Ни один из источников не дает монохроматического света, т.е. света строго определенной длины волны. В этом можно убедиться на опытах по разложению света в спектр с помощью призмы, а также опыты по интерференции и дифракции.
Та энергия, которую несет с собой свет от источника, определенным образом распределена по волнам всех длин, входящим в состав светового пучка.
Для характеристики распределения излучения по частотам нужно ввести новую величину: интенсивность, приходящуюся на единичный интервал частот. Эту величину называют спектральной плотностью интенсивности излучения.
Спектральную плотность потока излучения можно найти экспериментально. Для этого надо с помощью призмы получить спектр излучения, например, электрической дуги, и измерить плотность потока излучения, приходящегося на небольшие спектральные интервалы шириной Δν.
Полагаться на глаз при оценке распределения энергии нельзя. Глаз обладает избирательной чувствительностью к свету: максимум его чувствительности лежит в желто-зеленой области спектра. Лучше всего воспользоваться свойством черного тела почти полностью поглощать свет всех длин волн. При этом энергия излучения (т.е. света) вызывает нагревание тела. Поэтому достаточно измерить температуру тела и по ней судить о количестве поглощенной в единицу времени энергии.
Спектры излучения
Спектральный состав излучения атомов различных веществ весьма разнообразен. Тем не менее, все спектры можно разделить на три сильно отличающихся друг от друга типа.
Сплошной (непрерывный) спектр
Накаленные твердые и жидкие тела и газы (при большом давлении) испускают свет, разложение которого дает сплошной спектр, в котором спектральные цвета непрерывно переходят один в другой. Характер непрерывного спектра и сам факт его существования определяются не только свойствами отдельных излучающих атомов, но и взаимодействием атомов друг с другом. Сплошные спектры одинаковы для разных веществ, и поэтому их нельзя использовать для определения состава вещества.
Линейчатый (атомный) спектр
Возбужденные атомы разреженных газов или паров испускают свет, разложение которого дает линейчатый спектр,состоящий из отдельных цветных линий. Каждый химический элемент имеет характерный для него линейчатый спектр. Атомы таких веществ не взаимодействуют друг с другом и излучают свет только определенных длин волн. Изолированные атомы данного химического элемента излучают строго определенные длины волн. Это позволяет по спектральным линиям судить о химическом составе источника света.
Обычно для наблюдения линейчатых спектров используют свечение паров вещества в пламени или свечение газового разряда в трубке, наполненной исследуемым газом. При увеличении плотности атомарного газа отдельные спектральные линии расширяются и, при очень большой плотности газа, когда взаимодействие атомов становится существенным, эти линии перекрывают друг друга, образуя непрерывный спектр.
Молекулярный (полосатый) спектр
Спектр молекулы состоит из большого числа отдельных линий, сливающихся в полосы, четкие с одного края и размытые с другого. В отличие от линейчатых спектров полосатые спектры создаются не атомами, а молекулами, не связанными или слабо связанными друг с другом. Серии очень близких линий группируются на отдельных участках спектра и заполняют целые полосы.
В 1860 г. немецкие ученые Г. Кирхгоф и Р. Бунзен, изучая спектры металлов, установили следующие факты:
1) каждый металл имеет свой спектр;
2) спектр каждого металла строго постоянен;
3) введение в пламя горелки любой соли одного и того же металла всегда приводит к появлению одинакового спектра;
4) при внесении в пламя смеси солей нескольких металлов в спектре одновременно появляются все их линии;
5) яркость спектральных линий зависит от концентрации элемента в данном веществе.
Спектры поглощения
Если белый свет от источника, дающей сплошной спектр, пропускается через пары исследуемого вещества и затем разлагается в спектр, то на фоне сплошного спектра наблюдаются темные линии поглощения в тех же самых местах, где находились бы линии спектра испускания паров исследуемого элемента. Такие спектры получили название атомных спектров поглощения.
Все вещества, атомы которых находятся в возбужденном состоянии, излучают световые волны, энергия которых определенным образом распределена по длинам волн. Поглощение света веществом также зависит от длины волны. Атомы поглощают излучение лишь тех длин волн, которые они могут испускать при данной температуре.
Спектральный анализ
Спектральным анализом называется метод изучения химического состава вещества, основанный на исследовании его спектров. Отдельные линии в спектрах различных элементов могут совпадать, но в целом спектр каждого элемента является его индивидуальной характеристикой.
Спектральный анализ сыграл большую роль в науке. Например, в спектре Солнца (1814) были открыты фраунгоферовы темные линии, происхождение которых объясняется следующим образом. Солнце, являясь раскаленным газовым шаром (Т ~ 6000 °С), испускает сплошной спектр. Солнечные лучи проходят через атмосферу Солнца (солнечную корону, температура которой ~2000— 3000 °С. Корона поглощает из сплошного спектра излучение определенной частоты, а на Земле регистрируется солнечный спектр поглощения, по которому можно определить, какие химические элементы присутствуют в короне Солнца. По спектрам поглощения на Солнце были обнаружены все земные элементы, а также неизвестный ранее элемент, который назвали гелий. Через 26 лет (1894) открыли гелий на Земле. Благодаря спектральному анализу на Земле было открыто еще 25 химических элементов.
Фраунгоферовы линии дают информацию не только о химическом составе звезды, но и о ее температуре и давлении на поверхности. Более того, спектральный анализ Солнца и звезд показал, что входящие в их состав химические элементы имеются и на Земле, т.е. вещество Вселенной состоит из одного и того же набора элементов.
Спектральные аппараты
Спектроскопом называется прибор, с помощью которого визуально исследуется спектральный состав света, испускаемого некоторым источником. Если регистрация спектра происходит на фотопластинке, то прибор называется спектрографом.
Для точного исследования спектров такие простые приспособления, как узкая щель, ограничивающая световой пучок, и призма, уже недостаточны. Необходимы приборы, дающие четкий спектр, т.е. приборы, хорошо разделяющие волны различной длины и не допускающие перекрытия отдельных участков спектра. Такие приборы называют спектральными аппаратами. Чаще всего основной частью спектрального аппарата является призма или дифракционная решетка.
Рассмотрим схему устройства призменного спектрального аппарата. Исследуемое излучение поступает вначале в часть прибора, называемую коллиматором. Коллиматор представляет собой трубу, на одном конце которой имеется ширма с узкой щелью, а на другом — собирающая линза. Щель находится на фокусном расстоянии от линзы. Поэтому расходящийся световой пучок, попадающий на линзу из щели, выходит из нее параллельным пучком и падает на призму.
Так как разным частотам соответствуют различные показатели преломления, то из призмы выходят параллельные пучки, не совпадающие по направлению. Они падают на линзу. На фокусном расстоянии этой линзы располагается экран — матовое стекло или фотопластинка. Линза фокусирует параллельные пучки лучей на экране, и вместо одного изображения щели получается целый ряд изображений. Каждой частоте (узкому спектральному интервалу) соответствует свое изображение. Все эти изображения вместе и образуют спектр.
Описанный прибор называется спектрографом. Если вместо второй линзы и экрана используется зрительная труба для визуального наблюдения спектров, то прибор называется спектроскопом.
Применение спектрального анализа
Линейчатые спектры играют особо важную роль, потому что их структура прямо связана со строением атома. Ведь эти спектры создаются атомами, не испытывающими внешних воздействий. Состав сложных, главным образом органических смесей анализируется по их молекулярным спектрам.
С помощью спектрального анализа можно обнаружить данный элемент в составе сложного вещества, если даже его масса не превышает 10-10г. Линии, присущие данному элементу, позволяют качественно судить о его наличии. Яркость линий дает возможность (при соблюдении стандартных условий возбуждения) количественно судить о наличии того или иного элемента.
Спектральный анализ можно проводить и по спектрам поглощения. В астрофизике по спектрам можно определить многие физические характеристики объектов: температуру, давление, скорость движения, магнитную индукцию и др. с помощью спектрального анализа определяют химический состав руд и минералов.
Основные направления применения спектрального анализа таковы: физико-химические исследования; машиностроение, металлургия; атомная индустрия; астрономия, астрофизика; криминалистика.
Современные технологии создания новейших строительных материалов (металлопластиковые, пластиковые) непосредственно взаимосвязаны с такими фундаментальными науками как химия, физика. Данные науки используют современные методы исследования веществ. Поэтому спектральный анализ можно применять для определения химического состав состава строительных материалов по их спектрам.
Статья про солнечный спектр
Тема 4: спектральное представление сигналов
Я согласен, что все состоит из атомов. Но какое нам до этого дело? Ведь мы занимаемся вопросом о природе богов!
Марк Туллий Цицерон. О природе богов.
Римский философ и политик (-I в.).
Это как сказать. Природа экономна. Если и богов она стряпает из атомов, то каждым сигналом в отдельности тем более заниматься не будет. А значит, они тоже из чего-то состоят!
Владимир Петухов. Взгляд с горы.
Осетинский геофизик Уральской школы (XX в.).
Содержание: 4.1. Разложение сигналов по гармоническим функциям. Понятие собственных функций. Ряд Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Лапласа. 4.2. Свойства преобразований Фурье. Линейность. Свойства четности. Изменение масштаба аргумента функции. Теорема запаздывания. Преобразование производной. Преобразование интеграла. Преобразование свертки. Преобразование произведения. Умножение сигнала на гармоническую функцию. Спектры мощности. 4.3. Спектры некоторых сигналов. Единичные импульсы. Гребневая функция. Спектр прямоугольного импульса. Треугольные импульсы. Экспоненциальный импульс. Функции Лапласа и Гаусса. Спектр косинусоиды. Литература.
4.1. Разложение сигналов по гармоническим функциям [1,21,24,25].
Рекомендуемые материалы
Спектральная (частотная) форма представления сигналов использует разложение сигнальных функций на гармонические составляющие. В качестве базисных функций разложения, в общем случае, принимаются комплексные экспоненциальные функции exp(jft), от которых с использованием формул Эйлера можно перейти к синус — косинусным функциям. Термин «частотная» обязан происхождением обратной переменной временного представления сигналов f = 1/|t|. Понятие частотного преобразования не следует связывать только с временными сигналами, т.к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла независимых переменных. Так, например, при переменной «х», как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту с размерностью 1/|х| — число периодических изменений сигнала на единице длины.
В математическом аппарате частотного анализа удобно использовать угловую частоту w = 2pf. Для процессов по другим независимым переменным в технической литературе вместо индекса частоты f часто используется индекс v, а для угловой частоты индекс k = 2pv, который называют волновым числом.
Понятие собственных функций. Удобство использования частотного представления сигналов заключается в том, что гармонические функции являются собственными функциями операций переноса, интегрирования, дифференцирования и других линейных операций, инвариантных по координатам.
Допустим, что исходная функция является линейной комбинацией функций синуса и косинуса:
s(х) = А sin(х)+B cos(х).
Осуществим произвольный сдвиг функции по аргументу на величину h. При этом получаем:
s(х+h) = C sin(х)+D cos(х),
C = А cos(h) – B sin(h),
D = A sin(h) + B cos(h),
где коэффициенты C и D, как и в исходном выражении коэффициенты А и В, не зависят от аргумента, при этом C2+D2 = А2+В2. Таким образом, при произвольном переносе функции по аргументу (а равно и при интегрировании, дифференцировании и других линейных преобразованиях) любую линейную комбинацию синуса и косинуса можно представить линейной комбинацией этих же функций.
Экспоненциальная комплексная запись гармонических функций делает это свойство еще нагляднее. Для произвольной гармонической функции имеем:
cos(wt-j) = A cos(wt)+B sin(wt),
где A = cos(j), B = sin(j), j — начальный фазовый угол колебания при t = 0. Переходя к комплексной записи данной функции с использованием тождеств Эйлера
cos(wt) = [ехр(jwt)+exp(-jwt)]/2, sin(wt) = [ехр(jwt)-exp(-jwt)]/2j,
получаем:
cos(wt-j) = C exp(jwt)+C*exp(-jwt),
где: C = 0,5 exp(-jj), C* = 0,5 exp(jj) — комплексно сопряженная с С величина. Применяя в качестве гармонической составляющей разложения сигнала функцию ехр(jwt), можно рассматривать вторую функцию ехр(-jwt), комплексно сопряженную с первой, как такую же составляющую, но с отрицательной частотой. Естественно, что отрицательная частота является чисто математической абстракцией, но нужно помнить, что пара таких комплексно сопряженных составляющих в сумме всегда дает вещественную функцию.
Экспоненциальные функции также являются собственными функциями линейных операций. Для операции переноса с использованием экспоненциальных функций:
exp[jw(t+h)] = exp(jwh)·exp(jwt) = H(w) exp(jwt),
где Н(w) = exp(jwh) — собственное значение операции переноса, независимое от переменной.
Для операции дифференцирования:
d[exp(jwt)]/dt = jw exp(jwt), H(w) = jw.
Для операции интегрирования:
exp(jwt) dt = (1/jw) exp(jwt), H(w) = 1/jw.
В общем виде, для любых линейных операций:
Т[exp(jwt)] = H(w) exp(jwt),
где T[.] — произвольный линейный оператор, H(w) — собственное значение операции, независимое от аргумента.
У специалистов — практиков существует предубеждение против использования комплексных функций с их мнимыми частотами. Поэтому в дальнейшем будем использовать и вещественные функции, и их комплексные аналоги, по крайней мере, до тех пор, пока удобство использования последних не станет очевидным.
Ряд Фурье. Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Как известно из математики, периодическую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода Т = b-a и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирехле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода), можно представить в виде ряда Фурье:
s(t) =
S(nDw) exp(jnDwt), Dw = 2p/T, (4.1.1)
где весовые коэффициенты S(nDw) ряда определяются по формуле:
S(nDw) = (1/T)
s(t) exp(-jnDwt) dt. (4.1.2)
Ряд Фурье представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jnDwt) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Функцию весовых коэффициентов S(nDw) принято называть комплексным спектром периодического сигнала или фурье-образом функции s(t). Спектр периодического сигнала является дискретной функцией, т.к. он определен только для целых значений n с шагом по частоте, обратным периоду: Dw = 2p/Т (или Df = 1/T). Первую частотную составляющую спектра при n = 1, равную w1 = 1×Dw = 2p/T (или f1 = 1/T), называют основной частотой сигнала (первой гармоникой), остальные частоты дискретного спектра nw1 при n>1 называют гармониками сигнала. Значения S(nDw) по положительным и отрицательным значениям n являются комплексно сопряженными.
Подынтегральную функцию экспоненты в выражении (4.1.2) с использованием тождества Эйлера (exp(-jwt)=cos(wt)-j×sin(wt)) можно разложить на синус — косинусные составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части:
S(nDw) = (1/T)s(t) [cos(nDwt) — j sin(nDwt)] dt = А(nDw) — jB(nDw). (4.1.3)
A(nDw) = (1/T) s(t) cos(nDwt) dt, (4.1.4)
B(nDw) = (1/T) s(t) sin(nDwt) dt. (4.1.5)
Рис. 4.1.1. Сигнал и его комплексный спектр.
На рис. 4.1.1 приведен пример периодического сигнала (треугольный импульс на интервале (3-5), повторяющийся с периодом Т=40) и форма действительной и мнимой части его спектра. Обратим внимание, что действительная часть спектра является четной относительно нуля функцией A(nDw) = A(-nDw), так как при вычислении значений A(nDw) по формуле (4.1.4) используется четная косинусная функция cos(nDwt) = cos(-nDwt). Мнимая часть спектра является нечетной функцией B(nDw) = -B(-nDw), так как для ее вычисления по (4.1.5) используется нечетная синусная функция sin(nDwt) = — sin(-nDwt).
Комплексные числа дискретной функции (4.1.3) могут быть представлены в виде модулей и аргументов комплексной экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра:
S(nDw) = R(nDw) exp[jj(nDw)], (4.1.3′)
R2(nDw) = A2(nDw)+B2(nDw),
j(nDw) = arctg(-B(nDw)/A(nDw)).
Рис. 4.1.2. Модуль и аргумент спектра.
Модуль спектра R(nDw) называют двусторонним спектром амплитуд, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов j(nDw)) — двусторонним спектром фаз. Спектр амплитуд всегда представляет собой четную функцию: R(nDw) = R(-nDw), а спектр фаз нечетную: j(nDw) = -j(-nDw). Пример спектров приведен на рис. 4.1.2.
Если функция s(t) является четной, то все значения B(nDw) по (4.1.5) равны нулю (четные функции ортогональны синусным гармоникам) и спектр функции представлен только вещественными коэффициентами. Напротив, при нечетности функции s(t) обнуляются все значения коэффициентов А(nDw) (нечетные функции ортогональным косинусным гармоникам) и спектр является чисто мнимым. Этот фактор не зависит от выбора границ задания периода функции на числовой оси. На рис. 4.1.3 можно наглядно видеть ортогональность первой гармоники синуса и четной функции (А), косинуса и нечетной функции (В) в пределах одного периода. Учитывая кратность частот последующих гармоник первой гармонике спектра, ортогональность сохраняется для всех гармоник ряда Фурье
Рис. 4.1.3. Ортогональность функций.
При n = 0 имеем Во = 0 и получаем постоянную составляющую сигнала:
S(0) = Ao = Ro = (1/T) s(t) dt.
Тригонометрическая форма. Объединяя в (4.1.1) комплексно сопряженные составляющие (члены ряда, симметричные относительно центрального члена ряда S(0)), можно перейти к ряду Фурье в тригонометрической форме:
s(t) = Ао+2
(Ancos(nDwt) + Bnsin(nDwt)), (4.1.6)
s(t) = Ао+2Rncos(nDwt + jn). (4.1.6′)
Значения An, Bn вычисляются по формулам (4.1.4-4.1.5), значения Rn и j — по формулам (4.1.3′).
Рис. 4.1.4. Спектр амплитуд
косинусных и синусных гармоник
Ряд (4.1.6) представляют собой разложение периодического сигнала s(t) на сумму вещественных элементарных гармонических функций (косинусных и синусных) с весовыми коэффициентами, удвоенные значения которых (т.е. значения 2×An, 2×Bn) не что иное, как амплитуды соответствующих гармонических колебаний с частотами nDw. Совокупность амплитудных значений этих гармоник образует односторонний физически реальный (только для положительных частот nDw) спектр сигнала, приведенный на рис. 4.1.4 (спектр треугольного сигнала рис. 4.1.1). Но такое графическое отображение спектра используется довольно редко.
Более широкое применение для отображения односторонних физически реальных спектров находит формула (4.1.6′). Спектр амплитуд при таком отображении называется амплитудно-частотным составом сигнала, а спектр фазовых углов – фазовой характеристикой гармоник сигнала. Для четных сигналов отсчеты ФЧХ могут принимать значения 0 и p, для нечетных соответственно ±p/2. Пример спектра (для треугольного сигнала на рис. 4.1.1) приведен на рис. 4.1.5.
Рис. 4.1.5. Спектр треугольного сигнала.
Ряды Фурье произвольных аналоговых периодических сигналов могут содержать бесконечно большое количество членов. Однако одним из важных достоинств преобразования Фурье является то, что при ограничении (усечении) ряда Фурье до любого конечного числа его членов обеспечивается наилучшее по средней квадратической погрешности приближение к исходной функции (для данного количества членов).
Аналогично в ряд Фурье может разлагаться и произвольная непериодическая функция, заданная на интервале (a,b), если нас не интересует ее поведение за пределами данного интервала. Однако следует помнить, что применение формул (4.1.1-4.1.6) автоматически означает периодическое продолжение данной функции за пределами заданного интервала (в обе стороны от него) с периодом Т = b-a.
Интеграл Фурье. Спектры непериодических сигналов конечной длительности (финитных), зарегистрированных на интервале Т, могут быть получены из уравнений для рядов Фурье как предельные значения функций суммирования при расширении периода Т до бесконечности.
Зададим периодическую последовательность импульсов и разложим импульс на одном периоде Т в ряд Фурье (формула 4.1.2). Не меняя положения импульса на интервале Т, увеличим значение Т в два раза (продлеваем интервал нулями), при этом формула (4.1.2) для вычисления спектра остается без изменения, но по ней рассчитывается в 2 раза большее количество гармоник с уменьшением в 2 раза частоты первой гармоники и шага Dw=2p/T. Увеличение интервала Т не влияет на результаты вычисления интеграла функции (4.1.2), т.к. интервал продления заполнен нулевыми значениями сигнала.
Рис. 4.1.6.
По существу, при увеличении периода Т без изменения финитного сигнала форма спектра по оси частот остается без изменения, изменяется только шаг дискретизации спектра и, за счет множителя 1/Т, в 2 раза уменьшаются значения спектра. Новые гармоники располагаются в интервалах между гармониками первого ряда. Пример измерения спектра при увеличении периода Т в 2 раза приведен на рис. 4.1.6.
Процесс можно продолжить дальнейшим последовательным увеличением периода, при этом спектр будет приближаться к непрерывной функции. В пределе, при T ® ¥, периодическая последовательность импульсов заменяется одиночным финитным сигналом, дискретные частоты nDw обращаются в непрерывные текущие значения w (Dw = 2p/T ® 0), суммирование амплитудных значений заменятся интегрированием, а сами значения спектра становятся бесконечно малыми (1/Т® 0). Для исключения последнего множитель 1/Т из расчетной формулы S(w) исключается, и интегральное преобразование Фурье приобретает следующий вид:
s(t) = (1/2p)
S(w)exp(jwt) dw, (4.1.7)
S(w) =s(t)exp(-jwt) dt. (4.1.8)
Формулу (4.1.8) обычно называют формулой прямого преобразования Фурье, а формулу (4.1.7) – обратного преобразования Фурье. Этими выражениями устанавливается взаимно однозначная связь сигнала и его спектра (спектральной плотности). Спектральные функции содержат ровно столько информации, сколько и исходный сигнал.
При преобразовании сигнала в пространство гармонических частот формулы прямого и обратного преобразований Фурье тождественны за исключением знака аргументов экспоненты:
s(t) = S(f)exp(j2pft) dw, (4.1.7′)
S(f) =s(t)exp(-j2pft) dt. (4.1.8′)
Рис. 4.1.7.
На рис. 4.1.7 сплошной кривой приведен пример непрерывного сигнала s(t), энергия которого сосредоточена на конечном интервале T = {0,25}. Если нас не интересует форма данного сигнала за пределами интервала Т, то спектр сигнала в виде ряда Фурье можно определить по формуле (4.1.2). При обратном преобразовании Фурье по формуле (4.1.1), т.е. при восстановлении сигнала по его спектру, в интервале Т будет восстановлен исходный сигнал s(t). Но если интервал для восстановления будет задан больше интервала Т, например равным 0-2Т, то за пределами этого интервала начнется периодическое повторение исходного сигнала, как это показано пунктиром на рис. 4.1.7. Если такой процесс нежелателен и за пределами интервала Т должны быть сохранены нулевые значения сигнала, то необходимо использовать интегральное преобразование Фурье (4.1.7-8). При этом следует учитывать особенности интегрального преобразования.
Спектральная функция S(w) представляет собой не спектр, а комплексную спектральную плотность сигнала, непрерывную на частотном интервале от — ¥ до ¥. Если s(t) – вещественная функция, то спектр этой функции является сопряжено симметричным относительно нулевой частоты
S(-w) = S*(w)
и содержит четную действительную и нечетную мнимую части:
Рис. 4.1.8.
S(w) = A(w) — jB(w), (4.1.9)
A(w) =s(t)cos(wt) dt, (4.1.10)
B(w) =s(t)sin(wt) dt. (4.1.11)
Как и в случае рядов Фурье, вещественные четные функции имеют вещественный четный спектр, представленный только спектральной функцией A(w), а вещественные нечетные – нечетный и только мнимый спектр, представленный спектральной функцией B(w).
Пример спектральной функции S(f) для сигнала s(t) на рис. 4.1.7 приведен на рис. 4.1.8. Как правило, графическое отображение спектральных функций выполняется в виде модуля и аргумента спектральной функции (амплитудного и фазового спектра), приведенных на рис. 4.1.9. Такое представление аналогично (4.1.3′):
R(w) = 
, (4.1.12)
j(w) = arctg(-B(w)/A(w)), (4.1.13)
но в отношении функции модуля также имеет смысл спектральной плотности модуля.
Рис. 4.1.9.
Заметим также, что сопряженная симметричность спектральной функции позволяет в формулах (4.1.7)-(4.1.8) менять местами знаки аргументов в экспонентах, при этом изменяется только знак мнимой части и аргумента спектра.
Еще раз подчеркнем различие между спектрами и спектральными функциями сигналов. При практическом использовании формулы (4.1.8) для вычисления спектральных функций конечных сигналов, заданных на определенном интервале Т, пределы интегрирования обычно устанавливаются по границам интервала Т, так как нет необходимости выполнять интегрирование в бесконечных пределах, если за пределами интервала Т мы имеем нулевые (или незначимые) значения сигнала. Однако при сравнении формулы (4.1.8) с выражением (4.1.2) можно наглядно видеть, что значения интеграла (4.1.8) не нормируются на величину интервала Т. Отсюда следует, что числовые отсчеты значений модуля функции S(w) для определенных значений wi не являются амплитудными значениями соответствующих гармонических колебаний с частотой wi. Значения S(w) по сравнению со значениями функции S(nDw) по (4.1.2) при nDw = wi завышены на множитель Т. Это можно объяснить тем, что обратное преобразование Фурье по (4.1.1) представляет собой прямое суммирование гармоник с соответствующими амплитудами колебаний, в то время как интегрирование по (4.1.7) представляет собой предельное суммирование значений S(wi)×dwi, где dw = 2p/T (или, в обычном частотном представлении, df = 1/T) при Т Þ ¥.
Что касается спектра фазовых углов, то значения по (4.1.13) и по (4.1.3′) при nDw = wi полностью совпадают, так как их вычисление производится по отношению мнимой и действительной части спектра, наличие (или отсутствие) постоянного множителя в которых не меняет значение отношения.
Тригонометрическая форма интеграла Фурье (при объединении комплексно сопряженных частей спектральных функций):
s(t) = (1/2p)[A(w)cos(wt)+B(w)sin(wt)] dw. (4.1.14)
s(t) = (1/2p)R(w)cos(wt — j(w)) dw. (4.1.14′)
Рис. 4.1.10.
Прямое и обратное преобразование Фурье подобны. Любая теорема, доказанная для прямого преобразования Фурье, справедлива и для обратного преобразования, и наоборот. Это непосредственно следует из выражений прямого и обратного преобразования Фурье, которые различаются только знаком в экспоненте. Особенно наглядно (см. рис. 4.1.10) это видно для четных сигналов (заданных функциями, симметричными относительно t = 0), для которых В(w) = 0 и, соответственно, фазовый спектр равен нулю:
s(t) = 2
S(f)cos(2pft)df, S(f) = 2s(t)cos(2pft)dt.
В математическом анализе для упрощения записей используют символическую форму обозначения преобразования Фурье:
s(t) Û S(f), s(t) Û S(w),
где, в общем случае, как фурье-образ функции, так и она сама могут быть комплексными.
Для физических сигналов и их достаточно корректных математических моделей преобразование Фурье, как правило, всегда существует. С чисто математических позиций сигналу s(t) можно сопоставить спектральную плотность S(w), если существует интеграл:
|s(t)| dt < ¥. (4.1.15)
Преобразование Лапласа. Если условие (4.1.15) не выполняется, то определенные приближения спектральных плотностей вычисляются с использованием специальных методов, одним из которых является преобразование Лапласа.
Рис. 4.1.11.
Допустим, что функция s(t) задана на интервале (0, ¥), равна нулю при t<0, а интеграл спектральной функции (4.1.8) расходится. Умножим s(t) на экспоненциальную функцию exp(-ct), где с — положительная константа, и выберем значение ‘с’ таким, чтобы произведение u(t) = s(t)×exp(-ct) удовлетворяло условию абсолютной интегрируемости. Сущность данной операции хорошо видна на рис. 4.1.11. Интегрируемость функции u(t) может быть установлена для любой функции s(t) соответствующим выбором коэффициента ‘c’. При этом спектральная плотность функции u(t) может быть вычислена по формуле (4.1.8):
U(w,c) = 
[s(t) exp(-ct)] exp(-jwt) dt.
После объединения экспоненциальных функций это выражение можно переписать следующим образом:
U(c+jw) = s(t) exp[-(c+jw)t] dt. (4.1.16)
Соответствующее обратное преобразование Фурье функции U(c+jw):
(1/2p)
S(c+jw) exp(jwt) dw = s(t) exp(-ct).
Для восстановления функции s(t) достаточно умножить обе части данного выражения на exp(ct), объединить экспоненциальные множители под интегралом и заменить переменную интегрирования w на c+jw:
s(t) = (1/2p)
S(c+jw) exp[(c+jw)t] d(c+jw). (4.1.17)
Обозначим комплексную переменную c+jw в выражениях (4.1.16-17) через р и получим общепринятую форму прямого и обратного преобразования Лапласа:
S(p) = 
s(t) exp[-pt] dt. (4.1.16′)
s(t) = (1/2p)S(p) exp(pt) d(p). (4.1.17′)
Рис. 4.1.12. Сигнал и его спектральная функция Лапласа при p=0.0005+jw.
Сигнальную функцию s(t) в преобразованиях Лапласа обычно называют оригиналом, а ее спектральную функцию S(p) — изображением оригинала. Пример спектральной функции Лапласа для оригинала — сложного и неограниченного во времени сигнала, состоящего из каузальной суммы трех гармоник, приведен на рис. 4.1.12. По спектральной функции Лапласа можно выделить эти три основных частоты сигнала и оценить соотношение их амплитуд. Ширина пиков спектральной функции при выделении «чистых» гармоник зависит от значения коэффициента ‘c’ и уменьшается при его уменьшении.
Если вместо р в изображениях оригинала подставить переменную jw, то будут получены спектральные функции, полностью идентичные преобразованию Фурье каузальных функций (имеющих нулевые значения при t<0).
4.2. Свойства преобразований Фурье [1,17,21].
Рис. 4.2.1. Сигналы и их спектры. s0(k)=s1(k)+s2(k) Û S1(w)+S2(w) = S0(w).
Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.
1. Линейность. Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирования спектров приведен на рис. 4.2.1:
ansn(t) Û anSn(w). (4.2.1)
|
Сигнал s(t) |
Спектр S(w) |
|
Четный |
Вещественный, четный |
|
Нечетный |
Мнимый, нечетный |
|
Произвольный |
Действительная часть – четная. Мнимая часть — нечетная |
2. Свойства четности преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.
На рис. 4.2.2. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s1(k) является четным, s1(k) = s1(-k), и имеет только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s2(k) = -s2(-k) нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть. Сигнал s3(k) образован суммой сигналов s1(k) и s2(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s1(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s2(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S3(w), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала.
Рис. 4.2.2. Свойства четности преобразования.
Заметим, что исходный произвольный сигнал может быть задан в одностороннем варианте (в интервале 0-Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от –Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от –Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения.
3. Увеличение масштаба аргумента функции приводит к уменьшению масштаба ее фурье-образа и наоборот. Действительно, если s(t) Û S(w), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы, т.е. для сигнала с новым аргументом f(x) = s(at) при x=at, получаем:
s(at) Ûs(at)exp(-jwt) dt = (1/a) s(x)exp(-jxw/a) dx
s(at) Û (1/a) S(w/a). (4.2.2′)
Выражение (4.2.2′) действительно при а>0. При а<0 происходит зеркальный поворот сигнала относительно вертикальной оси, а замена переменной t=x/a вызывает перестановку пределов интегрирования и, соответственно, изменение знака спектра:
s(at) Û -(1/a) S(w/a). (4.2.2»)
Обобщенная формула изменения масштаба:
s(at) Û (1/|a|) S(w/a), a ≠ 0 (4.2.2)
Если под аргументом функции и ее спектра понимать определенные физические единицы, например, время — частота, то отсюда следует: чем короче по своей длительности сигнал, тем шире по частоте его спектр, и наоборот. Это можно наглядно видеть на рис. 4.2.1. для сигналов s1(k) и s2(k) и их спектров S1(w) и S2(w).
Действительно и обратное всем известное явление. Сирена поезда имеет определенный спектр частот. Но воспринимаемый спектр сирены резко изменяется с высоких частот на более низкие при прохождении поезда мимо наблюдателя. Аргумент частотной оси (1/t) не изменяется, но за счет эффекта Доплера происходит расширение спектра воспринимаемого сигнала при набегании на наблюдателя и сжатие при уходе от наблюдателя. Если сигнал записать и замерить период его колебаний, то можно убедиться, что период колебаний на временной оси при набегании сирены меньше периода колебаний при ее уходе. На основе именно этого эффекта доказывается расширение Вселенной.
От изменения аргумента функций следует отличать изменение масштаба представления функций, хотя для него действительна та же формула (4.2.2). Изменение масштаба аргументов изменяет только оцифровку числовых осей представления сигналов и их спектров, но не изменяет самих сигналов и спектров. Так, при масштабе оси времен t=1 секунда, масштаб оси частот f=1/t=1 герц, а при t=1 мксек f=1/t=1 МГц (t=at, f=1/at, a=10-6).
Что касается возможности изменения длительности сигналов без изменения его формы (сжатие или расширение), то оно не может выполняться линейными системами с постоянными параметрами.
4. Теорема запаздывания. Запаздывание (смещение) сигнала по аргументу функции на интервал to приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на величину wto без изменения модуля (амплитудной функции) спектра. Применяя замену переменной t-to = x, получаем:
s(t-to) Ûs(t-to)exp(-jwt) dt =s(x)exp(-jwx)exp(-jwto) dx = S(w)exp(-jwto) (4.2.3)
Совершенно очевидно, что при сдвиге сигнала амплитуды составляющих его гармоник изменяться не должны. С учетом того, что |exp(-jwto|=1, это следует и из (4.2.3):
|S(w)exp(-jwto)| = |S(w)|.
Фазовый спектр сдвигается на -wto с линейной зависимостью от частоты:
S(w)exp(-jwto) = R(w)exp[j(j(w)] exp(-jwto) = R(w)exp[j(j(w)-wto)]. (4.2.4)
Рис. 4.2.3. Изменение спектра сигнала при его сдвиге.
Пример двух одинаковых сигналов, сдвинутых относительно друг друга на to=1, и соответствующих данным сигналам спектров приведен на рис. 4.2.3.
5. Преобразование производной (дифференцирование сигнала):
s(t) = d[y(t)]/dt = d[Y(w)exp(jwt) dw]/dt =Y(w)[d(exp(jwt))/dt] dw =
= jw Y(w)exp(jwt) dw Û jw Y(w). (4.2.5)
Таким образом, дифференцирование сигнала отображается в спектральной области простым умножением спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной области jw, что эквивалентно дифференцированию каждой гармоники спектра. Умножение на jw приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой.
Рис. 4.2.4. Спектры сигнала и его производной.
Пример сигнала, его производной и соответствующих им спектров приведен на рис. 4.2.4. По изменению аргумента спектра (для четного исходного сигнала он был нулевым) можно видеть, что для всех гармоник спектра появляется сдвиг фаз на p/2 (900) для положительных частот, и на -p/2 (-900) для отрицательных частот.
В общем случае, для кратных производных:
dn[y(t)]/dtn = (jw)nY(w). (4.2.6)
6. Преобразование интеграла сигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих простых соображений. Если имеет место s(t) = d[y(t)]/dt Û jw Y(w) = S(w), то должна выполняться и обратная операция: y(t) =s(t) dt Û Y(w) = S(w)/jw. Отсюда следует:
s(t)dt Û (1/jw)S(w). (4.2.7)
Оператор интегрирования в частотной области (1/jw) при w>1 ослабляет в амплитудном спектре высокие частоты и при w<1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -900 для положительных частот и на 900 для отрицательных. Пример модуля спектра сигнала и его интегральной функции приведены на рис. 4.2.5.
Рис. 4.2.5. Сигналы и амплитудные спектры сигналов.
Формула (4.2.7) справедлива для сигналов с нулевой постоянной составляющей. При интегрировании сигналов с определенным значением постоянной составляющей С=const в правой части выражения (4.2.7) появляется дополнительное слагаемое преобразования Фурье постоянной составляющей C, которое представляет собой, как будет показано ниже, дельта-функцию на нулевой частоте с весовым коэффициентом, равным значению С:
y(t) = (1/jw)S(w) + C·d(wo).
7. Преобразование свертки сигналов y(t) = s(t) * h(t):
Y(w) =y(t)exp(-jwt) dt =s(t)h(t-t)exp(-jwt) dtdt.
Y(w) =s(t) dth(t-t)exp(-jwt) dt.
По теореме запаздывания (4.2.3):
h(t-t)exp(-jwt) dt = H(w)exp(-jwt).
Отсюда: Y(w) =H(w)s(t)exp(-jwt) dt = H(w)·S(w).
s(t) * h(t) Û S(w)H(w). (4.2.8)
Рис. 4.2.6. Сигналы и амплитудные спектры сигналов.
Пример выполнения свертки в частотной области приведен на рис. 4.2.6. Отметим, что частотное представление H(w) импульсного отклика h(t) линейной системы (или соответствующей линейной операции) имеет смысл частотной передаточной функции системы и позволяет определить сигнал на выходе системы (в частотной форме представления) при задании произвольного сигнала (в частотной форме) на ее входе. По существу, функция H(w) представляет собой распределение по частоте коэффициента пропускания частотных составляющих сигнала с входа на выход системы (операции).
8. Преобразование произведения сигналов y(t) = s(t)h(t) непосредственно следует из подобия прямого и обратного преобразований Фурье:
s(t)·h(t) Û S(w) * H(w). (4.2.9)
Таким образом, свертка функций в координатной форме отображается в частотном представлении произведением фурье-образов этих функций. И наоборот, произведение функций отображается сверткой их фурье-образов.
9. Умножение сигнала на гармоническую функцию заполняет сигнал гармонической частотой и формирует радиоимпульс. Без учета начальной фазы гармоники:
s(t) = u(t) cos(wot).
Спектр радиоимпульса:
S(w) =
u(t) cos(wot) exp(-jwt) dt =u(t) ½[exp(jwot)+exp(-jwot)] exp(-jwt) dt =
= ½u(t) exp(jwot) exp(-jwt) dt + ½u(t) exp(-jwot) exp(-jwt) dt =
= ½ U(w) exp(jwot) + ½ U(w) exp(-jwot). (4.2.10)
Спектры сигналов обычно низкочастотные и сосредоточены в центре частотной оси. Частота гармоники заполнения, как правило, много больше максимальной частоты гармоник сигнала. Из (4.2.10) следует, что спектр сигнала раздваивается (с коэффициентом ½) и смешается влево и вправо по оси частот на частоты ±wo. Особенно наглядно это видно для четных сигналов и приведено на рис. 4.2.7.
Рис. 4.2.7. Радиоимпульс и его амплитудный спектр.
10. Спектры мощности. Если функция s(t) имеет фурье-образ S(w), то спектральная плотность мощности данной функции определяется выражениями:
w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 Û |S(w)|2 = S(w)S*(w) = W(w). (4.2.11)
Спектр мощности — вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности.
Полная энергия спектра сигнала:
Es = (1/2p)W(w) dw = (1/2p)|S(w)|2 dw. (4.2.12)
Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов:
Wxy(w) = X(w) Y*(w),
Wyx(w) = Y(w) X*(w),
Wxy(w) = W*yx(w).
Функция Wxy(w) комплексная, даже если обе функции x(t) и y(t) вещественны, при этом Re[Wxy(w)] — четная функция, а Im[Wxy(w)] — нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов определяется только реальной частью спектра,
Exy = (1/2p)Wxy(w) dw = (1/p)Re[Wxy] dw,
и всегда является вещественным числом.
Равенство Парсеваля. Так как координатное и частотное представления по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует:
|s(t)|2 dt =|S(f)|2 df,
т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра — сумме энергий всех частотных составляющих сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия сигналов:
x(t) y*(t) dt =X(f) Y*(f) df.
Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:
(x(t),y(t)) = (X(f),Y(f)), ||x(t)||2 = ||X(f)||2.
Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по w) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2p.
4.3. Спектры некоторых сигналов [1,16].
1. Единичные импульсы. Функция d(t), центрированная относительно t = 0, значения которой по определению равны нулю при t ¹ 0, a интеграл от — ¥ до ¥ равен 1, имеет равномерное спектральное распределение в бесконечной полосе частот от 0 до ¥:
ТF[d(t)] =d(t)exp(-jwt) dt = 1. (4.3.1)
Рис. 4.3.1. Спектр функции d(t-2)
Это следует и из свойства свертки функций, поскольку свертка функции с бесконечно коротким импульсом с единичной площадью не должна приводить к изменению функции:
s(t) * d(t) = s(t).
Выполняя преобразование Фурье правой и левой части данного выражения, имеем:
S(w)H(w) = S(w),
что может быть реализовано только при H(w) = 1.
Отсюда следует также, что дельта-функцию можно записать в виде обратного преобразования Фурье:
d(t) = (1/2p)exp(jwt) dw. (4.3.2)
С учетом теоремы запаздывания (4.2.3), для обобщенной функции Дирака соответственно имеем:
d(t-t) Û exp(-jwt). (4.3.1′)
Пример спектра функции приведен на рис. 4.3.1.
Рис. 4.3.2.
Для единичного импульса с площадью, равной Р:
Р×d(t) Û Р. (4.3.1′)
Если спектром весовой дельта-функции является константа, то на основе дуальности преобразования Фурье спектром константы должна быть весовая дельта-функция в нуле частотной оси.
С Û С×d(w).
Представить графически эту операцию для непрерывных функций невозможно. Но для дискретных спектральных функций с использованием единичного импульса Кронекера она имеет вполне реальный смысл (рис. 4.3.2).
2. Гребневая функция ШT(t) представляет собой последовательность импульсов Дирака с периодом Т = 1/F, где F- частота следования импульсов:
ШТ(t) =
d(t-kT).
Спектр гребневой функции (с учетом теоремы запаздывания при Df = 1/T = F) также последовательность импульсов Дирака:
ШТ(t) = (1/Т)exp(-2pjnDft) Û (1/T)
d(f-kF) = F·ШF(f). (4.3.3.)
Рис. 4.3.2. П — импульсы
3. Спектр прямоугольного импульса Пr(t) амплитудой U и длительностью r (рис. 4.3.2). При расположении начала координат по центру импульса:
Пr(w) =Пr(t)exp(-jwt) dt = U
exp(-jwt) dt,
Пr(w) = rU sin(wr/2)/(wr/2) = rU sinc(wr/2). (4.3.4)
Вид функций Пr(w) приведен на рис. 4.3.3. Представлена только часть частотного диапазона, в остальной части диапазона постепенно затухающие флюктуации спектров, которые, чисто теоретически, простираются до бесконечности.
Рис. 4.3.3. Спектры П — импульсов. Рис. 4.3.4. Спектры П-импульсов
Как и следовало ожидать, для вещественной и четной динамической П-функции спектр сигнала также является вещественной и четной функцией частоты. Спектр имеет лепестковый характер, и ширина лепестков (по пересечениям нулевой линии) обратно пропорциональна длительности импульсов и равна 2p/r. Значение спектральной плотности на нулевой частоте равно площади импульсов.
Функция вида sin(x)/x в анализе сигналов встречается довольно часто и имеет специальное обозначение: sinc(x) = sin(x)/x. Она называется интегральным синусом или функцией отсчетов.
На рис. 4.3.4 приведены нормированные по площади спектры этих же импульсов. При сравнении спектров с рис. 4.3.2 можно наглядно видеть характер зависимости ширины спектров (по ширине главного максимума) от длительности импульсов. Нетрудно также заметить, что форма спектра П — импульсов остается практически постоянной и только «растягивается» по шкале частоты при уменьшении длительности импульсов. Чем шире сигнал, тем короче его спектр.
Если прямоугольный импульс начинается в момент времени to, то имеем:
П(w)= U
exp(-jwt)dt = rU sinc(wr/2)exp[-jw(to-r/2)]. (4.3.5)
Рис. 4.3.5. Спектр задержанного П-импульса
Это выражение может быть получено непосредственно из (4.3.4) с использованием теоремы смещения. Вид функций П(w) при r = 50 и to = 50 приведен на рис. 4.3.5.
Как видно на рисунке, спектр сигнала, несимметричного относительно t = 0, имеет две части: четную действительную A(w) = Re(П(w)), и нечетную мнимую B(w) = Im(П(w)),. Модуль спектра R(w) = |П(w)| всегда четный, имеет только положительные значения и полностью повторяет |Пr(w)| четного импульса (при смещении начала координат в центр импульса).
При изменении величины сдвига импульса модуль спектра остается без изменений, т.к. амплитуда частотных составляющих сигнала зависит только от его формы и не меняется от места расположения сигнала на координатной оси. Сдвиг сигнала определяет его фазовый спектр, пример которого для задержанного П-импульса приведен на рис. 4.3.6. Заметим, что фактический спектр имеет непрерывный характер. Пилообразная форма кривых на рис. 4.3.6 объясняется периодическим сбросом действительных значений фазы сигнала на величину p.
Учитывая, что значения функций на отрицательных частотах спектра всегда в одном и том же порядке однозначно соотносится со значениями на положительных частотах (четные функции А(w) и R(w), нечетные функции B(w) и j(w)), в дальнейшем двусторонние спектры сигналов будем приводить только для области положительных частот.
Рис. 4.3.6. Фазовый спектр задержанного
П-импульса (to = 50, r = 50)
Для количественной характеристики соотношения формы сигналов и их спектров применяют понятие базы сигнала. Под ним понимают произведение эффективных значений длительности сигнала и ширины его спектра. Конкретное значение базы сигнала зависит от способа определения этих параметров. Для сигналов простой формы значение базы обычно составляет несколько единиц. Если для прямоугольного импульса эффективную ширину спектра принять по длительности центрального пика (2p/r), то значение базы сигнала будет равно 2p.
Длительности сигналов и ширина их спектров связаны принципом неопределенности, которым устанавливается, что значение их произведения (база сигналов) не может быть меньше 1. Этим устанавливается, что не может существовать коротких сигналов с узким спектром. Напротив, максимальное значение базы сигналов не ограничивается, и могут существовать сигналы с большой базой, имеющие как большую длительность, так и широкий спектр.
Рис. 4.3.6. Форма импульсов.
Если прямоугольные импульсы повторяются с периодом Т, то соответственно при Dw = 1/Т имеем:
Пr(kDw) = (rU/T) sinc(kDwr/2)exp(-jkDw(to-r/2)). (4.3.6)
Как и положено, спектр периодического сигнала дискретен по w, а при снятии нормировки спектра на длительность периода (умножением на Т) огибающая спектра повторяет выражение (4.3.5).
4. Треугольные импульсы длительностью r по основанию с площадью, равной Р, могут быть получены сверткой двух прямоугольных импульсов длительностью r/2 с амплитудой 2Р/r, откуда:
s(t) = Пr/2(t) * Пr/2(t) Û S(w) = Пr/2(w)Пr/2(w),
S(w) = P sinc2(wr/4).
Рис. 4.3.7. Спектры импульсов.
Спектр треугольного импульса также имеет лепестковую структуру с шириной лепестков 4p/r. Соответственно, база треугольного импульса равна 4p. Спектральная функция за счет квадратирования интегрального синуса имеет только положительные значения.
Аналогично можно получить и спектры трапеций (при разной длительности П-импульсов).
Примеры импульсов и сопоставление формы их нормированных спектров (делением значений S(w) на площадь импульсов — значение S(0)) приведены на рис. 4.3.6 и 4.3.7.
Заметим, что обратная операция – аппроксимация спектра сигнала произведением спектров простых сигналов с последующим переводом спектров в координатную область, позволяет представить сложный исходный сигнал в виде свертки более простых сигналов.
Рис. 4.3.8. Рис. 4.3.9. Спектр импульса.
5. Экспоненциальный импульс s(t) = U exp(-at), t ³ 0, a > 0. Функция exp(-at) только условно может быть названа импульсом, т.к. определена и при t Þ ¥, но при а > 0 она достаточно быстро затухает (рис. 4.3.8). Преобразование Фурье экспоненциального импульса, как произвольного одностороннего сигнала, имеет действительную и мнимую части:
S(w) = U
exp(-(a+jw)t) dt = U/(a+jw).
Рис. 4.3.10. Рис. 4.3.11.
Функция S(w) бесконечна по частоте. Модуль и аргумент спектра (фазовая характеристика в градусах) приведены на рис. 4.3.9.
6. Функции Лапласа и Гаусса:
Для функции Лапласа (экспонента по модулю t) имеем следующее преобразование:
U exp(-a|t|) Û 2aU/(a2+w2), a>0. (4.3.8)
Форма функции (при U=1, а=0.1) и ее вещественный спектр (функция четная и представлена только действительной частью) приведены на рис. 4.3.10.
Преобразование для центрированной функции Гаусса:
U exp(-pt2) Û U
exp(-w2/4p). (4.3.9)
Спектр центрированной функции Гаусса — также функция Гаусса. Форма функции (при U=1, а=0.0.003) и ее вещественный спектр приведены на рис. 4.3.11. Если эффективную длительность и ширину спектра гауссовых функций определять по уровню 1/е от максимума (t=2/а, Dw=a), то база сигнала равна 4.
Сравнивая на рисунках 4.3.10 и 11 функции Лапласа и Гаусса и их спектры (с учетом масштаба последних), нетрудно заметить, что чем более плавно изменяются значения сигнала (меньше его дифференциал), тем более низкочастотным является спектр сигнала.
7. Спектр косинусоиды с частотой wo может быть определен с помощью свойства смещения:
(1/2) d(w-wo) Û (1/2) exp(-jwot),
(1/2) d(w+wo) Û (1/2) exp(jwot),
(1/2) [d(w-wo)+d(w+wo)] Û cos(wot). (4.3.7)
Cпектр косинусоиды вещественен и представляет собой два импульса Дирака, расположенных симметрично относительно w = 0 на частотах -wo и wo (рис. 4.3.12).
В соответствии со спектральным способом анализа прохождения сигналов через линейные цепи любой случайный сигнал S(T) можно представить в виде бесконечной суммы элементарных аналитически однотипных детерминированных сигналов 
:
(2.8)
Подавая на вход линейной цепи (рис. 1.14), коэффициент передачи которой равен 
, элементарный детерминированный сигнал, можно найти элементарный отклик цепи, то есть сигнал на выходе цепи.
Рис.2.3.К определению сигнала на выходе линейной цепи.
Сигнал на выходе линейной цепи равен
(2.9)
Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, то результирующий отклик будет равен:
(2.10)
Функции, описывающие элементарные сигналы, называются базисными функциями. Представление сигнала базисными функциями упрощается, если они являются ортогональными и ортонормированными.
Набор функций 
называется ортогональным, Если в интервале от 
до
при (2.11)
И ортонормированным, Если для всех 
Выполняется условие
. (2.12)
Ортогональность базисных функций, с помощью которых представляется исходный сигнал 
, является гарантией того, что представление сигнала может быть сделано единственным образом. Условию ортогональности отвечают гармонические функции кратных частот, а также функции Уолша, которые на отрезке своего существования от 
до 
принимают лишь значения, равные 1, дискретные сигналы Баркера и некоторые другие функции. Спектральный метод анализа сигналов основан на преобразованиях Фурье и состоит в замене сложной функции времени, описывающей сигнал, суммой простых гармонических сигналов, образующих частотный спектр этого сигнала. Знаменитый французский физик и математик Ж. Б. Фурье (1768 – 1830 г. г.) доказал, что любое изменение во времени некоторой функции можно аппроксимировать в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или напряжение в электрической цепи.
Рассмотрим вначале представление периодического электрического сигнала (рис. 2.4), отвечающего условию
, (2.13)
где: 
— период сигнала; =1,2,3,….
Рис. 2.4. Периодический сигнал
Представим этот сигнал бесконечным тригонометрическим рядом:
. (2.14)
Этот ряд называется рядом Фурье.
Возможна запись ряда Фурье в другом виде:
, (2.15)
Где: 
— модуль амплитуд гармоник;
— фазы гармоник;
— круговая частота;
— коэффициенты косинусоидальных составляющих; 
— коэффициенты синусоидальных составляющих; — среднее значение сигнала за период (постоянная составляющая).
Отдельные слагаемые рядов называют гармониками. Число 
является номером гармоники. Совокупность величин 
в ряде (2.15) называют спектром амплитуд, а совокупность величин — спектром фаз.
Ниже на рис. 2.5 представлены амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Вертикальные отрезки амплитудного спектра представляют амплитуды гармоник и называются спектральными линиями.
Рис 2.5. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала
Таким образом, спектр периодического сигнала – Линейчатый. Каждый периодический сигнал имеет вполне определенные амплитудный и фазовый спектры.
Сумма ряда (2.15) является бесконечной, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник настолько малы, что ими можно пренебречь и практически реальный периодический сигнал представляется функцией с ограниченным спектром. Интервал частот, соответствующий ограниченному спектру, называется шириной спектра.
Если функция 
, описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (2.14) будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если — нечетная функция, то сумма будет содержать только синусоидальные составляющие.
Возможно также представление периодического сигнала в виде комплексного ряда Фурье:
, (2.16)
Где:
— комплексные амплитуды спектра, содержащие информацию, как об амплитудном, так и о фазовом спектрах.
После подстановки значений 
и , получим:
(2.17)
Если подставить полученное значение в ряд (1.29), то он обращается в тождество. Таким образом, периодический электрический сигнал можно задавать либо функцией времени 
, либо комплексной амплитудой спектра.
2.2.1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Состав спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов зависит от величины отношения периода последовательности к длительности импульса, называемого скважностью импульсов. В спектре будут отсутствовать гармоники с номерами кратными скважности импульсов. Скважность импульсов равна 
. На рис.1.17 приведены три импульсные последовательности с разными скважностями и соответствующие им спектры. Для периодической последовательности, скважность которой равна 2, в спектре отсутствуют 2, 4, 6 ,8 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 3, в спектре отсутствуют 3, 6 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 4, в спектре отсутствуют 4, 8 и т. д. гармоники. Во всех приведенных спектрах интервал между спектральными линиями равен величине обратной периоду последовательности. Точки на оси частот, в которых спектр равен нулю, соответствуют величине, обратной длительности импульсов периодических последовательностей.
Рис.2.6.Периодические последовательности импульсов и их спектры.
2.2.2. Спектр непериодического сигнала
При рассмотрении спектра непериодического сигнала воспользуемся предельным переходом от периодического сигнала к непериодическому сигналу, устремив период к бесконечности.
Для периодического сигнала, представленного на рис. 2.4, ранее получено выражение (2.17) для комплексной амплитуды спектра:
(2.18)
Введем обозначение:
(2.19)
Построим модуль спектра 
:
Рис. 2.7. Модуль спектра периодического сигнала
Расстояние между спектральными линиями равно 
. Если увеличивать период 
, то будет уменьшаться интервал w1 . При 
интервал между спектральными линиями w1® dw. При этом периодическая последовательность импульсов превращается в одиночный импульс и модуль спектра 
стремится к непрерывной функции частоты . В результате предельного перехода от периодического сигнала к непериодическому линейчатый спектр вырождается в сплошной спектр, представленный на рис. 2.8.
Рис. 2.8. Спектр непериодического сигнала
При этом комплексная амплитуда равна:
. (2.20)
С учетом предельного перехода при 
(2.21)
Подставим полученное выражение в ряд (2.16). При этом сумма трансформируется в интеграл, а значения дискретных частот 
в значение текущей частоты и непериодический сигнал можно представить в следующем виде:
. (2.22)
Это выражение соответствует обратному преобразованию Фурье. Огибающая сплошного спектра одиночного импульса совпадает с огибающей линейчатого спектра периодической функции, представляющей периодическое повторение этого импульса.
Интеграл Фурье позволяет любую непериодическую функцию представить в виде суммы бесконечного числа синусоидальных колебаний с бесконечно малыми амплитудами 
и бесконечно малым интервалом 
по частоте. Спектр сигнала определяется из выражения
. (2.23)
Этот интеграл соответствует прямому преобразованию Фурье.
– комплексный спектр, в нём содержится информация, как о спектре амплитуд, так и о спектре фаз.
Таким образом, спектр непериодической функции сплошной. Можно сказать, что в нём содержатся «все» частоты. Если вырезать из сплошного спектра малый интервал частот 
, то частоты спектральных составляющих в этом участке будут отличаться сколь угодно мало. Поэтому спектральные составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и одинаковые комплексные амплитуды. Спектральная плотность есть отношение комплексной амплитуды малого интервала частот к величине этого интервала.
Спектральный анализ сигналов имеет фундаментальное значение в радиоэлектронике. Информация о спектре сигнала позволяет обоснованно выбирать полосу пропускания устройств, на которые воздействует этот сигнал.
2.2.3. Спектр одиночного прямоугольного видеоимпульса
Рассчитаем спектр одиночного прямоугольного импульса, амплитуда которого равна Е, а длительность — t, представленного на рис. 2.9.
Рис. 2.9. Одиночный прямоугольный импульс
В соответствии с выражением (2.24) спектр такого сигнала равен
=. (2.24)
Поскольку 
= 0 , когда 
, то частоты, на которых спектр обращается в нуль равны , где K=1,2,3…
На рис. 2.10 представлен комплексный спектр одиночного прямоугольного импульса длительностью 
.
Рис.2.10. Спектр одиночного прямоугольного импульса
Спектральная плотность определяет распределение энергии в спектре одиночного импульса. В общем случае распределение энергии неоднородно. Однородное распределение характерно для хаотического процесса, называемого «белым шумом».
Спектральная плотность импульса на нулевой частоте равна его площади. Приблизительно 90% энергии одиночного прямоугольного импульса сосредоточено в спектре, ширина которого определяется выражением
. (2.25)
Соотношение (1.41) определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. В задачах, где форма сигнала имеет второстепенное значение полосу пропускания устройства для этого сигнала можно выбрать равной ширине первого лепестка спектра. При этом неизвестна степень искажения формы сигнала. Двукратное увеличение полосы пропускания лишь на 5% увеличит энергию сигнала при одновременном возрастании уровня шумов.
2.2.4. Спектры неинтегрируемых сигналов
Фурье анализ применим лишь к интегрируемым функциям, то есть к функциям, для которых выполняется условие сходимости интеграла:
(2.26)
К неинтегрируемым относятся такие сигналы, как 
-импульс, единичный скачок, гармонический сигнал, постоянное напряжение.
Спектр 
— импульса
Рассчитаем спектр 
—Импульса с помощью интеграла прямого преобразования Фурье.
(2.27)
На основании стробирующего свойства — функции получим:
. (2.28)
Таким образом, 
и 
. При 
фаза .
Рис.2.11. Спектр — импульса
Итак, — функция имеет сплошной бесконечный спектр с единичной амплитудой на всех частотах. В момент возникновения импульса все гармонические составляющие бесконечного спектра складываются когерентно, поскольку спектр вещественный. В результате этого наблюдается бесконечно большая амплитуда импульса.
Спектр гармонического сигнала
Вычислим спектр гармонического сигнала с единичной амплитудой 
.
(2.20)
В соответствии с обратным преобразованием Фурье
(2.30)
Учитывая дуальность частоты и времени, запишем:
(2.31)
Знак экспоненты можно выбрать, считая — функцию четной.
В соответствии с этим спектр гармонического сигнала запишется в следующем виде:
(2.32)
Таким образом, гармоническому сигналу соответствует дискретный спектр из двух линий в виде дельта функций на частотах 
и
Рис. 2.12. Спектр гармонического сигнала
Спектр постоянного напряжения
Для гармонического сигнала получено следующее выражение для спектральной плотности:
(2.33)
Если в этом выражении приравнять частоту нулю, то получим спектр постоянного напряжения единичного уровня:
(2.34)
Таким образом, спектр постоянного напряжения содержит особенность типа 
функции.
Рис. 2.13. Спектр постоянного напряжения
При спектральных преобразованиях случайных процессов важное значение приобретает ширина спектра процесса. Эффективная ширина энергетического спектра определяется следующим образом:
, (5.73)
или
. (5.74)
Этому определению можно дать графическую интерпретацию. На рис. 5.7 изображена кривая одностороннего энергетического спектра. Построим прямоугольник с площадью, равной площади по кривой 
, одна сторона которого составляет величину 
(в данном случае 
). Тогда вторая сторона прямоугольника будет характеризовать эффективную ширину энергетического 
спектра 
. Представим выражение (5.71) в следующем виде
.
Левая сторона этого равенства представляет собой среднюю мощность случайного процесса с равномерным энергетическим спектром в пределах полосы частот , а правая – среднюю мощность рассматриваемого случайного процесса.
Тогда эффективную ширину спектра рассматриваемого случайного процесса можно трактовать как ширину спектра процесса с равномерной плотностью мощности при равенстве средних мощностей обоих процессов.
Как подчеркивалось выше, автокорреляционная функция случайного процесса характеризует степень статистической связи между значениями процесса, разделенными интервалом времени 
. При этом, для эргодических процессов, которые изучаются в радиотехнике, АКФ стремится к нулю при неограниченном возрастании . Очевидно, при определенном значении , значения случайного процесса 
и 
можно считать статистически несвязанными (некоррелированными). Значение 
, при котором значения случайного процесса и 
становятся статистически несвязанными, называется интервалом корреляции.
Интервал корреляции определяется в соответствии с выражением
, (5.75)
где 
– нормированная автокорреляционная функция.
Знак модуля в (5.75) введен для случая, когда 
может принимать отрицательные значения. На рис. 5.8 приведена графическая интерпретация понятия интервала корреляции. Интервал корреляции представляет собой сторону прямоугольника, по площади равному площади под кривой при 
.
Установим связь между эффективной шириной спектра и интервалом корреляции в предположении, что 
, а функция корреляции представляет собой неотрицательную монотонно убывающую функцию, что позволяет в (5.75) полагать 
. Найдем произведение и с учетом (5.73) и (5.75).
.
Подставляя в это выражение формулы (5.67) и (5.68) после несложных преобразований получим
. (5.76)
Аналогично, используя выражения (5.71), (5.72), (5.74) и (5.75), можно получить
. (5.77)
Таким образом, произведение эффективной ширины спектра и интервала корреляции представляет собой постоянную величину. Из этого вытекает, что чем шире энергетический спектр, тем меньше интервал корреляции между его значениями и наоборот. Но ширина энергетического спектра определяет скорость изменения значений случайного процесса: чем больше (или чем меньше ), тем выше скорость изменения процесса.
Привет, сегодня поговорим про спектральный анализ на ограниченном интервале времени оконные функции, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое
спектральный анализ на ограниченном интервале времени оконные функции , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка сигналов.
Содержание
Введение
Спектр ограниченного во времени сигнала
ДПФ ограниченного во времени сигнала. Использование оконного сглаживания
Коэффициент ослабления оконной функции
Основные частотные характеристики спектра оконной функции
Основные свойства оконной функции и их характеристики
Выводы
Введение
В основе цифрового спектрального анализа лежит аппарат дискретного преобразования Фурье (ДПФ). При этом ДПФ имеет высокоэффективные быстрые алгоритмы (БПФ). Однако при использовании ДПФ часто возникают трудности обусловленные конечностью интервала обработки. В данной статье мы поставим цель проанализировать эффекты возникающие при ограничении интервала анализа. Предполагается, что читатель предварительно изучил преобразование Фурье и его свойства, а также понимает смысл ДПФ.
Спектр ограниченного во времени сигнала
Пусть имеется сигнал 
который бесконечен во времени. В простейшем случае мы можем задать этот сигнал как гармоническое колебание с частотой 
. Преобразование Фурье этого сигнала будет представлять собой дельта-импульс на частоте сигнала, т.е. 
. Исходный сигнал и его спектр показаны на рисунке синим цветом. На практике мы не можем произвести расчет спектра путем численного интегрирования по всей оси времени (разумеется за исключением когда мы можем получить аналитическое выражение для спектра сигнала, как в приведенном примере), поэтому мы зафиксируем интервал времени 
на котором будем рассчитывать спектр сигнала. Таким образом мы получим сигнал 
, который совпадает с исходным на интервале времени , но вне интервала наблюдения считаем
. Математически, можно представить как произведение исходного бесконечного сигнала 
и прямоугольного импульса 
длительностью, 
. Спектр же сигнала , согласно свойствам преобразования Фурье будет равен свертке спектров исходного сигнала и спектра 
прямоугольного импульса :
 |
(1) |
В выражении (1) было использовано фильтрующее свойство дельта-функции. Сигнал и его спектр 
показаны на рисунке 1 красным цветом.
Рисунок 1: Спектр ограниченного во времени сигнала
Таким образом, вместо дельта-импульса спектр 
превратился в функцию типа 
, (спектр прямоугольного импульса функции ) причем ширина лепестка зависит от длительности интервала анализа, как это наглядно показано на рисунке 2.
Рисунок 2: Изменение спектра с увеличением интервала анализа
Если увеличивать интервал анализа 
до бесконечности, то спектр будет сужаться и стремиться к дельта-импульсу. Прямоугольный импульс 
назовем оконной функцией.
ДПФ ограниченного во времени сигнала. Использование оконного сглаживания
Теперь рассмотрим случай ДПФ. ДПФ ставит в соответствие 
отсчетам сигнала 
отсчетов спектра, взятых на одном периоде повторения спектра: 
Отсчеты сигнала, взятые через равные промежутки времени 
где 
— частота дискретизации (рад/с). Таким образом интервал анализа
, тогда спектральные отсчеты берутся через интервал 
Ширина главного лепестка спектра (смотри рисунок 1) равна 
тогда можно рассмотреть два случая. Первый случай частота сигнала совпадает с 
-ой частотой спектра
(верхний график рисунка 3). При дискретизации получим только отсчет на частоте по амплитуде соответствующий амплитуде сигнала, остальные спектральные отсчеты будут равны нулю, так как моменты дискретизации спектра совпадут с нулями спектра оконной функции. Второй случай когда частота 
не совпадает ни с одной частотой из сетки спектральных отсчетов (нижний график рисунка 3). В этом случае спектр сигнала «размывается». Вместо одного спектрального отсчета получаем множество отсчетов, так как дискретизация производится уже не в нулях спектра функции окна, и все боковые лепестки проявляются в спектре. Кроме того амплитуда спектральных отсчетов также уменьшается.
Рисунок 3: ДПФ при совпадении и несовпадении частоты сигнала и сетки частот спектра
Совпадение частоты с сеткой спектральных отсчетов будет в том случае если на интервале обработки укладывается целое количество периодов сигнала . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В противном случае спектр «размажется».
Размазывание спектра негативный эффект, с которым необходимо бороться. Покажем это на примере. Пусть имеется два гармонических сигнала на частотах и 
, причем амплитуда сигнала на частоте много меньше амплитуды сигнала на частоте . Ограничение интервала анализа приведет к тому, что спектры «размажутся», и сигнал на частоте будет не заметен под боковым лепестком сигнала с частотой , как это показано на рисунке 4.
Рисунок 4: Сигнал малой амплитуды не заметен под боковым лепестком другого сигнала
Очевидно, для того чтобы обнаружить слабый сигнал необходимо устранить боковые лепестки в спектре, которые возникают когда мы ограничили сигнал прямоугольным окном. Значит чтобы устранить эти лепестки необходимо устранить их в спектре оконной функции , то есть надо изменить оконную функцию, а именно сделать ее более гладкой, как это показано на рисунке 5.
Рисунок 5: Гладкая весовая функция
При гладкой оконной функции в спектре не наблюдается боковых лепестков (или их уровень существенно понижается), однако имеет место расширение основного лепестка спектра по сравнению с прямоугольным окном 
. Таким образом мы вроде бы побороли боковые лепестки, и смогли обнаружить слабые сигналы (смотри рисунок 6), которые раньше терялись в боковых лепестках, но заплатили за это расширением основного лепестка.
Рисунок 6: При гладкой весовой функции слабые сигналы не теряются в боковых лепестках
Необходимо отметить, что чем больше подавление боковых лепестков спектра оконной функции, тем шире получается основной лепесток. Данное противоречие привело к разработке большого количества оконных функций с различным подавлением боковых лепестков и различной шириной главного лепестка. Основные распространенные окна будут рассмотрены ниже.
Коэффициент ослабления оконной функции
Мы рассмотрим еще одно свойство оконной функции, а именно коэффициент ослабления 
. Для пояснения коэффициента ослабления рассмотрим постоянную составляющую 
оконной функции на интервале :
 |
(2) |
В случае прямоугольного окна
 |
(3) |
Коэффициентом ослабления называют отношение постоянной составляющей заданной функции окна, к постоянной составляющей прямоугольного окна 
:
 |
(4) |
Смысл коэффициента ослабления заключается в том, что амплитуды всех спектральных составляющих после умножения на оконную функцию уменьшаются в раз по сравнению с прямоугольным окном. Коэффициент ослабления выражают в логарифмической шкале:
 |
(5) |
В случае цифрового спектрального анализа имеется 
отсчетов оконной функции 
взятых через промежуток 
Тогда 
интеграл в выражении (4) заменяется на сумму:
 |
(6) |
Для того, чтобы учесть коэффициент ослабления после ДПФ необходимо каждый спектральный отсчет поделить на.
Основные частотные характеристики спектра оконной функции
Обобщим основные частотные характеристики спектра оконной функции, позволяющие сравнивать различные окна между собой. Для этого рассмотрим нормированную амплитудно-частотную характеристику 
оконной функции, представленную на рисунке 7.
Рисунок 7: Нормированная АЧХ оконной функции
Нормирование амплитуды производится для учета коэффициента ослабления : 
. Таким образом все АЧХ будут иметь максимум равный единице (0 дБ) на нулевой частоте. Поскольку ширина главного лепестка зависит от длительности окна во времени (смотри рисунок 2), то введена нормировка частоты:
 |
(7) |
Таким образом, форма нормированной АЧХ оконной функции не будет меняться при изменении длительности окна. Тогда можно ввести следующие нормированные параметры:
1. Нормированная ширина главного лепестка АЧХ по уровню 0,5 (-3 дБ) 
определяется как нормированная полоса при которой 
.
2. Нормированная ширина главного лепестка АЧХ по нулевому уровню 
. Согласно рисунку 5
.
3. Максимальный уровень боковых лепестков 
.
Можно заметить, что прямоугольного окна равна 2. Тогда можно ввести параметр, показывающий во сколько раз нормированная ширина главного лепестка АЧХ по нулевому уровню заданного окна шире чем прямоугольного окна. Обозначим этот параметр как 
. В зависимости от параметра 
окна делят на окна высокого разрешения 
и окна низкого разрешения 
.
Основные свойства оконной функции и их характеристики
В таблице 1 приведены выражения для некоторых оконных функций.
Таблица 1. Выражения для некоторых оконных функций
| Наименование окна | Выражение в дискретном виде:  |
Примечание |
| Прямоугольное окно (rectangle window) |  |
Окно высокого разрешения минимальная ширина главного лепестка, но максимальный уровень боковых лепестков |
| Синус-окно |  |
Окно высокого разрешения |
| Окно Ланцоша (Lanczos window), или sinc — окно |  |
Окно высокого разрешения |
| Окно Барлетта (Bartlett window), или треугольное окно |  |
Окно высокого разрешения |
| Окно Ханна (Hann window) |  |
Окно высокого разрешения |
| Окно Барлетта — Ханна (Bartlett–Hann window) |  |
Окно высокого разрешения |
| Окно Хемминга (Hamming window) |  |
Окно высокого разрешения. Наилучшее окно при  |
| Окно Блэкмана (Blackman window) |  |
Окно высокого разрешения. |
| Окно Блэкмана — Харриса (Blackman–Harris window) |  |
Окно низкого разрешения |
| Окно Наталла (Nuttall window) |  |
Окно низкого разрешения |
| Окно Блэкмана — Наталла (Blackman–Nuttall window) |  |
Окно низкого разрешения |
| Окно с плоской вершиной (Flat top window) |  |
Окно низкого разрешения |
| Окно Гаусса (Gaussian window) |  |
Свойства окна зависят от параметра  |
Свойства оконных функций приведенных в таблице 1 приведены в таблице 2.
Таблица 2. Свойства некоторых оконных функций
| Наименование окна |  |
 |
 |
 , дБ |
 , дБ |
| Прямоугольное окно (rectangle window) | 2 | 0,89 | 1 | -13 | 0 |
| Синус-окно | 3 | 1,23 | 1,5 | -23 | -3,93 |
| Окно Ланцоша (Lanczos window), или sinc — окно | 3,24 | 1,3 | 1,62 | -26,4 | -4,6 |
| Окно Барлетта (Bartlett window), или треугольное окно | 4 | 1,33 | 2 | -26,5 | -6 |
| Окно Ханна (Hann window) | 4 | 1,5 | 2 | -31,5 | -6 |
| Окно Барлетта — Ханна (Bartlett–Hann window) | 4 | 1,45 | 2 | -35,9 | -6 |
| Окно Хемминга (Hamming window) | 4 | 1,33 | 2 | -42 | -5,37 |
| Окно Блэкмана (Blackman window) | 6 | 1,7 | 3 | -58 | -7,54 |
| Окно Блэкмана — Харриса (Blackman–Harris window) | 8 | 1,97 | 4 | -92 | -8,91 |
| Окно Наталла (Nuttall window) | 8 | 1,98 | 4 | -93 | -9 |
| Окно Блэкмана — Наталла (Blackman–Nuttall window) | 8 | 1,94 | 4 | -98 | -8,8 |
| Окно с плоской вершиной (Flat top window) | 10 | 3,86 | 5 | -69 | 0 |
Окно Гаусса (Gaussian window)  |
8 | 1,82 | 4 | -65 | -8,52 |
Окно Гаусса (Gaussian window)  |
3,4 | 1,2 | 1,7 | -31,5 | -4,48 |
Окно Гаусса (Gaussian window)  |
2,2 | 0,94 | 1,1 | -15,5 | -0,96 |
Просмотреть вид приведенных оконных функций и их частотных характеристик можно здесь.
Выводы
Таким образом, был рассмотрен вопрос вычисления спектра сигнала при наблюдении на ограниченном временном отрезке. Показано, что ограничение времени анализа равносильно использованию прямоугольной оконной функции, частотная характеристика которой имеет максимальные боковые лепестки. Приведен механизм снижения уровня боковых лепестков путем сглаживания окном, что в свою очередь, ухудшает разрешение спектрального анализа из-за расширения основного лепестка. Показаны основные свойства частотной характеристики оконных функций, а также приведены выражения для наиболее распространенных окон.
Я хотел бы услышать твое мнение про спектральный анализ на ограниченном интервале времени оконные функции Надеюсь, что теперь ты понял что такое спектральный анализ на ограниченном интервале времени оконные функции
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Цифровая обработка сигналов