреплении концов стойки коэффициент приведения длины

Гибкость стойки

Так как гибкость стойки больше предельного значения для стали , то для определения критической силы используется формула Эйлера (9.2):

Коэффициент запаса устойчивости по формуле (9.1)

Продольно-поперечный изгиб

Задача №9.5

Стальная стойка из двутавра № 22 нагружена сосредоточенной продольной силой F и равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 9.9, а)

Проверить прочность и устойчивость стойки, если R = 210 МПа.

Решение:

Проанализируем характер действия нагрузок. Продольная сила F создает центральное сжатие стойки, а распределенная q — изгиб. Значит, стержень подвергается продольно-поперечному изгибу.

Геометрические характеристики сечения двутавра № 22

Проверим устойчивость стойки от действия сосредоточенной силы F. По условию закрепления концов стойки коэффициент приведения длины

Гибкость стойки относительно главных центральных осей

Проверку устойчивости следует проводить в плоскости гибкости, т. е. относительно оси Y.

Для max Xv = 194 по таблице ф = /{Х) коэффициент продольного изгиба ф = 0,186.

Наибольшая допустимая нагрузка F по условию устойчивости (9.8)

что превышает действующую нагрузку в 119,5/80 = 1,49 раза — устойчивость стойки обеспечена.

Для проведения расчета стойки на прочность необходимо рассмотреть ее деформированное состояние (рис. 9.9, б).

Прогиб от поперечной нагрузки q (консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой) происходит относительно оси X, в направлении оси Y

Полный прогиб стойки определяется по формуле (9.11):

в которой эйлерова сила

Заметим, что при вычислении эйлеровой силы момент инерции берется относительно главной центральной оси сечения, перпендикулярной действию нагрузки q, т. е. относительно оси X.

Полный прогиб конца стойки

В сечениях стойки возникает изгибающий момент как от поперечной нагрузки , так и от продольной (рис. 9.9, в).

В опасном сечении (защемлении) полный изгибающий момент

Проверка прочности осуществляется по формуле (9.13):

Следовательно, прочность и устойчивость стойки обеспечены.

Расчеты при действии динамических нагрузок

Задача №10.2

Швеллер № 20 при помощи тросов, каждый сечением , поднимается вверх с ускорением (рис. 10.3, а).

Определить нормальные напряжения в тросе и швеллере.

Собственный вес тросов не учитывать.

Решение:

Геометрические характеристики для швеллера № 20, уложенного плашмя, , Линейная плотность Вес погонной длины 1 м швеллера в системе СИ

Сначала определим напряжения в швеллере. Его собственный вес является равномерно распределенной нагрузкой q = 181 Н/м. Расчетная схема поднимаемого швеллера показана на рис. 10.3, б.

Определение опорных реакций и построение эпюры изгибающих моментов (рис. 10.3, в) выполняются обычными методами.

Напряжение в швеллере от статического действия собственного веса

Динамический коэффициент

Динамическое напряжение в швеллере

Вес швеллера является нагрузкой на тросы.

Продольная сила в тросах

Напряжение в тросах от статического действия веса швеллера

Динамическое напряжение в тросе

При подъеме элементов строительных конструкций, особенно длинных и большого веса, а иногда в непроектном положении, важно, чтобы монтажные напряжения были возможно меньшими. Это достигается по крайней мере двумя методами: малым ускорением в начале и окончании подъема (определяется характеристикой двигателя подъемного устройства) и рациональным местом строповки (закрепление подъемных канатов).

Анализ эпюры М (см. рис. 10.3, в) показывает, что места строповки выбраны недостаточно рационально, так как в середине длины швеллера изгибающий момент равен нулю.

Нетрудно понять, что изменение расстояния а приведет к появлению изгибающего момента в сечении 3 швеллера. Причем увеличение расстояния а приведет к повышению , а уменьшение его -к уменьшению . Рациональным будет следующее соотношение изгибающих моментов (рис. 10.3, г):

Определим оптимальное значение расстояния а. По расчетной схеме

Условие рациональности

Решив квадратное уравнение, получим а = 1,243 м.

При а = 1,243 м

что на 45,9 % меньше, чем при а = 1,5 м. На столько же процентов уменьшится и напряжение в швеллере. Напряжение в тросе не изменится.

Расчет на ударную нагрузку

Задача №10.5

На стальную балку, состоящую из двух двутавров № 22 длиной l = 5 м с абсолютно жесткими опорами (рис. 10.8, а), посередине пролета падает с высоты H = 1 см груз массой m = 510 кг.

В опасном сечении балки определить максимальное нормальное напряжение и прогиб.

Как изменятся искомые величины, если одна из опор балки будет упругой (цилиндрическая пружина с податливостью Рис.10.8,б?

Решение:

Для двутавра № 22 , Нагрузка на балку

Расчет при жестких опорах без учета массы балки. Опасным будет сечение посередине пролета балки, поскольку здесь изгибающий момент наибольший:

Напряжение и прогиб от статического действия груза весом Q

Динамический коэффициент, напряжение и прогиб

Рекомендуется самостоятельно провести расчет с учетом массы балки

Результаты будут несколько меньшими

Расчет при одной упругой (податливой) опоре.

Осадка пружины на опоре В от статического действия груза

Статический прогиб в точке удара

Динамические параметры

Заметим, что при наличии амортизатора на опоре балки динамическое напряжение в ней уменьшается.

Расчет на колебательную (вибрационную) нагрузку

Задача №10.8

Электродвигатель весом Q = 4 кН установлен в середине пролета двухопорной балки, выполненной из двух прокатных швеллеров №20 (рис. 10.13).

Электродвигатель делает п = 800 об/мин. Вертикальная амплитуда возмущающей силы Р = 1 кН.

Проверить прочность балки, если R = 210 МПа. Собственным весом швеллеров пренебречь.

Решение:

Из таблицы сортамента прокатных швеллеров для № 20 следует

Прогиб балки в середине пролета от статического действия груза Q

Частота собственных колебаний балки

Частота вынужденных колебаний балки

Заметим, что отношение

т е. эксплуатация конструкции будет происходить вне опасной резонансной зоны.

Напряжение от веса двигателя (опасное сечение посредине пролета балки)

Динамический коэффициент

Напряжение от возмущающей силы

Максимальное напряжение в балке

Условие прочности удовлетворяется.

Амплитуда вынужденных колебаний от возмущающей силы Р

Максимальный прогиб в середине пролета балки

Максимальный относительный прогиб

что соответствует большой жесткости балки.