В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.
Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.
-
Формула площади правильной пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Площадь правильной треугольной пирамиды
- 3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды
Формула площади правильной пирамиды
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.
Sполн. = Sбок. + Sосн.
Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.
Площадь треугольника вычисляется по формулам:
1. Через длину основания (a) и высоту (h):
2. Через основание (a) и боковую сторону (b):
Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.
2. Площадь правильной треугольной пирамиды
Основание: равносторонний треугольник.
L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.
3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
Основание: квадрат.
| Площадь | Формула |
| основание | Sосн. = a2 |
| боковая поверхность | Sбок. = 2aL |
 |
|
| полная | Sполн. = a2 + 2aL |
 |
microexcel.ru
4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды
Основание: правильный шестиугольник
{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL + S}
На странице вы найдете онлайн-калькуляторы, которые помогут найти площадь полной и боковой поверхности правильной пирамиды, а также треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамиды. Кроме того приводятся формулы, по которым вы можете произвести расчет самостоятельно.
- калькулятор площади поверхности пирамиды
- формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему
- формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и высоту
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- примеры задач
Познакомьтесь с важными понятиями, которые необходимо знать для расчета площади поверхности пирамиды.
Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр ее основания.
Площадь полной поверхности пирамиды — это сумма площадей боковых граней и площади основания.
Площадь боковой поверхности пирамиды — это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.
Апофема — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ребро основания.
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему
{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL+S}
P — периметр основания пирамиды
L — апофема пирамиды
S — площадь основания пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = dfrac{na}{2} {Bigg( dfrac{a}{2 \tg ( dfrac{180°}{n})} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 \tg ( dfrac{180°}{n})} Bigg) ^2} Bigg)}}
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды
n — число сторон основания
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = dfrac{a^2 sqrt{3}+6aL}{4}}
a — сторона основания пирамиды
L — апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = dfrac{a^2 sqrt{3}+6a sqrt{b^2 — dfrac{a^2}{4}}}{4}}
a — сторона основания пирамиды
b — боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = dfrac{3a}{2} {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = a^2 + 2a sqrt{b^2- dfrac{a^2}{4}}}
a — сторона основания пирамиды
b — боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = 2a {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = a^2+2aL}
a — сторона основания пирамиды
L — апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = dfrac{3sqrt{3}a^2}{2}+3aL}
a — сторона основания пирамиды
L — апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = dfrac{3sqrt{3}a^2}{2}+3asqrt{b^2-dfrac{a^2}{4}}}
a — сторона основания пирамиды
b — боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = 3a {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему
{S_{бок} = dfrac{1}{2}PL}
P — периметр основания пирамиды
L — апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = dfrac{na}{2} sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( dfrac{180°}{n})} Bigg) ^2} }
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды
n — число сторон основания
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = dfrac{3}{2}aL}
a — сторона основания пирамиды
L — апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = dfrac{3a sqrt{b^2 — dfrac{a^2}{4}}}{2}}
a — сторона основания пирамиды
b — боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = dfrac{3a}{2} sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} Bigg) ^2}}
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему
{S_{бок} =dfrac{1}{2}PL}
P — периметр основания пирамиды
L — апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = 2aL}
a — сторона основания пирамиды
L — апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = 2a sqrt{b^2 — dfrac{a^2}{4}}}
a — сторона основания пирамиды
b — боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = 2a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2}}
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = 3aL}
a — сторона основания пирамиды
L — апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = 3asqrt{b^2-dfrac{a^2}{4}}}
a — сторона основания пирамиды
b — боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = 3a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} Bigg) ^2}}
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды
Примеры задач на нахождение площади поверхности пирамиды
Задача 1
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 60см, боковые ребра равны 78см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение
Так как пирамида правильная четырехугольная, то воспользуемся соответствующей формулой площади поверхности через сторону основания и боковую грань.
S_{полн} = a^2 + 2a sqrt{b^2- dfrac{a^2}{4}} = 60^2 + 2 cdot 60 sqrt{78^2- dfrac{60^2}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084- dfrac{3600}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084 — 900} = 3600 + 120 sqrt{5184} = 3600 + 120 cdot 72 = 3600 + 8640 = 12240 : см²
Ответ: 12240 см²
Проверим полученный ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной 6см и апофемой 10см.
Решение
Из условия мы знаем апофему и сторону правильной треугольной пирамиды, поэтому нам потребуется эта формула.
S_{бок} = dfrac{3}{2}aL = dfrac{3}{2} cdot 6 cdot 10 = dfrac{3}{2} cdot 60 = 90 : см²
Ответ: 90 см²
Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .
Задача 2
Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды сторона основания 6см и высота 4см.
Решение
Подставим значения в формулу и произведем расчет.
S_{бок} = 2a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 2 cdot 6 sqrt{4^2+ Bigg( dfrac{6}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 60 : см²
Ответ: 60 см²
Проверка .
Пирамида — это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его являются треугольниками.
Онлайн-калькулятор площади поверхности пирамиды
Стоит остановиться на определении некоторых составляющих пирамиды.
У нее, как и у других многогранников, есть ребра. Они сходятся к одной точке, которая называется вершиной пирамиды. В ее основании может лежать произвольный многоугольник. Гранью называется геометрическая фигура, образованная одной из сторон основания и двумя ближайшими ребрами. В нашем случае это треугольник. Высотой пирамиды называется расстояние от плоскости, в которой лежит ее основание, до вершины многогранника. Для правильной пирамиды существует еще понятие апофемы — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к её основанию.
Виды пирамид
Существуют 3 вида пирамид:
- Прямоугольная — та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
- Правильная — у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
- Тетраэдр — пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.
Формула площади поверхности пирамиды
Для нахождения полной площади поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.
Самой простой является случай правильной пирамиды, поэтому нею мы и займемся. Вычислим полную площадь поверхности такой пирамиды. Площадь боковой поверхности равна:
Sбок=12⋅l⋅pS_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p
ll — апофема пирамиды;
pp — периметр основания пирамиды.
Полная площадь поверхности пирамиды:
S=Sбок+SоснS=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}
SбокS_{text{бок}} — площадь боковой поверхности пирамиды;
SоснS_{text{осн}} — площадь основания пирамиды.
Пример решения задачи.
Найти полную площадь треугольной пирамиды, если её апофема равна 8 (см.), а в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 3 (см.)
Решение
l=8l=8
a=3a=3
Найдем периметр основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной aa, то его периметр pp (сумма всех его сторон):
p=a+a+a=3⋅a=3⋅3=9p=a+a+a=3cdot a=3cdot 3=9
Тогда боковая площадь пирамиды:
Sбок=12⋅l⋅p=12⋅8⋅9=36S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 8cdot 9=36 (см. кв.)
Теперь найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника. В нашем случае треугольник равносторонний и его площадь можно вычислить по формуле:
Sосн=3⋅a24S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}
aa — сторона треугольника.
Получаем:
Sосн=3⋅a24=3⋅324≈3.9S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}=frac{sqrt{3}cdot 3^2}{4}approx3.9 (см. кв.)
Полная площадь:
S=Sбок+Sосн≈36+3.9=39.9S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}approx36+3.9=39.9 (см. кв.)
Ответ: 39.9 см. кв.
Еще один пример, немного сложнее.
Основанием пирамиды является квадрат с площадью 36 (см. кв.). Апофема многогранника в 3 раза больше стороны основания aa. Найти полную площадь поверхности данной фигуры.
Решение
Sквад=36S_{text{квад}}=36
l=3⋅al=3cdot a
Найдем сторону основания, то есть сторону квадрата. Его площадь и длина стороны связанны:
Sквад=a2S_{text{квад}}=a^2
36=a236=a^2
a=6a=6
Найдем периметр основания пирамиды (то есть, периметр квадрата):
p=a+a+a+a=4⋅a=4⋅6=24p=a+a+a+a=4cdot a=4cdot 6=24
Найдем длину апофемы:
l=3⋅a=3⋅6=18l=3cdot a=3cdot 6=18
В нашем случае:
Sквад=SоснS_{text{квад}}=S_{text{осн}}
Осталось найти только площадь боковой поверхности. По формуле:
Sбок=12⋅l⋅p=12⋅18⋅24=216S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 18cdot 24=216 (см. кв.)
Полная площадь:
S=Sбок+Sосн=216+36=252S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}=216+36=252 (см. кв.)
Ответ: 252 см. кв.
Возникают трудности с тем, чтобы найти площадь поверхности пирамиды? У нас вы можете заказать контрольную работу по геометрии!
Все формулы для площадей полной и боковой поверхности тел
1. Площадь полной поверхности куба
a — сторона куба
Формула площади поверхности куба,(S):
2. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
a, b, c — стороны параллелепипеда
Формула площади поверхности параллелепипеда, (S):
3. Найти площадь поверхности шара, сферы
R — радиус сферы
π ≈ 3.14
Формула площади поверхности шара (S):
4. Найти площадь боковой и полной поверхности цилиндра
r — радиус основания
h — высота цилиндра
π ≈ 3.14
Формула площади боковой поверхности цилиндра, (Sбок):
Формула площади всей поверхности цилиндра, (S):
5. Площадь поверхности прямого, кругового конуса
R — радиус основания конуса
H — высота
L — образующая конуса
π ≈ 3.14
Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (Sбок):
Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (Sбок):
Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S):
Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S):
6. Формулы площади поверхности усеченного конуса
R — радиус нижнего основания
r — радиус верхнего основания
L — образующая усеченного конуса
π ≈ 3.14
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса, (Sбок):
Формула площади полной поверхности усеченного конуса, (S):
7. Площадь поверхности правильной пирамиды через апофему
L — апофема (опущенный перпендикуляр OC из вершины С, на ребро основания АВ)
P — периметр основания
Sосн — площадь основания
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (Sбок):
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды (S):
8. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды
m — апофема пирамиды, отрезок OK
P — периметр нижнего основания, ABCDE
p — периметр верхнего основания, abcde
Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды, (S):
9. Площадь поверхности шарового сегмента
R — радиус самого шара
h — высота сегмента
π ≈ 3.14
Формула площади поверхности шарового сегмента, (S):
10. Площадь поверхности шарового слоя
h — высота шарового слоя, отрезок KN
R — радиус самого шара
O — центр шара
π ≈ 3.14
Формула площади боковой поверхности шарового слоя, (S):
11. Площадь поверхности шарового сектора
R — радиус шара
r — радиус основания конуса = радиус сегмента
π ≈ 3.14
Формула площади поверхности шарового сектора, (S):
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Площадь поверхности любой пирамиды равна сумме площади основания и площадей боковых граней. Если дана правильная пирамида, площадь ее поверхности вычисляется с помощью формулы, но нужно знать, как найти площадь основания пирамиды. Так как в основании пирамиды может лежать любой многоугольник, нужно уметь находить площади многоугольников, включая пяти- и шестиугольники. Площадь поверхности правильной квадратной пирамиды очень легко найти, если известны сторона квадрата (который лежит в основании) и апофема пирамиды.
-
1
-
2
В формулу подставьте значение периметра. Если периметр не дан, но известна сторона основания, периметр вычисляется умножением значения стороны на число сторон основания.
-
3
В формулу подставьте значение апофемы. Не перепутайте апофему с высотой. В задаче должна быть дана апофема; в противном случае воспользуйтесь другим методом.
- Например, апофема шестиугольной пирамиды равна 12 см. Формула запишется так: .
- Например, апофема шестиугольной пирамиды равна 12 см. Формула запишется так:
-
4
Вычислите площадь основания. Формула для вычисления площади основания зависит от фигуры, лежащей в основании. Чтобы узнать, как находить площади правильных многоугольников, прочитайте эту статью.
-
5
В формулу подставьте площадь основания. Найденное значение площади основания подставьте вместо
.
- В нашем примере площадь шестиугольного основания равна 41,57 квадратных сантиметров, поэтому формула запишется так:
- В нашем примере площадь шестиугольного основания равна 41,57 квадратных сантиметров, поэтому формула запишется так:
-
6
Перемножьте периметр основания и апофему. Полученный результат разделите на два. Вы найдете площадь боковой поверхности пирамиды.
-
7
Сложите два значения. Сумма площади боковой поверхности и площадь основания есть площадь поверхности пирамиды (в квадратных единицах).
Реклама
-
1
-
2
-
3
Возведите в квадрат сторону основания. Вы найдете площадь основания.
-
4
Перемножьте сторону основания и апофему. Результат разделите на 2, а затем умножьте на 4. Вы найдете площадь боковой поверхности пирамиды.
-
5
Сложите площадь основания и площадь боковой поверхности. Вы найдете площадь поверхности пирамиды (в квадратных единицах).
Реклама
Что вам понадобится
- Карандаш
- Бумага
- Калькулятор (по желанию)
- Линейка (по желанию)
Похожие статьи
Об этой статье
Эту страницу просматривали 112 985 раз.