Как найти sполн усеченной пирамиды

Как найти площадь поверхности усеченной пирамиды

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте периметры оснований и апофему.

Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.

Введите данные:

Округление:

* — обязательно заполнить

Многогранник, у которого одна из граней – многоугольник, а все остальные грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Эти треугольники, из которых составлена пирамида, называют боковыми гранями, а оставшийся многоугольник – основанием пирамиды.

В основании пирамиды лежит геометрическая фигура – n-угольник. В таком случае пирамиду называют еще n-угольной.

Треугольную пирамиду, все ребра которой равны, называют тетраэдром.

Ребра пирамиды, которые не принадлежат основанию, называются боковыми, а их общая точка – это вершина пирамиды. Другие ребра пирамиды обычно называют сторонами основания.

Пирамиду называют правильной, если у нее в основании лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания называется высотой пирамиды. Можно сказать, что высота пирамиды есть отрезок, перпендикулярный основанию, концы которого находятся в вершине пирамиды и на плоскости основания.

Для любой пирамиды имеют место следующие формулы: 

1) S_полн = S _бок + S_осн, где

S_полн – площадь полной поверхности пирамиды;

S_бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней пирамиды;

S _осн – площадь основания пирамиды.

2) V = 1/3 S_осн · Н, где

V – объем пирамиды;

Н – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды имеет место:

S_бок = 1/2 P_осн h, где

P_осн – периметр основания пирамиды;

h – длина апофемы, то есть длина высоты боковой грани, опущенной из вершины пирамиды.

Часть пирамиды, заключенная между двумя плоскостями – плоскостью основания и секущей плоскостью, проведенной параллельно основанию, называют усеченной пирамидой.

Основание пирамиды и сечение пирамиды параллельной плоскостью называются основаниями усеченной пирамиды. Остальные грани называют боковыми. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой усеченной пирамиды. Ребра, которые не принадлежат основаниям, называются боковыми.

Кроме того, основания усеченной пирамиды подобные n-угольники. Если основания усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а все боковые ребра равны между собой, то такая усеченная пирамида называется правильной.

Для произвольной усеченной пирамиды имеют место следующие формулы: 

1) S_полн = S_бок + S₁ + S₂, где

S_полн – площадь полной поверхности;

S_бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней усеченной пирамиды, которые представляют собой трапеции;

S₁, S₂ – площади оснований;

2) V = 1/3( S₁ + S₂  + √(S₁ · S₂ ))H, где

V – объем усеченной пирамиды;

H – высота усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды также имеем:

S_бок = 1/2(P₁ + P₂) · h, где

P₁ , P₂ – периметры оснований;

h – апофема (высота боковой грани, представляющей собой трапецию).

Рассмотрим несколько задач на усеченную пирамиду.

Задача 1.

В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСА₁В₁С₁, изображенную на рисунке1.

1. Объем усеченной пирамиды может быть найден по формуле

V = 1/3H · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)), где S₁ – площадь одного из оснований, можно найти по формуле Герона

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

т.к. в задаче даны длины трех сторон треугольника.

Имеем: p₁ = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S₁ = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.

2. Пирамида усеченная, а значит, в основаниях лежат подобные многоугольники. В нашем случае треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁. Кроме того, коэффициент подобия можно найти как отношение периметров рассматриваемых треугольников, а отношение их площадей будет равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, имеем:

S₁/S₂ = (P₁)²/(P₂)² = 108²/72² = 9/4. Отсюда S₂ = 4S₁/9 = 4 · 270/9 = 120.

Итак, V = 1/3 · 10(270 + 120 + √(270 · 120)) = 1900.

Ответ: 1900.

Задача 2.

В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1 : 2?

Решение.

Рассмотрим АВСА₁В₁С₁ – усеченную пирамиду, изображенную на рис. 2.

Так как в основаниях стороны относятся как 1 : 2, то площади оснований относятся как 1 : 4 (треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁).

Тогда объем усеченной пирамиды равен:

V = 1/3h · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)) = 1/3h · (4S₂ + S₂ + 2S₂) = 7/3 · h · S₂, где S₂ – площадь верхнего основания, h – высота.

Но объем призмы АDEA₁B₁C₁ составляет V₁ = S₂ · h и, значит,

V₂ = V – V₁ = 7/3 · h · S₂ — h · S₂ = 4/3 · h · S₂.

Итак, V₂ : V₁ = 3 : 4.

Ответ: 3 : 4.

Задача 3.

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 1, а высота равна 3. Через точку пересечения диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСDА₁В₁С₁D₁, изображенную на рис. 3.

Обозначим О₁О₂ = х, тогда ОО₂ = О₁О – О₁О₂ = 3 – х.

Рассмотрим треугольник В₁О₂D₁ и треугольник ВО₂D:

угол В₁О₂D₁ равен углу ВО₂D как вертикальные;

угол ВDO₂ равен углу D₁B₁O₂ и угол O₂ВD равен углу B₁D₁O₂ как накрест лежащие при B₁D₁ || BD и секущих B₁D и BD₁ соответственно.

Следовательно, треугольник В₁О₂D₁ подобен треугольнику ВО₂D и имеет место отношение сторон:

В1D₁/ВD = О₁О₂/ОО₂ или 1/2 = х/(х – 3), откуда х = 1.

Рассмотрим треугольник В₁D₁В и треугольник LО₂B: угол В – общий, а так же имеется пара односторонних углов при B₁D₁ || LM, значит, треугольник В₁D₁В подобен треугольнику LО₂B, откуда В₁D : LO₂ = OO₁ : OO₂ = 3 : 2, т.е.

LO₂ = 2/3 · B₁D₁, LN = 4/3 · B₁D₁.

Тогда S_KLMN = 16/9 · S_A1B1C1D1 = 16/9.

Итак, V₁ = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V₂ = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Ответ: 152/27; 37/27.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Главная

Расчёт параметров усеченной четырёхгранной пирамиды

Параметры усечённой четырёхгранной пирамиды:

Можно использовать для расчета параметров прямой четырёхугольной призмы — для этого строна a1 = b1 и, соответственно a2 = b2 .
В качестве разделителей разряда использовать не запятую, а точку.

a1 — длина первой стороны меньшего основания, мм:

a2 — длина второй стороны меньшего основания, мм:

b1 — длина первой стороны большего основания, мм:

b2 — длина второй стороны большего основания, мм:

h — высота пирамиды, мм:

s — толщина развёртки, мм:

ρ — плотность материала, кг/м³:

Объём усеченной пирамиды, мм ³: , м ³: ,
л.

---

---



19.09.2022