Запомните!
Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и поделить их сумму
на их количество.
Пример:
Найти среднее арифметическое 2, 3 и 4.
Обозначим среднее арифметическое буквой «m». По определению выше найдем сумму всех чисел.
2 + 3 + 4 = 9
Разделим полученную сумму на количество взятых чисел. У нас по условию три числа.
В итоге мы получаем формулу среднего арифметического:
Для чего нужно среднее арифметическое?
Кроме того, что его постоянно предлагают найти на уроках, нахождение среднего арифметического весьма полезно и в жизни.
Например, вы решили продавать футбольные мячи. Но так как вы новичок в этом деле, совершенно непонятно по какой
цене вам продавать мячи.
Тогда вы решаете узнать, по какой цене в вашем районе уже продают футбольные мячи конкуренты. Узнаем цены
в магазинах и составим таблицу.
| Магазин | Цена футбольного мяча |
|---|---|
|
«Спорт-товары» |
290 руб. |
| «Adidas» | 360 руб. |
| «Все для футбола» | 310 руб. |
Цены на мячи в магазинах оказались совсем разные. Какую цену для продажи футбольного мяча нам лучше выбрать?
Если выбрать самую низкую (290 руб.), то мы будем продавать
товар себе в убыток. Если выбрать самую высокую (360 руб.), то покупатели не будут приобретать футбольные мячи у нас.
Нам нужна средняя цена. Здесь на помощь приходит среднее арифметическое.
Вычислим среднее арифметическое цен на футбольные мячи:
Средняя цена = =
= 320 руб.
Таким образом, мы получили среднюю цену (320 руб.), по которой мы можем продавать футбольный мяч не слишком дёшево и не
слишком дорого.
Средняя скорость движения
Со средним арифметическим тесно связано понятие средней скорости движения.
Наблюдая за движением транспорта в городе, можно заметить, что машины, то
разгоняются и едут с большой скоростью, то замедляются и едут с
маленькой скоростью.
Таких участков на пути следования автотранспорта бывает много. Поэтому
для удобства расчётов, используют понятие средней скорости движения.
Запомните!
Средняя скорость движения — это весь пройденный путь разделить на всё время движения.
Рассмотрим задачу на среднюю скорость.
Разбор примера
Автомобиль двигался 3,2 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч, затем
1,5 ч по
грунтовой дороге со скоростью 45 км/ч, наконец
0,3 ч по просёлочной дороге со скоростью 30 км/ч.
Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всём пути.
Для расчёта средней скорости движения нужно знать весь путь, пройденный автомобилем,
и всё время, которое автомобиль двигался.
S1 = V1t1
S1 = 90 · 3,2 = 288 (км)
— шоссе.
S2 = V2t2
S2 = 45 · 1,5 = 67,5 (км)
— грунтовая дорога.
S3 = V3t3
S3 = 30 · 0,3 = 9 (км)
— просёлочная дорога.
S = S1 + S2 + S3
S = 288 + 67,5 + 9 = 364,5 (км)
— весь путь, пройденный автомобилем.
t = t1 + t2 + t3
t = 3,2 + 1,5 + 0,3 = 5 (ч)
— всё время.
Vср = S : t
Vср = 364,5 : 5 = 72,9
(км/ч) — средняя скорость движения автомобиля.
Ответ: Vср = 72,9 (км/ч) — средняя скорость движения автомобиля.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
10 апреля 2015 в 18:52
Дарья Некрасова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
Дарья Некрасова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
Автомобиль проехал 180 км за 3 ч с одинаковой скоростью. Из-за гололёда на обратном пути он уменьшил скорость на 15 км/ч. Сколько времени затратил автомобиль на обратный путь.
0
Спасибо
Ответить
10 апреля 2015 в 18:55
Ответ для Дарья Некрасова
Дарья Некрасова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
Дарья Некрасова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
180: 3=60
60 ?15=45
180 :45=4
0
Спасибо
Ответить
14 апреля 2015 в 17:11
Ответ для Дарья Некрасова
Asel Talantbekovna
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
Asel Talantbekovna
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
сама себе отвечает? 
0
Спасибо
Ответить
ВИДЕОУРОК
ЗАДАЧА:
Сельскохозяйственный техникум вырастил на трёх опытных
участках (по 1
га каждый) пшеницу разных
сортов. С одного поля собрали 36,5
ц, с другого 42,1
ц и с третьего 32,1 ц пшеницы. Сколько центнеров зерна собрано в
среднем с 1
га?
Вычислим сначала, сколько центнеров зерна было собрано с
трёх участков вместе. Получим:
36,5 + 42,1 + 32,1
= 110,7 (ц).
Средний урожай с 1
га показывает, сколько центнеров зерна
собрано с каждого гектара, если считать, что весь урожай распределён между
тремя участками поровну. Для этого нужно общее количество урожая разделить на 3.
Получим:
110,7 : 3 = 36,9 (ц).
Значит, средний урожай с
1 га равен 36,9
ц. В рассмотренном задаче мы разделили сумму чисел на число слагаемых.
(36,5 + 42,1 + 32,1)
: 3 = 36,9 (ц).
ЗАДАЧА:
Миша, Коля и Петя были в походе. Подойдя к лесу, они
решили отдохнуть. У Миши было 2 пирожка, у
Петрика 4 и у Николая 6.
Все пирожки мальчики поделили поровну и съели. Сколько пирожков съел каждой ?
РЕШЕНИЕ:
У мальчиков было
2
+ 4 + 6 = 12 пирожков.
Каждому из них досталось
12 : 3 = 4 пирожки.
ЗАДАЧА:
Ежедневно на протяжении пяти дней лев в зоопарке съедает соответственно
7,5
кг, 8,2
кг, 8,8
кг, 7,4
кг и
9,1
кг мяса.
Найдите среднее количество мяса, которое съедает лев за
один день.
РЕШЕНИЕ:
Получим:
(7,5 + 8,2 + 8,8 +
7,4 + 9,1) : 5 = 41: 5 = 8,2 (кг).
В среднем лев ежедневно съедает 8,2 кг мяса.
ЗАДАЧА:
Ежедневная зарплата рабочего в
течении пяти дней была:
7,5 руб, 8,2 руб, 8,8 руб, 7,4 руб, 9,1 руб.
Найдите среднюю зарплату
рабочего за один день.
РЕШЕНИЕ:
(7,5 + 8,2 + 8,8 + 7,4 + 9,1) : 5 =
= 41 : 5 = 8,2 (руб).
ЗАДАЧА:
Средний рост 10 баскетболистов – 192 см, а средний рост девяти из них – 191 см. Найдите рост десятого баскетболиста.
РЕШЕНИЕ:
192 ∙ 10 – 191 ∙
9 =
= 1920 – 1719 = 201 (см).
ЗАДАЧА:
Смешано печенье трех сортов. При этом взято 5
кг печенья ценой 0,9 рубля за килограмм, 7 кг
– ценой 1,2
рубля, и 8 кг – ценой 0,8 рубля за килограмм. Определить цену килограмма смеси.
РЕШЕНИЕ:
В задаче нужно определить цену килограмма смеси печенья.
Цену килограмма смеси печенья можно определить, зная общую стоимость печенья и
общий его вес. Общий вес печенья легко определить, потому что в условии дан вес
печенья каждого сорта. Общая стоимость печенья мы сможем вычислить, определив
стоимость каждой из составных частей смеси.
Определим стоимость каждой из частей печенья, из которых
состоит смесь. Это можно легко сделать, поскольку известны и цена и число
килограммов печенья каждого сорта:
0,9 ∙ 5 = 4,5 (крб),
1,2 ∙ 7 = 8,4 (крб),
0,8 ∙ 8 = 6,4 (крб).
Далее вычислим общую стоимость всего печенья, то есть
всей смеси:
4,5
+ 8,4 + 6,4 = 19,3 (крб).
Затем найдем число килограммов смеси:
5 + 7 + 8 = 20 (кг),
и, наконец, цену одного килограмма ее:
19,3 : 20 = 96,5 (коп/кг).
Запись решения задачи можно записать в виде числового
выражения
(коп/кг).
ЗАДАЧА:
С поля, площадь которого равна 3,2 га, собрали 160 ц
зерна. Найдите среднюю урожайность с 1 га.
РЕШЕНИЕ:
160 : 3,2 = 50 (ц/га).
ЗАДАЧА:
Найдём среднее арифметическое
суммы денег, потраченных в каждый из шести дней.
Нарисуем таблицу, в которую занесём расходы за
шесть дней.
Узнаем, сколько в
среднем тратили в каждом из шести дней:
ЗАДАЧА:
Найдите среднюю утреннюю температуру воздуха во второй
декаде октября, если на протяжении четырёх дней в это время термометр
показывал 10°, на протяжении трёх дней 12°, на протяжении двух дней
9° и один день
температура была 14°.
РЕШЕНИЕ:
Запись решения задачи можно
записать в виде числового выражения:
Когда мы ездим на
автомобиле или велосипеде, наша скорость часто меняется. Когда впереди нас
помехи, нам приходится сбавлять скорость. Когда же трасса свободна, мы
ускоряемся. При этом за время нашего ускорения скорость изменяется несколько
раз.
Речь идёт о средней
скорости движения. Чтобы её определить нужно сложить скорости движения, которые
были в каждом часе/минуте/секунде и результат разделить на время движения.
ЗАДАЧА:
Пешеход шёл 4 час. За первый час он прошёл 5,5 км, за второй
5,2 км, за третий
4,8 км, за четвёртый 4,1 км. С какою постоянной скоростью необходимо идти, чтобы преодолеть всё это расстояние за
4 час ?
РЕШЕНИЕ:
Весь путь равен
5,5 + 5,2 + 4,8 + 4,1 = 19,6 (км).
Чтобы решить задачу, нужно пройденный путь поделить на
время. Получим:
(5,5 + 5,2 + 4,8 +
4,1) : 4 =
= 19,6 : 4 = 4,9 (км/год).
Если бы путь 19,6 км пешеход прошел с постоянной скоростью, то эта
скорость была бы равна 4,9 км/ч. Такую скорость называют средней скоростью
движения.
ЗАДАЧА:
Автомобиль первые 3 час двигался со скоростью 66,2 км/час, а следующие 2 час – со скоростью 78,4 км/час. С какой средней скоростью двигался автомобиль ?
РЕШЕНИЕ:
Сложим скорости, которые
были у автомобиля в каждом часе и разделим на время движения (5 час).
Значит, автомобиль ехал со
средней скоростью 71,08 км/час.
Определить среднюю скорость
можно и по-другому – сначала найти расстояния, пройденные с одной скоростью,
затем сложить эти расстояния и результат разделить на время.
На рисунке видно, что первые
три часа скорость автомобиля не менялась. Тогда можно найти расстояние,
пройденное за три часа:
66,2 × 3 = 198,6 км.
Аналогично можно определить
расстояние, которое было пройдено со скоростью
78,4
км/час. В задаче сказано, что с такой скоростью автомобиль двигался 2 час.
78,4 × 2 = 156,8 км.
Сложим эти расстояния и результат разделим
на 5.
ЗАДАЧА:
Велосипедист за первый час проехал 12,6 км, а в следующие 2 час он ехал со скоростью 13,5 км/час. Определить среднюю скорость велосипедиста.
План урока:
Понятие среднего арифметического
Алгоритм нахождения среднего арифметического
Интересные факты
Понятие среднего арифметического
К сестрам Марине, Наталье, Елене в гости приехала бабушка. Она привезла своим внучкам гостинцы: восемнадцать конфет, шесть шоколадок, шесть киндер-сюрпризов. Сказала угощение разделить поровну. Определите, сколько сладостей достанется каждой девочке?
Ответ на вопрос, можно получить двумя способами. Рассмотрим их.
1
Чтобы выяснить, сколько сладостей достанется одной девочке, нужно каждый вид угощения разделить поровну – на 3.
Разделим конфеты между детьми:
18 : 3 = 6.
Теперь известно, что каждому ребенку досталось 6 конфет.
Разделим шоколадки:
6 :3 = 2.
Каждой внучке досталось две шоколадки.
Разделим шоколадные яйца:
6 : 3 = 2.
Выяснили, бабушка привезла по два киндер-сюрприза.
Стало известно, сколько гостинцев получил один ребенок. Теперь, вычислим, сколько сладостей досталось каждой девочке. Сложим количество конфет(6), шоколадок(2), киндер-сюрпризов(2), имеющихся у одной девочки:
6+2+2=10.
Получается, бабушка привезла по 10 сладостей.
Запишем решение задачи.
Как видите, способ, довольно простой, ноимеет длинную запись, занимает много времени. Рассмотрим второй способ решения задач такого вида.
2
Известно, сколько гостинцев привезла бабушка: конфет–восемнадцать, шоколадок – шесть, киндер-сюрпризов – шесть. Чтобы узнать количество гостинцев, доставшееся каждой сестре, сложим гостинцы и разделим поровну. То есть, суммируем привезенные подарки, делим на 3. Такой способ решения, имеет название в математике – «Нахождение среднего арифметического». Сформулируем, определение, среднего арифметического:
Среднее арифметическое нескольких чисел — результат деления суммы этих чисел на их количество
Используя, рассмотренное определение, найдем общее количество угощения, для этого сложим количество сладостей каждого вида конфеты + шоколадки + киндеры:
18+6+6=30.
Получается, что всего было 30 угощений. Теперь, эту сумму(30) делим на количество слагаемых(3), использованных в сумме:
30 : 3 =10.
Каждой внучке досталось по 10 сладостей.
Запишем решение этой задачи с использованием второго способа.
Как видите, второй способ, более краткий и удобный. Главное – запомнить изученное определение. Ведь, решение задач такого вида часто встречается на протяжении всего учебного процесса!
Алгоритм нахождения среднего арифметического
Рассмотрим следующую задачу.
Два брата-садовода продавали собранные фрукты. Первый брат продал яблок на 25000 рублей, а второй брат продал груш на сумму 15000 рублей. Все заработанные деньги братья разделили поровну. Сколько денег заработал каждый садовод?
Чтобы ответить на вопрос, необходимо использовать изученное правило.
Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно сумму этих чисел разделить на их количество. Для этого:
1. Определяем количество слагаемых;
2. Находим сумму всех слагаемых;
3. Делим полученную сумму на количество слагаемых
В начале давайте определим количество слагаемых. Так как фрукты продавали два садовода, то и делить выручку будем между ними. То есть количество слагаемых в сумме – два.
Теперь можем найти общую сумму, заработанную братьями. Для этого, складываем выручку первого и второго брата:
25000+15000=40000
Всего они заработали 40000 рублей.
Зная, что общая сумма равна 40000 рублей, мы можем найти сумму заработка каждого садовода. Для этого полученную сумму (40000) делим на количество слагаемых (2):
40000 : 2 = 20000.
Получается, заработок садовода составил 20000 рублей.
В ходе решения данной задачи мы составили алгоритм нахождения среднего арифметического.
Запомни!
Алгоритм вычисления среднего арифметического:
1. Находим слагаемые и считаем их количество;
2. Суммируем все слагаемые;
3. Полученную сумму делим на количество слагаемых
Держи табличку всегда под рукой, тогда сможешь найти среднее арифметическое любых чисел!
Выполним задание.
Найди среднее арифметическое чисел 10,20,30,40.
Чтобы выполнить необходимые вычисления, вспоминаем,
среднее арифметическое — частное суммы всех слагаемых и их количества
Мы уже знаем, что для вычисления заданий, такого вида, существует специальный алгоритм. Используя данный алгоритм,выполним все необходимые действия.
Следуя определенному алгоритму, мы без труда выполнили задание.
Запомни формулу среднего арифметического!
В заключение нашего урока рассмотрим еще одну задачу.
В школе четыре пятых класса 5А,5Б,5В,5Г. 5А – 22 ученика, 5Б –30 учеников, 5В – 28 детей, 5Г – 20. Найдите, сколько детей училось бы в каждом классе, если во всех классах учеников будет поровну.
Исходя из условия, в этой задаче нужно найти среднее количество учеников в одном классе. Чтобы ответить на главный вопрос, необходимо воспользоваться алгоритмом вычисления среднего арифметического.
Значит, если бы во всех пятых классах школы, училось равное количество учеников, в каждом классе было по 25 детей.
Запишем решение.
Сегодня вы узнали, как найти среднее арифметическое число. Внимательно рассмотрите урок, и запомните основные определения и алгоритмы! Тогда, любая контрольная будет по плечу!
Интересные факты
- По статистике, дети улыбаются 400 раз в день, а взрослые всего 17. Улыбайтесь чаще!
- В России продолжительность жизни мужчин составляет 70 лет, женщин – 78 лет!
- Ежедневно в Росси рождается 5000 детей.
- Ученые подсчитали, за всю жизнь, человек тратит 5 лет на процесс приема пищи,
- Ученые подсчитали, за 70 лет, человек поглощает более 50000 килограммов пищи, в том числе около 200-300 килограммов поваренной соли. Так же, каждый человек, достигший 70 летнего возраста, выпил за всю жизнь 50000 литров воды, что больше в 1400 раз массы человеческого тела.
- Одной хорошей шариковой ручкой можно написать 50000 слов.
Когда трескается стекло, трещина распространяется со скоростью 5000 км/ч.
Среднее арифметическое
Среднее арифметическое – это частное от деления суммы чисел на их количество.
Пример 1. Найти среднее арифметическое двух чисел: 4 и 6.
Решение: Сначала найдём сумму данных чисел:
4 + 6 = 10.
Затем разделим полученный результат на количество слагаемых, то есть на 2:
10 : 2 = 5.
Значит среднее арифметическое двух чисел (4 и 6) равно 5.
Ответ: 5.
Пример 2. Найти среднее арифметическое чисел 15, 8, 20 и 13.
Решение: Сначала найдём сумму данных чисел:
15 + 8 + 20 + 13 = 56.
Затем разделим полученный результат на количество слагаемых:
56 : 4 = 14.
Ответ: 14.
Из данных примеров можно сделать вывод, что для нахождения среднего арифметического, нужно сложить все числа и поделить их сумму на их количество.
Рассмотрим задачи, в которых требуется найти средне арифметическое нескольких чисел, относящихся к одной величине.
Задача 1. Утром температура была 15 градусов, днём она поднялась до 27 градусов, а вечером опустилась до 19, ночью температура достигла отметки в 11 градусов. Найти среднюю температуру за сутки.
Решение: Сначала найдём общую сумму температур за сутки:
15 + 27 + 19 + 11 = 72,
затем разделим полученную сумму на 4:
72 : 4 = 18.
Ответ: средняя температура за сутки равна 18 градусам.
Задача 2. В магазине продали 6 килограммов яблок по цене 55 рублей за килограмм и 4 килограмма груш по цене 75 рублей за килограмм. Какая средняя цена 1 килограмма фруктов?
Решение: Сначала посчитаем сколько всего денег получил магазин за фрукты:
55 · 6 = 330 (р) — выручка за яблоки;
75 · 4 = 300 (р) — выручка за груши;
330 + 300 = 630 (р) — общая выручка за фрукты.
Затем найдём общий вес фруктов:
6 + 4 = 10 (кг),
теперь разделим общую выручку на общий вес проданных фруктов и получим среднюю цену за 1 кг:
630 : 10 = 63 (р).
Ответ: средняя цена 1 килограмма проданных фруктов — 63 рубля.
Вспомним как находится среднее арифметическое нескольких чисел.
Среднее арифметическое = Сумма чисел : Количество чисел
Пример:
Среднеарифметическое А и В равно (А + В) / 2
Средняя арифметическая A, B и C равно A + B + C / 3
Средняя арифметическая A B C и D равно A + B + C + / 4
Рассмотрим задачи в которых требуется найти среднее арифметическое значение чисел.
Задача 1. Утром в Минске температура была 6 градусов, днем она поднялась до (18) градусов, вечером опустилась до (10) градусов, а ночью достигла отметки в (2) градуса.
Найти среднюю температуру за сутки?
Решение. Найдем сумму температуры за сутки: (6 + 18 + 10 + 2 = 36) градусов
Разделим (36) градусов на (4), получим (9) градусов.
Oтвет: средняя температура за сутки равна (9) градусам.
Задача 2. На экскурсию в Несвиж детей отправили на (5) одинаковых автобусах. В каждом их автобусов оказалось (28, 32, 43, 27) и (30) соответственно. Можно ли было учащихся разделить в автобусах поровну?
Решение. Найдём среднее арифметическое пяти чисел: (28, 32, 43, 27) и (30). Найдем их сумму (28 + 32 + 43 + 27 + 30 = 160. )
(160 / 5 = 32).
Ответ: Можно, если разместить в каждом автобусе по (32) человека.
Задача 3. Товарный поезд на первом участке пути шёл (2) часа со скоростью (60) км/ч, а второй участок он прошёл (3) часа. С какой скоростью шёл поезд на втором участке, если его средняя скорость на (2) участках равна (51) км/час?
Решение. В пути товарный поезд был (5) часов. Значит он прошёл (51 * 5 = 255) км. Первый участок был длиной (120) км ((60 * 2 = 120)), а второй (225 — 120 = 135) км. Его поезд прошел за (3) часа. Следовательно( 135 / 3 = 45) км/час.
Ответ: Поезд на втором участке шел со скоростью (45) км/час.