Возможно, вы слышали выражения «средний балл за контрольную», «среднее количество осадков» или «средняя годовая температура». Этот урок посвящён среднему арифметическому: тому, что это такое, как найти среднее арифметическое натуральных чисел и дробей, и где это может пригодиться.
Знакомство со средним арифметическим
Решавр, Вообразавр и Иксератопс собирали грибы. Решавр нашёл $5$ грибов, Вообразавр – $7$, а Иксератопс целых $9$! Друзья решили разделить найденное количество грибов поровну.
Они сложили все грибы в кучку, а потом каждый взял себе равное число грибов, то есть они поделили общее количество на $3$.
$5 + 7 + 9 = 21$
$21 : 3 = 7$
То число грибов, которое получилось у каждого из друзей, будет средним арифметическим.
Среднее арифметическое нескольких чисел – это сумма этих чисел, разделённая на количество слагаемых.
Задачи на нахождение среднего арифметического натуральных чисел
Автомобиль $2$ часа ехал через город со скоростью $30$ км/ч, по пригороду час со скоростью $60$ км/час, а затем ещё $3$ часа по трассе со скоростью $100$ км/час. Вычислите среднюю скорость автомобиля.
Сначала найдём сумму всех расстояний. У нас получится $30 cdot 2 + 60 + 100 cdot 3 = 420$
Теперь разделим эту сумму расстояний на количество часов.
$$420 : 6 = 70$$
Следовательно, если бы автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч в течение такого же времени ($6$ часов), он проехал бы такое же расстояние.
Рассмотрим другую задачу.
Первый рабочий за рабочий день собирает $50$ деталей, второй – $44$ более сложные детали, а третий работает над самыми сложными и делает за день гораздо меньше деталей. Сколько деталей он делает, учитывая, что средняя производительность всех трёх рабочих $38$ деталей за смену?
Зная, что средняя производительность $38$, а рабочих трое, мы можем найти сумму деталей, которые они собирают за день.
$$38 cdot 3 = 114$$
Теперь просто вычтем из этого числа то, что делают первые двое рабочих и найдём количество деталей, которые делает третий.
$$114-50-44 = 20$$
Показать проверку
Скрыть
$$(50 + 44 + 20) : 3 = 114 : 3 = 38$$
Как найти среднее арифметическое десятичных дробей
Решать задачи на среднее арифметическое достаточно просто, если речь идёт о натуральных числах. Ненамного сложнее дело обстоит с десятичными дробями.
На рисунке 3 изображены три отрезка. Длина отрезка АВ $5.9$ см, отрезка CD – $7.3$ см, а отрезок EF равен среднему арифметическому первых двух отрезков. Какова длина отрезка EF?
Сложим длины отрезков АВ и CD и вычислим их среднюю длину.
$$5.9 + 7.3 = 13.2$$
$$13.2 : 2 = 6.6$$
Теперь решим задачу на нахождение слагаемых. Два кролика ели морковку, серый кролик съел в $1.4$ раза больше морковки, чем белый. Сколько морковки съел каждый, если среднее количество съеденного – $7.5$ морковок?
Начинаем «распутывать» наш пример. Если мы знаем, что среднее арифметическое двух чисел – $7.5$, значит, их сумма – $7.5 cdot 2 = 15$
Примем количество съеденного белым кроликом за $x$, тогда серый съел $1.4 cdot x$. Можно составить уравнение:
$$1.4 cdot x + x = 15$$
Вычислим, сколько съел каждый из кроликов.
Показать решение
Скрыть
Сначала найдём значение выражения.
$$1.4 cdot x + x = 2.4 cdot x = 15$$
$$x = 15 : 2.4 = 6.25$$
Мы получили число моркови, которую съел белый кролик. Теперь давайте определим, сколько съел серый.
$$6.25 cdot 1.4 = 8.75$$
Проверим наше решение, сложив количество съеденного обоими кроликами и найдя среднее арифметическое.
$$8.75 + 6.25 = 15$$
$$15 : 2 = 7.5$$
Значит, наше решение было верным.
Как найти среднее арифметическое обыкновенных дробей
Вычислять среднее арифметическое обыкновенных дробей приходится не так уж часто. Но давайте рассмотрим, как это делается.
Особенность поиска среднего арифметического обыкновенных дробей состоит в том, что нужно складывать их, а, значит, приводить к общему знаменателю.
Напомним, что приведение к общему знаменателю основывается на основном свойстве дроби, которое позволяет умножить обе части дроби на одно и то же число без изменения значения. Таким образом, мы можем найти для дробных слагаемых дополнительные множители, с помощью которых знаменатели слагаемых станут одинаковыми.
Найдём среднее арифметическое дробей $frac{2}{3}$ и $frac{4}{7}$.
Мы можем выполнить сложение только в том случае, если у обоих слагаемых будет одинаковый знаменатель. Сначала нужно понять, к какому наименьшему общему знаменателю нужно привести эти дроби. Для этого требуется найти число, которое делится и на $3$, и на $7$. Это число будет называться НОК (наименьшее общее кратное). Для чисел $3$ и $7$ это будет произведение этих чисел, $21$.
Для того чтобы вычислить дополнительные множители, нужно разделить НОК на каждый из знаменателей. Таким образом, для $3$ дополнительным множителем будет $7$, а для $7$ это будет $3$.
Умножаем обе части дроби на один и тот же дополнительный множитель.
$$frac{2}{3} = frac{2cdot 7}{3 cdot 7} = frac{14}{21}$$
$$frac{4}{7} = frac{4cdot 3}{7 cdot 3} = frac{12}{21}$$
Теперь у нас две дроби с одинаковым знаменателем, и мы можем легко их сложить.
$$frac{14}{21} + frac{12}{21} = frac{14 + 12}{21} = frac{26}{21}$$
Осталось только разделить эту сумму на число слагаемых. При делении обыкновенной дроби нужно умножить знаменатель дроби на делитель:
$$frac{26}{21} : 2 = frac{26}{21 cdot 2} = frac{26}{42}$$
Эту дробь можно сократить, разделив обе части на $2$. У нас получится $frac{13}{21}$.
Многие операции, которые мы разобрали подробно, можно сделать и устно – здесь они расписаны так только для того, чтобы немного повторить пройденный материал.
Разберём ещё пример со смешанными дробями. Найдём среднее арифметическое для дробей $2frac{1}{6}$ и $3frac{1}{15}$.
Сначала нужно перевести каждую из этих смешанные дробей в неправильную. Для этого нужно умножить целое число на знаменатель и прибавить числитель.
$$2frac{1}{6} = frac{(2 cdot 6) + 1}{6} = frac{13}{6}$$
$$3frac{1}{15} = frac{(3 cdot 15) + 1}{15} = frac{46}{15}$$
Теперь приведём эти дроби к общему знаменателю. НОК $(15$ и $6) = 30$
Теперь подбираем дополнительные множители и складываем наши дроби.
$$frac{13 cdot 5}{6 cdot 5} + frac{46 cdot 2}{15 cdot 2}$$
$$frac{65}{30} + frac{92}{30} = frac{65 + 92}{30} = frac{157}{30}$$
Мы могли бы выделить целую часть из этой дроби, но нет необходимости, так как мы не закончили вычисления. Для нахождения среднего арифметического разделим полученное число на $2$ (другими словами, умножим дробь на число, обратное делителю, в данном случае $frac{1}{2}$).
$$frac{157}{30} : 2 = frac{157}{30 cdot 2} = frac{157}{60} = 2 frac{37}{60}$$
Если мы захотим поделить $37$ на $60$, у нас получится периодическая дробь: $0.61(6) $
Если нужно записать ответ в виде десятичной дроби, то можно использовать периодическую дробь. В некоторых случаях можно округлить эту дробь, например, $0.61(6) $ приблизительно равно $0.62$
Но если в условиях не сказано, что нужна именно десятичная дробь, лучше оставить обыкновенную, так как она будет точно передавать значение выражения.
Как найти среднее арифметическое
Это пригодится не только для решения школьных задачек, но и при различных подсчётах в обычной жизни.
Что такое среднее арифметическое
Среднее арифметическое — это сумма всех чисел в ряду, разделённая на количество слагаемых.
Как найти среднее арифметическое
Например, перед вами ряд чисел «1, 2, 3, 4, 5, 6». Как следует из определения, чтобы узнать среднее арифметическое, нужно сложить все данные вам числа, а потом разделить получившийся результат на количество этих чисел. В приведённом примере — на шесть. Вот как это выражается формулой:
Допустим, вам нужно определить среднее арифметическое для чисел 4, 5 и 6. Складываем 4 + 5 + 6 = 15. Теперь делим 15 на 3 и получаем 5. Это и будет среднее арифметическое.
Таким же образом оно подсчитывается для десятичных и обыкновенных дробей.
Пример расчёта среднего арифметического для обыкновенных дробей будет выглядеть так:
А это пример, как найти среднее арифметическое для десятичных дробей:
Как это пригодится в жизни
Среднее арифметическое помогает описать множество цифровых значений всего одним числом. Например, по выше представленной формуле можно подсчитать усреднённую цену на товар или среднюю зарплату сотрудников в одной организации, среднюю посещаемость заведения. Это полезно для ведения статистики и в случаях, когда нужно сжато изложить информацию.
Читайте также 🧐
- 7 причин полюбить математику
- 7 способов найти площадь прямоугольника
- 6 способов посчитать проценты от суммы с калькулятором и без
- Как освоить устный счёт школьникам и взрослым
- 10 увлекательных задач от советского математика
Правила ввода
Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то нужно перед вводом перевести его в неправильную обыкновенную дробь. Т.е. 1 целая 1/2 вводить нужно будет как 3/2.
При вводе десятичных дробей использовать точку. Запятая зарезервирована под разделитель.
В качестве разделителя можно использовать любой символ кроме цифр(0-9), слэша(/), точки(.), знака минус(-). Остальные символы и перенос строки будут программой заменены на разделители.
Определение среднего арифметического
Среднее арифметическое чисел это число, равное отношению этих чисел к их количеству.
Формула среднего арифметического
m = (a1+a2+a3+…+an)/n
где a1, a2, a3…an — ряд чисел
n — количество чисел
Пример нахождения среднего арифметического
Дан ряд чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 необходимо найти среднее арифметичское этих чисел.
Для решения этой задачи нам необходимо сумму этих чисел 55 разделить на количество этих чисел 10.
m = (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10 = 55/10 = 5.5
Пример нахождения среднего арифметического дробей
Даны дроби 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 необходимо найти среднее арифметичское этих чисел.
Для решения этой задачи нам необходимо просуммировать эти дроби 1/2+1/4+1/8+1/16=(8+4+2+1)/16=15/16. Затем полученное число разделить на количество этих дробей (15/16)/4=(15/16)×(1/4)=15/64
m = (1/2+1/4+1/8+1/16)/4=15/64
Пример нахождения среднего арифметического десятичных дробей
Даны десятичные дроби 0.2, 0.3, 0.4 необходимо найти среднее арифметичское этих дробей.
Для решения этой задачи нам необходимо просуммировать эти дроби 0.2+0.3+0.4=0.9. Затем полученное число разделить на количество этих дробей 0.9/3=0.3
m = (0.2+0.3+0.4)/3=0.3
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Десятичные дроби
- Среднее арифметическое
Пример:
Найти среднее арифметическое ряда чисел: 23, 18, 25, 20, 24.
Решение:
1) Сначала находим сумму всех чисел, входящих в рассматриваемый ряд.
23 + 18 + 25 + 20 + 24 = 110.
| + | 2 | 3 | |
| 1 | 8 | ||
| 2 | 5 | ||
| 2 | 0 | ||
| 2 | 4 | ||
| 1 | 1 | 0 |
2) Делим полученную сумму на количество чисел, входящих в рассматриваемый ряд (в данном случае их 5).
110 : 5 = 22
| — | 1 | 1 | 0 | 5 | ||||||||||
| 1 | 0 | 2 | 2 | |||||||||||
| — | 1 | 0 | ||||||||||||
| 1 | 0 | |||||||||||||
| 0 |
Ответ: среднее арифметическое ряда чисел равно 22.
Очень часто встречаются задачи, в которых нужно найти среднюю скорость движения. Чтобы найти среднюю скорость движения, нужно весь пройденный путь разделить на все время движения.
В повседневной жизни мы часто используем понятие — среднее значение величины. Например средний возраст, средняя заработная плата и т.д..
Чтобы найти сумму чисел, нужно среднее арифметическое этих чисел умножить на их количество.
Советуем посмотреть:
Десятичная запись дробных чисел
Сравнение десятичных дробей
Сложение и вычитание десятичных дробей
Приближенные значения чисел. Округление чисел
Умножение десятичных дробей
Деление десятичных дробей
Десятичные дроби
Правило встречается в следующих упражнениях:
5 класс
Задание 1502,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1506,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1530,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1593,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1597,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Номер 1034,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1036,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1041,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1047,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1049,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 1114,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1138,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 198,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 620,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1147,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1148,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1464,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1466,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1559,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1594,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
8 класс
Номер 302,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 104 человека из 36 регионов
- Сейчас обучается 615 человек из 78 регионов
- Сейчас обучается 964 человека из 80 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Добрый день…. А что это значит?
Значит, день был по-доброму начат.
Значит, день был по-доброму прожит,
Он умножит счастливые дни. -
2 слайд
Путешествие
«В поисках сокровищ»
-
3 слайд
Среднее арифметическое
Десятичные дроби -
4 слайд
Цели урока:
Обобщение и систематизация материала в процессе решения различных упражнений.
Развитие логического мышления, математической речи.
Формирование умения работать в микрогруппах. -
-
6 слайд
Девиз урока:
Дорогу осилит идущий,
математику мыслящий. -
7 слайд
Без знаний дробей никто не может признаваться знающим арифметику.
Цицерон
-
8 слайд
Назовите дробь равную 1.
Какая из дробей выражает «четверть»?
Какая из дробей выражает «половину»?
Какая дробь больше 1, но меньше 2? -
9 слайд
Сформулируйте правило сложения десятичных дробей.
Сформулируйте правило вычитания десятичных дробей.
Назовите первые два разряда после запятой в десятичной дроби.
Сформулируйте правило умножения десятичных дробей на натуральное число.
Что называется средним арифметическим нескольких чисел?
Как найти среднее арифметическое пяти чисел? -
10 слайд
Задача.
У Ани 14 конфет, у Кати 9 конфет, а у Оли 10 конфет. Сколько конфет достанется каждой девочке, если конфеты разделить поровну?
14 + 9 + 10 =
33 : 3 =
11 (конфет)
33 (конфеты)
Число 11 называют средним арифметическим чисел 14; 9 и 10. -
-
-
13 слайд
420
0,53
6,7
65
210
3,96
16,1
38 -
14 слайд
Десятичные дроби вычти, сложи,
Цифру под цифрой строго пиши,
И запятые все сохраняй,
В ряд их пиши, не забывай! -
15 слайд
+ 2,8
+ 9,2
— 3,2
+ 0,9
— 3,4
+ 8,6
+ 9,3
+ 0,2
+ 0,8
— 1,8
— 1,3
+ 1,9
11,2
1,7
— 7,9
— 5,7 -
16 слайд
Начинаем праздник свой
Повторяйте все за мной,
Здравствуй, новый прекрасный день!
Здравствуй, солнышко!
Здравствуй, небо!
Я желаю сегодня всем
Много-много любви целебной!
А для общего порядка
Дружно сделаем зарядку!
Зарядка всем полезна,
Зарядка всем нужна.
От лени и болезни
Спасает нас она! -
-
18 слайд
Решите уравнения
I(у + 2,81) – 1,81 = 6,4II(у – 3,48) + 2,48= 3,4
Ответы: 5,4
4,4 -
19 слайд
1,234 *
0,0534 *
0,78 *
80,9 *
= 12,34= 53,4
= 78
= 80900
10
1000
100
1000 -
-
-
22 слайд
Без труда нет добра.
Жизнь дана на добрые дела.
Творите добрые дела!
Живите на добрых делах! -
23 слайд
Вы все молодцы, вы все удальцы!
И пусть на года любимой всегда
Для вас математика будет.
Она и серьезна, она и трудна,
Но если чуть-чуть постараться,
То можно и в ней играть и шутить,
Смеяться и улыбаться! -
24 слайд
Спасибо за урок.
МОЛОДЦЫ!
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 262 993 материала в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
- 24.07.2017
- 283
- 0
- 24.07.2017
- 761
- 8
Рейтинг:
5 из 5
- 24.07.2017
- 4419
- 116
- 23.07.2017
- 406
- 0
- 23.07.2017
- 239
- 0
- 23.07.2017
- 349
- 0
- 23.07.2017
- 2530
- 30
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
-
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»