Конус – это геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У каждого конуса есть основание и боковая поверхность.
Любой конус характеризуется высотой h (осевой линией), радиусом r и образующей l (см. рисунок). Именно эти характеристики используются в формулах конуса при вычислении объема, площади поверхности и площади боковой поверхности.
Высота конуса (осевая линия) – это перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к основанию.
Радиус конуса – это радиус его основания.
Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой, лежащей на линии окружности основания.
Формула образующей конуса
Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:
L = √H2 + R2
Формула площади боковой поверхности конуса
Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:
Sбок.пов = πRL
Формула площади основания конуса
Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:
Sосн = πR2
Формула площади конуса
Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:
S = Sбок.пов + Sосн = πRL + πR2
Формула объема конуса
Объем конуса можно вычислить, зная его высоту H и площадь основания:
V = 1/3 ⋅ Sосн ⋅ H = 1/3πR2H
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности прямого кругового конуса (боковую, полную и основания), а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Формула вычисления площади конуса
- 1. Боковая поверхность
- 2. Основание
- 3. Полная площадь
- Примеры задач
Формула вычисления площади конуса
1. Боковая поверхность
Площадь (S) боковой поверхности конуса равняется произведению числа π на радиус основания и на длину образующей.
Sбок. = πRl
Образующая (l) соединяет вершину конуса и границу основания, другими словами, точку на окружности.
Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.
2. Основание
Основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется так:
Sосн. = πR2
Учитывая то, что диаметр круга равняется двум его радиусам (d = 2R), данную формулу можно представить в виде:
Sосн. = π(d/2)2
3. Полная площадь
Для вычисления суммарной площади конуса следует сложить площади боковой поверхности и основания:
Sполн. = πRl + πR2 = πR(l + R)
Примеры задач
Задание 1
Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его радиус равен 16 см, а длина образующей – 5 см.
Решение:
Используем соответствующую формулу с известными нам величинами:
S = 3,14 ⋅ 16 см ⋅ 5 см = 251,2 см2.
Задание 2
Высота конуса равна 4 см, а его радиус – 3 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Если рассмотреть конус в сечении, то можно заметить, что его высота, радиус и образующая представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно найти длину образующей (является гипотенузой):
l2 = (4 см)2 + (3 см)2 = 25 см2.
l = 5 см.
Осталось только использовать найденное и известные по условиям задачи значения, чтобы рассчитать площадь:
S = 3,14 ⋅ 3 см ⋅ (5 см + 3 см) = 75,36 см2.
Конус — это совокупность всех лучей, которые исходят из какой-либо точки пространства и пересекают плоскую поверхность.
Онлайн-калькулятор площади поверхности конуса
Точка, которая является началом этих лучей, называется вершиной конуса. В случае когда в основании конуса лежит многоугольник, конус превращается в пирамиду.
Конус состоит из некоторых элементов, знать которые необходимо для решения задач.
Образующая — отрезок, соединяющий точку, лежащую на окружности круга, который является основанием, и вершину конуса.
Высота — расстояние от плоскости основания до точки вершины конуса.
Виды конуса
Конус может быть нескольких видов:
Прямым, если его основанием является эллипс или круг. Причем вершина должна точно проектироваться в центр основания.
Косым — это тот случай, когда центр фигуры, лежащей в основании, не совпадает с проекцией вершины на это основание.
Круговым — соответственно, если основание — круг.
Усеченным — область конуса, которая будет лежать между основанием и сечением плоскости, параллельной основанию и пересекающей этот конус.
Формула площади поверхности конуса
Для нахождения полной площади поверхности конуса нужно найти сумму площади основания (или оснований, если конус усеченный) конуса и площади его боковой поверхности:
S=Sосн+SбокS=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}
SоснS_{text{осн}} — площадь основания (оснований) конуса;
SбокS_{text{бок}} — площадь боковой поверхности конуса.
Рассмотрим примеры нахождения площади поверхности обычного прямого кругового конуса, а также усеченного этого же конуса.
Формула площади поверхности кругового конуса
Sосн=π⋅r2S_{text{осн}}=picdot r^2
Sбок=π⋅r⋅lS_{text{бок}}=picdot rcdot l
rr — радиус круга (основания) кругового конуса;
ll — длина образующей этого конуса.
Найти площадь поверхности кругового конуса, если радиус основания равен 3 (см.), а высота hh треугольника, путем вращения которого образовался данный конус, равна 4 (см.)
Решение
r=3r=3
h=4h=4
Образующую можно найти, если рассмотреть треугольник, катетами которого являются радиус и высота, а гипотенузой — сама образующая ll. По теореме Пифагора имеем:
l2=r2+h2l^2=r^2+h^2
l2=32+42l^2=3^2+4^2
l2=25l^2=25
l=5l=5
Вычислим площадь основания конуса:
Sосн=π⋅r2=π⋅32≈28.26S_{text{осн}}=picdot r^2=picdot 3^2approx28.26 (см. кв.)
Площадь боковой поверхности:
Sбок=π⋅r⋅l=π⋅3⋅5≈47.10S_{text{бок}}=picdot rcdot l=picdot 3cdot 5approx47.10 (см. кв.)
Полная площадь
S=Sосн+Sбок≈28.26+47.10=75.36S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}approx28.26+47.10=75.36 (см. кв.)
Ответ: 75.36 см. кв.
Формула площади поверхности усеченного кругового конуса
Для усеченного кругового конуса площадь боковой поверхности можно найти по формуле:
Sбок=π⋅l⋅(r+r′)S_{text{бок}}=picdot lcdot (r+r’)
ll — длина образующей конуса;
rr — радиус основания;
r′r’ — радиус круга, получаемый при усечении кругового конуса.
Условие возьмем из предыдущей задачи, добавив к нему только лишь радиус второго основания r′r’. Пусть он будет равен 2 (см.). Требуется вычислить полную площадь поверхности этого усеченного конуса.
Решение
l=5l=5
r=3r=3
r′=2r’=2
Оснований у нас теперь два, поэтому полная площадь оснований будет равна сумме площадей этих оснований с радиусами rr и r′r’:
Sосн=Sосн r+Sосн r’S_{text{осн}}=S_{text{осн r}}+S_{text{осн r’}}
Площадь основания радиуса rr:
Sосн r=π⋅r2=π⋅32≈28.26S_{text{осн r}}=picdot r^2=picdot 3^2approx28.26 (см. кв.)
Площадь основания радиуса r′r’:
Sосн r’=π⋅r′2=π⋅22≈12.56S_{text{осн r’}}=picdot r’^2=picdot 2^2approx12.56 (см. кв.)
Площадь боковой поверхности:
Sбок=π⋅l⋅(r+r′)=π⋅5⋅(3+2)≈78.50S_{text{бок}}=picdot lcdot (r+r’)=picdot 5cdot (3+2)approx78.50 (см. кв.)
Полная площадь:
S=Sосн+Sбок=Sосн r+Sосн r’+Sбок≈28.26+12.56+78.50=119,32S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}=S_{text{осн r}}+S_{text{осн r’}}+S_{text{бок}}approx28.26+12.56+78.50=119,32 (см. кв.)
Ответ: 119,32 см. кв.
Не знаете, как решить задачу по геометрии? Наши эксперты оперативно помогут вам с решением!
Тест по теме «Площадь поверхности конуса»
Конус (от греч. «сосновая шишка») — это тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов (этот катет рассматривается как ось конуса).
Образующая конуса — отрезок (как пример на рисунке это отрезок AB=L), соединяющий вершину конуса с любой точкой, лежащей на границе основания.
Высота конуса — это перпендикуляр DB, опущенный из вершины конуса в центр основания.
Ось конуса — это прямая, проходящая через центр круга и вершину конуса.
Радиус основания — это радиус конуса DE.
Вершина конуса на рисунке точка B.
Осевое сечение конуса – это сечение, содержащее ось.
Н — высота конуса;
R — радиус основания.
Формула для нахождения площади боковой поверхности конуса:
S=πRL
Площадь полной поверхности конуса равна:
S=Sбок+Sосн=πRL+ πR2
Формула для определения объёма конуса:
V=$frac{1}{3}$πR2H
Свойства конуса
- Все образующие конуса равны.
- Углы наклона образующих к основанию равны.
- Углы между осью и образующими равны.
- Углы между осью и основанием прямые.
Усеченный конус
Усеченный конус — часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.
R — радиус нижнего основания;
r — радиус верхнего основания;
h — высота конуса.
Формула для определения объёма усеченного конуса:
V=$frac{1}{3}$πh(r2+rR+R2)
Формула для определения площади боковой поверхности усечённого конуса:
S=πL(r+R)
Площадь полной поверхности усечённого конуса:
S= Sбок+Sосн1+Sосн2=πL(r+R)+πR2+πr2
Задача
Угол между образующей и осью конуса 30°. Образующая равна 12 см. Найдите площадь полной поверхности и объем конуса.
Решение
ΔCAB — правильный, так как CA=CB=AB=12 см.
$CO = frac{{sqrt 3 }}{2} cdot 12 = 6sqrt 3 $
Площадь полной поверхности конуса равна:
Sпов=πR(r+R)=π·6·(12+6)=108π
Объем конуса равен:
$$V = frac{1}{3}pi {R^2} = frac{1}{3}pi cdot {6^2} cdot 6sqrt 3 = 72sqrt 3 pi $$
1978
Прямой конус — это конус, у которого ось перпендикулярна основанию. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой
Косой (наклонный) конус — это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой
Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса.
Длина образующей, L
$$
L = sqrt{R^2 + h^2}
$$
Площадь основания, SО
$$
S_О = pi * R^2
$$
Площадь боковой поверхности, SБ
$$
S_Б = pi * R * L
$$
Общая площадь поверхности, S
$$
S = pi * R * L + pi * R^2 = S_О + S_Б
$$
Объём прямого конуса, V
$$
V = {1 over 3} * pi * h * R^2
$$
Объём любого конуса
$$
V = {1 over 3} * S_О * h
$$
Угол ∠ f для развертки
$$
∠ f = 360° * {R over L}
$$