Как найти сопряженное комплексное число онлайн - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

The conjugate refers to the change in the sign in the middle of the binomials. For example, the conjugate of X+Y is X-Y, where X and Y are real numbers. In case of complex numbers which involves a real and an imaginary number, it is referred to as complex conjugate. For example, the complex conjugate of X+Yi is X-Yi, where X is a real number and Y is an imaginary number. Use this online algebraic conjugates calculator to calculate complex conjugate of any real and imaginary numbers.

Calculate Complex Conjugate of Real and Imaginary Numbers

Code to add this calci to your website

Formula:

z = a + bi = a — bi
Where,
a — Real Part of z
b — Imaginary Part of z

Example:

The complex conjugate of 3 + 8i is 3 — 8i

Источник

bold{mathrm{Basic}}

bold{alphabetagamma}

bold{mathrm{ABGamma}}

bold{sincos}

bold{gedivrightarrow}

bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}

bold{sumspaceintspaceproduct}

bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}

bold{H_{2}O}

square^{2}

x^{square}

sqrt{square}

nthroot[msquare]{square}

frac{msquare}{msquare}

log_{msquare}

theta

infty

int

frac{d}{dx}

ge	le	cdot	div	x^{circ}	(square)	\|square\|	(f:circ:g)	f(x)	ln	e^{square}
left(squareright)^{‘}	frac{partial}{partial x}	int_{msquare}^{msquare}	lim	sum	sin	cos	tan	cot	csc	sec

alpha	beta	gamma	delta	zeta	eta	theta	iota	kappa	lambda	mu
nu	xi	pi	rho	sigma	tau	upsilon	phi	chi	psi	omega

A	B	Gamma	Delta	E	Z	H	Theta	K	Lambda	M
N	Xi	Pi	P	Sigma	T	Upsilon	Phi	X	Psi	Omega

sin	cos	tan	cot	sec	csc	sinh	cosh	tanh	coth	sech
arcsin	arccos	arctan	arccot	arcsec	arccsc	arcsinh	arccosh	arctanh	arccoth	arcsech

begin{cases}square\squareend{cases}	begin{cases}square\square\squareend{cases}	=	ne	div	cdot	times	<	>	le	ge
(square)	[square]	▭:longdivision{▭}	times twostack{▭}{▭}	+ twostack{▭}{▭}	— twostack{▭}{▭}	square!	x^{circ}	rightarrow	lfloorsquarerfloor	lceilsquarerceil

overline{square}	vec{square}	in	forall	notin	exist	mathbb{R}	mathbb{C}	mathbb{N}	mathbb{Z}	emptyset
vee	wedge	neg	oplus	cap	cup	square^{c}	subset	subsete	superset	supersete

int	intint	intintint	int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}	sum	prod
lim	lim _{xto infty }	lim _{xto 0+}	lim _{xto 0-}	frac{d}{dx}	frac{d^2}{dx^2}	left(squareright)^{‘}	left(squareright)^{»}	frac{partial}{partial x}

(2times2)	(2times3)	(3times3)	(3times2)	(4times2)	(4times3)	(4times4)	(3times4)	(2times4)	(5times5)
(1times2)	(1times3)	(1times4)	(1times5)	(1times6)	(2times1)	(3times1)	(4times1)	(5times1)	(6times1)	(7times1)

mathrm{Радианы}	mathrm{Степени}	square!	(	)	%	mathrm{очистить}
arcsin	sin	sqrt{square}	7	8	9	div
arccos	cos	ln	4	5	6	times
arctan	tan	log	1	2	3	—
pi	e	x^{square}	0	.	bold{=}	+

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

frac{2i}{1+i}
frac{5i}{2+i}
frac{5i}{-2-6i}
frac{9}{4-2i}
Показать больше

Описание

Рационализировать комплексные числа путем умножения на сопряженные шаг за шагом

complex-numbers-conjugate-calculator

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

High School Math Solutions – Systems of Equations Calculator, Elimination

A system of equations is a collection of two or more equations with the same set of variables. In this blog post,…

Введите Задачу

Сохранить в блокнот!

Войти

Источник

Комплексные числа по-шагам

Примеры комплексных выражений

Деление комплексных чисел
```
(1-2i)/(1+4i)
```
Умножение комплексных чисел
```
(5+4i)*(8-2i)
```
Комплексные уравнения
```
z - |z| = 2 + i
```
```
(i + 5)*z - 2*i + 1 = 0
```
Возведение комплексного числа в степень
```
i^15
```
```
(1 - 2*i)^32
```
Квадратный корень из комплексного числа
```
sqrt(1-24*i)
```
Кубический корень
```
cbrt(1-24*i)
```
Корни четвертой и пятой степени
```
(1-11*i)^(1/4)
```
```
(1-11*i)^(1/5)
```
Мнимая и действительная часть
```
im(re(x) + y)
```
Комплексно-сопряженное число
```
conj(1 + 4j)
```
```
(3/2-3*sqrt(3)/2*i)/conj(-5/2-1/3*i)
```
Реальная часть комплексного числа
```
re(1+I)
```
Мнимая часть
```
im(1+I)
```
Модуль комплексного числа
```
absolute(1+I)
```
Аргумент
```
arg(1+I)
```
Комплексный знак числа
```
sign(1+I)
```

Что умеет?

Простые операции с комплексными числами
Выполнять деление с подробным решением
Находить разные формы комплексных чисел:
1. Алгебраическую
2. Тригонометрическую
3. Показательную
Модуль и аргумент комплексного числа
Комплексно-сопряжённое к данному
Геометрическую интерпретацию комплексного числа

Подробнее про Комплексное число.

Указанные выше примеры содержат также:

модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x)
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
показательные функции и экспоненты exp(x)
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x)
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x)
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x)
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
знак числа:
sign(x)
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x)
Факториал от x:
x! или factorial(x)
Гамма-функция gamma(x)
Функция Ламберта LambertW(x)
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x: — умножение
3/x: — деление
x^2: — возведение в квадрат
x^3: — возведение в куб
x^5: — возведение в степень
x + 7: — сложение
x — 6: — вычитание
Действительные числа: вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi: — число Пи
e: — основание натурального логарифма
i: — комплексное число
oo: — символ бесконечности

Источник

Сопряженные комплексные числа

Комплексные числа называются сопряженными если их действительные части равны, а мнимые равны по модулю, но противоположны по знаку.

Эти два комплексных числа называются сопряженными.

[ begin{aligned} a + htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b \ a — htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b end{aligned} ]

Сопряженные комплексные числа в сумме дают действительное число

[ (a + htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b) + (a — htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b) = 2a ]

Построить сопряженные комплексные числа.

Сопряженные комплексные числа	стр. 69

Источник

Начиная с 16 века математики столкнулись с необходимостью введения комплексных чисел, то есть чисел вида a+bi, где a,b — вещественные числа, i — мнимая единица — число, для которого выполняется равенство: i²=-1.

Интересно проследить, как менялось представление о комплексных числах с течением времени. Вот некоторые цитаты из древних трудов:

XVI век : Эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны. ¹
XVII век : Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием. ²
XVIII век : Квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, не меньше нуля и не больше нуля. Из сего видно, что квадратные корни из отрицательных чисел не могут находиться среди возможных чисел. Поэтому, нам не остается ничего другого, как признать их невозможными числами. Это ведет нас к понятию таких чисел, которые по своей природе невозможны и обычно называются мнимыми или воображаемыми, потому что их только в уме представить можно. ³
XIX век Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. ⁴

Известно три способа записи комплексного числа z:

Алгебраическая запись комплексного числа

,
где a и b — вещественные числа, i — мнимая единица. a — действительная часть, bi — мнимая часть.

Тригонометрическая запись комплексного числа

,
где r — модуль комплексного числа:
$r = |z| =sqrt{a^2+b^2}$
, который соответствует расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат, а φ — угол наклона вектора 0-z к оси действительных значений или аргумент комплексного числа.

Показательная запись комплексного числа

$z = r e^{ivarphi}$ была введена Леонардом Эйлером для сокращения тригонометрической записи.

Комплексное число

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

В тригонометрической форме

Главный аргумент (радианы)

Главный аргумент (градусы)

Комплексная плоскость

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Значение аргумент комплексного числа определяется с точностью до 2pi{k} , для всех целых k. Главный аргумент — это значение аргумента, лежащее в диапазоне (-π..π].
Главный аргумент вычисляется как арктангенс двух аргументов мнимой и действительной части комплексного числа:
, см Арктангенс с двумя аргументами

Над комплексным числом возможны все алгебраические операции:

Действия над комплексными числами

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Сложение комплексных чисел

Комплексные числа складываются ровно так же, как и многочлены:

Умножение комплексных чисел

Помня о том, что i*i=-1, легко выразить формулу для умножения комплексных чисел:
$z_1 dot z_2 = ({a_1}{a_2}-{b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2}+{a_2}{b_1})i$

Деление комплексных чисел

Формулу деления комплексных чисел проще всего вывести, путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное комплексное число, для того, чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе:
$frac{z_1}{z_2}=frac{{z_1}overline {z_2}}{{z_2}overline {z_2}}$
Сопряженное комплексное число, это число вида:

Раскрывая скобки получаем:
$frac{z_1}{z_2}=frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i$

Возведение в целую степень

Проще всего комплексное число возводить в степень используя показательную форму:
$z^n=r^ne^{{i}{n}phi}$
формула вытекает из формулы Муавра:
${big (}cos(x)+isin(x){big )}^{n}=cos(nx)+isin(nx)$

Вычисление корня степени n

Из формулы Муавра вытекает решение для корней степени n из комплексного числа:
$sqrt[n]{z} = r^{frac {1}{n}}left(cos {frac {x+2pi k}{n}}+isin {frac {x+2pi k}{n}}right)$ ,
всего получается n корней, где k = 0..n-1 — целое число, определяющее индекс корня. Корни располагаются на комплексной плоскости, как вершины правильного многоугольника.

Источник